Đường đi và chu trình
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (193.87 KB, 37 trang )
Lý thuyết đồ thị
Chương 2: Đường đi và chu trình
1
4.6 Đường đi và chu trình Euler
Bài tốn “Kưnigsburg Bridges” (Leonhard Euler,
1707-1783)
Xác định một chu trình đi qua tất cả 7 cây cầu,
mỗi cái đúng 1 lần.
2
4.6 Đường đi và chu trình Euler
D
A
B
C
3
4.6 Đường đi và chu trình Euler
Định nghĩa: Xét 1 đồ thị liên thông G.
Một đường đi Euler của G là một đường đi
đơn giản có đỉnh bắt đầu khác đỉnh kết thúc
và qua tất cả các cạnh của G. Khi này G còn
được gọi là một đường đi Euler.
Một chu trình Euler của G là một chu trình
đơn giản đi qua tất cả các cạnh của G. Khi
này G cịn được gọi là một chu trình Euler.
4
4.6 Đường đi và chu trình Euler
Định lý 2.1 (Định lý Euler 1):
Cho 1 đồ thị vô hướng G liên thơng và có
hơn 1 đỉnh. Khi đó, G có chu trình Euler nếu
và chỉ nếu mọi đỉnh của G đều có bậc chẵn.
A
E
B
D
C
Chu trình Euler:
DEABCEBD
5
4.6 Đường đi và chu trình Euler
Thuật tốn tìm chu trình Euler của đồ thị
G(V, E)
Kết quả sẽ cho ra C là một chu trình Euler
bao gồm thứ tự các cạnh của chu trình.
6
7
4.6 Đường đi và chu trình Euler
1 2 3 4 5 6
1
3
2
4
5
6
1
2
3
4
5
6
0 1 1 0 0 0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
C = Ø, v = 1
8
4.6 Đường đi và chu trình Euler
1 2 3 4 5 6
1
3
2
4
5
6
1
2
3
4
5
6
0 0 1 0 0 0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
C = 1,2
9
4.6 Đường đi và chu trình Euler
1 2 3 4 5 6
1
3
2
4
5
6
1
2
3
4
5
6
0 0 1 0 0 0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
C = 1,2,3
10
4.6 Đường đi và chu trình Euler
1 2 3 4 5 6
1
3
2
4
5
C = 1,2,3,1
6
1
2
3
4
5
6
0 0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
E≠Ø
11
4.6 Đường đi và chu trình Euler
1 2 3 4 5 6
1
3
2
4
5
C = 1,2,4,
6
1
2
3
4
5
6
0 0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
,3,1
12
4.6 Đường đi và chu trình Euler
1 2 3 4 5 6
1
3
2
4
5
C = 1,2,4,3,
6
1
2
3
4
5
6
0 0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
,3,1
13
4.6 Đường đi và chu trình Euler
1 2 3 4 5 6
1
3
2
4
5
6
1
2
3
4
5
6
0 0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
C = 1,2,4,3,6, ,3,1
14
4.6 Đường đi và chu trình Euler
1 2 3 4 5 6
1
3
2
4
5
6
1
2
3
4
5
6
0 0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
C = 1,2,4,3,6,5, ,3,1
15
4.6 Đường đi và chu trình Euler
1 2 3 4 5 6
1
3
2
4
5
6
C = 1,2,4,3,6,5,2,3,1
1
2
3
4
5
6
0 0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
E=Ø
16
4.6 Đường đi và chu trình Euler
Định lý 2.2 (Định lý Euler 2):
Cho một đồ thi vô hướng G liên thơng và có
hơn 1 đỉnh. Khi đó, G có đường đi Euler nếu
và chỉ nếu G có đúng 2 đỉnh bậc lẻ.
A
E
B
D
Đường đi Euler:
DEABECBDC,
DEABCEBDC
C
17
4.6 Đường đi và chu trình Euler
Thuật tốn xác định đường đi Euler (bài tập)
18
4.6 Đường đi và chu trình Euler
Định lý 2.3 (Định lý Euler 3):
Cho đồ thị có hướng G liên thơng và có hơn
1 đỉnh. Khi đó, G có chu trình Euler nếu và
chỉ nếu G cân bằng.
A
E
B
Chu trình Euler:
DEABCEBD
D
C
19
4.6 Đường đi và chu trình Euler
Định lý 2.4 (Định lý Euler 4):
Cho đồ thị có hướng G liên thơng và có hơn
1 đỉnh. Khi đó, G có đường đi Euler nếu và
chỉ nếu trong G có 2 đỉnh a, b thỏa:
dout(a) = din(a) + 1
din(b) = dout(b) + 1
mọi đỉnh còn lại đều cân bằng và đường
Euler phải bắt đầu tại a và kết thúc tại b.
20
4.6 Đường đi và chu trình Euler
A
E
B
D
Đường đi Euler:
DEABCEBDC,
DEBCEABDC
C
21
4.7 Đường đi và chu trình Hamilton
(1805-1865)
Định nghĩa:
Xét 1 đồ thị liên thơng G có hơn 1 đỉnh
Một đường đi Hamilton của G là một đường
đi sơ cấp qua tất cả các đỉnh của G.
Một chu trình Hamilton của G là một chu trình
sơ cấp qua tất cả các đỉnh của G.
22
4.7 Đường đi và chu trình Hamilton
A
E
Đường đi Hamilton: ABECD
B
D
E
A
C
B
Đường đi Hamilton: BAECD
D
C
23
4.7 Đường đi và chu trình Hamilton
A
B
Chu trình Hamilton: ABCDA
D
A
C
B
Chu trình Hamilton: ACBDA
D
C
24
4.7 Đường đi và chu trình Hamilton
1.
2.
3.
4.
Qui tắc tìm chu trình Hamilton
Nếu tồn tại 1 đỉnh của G có bậc ≤ 1 thì G khơng
có chu trình Hamilton.
Nếu đỉnh x có bậc 2 thì cả 2 cạnh tới x đều phải
thuộc chu trình Hamilton.
Chu trình Hamilton khơng chứa bất kỳ chu trình
con thực sự nào.
Trong quá trình xây dựng chu trình Hamilton, sau
khi đã lấy 2 cạnh tới 1 đỉnh x đặt vào chu trình rồi
thì khơng thể lấy thêm cạnh nào tới x nữa. Do đó
có thể xóa mọi cạnh còn lại tới x trong G.
25
