Đa thức ma trận và ứng dụng trong phương trình vi phân đại số tuyến tính


I HM HÀ NI 2












LI C
Tôi xin chân thành c
15 - TG 
 tôi hoàn thành khóa lun tt nghip.
 -


.
Do thi gian nghiên cu có h tài không tránh khi nhng hn
ch, thiu sót nhnh, kính mong nhc s quan tâm góp ý ca các
thy cô và các b  tài nghiên cc hoàn thi
Tôi xin chân thành c


Hà N





L
ng s liu và kt qu nghiên cu trong lu
là trung thc và không trùng lp v 
rng mi sc thc hin luc c
thông tin trích dn trong luc ch rõ ngun gc.


Hà N





MC LC


M U
6

9
1.1. 
9
1.2. 
18
1.3  ging
24
1.4 Sai phân
26
1.5 
27
         
 HAI

30
2.1 Phc hai
30
i s c cao
39

41


C HAI

42

42

43

50

54

55




det A
A.
diag( , )MN


im( )A
 A.
ker( )A

kA A).
rank ( )At


( ).At

degdet( ( ) ( ))

A t B t

det( ( ) ( )).A t B t



 
0,1
m
m
 
0,1 .

6

M U
1. Lý do ch tài
Nhiu
     c hi   o hàm cp cao nht 
n. Mt dng gp
cn là h gm mt (hng
và mt ràng bui s (không cho hàm). ng
c gi là i s.
        c mô t b    

mt ràng buc ()



 (xem, thí d, [7], [8]). Tuy nhi
  (cost

Línghiên cu lí
thuy           
. Tuy nhiên línói chung không tht phù
hp
thuyt chùm ma trn
bc cao cao
lí
Mc dù mc bu nghiên cu, lít
u xây dng 
7



t s nghiên cu mi v c ma trn và ng
di s b

  (xem [2], [5]).
Nhm tìm hiu mt v thi s ng dng, tôi ch
tài cho lua mình là 
i s tuyn tính.

da theo các bài báo [2]-[5]  tính cht       rã
         m thành m    

, 1, 1mm


i sm
hàm mm

2. M nghiên cu
Dc , ln
, s  và gii s
 tuyn tính  .
3. Nhim v nghiên cu
Nghiên cu các v sau:
1. và các c thùi s.
2. và các tính chtc 
3. Gii s bài toán giá tr u và bài toán biên ca 
tuyn tính na thc .
8

ng và phm vi nghiên cu
;  gii 
 tuyn tính.
5u
Thu thp tài lic, phân tích và tng hp; S dng các
công c ci s tuyn tính, Gii tích, Gii tích hàm và Gii tích s  vit
mt lunghiên cu tng quan v  t ra.
6. óng góp c tài
Lu mt tài liu tng quan v c ma trn trong nghiên cu
nh i s i s tuyn tính. Hy vng
Lut tài liu tham kho tt cho sinh viên và hc viên cao hc khi
u nghiên ci s.
9



Cc thù ci s tuyn
tính, các  í, (matrix
polynomials) -- degree)c
ng cn thit trong
các 
1.1

( , ), ,
n
dx
f t x x
dt


( , ),t a b
(1.1.1)
ba tr l
ng kí hio hàm ca hàm s
()xt
tm
t
bi mt trong ba kí
hiu
( ),xt


dx
dt

hoc
( ).xt

   c bit ca   
( , , ) 0F t x x


  
        khong   
c t
( , , ) 0F t x x



 c lí thuy


det 0
F
x




trong lân cn nghim
 
( , , ) 0F t x x


         

( , ).x f t x



10

, vì mng
u có th  dng n
( , , ) 0F t x x


vi
( , , ): ( , ).F t x x x f t x




( , , ) 0F t x x



n tính 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),E t x t A t x t f t



( , )t a b
(1.1.2)

det ( ) 0.Et 

             
( , , ) 0F t x x



( , )ab

()xt

trên
( , )ab
sao cho
( , ( ), ( )) 0F t x t x t


trên
( , ).ab

          
thông qua mt s ví d.
Thí d 1.1.1 Xét h phng trình vi phâi s tuyn tính thun nht vi h
s hng
 
( ) ( ) 0, , ,Ex t Ax t t a b

  
(1.1.3)

 

11
22
( ) ( )
1 2 1 2
0, ,
( ) ( )
0 0 1 2
x t x t
t a b
x t x t

   
   
  
   
   

   
   
. (1.1.4)
H 
12
00
E




vi
det 0,E 

vì vy không th  (1.1.4) v
dng. Thc cht (1.1.4) là h gm m
trình vi phân (1.1.4a) (cho hàm) và mt ràng bui s (1.1.4b) (không
cho hàm). H (1.1.4) có th vii dng
(1.1.4)
1 2 1 2
12
( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 0; (1.1.4a)
( ) 2 ( ) 0. (1.1.4b)
x t x t x t x t
x t x t

   






11

H này có vô s nghim dng
12
( ) 2 ( )x t x t
vi
2
()xt
là mt hàm s bt kì.
a, ta thy 
()

()
1
()
2
()
2
( ) , 1,2
()
i
i
i
i
i
xt
t
x t i
xt
t


  






là nghim ca h (1.1.4) vi mi
1,2 i 
, bi vì quan h

( ) ( )
12
( ) 2 ( )
ii
x t x t

c tha mãn vi mi
t
và mi
1,2 i 

H vô hn các hàm
 
()
0
()
i
n
xt


là c lp tuyn tính. Tht vy, ta có

 
0
()
00
0
2
0

( ) 0 , .
0
i
i
i
ii
ni
ii
i
i
i
ct
c x t c t t a b
ct









     












Do
 
0
i
i
t


 c
 
0
: ( ) ; 0,1,
m
i
mi
i
P t a t m

   


nên suy ra
0 0,1,2
i
ci  

Nh vy không gian nghim ca (1.1.4) là vô hn chiu.
Thí d 1.1.1 cho thy, không phi lúc nào không gian nghim c 
i s tuyn tính hu hn chiu. m khác
bit ci s tuyn tính so vi h 
ng: H ng tuyn tính thun nht dng
( ) ( ) ( )x t A t x t


(1.1.5)
vi
()At
là ma trn vuông cp
nn
có 
n
nghic lp tuyn tính,
hay không gian nghim ca h (1.1.5) là hu hn chiu.
Trong ví d này ta có
12

1 2 1 2 1 2( 1)
,
0 0 1 2 1 2
EA



     
   

     
     

và
det( ) 0 .EA

   

Cp ma trn
 
,EA
có tính cht
det( ) 0EA

   
c gi là cp
ma trn không chính qui. Nu tn ti mt s


sao cho
det( ) 0EA



thì ta nói cp ma trn
 
,EA
là chính qui.
H (1.1.4) là h     i s thun nht dng (vi h s
hng). Tt mt kt qu v không gian nghim ca h 

i s vi h s hng.
nh lí 1.1.1 ([6]) Cp ma trn
 
,EA
là chính qui khi và ch khi không gian
nghim c
( ) ( ) 0Ex t Ax t
là hu hn chia, s
chiu ca không gian nghim bng bc c
 
det .EA



nh lí này cho thy, tính chính qui ca cp ma trn
 
,EA
n
trng, nhiu khi là quynh, trong cu trúc tp nghim c
i s vi h s hng.
Thí d 1.1.2 Xét h  vi phân tuyn tính thun nht vi h s bin
thiên
 
10
( ) ( ) 0, ,
0 0 1
t
x t x t t a b
t


   

  
   
   
(1.1.6)
1 2 1
12
( ) ( ) ( ) 0;
( ) ( ) 0.
tx t x t x t
tx t x t


  






Ta có
13

0
( ) ( )
0 0 1 1
tt
E t A t
tt

     


     
   
     
     
.
Nu
0


thì
det( ( ) ( )) 0 .E t A t

   

Và (1.1.6) tr thành
12
12
( ) ( ) 0;
( ) ( ) 0.
tx t x t
tx t x t







H trên có duy nht mt nghim
1
( ) 0,xt

2
( ) 0.xt

Tht vy, t phng trình
12
( ) ( ) 0tx t x t
ta có
21
( ) ( ).x t tx t

Suy ra
2 1 1
( ) ( ) ( ).x t tx t x t

  

Thay vào phng trình
12
( ) ( ) 0tx t x t


ta c
 
1 2 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.tx t x t tx t tx t x t x t

   
       

Vy
1
( ) 0xt
. Suy ra
2
( ) 0.xt

c thù na ci s
i s tuyn tính có th có duy nht nghim không ph thuc gì vào giá
tr u.
Vi
1


thì
(1.1.6)
1 2 1 1
1 2 2 1
( ) ( ) ( ) 0 ( );
( ) ( ) 0 ( ) ( ).
tx t x t x t x t
tx t x t x t tx t

   




   


Hn na:
1
( ) 0,1,
i
i
i
t
x t i
t






là nghim ca h và
 
0
()
i
i
xt


là c lp
tuyn tính. Do  nó là c s ca không gian nghim. Nh vy ta thy, không
gian nghim là vô hn chiu mc dù

det( ( ) ( )) 1 0E t A t
  
    
.
Vi
1


thì
14

21
1 1 1 1
2 1 2
1
11
( ) ( )
(1.1.6)
( ) ( ( ) ( )) ( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( 1) ( ) 0 ( ) 0
x t tx t
tx t tx t x t x t
x t tx t x t
x t x t










    

  

 

  


Vy (1.1.6) có duy nht nghim
( ) 0xt 
mc dù
det( ( ) ( )) 0 .E t A t
  
   

Thí d này cho thy, nh lí 1.1.1 không còn  i vi h phng trình vi
phân có h s bin thiên.
Thí d 1.1.3 Xét h i s tuyn tính thun nht vi h
s bin thiên

11
22
( ) ( )
1 0 0
( ) ( )

0 0 1 0
x t x t
t
x t x t
t




   
     

   
     


     
   
(1.1.7)
vi
 
2
0,1 ; ; ,tx


là các nhiu  nh.
Khi
0, 0



thì
11
22
1 2 1
12
( ) ( )
10
(1.1.7) 0
0 0 1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0;
( ) ( ) 0.
x t x t
t
t
x t x t
tx t x t x t
tx t x t



   
   
  
   
   

   
   


  






H này  c xét trong Thí d 1.1.2.
Khi
1


thì h có duy nht nghim
( ) 0.xt 

Khi
; 0; 0
   
  
thì
 
1 2 1
12
( ) ( ) ( ) 0
(1.1.7)
( ) ( ) ( ) 0
t x t x t x t
t x t x t




   



  


15

1 1 1 1
21
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( )
t x t t x t x t x t
x t t x t
  


     



  


1
11
1
21

21
()
1
( ) ( ) ( 1) ( ) 0
()
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
dx t
dt
x t x t
xt
x t t x t
x t t x t

  







   





  



  


1
1
11
1
21
2
1
( ) ;
ln ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) .
t
t
x t ce
x t c t
x t t x t
x t t ce























  

  


Vi
0t 
thì
1
2 1 1
(0) ;
(0) (0).
xc
x c x








Vy vi
1
,






nghim ca (1.1.7) có dng
11
2 1 1
( ) (0) ;
( ) (0) (0) .
t
tt
x t x e
x t tx e x e







  




Chn
;0


sao cho
12
( ) ; ( )x t x t  
. Thí d chn
 

khi y
0


thì
0


và
1 1 1


    

    

.

Suy ra
1
1 1 2 1 1
( ) (0) ; ( ) (0) (0) .
t
tt
x t x e x t tx e x e



     

Vy ta thy, mc dù
1
rank ( ) rank 1
00
t
Et






không i vi mi
tham s  nh
,

và
0

( ) ( )
0 0 1 1
tt
E t A t
tt
       


  
     
   
     

     
,
tc là
16

det( ( ) ( )) ( ) 0 ; 0,E t A t t t
            
            

h nghim
12
( , , ), ( , , )x t x t
   
không tin ti nghim
( ) 0,xt 
thm chí
1

( , , )xt

 
khi
; 0.



Nh vy, nhiu dù nh        i s chiu ca
không gian nghim. a, nghim có th không liên tc (không nh)
theo tham s.
m khác bit ci s so v
ng: nghim ca ng liên tc theo
v phi, theo tham s và theo giá tr u.
Thí d 1.1.4 Xét h i s tuyn tính không thun nht
vi h s hng

 
1 1 1
2 2 2
( ) ( ) ( )
0 1 1 0
, , .
( ) ( ) ( )
0 0 0 1
x t x t f t
t a b
x t x t f t

     

   
  
     
   

   
     
(1.1.8)
Ta có:
(1.1.8)
2 1 1 1 1 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( );
( ) ( ) ( ) ( ).
x t x t f t x t f t f t
x t f t x t f t

   






Nh vy, nu ta ch gi thit
 
,,f C a b
tc là
f
liên tc nhng không kh

vi thì h (1.1.8) là vô nghim, vì khi y
2
()xt

không tn ti.  h có nghim
(c n) ta phi t iu kin, thí d, khá thô thin, là
 
2
2
,.f C a b

Thí d 1.1.5 Xét h i s tuyn tính không thun nht
vi h s bin thiên
1 1 1
2 2 2
( ) ( ) ( )
1 1 0
.
( ) ( ) ( )
0 0 1
x t x t f t
t
x t x t f t
t

     
   

     
   


   
     
(1.1.9)
17

Ta có:
(1.1.9)
1 2 1 1
1 2 2
( ) ( ) ( ) ( );
( ) ( ) ( ).
tx t x t x t f t
tx t x t f t

  






H thun nht
1 2 1
12
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
tx t x t x t
tx t x t


  





có nghim là (xem Thí d (1.1.2)):
1
1
21
( ) ;
( ) ( ).
x t C
x t tx t






i vi h (1.1.9) ta có:
1 2 1 1
2 2 1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
tx t x t x t f t
x t f t tx t

  






1 2 1 1 1 1
2 2 1
( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
tx t f t tx t x t x t f t
x t f t tx t
  
    






Suy ra
21
( ) ( ).f t f t



y, h (1.1.9) gic (có nghim) khi và ch khi v phi ca phng
trình (1.1.9) tha mãn iu kin
21
( ) ( ).f t f t



Vi iu kin này h có vô s
nghim dng
1
1
2 2 1
( ) ;
( ) ( ) ( ).
x t C
x t f t tx t






Kt lun Nhng ví d yi s là dng
n hay thuc lp t không chnh. Vì vy nghiên
cu i s t nhiu so vi nghiên c
ng. Ngay c các v v tn ti, duy nht nghi
nhng câu h m bng phi có
18

nhng iu kin ràng buc nht nh, gi là u kihícht lên hai
v ca phng trình u kiu.
Khác vng, cu trúc tp nghim ca h phng
trình vi phâi s có h s bin thiên phc tp hn rt nhiu so vi trng
hp h s hng.
i vi png tuyn tính không thun nht,
không gian nghim luôn hu hn và không ph thuc vào v phi. Vi
    i s, tính cht s chiu hu hn ca không gian

nghim liên quan cht ch vi tính gic ca h không thun nht.
Nhiu nh ca h i s tuyn tính có th s i
chiu ca không gian nghim, thm chí ngay c  ng hp
rank ( ) Et
  i theo thi gian
.t
Tc là cu trúc nghim ca
 nh theo tham s.
Nghiên ci s, ngay c ng hp
h tuyn tính, là m tài thú v. n rt nhiu bài toán
khác (Lí thuyt nh nghim ci su khin
t mô t bi s).i là
ma Lu  t mthông qua mt s ví d,
làm rõ mt s c thù ci s.
Có th tham kho lí thuyi s qua các sách chuyên
kho, thí d, [6], [7
1.2 lí
 gii h i s tuyn tính hay h n
tính, ng  tng quát v các h n thông qua phép bin
i ma trn.  gii h i s tuyn
19

i bii s tuyn tính tng quát v
dng gic nh phép bii ma trn. Mc này trình bày các kin th
bn nht v bii ma trn cn thi
.2.1 (xem [6], tr. 35) 
nn×


[0,1]

m

()rankA t k const

 
0,1 .t

 
0,1t

nn×


[0,1]
m

0
( ) ( ) ( ) ( ,0) ,
00
k
k
nn
E
P t A t Q t diag E






(1.2.1)

k
E

.kk×

V
( ), ( ),A t B t

( ) ( )A t B t





( ) ( )A t B t


 (matrix pencil).
.2.1 (xem [6], tr. 52) 
( ) ( )A t B t



 (rank - degree)
rank ( ) degdet( ( ) ( )) const,A t A t B t k

   


 
0,1 .t
(1.2.2)
T7], [8
.

( ) ( )A t B t


-xem [6],
tr. 47-52) 
 
0,1t

()Pt

()Qt



( )( ( ) ( )) ( ) diag( ,0)+diag( ( ), ),
k n k
P t A t B t Q t E J t E




20

( ) 0

0
0
00
k
nk
Jt
E
E









( ) 0
.
0
k
nk
E J t
E








(1.2.3)


( ) ( ) ( ),A t B t C t



 
0,1 ,t
(1.2.4)

( ), ( ), ( )A t B t C t

,nn×
còn



.
 1.2.2 ([2 n
(i)
( ), ( )A t B t

()Ct

nn×

hàm
[0,1]

m
;
(ii)
rank ( ) ,A t k const

 
0,1 ;t

(iii)
rank{ ( )| ( )} ,A t B t k l const  

 
0,1 ;t

(iv)
0
det( ( ) ( ) ( )) ( ) ,
kl
A t B t C t a t
   
   

0
( ) 0,at

 
0,1 .t

, 
 

0,1t

()Rt

()St

nn×


[0,1]
m
sao cho
( )( ( ) ( ) ( )) ( )R t A t vB t C t S t



1 2 1 2
34
0 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0
0 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 ,
0 0 0 0 0 0 0 0
k
l
n k l
E J t J t C t C t
E C t C t
E




   

   
  

   
   

   


(1.2.5)
 
,
kl
EE
 
n k l
E

           
, , ;k l n k l

12
,JJ

, 1,2,3,4
i
Ci


.
21

 Do ma t
()At
 (ii)nên
1.2.1, 
[0,1]t

()Pt

()Qt
sao
cho
0
( ) ( ) ( ) diag( ,0) .
00
k
k
nn
E
P t A t Q t E






Suy ra,

( , , ) ( )( ( ) ( ) ( )) ( )t P t A t B t C t Q t
   
   

( ) ( )P t A t


()Qt
+
( ) ( ) ( )vP t B t Q t
+
( ) ( ) ( )P t C t Q t

11 12 11 12
21 22 21 22
( ) ( ) ( ) ( )
0
( ) ( ) ( ) ( )
00
k
B t B t C t C t
E
B t B t C t C t

   

  
   



   

11 11 12 12
21 21 22 22
( ) ( ) ( ) ( )
,
( ) ( ) ( ) ( )
k
E B t C t B t C t
vB t C t B t C t
  

  






(1.2.6)

11 11
,BC

,kk
22
B

22
C


( ) ( ),n k n k  

12
B

12
C

()k n k

21
B


21
C



( ) .n k k

n.6) theo k 
1
1 22 22
det ( , , ) det ( )( ( ) ( )det( ( ) ( ))det ( ).
kk
k
t P t l t l t B t C t Q t
    


     

Theo g
22 22
( ) ( )B t C t




,.3
1
P


1
Q

( ) ( )n k n k  


1 22 22 1
( )( ( ) ( )) ( ) diag( ,0) diag( ( ), )
( ) 0
0
.
0
00
l n k l
l

n k l
P t B t C t Q t E m t E
mt
E
v
E



  








(1.2.7)
22

Nhân
21
1
0
diag( , ( ))
0 ( )
k
k
E

Q E Q t
Qt




(1.2.6) t bên phi, 
2
( , , ) ( )t Q t


=
11 12 11 12
21 22 21 22 1
( ) ( ) ( ) ( ) 0
0
( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( )
00
k
k
B t B t C t C t E
E
B t B t C t C t Q t


     

  

     



     


11 12 1 11 12 1
21 22 1 21 22 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
00
k
B t B t Q t C t C t Q t
E
B t B t Q t C t C t Q t

   

  
   


   
(1.2.8)
Nhân
21
1
0
diag( , ( ))

0 ( )
k
k
E
P E P t
Pt




 (1.2.8) t bên trái
22
( ) ( , , ) ( )P t t Q t


=
11 12 1 11 12 1
1 21 22 1 21 22 1
0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
,
0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
00
k
k
E B t B t Q t C t C t Q t
E
P t B t B t Q t C t C t Q t



     

  

     


     

hay
11 12 1 11 12 1
22
1 21 1 22 1 1 21 1 22 1
0
( ) ( , , ) ( ) .
00
k
B B Q C C Q
E
P t t Q t
PB PB Q PC PC Q
   
   

   
   


   

toàn Lu
t.
11
()Bt

11
B
.
(1.2.7

11 12 13 11 12 13
21 21 22
31 31
00
0 0 0 0 0 ,
0 0 0 0 0 0
k
l
n k l
E J J J l l l
J E l l
J l E


   

   


   



   

   
(1.2.9)
1.2.5),
 (iii)
31
J
 bng 0.
23

Nhân
3 21
31
00
0
0
k
l
n k l
E
Q J E
lE









 (1.2.9) t bên ph
11 12 13 11 12 13
21 21 22 21
31 31 31
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
kk
ll
n k l n k l
E J J J l l l E
J E l l J E
J l E l E

   

     


     

  

     


     




     


11 21 12 13 31 12 13
31
00
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
k
l
E J J J J l J J
E
J














11 12 21 13 31 12 13
21 22 21 22
0.
00
n k l
l l J l l l l
l l J l
E








(1.2.10)
Nhân
12 13
3
00
00
k
l
n k l
E J l
PE
E









t bên trái ca (1.2.10
12 13 11 21 12 13 31 12 13
31
00
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
kk
ll
n k l
E E J l J J J J l J J
EE
EJ


   
  

  


  


  


  

12 13 11 12 21 13 31 12 13
21 22 21 22
0 0 0
0 0 0 0
k
l
n k l n k l
E J l l l J l l l l
E l l J l
EE
   
    
  
  

  
  
  

hay
11 21 12 13 31 31 13 13
31
0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
k
l

E J J J J l J l J
E
J

  












24

11 12 21 13 31 12 21 12 12 21
21 22 21 22
0
0.
00
n k l
l l J l l J l l J l
l l J l
E

    








RS
32
R P P P
S = Q Q
2
Q
3
P, P
2
, P
3
,
Q, Q
2

3
trong .
y B
1.3 ging


( ) ( , ( )),x t f t x t




 
0,1t
(1.3.1)

0
(0) ,xx
(1.3.2)

( , ( ))f t x t
n f

 
: 0,1 .
n
D 

n
 
0,1
thành
N
phn vu
1
:h
N


01

0 1
N
t t t    

vi
, 1,2, , .
i
t ih i N

Kí hiu giá tr ca nghim cm
i
t
là
 
.
ii
x x t

k 

1 1 1
00
( , )
kk
j i j j i j i j
jj
x h f t x

     




(1.3.3)
i dng minh:
 
0 1 1 1 0 1 1 1 1 1
( , ) ( , ) ( , ) ,
i i k i k i i i i k i k i k
x x x h f t x f t x f t x
     
        
      

25

Vi
1k 
ta có:
 
0 1 1 0 1 1 1
( , ) ( , ) .
i i i i i i
x x h f t x f t x
   
  
  

ng quát hóa ca n mc.
Vi
0 1 1 0

1, 1
   
   
ta có pn
1
( , ).
i i i
x hf t x



 ca
x
ti thm
1i
t

c tính trc tip theo
giá tr ca
x
ti thm
i
t
nh giá tr hàm s
( , ).
ii
f t x
Bit giá tr u
 
00

,x t x
ta lc các giá tr
12
, , , .
N
x x x
Vì v
Euler tin là n.
Vi
0 0 1 1
1, 0
   
   
ta có ng pháp Euler lùi
1 1 1
( , ).
i i i
x hf t x
  


 dng thông tin tm cui
1
,
i
t

vì vy nói chung
n. Tuy nhiên, giá tr ca
x

ti th im
1i
t

c tính bng cách gii m    n
1
( ) ( , ) 0,
i
x x hf t x


  
thí d, b-Raphson. Vì vy,
n.
Vi
0 1 0 1
1
1, 0,
2
   
   
ta có hình thang
 
1 1 1
( , ) ( , ) .
2
i i i i i
h
x f t x f t x
  



n.
y, ta thc là tt
c, cha khá nhi t.
Vi
0,i 
công thc (1.4.3) có dng: