Một số phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến f(x)=0

Lời cảm ơn
Tơi xin chân thành cảm ơn Phịng Sau đại học, các thầy giáo, cơ giáo,
cùng tồn thể các anh chị em học viên khóa 15 chun ngành Tốn giải
tích Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên, giúp đỡ để tác giả
có điều kiện tốt nhất trong suốt q trình hồn thành luận văn.
Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới PGS. TS. Khuất Văn
Ninh đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi hồn
thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 12 năm 2013
Tác giả

Trần Văn Cường


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Khuất Văn Ninh,
luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Tốn giải tích với đề tài “Một số phương
pháp lặp giải phương trình phi tuyến” được hồn thành bởi chính
sự nhận thức của bản thân tác giả.
Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế
thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết
ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2013
Tác giả

Trần Văn Cường


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Một số kiến thức về giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Phương pháp dây cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3. Phương pháp Newton và các mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.1. Phương pháp Newton (Phương pháp tiếp tuyến) . . . . . . . .

9

1.3.2. Phương pháp Newton - Raphson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.3. Phương pháp Newton - Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Chương 2. PHƯƠNG PHÁP LẶP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1. Phân loại các hàm lặp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1.1. Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1.2. Hàm lặp một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.1.3. Hàm lặp nhiều điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.4. Bậc hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2. Các định lý tổng quát về phương pháp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2.1. Một số mệnh đề về điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2.2. Sự hội tụ tuyến tính và trên tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

i


2.2.3. Thực hiện phép lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương

29

3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP

LẶP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

ii


Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Nhiều vấn đề trong thực tế dẫn tới việc giải các phương trình và hệ
phương trình. Chúng có thể là các phương trình, hệ phương trình đại số,
vi phân, hay đạo hàm riêng. Việc giải đúng của các phương trình này
nói chung là rất khó. Ta chỉ có thể mong muốn tìm được nghiệm gần
đúng của chúng.
Có rất nhiều phương pháp để tìm nghiệm gần đúng của phương trình.
Mỗi phương pháp có những ưu điểm riêng, và phù hợp với những loại
phương trình khác nhau. Nhưng có thể thấy rằng nhiều thuật tốn giải
phương trình được mơ tả bởi các hàm lặp. Việc trình bày một cách hệ
thống về lý thuyết của các thuật toán lặp và bậc hội tụ của chúng trong
việc giải gần đúng phương trình và hệ phương trình giúp cho ta có một
cái nhìn sâu hơn và tổng qt hơn về các phương pháp lặp riêng biệt đã
biết, và có thể tìm ra được ứng dụng của những phương pháp đó trong
việc giải phương trình.
Vì những lí do trên, được sự định hướng của PGS. TS. Khuất Văn
Ninh, tôi đã chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là “MỘT SỐ
PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN”.

1

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết về các phương pháp lặp giải gần đúng phương
trình f (x) = 0 trong khơng gian một chiều.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu cơ sở lý thuyết, các tính chất của phương pháp lặp được
biểu diễn dưới dạng hàm lặp, trong việc giải phương trình. Trong đó
nghiên cứu về thuật tốn, về bậc hội tụ.
Nghiên cứu các ứng dụng của phương pháp lặp trong việc giải phương
trình cụ thể.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Các phương pháp lặp trong việc giải gần đúng phương trình f (x) = 0
trong khơng gian một chiều.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Tìm hiểu tư liệu trong sách, báo.
- Sử dụng các phương pháp của Giải tích cổ điển, Giải tích hàm, Giải
tích số.
- Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài.
6. Dự kiến đóng góp của đề tài
Trình bày một cách hệ thống về phương pháp lặp về bậc hội tụ và
ứng dụng của nó trong các bài tốn cụ thể.
2


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị về giải tích
hàm giải tích số, phương trình tốn tử, một số phương pháp lặp giải
phương tình phi tuyến f (x) = 0. Phương pháp Newton và một số mở

rộng.
Nội dung của chương này được tham khảo trong các tài liệu [1,3,5,7,8,9].

1.1. Một số kiến thức về giải tích hàm
1.1.1. Khơng gian metric
Định nghĩa 1.1. Cho tập X = ∅. Ánh xạ d : X × X → R được gọi là
metric trên X nếu thỏa mãn 3 điều kiện sau:
i) ∀x, y ∈ X, d (x, y) ≥ 0, d (x, y) = 0 ⇔ x = y;
ii) ∀x, y ∈ X, d (x, y) = d (y, x);
iii) ∀x, y, z ∈ X, d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z).
Cặp (X, d) được gọi là không gian metric. Các phần tử của Xgọi là các
điểm, các tiên đề i), ii), iii) gọi là hệ tiên đề metric, d(x, y) gọi là khoảng
cách giữa hai phần tử x và y.
Định nghĩa 1.2. Cho không gian metric (X, d). Dãy {xn } ⊂ X được

3


gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ , ∀m, n ≥ n0 : d (xm , xn ) < ε
hay
lim d (xm , xn ) = 0.

m,n→∞

Định nghĩa 1.3. Không gian metric (X, d) gọi là đủ nếu mọi dãy Cauchy
trong X đều hội tụ đến một điểm thuộc X.
Định nghĩa 1.4. Cho không gian metric (X, d). Ánh xạ A từ không
gian (X, d) vào chính nó gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số α, 0 ≤ α < 1,
sao cho

d (Ax, Ax ) ≤ αd (x, x ) , ∀x, x ∈ X.
Định lý 1.1. (Nguyên lý Banach về ánh xạ co) Mọi ánh xạ co A ánh xạ
không gian metric đủ (X, d) vào chính nó đều có điểm bất động x duy
¯
nhất, nghĩa là x ∈ X thỏa mãn hệ thức A¯ = x.
¯
x ¯
Ví dụ 1.1. Trong không gian R1 cho ánh xạ A được xác định bởi công
thức
Ax = π − a sin x, |a| < 1.
Khi đó A ánh xạ khơng gian đủ R1 vào chính nó. Hơn nữa,
|Ax − Ax | = |a sin x − a sin x | = 2 |a| cos
≤ 2 |a|

x+x
2

sin

x−x
2

x−x
= |a| |x − x | .
2

Suy ra A là ánh xạ co, vì |a| < 1.
Theo nguyên lý Banach về ánh xạ co, ánh xạ A có điểm bất động duy
nhất x. Ta dễ dàng kiểm tra được điểm bất động duy nhất đó là x = π.
¯

¯
4


Ví dụ 1.2. Cho ánh xạ A ánh xạ nửa khoảng [1, +∞) vào chính nó xác
định bằng cơng thức
1
Ax = x + .
x
Ta có [1, +∞) là một tập hợp con đóng của R1 với metric d(x, y) =
|x − y|. Do đó [1, +∞) cùng với metric của R1 lập thành một không
gian metric đủ.
Giả sử ánh xạ
A : [1, +∞) → [1, +∞)
x → A(x)
là ánh xạ co, suy ra tồn tại duy nhất x0 ∈ [1, +∞) sao cho
Ax0 = x0 ⇔ x0 +

1
1
= x0 ⇔
= 0 (vơ lý).
x0
x0

Vậy A khơng có điểm bất động, do đó A khơng là ánh xạ co.
1.1.2. Khơng gian định chuẩn
Định nghĩa 1.5. Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính
định chuẩn) là khơng gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc
P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, ký hiệu là · và

đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây:
i) ∀x ∈ X, x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ (ký hiệu phần tử không là θ);
ii) ∀x ∈ X, ∀α ∈ P , αx = |α| x ;
iii) ∀x, y ∈ X, x + y ≤ x + y .
Số x được gọi là chuẩn của véctơ x. Ta ký hiệu không gian định chuẩn
5


là (X, · ). Nếu trên X chỉ trang bị một chuẩn ta có thể ký hiệu là X.
Các tiên đề i), ii), iii) gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Định nghĩa 1.6. Dãy điểm {xn } trong không gian định chuẩn X gọi là
dãy cơ bản nếu
lim

m,n→∞

xn − xm = 0.

Định nghĩa 1.7. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach
nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Ví dụ 1.3. Cho khơng gian véctơ thực n chiều Rn . Đối với véctơ bất kì
x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn ta đặt
n

|xj |2 .

x =

(1.1)

j=1

Từ công thức x = d(x, θ) và hệ tiên đề metric suy ra công thức (1.1)
cho một chuẩn trên Rn . Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là
Rn . Dễ thấy Rn là không gian Banach.
Ví dụ 1.4. Cho khơng gian véctơ C[a,b] . Đối với véctơ bất kì x(t) ∈ C[a,b]
ta đặt
x = max |x(t)| .
a≤t≤b

(1.2)

Từ công thức x = d(x, θ) và hệ tiên đề metric suy ra công thức (1.2)
cho một chuẩn trên C[a,b] . Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là
C[a,b] . Dễ thấy C[a,b] là khơng gian Banach.
Ví dụ 1.5. Cho không gian véctơ L[a,b] . Đối với véctơ bất kì x(t) ∈ L[a,b]
ta đặt
b

|x(t)| dt.

x =
a

6

(1.3)


Từ công thức x = d(x, θ) và hệ tiên đề metric suy ra công thức (1.3)

cho một chuẩn trên L[a,b] . Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là
L[a,b] . Dễ thấy L[a,b] là không gian Banach.
Áp dụng Định lý 1.1 cho X là không gian Banach ta có định lý sau:
Định lý 1.2. (Nguyên lý ánh xạ co trong không gian Banach) Cho
không gian Banach Xvà một ánh xạ co T đi từ X vào chính nó, nghĩa
là tồn tại một hằng số M , 0M < 1, thỏa mãn
T v1 − T v2 M v1 − v2 , ∀v1 , v2 ∈ X.
Khi đó, tồn tại duy nhất điểm u thuộc X sao cho u = T u.

1.2. Phương pháp dây cung
Xét phương trình f (x) = 0.
Giả sử hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a, b] và f (a).f (b) < 0. Giả
sử f (x) có đạo hàm cấp hai liên tục và f (x) > 0 trên đoạn [a, b].
Khi đó đồ thị y = f (x) nằm phía dưới dây cung AB với A (a, f (a)),
B (b, f (b)).
Trường hợp 1: Nếu f (a) > 0, ta xây dựng dãy {xn } theo hệ thức

x =b
 0



f (xn )
xn+1 = xn −
(xn − a)
(1.4)

f (xn ) − f (a)




 n ∈ N.
Khi đó ta sẽ có dãy {xn } đơn điệu giảm, bị chặn và
a < x∗ < ... < xn+1 < xn < ... < x0 = b.
7


Trường hợp 2: Nếu f (a) < 0, ta xây dựng dãy {xn } theo hệ thức

x = a
 0



f (xn )
xn+1 = xn −
(b − xn )
(1.5)

f (b) − f (xn )



 n ∈ N.
Khi đó ta sẽ có dãy {xn } đơn điệu tăng, bị chặn và
a = x0 < x1 < ... < xn < xn+1 < ... < x∗ < b.
Giả sử hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a, b], dãy {xn } ⊂ [a, b],
f (x) giữ nguyên dấu và ngoài ra ta có
0 < m ≤ |f (x)| ≤ M < +∞.
Khi đó ta có thể chứng minh được ước lượng sai số sau

|xn − x∗ | ≤

M −m
|xn − xn−1 | ; n = 1, 2, ....
m

Ví dụ 1.6. Tìm nghiệm dương của phương trình sau đây nhờ phương
pháp dây cung với độ chính xác đến ε = 0, 002:
f (x) = x3 − 0, 2x2 − 0, 2x − 1, 2 = 0.
Ta có
f (x) = 3x2 − 0, 4x − 0, 2
f (1) = −0, 6 < 0; f (1, 5) = 1, 425 > 0.
Do đó x∗ ∈ (1; 1, 5).
Mặt khác f (x) > 0 trên (1; 1, 5) và f (x) > 0, ∀x ∈ (1; 1, 5).
Với x0 = 1, áp dụng (1.5), ta có
x1 = 1, 15; x2 = 1, 190; x3 = 1, 198; ....
8


Để ý rằng nghiệm đúng của phương trình trên là x = 1, 2. Vì
|x3 − x∗ | = 0, 002
nên x3 là nghiệm gần đúng chấp nhận được.

1.3. Phương pháp Newton và các mở rộng
1.3.1. Phương pháp Newton (Phương pháp tiếp tuyến)
Cho phương trình
f (x) = 0,

(1.6)

trong đó f (x) là hàm số biến số thực.
Giả thiết các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) Phương trình (1.6) có nghiệm ξ duy nhất trên [a, b],
2
ii) f ∈ C[a,b] và f (x), f (x) không đổi dấu trên [a, b].

Điểm x0 ∈ [a, b] gọi là điểm Fourier của hàm f nếu nó thỏa mãn điều
kiện f (x0 )f (x0 ) > 0.
Chọn xấp xỉ ban đầu x0 là điểm Fourier. Phương trình tiếp tuyến của
đường cong y = f (x) tại điểm M0 (x0 , f (x0 )) có dạng
y = f (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ).
Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến này với trục hoành là
0 = f (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) hay x1 = x0 −

f (x0 )
.
f (x0 )

Làm tương tự như vậy với điểm x1 ta tìm được giao điểm của tiếp tuyến
này với trục hồnh là x2 . Tổng qt ta có
xn+1 = xn −
9

f (xn )
.
f (xn )

(1.7)

Khơng giảm tính tổng qt, hàm f (x) trong phương trình (1.6) có thể
coi có đạo hàm f (x) > 0, nếu khơng ta xét phương trình g(x) = 0
với g = −f . Sau đây ta chỉ xét trường hợp f (x) < 0. Trường hợp
f (x) > 0 hoàn toàn tương tự. Khai triển f (xn ) tại điểm xn−1 theo cơng
thức Taylor, ta có
f (xn ) = f (xn−1 ) + f (xn−1 )(xn − xn−1 ) +

f (ξn−1 )
(xn − xn−1 )2 .
2

Từ (1.7) suy ra
f (xn ) =

f (ξn−1 )
(xn − xn−1 )2 ≥ 0.
2

Mặt khác
f (xn )
f (ξn−1 )(xn − xn−1 )2
xn+1 − xn = −
=−
≥ 0,
f (xn )
2f (xn )
do đó dãy {xn } đơn điệu khơng giảm. Nếu có xn > ξ, thì do f (x) < 0
nên
f (xn ) < f (ξ) = 0.
Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức f (xn ) ≥ 0. Như vậy

xn ≤ xn+1 ≤ ... ≤ ξ,
suy ra tồn tại giới hạn
lim xn = ζ.

n→∞

Ta có từ (1.7):
|f (xn )| = |f (xn )| |xn+1 − xn | ≤ M |xn+1 − xn | ,
trong đó M = sup {|f (x)| : x ∈ [a, b]} .
Cho n → ∞ ta được f (ζ) = 0. Từ giả thiết i) suy ra ζ = ξ.
10


Để đánh giá sai số phương pháp Newton, ta giả thiết |f (x)| ≤ M2
và f (x) ≥ M1 > 0 với mọi x ∈ [a, b] . Mặt khác, ta có
f (xn+1 ) = f (xn+1 ) − f (ξ) = f (¯n+1 )(xn+1 − ξ).
x
Từ đây suy ra
|xn+1 − ξ| ≤

|f (xx+1 )|
.
M1

(1.8)

Sử dụng (1.7) và triển khai Taylor ta có
f (xn+1 ) = f (xn ) + f (xn )(xn+1 − xn ) +
=

f (ξn )
(xn+1 − xn )2
2

f (ξn )
(xn+1 − xn )2 .
2

Từ bất đẳng thức cuối suy ra
|f (xn+1 )| ≤

M2
|xn+1 − xn |2 .
2

Áp dụng (1.8) ta được
|xn+1 − ξ| ≤

M2
|xn+1 − xn |2 .
2M1

(1.9)

Khi n lớn, độ lệch |xn+1 − xn | khá nhỏ. Từ công thức (1.9) suy ra xn+1
rất gần ξ vì |xn+1 − ξ| = O |xn+1 − xn |2 .
Phương pháp Newton có bậc hội tụ bằng 2. (Khái niệm bậc hội tụ sẽ
được nêu trong chương 2.)
1.3.2. Phương pháp Newton - Raphson
Bây giờ ta xét ánh xạ f : Rn → Rn và phương trình

f (x) = 0,
11

(1.10)


trong đó x = (x1 , ..., xn )T ∈ Rn , f (x) = (f1 (x), ..., fn (x))T ∈ Rn . Ta có
  

0
f (x)
 1   
 .  .
f (x) = 0 ⇔  .  =  .  .
.
.
  

0
fn (x)
¯
Giả sử (1.10) có nghiệm duy nhất ξ = (ξ1 , ..., ξn ) ∈ S(x0 , R).
Ta viết phương trình (1.10) dưới dạng:
f (x) − f (x0 ) = −f (x0 ).

(1.11)

Ta có
f (x) − f (x0 ) = f (x0 )(x − x0 ) + o(x − x0 ),
trong đó

lim

x→x0

o(x − x0 )
= 0.
x − x0

Thay f (x) − f (x0 ) ≈ f (x0 )(x − x0 ), trong đó f (x0 ) là đạo hàm Frechet
của f tại x0 , vào (1.11) ta được
f (x0 )(x − x0 ) = −f (x0 ).

(1.12)

¯
Giả sử ánh xạ f có f (x), ∀x ∈ S(x0 , R) và tồn tại [f (x)]−1 , x ∈ S(x0 , R).
Ta có




∂f1 (x0 )
∂f1 (x0 )
···
 ∂x
∂xn 
1





f (x0 ) =  · · ·
.


 ∂fn (x0 )
∂fn (x0 ) 
···
∂x1
∂xn

Phương trình (1.12) là hệ phương trình đại số tuyến tính
f (x0 )x = −f (x0 ) + f (x0 )x0 .
12


Giả sử phương trình (1.12) có nghiệm x1 . Khi đó
−1

x1 − x0 = −[f (x0 )] f (x0 )
−1

⇔ x1 = x0 − [f (x0 )] f (x0 ).
Ta có x1 là nghiệm xấp xỉ đầu tiên của phương trình (1.10).
Tiếp tục, ta viết phương trình (1.10) dưới dạng:
f (x) − f (x1 ) = −f (x1 ).
Lập luận tương tự như trên ta tìm được x2 là nghiệm của phương trình
f (x1 )(x − x1 ) = −f (x1 ).
Khi đó ta có
f (x1 )(x2 − x1 ) = −f (x1 )

−1

⇒ x2 = x1 − [f (x1 )] f (x1 ).
Tương tự như vậy ta được dãy
−1

xk+1 = xk − [f (xk )] f (xk ); k = 0, 1, 2....

(1.13)

(1.13) được gọi là phương pháp Newton - Raphson và ta cũng chứng
minh được
k

xk − ξ ≤ c1 q 2 ; c1 = const, 0 ≤ q < 1.
1.3.3. Phương pháp Newton - Kantorovich
Nhà toán học Liên xô L. Kantorovich đã mở rộng phương pháp Newton cho ánh xạ từ một không gian Banach X vao một không gian Banach
Y.
13


Giả sử X và Y là các không gian Banach, S = S(x0 , R) hình cầu tâm
x0 bán kính R, S ⊂ X.
Xét phương trình tốn tử dạng
P (x) = 0,

(1.14)

trong đó tốn tử phi tuyến P xác định trong hình cầu S, giá trị thuộc
khơng gian Banach Y .

Các xấp xỉ liên tiếp được xây dựng như sau:
Lấy phần tử x0 ∈ S. Giả sử toán tử P có đạo hàm liên tục P (x) trong
S. Thay thế phương trình (1.14) bởi phương trình tương đương sau
P (x0 ) − P (x) = P (x0 ).
Giả sử x∗ là nghiệm của phương trình (1.14). Giá trị P (x0 ) − P (x∗ ) được
thay bởi giá trị gần đúng P (x0 )(x0 −x∗ ). Ta có thể suy luận rằng nghiệm
của phương trình
P (x0 )(x0 − x) = P (x0 )
sẽ gần nghiệm x∗ . Vì vậy xấp xỉ đầu tiên x1 được chọn là nghiệm của
phương trình nói trên, tức là
−1

P (x0 )(x0 − x1 ) = P (x0 ) ⇒ x1 = x0 − [P (x0 )] P (x0 ).
Những xấp xỉ tiếp theo được xác định tương tự từ những phương trình
tuyến tính sau
P (xn )(xn − x) = P (xn ); n = 0, 1, 2...,
Gọi xn+1 là nghiệm của phương trình nói trên:
P (xn )(xn − xn+1 ) = P (xn ).
14


Nếu tồn tại [P (xn )]−1 , thì
−1

xn+1 = xn − [P (xn )] P (xn ); n = 0, 1, 2....

(1.15)

Phương pháp xây dựng các xấp xỉ xn như trên gọi là phương pháp
Newton - Kantorovich.

Nếu dãy {xn } hội tụ đến x∗ và x0 được chọn gần x∗ thì các tốn tử
P (xn ) và P (x0 ) sẽ gần nhau. Điều đó làm cơ sở cho việc thay thế công
thức (1.15) bằng công thức đơn giản hơn
−1

yn+1 = yn − [P (x0 )] P (yn ); n = 0, 1, 2...; y0 ≡ x0 .

(1.16)

Phương pháp xây dựng dãy {yn } như trên được gọi là phương pháp
Newton - Kantorovich cải biên.

Sau đây ta nêu một số điều kiện đủ để dãy (1.15) hoặc (1.16) hội tụ
dựa trên phương pháp làm trội (majorant):
Định lý 1.3. Giả sử các điều kiện sau đây được thỏa mãn
1) toán tử P được xác định trong hình cầu đóng S và có đạo hàm
cấp hai liên tục P (x) trong S; S = S(x0 , R);
2) tồn tại hàm số ψ(u)(u0 ≤ u ≤ u ), u = u0 + r, r > 0 hai lần khả
vi liên tục và ϕ(u) = u + c0 ψ(u);
3 ) tồn tại toán tử tuyến tính liên tục Γ0 = [P (x0 )]−1 ;
1
4) c0 = − ψ(u0 ) > 0;

5) Γ0 P (x0 ) ≤ c0 ψ(u0 );
6) Γ0 P (x) ≤ c0 ψ (u), nếu x − x0 ≤ u − u0 ≤ r;
15


7) phương trình
ψ(u) = 0

(1.17)

có ít nhất một nghiệm trong đoạn [u0 , u ] .
Khi đó dãy xây dựng theo phương pháp Newton - Kantorovich cải biên
(1.16) hội tụ đến nghiệm của phương trình (1.14). Tốc độ hội tụ được
xác định bởi công thức
yn − x∗ ≤ u − v n ,
trong đó u là nghiệm nhỏ nhất của phương trình (1.17); v n được xác
định bởi các đẳng thức
v n = v n−1 + c0 ψ(v n−1 ); n = 1, 2...; v 0 = uo .
Định lý 1.4. Giả sử các điều kiện của Định lý 1.3 được thỏa mãn, ngồi
ra
ψ(u ) ≤ 0.
Khi đó nếu phương trình (1.17) có một nghiệm duy nhất trong [u0 , u ],
thì phương trình (1.14) có một nghiệm duy nhất.
Định lý 1.5. Giả sử các điều kiện của Định lý 1.3 được thỏa mãn. Khi
đó các nghiệm xấp xỉ Newton - Kantorovich (1.15) hội tụ đến nghiệm
của phương trình (1.14). Tốc độ hội tụ được xác định bởi công thức
xn − x∗ ≤ u − un ,
trong đó u là nghiệm nhỏ nhất của phương trình (1.17), cịn un được xác
định bởi các đẳng thức
un = un−1 + cn−1 ψ(un−1 ), u0 = u0 ,
16


với
cn = −

1

.
ψ (un )

Trong các định lý ở trên, hàm số ψ(u) cần được xác định. Vì vậy khi
ứng dụng gặp nhiều khó khăn. Sau đây chúng ta nêu ra một định lý
nhằm khắc phục nhược điểm trên.
Định lý 1.6. Giả sử toán tử P hai lần khả vi liên tục trong S và các
điều kiện sau đây được thực hiện:
1) tồn tại tốn tử tuyến tính liên tục Γ0 = [P (x0 )]−1 ;
2) Γ0 P (x0 ) ≤ η;
3) Γ0 P (x) ≤ k, x ∈ S. Khi đó nếu
√
1 − 1 − 2h
1
η,
h = kη ≤ , r ≥ r0 =
2
h
thì phương trình (1.14) có ngiệm x∗ và nghiệm đó là giới hạn của dãy
các xấp xỉ Newton - Kantorovich (1.15) và ((1.16). Nếu
√
1 + 1 − 2h
r < r1 =
η khi h < 1/2,
h
r ≤ r1 khi h = 1/2,
thì nghiệm của phương trình (1.14) là duy nhất.
Tốc độ hội tụ được xác định bởi các công thức
nη
1

(2h)2 ,
2n
h
n+1
√
η
1
≤
,h < .
1 − 1 − 2h
h
2

x∗ − xn ≤
x∗ − y n

17


Chương 2
PHƯƠNG PHÁP LẶP
Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu các phương pháp lặp giải
phương trình f (x) = 0, trong đó f là một hàm số biến số thực. Vấn đề
chính được bàn đến là bậc của hàm lặp. Trong chương này cũng trình
bày các định lý về tăng bậc hội tụ, định lý về nâng bậc hội tụ.
Trong chương này tác giả sử dụng phần lớn các kết quả trong tài liệu
tham khảo [1, 2, 10].

2.1. Phân loại các hàm lặp
2.1.1. Một số khái niệm cơ bản

a) Giả sử f : (a, b) → R. Nếu ∃α ∈ (a, b) sao cho f (α) = 0 thì ta nói
α là khơng điểm của hàm f trên (a, b) hay là α là nghiệm của phương
trình f (x) = 0.
b) Nếu f (x) = (x − α)m g(x) trong đó g(x) bị chặn trong lân cận của
điểm α, g(α) = 0, m là số nguyên dương thì m được gọi là bội của không
điểm α, nếu m = 1 thì ta nói α là nghiệm đơn, nếu m > 1 thì ta nói α
là nghiệm bội.
c) Giải sử (xn ) là dãy hội tụ đến α, α là nghiệm của phương trình
f (α) = 0. Hàm ϕ thiết lập phép tương ứng của bộ các số xi , xi−1 ..., xi−n

18


với xi+1 :
xi+1 = ϕ (xi ; xi−1 , ..., xi−n )
gọi là hàm lặp.
2.1.2. Hàm lặp một điểm
Giả sử xi+1 chỉ xác định theo thông tin mới của xi , từ đó ta có
xi+1 = ϕ (xi ) .

(2.1)

Khi đó ϕ được gọi là hàm lặp một điểm. Hầu hết các hàm lặp được sử
dụng để tìm nghiệm là các hàm lặp một điểm, ví dụ quen thuộc đã biết
là hàm lặp Newton.
Bây giờ giả sử xi+1 được xác định theo thông tin mới của xi và thông
tin cũ của xi−1 , ..., xi−n . Từ đó
xi+1 = ϕ (xi ; xi−1 , ..., xi−n ) .

(2.2)

Khi đó ϕ được gọi là hàm lặp một điểm có nhớ. Dấu chấm phẩy trong
(2.2) tách điểm sử dụng thông tin mới với các điểm sử dụng thông tin
cũ. Loại hàm lặp này đang thu hút sự quan tâm đặc biệt bởi vì thơng
tin cũ được lưu dễ dàng trong bộ nhớ máy tính. Thực tế trường hợp
được quan tâm là khi cùng một thơng tin, ví dụ giá trị của f và f , được
sử dụng tại mọi điểm. Ví dụ quen thuộc về hàm lặp có nhớ là hàm lặp
trong phương pháp dây cung.

19


2.1.3. Hàm lặp nhiều điểm
Giả sử xi+1 được xác định theo thông tin mới của xi , w1 (xi ), w2 (xi ), ...,
wk (xi ), k ≥ 1, thông tin cũ khơng được sử dụng. Từ đó ta có
xi+1 = ϕ [xi , w1 (xi ), w2 (xi ), ..., wk (xi )] .

(2.3)

Khi đó ϕ được gọi là hàm lặp nhiều điểm.
2.1.4. Bậc hội tụ
Chúng ta sẽ giới thiệu khái niệm quan trọng là khái niệm bậc của một
hàm lặp. Giả sử x0 , x1 , ..., xi , ... là dãy hội tụ đến α. Giả sử ei = xi − α.
Định nghĩa 2.1. Nếu tồn tại một số thực p và một hằng số C khác
không sao cho khi i → ∞ thì
|ei+1 |
→ C,
|ei |p

(2.4)

Khi đó p được gọi là bậc của dãy (xn )và C được gọi là hằng số sai số
tiệm cận.
Chúng ta sẽ làm rõ định nghĩa trên. Để thiết lập mối quan hệ giữa
khái niệm bậc với hàm lặp sinh ra xi . Ta có thể viết (2.4) dưới dạng
|ϕ(xi ) − α|
→ C khi i → ∞.
|xi − α|p

(2.5)

Định nghĩa 2.2. Nếu tồn tại số thực p và hằng số C khác khơng thỏa
mãn (2.5) thì ta nói hàm lặp ϕ có bậc p.
Ta nhận thấy bậc p khơng phụ thuộc vào dãy {xi } sinh bởi hàm ϕ
và hàm ϕ có liên tục hay khơng. Từ nay về sau ta sẽ sử dụng khái niệm
20


bậc của hàm lặp. Ta biết rằng ϕ là một phiếm hàm phụ thuộc vào f .
Do đó bậc của ϕ có thể khác nhau với các lớp khác nhau của f . Với lớp
f và ϕ mà chúng ta sẽ nghiên cứu, ta sẽ quan tâm đến ϕ có bậc đã biết
với mọi f mà không điểm của f có bội số đã biết. Từ nay về sau ta sẽ
xét đến những hàm f có khơng điểm đơn. Kí hiệu Ip là lớp các hàm lặp
có bậc p. Để chỉ ra ϕ thuộc lớp hàm lặp bậc p, ta viết
ϕ ∈ Ip .

(2.6)

Trong các định nghĩa đã nêu ở trên bậc liên quan đến bội của nghiệm.
Ta nói bậc khơng phụ thuộc vào bội của nghiệm của phương trình, nếu

bậc là như nhau với mọi nghiệm có số bội khác nhau.
Trong trường hợp ngược lại ta nói bậc phụ thuộc vào bội của nghiệm.
Trong trường hợp đặc biệt bậc p = 1 với mọi nghiệm bội và bậc p > 1
với mọi nghiệm đơn thì ta nói bậc là tuyến tính đối với các nghiệm bội.
Bậc tuyến tính cịn gọi là bậc nhất.
Bậc bình phương cịn gọi là bậc hai.
Chú ý rằng nếu bậc tồn tại thì nó là duy nhất. Thật vậy, giả sử một
dãy hội tụ có hai bậc p1 và p2 . Giả sử p2 = p1 + δ, δ > 0. Khi đó
|xi+1 − α|
|xi+1 − α|
= C2 .
p2 = lim
i→∞ |xi − α|
i→∞ |x − α|p1 +δ
i
lim

Từ đó suy ra
|xi+1 − α|
p = 0.
i→∞ |xi − α|
Điều này mâu thuẫn với giả thiết vì giới hạn sau cùng là khác không.
lim

Ta thấy hàm lặp có nhớ khơng có bậc ngun. Nếu ϕ(p+1) liên tục và
ϕ(x) − α = C(x − α)p [1 + o(x − α)] ,
21

(2.7)