Rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải một số phương trình logarit

PHẦN 1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Phương trình logarit là một trong những phần trong chương trình thi đại
học. Khi gặp những loại phương trình này, học sinh có thể giải quyết bằng nhiều
cách, một trong những cách có khả năng phát huy tính tích cực, sáng tạo của học
sinh là phương pháp đặt ẩn phụ. Học sinh chưa thực sự giải quyết tốt trong vấn
đề lựa chọn ẩn phụ, chính vì vậy tôi chọn đề tài “Rèn luyện cho học sinh kỹ
năng sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải một số phương trình logarit”.
PHẦN 2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Thực trạng vấn đề
Khi gặp phương trình logarit phải sử dụng đến phương pháp đặt ẩn phụ,
nhiều học sinh còn lúng túng trong cách giải quyết, chưa nhìn thấy cách đặt ẩn
phụ hợp lý.
2. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài đã sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp.
3. Đối tượng nghiên cứu.
Ôn thi đại học cho học sinh lớp 12 trường THPT Ba Đình
4. Cách thức thực hiện
Để thực hiện đề tài này, tôi phân thành 5 dạng bài tập tương ứng với 5
phương pháp đặt ẩn phụ. Các bài đưa ra đề là các bài trong đề thi đại học và các
bài tập tương tự
5. Nội dung
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Phương trình có dạng f(x) = g(x), đặt cả 2 vế bằng t và chuyển thành hệ
phương trình rồi đưa ra phương trình trung gian.
)(log xf
a
= u ⇔ f(x) = a
u

- Nếu đặt
xt

a
log=
với x
〉
0 thì
kk
a
tx =log
,
t
a
x
1
log =
với 0
〈
x ≠ 1
- Nếu đặt
x
b
at
log
=
thì
a
b
xt
log
=
1

B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
I. Dạng 1. Đặt cả hai vế của phương trình logarit bằng 1 ẩn phụ mới.
Phương pháp đặt ẩn phụ thường được áp dụng đối với những phương trình
logarit có thể đưa về dạng phương trình mà 2 vế là 2 biểu thức logarit khác
nhau. Trong những trường hợp này thường giải phương trình bằng cách đặt cả 2
vế bằng u rồi đưa về phương trình mũ và giải bằng phương pháp chiều biến
thiên hàm số.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
xx
25
log)3(log =+
(1)
Giải:
Điều kiện xác định: x
〉
-3
Đặt
xx
25
log)3(log =+
= u.
Phương trình đã cho trở thành hệ:





=
=+
u

u
x
x
2
53
⇒ 5
u
- 3 = 2
u
⇔ 2
u
- 3 = 5
u

⇔
1
5
1
3
5
2
=






+







uu
(2)
- Nhận thấy u = 1 là nghiệm của phương trình (2)
- Nếu u
〉
1 thì
1
5
3
5
2
5
1
3
5
2
=+〈






+







uu
⇒ u
〉
1 không phải là nghiệm của phương trình (2)
- Nếu u
〈
1 thì
1
5
3
5
2
5
1
3
5
2
=+〉






+







uu

⇒ u
〈
1 không phải là nghiệm của phương trình (2)
Do đó u = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (2)
Khi u = 1 thì x = 2
1
= 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 2
Nhận xét: Phương trình (1) có thể cho dưới dạng
x
x
=
+ )3(log
5
2
(*)
Sau khi lấy logarit hoá 2 vế với cơ số 2 thì phương trình (*) sẽ chuyển thành
phương trình (1). Cũng có thể tổng quát phương trình trên thành dạng
xa
cx
b
=

+ )(log
với a + c = b.
2
Ví dụ 2: Giải phương trình:
)1(loglog
23
+= xx
(3)
Giải:
Điều kiện xác định: x
〉
0
Đặt
)1(loglog
23
+= xx
= u.
Phương trình đã cho trở thành hệ:





=+
=
u
u
x
x
21

3
⇔





−=
=
12
3
u
u
x
x
⇔
( )
123 −=
u
u
⇔
1
2
3
2
1
=









+






u
u
(4)
- Nhận thấy u = 2 là nghiệm phương trình
- Nếu u
〉
2 thì
〈








+







u
u
2
3
2
1
1
2
3
2
1
2
2
=








+







⇒ u
〉
2 không là nghiệm phương trình (4)
- Nếu u
〈
2 thì
〉








+






u
u
2
3

2
1
1
2
3
2
1
2
2
=








+






⇒ u
〈
2 không là nghiệm phương trình (4)
Do đó u = 2 là nghiệm duy nhất của (4)
⇔ x = 3

2
= 9 là nghiệm duy nhất của (3)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 9
Nhận xét: Phương pháp trên cũng được áp dụng để giải bất phương trình logarit
cùng dạng, chẳng hạn bất phương trình
x
3
log
〉
)1(log
2
+x
, sau khi đặt ẩn phụ
như trên thì xét u
〉
2; u
〈
2.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
xx
x
6
log
2
log)3(log
6
=+
(5)
Giải:
Điều kiện xác định: x

〈
0
Đặt
xx
x
6
log
2
log)3(log
6
=+
= t
Phương trình đã cho trở thành hệ:





=
=+
t
t
x
x
x
6
23
6
log

Thế (b) vào (a) ta được: 6
t
+ 3
t
= 2
t
3
(a)
(b)
⇔ 3
t
+
1
2
3
=






t
(c)
- Nhận thấy t = -1 là nghiệm của (c).
- Nếu t
〉
-1 thì 3
t
+

〉






t
2
3
3
-1
+
1
2
3
1
=






−

⇒ t
〉
-1 không là nghiệm phương trình (c).
- Nếu t

〈
-1 thì 3
t
+
〈






t
2
3
3
-1
+
1
2
3
1
=






−

⇒ t
〈
-1 không là nghiệm phương trình (c).
⇒ t = -1 là nghiệm duy nhất
Khi đó x = 6
-1
=
6
1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x =
6
1
Ví dụ 4: Giải phương trình: lg(x
2
- x - 6) = lg(x + 2) + 4 (6)
Giải:
Điều kiện xác định: x
〉
3
(6) ⇔ lg(x
2
- x - 6) - lg(x + 2) = 4 - x
⇔
x
x
xx
−=
+
−−
4

2
6
lg
2
⇔ lg(x - 3) = 4 - x
Đặt lg(x - 3) = 4 - x = u
⇔ x = 10
u
+ 3 = 4 - u
⇔ 10
u
= 1 - u
- Nhận thấy u = 0 là nghiệm phương trình
- Nếu u
〉
0 thì 10
u

〉
10
0
= 1 ⇔ 1 - u
〈
1
⇒ u
〉
0 không là nghiệm phương trình
- Nếu u
〈
0 thì 10

u

〈
10
0
= 1 ⇔ 1 - u
〉
1
⇒ u
〈
0 không là nghiệm phương trình
⇒ u = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình
Khi đó x = 4 - 0 = 4
4
Vậy x = 4 là nghiệm phương trình.
Nhận xét: Khi gặp phương trình dạng
)(
)(
)(
log xf
xv
xu
a
=
thì không phải lúc nào
cũng giải quyết được như phương trình (*) mà nếu u(x) - v(x) = f(x) thì phương
trình sẽ được viết lại là
)()(
)(
)(

log xvxu
xv
xu
a
−=
rồi sử dụng phương pháp hàm số.
* Các bài tập tương tự:
Giải các phương trình sau:
1.
)1(log)2(log
23
+=+ xx
2.
xx
7
3
2
log)1(log =+
3.
xxx
4
8
4
6
log)(log2 =+
4.
)2(loglog
37
+= xx
5.

[ ]
)2(8log)4(log
2
2
2
+=+− xxx
II. Dạng 2. Dùng ẩn phụ để chuyển phương trình logarit thành phương
trình với 1 ẩn phụ.
Dạng này được áp dụng đối với những phương trình mà sau khi đặt 1 số
hạng trong phương trình bằng t thì các số hạng còn lại liên quan đến ẩn có thể
đưa thành t
k
hoặc
t
1
, đặc biệt phương pháp này rất hay được sử dụng ở những
phương trình logarit có chứa tham số.
Ví dụ 1: (Đại học khối A năm 2008).
Giải phương trình:
4)12(log)12(log
2
)1(
2
)12(
=−+−+
+−
xxx
xx
(1)
Giải:

Điều kiện xác định: x
〉
2
1
; x ≠ 1
(1) ⇔
( )( )
[ ]
++
−
11-2xlog
)12(
x
x
4)12(log
2
)1(
=−
+
x
x
⇔
( )
3)12(log21log
)1(
)12(
=−++
+
−
xx

x
x
Đặt t =
( )
1log
)12(
+
−
x
x
với t ≠ 0
Phương trình viết theo t thành: t +
3
2
=
t
⇔ t
2
- 3t + 2 = 0
5
Giải phương trình được t = 1 và t = 2
- Với t = 1, tìm được x = 2
- Với t = 2, tìm được x =
4
5
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 2 và x =
4
5
.
Ví dụ 2: (Cao đẳng khối A - 2008)

Giải phương trình:
021log6)1(log
2
2
2
=++−+ xx
(2)
Giải:
Điều kiện xác định: x
〉
-1
(2) ⇔
02)1(log3)1(log
2
2
2
=++−+ xx
Đặt t =
)1(log
2
+x
, phương trình viết theo t thành
t
2
- 3t + 2 = 0 ⇔



=
=

2
1
t
t
- Với t = 1 thì
)1(log
2
+x
=1 ⇔ x = 1
- Với t = 2 thì
)1(log
2
+x
⇔ x = 3
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 1 và x = 3
Ví dụ 3: (Đại học khối A - 2002)
Giải phương trình
051loglog
2
3
2
3
=−++ xx
(3)
Giải:
Điều kiện xác định x
〉
0
Đặt t =
1log

2
3
+x
với t
1≥
Phương trình (3) viết theo t thành:
06
2
=−+ tt
Giải phương trình với điều kiện t
≥
1, tìm được nghiệm t = 2
Khi đó
1log
2
3
+x
= 2 ⇔




−=
=
3log
3log
3
3
x
x

⇔




=
=
− 3
3
3
3
x
x
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm
3
3=x
và
3
3
−
=x
* Các bài tập tương tự:
Giải các phương trình sau:
1.
12log)2(log
22
2
=
x
x

6
2.
3)4(log2log
22
=+ x
x
3.
0log40log14log
4
3
16
2
2
=+− xxx
xx
4.
1)25.2(log)15(log
42
=−−
xx
5.
1log
5
log
2
55
=+ x
x
x
6.

2)23.2(log)13(log
22
=−−
xx
7.
2log)2(log
2
2
=++
+
xx
x
x
8.
)243(log1)243(log
2
3
2
9
+−=++− xxxx
III. Dạng 3. Dùng ẩn phụ để chuyển phương trình logarit ẩn x thành 1
phương trình với 1 ẩn phụ nhưng hệ số vẫn chứa x.
Có những phương trình khi đặt ẩn phụ thì không chuyển phương trình hoàn
toàn theo ẩn phụ mới. Khi đó, ta để phương trình với 2 ẩn và coi 1 ẩn phụ là
tham số. Trong những trường hợp này, ta hãy chuyển về một phương trình bậc 2
có biệt thức
∆
là số chính phương.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
16)2(log)2(4)2(log)3(

3
2
3
=+++++ xxxx
(1)
Giải:
Điều kiện xác định: x
〉
-2
Đặt t =
)2(log
3
+x

Phương trình (1) trở thành (x+3)t
2
+ 4(x+2)t – 16 = 0
∆
’ = [2(x + 4)]
2
⇒




+
=
−=
3
4

4
x
t
t
- Với t = -4 thì
)2(log
3
+x
= -4
⇔
81
161
−=x
- Với t =
3
4
+x
thì
)2(log
3
+x
=
3
4
+x
(*)
Nhận thấy x = 1 là nghiệm của (*)
7
+ Với x
〉

1 thì





〈
+
〉+
1
3
4
1)2(log
3
x
x
Nên x
〉
1 không phải là nghiệm của phương trình (*)
+ Với x
〈
1 thì





〉
+
〈+

1
3
4
1)2(log
3
x
x
Nên x
〈
1 không phải là nghiệm của phương trình (*)
Do đó x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (*)
Ví dụ 2: Giải phương trình:
0log2)4(log.lglg
22
2
=+− xxxx
(2)
Giải:
Điều kiện xác định: x
〉
0
Phương trình (2) trở thành
0log2lg)log2(lg
22
2
=++− xxxx
Đặt t = lgx. Khi đó phương trình thành
0log2)log2(
22
2

=++− xtxt
∆
=
2
2
)log2( x−
⇒



=
=
xt
t
2
log
2
⇔





=
=
2lg
lg
lg
2lg
x

x
x
⇔



=
=
0lg
2lg
x
x
⇔



=
=
1
100
x
x
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 1 và x = 100
* Các bài tập tương tự
Giải các phương trình sau:
1.
05)1lg()5()1(lg
22222
=−+−++ xxxx
2.

072log)3(2log
2
2
2
=−+−− xxxx
3.
016)2(log)2(4)2(log)3(
3
2
3
=−+++++ xxxx
4.
03log)4(log
2
2
2
=+−−− xxxx
5.
062)1(log)5()1(log
3
2
3
=+−+−++ xxxx
6.
05)1lg()5()1(lg
22222
=−+−++ xxxx
7.
016)1(log)1(4)1(log)2(
3

2
3
=−+++++ xxxx
8
IV. Dạng 4. Dùng 2 ẩn phụ để chuyển phương trình logarit thành một
phương trình với 2 ẩn phụ mới.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
23
322
1
log
2
2
2
3
+−=
+−
++
xx
xx
xx
(1)
Giải:
Đặt u =
332
2
+− xx
, v =
1
2

++ xx
⇒ u – v = x
2
– 3x + 2
Phương trình viết theo u, v thành
vu
u
v
−=
3
log
⇔
vu
u
v
−=
3
log
⇔
vuuv −=−
33
loglog
⇔
uuvv +=+
33
loglog
(*)
Xét hàm số f(t) =
tt +
3

log
với t
〉
0
Có f’(t) =
1
3ln.
1
+
t

〉
0 với t
〉
0
⇒ hàm số f(t) đồng biến và liên tục với t
〉
0
Do đó (*) ⇔ u = v
⇔ 2x
2
– 2x + 3 = x
2
+ x + 1 ⇔



=
=
2

1
x
x
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 1 và x = 2
Nhận xét: Việc phát hiện ra cách đặt ẩn phụ khác nhờ nhận thấy mối quan hệ
của biểu thức trong dấu logarit và vế phải.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
2
loglog
1)22()22(
22
xx
xx
+=−++
(2)
Giải:
Điều kiện xác định: x
〉
0
Đặt t =
x
2
log
⇒ x = 2
t
Phương trình (2) viết lại theo t thành
tttt
41)22(2)22( +=−++
Đặt u =
t

)22( +
9
v =
tt
)22(2 −
u + v = 1 + uv
⇔ (u - 1)(1 - v) = 0
⇔



=
=
1
1
v
u
⇔ t = 0 ⇔
x
2
log
=0 ⇔ x = 4
Ví dụ 3: Giải phương trình:
( )
[ ]
02)(log1log
2
2
2
2

=−−+− xxxx
(3)
Giải:
Điều kiện xác định: x
〉
1
Phương trình (3) ⇔
02)(loglog
)(
log
2
22
22
=−−+
−
xxx
x
xx
Đặt



=
−=
xv
xxu
2
2
2
log

)(log
Khi đó phương trình tương đương với: 2u + v – uv – 2 = 0
⇔ (u - 1)(v - 2) = 0
⇔



=
=
2
1
v
u
⇔



=
=−
2log
1)(log
2
2
2
x
xx
⇔




=
=
4
2
x
x
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2 và x = 4
Ví dụ 4: Giải phương trình:
xxxxx
3
2
3
2
log2)1(log +=+++
(4)
Giải:
Điều kiện xác định: x
〉
0
Phương trình (4) ⇔
3log)1(loglog12
3
2
33
2
+++−=+− xxxxx

⇔
)1(log3log12
2

33
2
++−=+− xxxxx
Đặt u = x
2
+ x + 1, v = 3x
Khi đó phương trình viết theo u, v thành:
uvvu
33
loglog −=−

⇔
uuvv
33
loglog +=+
Xét hàm số f(t) =
tt
3
log+
trên (0; +∞)
⇒
3ln
1
1)(
'
t
tf +=

〉
0

∀
t
〉
0
10
Hàm số f(t) đồng biến và liên tục trên (0; +∞)
Suy ra f(u) = f(v) ⇔ u = v
⇔ x = 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1
* Các bài tập tương tự:
Giải phương trình:
1.
23
342
1
log
2
2
2
2
++=
++
++
xx
xx
xx

2.
23)542(log)3(log
22

3
2
3
++=++−++ xxxxxx
3.
2
3
2
3
2log)1(log xxxxx −=−++
4.
1
192
lg2)1lg()192lg()1lg(
2
23
2232
+
+−−
=++−−−+
x
xxx
xxxxx
5.
0log.loglogloglog
3232
2
2
=−+− xxxxx
6.

6)3lg(2)6lg(
2
++=+−+ xxxx
V. Dạng 5. Sử dụng 1 ẩn phụ chuyển phương trình logarit thành một hệ
phương trình với 1 ẩn phụ và 1 ẩn x.
Đối với những phương trình có thể biến đổi về dạng f(x; ϕ(x)) = 0 thì đặt



=
=
0);(
)(
yxf
xy
ϕ
Các hệ thu được thường là các hệ đối xứng
Ví dụ 1: Giải phương trình:
11loglog
2
2
2
=++ xx
Giải:
Điều kiện xác định: x
〉
0
Đặt
xu
2

log=
với u
≥
-1 thì phương trình viết theo u thành:
11
2
=++ uu
⇔
11
2
+=− uu
⇒ -1
≤
u
≤
1
Đặt v =
1+u
với điều kiện 0
≤
u
≤

2
Khi đó phương trình chuyển thành hệ
11






−=
−=
vv
uu
1
1
2
2
⇔ u
2
– v
2
= v - u
⇔ (u + v)(u + v + 1) = 0
⇔



=+−
=+
01
0
vu
vu
⇔



−=

−=
1vu
vu
- Xét u = -v được phương trình
u
2
– u – 1 = 0
⇔






+
=
−
=
2
51
2
51
u
u
⇔
2
51
2
−
=x

- Xét u – v = 0 được phương trình u
2
+ u = 0



−=
=
1
0
u
u
⇔




=
=
2
1
1
x
x
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm x = 2,
2
1
=x
,
2

51
2
−
=x
Ví dụ 2: Giải phương trình
1)56(log67
7
1
+−=
−
x
x
Giải:
Điều kiện xác định:
6
5
〉x
Đặt
)56(log1
7
−=− xy
Khi đó phương trình chuyển thành hệ:



−=−
+−=
−
)56(log1
1)1(67

7
1
xy
y
x
⇔





−=
−=
−
−
567
567
1
1
x
y
y
x

⇔ 7
x-1
+ 6x = 7
y-1
+ 6y (2)
Xét hàm số f(t) = 7

t-1
+ 6t là hàm đơn điệu
Do đó từ (2) ⇒ x = y
Khi đó (1) có dạng 7
x-1
= 6x – 5
⇔ 7
x-1
- 6x + 5 = 0
Đặt g(x) = 7
x-1
- 6x + 5 trên miền D = (
6
5
; +
∞
)
12
(1)
g’(x) = 7
x-1
ln
2
7
〉
0
∀
x ∈ D
⇒ Phương trình g(x) = 0 có không quá 2 nghiệm trên D
Nhận thấy g(1) = g(2) = 0

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 1 và x = 2
* Các bài tập tương tự:
Giải các phương trình sau:
1.
5lg4lg1lg
2
++=+ xxx
2.
5log13log41log3
2
2
22
−+−=+ xxx
3.
3
2
3
2
6log3.32log −=+ xx
4.
12)15(log36
6
+++= xx
x
PHẦN III: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM
13
1. Kết quả nghiên cứu.
Để kiểm tra hiệu quả của đề tài, tôi tiến hành kiểm tra 2 đối tượng có chất
lượng tương đương là lớp 12K và lớp 12M trường THPT Ba Đình, trong đó lớp
12M chưa được giới thiệu phương pháp đặt ẩn phụ trên để giải toán. Với hình

thức kiểm tra là làm bài 45 phút với câu hỏi như sau:
ĐỀ KIỂM TRA (45 phút)
Giải các phương trình sau:
a)
3loglog
2
9log
222
3. xxx
x
−=
b) 2
x
x
=
+ )1(log
3
c)
)2523(log)25(log
74
++=+
xx
d)
0)21236(log)9124(log
2
)32(
2
)73(
=+++++
++

xxxx
xx
Kết quả thu được như sau:
Lớp Sĩ số
Điểm 〈 5 Điểm ∈ [5;8) Điểm ∈ [8;10]
Số lượng % Số lượng % Số lượng %
12K 46 2 4,34 28 60,86 16 34,80
12M 45 10 22,22 30 66,66 5 11,12
2. Bài học kinh nghiệm
Qua đề tài, tôi thu được 1 số bài học sau:
- Phải cho học sinh tiếp xúc với nhiều bài toán với các cách giải khác nhau
- Rèn luyện cho học sinh phân tích bài toán để tìm lời giải tối ưu nhất
- Rèn luyện cho học sinh cách trình bày chặt chẽ, cô đọng.
KẾT LUẬN
14
Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ trên để giải toán tạo điều kiện cho học
sinh sự linh hoạt, sáng tạo trong giải toán, cho bài toán lời giải ngăn gọn, sáng
sủa hơn.
Tôi đã ứng dụng sáng kiến này cho các buổi ôn thi đại học ở các lớp 12K,
12M trường THPT Ba Đình đã cho kết quả tốt.
Tuy nhiên, do thời gian có hạn nên trong phạm vi bài viết, tôi cũng chỉ mới
giải quyết 1 số dạng toán. Mong các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để có 1
cách khác thác tốt cho các bài toán thuộc thể loại này. Tôi xin chân thành cảm
ơn!
Nga Sơn, ngày 1 tháng 5 năm 2011
Tác giả
Mai Thị Hiền
15