Phương pháp pha dừng khai triển tiệm cận tích phân loại Fourier

Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Một số kiến thức về giải tích tiệm cận . . . . . . . 4
1.1. Một số khái niệm về bậc . 4
1.1.1. Lời dẫn . . 4
1.1.2. Các khái niệm về “không” bậc. . 6
1.1.3. Chú ý . . . 8
1.1.4. Một số ví dụ về bậc. . 8
1.1.5. Nhận xét . 9
1.2. Dãy tiệm cận và khai triển tiệm cận . 9
1.2.1. Khái niệm và ví dụ về dãy tiệm cận . . 9
1.2.2. Khái niệm về khai triển tiệm cận . 10
1.2.3. Ví dụ và nhận xét về khai triển tiệm cận của tích phân 11
1.2.4. Một số tính chất của khai triển tiệm cận . 14
1.3. Hàm Gamma 18
Chương 2. Phương pháp pha dừng khai triển tiệm cận tích
phân loại Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1. Phương pháp tích phân từng phần 22
2.2. Dạng tương tự của Bổ đề Watson . . 25
2.3. Phương pháp pha dừng . 27
2.3.1. Ý tưởng của phương pháp . 27
i
2.3.2. Phương pháp pha dừng. . 29
2.3.3. Một số ví dụ . . 31
2.4. Áp dụng của phương pháp pha dừng . 33
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
ii
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Khi giải quyết nhiều vấn đề trong lĩnh vực Vật lý dẫn đến giải một số

các phương trình Toán học mà nghiệm của nó được biểu diễn dưới dạng
các tích phân. Có khá nhiều tích phân như vậy được gắn với những hàm
đặc biệt như hàm Bessel, các hàm siêu hình học, Ngoài ra, cũng phải
kể đến một công cụ rất quan trọng để giải quyết các bài toán về phương
trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là các
phép biến đổi tích phân. Chẳng hạn, nghiệm của bài toán Cauchy đối
với phương trình Sch¨ordinger
iΦ
t
+ Φ
xx
= 0
được cho bởi công thức
Φ(x, t) =
1
2π
+∞

−∞

Φ
0
(k)e
ikx−ik
2
t
dk;
ở đó

Φ

0
(k) là biến đổi Fourier của dữ kiện đầu Φ(x, 0). Mặc dù các tích
phân như vậy cho ta nghiệm chính xác của bài toán, nhưng về mặt định
lượng của chúng là không hẳn được rõ ràng. Để giải thích được ý nghĩa
cơ bản về phía cạnh Vật lý, cũng như về mặt Toán học đối với những
nghiệm này, người ta thường phải nghiên cứu dạng điệu của chúng khi
các biến x và t khá lớn. Thông thường, như đối với các bài toán về
chuyển động sóng lớn, quá trình giới hạn thường được quan tâm đến
1
là khi t → ∞ mà c =
x
t
vẫn được giữ cố định. Như trường hợp của
phương trình trên, người ta cần nghiên cứu phương trình
Φ(x, t) =
+∞

−∞

Φ
0
(k)e
itφ(k)
dk; t → ∞,
ở đó φ(k) = kc − k
2
.
Một trong những phương pháp xử lý các bài toán thuộc lĩnh vực này
phải kể đến đó là lý thuyết xấp xỉ tiệm cận đối với tích phân. Mang tính
trực giác, người ta có thể thấy ngay trong việc xử lý các dạng nghiệm

này là dùng phương pháp tích phân từng phần. Tuy nhiên, từ sự hạn
chế nhất định của phương pháp này, các nhà toán học đã tìm ra một
số phương pháp để khắc phục các nhược điểm của phương pháp trên.
Một trong những phương pháp đó chúng ta phải kể đến phương pháp
pha dừng trong việc xử lý các tích phân dạng này. Để hoàn thành luận
văn tốt nghiệp chương trình Thạc sỹ khoa học Toán học chuyên ngành
toán Giải tích, tôi chọn đề tài: "Phương pháp pha dừng khai triển
tiệm cận tích phân loại Fourier."
Luận văn được cấu trúc thành hai chương. Chương một được giành
để đưa ra một số kiến thức căn bản về lý thuyết giải tích tiệm cận.
Trong chương hai của luận văn, tôi trình bày phương pháp pha dừng
ước lượng xấp xỉ tích phân loại Fourier và ứng dụng của phương pháp
đó.
2
2. Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng và phạm vi nghiên
cứu
Luận văn trình bày một cách hệ thống về lý thuyết xấp xỉ tiệm cận.
Trên cơ sở đó, chúng tôi giới thiệu phương pháp xấp xỉ tiệm cận đối
với tích phân loại Fourier - Phương pháp pha dừng.
3. Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách nghiên cứu tài liệu Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục
đích nghiên cứu.
4. Dự kiến đóng góp của đề tài
Hệ thống hóa chi tiết môt số kiến thức căn bản về lý thuyết xấp xỉ
tiệm cận. Trình bày phương pháp pha dừng trong việc sử lý xấp xỉ tích
phân loại Fourier. Để minh họa cho ý nghĩa của vấn đề được trình bày
trong luận văn, chúng tôi giới thiệu ứng dụng của nó để giải quyết một
số bài toán trong lĩnh vực Vật lý – Toán.
3
Chương 1

Một số kiến thức về giải tích tiệm
cận
Giải tích tiệm cận được hình thành khởi nguồn từ một số các công trình
tính toán của L. Euler. Đến năm 1986, lý thuyết tiệm cận mới được
xây dựng một cách hệ thống bởi Stieltjes và Poincaré. Ở đây người ta
nghiên cứu các chuỗi mà nó được biểu diễn bởi các dãy hàm tiệm cận.
Thông thường các hàm đó được biểu diễn dưới dạng tích phân, chuỗi
lũy thừa hoặc dưới dạng như nghiệm của phương trình vi phân. Trong
chương này, chúng tôi sẽ trình bày với mức độ cần thiết và căn bản
nhất về lý thuyết tiệm cận.
1.1. Một số khái niệm về bậc
1.1.1. Lời dẫn
Các ký hiệu O, o và ∼ được sử dụng lần đầu tiên bởi E. Landau và P.
D. B. Reymond. Trước khi giới thiệu các khái niệm này, chúng ta xét
đến một bài toán trong thực tế. Tính giá trị của tích phân
I(ε) =
∞

0
e
−t
1 + εt
dt; với ε > 0 đủ nhỏ.
Như đã trình bày trong phần mở đầu, chúng tôi sẽ trình bày một
phương pháp xấp xỉ của tích phân I(ε) bằng phương pháp dễ tiếp cận
4
nhất (phương pháp tích phân từng phần). Tích phân từng phần lần
thứ nhất ta thu được
I(ε) = 1 − ε
∞


0
e
−t
(1 + εt)
2
dt.
Lặp lại quá trình này N lần ta được
I(ε) = 1 − ε + 2!ε
2
− 3!ε
3
+ + (−1)
N
N!ε
N
+(−1)
N+1
(N + 1)!ε
N+1
∞

0
e
t
(1 + εt)
N+2
dt (1.1)
Vế phải của phương trình này được gọi là một khai triển tiệm cận của
I(ε) tới số hạng N+1. Số hạng này nhỏ hơn rất nhiều so với số hạng

thứ N . Khẳng định này đúng với tất cả các chỉ số n = 0, 1, 2, , N −1.
Để thấy điều đó, ta hãy xét với n = N. Bởi vì ε là số dương đủ nhỏ,
nên 1 + εt ≥ 1 và ta có đánh giá
∞

0
e
−t
(1 + εt)
N+2
dt ≤
∞

0
e
−t
dt = 1.
Từ điều này suy ra rằng






(−1)
N+1
(N + 1)!ε
N+1
∞


0
e
−t
(1 + εt)
N+2
dt






≤



(−1)
N+1
(N + 1)!ε
N+1



.
Điều quan trọng là sự nhận thấy rằng chuỗi khai triển trong công thức
(1.1) không hội tụ. Điều đó, có thể thấy ngay rằng khi ε cố định thì số
hạng
(−1)
N+1
N!ε

N
→ ∞; khi N → ∞.
Thế nhưng, với N cố định thì
5
(−1)
N+1
N!ε
N
→ 0; khi ε → 0.
Đây là nguyên nhân cho thấy rằng khai triển trên là một xấp xỉ tốt
đối với tích phân I(ε) khi ε → 0. Một cách tự nhiên xuất phát từ sự
nhận xét có tính trực giác trên đây, phương trình (1.1) đưa đến việc
giới thiệu một số khái niệm quan trọng trong lý thuyết Giải tích tiệm
cận. Giả sử ε là số dương nhỏ tùy ý, các nhà Toán học giới thiệu một
số thuật ngữ. Trước hết, ta hình dung các khái niệm này một cách đơn
giản mang tính trực giác như sau
(i) −ε có cùng bậc với ε và 4!ε
4
có cùng bậc với ε
4
. Các phát biểu này
được ký hiệu tương ứng bởi −ε = O(ε) và 4!ε
4
= O(ε
4
);
(ii) 2!ε
2
là có bậc nhỏ hơn ε, nó được ký hiệu bởi 2!ε
2

= o(ε) hoặc
2!ε
2
 ε;
(iii) Nếu so sánh I(ε) với I(ε) = 1 −ε +2!ε
2
, thì xấp xỉ này có độ chính
xác đến bậc ε
2
.
Các ký hiệu O - "không bậc lớn", o - "không bậc nhỏ" và ∼ - "bậc tương
đương" được sử dụng đầu tiên bởi E. Landau và P. D. B. Reymond.
Tiếp theo, chúng tôi sẽ giới thiệu chính xác hóa các khái niệm đã nói
trên đây.
1.1.2. Các khái niệm về “không” bậc.
Cho f(z) và g(z) là hai hàm số xác định trên một tập D trong mặt
phẳng phức C và z
0
là một điểm giới hạn của D (có thể là điểm vô
cùng). Ta nói
(i) Bậc O. Hàm f(z) được gọi là "bậc O lớn" đối với hàm g(z) khi
z → z
0
(hoặc f (z) có cùng bậc đối với hàm g(z) khi z → z
0
) và ký hiệu
6
là
f(z) = O (g(z)) ; khi z → z
0

,
nếu tồn tại một hằng số dương M và một lân cận U của z
0
sao cho
|f(z)| ≤ M |g(z)|; với mọi z ∈ U ∩ D.
Đơn giản hơn, nếu hàm g(z) không triệt tiêu trên D, thì
f(z) = O (g(z)) ; khi z → z
0
Nghĩa là tồn tại hằng số dương M và một lân cận U của z
0
sao cho




f(z)
g(z)




≤ M; với mọi z ∈ U ∩D.
Trong trường hợp đặc biệt, hàm
f(z) = O(1); khi z → z
0
.
Điều đó, có nghĩa là hàm f(z) bị chặn khi z → z
0
.
Trong các khái niệm trên, hàm g(z) thường được gọi là “hàm cỡ” bởi

vì hàm đó xác định dáng điệu của hàm f(z) khi z → z
0
.
(ii) Bậc o. Hàm f(z) được gọi là có “bậc o nhỏ” đối với hàm g(z) khi
z → z
0
(hoặc f(z) là tiệm cận nhỏ hơn đối với hàm g(z) khi z → z
0
)
và ký hiệu là
f(z) = o (g(z)) ; khi z → z
0
,
nếu với mọi ε > 0 nhỏ tùy ý, tồn tại một lân cận U của z
0
sao cho
|f(z)| ≤ ε |g(z)|; với mọi z ∈ U ∩ D.
7
Cũng đơn giản hơn, nếu g(z) không triệt tiêu trong lân cận của z
0
có
thể trừ ra tại điểm này, thì f(z) = o (g(z)) nghĩa là
lim
z→z
0




f (z)

g (z)




= 0
(iii) Bậc ∼. Ta nói f(z) có bậc tương đương với hàm g(z) khi z → z
0
và ký hiệu là f (z) ∼ g(z) khi z → z
0
nếu
lim
z→z
0




f(z)
g(z)




= 1,
hay
f(z) = g(z) + o (g(z)) ; khi z → z
0
.
1.1.3. Chú ý

Khái niệm O - bậc cho ta nhiều thông tin hơn o - bậc đối với các hàm
liên quan trong quá trình z → z
0
. Chẳng hạn
sin z = z + o(z
2
); khi z → z
0
cho ta biết sin z − z tiến tới nhanh hơn z
2
. Tuy nhiên
sin z = z + O(z
3
); khi z → z
0
cho ta biết rằng sin z − z tiến tới gần như z
3
khi z → z
0
.
1.1.4. Một số ví dụ về bậc.
Đối với hàm số f(t) = 5t
2
+ t + 3, ta có các so sánh về bậc trong một
số quá trình dưới đây
f(t) = o(t), f(t) = O(t
2
), f(t) ∼ 5t
2
, f(t) = o


1
t

; khi t → ∞
8
và
f(t) ∼ 3; khi t → 0.
Những so sánh về bậc của các hàm thường gặp cũng phải kể đến, đó là
t
1000
= o(e
t
), cos t = O(1); t → ∞;
sin

1
t

= O(1), cos t ∼ 1 −
1
2
t; t → 0;
1.1.5. Nhận xét
(i) Các ký hiệu O, o và ∼ cũng dùng được đối với các hàm với biến rời
rạc. Chẳng hạn, như với dãy số thực (nghĩa là hàm của các số nguyên
dương n). Đối với dãy số x
n
= 5n
2

− 6n + 9 ta thấy rằng
x
n
= o(n
3
), x
n
= O(n
2
) và x
n
∼ 5n
2
; khi n → ∞.
(ii) Người ta cũng thường sử dụng ký hiệu f(k)  g(k); khi k → k
0
đồng nghĩa với f(k) = o (g(k)) ; khi k → k
0
.
1.2. Dãy tiệm cận và khai triển tiệm cận
1.2.1. Khái niệm và ví dụ về dãy tiệm cận
Một dãy hàm {φ
n
(k)} được gọi là một dãy tiệm cận khi k → k
0
nếu có
một lân cận của k
0
sao cho trong lân cận này không một hàm nào triệt
tiêu (ngoại trừ tại k

0
) và với mọi n ta có
φ
n+1
= o(φ
n
); khi k → k
0
Chẳng hạn, nếu k
0
hữu hạn thì {(k −k
0
)
n
} là một dãy tiệm cận khi
k → k
0
, còn {k
−n
} là một dãy tiệm cận khi k → ∞.
9
1.2.2. Khái niệm về khai triển tiệm cận
Chuỗi hình thức
∞

n=0
a
n
φ
n

(k) = a
0
φ
0
(k) + a
1
φ
1
(k) + + a
n
φ
n
(k) +
Từ đó, ta nhận được
f(k) −
m−1

n=0
a
n
φn(k) = a
m
φ
m
(k) + o (φ
m
(k))
Tổng riêng
m−1


n=0
a
n
φ
n
(k) là một xấp xỉ của hàm f(k) với sai số O(φ
m
)
khi k → k
0
, bậc của sai số này có cùng độ lớn với số hạng đầu tiên của
phần dư. Nếu khai triển tiệm cận tồn tại thì nó là duy nhất và các hệ
số của nó được cho bởi
a
m
= lim
k→k
0

f(k) −
m−1

n=0
a
n
φ
n
(k)

.

1
φ
m
(k)

.
Nếu một hàm có khai triển tiệm cận theo nghĩa này ta viết
f(k) ∼
∞

n=0
a
n
φ
n
(k)
Tổng riêng của một chuỗi có dạng này thường được gọi là một xấp xỉ
tiệm cận của hàm f (k). Số hạng đầu tiên được gọi là số hạng trội và
chúng ta thường viết f (k) ∼ a
0
φ
0
(k). Điều đó có nghĩa là
f(k)
φ
0
(k)
→ a
0
; khi k → k

0
Trong trường hợp điểm giới hạn x
0
là hữu hạn, R là một khoảng mở
của điểm x
0
. Điểm x
0
có thể là điểm trong hoặc điểm biên và một lân
cận của x
0
là một khoảng mở |x − x
0
| < δ. Nhưng nếu x
0
là điểm vô
cùng, chúng ta phải phân biệt giữa x → +∞ (trong trường hợp này
10
R > 0 có thể coi là một khoảng vô hạn x > a) và x → −∞ (trong
trường hợp này R có thể coi là x < b). Có một số trường hợp khi R là
một tập riêng biệt, chẳng hạn nó có thể là điều kiện cần để tìm một
khai triển tiệm cận của tổng riêng thứ n của một chuỗi vô hạn khi n là
đủ lớn, sao cho những bài toán này tồn tại , theo nghĩa bên ngoài của
miền này nó không hội tụ.
Biểu thức của khai triển tiệm cận phụ thuộc vào cách chọn dãy tiệm
cận. Chẳng hạn, khi k → ∞ thì
1
k − 1
∼
∞


n=1
1
k
n
và
1
k − 1
∼
∞

n=1
k + 1
k
2n
Trong các ví dụ này, các khai triển tiệm cận là các chuỗi hội tụ. Hơn
nữa, hai hàm có thể có cùng khai triển tiệm cận. Ví dụ nếu
−
1
2
π + δ ≤ ph(k) ≤
1
2
π − δ; với 0 ≤ δ ≥
1
2
π
hai hàm
1
k + 1

,
1
k + 1
+ e
−k
có cùng khai triển tiệm cận
∞

n=1
(−1)
n−1
k
n
; khi k → ∞,
vì k
n
và e
−k
→ 0 khi k → ∞ trong miền đã cho.
1.2.3. Ví dụ và nhận xét về khai triển tiệm cận của tích phân
Ví dụ 1.1. Tìm khai triển tiệm cận của tích phân
J(k) =
∞

0
e
−kt
1 + t
dt; khi k → ∞.
Đặt t


= kt và ε =
1
k
chúng ta thấy rằng
J = ε
∞

0
e
−t

1 + εt

dt

.
11
Từ phương trình (1.1) , bằng việc thay ε =
1
k
ta nhận được ngay
J(k) =
1
k
−
1!
k
2
+

2!
k
3
− + (−1)
N−1
(N − 1)!
k
N
+ R
N
(k)
R
N
(k) =
(−1)
N
N!
k
N+1
∞

0
e
−t
dt
(1 +
t
k
)
N+1

. (1.2)
Như cách đánh giá đã giới thiệu trên, ta thấy rằng
|R
N
(k)| ≤
N!
k
N+1

1
k
N
.
Lưu ý rằng phương trình (1.2) là một biểu diễn chính xác. Khi k → ∞
dãy hàm
1
k
,
1!
k
2
,
2!
k
3
,
chính là dãy tiệm cận và phương trình (1.2) cho ta một khai triển tiệm
cận của I(k) với k nhận giá trị lớn. Một lần nữa nhắc lại rằng, khai
triển tiệm cận trê không hội tụ khi N → ∞ và k cố định chuỗi không
hội tụ, nhưng khi k → ∞ và N cố định R

N
→ 0.
Ví dụ 1.2.Tìm khai triển tiệm cận của tích phân
I(k) =
∞

k
e
−t
t
dt; khi k → ∞
Lấy tích phân N lần chúng ta dễ dàng thu được
I (k) = e
−k

1
k
−
1!
k
2
+
2!
k
3
− + (−1)
N−1
(N − 1)!
k
N


+ R
N
(k)
R
N
(k) = (−1)
N
N!
∞

k
e
−t
t
N+1
dt (1.3)
12
Khi k → ∞ các số hạng
e
−k
k
,
e
−k
k
2
,
e
−k

k
3
, lập thành một dãy tiệm cận.
chúng ta dễ dàng thấy rằng
|R
N
(k)| <
N!
k
N+1
∞

k
e
−t
dt =
N!e
−k
k
N+1

e
−k
k
N
.
Như vậy phương trình (1.3) là một khai triển tiệm cận của tích phân
đã cho khi k → ∞. Khi N → ∞ với mỗi cố định thì |R
N
| → ∞, nên

chuỗi phân kỳ. Khi k → ∞ và N cố định, thì R
N
→ 0 (chúng ta nhận
được một khai triển tiệm cận của tích phân đó).
Chuỗi tiệm cận thường cho những xấp xỉ tốt. Chẳng hạn, khi k =
10;N = 2; sai số giữa giá trị chính xác và hai số hạng đầu tiên của
chuỗi là được đánh giá như sau
|R
2
(10)| < 0, 002 ×e
−10
.
Rõ ràng sai số này là rất nhỏ. Thực tế, ngay cả khi k = 3;N = 2 chúng
ta có
|R
2
(3)| ≤
2
(3e)
3
= 3, 7 ×10
−3
.
Tuy nhiên, ta không thể lấy quá nhiều số hạng trong dãy bởi vì một lúc
nào đó phần dư sẽ giảm, thậm chí còn tăng khi Ntăng. Về mặt nguyên
tắc, ta có thể tìm giá trị “tối ưu” của N để với k cố định, thì phần dư là
nhỏ nhất (xấp xỉ tốt nhất). Trong khuông khổ của luận văn chúng tôi
không đề cập chi tiết vấn đề này. Trong hầu hất những áp dụng trong
luận văn, việc thu được một vài số hạng đầu tiên của khai triển tiệm
cận là đủ cho việc trình bày vấn đề đặt ra.

13
1.2.4. Một số tính chất của khai triển tiệm cận
Tính duy nhất. Cho một dãy tiệm cận{φ
n
(x)}, dãy khai triển tiệm
cận của f (x) là duy nhất, nghĩa là a
n
được xác định duy nhất như sau
a
1
= lim
x→x
0
f(x)
φ
1
(x)
a
2
= lim
x→x
0
f(x) − a
1
φ
1
(x)
φ
2
(x)

a
N
= lim
x→x
0
f(x) −
N−1

n=1
a
n
φ
n
(x)
φ
N
(x)
Tính không duy nhất. Với một hàm f(x) có thể có nhiều khai triển
tiệm cận khác nhau. Chẳng hạn, khi x → 0,
tan x ∼ x +
1
3
x
3
+
2
15
x
5

+
∼ s inx +
1
2
(s inx)
3
+
3
8
(sin x)
5
+
Tính trội nhỏ.Một khai triển tiệm cận có thể là khai triển của nhiều
hơn một hàm. Chẳng hạn, nếu
f(x) ∼
∞

n=0
a
n
(x − x
0
)
n
; khi x → x
0
f(x) + e
−1
(x−x
0

)
2
∼
∞

n=0
a
n
(x − x
0
)
n
; khi x → x
0
(do e
−1
(x−x
0
)
2
= o ((x −x
0
)
n
) khi x → x
0
với mọi n). Hơn nữa
∞

n=0

a
n
(x − x
0
)
n
là tiệm cận khi x → x
0
của một hàm bát kỳ khác f(x) bởi một hàm
g(x) sao cho g(x) → 0 khi x → x
0
nhanh hơn mọi lũy thừa của x → x
0
.
Một hàm g(x) như thể được gọi là trội nhỏ hơn một chuỗi lũy thừa
14
tiệm cận, chuỗi lũy thừa tiệm cận của g(x) có thể là
g(x) ∼
∞

n=0
0.(x − x
0
)
n
Vì vậy một khi triển tiệm cận là tiệm cận của một lớp các hàm, chúng
khác nhau bởi các hàm trội nhỏ. Chẳng hạn, hàm e
−x
là trội nhỏ so
với một chuỗi tiệm cận có dạng

∞

n=0
a
n
x
−n
; khi x → +∞
và vì vậy nếu f(x) có một khai triển tiệm cận thì f(x) + e
−x
cũng vậy,
có nghĩa là f(x) có một khai triển chuỗi lũy thừa tiệm cận sai khác
hàm mũ nhỏ.
Tính bằng nhau của các hệ số. Nếu ta viết
∞

n=0
a
n
(x − x
0
)
n
∼
∞

n=0
b
n
(x − x

0
) (1.4)
thì chúng ta nói đến các lớp hàm
∞

n=0
a
n
(x − x
0
)
n
và
∞

n=0
b
n
(x − x
0
)
n
là tiệm cận khi x → x
0
, chúng là như nhau. Hơn nữa tính duy nhất của
khai triển tiệm cận nghĩa là a
n
= b
n
với mọi n, nghĩa là các hệ số của

các lũy thừa của x − x
0
trong (1.4) là bằng nhau.
Các phép toán đại số. Giả sử
f(x) ∼
∞

n=0
a
n
φ
n
(x) và g(x) ∼
∞

n=0
b
n
φ
n
(x); khi x → x
0
thì
αf(x) + βg(x) ∼
∞

n=0
(a
n
+ b

n
)φ
n
(x); khi x → x
0
15
với α,β là các hằng số. Khai triển tiệm cận cũng có thể nhân và chia
miễn là trên một dãy khai triển tiệm cận đủ lớn . Nói riêng với các
chuỗi lũy thừa tiệm cận, khi φ
n
(x) = (x − x
0
)
n
, các phép toán đó được
thực hiện như sau
f(x).g(x) ∼
∞

n=0
c
n
(x − x
0
)
n
;
với c
n
=

∞

m=0
a
n
b
n−m
và nếu b
m
= 0,d
0
=
a
0
b
0
thì
f(x)
g(x)
∼
∞

n=0
d
n
(x − x
0
)
n
trong đó

d
n
=
a
n
−
n−1

m=0
d
m
b
n−m
b
0
Tích phân của khai triển tiệm cận. Một chuỗi lũy thừa tiệm cận
có thể lấy tích phân từng số hạng (nếu f(x) khả tích gần x = x
0
). Vì
vậy, nếu
f(x) ∼
∞

n=0
a
n
(x − x
0
)
n

; khi x → x
0
thì
∞

x
0
f(t)dt ∼
∞

n=0
a
n
n + 1
(x − x
0
)
n+1
; khi x → x
0
Tính khả vi của khai triển tiệm cận. Trong trường hợp tổng quát,
một khai triển tiệm cận không thể lấy đạo hàm từng số hạng. Bài toán
với tính khả vi liên quan đến tính trội nhỏ.
Ví dụ 1.3. Hai hàm
f (x) và g(x) = f (x) + e
−1
(x−x
0
)
2

sin

e
1
(x−x
0
)
2

16
khác nhau bởi một hàm trội nhỏ và vì vậy chúng ta có cùng chuỗi lũy
thừa tiệm cận khi x → x
0
. Tuy nhiên f

(x) và
g

(x) = f

(x) − 2(x − x
0
)
−3
cose
1
(x−x
0
)
2

+ 2(x − x
0
)
−3
e
−1
(x−x
0
)
2
sin e
1
(x−x
0
)
2
không có cùng chuỗi lũy thừa tiệm cận khi x → x
0
. Tuy nhiên nếu f

(x)
tồn tại, là khả tích và
f(x) ∼
∞

n=0
a
n
(x − x
0

)
n
; khi x → x
0
thì
f

(x) ∼
∞

n=0
na
n
(x − x
0
)
n−1
; khi x → x
0
Đặc biệt, nếu f(x) là giải tích trên một miền nào đó thì nó có thể đạo
hàm từng số hạng của khai triển tiệm cận của f(x). Nhắc lại rằng một
hàm số thực f(x) được gọi là giải tích tại x = x
0
nếu nó có thể biểu
diễn bởi một chuỗi lũy thừa của x −x
0
với bán kính hội tụ khác không.
Ví dụ 1.4.
1
x − 1

∼
1
x
+
1
x
2
+ ; khi x → +∞
Ta dễ dàng chỉ ra chuỗi này có hội tụ khi x > 1 và vì vậy
1
x − 1
giải
tích khi x > 1 và
1
(x − 1)
2
∼
1
x
2
+
2
x
3
+ ; khi x → +∞.
(cả hai chuỗi này là khai triển Taylor của các hàm tương ứng)
17
1.3. Hàm Gamma
Hàm Gamma được xác định bởi biến đổi tích phân
Γ(x) =

∞

0
e
−t
t
x−1
dt; x > 0
hội tụ với mọi giá trị dương của x.
Một số dạng biểu diễn tích phân khác. Hàm Gamma có một số
biểu diễn tích phân dưới đây. Bằng phép biến đổi u = e
−t
ta nhận được
Γ(x) =
∞

0
t
x−1
e
t
dt = −
0

−1

ln(
1
4
)


x−1
u
1
u
du =
0

−1

ln(
1
4
)

x−1
du.
Với phép đổi biến t = m
2
ta nhận được biểu diễn khác là
Γ(x) =
∞

0
t
x−1
e
−t
=
∞


0
m
2(x−1)
e
−m
2
2mdm = 2
∞

0
m
2x−1
e
−m
2
dm
.
Một số giá trị đặc biệt của hàm Gamma. Thay x bởi x + 1 ta
nhận được
Γ(x + 1) =
∞

0
t
x+1−1
e
−t
dt =
∞


0
t
x
e
−t
dt
= xΓ(x)
= −
∞

0
t
x
d(e
−t
) = −t
x
e
−t
|
∞
0
+ x
∞

0
t
x−1
e

−t
dt.
Như vậy ta nhận được quan hệ
Γ(x + 1) = xΓ(x). (1.5)
Từ (1.5) ta suy ra các công thức dưới đây
Γ(x) =
Γ(x + 1)
x
(1.6)
18
Γ(x) = (x − 1)Γ(x − 1) (1.7)
Γ(−x) =
Γ(x − 1)
−x
; x = 0, 1, 2, (1.8)
Thực hiện việc tính toán đơn giản đối với tích phân suy rộng, ta có
Γ(1) =
∞

0
e
−x
dx = 1.
Do đó, sử dụng công thức (1.5) ta nhận được
Γ(2) = Γ(1 + 1) = 1.Γ(1) = 1.1 = 1
Γ(3) = Γ(2 + 1) = 2.Γ(2) = 2.1 = 2!
Γ(4) = Γ(3 + 1) = 3.Γ(3) = 3.2.1 = 3!

Bằng quy nạp ta thu được hai công thức được viết như sau
Γ(n + 1) = n.Γ(n) = n 3.2.1 = n! (1.9)

Γ(n) = (n − 1).Γ(n − 1) = (n − 1) 3.2.1 = (n − 1)! (1.10)
Để nhận được một số giá trị đặc biệt khác cần thiết cho việc sử dụng
sau nay, ta thực hiện một số phép biến đổi đơn giản sau. Trước hết,
bằng cách đặt t = u
2
ta được
Γ(
1
2
) =
∞

0
t
−1
2
e
−t
dt =
∞

0
1.e
−u
2
du
19
Do đó, ta có
Γ
2

(
1
2
) = (2
∞

0
e
−x
2
dx).(2
∞

0
e
−y
2
dy) = 4


∞

0
(
∞

0
e
−y
2

dy).e
−x
2
dx


= 4
∞

0


∞

0
e
−r
2
rdr


dθ = 4.
π
2
.
1
2
= π
Như vậy ta nhận được
Γ


1
2

=
√
π. (1.11)
Từ công thức (1.11) ta nhận được một số giá trị khác nhau của hàm
Gamma
Γ

n +
1
2

= Γ

2n + 1
2

=

2n + 1
2
− 1

Γ

2n + 1
2

− 1

=
2n − 1
2
Γ

2n − 1
2

=
2n − 1
2
.
2n − 3
2
Γ

2n − 3
2

Lặp lại công thức (1.7) và từ giá trị của Γ(1) ta nhận được công thức
dưới đây
Γ

n +
1
2

=

(2n + 1)(2n − 1) (3)(1)
2
n
√
π. (1.12)
Cũng tương tự như thế ta thu được công thức sau
Γ

n +
3
2

=
(2n + 1)(2n − 1) (3)(1)
2
n+1
√
π. (1.13)
Γ

n −
1
2

=
(2n − 3)(2n − 5) (3)(1)
2
n−1
√
π. (1.14)

Một số ví dụ áp dụng tính toán. Ở đây, chúng ta trình bày một
số các ví dụ áp dụng các giá trị đặc biệt trên đây trong việc tính một
số biểu thức liên quan đến hàm Gamma. Tìm một số giá trị sau
(i) Tính giá trị của biểu thức
Γ(x + n)
Γ(x − n)
.
20
Sử dụng công thức (1.5) liên tiếp ta được
Γ(x + n)
Γ(x − n)
=
(x + n − 1)Γ(x + n −1)
Γ(x − n)
=
(x + n − 1)(x + n −2)Γ(x + n −2)
Γ(x − n)
=
=
(x + n − 1)(x + n −2)(x + n −3) (x + n − 2n)Γ(x + n − 2n)
Γ(x − n)
= (x + n − 1)(x + n − 2) (x −n).
(ii) Tính giá trị của biểu thức
2
n
Γ(n + 1) = 2
n
nΓ(n)
= 2
n

n(n − 1)Γ(n − 1) = = 2
n
n(n − 1)(n − 2) 2.1
= 2
n
n! = (2.1)(2.2)(2.3) (2.n) = 2.4.6 (2n).
Thay thế n bởi n − 1 ta nhận được công thức
2.4.6 (2n − 2) = 2
n−1
Γ(n). (1.15)
(iii) Chứng minh rằng
Γ(2n)
Γ(n)
=
Γ(n +
1
2
)
√
π.2
1−2n
.
Ta có
Γ(n +
1
2
)
√
πΓ(n + 1)
=

Γ(2n)2
1−2n
Γ(n)Γ(n + 1)
=
Γ(2n)2
1−2n
2
n
Γ(n)2
n
Γ(n + 1)
=
Γ(2n)2
1−n
Γ(n)2.4.6 2n
.
Nhưng
1.3.5 (2n − 1) =
1.2.3 (2n − 2)(2n − 1)
2.4.6 (2n − 2)
=
Γ(2n)
Γ(n)2
n−1
.
Vậy
Γ(n +
1
2
)

√
πΓ(n + 1)
=
1.3.5 (2n − 1)
2.4.6 2n
.
21
Chương 2
Phương pháp pha dừng khai triển
tiệm cận tích phân loại Fourier
Đối với phương pháp pha dừng, người ta nghiên cứu dáng điệu tiệm
cận của các tích phân có dạng
I(k) =
b

a
f(t)e
ikφ(t)
dt; khi x → ∞, (2.1)
ở đó φ(t) và f(t) là các hàm một biến thực liên tục. Điều đó không làm
giảm tính tổng quát đối với trường hợp f(t) là hàm biến phức. Bởi vì
khi tách riêng phần thực và phần ảo của nó, thì tích phân trở thành
tổng của hai tích phân có dạng (2.1) . Một trường hợp đặc biệt của các
tích phân như vậy khi φ(t) = t là biến đổi Fourier được xác định bởi
I(k) =
b

a
f(t)e
ikt

dt. (2.2)
cũng vì lý do đó mà người ta gọi các tích phân như vậy là tích phân
loại Fourier.
2.1. Phương pháp tích phân từng phần
Mục đích chính của luận văn là trình bày việc xấp xỉ tích phân (2.1)
bằng phương pháp pha dừng. Tuy nhiên, để thấy được ý nghĩa của vấn
22
đề nghiên cứu, trước hết chúng tôi giới thiệu phương pháp đơn giản
nhất để xấp xỉ tích phân Fourier. Như đã giới thiệu, việc xấp xỉ các
tích phân người ta thường nghĩ đến trước hết là phương pháp tích phân
từng phần. Thế nhưng phương pháp này thường không thực sự hiệu
quả mà nó chỉ thực hiện được trong một số trường hợp nào đó Để tiếp
cận vấn đề chính, chúng tôi giới thiệu cách xử lý này đối với các tích
phân loại
β

α
φ(t)e
itx
dt. Ở đây, ta luôn giả sử (α, β) là một khoảng số
thực và thường là khoảng số thực hữu hạn và φ(t) là hàm khả tích để
tích phân (2.2) tồn tại với mọi số thực x. Chúng ta sẽ nghiên cứu dáng
điệu tiệm cận của tích phân (2.2) khi x → +∞ bằng phương pháp tích
phân từng phần.
Xét tích phân
I(k) =
b

a
f(t)e

ikt
dt.
Giả sử hàm f(t) có đạo hàm liên tục đến cấp N +1 và đạo hàm f
(N+2)
(t)
liên tục từng khúc trên đoạn [a, b]. Khi đó, ta có
I(k) ∼
N

n=0
(−1)
n
(ik)
n+1
[f
(n)
(b)e
ikb
− f
(n)
(a)e
ikb
];k → ∞. (2.3)
Chứng minh. Thực vậy, với m ≤ N, lấy tích phân từng phần ta được
I(k) =
m−1

n=0
(−1)
n

e
ikb
(ik)
n+1
f
(n)
(b)−
m−1

n=0
(−1)
n
(ik)
n+1
f
(n)
(a)+
1
(ik)
m
b

a
e
ikt
f
(m)
(t)dt;
23