Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính

1

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS.
Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã chỉ ra hướng nghiên cứu, chỉ bảo tận tình,
chu đáo, động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, các thầy giáo, cô
giáo Phòng Sau đại học, Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, bạn
bè và người thân đã tạo điều kiện, động viên, khuyến khích, giúp đỡ tôi hoàn
thành luận văn này.


Hà Nội, tháng11 năm 2013
Tác giả


Bùi Trung Hiếu








2

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn này là kết quả của quá trình học tập, nghiên cứu của bản thân

dưới sự chỉ bảo, dìu dắt của các thầy giáo, cô giáo, đặc biệt là sự hướng dẫn
nhiệt tình và chu đáo của TS. Nguyễn Văn Hùng.
Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của
các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn.
Luận văn với đề tài “Phương pháp sai phân giải phương trình vi
phân tuyến tính” không có sự trùng lặp.

Hà Nội, tháng 11 năm 2013
Tác giả


Bùi Trung Hiếu









3

MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn 1
Lời cam đoan 2
Mục lục 3
MỞ ĐẦU 5
NỘI DUNG 7

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị 7
1.1. Sai số 7
1.2. Số gần đúng 11
1.3. Một số tính chất của phương trình vi phân 11
1.4. Sai phân và tính chất 14
Chương 2: Lược đồ sai phân 19
2.1.Bài toán vi phân 19
2.2. Lưới sai phân 19
2.3. Hàm lưới 20
2.4. Đạo hàm lưới 20
2.5. Qui ước viết vô cùng bé 21
2.6. Công thức Taylor 21
2.7. Liên hệ giữa đạo hàm và hàm lưới 22
2.8. Phương pháp sai phân 23
2.9. Giải bài toán sai phân bằng phương pháp truy đuổi 23
2.10. Sự ổn định của bài toán vi phân 27
2.11. Sự xấp xỉ 27
4

2.12. Sự hội tụ 29
2.13. Trường hợp điều kiện biên loại ba 30
Chương 3: Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính
3.1. Bài toán vi phân 35
3.2. Đạo hàm lưới 36
3.3. Phương pháp sai phân 37
3.4. Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính 46
3.5. Sự xấp xỉ 58
3.6. Sự ổn định của bài toán sai phân 58
3.7. Bài toán sai phân đối với sai số 75
3.8. Sự hội tụ và sai số 76

KẾT LUẬN 86
TÀI LIỆU THAM KHẢO 87











5

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương pháp sai phân (hay còn gọi là phương pháp lưới) là phương
pháp được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật. Nội dung
của nó là dẫn đối tượng cần xét về việc giải phương trình sai phân (tức là hệ
thức hoặc các hệ thức liên hệ các giá trị của các hàm số tại các điểm khác
nhau). Một trong những ứng dụng quan trọng của phương pháp sai phân là
giải các phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng.
Ngày nay, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin đã có
rất nhiều phần mềm và chương trình có thể giúp chúng ta tìm nghiệm của các
phương trình vi phân thường với độ chính xác cao trong một thời gian rất ngắn.
Một lớp phương trình vi phân thường rất quan trọng đó là phương trình
vi phân tuyến tính. Trong một số ít trường hợp của lớp phương trình vi phân
tuyến tính ta có thể tìm được nghiệm tường minh. Chẳng hạn, đó là các
phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng và hàm vế phải có một số dạng

đặc biệt. Tuy nhiên, trong những trường hợp tổng quát hơn việc tìm ra nghiệm
tường minh cho các phương trình vi phân tuyến tính là một vấn đề rất khó.
Chính vì lí do đó người ta phải đưa ra các phương pháp để giải số các
phương trình vi phân này. Được sự định hướng của TS Nguyễn Văn Hùng em
đã chọn đề tài: “Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến
tính” để hoàn thành luận văn đào tạo thạc sĩ chuyên ngành toán gải tích.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về phương trình vi phân và
phương pháp sai phân ứng dụng vào giải phương trình vi phân tuyến tính.
6

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:
- Phương trình vi phân.
- Phương pháp sai phân
- Phương pháp sai phân giải phuơng trình vi phân tuyến tính
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về
phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính.
- Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước
liên quan đến phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Thu thập tài liệu và các bài báo viết về phương pháp sai phân và các
ứng dụng của nó.
- Phân tích, tổng hợp kiến thức.
- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.
6. Những đóng góp của luận văn.
Trình bày một cách có hệ thống về phương pháp sai phân giải phương
trình vi phân tuyến tính. Hơn nữa, kết quả thu được có thể mở rộng cho một số
một số lĩnh vực khác.

7

CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Sai số
1.1.1. Làm tròn số và sai số của phép làm tròn số
Xét một số thập phân dạng tổng quát



.10 .10 .10
p i p s
p i p s
a
  


     
(1.1)
Trong đó
, , 0, 0 9
j p j
j a a

    


Nếu


0
p s
 
thì
a
là số nguyên
Nếu


0
p s k k
   
thì
a
có phần lẻ gồm
k
chữ số
Nếu
s
 
thì
a
là số thập phân vô hạn
Làm tròn số
a
là bỏ đi 1 số các chữ số bên phải của số

a
để được số
a

gọn hơn và gần đúng với số
a
.
Quy tắc làm tròn : Xét số
a
ở dạng (1.1) và ta sẽ giữ lại đến bậc thứ
i
,
phần bỏ đi là

thì :


1
1
.10 .10 .10
p i i
p i i
a
  


     

Trong đó :
1

1 1
; 0 .10 .10 khi 2 ;
2 2
1 1
; .10 .10 khi 2 1;
2 2
i i
i i
i
i i
i i
l l
l l
   

   


     





     





8

Ta kí hiệu sai số của phép làm tròn là
a

, như vậy
a
a a
  
, rõ ràng
1
.10
2
i
a
  .
Vì
* *
a
a a a a a a a
        
, do đó khi làm tròn thì sai số
tuyệt đối tăng thêm
a

.
1.1.2. Chữ số có nghĩa, chữ số chắc
Xét số
a
ở dạng (1.1) nghĩa là được viết dưới dạng thập phân, khi đó

chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác
0
và những chữ số
0
bị kẹp giữa hai số khác
0
hoặc nó là những chữ số
0
ở hàng được giữ lại.
Xét số
a
ở dạng (1.1)


.10 .10 .10
p i p s
p i p s
a
  


     

Chữ số
j

ở (1.1) của số
a
là số chắc nếu :
.10 ;

j
a
 
  là tham số cho trước
Tham số

sẽ được chọn để sao cho một chữ số vốn là chắc thì sau khi
làm tròn vẫn là chắc, rõ ràng
i
a
là chữ số chắc thì
1
i
a

cũng là chữ số chắc.
1.1.3. Sai số tính toán
Giả sử phải tìm đại lượng
y
theo công thức


1 2
, , ,
n
y f x x x

Gọi





* * * * * *
1 2
, , , ;
n
x x x x y f x
 
là giá trị đúng còn


1 2
, , , ;

n
x x x x

9




y f x
là giá trị gần đúng
*
y
,
*
i i i
x x x

  
. Giả sử


1 2
, , ,
n
f x x x
là hàm
số khả vi liên tục thì :




* * * *
1 2 1 2
, , , , , ,
n n
y y y f x x x f x x x
    
*
1
n
i i i
i
f x x x


 


Với
i
f x

là đạo hàm theo
i
x
tính tại điểm trung gian.
Vì
f
là khả vi liên tục ,
i
x

khá bé nên:
 
1 2
1
, , ,
n
i n i
i
y f x x x x x


  

(1.2)
Vậy

1
ln
n
y i
i
i
y
f x
y x


 
  


. (1.3)
a. Sai số của phép toán cộng trừ
Nếu
1
n
i
i
y x



thì
1
i
x

y


, vì vậy ta có :
1
n
i
i
y x

  


Chú ý rằng : Nếu tổng đại số
1
n
i
i
y x



bé về giá trị tuyệt đối thì
y
y

lớn,
phép tính sẽ kém chính xác. Ta khắc phục bằng cách tránh công thức đưa đến
hiệu quả của hai số gần nhau.
b. Sai số của phép toán nhân, chia

10
Giả sử
1
1
n
i
i
n
p i
i
x
y
x






. Áp dụng (1.2) và (1.3) ta có
1

y q
x x
  
  
và
y y y

 

c. Sai số của phép tính lũy thừa
Xét


, 0
y x x


  

, khi đó
y x
  

Như vậy,
Nếu
1


thì độ chính xác là giảm đi
Nếu
1


thì độ chính xác tăng lên
Nếu
1

 
( phép nghịch đảo ) thì độ chính xác là không đổi

Nếu
*
1
, k
k

 

( phép khai căn ) thì độ chính xác tăng lên.
d. Sai số của phép tính logarit
Xét
ln
y x

, ta có
y x

 
.
1.1.4. Bài toán ngược của sai số
Giả sử đại lượng
y
được tính theo công thức :


1 2
, , ,
n
y f x x x
 .

Yêu cầu đặt ra là cần tính
i
x

như thế nào để
y

 
, với

là cho
trước.
11
Theo biểu thức tổng quát của sai số tính toán ta phải có :
1
n
i
i
i
f
y x
x



   



Bất đẳng thức trên sẽ thoả mãn nếu

i
i
x
n f x

 


Kết luận : Nếu các biến
i
x
có vai trò ‘đều nhau’ thì ta có thể lấy
.
i
i
x
n f x

 

,
khi đó
y

 
.
1.2. Số gần đúng
Ta nói rằng
a
là một số gần đúng của

*
a
nếu như
a
không sai khác
*
a

nhiều, hiệu số
*
a a a
  
là sai số thực sự của
a
, nếu
0
a
 
thì
a
là giá trị
gần đúng thiếu, còn nếu
0
a
 
thì
a
là giá trị gần đúng thừa của
*
a

. Vì rằng
*
a
nói chung không biết nên cũng không biết

, tuy nhiên có thể thấy tồn tại
0
a
 
thoả mãn điều kiện :
*
a a a
  

Khi đó :
a

được gọi là sai số tuyệt đối của
a
.
a
a



là sai số tương đối của
a
.
Rõ ràng
,

a a


càng nhỏ càng tốt.
1.3. Một số khái niệm về phương trình vi phân
1.3.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một
Phương trình vi phân tuyến tính cấp một có dạng
12





y a x y b x

  (1.4)
Nếu


b x
là hàm hằng 0, thì gọi (1.4) là phương trình vi phân tuyến tính
thuần nhất, ngược lại thì gọi là phương trình vi phân tuyến tính không thuần
nhất.
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất



0
y a x y


 
(1.5)
là phương trình phân ly biến số được và có nghiệm tổng quát là



.
a x dx
y C e


 . (1.6)
Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất ta dùng phương
pháp biến thiên hằng số Lagrange : Thay
C
bởi hàm số


C x
để

 


.
a x dx
y C x e


 (1.7)

là nghiệm của (1.4). Khi đó

 


   


. . .
a x dx a x dx
y C x e a x C x e
 
 

  ,
thay vào phương trình đã cho được
   


.
a x dx
C x b x e


 , tích phân hai vế,
cuối cùng nhận được nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất
(1.4) là :

 
   

.
a x dx a x dx
y b x e dx C e

 
 
 
 
 

. (1.8)
1.3.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao
1.3.2.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp
n

Phương trình vi phân tuyến tính cấp n có dạng
13
















1 2
1 2
. . .
n n n
n
y a x y a x y a x y b x
 
     (1.9)
Nếu


b x
là hàm hằng 0, thì gọi (1.9) là phương trình vi phân tuyến tính
thuần nhất, ngược lại thì gọi là phương trình vi phân tuyến tính không thuần
nhất. Phương trình thuần nhất có vế trái trùng với vế trái của phương trình
không thuần nhất (1.9) gọi là phương trình thuần nhất tương ứng với phương
trình không thuần nhất (1.9).
1.3.2.2. Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Để giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng






1 2
1 2
0

n n n
n
y a y a y a y
 
    
(
i
a
là hằng số thực :
1,2, ,
i n

)
(1.10)
ta tìm nghiệm dưới dạng
x
y e

 . Đạo hàm
x
e

các cấp 0,1,2,…,n và thay
vào phương trình ta được



1 2
1 2 1
0

x n n n
n n
e a a a a

   
 

     

Giải phương trình đặc trưng

1 2
1 2 1
0
n n n
n n
a a a a
   
 

     
. (1.11)
- Nếu

là nghiệm thực bội
k
của phương trình (1.11), thì các hàm
1
, . , ,
x x k x

e x e x e
  

là
k
nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (1.10).
- Nếu
i
  
 
là nghiệm phức bội
k
của phương trình (1.11) thì
i
 

cũng là nghiệm bội
k
của phương trình (1.11). Khi đó theo
công thức Euler :
14





 
 
1
2

os isin ;
os isin
i x
x
i x
x
y e e c x x
y e e c x x
 

 

 
 


  
  

suy ra
1 2
os
2
x
y y
e c x



 và

1 2
sin
2
x
y y
e x




là các nghiệm của phương trình (1.10). Do đó các hàm

1
1
os , os , , os
sin , sin , , sin
x x k x
x x k x
e c x xe c x x e c x
e x xe x x e x
  
  
  
  



đều là nghiệm của (1.10).
Điều đó có nghĩa là bằng cách giải phương trình đặc trưng tìm được đủ
n nghiệm thì ta có được ngay hệ thống n nghiệm độc lập tuyến tính của

phương trình vi phân (1.10) và do đó có nghiệm tổng quát.
1.4. Sai phân và tính chất
1.4.1. Các khái niệm cơ bản
Xét dãy số


n
x
, dạng khai triển của nó là:


0 1 2
, , , , ,
n
x x x x .
Ví dụ, dãy số tự nhiên ký hiệu là
N
có dạng




0,1,2, , ,
n n
 ;
Dãy số nguyên dương
Z

có dạng





1,2, , ,
n n ;
Dãy số điều hòa
1 1 1
1, , , , .
2n n
   

   
   

Có thể xem dãy số là một hàm của đối số nguyên
n
. Ký hiệu


n
x n x

.
1.4.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1: Ta gọi sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm số


n
x n x


với




: 0, 1, 2, , ,
n
n Z x n     (hoặc
n Z


, hoặc
n N

) là hiệu:
15

1
n n n
x x x

  

Ví dụ, hàm
n
x
cho dưới dạng bảng

n
0 1 2 3 4

n
x
1 3 4 7 6
có sai phân hữu hạn cấp 1 là

0 1 0 1 2 1
2 3 2 3 4 3
3 1 2; 4 3 1;
7 4 3; 6 7 1.
x x x x x x
x x x x x x
           
            

Từ đây về sau, nếu không có gì nhầm lẫn với tỷ sai phân, ta gọi tắt sai phân
hữu hạn cấp
k
là sai phân cấp
k
, còn sai phân cấp 1 gọi tắt là sai phân.
Định nghĩa 2: Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm
n
x
là sai phân của sai phân cấp
1 của
n
x
và nói chung, sai phân cấp
k

của hàm
n
x
là sai phân của sai phân
cấp
1
k

của hàm số đó.
Như vậy, sai phân cấp 2 của hàm
n
x
là





2
1 2 1 1
2 1
2 ;
n n n n n n n n
n n n
x x x x x x x x
x x x
   
 
           
  

Sai phân cấp 3 của hàm
n
x
là





3 2 2 2
1 3 2 1 2 1
3 2 1
2 2
3 3 .
n n n n n n n n n n
n n n n
x x x x x x x x x x
x x x x
     
  
             
   

Nói chung, sai phân cấp
k
của hàm
n
x
là

 
 
1 1 1
1
0
1
k
i
k k k k i
n n n n k n k i
i
x x x x C x
  
  

         

(1.4)
trong đó
 
!
! !
i
k
k
C
i k i



.
16
Ví dụ, xét hàm
n
x
trong định nghĩa 1, ta có

2
0 2 1 0
2
1 3 2 1
2
2 4 3 2
3
0 3 2 1 0
3
1 4 3 1
4
0 4 3 2 1 0
2 4 2.3 3 1;
2 7 2.4 3 2;
2 6 2.7 4 4;
3 3 7 3.4 3.3 1 3;
3 6 3.7 3.4 3 6;
4 6 4 6 4.7 6.4 4.3 9.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x

x x x x x x
        
       
        
         
         
           

Từ công thức (1.4) suy ra một số tính chất của phương trình sai phân sau đây:
1.4.1.2. Tính chất của sai phân
Tính chất 1. Sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị của hàm số.
Chứng minh. Để chứng minh tính chất 1, ta chứng minh công thức (1.4).
Thật vậy, với
1
k

, ta có
0 1
1 1 1 1
n n n n n
x x x C x C x
 
    
Giả sử (1.4) đúng với
k
, có nghĩa là
 
0
1
k

i
k i
n k n k i
i
x C x
 

  

, ta chứng minh
(1.4) đúng với
1
k

tức là

   
1
1 1
0 0
1 1
k k
i i
k k k i i
n n n k n k i k n k i
i i
x x x C x C x

     
 

        
 
.
Trong tổng thứ hai ta đổi chỉ số
1
i i

 
, sau đó thay
i

bằng
i
, ta được

     
1 1
1
1 1
1 1
0 1 0
1 1 1
k k k
i i i
i i i
k n k i k n k i k n k i
i i i
C x C x C x
 




 

       

  
     
  
.
Bởi vậy

17
   
     
 
 
 
   
 
1
1 1
1 1
0 1
1
1
1 1 1
1 1
1
1

1 1
1
1
1 1 1
1
1
1
0
1 1
1 1 1
1 1
1 1
1
k k
i i
k i i
n k n k i k n k i
i i
k k
i i k
i i
k n k i n k k n k i n
i i
k
i k
i i
k k n k i n k n
i
k
i k

i
k n k i n k n
i
k
i
k
i
x C x C x
C x x C x x
C C x x x
C x x x
C

 
     
 


       
 


    


     





    
      
     
    
 
 
 



1
i
n k i
x
  

Theo quy luật quy nạp, công thức (1.4) đúng với mọi giá trị
n
nguyên dương.
Tính chất 2. Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính.
Chứng minh. Ta phải chứng minh



,
k k k
n n n n
ax by a x b y
     
Thật vậy, theo (1.4) ta có

 
 
 
 
 
 
 
0
0 0
1
1 1
k
i
k i
n n k n k i n k i
i
k k
i i
i i
k n k i k n k i
i i
ax by C ax by
C ax C by
   

   
 
    
   


 


   
0 0
1 1
k k
i i
i i
k n k i k n k i
i i
k k
n n
a C x b C y
a x b y
   
 
   
   
 

Tính chất 3. Sai phân cấp
k
của đa thức bậc
m
là
1. Đa thức bậc
m k

, nếu

k m

;
2. Hằng số, nếu
k m

;
3. Bằng 0, nếu
k m

.
18
Chứng minh. Theo tính chất 2, sai phân mọi cấp là toán tử tuyến tính, nên ta
chỉ việc chứng minh cho đơn thức


m
m
P n n

là đủ.
1.Ta có,


0 1
1
m
m m n m m
m m m
n n n C C n C n n

        


0 1 1 1
1

m m
m m m m
C C n C n P n
 

     .
Giả sử tính chất này đúng với
k s m
 
, ta chứng minh nó đúng với
1
k s m
  
.
Thật vậy,








1

1
1
m
s m s m s s m
m s m s
n n n n P n P n

  
           
.
2. Khi
k m

theo chứng minh trên, ta có




0
ons
m m
m m
n P n P n C c t

    
3. Khi
k m

, ta có
0

k m k m m m k m k m
n n C C
  
         
.
Tính chất 4.
1 1
1
N
k k k
n N a
n a
x x x
 


    

với
k Z


.
Chứng minh.
 
1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 1
1 1
1

N N
k k k k k k k k
n n a a a a N N
n a n a
k k
N a
x x x x x x x x
x x
      
   
 
 

                
   
 
Đặc biệt lưu ý trường hợp
1
k

, ta có
1
N
n N a
n a
x x x


  


.





19
CHƯƠNG II: LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN

2.1. Bài toán vi phân
Cho hai số
a
và
b
với
a b

. Tìm hàm


y y x
 xác định tại
a x b
 

thỏa mãn :

   
Ly py qy f x



    (2.1)





,y a y b
 
 
(2.2)
trong đó






, ,
p p x q q x f x
  là những hàm cho trước đủ trơn thỏa
mãn:





0 1 1
0 , ons , 0
c p x c c c t q x

    

còn
,
 
là những số cho trước.
Giả sử bài toán (2.1) - (2.2) có nghiệm duy nhất
y
đủ trơn trên


,
a b
.
2.2. Lưới sai phân
Ta chia đoạn


,
a b
thành
N
đoạn con bằng nhau, mỗi đoạn con dài


/
h b a N
  bởi các điểm
, 0,1, , .
i

x a ih i N
  
Mỗi điểm
i
x
gọi là nút
lưới,
h
gọi là bước lưới.
 Tập


, 1 1
h i
x i N
    
gọi là tập các nút trong.
 Tập


0
,
h N
x x
  gọi là tập các nút biên.
 Tập
h h h
    
gọi là một lưới trên



,
a b
.


0
xa 

1
x

i
x

bx
N


20
2.3. Hàm lưới

Đó là những hàm số xác định tại các nút của lưới
h

. Giá trị của hàm
lưới

tại lưới
i

x
viết là
i

.
Một hàm số


y x
xác định tại mọi


,
x a b
 sẽ tạo ra hàm lưới
y
có giá
trị tại nút
i
x
là


i i
y y x
 .
2.4. Đạo hàm lưới
Xét hàm lưới

. Đạo hàm lưới tiến cấp một của


, ký hiệu là
x

, có giá
trị tại nút
i
x
là:

1
i i
xi
h
 




Đạo hàm lưới lùi cấp một của

, ký hiệu là
x

, có giá trị tại nút
i
x
là:

1

i i
xi
h
 




Sau đây ta sẽ thấy rằng khi
h
bé thì đạo hàm lưới “xấp xỉ” được đạo hàm
thường.
Do đó có đạo hàm lưới cấp hai
xx

:

1 1 1 1 1
2
1 2
xi xi i i i i i i i
xx
h h h h
h
 
      

    

   

 
   
 
 

Nếu
a
là một hàm lưới thì:

 


1
1 1 1 1
1
2
i i
i i i i i i i
xi xi
x
xi
a a
a a a a
a
h
h
 
  



   


  
  .


21
2.5. Qui ước viết vô cùng bé
Khái niệm “xấp xỉ” liên quan đến khái niệm vô cùng bé. Để viết các vô
cùng bé một cách đơn giản ta sẽ áp dụng các qui ước sau đây:
Giả sử đại lượng


h

là một vô cùng bé khi
0
h

. Nếu tồn tại số
0
a

và
hằng số
0
M

không phụ thuộc

h
sao cho:



h Mh



thì ta viết:





h O h



Viết như trên có nghĩa là: khi
h
nhỏ thì


h

là một đại lượng nhỏ và khi
0
h


thì


h

tiến đến số 0 chậm hơn
Mh

.
2.6. Công thức Taylor
Ta nhắc lại công thức Taylor ở đây vì nó là công thức quan trọng được sử
dụng để giải xấp xỉ bài toán vi phân bởi bài toán sai phân.
Giả sử


F x
là một hàm số xác định và có đạo hàm đến cấp
1
m

trong một
khoảng


,
 
chứa
x
và
x x

 
,
x

có thể dương hay âm. Khi đó theo
công thức Taylor ta có:
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 1
1

2! ! 1 !
m m
m m
x x x
F x x F x xF x F x F x F c
m m


  
 
        


(2.3)
trong đó
c
là một điểm ở trong khoảng từ
x
đến
x x
 
.
Có thể viết:
c x x

  
với
0 1

 
.
Ta giả thiết thêm:
22

 
 
 
1
ons , ,
m
F x M c t x
 


  
Khi đó
 
 
 
 
1
1
1 !
m
m
x
F c
m




là một vô cùng bé khi
0
x
 
. Tức là tồn tại hằng
số
0
K

không phụ thuộc vào
x


sao cho:

 
 
 
   
 
1
1
1
1 !
m
m
m
x
F c K x
m




 


Công thức Taylor ở trên có thể viết gọn hơn như sau:
     
 
 
 

 
   
 


2
1

2! !
m
m
m
x x
F x x F x xF x F x F x O x
m

 
 
         

(2.4)
2.7. Liên hệ giữa đạo hàm và đạo hàm lưới
Giả sử hàm


y x
đủ trơn. Theo công thức Taylor (2.4) ta có:












2
1i i i i
y x y x h y x hy x O h


    
Ta suy ra





 
 
1i i
xi i
y x y x
y y x O h
h




   (2.5)











2
1i i i i
y x y x h y x hy x O h


    





 
 
1i i
i
xi
y x y x
y y x O h

h



   (2.6)
Ngoài ra với quy ước:
23



1 1 1
2 2 2
,
2
i
i i i
h
x x y y x
  
  
Ta còn có

 
     
 
 
     
 
1 1 1 1
2 2 2 2

1 1 1 1
2 2 2 2
2
3
1
2
3
1
2 2 2! 2
1
2 2 2! 2
i
i i i i
i
i i i i
h h h
y x y x y x y x y x O h
h h h
y x y x y x y x y x O h

   
   
   
 
     
   
   
   
 
     

   
   

Ta suy ra:
   




1
2
3
1i i
i
y x y x hy x O h



  
Do đó:




 
 
1
2
1 2
1

i i
xi
i
xi
y x y x
y y y x O h
h





    (2.7)
Đồng thời:




 
 
1
2
1 2
2
i i
i
y x y x
y x O h




  . (2.8)
2.8. Phương pháp sai phân
Ta tìm cách tính gần đúng giá trị của nghiệm đúng


i
y x
tại các nút
h
i
x

. Gọi các giá trị gần đúng đó là
i

. Muốn có
i

ta thay bài toán vi
phân (2.1) – (2.2) bởi bài toán sai phân:



h i i i
x
xi
L a q f
  
   

(2.9)

0
,
N
   
 
(2.10)
trong đó:
   
, ,
2
i i i i i i
h
a p x q q x f f x
 
   
 
 
.
2.9. Giải bài toán sai phân bằng phương pháp truy đuổi
Viết cụ thể bài toán (2.9) - (2.10) ta có:
24



2 2
1 1 1 1
, 1,2, , 1
i i i i i i i i i

a a a h q a h f i N
  
   
      
(2.11)

0
,
N
   
 
(2.12)
Đó là môt hệ đại số tuyến tính dạng ba đường chéo có thể giải bằng phương
pháp truy đuổi.
Xét hệ ba đường chéo tổng quát:

1 1
, 1,2, , 1
i i i i i i i
A y C y B y F i N
 
     
(2.13)

0 1 1 1 2 1 2
,
N N
y m y n y m y n

   

(2.14)
trong đó:

0, 0, 0
i i i i i i
A B D C A B
     
(2.15)

1 2 1 2
0 1, 0 1, 2
m m m m
     
(2.16)
Như vậy hệ (2.11) – (2.12) là trường hợp riêng của hệ (2.13) – (2.14) khi:

2 2
1 1
, , ,
i i i i i i i i i
A a B a C a a h q F h f
 
     

1 2 1 2
0, 0, ,m m n n
 
   
.
2.9.1. Phương pháp truy đuổi từ phải

Ta tìm nghiệm của hệ (2.13) – (2.14) ở dạng:

1 1 1
i i i i
y y
 
  
 
(2.17)
Khi đã biết các
i

và
i

thì (2.17) cho phép tính các
i
y
lùi từ phải sang trái.
Vì lẽ đó phương pháp mang tên phương pháp truy đuổi từ phải.
Để tính các
i

,
i

ta viết (2.17) trong đó thay
i
bởi
1

i

:
1
i i i i
y y
 

 

Thay
1
i
y

này vào (2.13) ta được:


1
i i i i i i i i i
C A y B y A F
 

   
(2.18)

Do
0
i i i
C A


 
(2.19)
Điều kiện này được thỏa mãn nhờ giả thiết (2.15) – (2.16). Vì ta có:
25
Theo giả thiết (2.16) ta có
1
0 1
m
 
nên
1
0 1

 
. Do đó:



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
2
1 1 1
1 0
0 1
C A A B A B A B
B
C A
  



        
   


Một cách tương tự, giả sử
0 1, 2, ,
i
i k

  
. Ta chứng minh đúng với
1
i k
 
. Điều này rõ ràng vì

   
1
0 1
1
k k
k
k k k k k k k k k
B B
C A C A B B A

 

   

     

Ta suy ra:



1 0,
i i i i i i i i i i
C A A B A B A B i
  
         

Giả thiết (2.15) – (2.16) cũng là điều kiện đảm bảo cho công thức truy đuổi ổn
định.
Với điều kiện (2.19) thì (2.18) cho:
1
i i i i
i i
i i i i i i
B A F
y y
C A C A

 


 
 

Đối chiếu với (2.17) ta suy ra:

1 1
,
i i i i
i i
i i i i i i
B A F
C A C A

 
 
 

 
 
(2.20)
Tại
0
i

, công thức (2.17) viết:
0 1 1 1
y y
 
 

Đối chiếu với công thức thứ nhất của (2.14) ta suy ra:
1 1 1 1
,
m n
 

 
(2.21)

Sau đó từ (2.20) cho phép tính tất cả các
,
i i
 
.
Bây giờ công thức (2.17) tại
1
i N
 
viết:
1
N N N N
y y
 

 

Kết hợp với công thức thứ hai của (2.14), ta được:



2 2 2
1
N N N
m y n m
 
   (2.22)