Ứng dụng định lý BaBuska-Brezzi đối với một số bài toán biên elliptic

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Văn Bằng, người
đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn
thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, các thầy cô giáo giảng
dạy chuyên ngành Toán giải tích, gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ
vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn
thành luận văn.
Hà Nội, tháng 08 năm 2013
Tác giả
Linh Thị Thanh Loan
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của cá nhân tôi,
dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng. Luận văn là sự tổng hợp
các kết qủa trong các tài liệu tham khảo xoay quanh chủ đề ứng dụng
của Định lý Babuska-Brezzi đối với một số bài toán biên elliptic.
Hà Nội, tháng 08 năm 2013
Tác giả
Linh Thị Thanh Loan
Mục lục
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Danh mục kí hiệu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1. Hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1. Hàm thử và phân bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2. Một số phép toán với phân bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3. Biến đổi Fourier và không gian Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.4. Hàm suy rộng tăng chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.2. Xấp xỉ bởi các hàm trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.3. Các định lý thác triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.4. Các định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.5. Các định lý nhúng compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.6. Không gian đối ngẫu, không gian bậc phân số và không gian vết . . . . . . . . . . 26
1.2.7. Lý thuyết vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Chương 2. Định lý Babuˇska – Brezzi và ứng dụng . . . 33
2.1. Bài toán biến phân và định lý Babuˇska – Brezzi . . . . 33
2.1.1. Bài toán biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.2. Định lý Babuˇska – Brezzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2. Ứng dụng đối với một số bài toán biên elliptic . . . . 40
2.2.1. Phương trình song điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.2. Hệ đàn hồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1
2.2.3. Hệ Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Các bài toán biến phân đã xuất hiện từ rất lâu, thu hút được sự quan
tâm của nhiều nhà toán học nổi tiếng trong các thế kỷ XVII – XIX và
có ảnh hưởng rất lớn đối với sự phát triển của Giải tích toán học. Nhưng
phải đến thế kỷ XX bài toán biến phân mới được hình thành với tư cách
là một lý thuyết toán học độc lập, với nhiều hướng nghiên cứu khác
nhau. Cho tới ngày nay, nghiên cứu các bài toán biến phân chủ yếu được
tập trung vào ba vấn đề chính:
- Nghiên cứu định tính (điều kiện cần và đủ để có nghiệm, các định
lý đối ngẫu, cấu trúc tập nghiệm, tính ổn định nghiệm, . );
- Nghiên cứu định lượng (xây dựng các thuật toán tìm nghiệm thỏa

mãn các tiêu chuẩn cho trước, xác định tập nghiệm, . );
- Ứng dụng (giải quyết các bài toán về kinh tế, bất đẳng thức biến
phân, bài toán cân bằng, phương trình đạo hàm riêng,. . . ).
Một trong những vấn đề quan trọng của bài toán biến phân là nghiên
cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm. Không phải tính chất định tính
nào cũng được sử dụng trong nghiên cứu định lượng, nhưng các kết quả
nghiên cứu định tính thường giúp ta có cái nhìn sâu hơn vào lớp bài
toán được xét và hiểu nó ngày một đầy đủ hơn. Đã có rất nhiều các
công trình toán học nghiên cứu về vấn đề này, trong đó phải kể đến hai
nhà toán học Ivo Babuˇska và Franco Brezzi với định lý Babuˇska-Brezzi,
3
cho ta một điều kiện để xác định bài toán biến phân có nghiệm duy
nhất. Kết quả này được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực toán học
khác nhau như tối ưu hóa, phương trình vi phân và phương trình đạo
hàm riêng.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về ứng dụng của định lý Babuˇska-
Brezzi, dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Trần Văn Bằng, tôi mạnh
dạn chọn đề tài “Ứng dụng định lý Babuˇska-Brezzi đối với một
số bài toán biên elliptic”.
Luận văn được cấu trúc thành 2 chương. Chương 1 được dành để đưa
ra một số kiến thức căn bản về lý thuyết hàm suy rộng và không gian
Sobolev. Chương 2 trình bày tổng quan về định lý Babuˇska-Brezzi và
ứng dụng của nó đối với một số bài toán biên Elliptic.
4
Danh mục kí hiệu
∆u
n
i 1
2
u

x
2
i
: toán tử Laplace của u.
∇u
u
x
1
, ,
u
x
n
: gradient của u.
R
n
x x , x
n
R
n 1
R
n
x
n
0 .
C Ω : không gian các hàm liên tục trên Ω.
C Ω : không gian các hàm liên tục trên Ω.
C
k
Ω u C Ω D
α

u C
Ω , α k .
C
k
Ω u C
k
Ω D
α
u liên tục đều trên Ω .
C
Ω
k 0
C
k
Ω ; C
Ω
k 0
C
k
Ω .
L
p
Ω f đo được, lũy thừa bậc p khả tích trênΩ
với chuẩn
f f
Ω
f x
p
dx
1

p
, p 1
D
Ω : không gian các C
- hàm với giá compact trong Ω.
D
Ω : không gian các hàm suy rộng trên Ω.
S : không gian Schwartz của các hàm giảm nhanh trong R
n
.
S : không gian các hàm suy rộng tăng chậm trên R
n
.
W
m,p
Ω : không gian Sobolev với 1 p .
W
m,p
0
Ω : bao đóng của D Ω trong W
m,p
.
W
m,2
Ω H
m
Ω ; W
m,2
0
Ω H

m
0
Ω .
W
0,p
Ω L
p
Ω ; W
0,2
Ω L
2
Ω .
5
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Nội dung của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu
[1]-[5].
1.1. Hàm suy rộng
Khi nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng, theo nghĩa cổ điển -
nghiệm phải là hàm có số lần khả vi bằng cấp của phương trình và thỏa
mãn phương trình mọi nơi trong không gian và thời gian. Tuy nhiên,
quan niệm như vậy rất hạn chế và một số phương trình mà nó mô tả
hiện tượng vật lý sẽ không có nghiệm, nên sẽ cản trở việc nghiên cứu
toán học từ các trạng thái vật lý đó. Do vậy việc mở rộng khái niệm
nghiệm của phương trình đạo hàm riêng là cần thiết, tức là cần thiết
mở rộng khái niệm hàm khả vi. Nói cách khác, ta sẽ nghiên cứu lớp rộng
hơn gồm các đối tượng được gọi là phân bố (hay hàm suy rộng)- trên đó
ta có thể định nghĩa đạo hàm (suy rộng) sao cho các quy tắc tính toán
thông thường vẫn đúng. Ngoài ra, đối với các hàm trơn, khái niệm đạo
hàm mới phải trùng với đạo hàm thông thường.

Cho f L
2
R - không gian các hàm bình phương khả tích trên R.
Có thể chỉ ra rằng không gian D -các hàm khả vi vô hạn với giá compact
6
trong R là trù mật trong L
2
R (giá của hàm φ : R R (hoặc C) là tập
K
x R φ x 0 . (1.1.1)
Khi đó, vì L
2
R là không gian Hilbert nên f sẽ hoàn toàn xác định
khi biết tích vô hướng của nó với mỗi phần tử của D, nghĩa là, khi biết
tất cả các số
Ω
fφ, φ D. Lúc này giả sử f là khả vi liên tục, với đạo
hàm f . Tích phân từng phần, ta có
R
f φ
R
fφ . (1.1.2)
Lưu ý rằng vế phải của (1.1.2) không liên quan tới đạo hàm của f. Hơn
nữa các ánh xạ φ
R
fφ và φ
R
fφ là tuyến tính trên D. Do đó
nếu ta có thể xác định một tôpô tương thích trên D làm cho các ánh xạ
đó liên tục, thì ta có thể định nghĩa f như một phiếm hàm tuyến tính

liên tục trên D và định nghĩa f thông qua vế phải của (1.1.2) ngay cả
khi f không khả vi, miễn là tích phân có nghĩa.
1.1.1. Hàm thử và phân bố
Cho φ là hàm liên tục giá trị thực (hoặc phức) xác định trên tập mở
trong R
n
. Giá của φ, được viết là supp
φ là bao đóng (trong R
n
) của
tập, trên đó φ 0 (xem (1.1.1)). Nếu tập đóng này là compact, thì φ
được gọi là có giá compact.
Tập tất cả các hàm khả vi vô hạn trên R
n
với giá compact là một không
gian vectơ và được ký hiệu bởi D R
n
hoặc đơn giản là D và được gọi
là không gian các hàm thử.
7
Định lý 1.1.1. (C - phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương)
Cho Ω R
n
là một tập mở và Ω
i I
Ω
i
, Ω
i
- mở. Khi đó, tồn tại

các hàm φ
i
C Ω sao cho
i supp
φ
i
Ω
i
,
ii supp φ
i
i I
hữu hạn địa phương,
iii 0 φ
i
x 1, i I,
iv
i I
φ
i
1.
Hệ quả 1.1.1. Cho K R
n
là một tập compact. Khi đó, φ D R
n
sao cho φ 1 trên K.
Hàm φ được xây dựng ở trên được gọi là hàm cắt theo tập compact
K.
Nếu Ω là một tập mở trong R
n

, thì không gian các C - hàm với giá
compact và chứa trong Ω sẽ được ký hiệu bởi D
Ω .
Định nghĩa 1.1.1. Một dãy hàm φ
m
D Ω được gọi là hội tụ tới 0
nếu tồn tại tập compact cố định K Ω sao cho supp φ
m
K với mọi
m và φ
m
và tất cả các đạo hàm của nó hội tụ đều tới 0 trên K.
Như đã chỉ ra ở phần đầu, ta sẽ khái quát khái niệm hàm bằng cách
xét các phiếm hàm tuyến tính trên D Ω liên tục đối với tôpô đã đề cập
ở trên.
Định nghĩa 1.1.2. Phiếm hàm tuyến tính T trên D Ω được gọi là một
phân bố trên Ω nếu với mọi φ
m
0 trên D Ω ta có T φ
m
0.
Như vậy, không gian các phân bố là đối ngẫu của không gian các hàm
8
thử, được ký hiệu bởi D
Ω . Trường hợp Ω R
n
, ta viết đơn giản là
D .
Nhận xét 1.1.1. Từ định nghĩa ta thấy rằng:
i, Hàm khả tích địa phương là phân bố.

ii, Độ đo là phân bố.
Ta kết thúc mục này với khái niệm cấp của phân bố.
Định lý 1.1.2. Cho Ω R
n
là tập mở. Khi đó các khẳng định sau là
tương đương:
i T D Ω .
ii Với mỗi tập compact K Ω, tồn tại hằng số C C K 0 và
số nguyên N N K sao cho
T φ C φ
N
(1.1.3)
với φ D
Ω mà supp φ K, trong đó φ
N
là giá trị tuyệt đối lớn
nhất trên Ω của φ và tất cả các đạo hàm của nó có cấp không quá N .
Nếu có một số nguyên N thỏa mãn đối với K thì T gọi là có cấp
hữu hạn và số N nhỏ nhất được gọi là cấp của T. Nếu không thì T được
gọi là có cấp vô hạn.
1.1.2. Một số phép toán với phân bố
Trong mục này ta sẽ nghiên cứu một số phép toán quen thuộc của
Giải tích được áp dụng đối với phân bố.
Cho x R
n
với tọa độ
x
1
, , x
n

. Một đa chỉ số là n - bộ
α α
1
, , α
n
, α
i
0, α
i
nguyên.
9
Liên kết với đa chỉ số α, ta có các kí hiệu sau:
α α
1
α
n
α! α
1
! α
n
!
x
α
x
α
1
1
x
α
n

n
, x R
n
(1.1.4)
Ta nói rằng hai đa chỉ số α và β có mối liên hệ α β nếu α
i
β
i
với
1 i n. Cuối cùng ta đặt
D
α
D
α
1
1
D
α
n
n
α
x
α
1
1
x
α
n
n
(1.1.5)

Như vậy, chẳng hạn, nếu n 2 và α 2, 1 thì
D
α
3
x
2
1
x
2
Phép toán quan trọng đầu tiên trên các phân bố là phép lấy vi phân.
Cho T D R . Nếu T T
f
với f là hàm khả vi cấp 1 thì f khả tích
địa phương. Vì vậy với φ D R
T
f
φ
R
f φ
R
fφ T
f
φ .
Tổng quát hóa điều này, ta định nghĩa với bất kỳ T D R ,
T
φ T φ , φ D R . (1.1.6)
Nói chung, nếu T D Ω , Ω R
n
là một tập mở, thì với đa chỉ số α
bất kỳ, ta định nghĩa phân bố D

α
T bởi
D
α
T
φ 1
α
T
D
α
φ
, φ D Ω . (1.1.7)
Một phép toán quan trọng khác trên các phân bố là phép nhân với
C - hàm. Cho Ω R
n
là tập mở và φ
m
là một dãy trong D Ω hội
10
tụ về 0. Khi đó theo công thức Leibniz cổ điển với hàm trơn, dễ dàng
thấy rằng ψφ
m
0 trong D
Ω . Do đó đối với bất kỳ phân bố T , ta có
T ψφ
m
0. Vì vậy ánh xạ được xác định bởi φ T ψφ , φ D Ω
với ψ cố định thuộc C Ω và T D
Ω xác định một phân bố. Ta ký
hiệu là ψT . Như vậy

ψT φ T ψφ , φ D Ω (1.1.8)
Nếu T là một hàm, tức là T T
f
thì ψT T
ψf
. Vì vậy phép nhân với
một C - hàm của một phân bố là sự mở rộng của khái niệm phép nhân
của hai hàm. Các quy tắc quen thuộc của giải tích vẫn đúng. Ví dụ, cho
ψ C R và T D R . Lấy φ D R . Khi đó
d
dx
ψT φ ψT
dφ
dx
T ψ
dφ
dx
T
d
dx
ψφ
T
dψ
dx
φ
ψ
dT
dx
dψ
dx

T φ
Như vậy ta có quy tắc đạo hàm của tích:
d
dx
ψT ψ
dT
dx
dψ
dx
T. (1.1.9)
Điều này có thể dễ dàng được khái quát như sau:
Định lý 1.1.3. (Công thức Leibniz)
Cho Ω R
n
là một tập mở, ψ C
Ω , T D Ω . Khi đó, với đa
chỉ số α bất kỳ,
D
α
ψT
β α
α!
β! α β !
D
β
ψD
α β
T.
11
Cuối cùng ta xét dãy các phân bố. Trên không gian các phân bố

D
Ω , ta xét tôpô yếu*; tức là ta nói rằng một dãy các phân bố T
m
hội tụ tới phân bố T nếu với mỗi φ D Ω ,
T
m
φ T φ .
Định lý 1.1.4. Cho T
m
T trong D Ω . Khi đó với đa chỉ số α bất
kỳ, ta có D
α
T
m
D
α
T trong D Ω .
1.1.3. Biến đổi Fourier và không gian Schwartz
Định nghĩa 1.1.3. Cho f L
1
R
n
. Biến đổi Fourier của f, ký hiệu
bởi f, là một hàm xác định trên R
n
bằng công thức
f ξ
R
n
e

2πixξ
f x dx, i 1, (1.1.10)
trong đó xξ
n
j 1
x
j
ξ
j
là tích vô hướng trong R
n
.
Vì f L
1
R
n
nên trực tiếp thấy rằng
f
ξ là xác định với mỗi
ξ R
n
. Ta có
f ξ f
L
1
R
n
. (1.1.11)
Không gian Schwartz là không gian con của L
1

R
n
, và bất biến qua
biến đổi Fourier, gồm các C - hàm có tính chất, nó cùng với tất cả các
đạo hàm giảm nhanh ở vô hạn, nghĩa là giảm tới 0 tại nhanh hơn lũy
thừa bất kỳ của x
1
. Chính xác hơn
Định nghĩa 1.1.4. Không gian Schwartz, hay không gian các hàm giảm
nhanh, S, được cho bởi
S f C R
n
lim
x
x
β
D
α
f x 0, đa chỉ số α, β (1.1.12)
12
Nhận xét 1.1.2. Với hai đa chỉ số α, β bất kỳ, ta có
D
α
f
ξ 2πi
α
x
α
f x ξ (1.1.13)
và

2πiξ
β
f
ξ
D
β
f
ξ . (1.1.14)
Đây là các tính chất quan trọng của biến đổi Fourier. Nó biến đổi phép
lấy vi phân thành tích đại số với đa thức và ngược lại.
Định lý 1.1.5. (Công thức Fourier ngược)
Giả sử g S. Khi đó
g x
R
n
e
2πix.ξ
g ξ dξ. (1.1.15)
Hệ quả 1.1.2. Cho f S. Khi đó
f
L
2
R
n
f
L
2
R
n
. (1.1.16)

Hệ quả này dẫn đến mở rộng đầu tiên của biến đổi Fourier tới một
lớp các hàm rộng hơn.
Định lý 1.1.6. (Plancherel)
Tồn tại duy nhất phép đẳng cự lên P : L
2
R
n
L
2
R
n
sao cho
P
f
f, với mỗi f S.
1.1.4. Hàm suy rộng tăng chậm
Cho φ D
R
n
với φ 1 trên hình cầu đơn vị trong R
n
. Đặt φ
m
x
φ
x
m
. Lúc này có thể kiểm tra được φ
m
f f trong S. Vì vậy ta có

D S và phép nhúng là trù mật.
13
Do đó đối ngẫu của S, được ký hiệu là S , có thể được đồng nhất với
không gian con của D
R
n
.
Định nghĩa 1.1.5. Không gian các hàm suy rộng S được gọi là không
gian các hàm suy rộng tăng chậm.
Định lý 1.1.7. Cho T S và α là đa chỉ số. Khi đó
D
α
T
2πi
α
x
α
T (1.1.17)
D
α
T 2πi
α
ξ
α
T . (1.1.18)
1.2. Không gian Sobolev
1.2.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản
Trong mục này ta sẽ nghiên cứu một vài tính chất quan trọng của
không gian Sobolev – cần thiết để nghiên cứu phương trình đạo hàm
riêng ở chương sau. Từ nay trở về sau Ω là một tập mở trong R

n
và Ω
là biên của nó.
Định nghĩa 1.2.1. Cho m 0 là một số nguyên và 1 p . Không
gian Sobolev W
m,p
Ω được định nghĩa bởi
W
m,p
Ω u L
p
Ω D
α
u L
p
Ω , α m . (1.2.1)
Nói cách khác, W
m,p
Ω là tập hợp tất cả các hàm thuộc L
p
Ω sao
cho các đạo hàm suy rộng lên tới cấp m cũng thuộc L
p
Ω . Rõ ràng
W
m,p
Ω là không gian vectơ. Ta trang bị cho nó với chuẩn
u
m,p,Ω
α m

D
α
u
L
p
Ω
(1.2.2)
14
hay tương đương, với 1 p ,
u
m,p,Ω
α m
Ω
D
α
u
p
1 p
α m
D
α
u
p
L
p
Ω
1 p
. (1.2.3)
Sau này ta sẽ không phân biệt giữa hai chuẩn này mặc dù chúng chỉ
tương đương và không bằng nhau. Ta sẽ sử dụng ký hiệu giống nhau cho

cả hai và để ý trong bất kỳ tính toán nào ta sẽ chỉ dùng một trong hai
công thức.
Ký hiệu
i, Trường hợp p 2 :
W
m,2
Ω H
m
Ω (1.2.4)
và với u H
m
Ω , ta ký hiệu chuẩn của nó bởi u
m,Ω
, tức là
u
m,Ω
u
m,2,Ω
. (1.2.5)
ii,
u
m,p,Ω
α m
D
α
u
L
p
Ω
(1.2.6)

trong đó .
m,p,Ω
là nửa chuẩn của W
m,p
Ω bao gồm L
p
- chuẩn của đạo
hàm cấp cao nhất.
Nếu p 2:
.
m,2,Ω
.
m,Ω
.
iii, Không gian L
p
Ω được xét như là trường hợp đặc biệt của lớp
Sobolev ứng với m 0. Đặc biệt, ký hiệu L
p
- chuẩn của hàm bởi
.
0,p,Ω
(vì trong trường hợp này nửa chuẩn và chuẩn giống nhau).
Với L
2
Ω - chuẩn sẽ được ký hiệu bởi .
0,Ω
.
15
Không gian H

m
Ω có tích vô hướng được định nghĩa bởi
u, v
m,Ω
α m
Ω
D
α
u D
α
v, u, v H
m
Ω . (1.2.7)
Tích vô hướng này sinh ra chuẩn được xác định bởi công thức (1.2.3)
khi p 2.
Trường hợp Ω R
n
, không gian H
m
R
n
cũng có thể được định
nghĩa theo biến đổi Fourier. Giả sử u H
m
R
n
. Khi đó theo định
nghĩa, D
α
u L

2
R
n
, với α m. Do đó biến đổi Fourier của D
α
u là
xác định và ta có
D
α
u 2πi
α
ξ
α
u, xem(1.1.18)
và vì vậy ξ
α
u
ξ L
2
R
n
, α m.
Ngược lại, nếu u L
2
R
n
sao cho ξ
α
u ξ L
2

R
n
, α m, ta có
D
α
u L
2
R
n
, α m và vì vậy u H
m
R
n
. Sử dụng bổ đề đại số
sau ta có thể biểu thị điều này dưới dạng tốt hơn.
Bổ đề 1.2.1. Tồn tại hằng số dương M
1
và M
2
chỉ phụ thuộc vào m và
n sao cho
M
1
1
ξ
2
m
α m
ξ
α

2
M
2
1
ξ
2
m
, ξ R
n
. (1.2.8)
Theo Bổ đề trên, ta có thể xác định không gian H
m
R
n
như sau:
H
m
R
n
u L
2
R
n
1 ξ
2
m 2
u ξ L
2
R
n

. (1.2.9)
Hơn nữa, từ Định lý Plancherel suy ra chuẩn
.
m,R
n
trên H
m
R
n
tương
đương với chuẩn
u
H
m
R
n
R
n
1 ξ
2
m
u ξ
2
dξ
1 2
. (1.2.10)
16
Ưu thế của định nghĩa này có thể khái quát với s 0. Nếu s 0 ta
định nghĩa H
s

R
n
bởi
H
s
R
n
u L
2
R
n
1 ξ
2
s 2
u ξ L
2
R
n
(1.2.11)
với chuẩn tương ứng
u
H
s
R
n
R
n
1 ξ
2
s

u ξ
2
dξ
1 2
. (1.2.12)
Trở lại không gian W
m,p
Ω . Ánh xạ
u W
1,p
Ω u,
u
x
1
, ,
u
x
n
L
p
Ω
n 1
(1.2.13)
là một phép đẳng cự của W
1,p
Ω vào L
p
Ω
n 1
nếu ta trang bị không

gian cuối với chuẩn
u
n 1
i 1
u
i
0,p,Ω
hoặc u
n 1
i 1
u
i
p
0,p,Ω
1 p
với u u
i
L
p
Ω
n 1
, tùy thuộc vào việc ta sử dụng công thức
(1.2.2) hoặc (1.2.3) cho chuẩn trên W
1,p
Ω .
Định lý 1.2.1. Với 1 p , W
1,p
Ω là không gian Banach. W
1,p
Ω

là phản xạ nếu 1 p , và tách được nếu 1 p . Đặc biệt, H
1
Ω
là không gian Hilbert tách được.
Nhận xét 1.2.1. i, Các kết quả của Định lý 1.2.1 cũng đúng đối với
W
m,p
Ω với mọi số nguyên m 0. Sau này, trừ khi thực sự cần thiết,
ta sẽ chỉ thiết lập các định lý cho không gian W
1,p
Ω . Mở rộng đến
không gian cấp cao hơn sẽ là hiển nhiên.
ii, Nếu u
m
u trong L
p
Ω và
u
m
x
i
v
i
trong L
p
Ω với 1 i n,
thì u W
1,p
Ω và
u

x
i
v
i
.
17
Định lý 1.2.2. Cho I R là một khoảng mở và u W
1,p
I . Khi đó,
u liên tục tuyệt đối.
Ta có thể kết luận một tính chất quan trọng của W
1,p
I từ định lý
trước, khi I là một khoảng mở bị chặn. Chẳng hạn, I
0, 1 . Khi đó
nếu u W
1,p
I , ta có thể viết
u
x u 0
x
0
u
t dt. (1.2.14)
Theo bất đẳng thức H¨older, nếu q là số mũ liên hợp của p, tức là p
1
q
1
1 thì ta có
u 0 u x u

0,p,I
x
1 q
.
Như vậy nhờ lấy tích phân hai vế ta có
u 0 C u
0,p,I
u
0,p,I
C u
1,p,I
(1.2.15)
trong đó C 0 là hằng số không phụ thuộc vào u. Lúc này sử dụng
(1.2.14) và (1.2.15) ta cũng kết luận rằng: với bất kỳ x I,
u x C u
1,p,I
, C 0, độc lập với u. (1.2.16)
Gọi B là hình cầu đơn vị trong W
1,p
I . Khi đó
B u W
1,p
I u
1,p,I
1 . (1.2.17)
Nếu i : W
1,p
I C
I là phép nhúng (được thiết lập trong Định lý
1.2.2 và liên tục theo (1.2.16)) thì B i B là tập bị chặn đều trong

C I . Hơn nữa, nếu x, y I thì từ (1.2.14), ta có
u x u y u
0,p,I
x y
1 q
u
1,p,I
x y
1 q
. (1.2.18)
18
Từ đây suy ra rằng B là liên tục đồng bậc trong C I . Theo Định lý
Ascoli – Arzela suy ra B là compact tương đối trong C I ; nói cách
khác, ánh xạ i : W
1,p
I C
I là toán tử compact. Đây là một tính
chất quan trọng của không gian Sobolev.
Cuối cùng, ta phải nhắc đến không gian con quan trọng của W
m,p
Ω .
Nếu 1 p , ta biết rằng D
Ω trù mật trong L
p
Ω . Hơn nữa,
nếu φ D Ω thì mọi đạo hàm của φ cũng thuộc D Ω nên D Ω
W
m,p
Ω , đối với bất kỳ m và p. Nếu 1 p , ta định nghĩa không
gian W

m,p
0
Ω như là bao đóng của D Ω trong W
m,p
Ω . Như vậy
W
m,p
0
Ω là một không gian con đóng của W
m,p
Ω và các phần tử của
nó có thể được lấy xấp xỉ theo chuẩn trong W
m,p
Ω bởi các C - hàm
với giá compact. Nói chung đây là một không gian con thực sự của
W
m,p
Ω , ngoại trừ khi Ω R
n
như được chỉ ra dưới đây.
Định lý 1.2.3. Cho 1 p . Khi đó với m 0 nguyên bất kỳ,
W
m,p
R
n
W
m,p
0
R
n

. (1.2.19)
Thông thường, khi p 2 ta viết H
m
0
Ω thay cho W
m,2
0
Ω và vì vậy
H
m
0
R
n
H
m
R
n
. (1.2.20)
1.2.2. Xấp xỉ bởi các hàm trơn
Trong mục này ta sẽ xem xét một số kết quả trù mật đã biết và một
vài hệ quả đơn giản của chúng.
Định lý 1.2.4. (Friedrichs)
19
Cho 1 p và u W
1,p
Ω . Khi đó u
m
D R
n
sao cho

u
m
u trong L
p
Ω và
u
m
x
i
Ω
u
x
i
Ω
trong L
p
Ω với 1 i n và
Ω Ω (tức là Ω compact tương đối trong Ω).
Định nghĩa 1.2.2. Cho Ω R
n
là tập mở. Một toán tử thác triển P
đối với W
1,p
Ω , là toán tử tuyến tính bị chặn
P : W
1,p
Ω W
1,p
R
n

sao cho P u
Ω
u với mỗi u W
1,p
Ω .
Do P là toán tử tuyến tính bị chặn nên
P u
1,p,R
n
C u
1,p,Ω
(1.2.21)
trong đó C 0 là hằng số, mà nói chung sẽ chỉ phụ thuộc vào Ω và p.
Vì vậy nếu Ω là tập sao cho tồn tại toán tử thác triển P thì ta có thể
xét W
1,p
Ω như là không gian các thu hẹp trên Ω của các hàm thuộc
W
1,p
R
n
. Một điều kiện đủ để tồn tại thác triển P là tính trơn của biên
Ω.
Định lý 1.2.5. Nếu Ω là tập mở trong R
n
sao cho có toán tử thác triển
P : W
1,p
Ω W
1,p

R
n
, thì với mỗi u W
1,p
Ω , u
m
D R
n
sao cho u
m Ω
u trong W
1,p
Ω .
Như vậy định lý trên nói rằng: nếu Ω thừa nhận một toán tử thác
triển thì các phần tử của W
1,p
Ω có thể được xấp xỉ bởi các hàm
trong C Ω - là hạn chế của các hàm trong D R
n
. Tuy nhiên, một
định lý khác của Meyers và Serrin nói rằng tập tất cả các hàm trong
20
C
Ω W
1,p
Ω là trù mật trong W
1,p
Ω khi 1 p , với mọi tập
Ω - mở (xem [2]).
Các kết quả đó không thể mở rộng cho trường hợp p . Nếu

Ω R
n
, ta biết rằng cái làm đầy của không gian các hàm liên tục với
giá compact theo L - chuẩn là không gian các hàm liên tục mà triệt
tiêu tại . Vì vậy mặc dù hàm u 1 W
1,
R
n
nhưng nó không thể
được xấp xỉ bởi các phần tử của D R
n
.
Định lý 1.2.6. (Quy tắc đạo hàm hàm hợp)
Cho G C
1
R sao cho G 0 0 và G s M với s R. Giả sử
u W
1,p
Ω . Khi đó hàm G u W
1,p
Ω và
x
i
G u G
u
u
x
i
, 1 i n. (1.2.22)
Định lý 1.2.7. Cho 1 p và u W

1,p
Ω sao cho u triệt tiêu bên
ngoài một tập compact được chứa trong Ω. Khi đó u W
1,p
0
Ω .
Chứng minh. Giả sử K Ω là tập compact sao cho u 0 trên Ω K.
Lấy Ω sao cho K Ω Ω và φ D
Ω là hàm cắt sao cho φ 1
trên K. Khi đó φ u u. Lúc này theo Định lý 1.2.4, tồn tại một dãy
u
m
D R
n
sao cho u
m
u trong L
p
Ω và
u
m
x
i
u
x
i
, 1 i n
trong L
p
Ω . Do đó φu

m
φu trong W
1,p
Ω và vì φu
m
D Ω nên
φu W
1,p
0
Ω , tức là u W
1,p
0
Ω .
Định lý 1.2.8. (Stampacchia)
Giả sử G là hàm liên tục Lipschitz từ R vào chính nó sao cho G
0
0. Khi đó, nếu Ω là bị chặn, 1 p và u W
1,p
0
Ω thì ta có
G u W
1,p
0
Ω .
21
Định lý 1.2.9. Cho 1 p và u W
1,p
Ω C
Ω . Nếu u 0
trên Ω thì u W

1
0
Ω .
Nhận xét 1.2.2. Định lý trên nói rằng các hàm liên tục trên Ω, nếu
thuộc W
1,p
Ω và triệt tiêu trên biên thì thuộc W
1,p
0
Ω . Kết quả đó là
phần quan trọng của Định lý vết rằng: W
1,p
0
Ω chính là tập các hàm
trong W
1,p
Ω có “giá trị biên”, tức là vết, bằng 0.
1.2.3. Các định lý thác triển
Cho x R
n
, x x
1
, , x
n
. Đặt x x
1
, , x
n 1
và viết x
x , x

n
. Khi đó ta định nghĩa
R
n
x R x
n
0 . (1.2.23)
Định lý 1.2.10. Cho u W
1,p
R
n
. Định nghĩa u
trên R
n
bởi
u x
u
x
, x
n
, x
n
0
u
x
, x
n
, x
n
0.

Khi đó u W
1,p
R
n
và hơn nữa
u
0,p,R
n
2 u
0,p,R
n
u
1,p,R
n
2 u
1,p,R
n
(1.2.24)
Đặc biệt, u u xác định một toán tử thác triển từ W
1,p
R
n
vào
W
1,p
R
n
.
Hệ quả 1.2.1. Cho 1 p . Hạn chế của các phần tử thuộc D
R

n
trên R
n
là trù mật trong W
1,p
R
n
. Đặc biệt, C R
n
trù mật trong
W
1,p
R
n
.
22
Định lý 1.2.11. Cho Ω R
n
là tập mở thuộc lớp C
1
, với biên Ω bị
chặn. Khi đó tồn tại toán tử thác triển P : W
1,p
Ω W
1,p
R
n
.
Hệ quả 1.2.2. Nếu Ω C
1

và Ω bị chặn thì C Ω trù mật trong
W
1,p
Ω , 1 p .
Định lý 1.2.12. Cho 1 p và u W
1,p
0
Ω , Ω là tập mở trong R
n
.
Khi đó nếu u là thác triển của u bằng 0 bên ngoài Ω, thì u W
1,p
R
n
.
Hơn nữa,
u
x
i
u
x
i
, 1 p n. (1.2.25)
Ta kết thúc mục này với một tính chất quan trọng của không gian
W
1,p
0
Ω .
Định lý 1.2.13. (Bất đẳng thức Poincaré)
Cho Ω là tập mở bị chặn trong R

n
. Khi đó tồn tại hằng số dương
C C
Ω, p sao cho
u
0,p,Ω
C
u
1,p,Ω
, với mỗi u W
1,p
0
Ω . (1.2.26)
Đặc biệt, u
u
1,p,Ω
xác định một chuẩn trên W
1,p
0
Ω mà tương đương
với chuẩn
.
1,p,Ω
. Trên H
1
0
Ω , dạng song tuyến tính
u, v
Ω
n

i 1
u
x
i
x
x
i
là một tích vô hướng sinh ra chuẩn .
1,Ω
tương đương với chuẩn .
1,Ω
.
Ví dụ 1.2.1. Bất đẳng thức Poincaré không đúng trong miền không
bị chặn. Ví dụ, cho Ω R
n
và xét ζ D
R
n
sao cho ζ 1 trên
x 1 và ζ 0 trên x 2 và 0 ζ 1. Đặt ζ
m
x ζ x m .
23