Tìm hiểu mô hình lạm phát trong vũ trụ học

bộ giáo dục và đào tạo
trường đại học sư phạm hà nội 2
Luận văn thạc sĩ khoa học vật chất
nguyễn thị hồng khuyên
Tìm hiểu mô hình lạm phát của vũ trụ học
luận văn thạc sĩ khoa học vật chất
Hà Nội - 2013
bộ giáo dục và đào tạo
trường đại học sư phạm hà nội 2
nguyễn thị hồng khuyên
Tìm hiểu mô hình lạm phát của vũ trụ học
Chuyên ngành : Vật lí lí thuyết và Vật lí toán
Mã số: 60.44.01.03
Luận văn thạc sĩ khoa học vật chất
Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. Đỗ Thị Hương
Hà Nội - 2013
Tìm hiểu mô hình lạm phát của vũ trụ học
Ngày 28 tháng 12 năm 2013
Mục lục
Lời cảm ơn 3
Lời cam đoan 4
Lời nói đầu 5
0.1 Lí do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.2 Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . 8
0.5 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . 8
0.6 Giả thiết khoa học . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1 Mô hình vũ trụ học chuẩn 9
1.1 Lý thuyết tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Phép biến đổi tọa độ tổng quát . . . . . . 9

1.1.2 Dịch chuyển song song và đạo hàm hiệp
biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Tensor độ cong và độ cong vô hướng . . . . . . . 11
1.2.1 Phương trình Einstein . . . . . . . . . . . 13
1.3 Mô hình vũ trụ chuẩn học . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Các nguyên lý cơ bản của vũ trụ . . . . . 17
1.3.2 Metric Robertson Walker . . . . . . . . . . 17
1.3.3 Mô hình vũ trụ chuẩn học. . . . . . . . . . 21
1
2 Mô hình lạm phát 41
2.1 Lich sử phát triển của các mô hình lạm phát . . 41
2.2 Cơ sở động học của quá trình lạm phát . . . . . . 42
2.3 Cơ sở thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Mối liên hệ giữa tham số thực nghiệm và lý thuyết. 44
2.5 Vũ trụ sẽ giãn nở theo quy luật hàm mũ với thế
năng của trường vô hướng thỏa mãn điều kiện cuộn
chậm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.6 Mô hình lạm phát cải tiến . . . . . . . . . . . . . 50
Kết luận 55
2
Lời cảm ơn
Lời đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn tới Trường Đại học Sư Phạm
Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành
khóa học của mình. Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới toàn
thể các thầy cô trong nhà trường đã giảng dạy, chỉ bảo tận tình
trong quá trình tôi học tập tại trường.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể các thầy cô trong Tổ Vật
lí lí thuyết khoa Vật lí Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã
tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành luận văn của
mình. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới cô

giáo TS. Đỗ Thị Hương, người đã trực tiếp chỉ bảo và hướng dẫn
tôi tận tình trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Cuối cùng tôi xin được cảm ơn gia đình, bạn bè, các đồng
nghiệp, những người đã luôn ở bên để giúp đỡ và chia sẻ những
khó khăn với tôi trong suốt thời gian học tập hoàn thành luận
văn của mình.
Hà Nội, tháng 11 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Thị Hồng Khuyên
3
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong
luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác.
Tôi cũng xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn và sự giúp
đỡ trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Tác giả
Nguyễn Thị Hồng Khuyên
4
Mở đầu
0.1 Lí do chọn đề tài
Thuyết tương đối rộng (GR) [1, 2]đã được chấp nhận rộng
rãi như môt lý thuyết cơ bản được mô tả bởi tính chất hình học
của không thời gian. Mô hình vũ trụ chuẩn học dựa trên cơ sở
của lý thuyết tương đối rộng và giả thiết không gian vũ trụ là
đồng nhất và đẳng hướng. Mô hình vũ trụ chuẩn đã xác nhận
vũ trụ chúng ta đang sống đã trải qua 15 nghìn tỉ năm kể từ khi
mới sinh ra. Thời điểm ban đầu khi mời hình thành, vũ trụ tồn
tại trong một nền nhiệt độ và mật độ vật chất là vô hạn. Cùng
với sự giãn nở nhanh của vũ trụ đã làm cho mật độ vật chất và
nhiệt độ nền của vũ trụ giảm rất nhanh. Lý thuyết mô tả mô

hình vũ trụ chuẩn học thực sự có ý nghĩa và được sự quan tâm
rộng rãi khi các tiên đoán về bức xạ nền của vũ trụ tại thời điểm
hiện tại là hoàn toàn phù hợp với khám phá thực nghiệm [5]. Tuy
nhiên,đến cuối những năm 70, khi vật lý hạt cơ bản phát triển,
lý thuyết mô tả vũ trụ lại gặp những khó khăn khi so sách với lý
thuyết của vật lý hạt cơ bản về các vấn đề như phân cực từ, vấn
đề hấp dẫn Hơn nữa, mô hình vũ trụ chuẩn học còn gặp những
khó khăn cơ bản khi giải thích các vấn đề về vũ trụ phẳng, vấn
đề đường chân trời Tuy nhiên tất cả các vấn đề này đều có thể
giải quyết trên viễn cảnh lạm phát trong vũ trụ. Viễn cảnh lạm
phát trong vũ trụ giải quyết các khó khăn trên của mô hình vũ
trụ chuẩn học đã được nghiên cứu rất kỹ trong các tài liệu [7, 8].
Viễn cảnh lạm phát trong vũ trụ dựa trên ý tưởng vũ trụ tại thời
kỳ đầu, nó giãn nở rất nhanh với hệ số giãn nở phụ thuộc vào
thời gian theo hàm số mũ với hệ số dương. Sự giãn nở nhanh đã
tạo ra vũ trụ là phẳng, đồng nhất, đẳng hướng như hiện tại. Hơn
5
nữa sự mở rộng nhanh trong vũ trụ đã tạo ra mật độ đơn cực từ,
mật độ hấp dẫn giảm nhanh và tạo ra một mật độ vô cùng nhỏ
để trốn thoát khỏi thực nghiệm của chúng ta.
Để xây dựng lời giải của vũ trụ lạm phát chúng ta có thể xây
dựng dựa trên các quan điểm sau đây.
• Cách đơn giản nhất để có lời giải vũ trụ giãn nở theo hàm
số mũ là chúng ta cần có một dạng vật chất mới trong vũ
trụ thỏa mãn điều kiện P = ωρ với ω < 0. Điều kiện này có
nghĩa là vũ trụ có thể bị thống trị bởi năng lượng tạo nên
hằng số vũ trụ, ω = −1. Trong trường hợp này, lời giải của
phương trình Einstein tạo ra vũ trụ giãn nở theo hàm số mũ.
Tuy nhiên, nếu chúng ta giả thiết thời kỳ đầu, năng lượng vũ
trụ đã bị chiếm đóng bởi dạng năng lượng có nguồn gốc từ

hằng số vũ trụ thì chúng ta sẽ không chỉ ra được thời điểm
nào mà lạm phát vũ trụ kết thúc.Tuy nhiên, sự tăng tốc của
Vũ trụ ở giai đoạn cần thiết phải kết thúc và nối tiếp bởi giai
đoạn bức xạ thống trị Vũ trụ. Chính vì vậy, hằng số Vũ trụ
là không phù hợp cho giai đoạn đầu tăng tốc Vũ trụ. Chúng
ta cần xây dựng các cơ chế cho quá trình lạm phát sao cho
phù hợp với thực nghiệm.
• Chúng ta mở rộng lý thuyết tương đối rộng dựa trên việc mở
rộng Lagrangian mô tả hấp dẫn của Einstein. Lagrangian mô
tả hấp dẫn có thể là hàm phi tuyến của tensor độ cong R.
Tức là, Lagrangian mô tả trường hấp dẫn có dạng L = f(R).
Công việc này được thực hiện đầu tiên bởi Starobinsky. Tuy
nhiên, khi làm việc với lý thuyết f(R) thì lý thuyết hấp dẫn
trở lên phức tạp.
• Chúng ta có thể xây dựng ý tưởng lạm phát dựa trên quan
điểm của vật lý hạt cơ bản. Cụ thể, chúng ta giả thiết thời kỳ
đầu, năng lượng của vũ trụ được mô tả thông qua thế năng
của vô hướng. Năng lượng chân không của thể vô hướng sẽ
đảm bảo lời giải vũ trụ được tăng tốc. Kết hợp với điều kiện
cuộn chậm của thế, chúng ta có thể đưa ra hệ quả: Quá trình
lạm phát Vũ trụ kết thúc. Cụ thể là: Sau khi lạm phát, thì
mật độ năng lượng của trường vô hướng sẽ chuyển thành
6
nhiệt năng và làm nóng lại vũ trụ và vũ trụ sẽ tiến triển tiếp
theo như sự tiên đoán trong mô hình vũ trụ chuẩn hoc.
Trong luận văn này, chúng tôi sẽ tập trung vào tìm hiểu cơ chế
lạm phát của vũ trụ dựa trên quan điểm của vật lý hạt cơ bản.
Cụ thể, nội dung của luận văn sẽ được bố cục như sau:
• Trong chương 1, tôi sẽ trình bày về hình thức luận của lý
thuyết RG. Dựa trên lý thuyết RG, tôi sẽ tìm kiếm metric

thỏa mãn điều kiện Vũ trụ là đồng nhất và đẳng hướng và
đang giãn nở sẽ được nghiên cứu. Các lời giải của về sự giãn
nở của Vũ trụ trong mô hình Vũ trụ chuẩn học sẽ được trình
bày.
• Trong chương 2, chúng tôi sẽ nghiên cứu về cơ chế xây dựng
viễn cảnh lạm phát dựa trên quan điểm vật lý hạt cơ bản. Cụ
thể chúng tôi sẽ khảo sát mô hình lạm phát đơn giản nhất,
mô hình này chúng ta chỉ cần đưa vào một trường vô hướng
với các điều kiện cực tiểu thế. Trên cơ sở đó, chúng tôi sẽ
đánh giá ưu điểm và nhược điểm của mô hình này.
• Chương 3, chúng tôi sẽ trình bầy về mô hình lạm phát. Trong
mô hình lạm phát cải tiến, chúng tôi sẽ sử dụng hai trường
vô hướng để mô tả. Từ các điều kiện đưa vào, chúng tôi sẽ
chỉ ra các ưu điểm và nhược điểm của mô hình này.
• Trong chương 4 , chúng tôi sẽ tổng kết lại các kết quả đã
trình bày trong luận văn.
0.2 Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu quá trình lạm phát trong vũ trụ trên quan điểm hạt
cơ bản. Cụ thể:
+Mô hình lạm phát cổ điển và từ đó thấy được các hạn chế
+Mô hình lạm phát cải tiến và ưu điểm của mô hình
+Khớp kết quả lý thuyết và thực nghiệm
7
0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu
Hiểu mô hình vũ trụ chuẩn học và mô hình lạm phát. Trên cơ sở
đó ta so sánh giữa lý thuyết và thực nghiệm.
0.4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Giai đoạn đầu của vũ trụ (sát sau 10-43 giây kể từ vụ nổ Bic
Bang).
0.5 Phương pháp nghiên cứu

+Lý thuyết tương đối tổng quát
+Lý thuyết trường lượng tử
0.6 Giả thiết khoa học
Tiếp cận với các mô hình về lạm phát. Trên cơ sở đó, ta hiểu
được cách tiếp cận giữa mô hình lý thuyết và thực nghiệm.
8
Chương 1
Mô hình vũ trụ học chuẩn
1.1 Lý thuyết tương đối
Trong phần này, chúng tôi sẽ tổng quát các kiến thức cơ bản của
thuyết tương đối và vũ trụ học dựa trên bài giảng [10]. Cụ thể
phần kiến thức cơ bản được liệt kê như dưới đây.
1.1.1 Phép biến đổi tọa độ tổng quát
Ta khảo sát phép biến đổi tổng quát từ hệ tọa độ cũ x
µ
sang hệ
tọa độ mới x
µ
:
x
µ
= x
µ
(x), (1.1)
x
µ
= x
µ
(x


) (1.2)
Vi phân tuân theo quy luật biến đổi
dx
µ
=
∂x
µ
∂x
ν
dx
ν
, (1.3)
dx
µ
=
∂x
µ
∂x
ν
dx
ν
(1.4)
Đối với biến đổi Lorentz, đạo hàm riêng
dx
µ
∂x
ν
là hằng số. Biến đổi
(1.3) và (1.4) có tính nghịch đảo
∂x

µ
∂x
α
∂x
α
∂x
ν
= δ
µ
ν
(1.5)
9
Quy luật biến đổi của toán tử vi phân như sau
∂
∂x
µ
=
∂x
ν
∂x
µ
∂
∂x
ν
, (1.6)
∂
∂x
µ
=
∂x

ν
∂x
µ
∂
∂x
ν
(1.7)
Ta định nghĩa trong phần trước, các vectơ hiệp biến trong không
thời gian bốn chiều là biến đổi giống như đạo hàm của trường vô
hướng dưới phép biến đổi Lorentz. Quy luật biến đổi này được
tổng quát hóa cho trường hợp phép biến đổi tổng quát. Tức là
vectơ và tensor biến đổi như sau dưới phép biến đổi tổng quát:
• Đối tượng (object) bốn chiều A
µ
là vectơ phản biến d biến
đổi toạ độ tổng quát nếu nó biến đổi theo
A
µ
=
∂x
µ
∂x
ν
A
ν
(1.8)
• Còn đối tượng B
µ
là vectơ hiệp biến nếu
B


µ
=
∂x
ν
∂x
µ
B
ν
(1.9)
Các tensor hạng cao hơn có quy luật biến đổi
A
αβ···λ
=
∂x
α
∂x
µ
∂x
β
∂x
ν
· ··
∂x
λ
∂x
κ
A
µν···κ
(1.10)

và
B

αβ···λ
=
∂x
µ
∂x
α
∂x
ν
∂x
β
· ··
∂x
κ
∂x
λ
B
µν···κ
(1.11)
tương ứng, là những tensor phản biến và hiệp biến.
1.1.2 Dịch chuyển song song và đạo hàm hiệp biến
Như ta biết khi tính đạo hàm của một vectơ thì chúng ta phải
quy về cùng một tọa độ không gian. Tuy nhiên trong không gian
phẳng khi chúng ta dịch chuyển song song vectơ về cùng một
điểm thì vectơ không bị thay đổi nhưng trong không gian cong
khi chúng ta thực hiện song song một vectơ từ điểm này sang
10
điểm kia thì vectơ sau khi dich chuyển sẽ bị thay đổi. Đây chính

là lý do để đưa ra khái niệm về dịch chuyển song song .
Có rất nhiều cách tiếp cận để đưa ra biểu thức của dịch chuyển
song song [10], tuy nhiên trong luận văn này, tôi không đi sâu
vào các cách tiếp cận đó mà tôi công nhận kết quả và từ đó tìm
hiểu ý nghĩa của hình học và hấp dẫn. Cụ thể, khi dịch chuyển
song song vectơ dọc theo đường cong ta có sự khác biệt giữa vectơ
trước khi dịch chuyển và sau khi dịch chuyển khác biệt như sau:
δA
µ
=
∂x
ν
∂y
α
∂
2
y
α
∂x
µ
∂x
β
dx
β
A
ν
= Γ
ν
µβ
dx

β
A
ν
(1.12)
với
Γ
ν
µβ
≡
∂x
ν
∂y
α
∂
2
y
α
∂x
µ
∂x
β
. (1.13)
Đại lượng Γ
ν
µβ
gọi là hệ số liên kết không gian giữa hai điểm
của không gian. Nó được gọi là liên thông và Affine (hay chỉ số
Christoffel) và nó phụ thuộc vào tính chất của không gian cong.
Do đó, để lấy đạo hàm của trường vectơ, ta phải dịch chuyển
song song A

µ
(x) từ x tới x+dx trước khi thực hiện phép trừ. Khi
đó, ta thu được
lim
dx→0
A
µ
(x + dx) −A
µ
(x) −δA
µ
(x)
dx
ν
= lim
dx→0
A
µ
(x + dx) −A
µ
(x)
dx
ν
− Γ
α
µβ
A
α
dx
β

dx
ν
=
∂A
µ
∂x
ν
− Γ
α
µν
A
α
(1.14)
Đây chính là đạo hàm hiệp biến
1.2 Tensor độ cong và độ cong vô hướng
Chúng ta dịch chuyển vectơ từ vị trí x đến vị trị x+dx có thể theo
nhiều con đường khác và kết quả đạo hàm hiệp biến lấy theo hai
hướng khác nhau là hoàn toàn khác nhau. Cụ thể, chúng ta khảo
11
sát sự khác nhau của đạo hàm hiệp biến lấy theo hai hướng khác
nhau. Xét hệ thức giao hoán của đạo hàm hiệp biến [D
µ
, D
ν
]:
[D
µ
, D
ν
]A

β
= A
β;µ;ν
− A
β;ν;µ
Sau khi thay các định nghĩa đạo hàm hiệp biến vào hệ thức trên,
chúng ta biến đổi theo quy luật tensor, chúng ta thu được kết
quả.
[D
µ
, D
ν
]A
β
= R
α
µνβ
A
α
, (1.15)
trong đó
R
α
βµν
= −Γ
α
βµ,ν
+ Γ
α
βν,µ

+ Γ
σ
βν
Γ
α
σµ
− Γ
σ
βµ
Γ
α
σν
(1.16)
Đại lượng được định nghĩa trong phương trình (1.16) được gọi là
tensor Riemann. Đại lượng này đặc trưng cho độ cong của không
gian.
Chúng tôi muốn nhấn mạnh, xét khoảng không gian vô cùng
nhỏ thì không gian được coi như gần phẳng (không gian như vậy
gọi là không gian thuần chủng Riemann), khi đó tensor metric
không thay đổi, nên đạo hàm hiệp biến của nó bằng không. Do
đó ta có:
∂g
µν
∂x
β
= g
αν
Γ
α
βµ

+ g
µα
Γ
α
βν
∂g
νβ
∂x
µ
= g
αβ
Γ
α
µν
+ g
να
Γ
α
µβ
∂g
βµ
∂x
ν
= g
αµ
Γ
α
µβ
+ g
βα

Γ
α
νµ
⇒
∂g
νβ
∂x
µ
+
∂g
βµ
∂x
ν
−
∂g
µν
∂x
β
= 2g
αβ
Γ
α
µν
⇒ Γ
α
µν
=
1
2
g

αβ
(
∂g
νβ
∂x
µ
+
∂g
βµ
∂x
ν
−
∂g
µν
∂x
β
) (1.17)
Một số tính chất của tensor độ cong Riemann:
• Tính phản xứng:
R
σ
λνµ
= −R
σ
λµν
12
Chứng minh:
Sử dụng điều kiện đối xứng Γ
µ
νρ

= Γ
µ
σν
R
σ
λνµ
= ∂
ν
Γ
σ
µλ
− ∂
µ
Γ
σ
νλ
+ Γ
ρ
µλ
Γ
σ
νρ
− Γ
ρ
µλ
Γ
σ
ρν
= −(∂
ν

Γ
σ
µλ
− ∂
µ
Γ
σ
νλ
) −(Γ
ρ
µλ
Γ
σ
ρν
− Γ
ρ
νλ
Γ
σ
µρ
)
= −R
σ
λµν
(1.18)
• Tính chất hoán vị vòng
R
σ
λνµ
+ R

σ
µλν
+ R
σ
νµλ
= 0
• Tính chất đối xứng và phản đối xứng của R
ρλνµ
Co chỉ số đầu và chỉ số cuối của tensor Riemann, ta được tensor
Ricci R
βµ
, ta dễ dàng chứng minh được R
βµ
đối xứng theo β và
µ
Ngoài ra ta có độ cong vô hướng được định nghĩa :
R = g
βµ
R
βµ
Từ các tensor Riemann và phương trình Einstein, ta tính được
các thành phần của metric g
µν
, từ đó suy ra bán kính độ cong
a(t) mô tả trạng thái và dự đoán tương lai của vũ trụ.
Trạng thái và tương lai của vũ trụ phụ thuộc hoàn toàn g
µν
,
và g
µν

có thể được tính qua các chỉ số liên kết không thời gian và
ngược lại, đồng thời tensor metric thỏa mãn điều kiện g
µν;α
= 0,
hình học thỏa mãn điều này gọi là hình học Riemann.
Như vậy, tensor metric g
µν
quyết định tính chất hình học của
không thời gian. Tuy nhiên yếu tố nào gây nên sự cong của không
gian? Điều này sẽ được trình bày trong phần tiếp theo.
1.2.1 Phương trình Einstein
Xét tác động:
S =

d
4
x
√
−gR + S
M
13
δS =

d
4
x[δ(
√
−g).R +
√
−g.δR] + δS

M
với:
δ
√
−g =
−δg
2
√
−g
Tínhδg
Ta có
1
detg
µν
δ(detg
µν
) = g
µν
δg
µν
(1.19)
Mà detg
µν
= g nên:
1
g
δg = g
µν
δg
µν

δg = g.g
µν
.δg
µν
= −g.g
µν
δg
µν
δ
√
−g = −
1
2
√
−g.g
µν
δg
µν
(1.20)
Tính δR
δR = δ(g
µν
.R
µν
)
= δg
µν
.R
µν
+ g

µν
.δR
µν
(1.21)
Tính δR
µν
Ta có:
δR
µν
= δR
σ
µνσ
= δ(∂
ν
Γ
σ
σµ
− ∂
σ
Γ
σ
νµ
)
= ∂
ν
(δΓ
σ
σµ
) −∂
σ

(δΓ
α
νµ
) (1.22)
Mặt khác:
δΓ
λ
µν
=
1
2
g
λα
(∂
µ
δg
αν
+ ∂
ν
.g
αµ
− ∂
α
δg
µν
)
−δg
αλ
Γ
αβν

=
1
2
g
λα
(δg
αν;µ
+ δg
αµ;ν
− δg
µν;α
) (1.23)
14
Tức là δΓ
λ
µν
, hay δRν có các thành phần là một đạo hàm hiệp
biến.
Ta có:
δS
H
=

d
4
x[−
1
2
√
−g.g

µν
δg
µν
.R +
√
−g.δg
µν
R
µν
]
+

d
4
x.
√
−g.g
µν
.δR
µν
(1.24)
Tích phân I =

d
4
x.
√
−g.g
µν
.δR

µν
= 0 do tích phân của một
đạo hàm hiệp biến lấy trên toàn bộ không gian là bằng không.
⇒ δS
M
=

d
4
x.
√
−gδg
µν
(−
1
2
g
µν
R + R
µν
) (1.25)
Nếu không kể đến tương tác hấp dẫn thì S
ϕ
= 0 , khi đó:
δS = δS
M
(1.26)
Theo nguyên lý tác dụng tối thiểu thì:
δS = 0
δS

H
= 0
−
1
2
g
µν
R + R
µν
= 0
1
2
g
µν
R −R
µν
= 0 (1.27)
Đây là phương trình Einstein trong chân không.
Nếu kể đến trường hấp dẫn thì:
15
δS
M
=

d
4
xδ(
√
−gL
M

)
=

d
4
x[
δ(
√
−gL
M
)
δg
µν
+
√
−g.
δL
M
δ(∂
α
.g
µν
)
.δ(∂
α
.g
µν
)]
=


d
4
x[
δ
√
−gL
M
δg
µν
g
µν
+
√
−g
δL
M
δ(∂
α
g
µν
)
∂
α
(δg
µν
)]
=

d
4

x[
δ
√
−gL
M
δg
µν
g
µν
+ δ
α
(
√
−g
δL
M
δ(∂
α
g
µν
)
δg
µν
)
− ∂
α
(
√
−g
δL

M
δ(∂
α
g
µν
)
)δg
µν
]
=

d
4
x[
δ(
√
−gL
M
)
δg
µν
g
µν
+ δ
α
(
√
−g
δL
M

δ(∂
α
g
µν
)
)]δg
µν
(1.28)
Đặt:
T
µν
=
1
8πG
.
1
√
−g
[
δ(
√
−gL
M
)
δg
µν
− δ
α
(
δ(

√
−gL
M
)
δ(∂
α
g
µν
)
)] (1.29)
là tensor năng xung lượng của trường hấp dẫn, thì:
δS
M
= 8πG

d
4
x
√
−gT
µν
δg
µν
(1.30)
δS =

d
4
x
√

−gδg
µν
[−
1
2
g
µν
R + R
µν
+ 8πGT
µν
] (1.31)
Với δS = 0 ta được:
−
1
2
g
µν
R + R
µν
+ 8πGT
µν
= 0
1
2
g
µν
R −R
µν
= 8πGT

µν
(1.32)
Đây chính là phương trình Einsteinn cho trường hấp dẫn. Phương
trình này mô tả mối tương quan giữa hình học và vật chất. Vế
trái của phương trình là sự mô tả hình học và vế phải của phương
trình là mô tả vật chất.
16
1.3 Mô hình vũ trụ chuẩn học
1.3.1 Các nguyên lý cơ bản của vũ trụ
Để mô tả thế giới thực ta phải chấp nhận tiên đề sau: Vũ trụ
có không gian đồng nhất (homogeneous), đẳng hướng (isotopic)
nhưng nở ra theo thời gian. Bỏ qua sự khác biệt ở khoảng cách
nhỏ, ta coi vũ trụ ở khoảng cách lớn như là chất lỏng với mậtđộ
không đổi ở mọi nơi.
1.3.2 Metric Robertson Walker
Để tìm không gian mô tả vũ trụ, tức là ta cần tìm metric g
µν
. Vì
vây, trong phần tiếp theo chúng tôi sẽ tìm dạng của metric g
µν
mô tả không gian vũ trụ là đồng nhất và đẳng hướng và chúng
giãn nở đồng đều. Trong phần này, tài liêu tham khảo được dựa
trên tài liệu [10], [11].
Ta nói về hệ toạ độ mà ta sẽ sử dụng - toạ độ đồng chuyển
động (comoving coordinates). Toạ độ không gian chia sẻ chuyển
động nở đồng dạng của vật chất trong vũ trụ. Nếu bỏ qua những
điểm khác biệt nhỏ trong chuyển động của các thiên hà (galaxy)
(sự dịch chuyển địa phương so với sự nở đồng dạng), ta có thể
nói mỗi thiên hà có toạ độ không gian của mình. Các điểm toạ
độ chuyển động với thiên hà khi thiên hà rơi tự do trong trường

hấp dẫn của vũ trụ. Khoảng tọa độ (coordinate interal) giữa hai
thiên hà bất kỳ luôn luôn không đổi và sự nở vũ trụ là kết quả
không phải từ sự thay đổi vị trí toạ độ của thiên hà mà là từ sự
thay đổi của metric của không thời gian.
Với toạ độ thời gian x
0
, ta sẽ sử dụng thời gian riêng đo bởi
đồng hồ gắn với thiên hà. Ta còn giả thiết rằng các đồng hồ này
chạy như nhau và đồng bộ. Nghĩa là người quan sát A gửi tin tại
thời điểm t
0
thì người quan sát B cũng gửi tin tại t
0
. Tin A đến
B khi đồng hồ ở đây chỉ t
B
. Tin B đến A khi đồng hồ ở đây chỉ
t
A
. Đồng hồ là đồng bộ (synchronized) nếu t
A
= t
B
. Tất cả người
quan sát đặt đồng hồ ở zero tại Vụ Nổ lớn (Big Bang). Ta minh
hoạ toạ độ đồng thời gian bằng hình vẽ.
17
Hình 1.1: Tọa độ đồng thời gian
Ta có thể chỉ ra rằng, với việc chọn toạ độ như trên
g

00
= 1, (1.33)
g
0k
= 0 (1.34)
Như vậy toạ độ đồng chuyển động là trực giao thời gian. Điều kiện
(1.33) suy ra từ giả thiết rằng các đồng hồ đo x
0
đứng yên trong hệ
đồng chuyển động. Với các đồng hồ như vậy dx
1
= dx
2
= dx
3
= 0,
và vì vậy
ds
2
= g
00
(dx
0
)
2
(1.35)
Điều kiện (1.34) suy ra từ thực tế, các yếu tố không chéo g
0k
chỉ
khác không khi đồng hồ không đồng bộ tại các vị trí khác nhau

[11]. Từ (1.33) và (1.34), metric không thời gian có dạng
ds
2
= dt
2
− g
ij
dx
i
dx
j
(1.36)
hay
ds
2
= dt
2
− dl
2
(1.37)
Khoảng không gian có dạng
dl
2
=
(3)
g
ij
dx
i
dx

j
(1.38)
18
trong đó
(3)
g
ij
= −g
ij
(1.39)
Chỉ số
(3)
trong tensor metric chỉ ra rằng metric γ
ij
ba chiều chứ
không phải của toàn không thời gian.
Để xây dựng hình học của không thời gian, đầu tiên ta xây
dựng hình học của không gian ba chiều. Hình học phải không
phân biệt giữa các điểm khác nhau hoặc các hướng khác nhau.
Từ sự đồng nhất và đẳng hướng của hình học ba chiều, thì
tensơ Riemann trong không gian ba chiều
(3)
R
mnsk
phải có dạng
(3)
R
mnsk
= k[
(3)

g
ms
(3)
g
nk
−
(3)
g
mk
(3)
g
ns
] (1.40)
trong đó k là hằng số. Ta có thể chứng minh (1.40) như sau: Tại
điểm cho trước, đưa vào toạ độ trắc địa và như vậy metric trở
thành
(3)
g

mk
= δ
k
m
. Từ điều kiện không phân biệt các hướng khác
nhau của độ cong của chúng, thì tensor cong phải không thay đổi
theo phép quay của toạ độ trắc địa. Vì chỉ có tensor đơn vị δ
k
m
là không thay đổi với phép quay, nên tensơ cong phải là hàm của
các tổ hợp của tensor đơn vị

(3)
R
mnsk
= kδ
s
m
δ
k
n
+ K
1
δ
k
m
δ
s
n
+ K
2
δ
n
m
δ
s
k
(1.41)
Điều kiện phản đối xứng
(3)
R
mnsk

= −
(3)
R
mnks
cho K
1
= −k và
K
2
= 0. Do vậy
(3)
R
mnsk
= k(δ
s
m
δ
k
n
− δ
k
m
δ
s
n
) (1.42)
Chuyển phương trình này từ toạ độ trắc địa sang toạ độ thường
ta có phương trình (1.40). Từ điều kiện đồng nhất, ta có k là
hằng số.
Ta có thể chứng minh

(3)
R
mn
= −2k
(3)
g
mn
,
(3)
R = −6k  (1.43)
Vì
(3)
R
mnsk
có thể biểu diễn qua
(3)
g
nk
và đạo hàm bậc một
và hai của metric này, nên (1.40) có thể xem như phương trình vi
phân cho
(3)
g
nk
. Như vậy vũ trụ có thể tách ra các thớ (slice)
dạng không gian, mỗi thớ ba chiều là đối xứng cực đại. Do vậy
19
ta coi không thời gian của chúng ta là R × Σ, trong đó R biểu
thị hướng thời gian và Σ là đa tạp ba chiều đối xứng cực đại. Do
vậy metric không thời gian có dạng [13]

ds
2
= dt
2
− R(t)dl
2
(1.44)
trong đó t là toạ độ kiểu thời gian, R(t) là hàm được biết như là
hệ số kích thước (scale factor). Hệ số kích thước cho ta biết độ lớn
của thớ dạng không gian Σ tại thời điểm t. Người quan sát đứng
ở x
i
không đổi cũng gọi là “đồng chuyển động”. Chỉ có người quan
sát đồng chuyển động mới nghĩ rằng vũ trụ là đẳng hướng. Thực
tế ta ở trên Trái đất, ta không là đồng chuyển động. Kết quả là
ta thấy có sự bất đẳng hướng lưỡng cực (dipole anisotropy) trong
nền sóng micro vũ trụ (CMB) như là hiệu ứng Doppler thông
thường.
Nêu không gian đối xứng cực đại, thì nó là đối xứng cầu. Ta
đã biết về không gian đối xứng cầu khi xét lời giải Schwarzschild.
Metric được viết trong dạng
dl
2
= g
ij
dx
i
dx
j
= e

2β(r)
dr
2
+ r
2
dΩ
2
, L(r) ∼ 2β(r) (1.45)
Metric trong hình cầu hai chiều dΩ
2
= dθ
2
+ sin
2
θdφ
2
. Do vậy
đối với không thời gian tĩnh, đối xứng cầu, ta có tensơ Ricci [13]
(3)
R
11
=
2
r
∂
1
β,
(3)
R
22

= e
−2β
(r∂
1
β − 1) + 1,
(3)
R
33
= [e
−2β
(r∂
1
β − 1) + 1] sin
2
θ (1.46)
Thay (1.46) vào (1.42), ta có thể tìm được β(r)
β = −
1
2
ln(1 −kr
2
), (1.47)
Do vậy metric trong bề mặt ba chiều Σ
dσ
2
=
dr
2
1 −kr
2

+ r
2
dΩ
2
(1.48)
Chúng tôi muốn chú ý rằng, giá trị của k đặc trưng cho tính chất
cong của không gian [10].
20
Tóm lại, metric mô tả vũ trụ giãn nở đồng đều và đồng nhất
và đẳng hướng như đã trình bầy đươc tìm ra Robertson Walker
nên metric đó được gọi là metric Robertson Walker. Mô hình vũ
trụ chuẩn sẽ dựa trên yếu tố metric đó.
1.3.3 Mô hình vũ trụ chuẩn học.
Phương trình động học mô tả sự tịnh tiến của hệ số a(t) được
rút ra từ phương trình Einstein với yếu tố metric được mô tả bởi
Robertson - Walker metrix:
R
µν
−
1
2
g
µν
R = 8πG
N
T
µν
(1.49)
Với k được chọn là k = 1, 0, - 1
k = 1 tương ứng với metric mô tả không gian với độ cong dương.

k = -1 tương ứng với metric mô tả không gian với độ cong âm.
k = 0 tương ứng với metric mô tả không gian phẳng
Để đánh giá về phương trình Einstein của lí thuyết tương đối tổng
quát được viết dưới dạng:
R
µν
−
1
2
g
µν
R = 8πGT
µν
(1.50)
Khi áp dụng phương trình Einstein vào mô hình vũ trụ học thỏa
mãn điều kiện vũ trụ là đồng nhất và đẳng hướng kết quả thu
được là vũ trụ luôn giãn nở hoặc co lại → Einstein không thể thu
được kết quả là vũ trụ của chúng ta là tĩnh (Einstein nghĩ rằng
vũ trụ là tĩnh tại thời điểm đó).
Chính vì vậy Einstein đó cố gắng thay đổi phương trình của mình
để tìm lời giải cho rằng vũ trụ là tĩnh. Ông đã không tìm thấy
một điều gì để cấm số hạng g
µν
trong phương trình, chính vì vậy,
phương trình Einstein đầy đủ có dạng:
R
µν
−
1
2

g
µν
R = 8πGT
µν
(1.51)
Các nhận xét về tensor T
µν
.
+ Ta thấy với metric là chéo hóa thì vế phải của phương trình
Einstein cũng có dạng chéo. Để phù hợp với đối xứng của phương
trình thì cũng phải có dạng chéo.
21
+ Do không gian là đồng nhất và đẳng hướng nên các yếu tố
không gian của tensor phải bằng nhau.
+ Dạng đơn giản nhất của tensor có dạng:
T
µ
ν
= diag(ρ, −P, −P, −P )
ρ = ρ(t); P = P (t) Mặt khác, tensor năng xung lượng là bảo toàn
T
µν
;α
= 0
T
µν
;α
= T
µν
,α

+ Γ
µ
αρ
T
ρν
+ Γ
ν
αρ
T
ρµ
Ta có thể suy ra quy luật thứ một của nhiệt động lực học:
˙
P a
3
=
d
dt
(a
3
[P + ρ]) (1.52)
˙
P a
3
=
d
dt
(P a
3
) −P
d

dt
(a
3
)
d
dt
(P a
3
) −P
d
dt
(a
3
) =
d
dt
(a
3
[P + ρ])
d
dt
(ρa
3
) = −P
d
dt
(a
3
)
d[a

3
(P + ρ)] = a
3
dP
˙ρ + 3
˙a
a
(P + ρ) = 0
Chúng ta có thể giải thích phương trình này như sau:
- Sự thay đổi của tổng của năng lượng trong toàn bộ thể tích
V ∼ a
3
bằng áp suất x độ thay đổi thể tích đó.
Kết quả của sự phụ thuộc mật độ vật chất ρ vào áp suất P = f(ρ)
hay ρ = g(P ) phương trình → trạng thái (state equation).
Một trong những kết quả đơn giản nhất: P = ωρ
• Thời kì bức xạ: ω = 1/3
• Thời kì vật chất: ω = 0
• Thời kì năng lượng chân không: ω = −1
22