tài liệu ôn thi kỳ thi THPT môn toán quốc gia 2015 bộ 1.DOC

TÀI LIỆU ÔN TẬP THI KỲ THI QUỐC GIA NĂM 2015
MÔN: TOÁN (BỘ 1)
I. KHUNG CHƯƠNG TRÌNH ÔN TẬP
STT Chuyên đề
Thời lượng (%)
/chuyên đề
1 Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan 20 - 25
2 Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 10 - 20
3 Tích phân và ứng dụng của tích phân 10 - 15
4 Tổ hợp, xác suất - Số phức 5 - 10
5 Hình học không gian 10 - 15
6 Phương pháp toạ độ 10 - 15
7 Đề ôn tập tổng hợp 10 - 15
II. CÁC CHUYÊN ĐỀ
Chuyên đề 1. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ BÀI
TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
(Thời lượng 20% - 25%)
Chủ đề 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. Bài toán dùng đồ thị biện luận
theo m số nghiệm của phương trình
1. Một số kiến thức bổ trợ
a) Đưa ra hệ thống các ví dụ ôn lại lý thuyết
*Kiến thức cần nhớ
+ Đạo hàm của hàm số luỹ thừa
y=
n , n 1
x y nx
−
⇒ =

n N,
∈

và n >1
(C)' 0;(x)' 1;= =

+Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số
(u+v)’=u’+v’
(u-v)’=u’-v’.
Nhận xét: Ta có thể mở rộng cho tổng hay hiệu nhiều hàm số có đạo hàm
Trên tập xác định D là:
( )
'
u v w u' v ' w'± ± ± = ± ± ±
+Đạo hàm của tích hai hàm số : (u.v)’=u’.v+u.v’ và (k.u)’=k.u’.
Đặc biệt nếu k là hằng số thì:
( ) ( )
'
k.u x k.u' x
 
=
 

+ Đạo hàm của thương hai hàm số
1
'
2
u u'v uv '
.
v
v
−
 

=
 ÷
 

a) Trên
( ;0) (0; )−∞ ∪ +∞
ta có
'
2
1 1
.
x
x
 
= −
 ÷
 
b) Nếu v = v(x) có đạo hàm trên D và
( )
v x 0; x D≠ ∀ ∈
thì trên D ta có:
'
2
1 v '
.
v
v
 
= −
 ÷

 

+ Sơ đồ khảo sát hàm số:
1. Tập xác định
2. Sự biến thiên.
* Xét chiều biến thiên của hàm số.
+ Tính đạo hàm y’.
+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định
+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số
* Tìm cực trị
+Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)
+ Lập bảng biến thiên. (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)
3. Đồ thị.
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.
Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số:
a)
5
y x=
b) y = x
3
+ x
a) Ta có
/ 4
y 5.x=
b) Ta có y’ = (x
3
+x)’ = (x
3
)’+(x)’ = 3x
2

+ 1.
Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số:

( )
8 5
8 5 7 4 7 4
3
f x x 7x 9x 3
4
3 3
f (x) (x ) 7(x ) 9(x) 3 .8x 7.5x 9 0 6x 35x 9
4 4
= − + +
′ ′ ′ ′ ′
= − + + = − + + = − +
Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số:
f(x)= x(x+1)(x+4)
tại điểm x
0
= 1?
Giải
Ta có: f’(x)=(x)’(x+1)(x+4)+x(x+1)’(x+4)+x(x+1)(x+4)’
= (x+1)(x+4) + x(x+4) + x(x+1);
Khi đó: f’(1) = 17.
Ví dụ 4. Tính đạo hàm các hàm số sau:
3x 1
y
4x 3
+
=

+
Giải


2 2 2
(3x 1)'.(4x 3) (3x 1)(4x 3)' 3(4x 3) 4(3x 1) 5
y' .
(4x 3) (4x 3) (4x 3)
+ + − + + + − +
= = = =
+ + +
b) Các dạng bài tập tương tự cho học sinh tự làm
Bài tập: Tìm đạo hàm của hàm số:
a)
2x 3
y
3x 7
+
=
−
b)
3 2
y x 3x 2= − +
2
c)
4 2
y 5x 4x 1= − −
d) y=(x+2)(x+3)
2. Tiến hành giải quyết nội dung chuyên đề
a) Ví dụ ôn lại kiến thức cơ bản

SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM BẬC BA: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0) .
1. Tập xác định. D=R
2. Sự biến thiên
- Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm:
2
y' 3ax +2bx+c=
+
2
y' 0 3ax +2bx+c=0= ⇔
( Bấm máy tính nếu nghiệm chẵn, giải
; '∆ ∆
nếu
nghiệm lẻ- không được ghi nghiệm gần đúng)
Chú ý: Đến buớc này cần lập bảng biên thiên ra nháp, sau đó dựa vào bảng biến thiên kết luận
các bước tiếp theo.
+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
- Tìm cực trị
- Tìm các giới hạn tại vô cực (
x → ±∞
)
(Hàm bậc ba và các hàm đa thức không có TCĐ và TCN.)
- Lập bảng biến thiên.
Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
3. Đồ thị
- Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= d => (0; d)

- Giao của đồ thị với trục Ox:
3 2
y 0 ax +bx +cx+d 0 x ?= ⇔ = ⇔ =
- Các điểm CĐ; CT nếu có.
(Chú ý: Nếu nghiệm bấm máy tính được 3 nghiệm thì OK, còn nếu được 1 nghiệm
nguyên thì phải đưa về tích của một hàm bậc nhất và một hàm bậc hai để giải nghiệm. Trường
hợp cả ba nghiệm đều lẻ thì chỉ ghi ra ở giấy nháp để phục vụ cho việc vẽ đồ thị)
- Lấy thêm một số điểm (nếu cần)- (điều này làm sau khi hình dung hình dạng của đồ thị.
Thiếu bên nào học sinh lấy điểm phía bên đó, không lấy tùy tiện mất thời gian.)
Ví dụ 1. Cho hàm số y =
3 2
x 6x 9x− +
(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)
b) Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (1) biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3 2
6 9x x x m− + =
Giải
1. TXĐ: D = R
2. Sự biến thiên
a. Chiều biến thiên
3
2
2
' 3 12 9
1
' 0 3 12 9 0
3
y x x
x

y x x
x
= − +
=

= ⇔ − + = ⇔

=

Trên khoảng
( )
;1−∞
và
( )
2;+∞
,
y' 0>
nên hàm số đồng biến
Trên khoảng
( )
1;3
,
y' 0<
nên hàm số nghịch biến
b. Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại x = 1, y
CĐ
= y(1)= 4
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, y
CT

= y(3)= 0
c. Giới hạn
( )
( )
3 2
3 2
lim lim 6 9
lim lim 6 9
x x
x x
y x x x
y x x x
→−∞ →−∞
→+∞ →+∞
= − + = −∞
= − + = +∞
d. Bảng biến thiên
Đồ thị
Giao Với trục Oy tại điểm (0;0)
Giao Với trục Ox tại điểm (0;0), (3;0)

b. Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (1) biện luận
theo m số nghiệm của phương trình
3 2
6 9x x x m− + =
Ta có:
3 2
x 6x 9x m− + =
(*)
Số nghiệm của phương trình (*) là số

giao điểm của đồ thị hàm số (1) Với đường
thẳng y = m. Dựa vào đồ thị hàm số (1) ta có:
Nếu m
>
4 hoặc m
<
0 thì phương trình (*) có một nghiệm.
Nếu m = 4 hoặc m = 0 thì phương trình (*) có hai nghiệm.
Nếu
0 4m< <
thì phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt.
4
Ví dụ 2. Cho hàm số y = -x
3
+3x-2 (2)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (2)
b. Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình x
3
-3x+2+m=0
Giải :
1. Tập xác định: D = R
2. Sự biến thiên
a. Chiều biến thiên
y'
= -3x
2
+3 = -3(x
2
-1)
= −


′
= ⇔

=

1
0
1
x
y
x
Trên khoảng
( )
1;1−
, y’>0 nên hàm số đồng biến.
Trên khoảng
( )
; 1−∞ −
và

( )
1;+∞
, y’<0 nên hàm số nghịch biến
b. Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x=1 => y
CĐ
= 0
Hàm số đạt cực tiểu tại x=-1 => y
CT

= -4
c. Giới hạn
3
3
( 3 2)
lim ( 3 2)
x
x
Lim x x
x x
→−∞
→+∞
− + − = +∞
− + − = −∞
d. Bảng biến thiên.
x
−∞
-1 1 +
∞
y
/
+ 0 - 0 +
y
+
∞
0

-4 -
∞
3. Đồ thị

Giao Với Ox tại A(1;0) và B(-2;0)
Giao Với Oy tại C(0;-2)
b. Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình x
3
-3x+2+m=0
Ta có: x
3
-3x+2+m=0
⇔
-x
3
+3x-2 = m (*)
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y=m
- 4 < m < 0 phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt.
m = -4 hoặc m= 0 phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.
m> 0 hoặc m< - 4 phương trình (*) có 1 nghiệm.
SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐT HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0)
5
1. Tập xác định. D=R
2. Sự biến thiên
- Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm
3
y' 4ax +2bx=
+ Ta có:
3 2

y' 0 4ax +2bx=0 2x(2ax +b)=0= ⇔ ⇔
2
2
x 0
x 0

b
x
2ax +b=0
2a
=

=


⇔ ⇔ ⇔
−


=


+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
Chú ý: Đến buớc này cần lập bảng biên thiên ra nháp, sau đó dựa vào bảng biến thiên kết luận
các bước tiếp theo.
Tìm cực trị
- Tìm các giới hạn tại vô cực (
x → ±∞
). (Hàm trùng phương không có TCĐ và TCN.)
- Lập bảng biến thiên.

Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
3. Đồ thị
- Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= c => (0;c)
- Giao của đồ thị với trục Ox:
4 2
y 0 ax +bx +c 0 x ? (?;0)= ⇔ = ⇔ = ⇒
- Các điểm CĐ; CT nếu có.
(Chú ý: Giải phương trình trùng phương- các bạn bấm máy tính như giải pt bậc 2
nhưng chỉ lấy nghiệm không âm, sau đó giải để tìm ra x)
- Lấy thêm một số điểm (nếu cần)- (điều này làm sau khi hình dung hình dạng của đồ thị.
Thiếu bên nào học sinh lấy điểm phía bên đó, không lấy tùy tiện mất thời gian.)
Ví dụ 3 Cho hàm số
4 2
y x 8x 10= − +
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị (C) hãy biên luận theo tham số m số nghiệm của phương trình:

4 2
x 8x 10 m 0 (*)− + − =

Giải:
a)
1.Tập xác định: D =
¡
2. Sự biến thiên:
a. Chiều biến thiên: y’ = 4x
3
-16x =
2
4x(x 4)−

y’ = 0 
x 0
x 2
x 2
=


= −


=

y
’
> 0 với mọi
x ( 2;0) (2; )∈ − ∪ +∞
, suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( -2 ; 0)
và
6
( 2 ; +)
y
’
< 0 với mọi
x ( ; 2) (0;2)∈ −∞ − ∪
, suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( -; -2)
và ( 0 ; 2).
b. Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 ,y
CĐ
= 10

Hàm số đạt cực tiêu tại điểm x =
2±
; y
CT
= -6
c. Giới hạn:

x
lim y = +
→−∞
∞
;
x
lim y = +
→+∞
∞
Hàm số không có tiệm cận
+) Bảng biến thiên:
x
-  -2 0 2 +
y
’
- 0 + 0 - 0 +
y
+ 10 +

-6 -6
3. Đồ thị (C ) :
Đồ thị (C) cắt trục Oy tại điểm (0; 10), cắt trục Ox tại 4 điểm
( 4 6;0)± −

) và
( 4 6;0)± +
Đồ thị (C) nhận trục Oy là trục đối xứng

b) Ta có (*)
4 2
x 8x 10 m⇔ − + =
Do đó, số nghiệm của phương trình (*) bằng Với số giao điểm của đồ thị (C) và
đường thẳng y = m. Nên dựa vào đồ thị (C), ta có:
+) Nếu m < -6 thì phương trình (*) vô nghiệm.
+) Nếu m = -6 thì phương trình (*) có hai nghiệm kép.
+) Nếu -6 < m < 10 thì phương trình (*) có 4 nghiệm phân biết
+) Nếu m = 10 thì phương trình (*) có 3 nghiệm (1 kép và 2 đơn)
7
+) Nếu m > 10 thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ 4. Cho hàm số y =
4 2
-x + 2x + 3 (C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô (C)
b. Tìm m để Phương trình
4 2
x - 2x m 0 + =
có 4 nghiệm phân biệt
c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 2.
Giải
a, Khảo sát
1. Tập xác định: D =
¡
2. Sự biến thiên:
+) Chiều biến thiên: y’ = - 4x

3
+4x = -4x(x
2
-1)
y’ = 0 
x 0
x 1
x 1
=


= −


=

y
’
> 0 với mọi
x ( ; 1) (0;1)∈ −∞ − ∪
, suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-  ; -1)
và
( 0 ; 1)
y
’
< 0 với mọi
x ( 1;0) (1; )∈ − ∪ +∞
, suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( - 1 ;
0) và
( 1 ; +)

+) Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại hai điểm x = - 1 và x =1; y
CĐ
= 4
Hàm số đạt cực tiêu tại điểm x = 0 ; y
CT
= 3
+) Giới hạn:

x
lim y = -
→−∞
∞

x
lim y = -
→+∞
∞
+) Bảng biến thiên:
x
-  -1 0 1 +
y
’
+ 0 - 0 + 0 -
y
4 4

-  3 - 
3. Đồ thị
Cắt Oy tại điểm (0; 3), cắt Ox tại 2 điểm ( -

3
; 0) và (
3
; 0)
Nhận Oy là trục đối xứng
8
b, Phương trình đã cho tương đương với phương trình
4 2
x -2x +m = 0

4 2
-x + 2x + 3 = m + 3
. Do
đó, số nghiệm của phương trình đã cho bằng số điểm chung của đồ thị (C) Với đường thẳng y =
m +3.
Căn cứ vào đồ thị để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì 3 < m + 3 < 4 vậy 0 < m < 1.
SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐT HÀM SỐ y =
ax b
(c 0, ad bc 0)
cx d
+
≠ − ≠
+
1. Tập xác định.
d
D R \
c
−
 
=

 
 
2. Sự biến thiên
- Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm
2
ax b ad-bc
y' '
cx d
(cx+d)
+
 
= =
 ÷
+
 
+ y’ không xác định khi
d
x
c
−
=
; y’ luôn âm (hoặc dương) với mọi
d
x
c
−
≠
+ Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên các khoảng
d

( ; )
c
−∞ −
và
d
( ; )
c
+∞
- Tìm cực trị: Hàm số đã cho không có cực trị
- Tiệm cận:
Ta có:
x x
ax+b a
lim y lim
cx+d c
→±∞ →±∞
= =
nên
a
y
c
=
là TCN
d d
x x
c c
ax+b
lim y lim ( )
cx+d
− −

→ →
= = ± ∞
− −
;
d d
x x
c c
ax+b
lim y lim ( )
cx+d
− −
→ →
= = ± ∞
+ +
Do đó
d
x
c
−
=
- Lập bảng biến thiên.
9
Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
3. Đồ thị
- Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y=
b
d
=> (0;
b
d

)
- Giao của đồ thị với trục Ox:
ax+b b b
y 0 0 ax b 0 x ( ;0)
cx+d a a
− −
= ⇔ = ⇒ + = ⇔ = ⇒
- Lấy thêm một số điểm (nếu cần) (điều này làm sau khi hình dung hình dạng của đồ thị.
Thiếu bên nào học sinh lấy điểm phía bên đó, không lấy tùy tiện mất thời gian.)
- Nhận xét về đặc trưng của đồ thị. Đồ thị nhận điểm
d a
I( ; )
c c
−
là giao hai đường tiệm cận
làm tâm đối xứng.
Ví dụ 5: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
x 1
y
x 1
−
=
+
Giải :
1. Tập xác định : D = R \ {-1}
2. Sự biến thiên:
a, Chiều biến thiên:

2
2

y'
(x 1)
=
+
> 0 ,∀ x ≠ - 1
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-1) và (-1;+∞)
b, Cực trị: Hàm số không có cực trị
c, Tiệm cận :
x x
lim y lim y 1
→−∞ →+∞
= =
⇒ đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang
x 1 x 1
lim y ; lim y
→− →−
= −∞ = +∞
+ −
⇒ đường thẳng x = - 1 là tiệm cận đứng
d, Bảng biến thiên:
3. Đồ thị :
Giao với trục Oy tại điểm ( 0 ; - 1)
Giao với trục Ox tại điểm ( 1 ; 0 )
Tâm đối xứng là điểm (-1; 1)
10
Ví dụ 6: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2x 1
y
x 1
+

=
−
Giải :
1.Tập xác định : D = R \ {1}
2. Sự biến thiên:
a, Chiều biến thiên:

2
3
y'
(x 1)
−
=
−
< 0 ,∀ x ≠ 1
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞;1) và (1;+∞)
b, Cực trị : Hàm số không có cực trị
c, Tiệm cận :
x x
lim y lim y 2
→−∞ →+∞
= =
⇒ đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang
x 1 x 1
lim y ; lim y
→ →
= +∞ = −∞
+ −
⇒ đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng
d, Bảng biến thiên:

3.Đồ thị :
Giao với trục Oy tại điểm ( 0 ; - 1)
Giao với trục Ox tại điểm (
1
2
−
; 0 )
Tâm đối xứng là điểm (1; 2)
b) Các dạng bài tập tương tự tại lớp:
Bài 1: Cho hàm số
3 2
3y x x= − +
(1)
a.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1)
b.Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (1) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
3 2
3 0x x m− + =
Bài 2: Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= + −
(2)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (2)
11
b. Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (2) biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3 2
2 3 1 0x x m+ − + =
Bài 3: Cho hàm số
4 2
y x 2x 1= − +
có đồ thị (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến Với đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C).
c) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình
4 2
x 2x 1 m 0− + − =
.
Bài 4:
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) y = f(x) = x
4
– 2x
2
.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó đường thẳng y = 8 .
c) Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình: x
4
– 2x
2
– m = 0.
Bài 5 :
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
x 1
y
x 2
−
=
+
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
Bài 6: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C )của hàm số
3x 2
y

x 1
−
=
+
CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Một số kiến thức bổ trợ
* Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M
0
(x
0
;f(x
0
))
B1. Tính y’ = f’(x), suy ra f’(x
0
)
B2. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M
0
(x
0
;f(x
0
)) là y = f’(x
0
)(x - x
0
) + y
0
(*)
* Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) khi biết trước hệ số góc k

Biết k = y’(x
0
) => x
0
, y
0
thay vào (*)
(Hai đường thẳng vuông góc thì k’.k = -1, hai đường thẳng song song thì hệ số góc bằng
nhau)
* Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua M(x
1
;y
1
)
Giả sử đường thẳng d đi qua M có hệ số góc k, đường thẳng d có dạng y = k(x – x
1
) + y
1
(1). Để
đường thẳng d là tiếp tuyến thì hệ sau có nghiệm
1 1
f(x) k(x x ) y
f '(x) k
= − +


=

Giải hệ tìm được k thay vào (1)
2. Tiến hành giải quyết nội dung chuyên đề

a) Ví dụ ôn lại kiến thức cơ bản
Bài 1: Cho hàm số y =
3 2
x 6x 9x− +
(1)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)
b.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;2)
c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y =
-6x + 1
Giải
12
b.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;2)
Ta có:
( )
2
' 3 12 9, ' 2 3y x x y= − + = −
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;2) là:
( )
3 2 2
3 8
y x
y x
= − − +
⇔ = − +
c. Vì tiếp tuyến song song Với đường thẳng y = -6x + 1
nên k = y’(x
0
) = -6
⇔
0

2
0 0
0
x 5
3x 12x 9 6
x 1
= −

− + = − ⇔

= −

Với x
0
= -5 => y
0
= -320. Phương trình tiếp tuyến là: y = -6x – 350
Với x
0
= -1 => y
0
= - 16. Phương trình tiếp tuyến là: y = -6x – 22
Bài 2: Cho hàm số
4 2
y x 8x 10= − +
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cực đại của đồ thị (C).
Giải
b) Theo kết quả của ý a thì điểm cực đại (0;10)
Ta có

'
f (0) 0=
.suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm cực đại là: y=10
Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
x 2
y
2x 1
+
=
+

a) Tại điểm có hoành độ bằng 1.
b) Tại điểm có tung độ bằng
4
5
.
Giải:
a) Ta có
0
x 1=

( )
0
y y 1 1⇒ = =
( )
2
3
y'
2x 1
−

=
+

( )
1
y' 1
3
⇒ = −
Phương trình tiếp tuyến là :
1 1 4
y 1 (x 1) y x
3 3 3
− = − − ⇔ = − +
b) Ta có
0 0
4
y x 2
5
= ⇒ =
và
( )
y' 2 =
3
25
−

Phương trình tiếp tuyến là :
4 3 3 26
y (x 2) y x
5 25 25 25

− = − − ⇔ = − +
.
Bài 4 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2x 4
y
x 1
− −
=
+
biết rằng tiếp tuyến đó
vuông góc với đường thẳng
y 2x 2= − −
.
Giải :
Đường thẳng
y 2x 2= − −
có hệ số góc là -2
13
⇒ Tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k =
1
2
Xét phương trình y’(x
0
) = k ⇔
0
2
0 0
2
0
0

x 1
2 1
x 2x 3 0
2 x 3
(x 1)
=

= ⇔ + − = ⇔

= −
+

+ Khi x
0
= 1 ta có y
0
= -3
Phương trình tiếp tuyến là :
1 1 7
y 3 (x 1) y x
2 2 2
+ = − ⇔ = −
+ Khi x
0
= - 3 ta có y
0
= -1
Phương trình tiếp tuyến là :
1 1 1
y 1 (x 3) y x

2 2 2
+ = + ⇔ = +
b) Các dạng bài tập tương tự tại lớp:
Bài 5: Cho hàm số y = -x
3
+3x-2 (2)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (2)
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc k =-9
Giải
b) Ta c ó y’(x
0
) = - 9<=>
0
2
0
0
x 2
3x 3 9
x 2
= −

− + = − ⇔

=

Với x
0
= 2 => y
0
= - 4. Phương trình tiếp tuyến là: y = -9x + 14

Với x
0
= - 2 => y
0
= 0. Phương trình tiếp tuyến là: y = -9x – 18
Bài 6: Cho hàm số y =
4 2
-x + 2x + 3 (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 2.
Giải
b) Tại x = 2 => y = -5; Ta có
'
f (2) 24= −

=> phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) là y + 5 = -24(x – 2)
Hay y = -24x + 43.
Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2x 5
y
x 3
−
=
+
biết rằng tiếp tuyến đó song
song Với đường thẳng
y 11x 2= −
Giải :
Đường thẳng
y 11x 2= −

có hệ số góc là 11⇒ Tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k = 11
Xét phương trình y’(x
0
) = k ⇔
0
2
0 0
2
0
0
x 2
11
11 x 6x 8 0
x 4
(x 3)
= −

= ⇔ + + = ⇔

= −
+

+ Khi x
0
= - 2 ta có y
0
= - 9
Phương trình tiếp tuyến là :
y 9 11(x 2) y 11x 13+ = + ⇔ = +
+ Khi x

0
= - 4 ta có y
0
= 13
Phương trình tiếp tuyến là :
y 13 11(x 4) y 11x 57− = + ⇔ = +
14
c) Các dạng bài tập giao cho học sinh làm ở nhà:
Bài 9 : Cho hàm số: y =
2x 4
x 1
− −
+
có đồ thị (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2) Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [1; 2]
3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -2.
4)Viết phương rình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 1
5) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc k = 2.
6) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó song song Với đường thẳng y = 8x
- 3.
Bài 10: Cho hàm số y = –x
4
+ 2mx
2
– 2m + 1 có đồ thị là (C
m
).
a) Khảo sát hàm số khi m = 5. và vẽ đồ thị (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 0.

Bài 11 : Cho hàm số y = mx
4
+(m
2
-9)x
2
+10 (C
m
)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=1.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó với đường thẳng y =19.
Bài 12 : Cho hàm số
3 2
3y x x= − +
(1)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1)
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1
c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc k = 2
Bài 13 : Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= + −
(2)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (2)
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = 0
c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường
thẳng
y = -
1
2
x + 3

CHỦ ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1. Một số kiến thức bổ trợ
*Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a;b]
1/ Tìm các điểm x
1,
x
2
, …, x
n
trên khoảng (a, b) tại đó f’(x) bằng không hoặc f’(x) không
xác định.
2/ Tính f(a), f(x
1
), f(x
2
), …, f(x
n
), f(b).
3/ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:
( )
[a;b]
M max f x=
;
( )
[a;b]
m min f x=
*Chú ý:
+ Nếu hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên đoạn [a;b] thì giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
đạt được tại các đầu mút.
15

+ Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = f(x) không phải trên một đoạn thì ta đi lập bảng biến
thiên, suy ra GTLN và GTNN (nếu có)
2. Tiến hành giải quyết nội dung chuyên đề
a) Ví dụ ôn lại kiến thức cơ bản
Bài 1: Tính GTLN và GTNN của hàm số
3 2
f(x) 2x 3x 12x 10= − − +
trên đoạn
[ ]
3;3−
.
Giải
Ta có f(x) liên tục trên đoạn
[ ]
3;3−
( )
' 2
f x 6x 6x 12= − −
( )
'
f x 0=
⇔
x 1
x 2
= −


=

f(-3)=-35; f(3)=1; f(-1)=17; f(2)=-10

Vậy:
[ ]
( ) ( )
3;3
maxf x f 1 17
−
= − =
;
[ ]
( ) ( )
3;3
min f x f 3 35
−
= − = −
Bài 2: Tính GTLN và GTNN của hàm số
4 2
f(x) x 8x 2= − +
trên đoạn
[ ]
0;1
và
[ ]
2;4
Giải
Ta có f(x) liên tục trên đoạn
[ ]
0;1
và
[ ]
2;4

( )
' 3
f x 4x 16x= −
( )
'
f x 0=
⇔
x 0
x 2
x 2
=


=


= −

* Trên
[ ]
0;1
: f(0)=2; f(1)=-5;
Vậy:
[ ]
( ) ( )
0;2
maxf x f 0 2= =
;
[ ]
( ) ( )

0;2
min f x f 1 5= = −
* Trên
[ ]
2;4
: f(2)=18 ; f(4)=130
Vậy:
[ ]
( ) ( )
2;4
maxf x f 4 130= =
;
[ ]
( ) ( )
2;4
min f x f 2 18= =
Bài 3: Tính GTLN và GTNN của hàm số
2 x
f(x)
1 x
−
=
−
trên đoạn
[ ]
2;4
và
[ ]
3; 2− −
Giải

Ta có f(x) liên tục trên đoạn
[ ]
2;4
và
[ ]
3; 2− −
( )
( )
'
2
1
f x 0, x 1
1 x
= > ∀ ≠
−
f(2)=0;
2
f(4)
3
=
,
5
f( 3)
4
− =
,
4
f( 2)
3
− =

Vậy:
[ ]
( ) ( )
2;4
2
maxf x f 4
3
= =
;
[ ]
( ) ( )
2;4
min f x f 2 0= =
[ ]
( ) ( )
3; 2
4
max f x f 2
3
− −
= − =
;
[ ]
( ) ( )
3; 2
5
min f x f 3
4
− −
= − =

Bài 4: Tính GTLN và GTNN của hàm số
f(x) 2 sin x 2sin2x= +
trên đoạn
3
0;
2
π
 
 
 

Giải
Ta có f(x) liên tục trên đoạn
3
0;
2
π
 
 
 
16
x 3x
f(x) 2 cosx 2 cos2x 4 cos cos
2 2
= + =
( )
'
f x 0=
⇔
3x

cos 0
2
x
cos 0
2

=



=


⇔
x
3
x
π

=


= π

f(0)=0;
3 3
f( )
3 2
π
=

,
f( ) 0π =
,
3
f( ) 2
2
π
= −
Vậy:
( )
0;
3
3 3
maxf x f
3 2
π
 
 
 
π
 
= =
 ÷
 
;
( )
0;
3
3
min f x f 2

2
π
 
 
 
π
 
= = −
 ÷
 
b) Các dạng bài tập tương tự tại lớp:
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2 x
y 1
x 2
= + +
trên đoạn
[ ]
1;3
.
Giải.
• Đạo hàm
2
2 1
y
2
x
′
= − +
•

2
2
2 1
y 0 0 x 4 x 2
2
x
′
= ⇔ − + = ⇔ = ⇔ = ±
Trên đoạn
[ ]
x 1;3=
ta lấy
x 2=
.
• Ta có
( )
2 1 7
y 1 1
1 2 2
= + + =
;
( )
2 2
y 2 1 3
2 2
= + + =
( )
2 3 19
y 3 1
3 2 6

= + + =
• So sánh các số trên ta suy ra
[ ]
( )
1;3
min y y 2 3= =
;
[ ]
( )
1;3
7
max y y 1
2
= =
Bài 6: (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHTN): Tìm GTLN, GTNN của hàm số
( )
f x x 2 cosx= +

trên
đoạn
0;
2
π
 
 
 
.
Bài 7: (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHXH): Tìm GTLN, GTNN của hàm số
4 2
y x 2x 1= − +

trên
đoạn
[ ]
0;2
.
Bài 8: Đề TN 2008, L2, KPB): Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2x 1
y
x 3
−
=
−
trên đoạn
[ ]
0;2
.
c) Các dạng bài tập giao cho học sinh làm ở nhà: (GV hướng dẫn cách giải từng dạng bài)
Bài 9: (Đề TN 2008, L2, Ban KHTN): Tìm GTLN, GTNN của hàm số
4 2
y 2x 4x 3= − + +
trên
đoạn
[ ]
0;2
.
Bài 10: (Đề TN 2008, L2, Ban KHXH): Tìm GTLN, GTNN của hàm số
3 2
y 2x 6x 1= − +
trên
đoạn

[ ]
1;1−
.
17
Bài 11: Tìm GTLN,GTNN của các hàm số sau:
a,
2
f(x) 3x 4x 8= − + −
trên đoạn
[ ]
0;1
và
[ ]
3;5
; b,
2x 3
f(x)
x 1
+
=
−
trên đoạn
[ ]
2;0−

c,
3 2
f(x) x 3x 4= − −
trên
1

1;
2
 
−
 
 
,
1
;3
2
 
 
 
; d,
2
f(x) 2sin x 2sin x 1= + −
Trên đoạn
[ ]
1;1−
e,
4 2
f(x) x 4x 4= − −
trên
[ ]
1;0−
,
[ ]
1;3
,
Chuyên đề 2. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

(Thời lượng 10% - 20 %)
I) Phương trình và bất phương trình mũ
1. Một số kiến thức bổ trợ
a) Hàm số y = a
x
xác định trên R.
+ Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến trên R.
+ Nếu 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến trên R.
b) Một số tính chất đối với hàm số mũ.
+)
x
x y x y x y
y
a
a .a a , a
a
+ −
= =
+)
x x y y x x.y
x
1
a , (a ) (a ) a
a
−
= = =
18
+)
( )
x

x
x
x x
x
a a
, a .b a.b
b
b
 
= =
 ÷
 
2) Tiến hành giải quyết chuyên đề
2.1. Một số dạng toán.
Dạng 1: Đưa 2 vế của phương trình và bất phương trình về cùng 1 cơ số.
1.
f(x) g(x)
a a=

⇔
f(x) = g(x)
2.
f(x)
a b=

⇔
f(x) =
a
log b
3.

f(x) g(x)
a a>
, xảy ra 2 khả năng.
+ Nếu a > 1 thì bpt
⇔
f(x) > g(x).
+ Nếu 0 < a < 1 thì bpt
⇔
f(x) < g(x).
4.
f(x)
a b>
, xảy ra 2 khả năng.
+ Nếu a > 1 thì bpt
⇔
f(x) >
a
log b
.
+ Nếu 0 < a < 1 thì bpt
⇔
f(x) <
a
log b
.
VD1. Giải các phương trình sau:
a)
x 8
2 2
−

=
b)
x 3x 2 x 2
2
2 2
− + +
=
c)
2 x 3x
2
3 3
− −
=
d)
x
2 8
−
=
Giải.
a)
x 8
2 2 x 8 x 8
−
= ⇔ − = ⇔ = −
. Vậy phương trình có nghiệm
x 8= −
.
b)
x 3x 2 x 2 2
2

2 2 x 3x 2 x 2
− + +
= ⇔ − + = +
2
x 0
x 4x 0
x 4
=

⇔ − = ⇔

=

.
Vậy phương trình có nghiệm
x 0=
và
x 4=
.
c)
2 x 3x 2
2
3 3 2 x 3x
− −
= ⇔ − − =
2
x 1
x 3x 2 0
x 2
= −


⇔ + + = ⇔

= −

.
Vậy phương trình có nghiệm
x 1= −
và
x 2= −
.
d)
x x 3
2 8 2 2 x 3
− −
= ⇔ = ⇔ = −
Vậy phương trình có nghiệm
x 3= −
.
VD2. Giải phương trình:
x x 3x 5
2
( 5 2) ( 5 2)
+ −
− = +
(1).
Hướng dẫn (HD). Ta thấy:
1
( 5 2)( 5 2) 1 5 2 ( 5 2)
−

− + = ⇒ + = −
. Do đó:
19
x x 3x 5 2
2
x 1
(1) ( 5 2) ( 5 2) x 4x 5 0
x 5
+ − +
=

⇔ − = − ⇔ + − = ⇔

= −

.
Nhận xét: Ta thường sử dụng phương pháp này đối với các phương trình, bất phương trình mũ
mà các cơ số của nó có thể đưa về cùng một cơ số với số mũ nguyên.
Dạng 2: Dùng ẩn phụ.
Khi sử dụng phương pháp này ta nên thực hiện theo các bước sau:
B1: Đưa pt, bpt về dạng ẩn phụ quen thuộc.
B2: Đặt ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện cho ẩn phụ.
B3: Giải pt, bpt với ẩn phụ mới và tìm nghiệm thỏa điều kiện.
B4: Thay giá trị t tìm được vào
⇒
giải PT, bpt mũ cơ bản
B5: Kết luận.
Sau đây là một số dấu hiệu.
Loại 1: Các số hạng trong pt, bpt có thể biểu diễn qua
f(x)

a

⇒
đặt t =
f(x)
a
.
Hay gặp một số dạng sau:
+ Dạng 1:
2f(x) f(x)
A.a B.a C 0 (Hay : , , )+ + = < ≤ ≥

⇒
bậc 2 ẩn t.
+ Dạng 2:
3f(x) 2f(x) f(x)
A.a B.a C.a D 0 (Hay : , , )+ + + = < ≤ ≥

⇒
bậc 3 ẩn t.
+ Dạng 3:
4f(x) 2f (x)
A.a B.a C 0 (Hay : , , )+ + = < ≤ ≥

⇒
trùng phương ẩn t.
Lưu ý: Trong loại này ta còn gặp một số bài mà sau khi đặt ẩn phụ ta thu được một phương
trình, Bpt vẫn chứa x ta gọi đó là các bài toán đặt ẩn phụ không hoàn toàn.
Loại 2: Phương trình đẳng cấp bậc n đối với
f(x)

a
và
f(x)
b
.
Hay gặp một số dạng sau:
+ Dạng 1:
2f(x) f (x) 2f(x)
A.a B.(a.b) C.b 0 (Hay : , , )+ + = < ≤ ≥

⇒
Chia 2 vế cho
2f(x)
a

⇒
loại 1(dạng 1)
+ Dạng 2:
3f(x) 2 f(x) 2 f(x) 3f(x)
A.a B.(a .b) C(a.b ) D.b 0 (Hay : , , )+ + + = < ≤ ≥

⇒
Chia 2 vế cho
3f(x)
a

⇒
loại 1(dạng 2)
Tổng quát: Với dạng này ta sẽ chia cả 2 vế của Pt, bpt cho
nf(x)

a
hoặc
nf(x)
b
với n là số tự
nhiên lớn nhất có trong pt, bpt. Sau khi chia ta sẽ đưa được pt, bpt về loại 1.
Loại 3: Trong pt, bpt có chứa 2 cơ số nghịch đảo
+ Dạng 1:
f(x) f(x)
A.a B b C 0 (Hay : , , )+ + = < ≤ ≥
với a.b = 1
20
+ Dạng 2:
f(x) f(x) f(x)
A.a B b C.c 0 (Hay : , , )+ + = < ≤ ≥
, với a.b = c
2
Với dạng 1 ta đặt ẩn phụ t =
f(x)
a

⇒

f(x)
b
= 1/t ; còn với dạng 2 ta chia cả 2 vế của pt, bpt cho
f(x)
c
để đưa về dạng 1.
VD3. Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a)
x x
9 4.3 3 0− + =
b)
x x x
9 3.6 2.4 0− + =
c)
x 1 x
5 6 5 0
−
− + =
d)
x x
25 6.5 5 0− + ≤
e)
x x x
36 3.30 2.25 0− + ≥
f)
x 1 x
6.5 5 1 0
−
− − ≤
.
Giải.
a)
x x
9 4.3 3 0− + =
2x x
3 4.3 3 0⇔ − + =
Đặt

x
t 3=
với t>0 ta được phương trình:
2
t 4t 3 0− + =

t 1
t 3
=

⇔

=

Với t=1 ta có x = 0
Với t=3 ta có x =1
Vậy phương trình có nghiệm là x =0, x = 1.
b)
x x x
9 3.6 2.4 0− + =
2x x
3 3
3 2 0
2 2
   
⇔ − + =
 ÷  ÷
   
Đặt
x

3
t 0
2
 
= >
 ÷
 
ta được phương trình:

2
t 1
t 3t 2 0
t 2
=

− + = ⇔

=

Với t=1 ta có
x
3
1 x 0
2
 
= ⇔ =
 ÷
 
Với t=2 ta có
x

3
2
3
2 x log 2
2
 
= ⇔ =
 ÷
 
Vậy phương trình có nghiệm là x =2,
3
2
x log 2=
.
VD4. Giải phương trình:
x x x 2
(3 5) 3.(3 5) 2
+
− + + =
(4).
21
HD.
x x
3 5 3 5
(4) 3. 4
2 2
   
− +
⇔ + =
 ÷  ÷

 ÷  ÷
   
(4’).
Vì
x x
3 5 3 5
. 1
2 2
   
− +
=
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
nên đặt
x
3 5
t
2
 
−
=
 ÷
 ÷
 
(với t > 0) ta được
x
3 5 1
2 t
 

+
=
 ÷
 ÷
 
. Thay vào
(4’) ta được:
2
3 5
2
x 0
t 1
t 4t 3 0
x log 3
t 3
−
=

=


− + = ⇔ ⇒
=


=


là nghiệm của (4).
VD5. Giải phương trình:

2x x 2x 1 4x 1
2 2
2 2 2
+ − −
+ =
(5).
HD.
x 2 x 2x 2x 2 x 2x 2 x 2x
2 2 2 2
1 1
(5) (2 ) .2 .2 .(2 ) 2.(2 ) 2 1 0
2 2
− −
⇔ + = ⇔ + − =
.
Đặt
x 2x
2
t 2 0
−
= >
và giải tương tự trên.
Dạng 3: Phương pháp logarit hóa.
Đôi khi ta không thể giải một PT, BPT mũ bằng cách đưa về cùng một cơ số hay dùng ấn phụ
được, khi đó ta thể lấy logarit hai vế theo cùng một sơ số thích hợp nào đó
⇒
PT, BPT mũ cơ
bản (phương pháp này gọi là logarit hóa).
Dấu hiệu nhận biết: PT loại này thường có dạng
f(x) g(x) h(x)

a .b .c d=
( nói chung là trong
phương trình có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau)
⇒
khi đó ta có thể lấy
logarit 2 vế theo cơ số a (hoặc b, hoặc c).
VD6. Giải các phương trình sau:
a)
x
3 2=
b)
x x
2 .3 1=
Giải.
a)
x
3 2=
x
3 3 3
log 3 log 2 x log 2⇔ = ⇔ =
.
Vậy phương trình có nghiệm
3
x log 2=
b)
( )
x x x x x x
2 2 2 2
2 .3 1 log 2 .3 log 1 log 2 log 3 0= ⇔ = ⇔ + =
2 2

x x.log 3 0 x(1 log 3) 0 x 0⇔ + = ⇔ + = ⇔ =
.
Vậy phương trình có nghiệm
x 0=
.
VD7. Giải phương trình:
x x x
2 3
7 .3 .5 1=
(7).
HD.
x x x 2
5 5 5
2
5 5
x 0
2 3
(7) log (7 .3 .5 ) 0 x(x x.log 3 log 7) 0
x x.log 3 log 7 0 (*)
=

⇔ = ⇔ + + = ⇔

+ + =


.
Vì (*) vô nghiệm nên (7) có nghiệm duy nhất là x = 0.
22
Nhận xét: Ta thường sử dụng phương pháp lôgarit hóa cho những phương trình, bất phương

trình mũ có dạng lũy thừa tầng hoặc tích các lũy thừa có cơ số khác nhau.
Dạng 4. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Cho D là một khoảng, một đoạn, nửa đoạn. Nếu
f(x)
đồng biến trên D hoặc
f(x)
nghịch biến
trên D thì ta có:
+) Phương trình
f(x) 0=
có nhiều nhất một nghiệm trên D.
+) Phương trình
f(x) f(y) x y= ⇔ =
trên D.
VD8. Giải phương trình:
x x
2 3 3x 2+ = +
(8).
HD. Đặt:
x x
f(x) 2 3 3x 2= + − −
với
x ∈¡
ta được:
x x x 2 x 2
f '(x) 2 . ln 2 3 .ln 3 3 f ''(x) 2 .(ln 2) 3 .(ln3) 0, x= + − ⇒ = + > ∀ ∈¡
Suy ra hàm số
f(x)
đồng biến trên
¡

. Vì
f '(0).f '(1) 0<
nên
f '(x) 0=
có nghiệm duy nhất
0
x x (0;1)= ∈
. Lập bảng biến thiên cho hàm số
y f(x)=
suy ra
f(x) 0=
có nhiều nhất hai
nghiệm trên
¡
. Nhẩm được hai nghiệm là
x 0=
và
x 1=
là hai nghiệm của (8).
2.2. Một số bài tập tương tự.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
x 4
3
2 4
−
=
b)
5
x 6x

2
2
2 16 2
− −
=
c)
2x 3 x 3x 5
2
3 9
− + −
=
d)
x x 8 1 3x
2
2 4
− + −
=
e) 5
2x + 1
– 3. 5
2x -1
= 110 f)
x 5 x 17
x 7 x 3
1
32 128
4
+ +
− −
=

g) (1,25)
1 – x
=
2(1 x )
(0,64)
+

h) 2
x

+ 2
x -1
+ 2
x – 2
= 3
x
– 3
x – 1
+ 3
x - 2

k) (CĐ - 2014)
2x 1 x
3 4.3 1 0
+
− + =
.
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a) 16
x – 4

≥ 8 b)
2x 5
1
9
3
+
 
<
 ÷
 
c)
6
x
x 2
9 3
+
≤
d)
x x 6
2
4 1
− +
>
e)
4x 15x 4
3x 4
2
1
2 2
2

− +
−
 
<
 ÷
 
f) 5
2x
+ 2 > 3. 5
x
.
Bài 3. Giải các phương trình sau:
a) 2
2x + 5
+ 2
2x + 3
= 12 b) 9
2x +4
- 4.3
2x + 5
+ 27 = 0
c) 5
2x + 4
– 110.5
x + 1
– 75 = 0 d)
x x 1
5 2 8
2 0
2 5 5

+
   
− + =
 ÷  ÷
   
e)
x 3 x
5 5 20
−
− =
f)
( ) ( )
x x
4 15 4 15 2− + + =
23
g)
( ) ( )
x x
5 2 6 5 2 6 10+ + − =

2x 1 x
h)3 9.3 6 0
+
− + =

k)
x 1 x
7 2.7 9 0
−
+ − =

m)
2x 2 x
2 9.2 2 0
+
− + =
.
Bài 4. Giải các phương trình sau:
a) 2
2x + 6
+ 2
x + 7
> 17 b) 5
2x – 3
– 2.5
x -2
≤ 3
c)
1 1
1 2
x x
4 2 3
− −
> +
d) 5.4
x

+2.25
x
≤ 7.10
x

e) 2. 16
x
– 2
4x
– 4
2x – 2
≤ 15 f) 4
x +1
-16
x
≥ 2log
4
8
Bài 4. Giải các phương trình sau:
a) 2
x - 2
= 3 b) 3
x + 1
= 5
x – 2
c) 3
x – 3
=
x 7x 12
2
5
− +
d)
x 2 x 5x 6

2
2 5
− − +
=
e)
x 1
x
x
5 .8 500
−
=
f) 5
2x + 1
- 7
x + 1
= 5
2x
+ 7
x
g) 3
x +1
> 5 h) 5
x
– 3
x+1
> 2(5
x -1
- 3
x – 2
).

2.3. Bài tập về nhà.
Bài 5. Giải các phương trình sau:
a) 4
x
+ 5.2
x
– 6 = 0; b) 9
x
– 5.3
x
+ 6 = 0;
c)
1 1
x x
4 5.2 4 0− + =
; d) 4
x
– 10. 2
x – 1
= 6;
e)
2x 8 x 5
3 4.3 27 0
+ +
− + =
; f) 4
x + 3
+ 2
x + 7
= 17;

g)
2 1
1
x x
1 1
3. 12
3 3
+
   
+ =
 ÷  ÷
   
; h)
sin x cos x
2 2
9 9 10+ =
.
Bài 6. Giải các phương trình sau:
a) 3
x
+ 4
x
= 5
x
; b) 5
x
+ 12
x
= 13
x

;
c) 3
x
- 4 =
x
2
5
; d) 1 +
3
x
7
= 2
x
;
e) 4
x
+ (2x - 5)2
x
+ 6x – 24 = 0;
f) 3.25
x - 2
+ (3x- 10)5
x - 2
+ 3 - x = 0.
II) Phương trình và bất phương trình lôgarít
1. Một số kiến thức bổ trợ.
a. Hàm số y = log
a
x xác định khi x > 0
24

+ Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến.
+ Nếu 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến.
b. Một số tính chất đối với hàm số logarit.
+)
a a a
log (xy) log x log y= +
,
+)
a a a
x
log log x log y
y
 
= −
 ÷
 
+)
a a a
a
1
log x .log x , log log x
α
= α =
α
α
,
+)
a a b a
x
1

log x log b.log x, log x
log a
= =
2) Tiến hành giải quyết chuyên đề
2.1. Một số dạng toán.
Dạng 1: Đưa 2 vế của phương trình và bất phương trình về cùng 1 cơ số.
1.
a a
log f(x) log g(x)=

⇔
f(x) = g(x) 2.
a
log f(x) b=

⇔
f(x) = a
b
3.
a a
log f(x) log g(x)>
, xẩy ra 2 khả năng.
+ Nếu a > 1 thì bpt
⇔
f(x) > g(x).
+ Nếu 0 < a < 1 thì bpt
⇔
f(x) < g(x).
4.
a

log f(x) b>
, xẩy ra 2 khả năng.
+ Nếu a > 1 thì bpt
⇔
f(x) > a
b
.
+ Nếu 0 < a < 1 thì bpt
⇔
f(x) < a
b
.
Lưu ý rằng với các PT, BPT logarit ta cần phải đặt điều kiện để các biểu thức log
a
f(x) có nghĩa
là f(x)
≥
0.
VD1. Giải các phương trình sau:
a)
3 3
log (2x 1) log 5+ =
(1) b)
2
3 3
log (x 3) log (2x x 1)+ = − −
(2)
c)
3
log (x 1) 2− =

(3) d)
log(x 1) log(2x 11) log 2− − − =
(4)
Giải.
25