Tài liệu ôn thi ĐH môn Toán lớp 12 trường thpt Trần Văn Thành ppsx

c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
TÀI LIỆU ÔN TẬP TÚ TÀI
1
(phần lý thuyết)
Tài liệu ôn tập tú tài này soạn cho học sinh lớp 12, chủ yếu tóm tắt lý thuyết và tổng hợp các
phương pháp giải toán cũng như các dạng toán thường gặp.
1
Composed with T
E
XMaker on MiKT
E
X version 2.7
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 1
c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
Phương trình - Bất phương trình
1. Bất phương trình bậc nhất ax + b > 0(< 0,  0,  0) với a = 0
Cách giải:
Biến đổi ax + b > 0 ⇐⇒ ax > −b. Sau đó chia hai vế cho a (chú ý đổi chiều bất pt nếu
a < 0).
Bảng xét dấu nhị thức bậc nhất
−∞ +∞
ax + b
−b/a
0trái dấu a cùng dấu a
x
2. Bất pt bậc hai ax

2
+ bx + c > 0(< 0,  0,  0) (a = 0)
Cách giải: Lập bảng xét dấu và căn cứ vào chiều bất pt để lấy ra tập nghiệm. Ta có 3
trường hợp sau đây:
a. Biệt thức ∆ > 0
x
ax
2
+ bx + c
−∞ +∞x
1
x
2
0 0trái dấu acùng dấu a cùng dấu a
b. Biệt thức ∆ = 0
x
ax
2
+ bx + c
−∞ +∞
−
b
2a
0
cùng dấu a cùng dấu a
c. Biệt thức ∆ < 0
ax
2
+ bx + c
x −∞ +∞

cùng dấu a
Chú ý: Cho f(x) = ax
2
+ bx + c. Nếu hệ số a có chứa tham số (m) thì ta phải xét
trường hợp a = 0.
Với a = 0, ta có các trường hợp sau:
 f(x)  0, ∀x ∈ R ⇔



a > 0
∆  0
 f(x) > 0, ∀x ∈ R ⇔



a > 0
∆ < 0
 f(x)  0, ∀x ∈ R ⇔



a < 0
∆  0
 f(x) < 0, ∀x ∈ R ⇔



a > 0
∆ < 0

c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 2
c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
Ngoài ra ta còn có các điều kiện hẹp và mạnh hơn là
 Với a > 0 thì f(x) = ax
2
+ bx +c  0, ∀x ∈ (α, β) hoặc (x ∈ [α, β]) ⇔



f(α)  0
f(β)  0
 Với a < 0 thì f(x) = ax
2
+ bx +c  0, ∀x ∈ (α, β) hoặc (x ∈ [α, β]) ⇔



f(α)  0
f(β)  0
 Với
S
2
= −
b
2a
/∈ (α, β) hoặc ([α, β]) thì
f(x) = ax

2
+ bx + c  0, ∀x ∈ (α, β) hoặc (x ∈ [α, β]) ⇔



f(α)  0
f(β)  0
(không cần biết dấu của a)
 Với
S
2
= −
b
2a
/∈ (α, β) hoặc ([α, β]) thì
f(x) = ax
2
+ bx + c  0, ∀x ∈ (α, β) hoặc (x ∈ [α, β]) ⇔



f(α)  0
f(β)  0
(không cần biết dấu của a)
3. Phương trình, bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối
Các dạng thường gặp là |A| = |B|, |A| = B, |A| > |B|, |A| < B, |A| > B
Cách giải chung: Lập bảng xét dấu cho biểu thức nằm trong dấu trị tuyệt đối để khử
dấu trị tuyệt đối. Trong đó ta lưu ý:
• |A| = |B| ⇔ A
2

= B
2
⇔

A = B
A = −B
• |A| > |B| ⇔ A
2
> B
2
⇔ A
2
− B
2
> 0 ⇔ (A − B)(A + B) > 0
• |A| = B ⇔



B  0
A
2
= B
2
⇔










B  0


A = B
A = −B
• |A| < B ⇔ −B < A < B
• |A| > B ⇔

A > B
A < −B
Chú ý: |A| =

A nếu A  0
−A nếu A  0
.
4. Phương trình, bất phương trình chứa căn thức
Cách giải chung: Đặt điều kiện cho các căn thức có nghĩa, sau đó bình phương (nâng
lũy thừa) để khử căn thức. Trong đó ta lưu ý:
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 3
c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
•
√
A =

√
B ⇔

A  0 hoặc B  0
A = B
•
√
A = B ⇔

B  0
A = B
2
•
√
A >
√
B ⇔

B  0
A > B
•
√
A > B ⇔












B < 0
A  0



B  0
A > B
2
•
√
A < B ⇔









B  0
A  0
A < B
2
Chú ý:


√
A có nghĩa khi và chỉ khi A  0.
 Khi bình phương hai vế, phải luôn bảo đảm hai vế không âm (hoặc cùng dấu).
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 4
c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
1. Hàm bậc ba y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d
• TXĐ: D = R.
• Sự biến thiên
(i) Tính các giới hạn: lim
x→−∞
y và lim
x→+∞
y
(ii) Tính: y

= 3ax
2
+ 2bx + c và giải y

= 0, lập bảng biến thiên, nêu rõ cực
trị (nếu có) và nêu rõ trong bài làm các khoảng đồng biến và nghịch biến của
hàm số.

Tính: y

= 6ax + 2b. Giải y

= 0 để tìm điểm uốn (làm nháp)
• Điểm đặc biệt (chọn tùy theo bảng biến thiên).
• Vẽ đồ thị: Vẽ từng khoảng và chú ý đến chiều lên xuống trong bảng biến thiên.
2. Hàm trùng phương y = ax
4
+ bx
2
+ c
• TXĐ: D = R.
• Tính các giới hạn: lim
x→−∞
y và lim
x→+∞
y
• Tính: y

= 4ax
3
+ 2bx và giải y

= 0, lập bảng biến thiên, nêu rõ cực trị (nếu
có)và nêu rõ trong bài làm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
• Điểm đặc biệt (chọn tùy theo bảng biến thiên).
• Vẽ đồ thị: Vẽ từng khoảng và chú ý đến chiều lên xuống trong bảng biến thiên.
3. Hàm hữu tỷ nhất biến (còn gọi là hàm 1 trên 1) y =
ax + b

cx + d
• TXĐ: D = R \

−
d
c

.
• Tính giới hạn và tìm tiệm cận:
Tính được
lim
x→


−
d
c


−
y, lim
x→


−
d
c


+

y, lim
x→−∞
y =
a
c
và lim
x→+∞
y =
a
c
Từ đó suy ra tiệm cận đứng là x = −
d
c
. Tiệm cận ngang là y =
a
c
.
• Đạo hàm: y

=
ad − bc
(cx + d)
2
. Căn cứ vào dấu của ad − bc (> 0 hay < 0) để kết luận
cho y

, từ đó lập bảng biến thiên, và nêu rõ trong bài làm các khoảng đồng biến
và nghịch biến của hàm số.
• Tìm thêm 4 điểm đặc biệt. Chú ý đến các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
4. Hàm hữu tỷ bậc 2 trên bậc 1 y =

ax
2
+ bx + c
dx + e
(dành cho chương trình nâng cao)
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 5
c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
• TXĐ: D = R \

−
e
d

.
• Tiệm cận:
Chia tử cho mẫu trong y ta viết lại y ở dạng: y = Ax + B +
M
dx + e
.
Khi đó: Tiệm cận đứng là x = −
e
d
. Tiệm cận xiên là y = Ax + B.
• Đạo hàm: y

=






a b
0 d





x
2
+ 2





a c
0 e





x +






b c
d e





(dx + e)
2
=
adx
2
+ 2aex + be − cd
(dx + e)
2
• Giải y

= 0 ⇔ adx
2
+ 2aex + be − cd = 0. Từ đó lập bảng bthiên và nêu rõ cực trị
nếu có và nêu rõ trong bài làm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
• Cho thêm điểm đặc biệt và vẽ đồ thị.
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 6
c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
Một số bài toán liên quan đến việc khảo sát hàm số (C) : y = f(x)

1. Đồng biến - nghịch biến
a. Hàm số y = f(x) đồng biến trên miền D ⇔ y

 0, ∀x ∈ D
b. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên miền D ⇔ y

 0, ∀x ∈ D
(y

= 0 tại hữu hạn giá trị x.)
Chú ý:
Đối với hàm y =
ax + b
cx + d
thì ta buộc điều kiện y

> 0 (đồng biến) và y

< 0 (nghịch
biến)
2. Cực trị
a. Điều kiện chung: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x = x
0
.
• y = f (x) có cực trị ⇐⇒ y

đổi dấu.
• y = f (x) có cực trị tại x
0
⇒ f


(x
0
) = 0 (phải thử lại).
• y = f (x) có cực đại tại x
0
⇔



f

(x
0
) = 0
f

(x
0
) < 0
• y = f (x) có cực tiểu tại x
0
⇔



f

(x
0

) = 0
f

(x
0
) > 0
b. Điều kiện cụ thể
• Hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a = 0) có

hai cực trị
CĐ và CT
⇔ y

= 0 có hai
nghiệm phân biệt.
• Hàm số y =
ax
2
+ bx + c
dx + e
có

hai cực trị
CĐ và CT
⇔ y


= 0 có hai nghiệm phân biệt
thuộc tập xác định.
• Hàm số y =
ax + b
cx + d
không có cực trị.
• Hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c có 1 cực trị nếu a.b > 0, có 3 cực trị nếu a.b < 0.
c. Đường thẳng qua các điểm cực trị
Khi hàm bậc ba y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a = 0) có hai cực trị, hãy viết phương
trình đường thẳng đi qua hai cực trị đó?
• Chia đa thức y cho y

ta được: y = (Ax + B).y

+ mx + n.
• Gọi (x
0
, y
0
) là điểm cực trị thì ta có:




y

(x
0
) = 0
y(x
0
) = (Ax
0
+ B).y

(x
0
) + mx
0
+ n
⇒ y(x
0
) = mx
0
+ n.
Vậy phương trình đường thẳng qua các cực trị là y = mx + n.
2
2
khi sử dụng phải trình bày phần chứng minh này lại
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 7
c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn

Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
d. Khi hàm hữu tỷ y =
ax
2
+ bx + c
dx + e
có hai cực trị, hãy viết phương trình đường
thẳng đi qua hai cực trị đó?
• Đặt y =
u(x)
v(x)
, ta có y

=
u

(x).v(x) − v

(x).u(x)
v
2
(x)
.
• Do y đạt cực trị tại x = x
0
nên
y

(x
0

) = 0 ⇔
u

(x
0
).v(x
0
) − v

(x
0
).u(x
0
)
v
2
(x
0
)
= 0 ⇔
u(x
0
)
v(x
0
)
=
u

(x

0
)
v

(x
0
)
=
2ax
0
+ b
d
⇒ y(x
0
) =
2ax
0
+ b
d
Vậy phương trình đường thẳng qua các cực trị là y(x) =
2ax + b
d
.
3
Chú ý: Nếu tìm được cụ thể 2 điểm cực trị là A(x
A
, y
A
) và B(x
B

, y
B
) thì đường
thẳng qua 2 cực trị A và B chính là đường thẳng AB.
3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Cho hàm số y = f(x), tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên miền D.
a. Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y = f(x) trên đoạn [a, b].
• Tính y

và giải y

= 0 tìm nghiệm. Giả sử có nghiệm là x
1
, x
2
∈ [a, b].
• Tính f (a), f(b), f (x
1
), f(x
2
) và so sánh để kết luận.
b. Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y = f(x) trên khoảng (a, b), nửa
khoảng [a, b), nửa khoảng (a, b].
• Tính y

và lập bảng biến thiên trên miền xác định tương ứng (là (a, b), [a, b)
hay (a, b]).
• Căn cứ vào bảng biến thiên để kết luận.
c. Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y = f (x) (đề bài không nói gì thêm).
• Tìm tập xác định của hàm số.

• Tính đạo hàm y

và lập bảng biến thiên của hàm số để kết luận.
4. Tìm giao điểm của hai đồ thị
a. Cho y = f(x) có đồ thị (C), y = g (x) có đồ thị (C

), hãy tìm giao điểm của (C) và
(C

)?
• Hoành độ giao điểm của (C) và (C

) là nghiệm của pt: f(x) = g(x) (*)
• Số giao điểm của (C) và (C

) chính bằng số nghiệm của (*).
b. (C) và (C

) tiếp xúc ⇔ Hệ



f(x) = g(x)
f

(x) = g

(x)
có nghiệm.
5. Phương trình tiếp tuyến của hàm số y = f(x) có đồ thị (C)

a. Phương trình tiếp tuyến tại M
0
(x
0
, y
0
) ∈ (C) (biết tọa độ tiếp điểm)
Phương trình có dạng:
3
khi sử dụng phải trình bày phần chứng minh này lại
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 8
c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
y = f

(x
0
).(x − x
0
) + y
0
(f

(x
0
) là hệ số góc của tiếp tuyến; f

(x

0
) đôi khi được viết là y

(x
0
)).
b. Phương trình tiếp tuyến với hệ số góc k cho trước
• Gọi (x
0
, y
0
) là tọa độ tiếp điểm.
• Giải f

(x
0
) = k tìm ra x
0
, thay x
0
vào (C) có y
0
= f(x
0
) ⇒ có được tọa độ
tiếp điểm.
Chú ý:
Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax +b thì f

(x

0
) = a; nếu tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì f

(x
0
) = −
1
a
.
c. Phương trình tiếp tuyến đi qua (kẻ từ) M
1
(x
1
, y
1
)
• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M
1
(x
1
, y
1
) & có hệ số góc k là:
y = k. (x − x
1
) + y
1
• Dùng điều kiện tiếp xúc




f(x) = k.(x − x
1
) + y
1
f

(x) = k
⇒ tìm ra k.
6. Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị
Cho phương trình F (x, m) = 0 (x : ẩn, m : tham số). Biện luận theo m số nghiệm của
pt.
• Viết pt đã cho dưới dạng f(x) = g(m) (*), trong đó f(x) là hàm có đồ thị vẽ được
(1 trong 4 dạng) (thường là đã vẽ), y = g(m) là đường thẳng song song Ox.
• Số nghiệm của (*) chính bằng số giao điểm của hai đồ thị : (C) : y = f (x) và đường
thẳng y = g(m ).
7. Tương quan (giao điểm) của đồ thị hàm số bậc 3 với các trục tọa độ (Ox và
Oy).
Cho y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a = 0) có đồ thị (C). Khi đó
a. (C) cắt trục hoành Ox tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi y có cực trị và hai giá
trị cực trị trái dấu.
• Bước 1: Tính y

, xét pt bậc 2 y


= 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
(chỉ xét điều
kiện ∆ > 0, không tính cụ thể x
1
, x
2
).
• Bước 2: Chia đa thức y cho y

ta được y = (Ax + B).y

+ kx + h.
Khi đó



y(x
1
) = kx
1
+ h
y(x
2
) = kx
2
+ h
.

Hai giá trị cực trị trái dấu khi
y(x
1
).y(x
2
) < 0 ⇔ (kx
1
+ h)(kx
2
+ h) < 0 ⇔ k
2
x
1
x
2
+ kh(x
1
+ x
2
) < 0 (∗)
Áp dụng Viét x
1
x
2
=
c
a
; x
1
+ x

2
= −
b
a
, thay vào (∗).
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 9
c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
b. (C) cắt trục Ox chỉ tại 1 điểm khi hai giá trị cực trị cùng dấu (y(x
1
).y(x
2
) > 0)
hoặc y

rơi vào 2 trường hợp :vô nghiệm/nghiệm kép ⇒ ∆  0.
Chú ý:
• Hai cực trị nằm hai phía so với trục Oy khi x
1
.x
2
< 0
• Hai cực trị nằm cùng phía so với trục Oy khi x
1
.x
2
> 0.
• Hai cực trị nằm hai phía so với trục O khi y(x

1
).y(x
2
) < 0
• Hai cực trị nằm cùng phía so với trục O khi y(x
1
).y(x
2
) > 0
• Nếu phương trình ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 có nghiệm dễ tìm (nghiệm hữu tỷ) thì
ta nên xét số nghiệm của phương trình này để suy ra số giao điểm của (C) và trục
hoành Ox.
8. Khoảng cách
Cho M(x
M
, y
M
), N(x
N
, y
N
), P (x
0
, y
0
) và đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0. Khi đó:

MN =

(x
N
− x
M
)
2
+ (y
N
− y
M
)
2
d(P, ∆) =
|Ax
0
+ By
0
+ C|
√
A
2
+ B
2
Chú ý:
• Khoảng cách từ M(x
0
, y
0

) đến trục hoành là |y
0
|
• Khoảng cách từ M(x
0
, y
0
) đến trục tung là |x
0
|
9. Tìm cặp điểm A, B ∈ (C) : y = f(x) sao cho A, B đối xứng nhau qua ∆ : y = ax+b
• Gọi d là đường thẳng vuông góc với ∆, khi đó d có dạng: y = −
1
a
x + m.
• Giao điểm của d và (C) chính là A, B có hoành độ là nghiệm của phương trình:
f(x) = −
1
a
x + m
• Ta lập luận tìm điều kiện tồn tại của A và B.
• Gọi I là trung điểm của AB, do tính đối xứng nên ta có I ∈ ∆, từ đó tìm m rồi
suy ra tọa độ của A, B.
A BI
∆
d
(C) : y = f(x)
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 10
c

 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
10. Tìm cặp điểm A, B ∈ (C) : y = f(x) sao cho A, B đối xứng nhau qua I(x
I
, y
I
)
• Do A, B ∈ (C) nên



y
A
= f(x
A
) (1)
y
B
= f(x
B
) (2)
.
• Do A, B đối xứng nhau qua I nên I là trung điểm của AB, suy ra



x
A
+ x
B

2
= x
I
(3)
y
A
+ y
B
2
= y
I
(4)
.
• Thay (1) và (2) vào (4) và kết hợp với (3), rồi tìm điều kiện tồn tại x
A
, x
B
. Từ đó
giải tìm A, B.
A
B
I
(C) : y = f(x)
11. Điểm trên (C) có tọa độ nguyên
Xét (C) : y =
ax + b
cx + d
hoặc (C) : y =
ax
2

+ bx + c
dx + e
.
Gọi (x
0
, y
0
) ∈ (C) có tọa độ nguyên. Chia tử cho mẫu ta luôn được phần dư có dạng
M
cx
0
+ d
hoặc
M
dx
0
+ e
. Ta lập luận M phải chia hết cho mẫu số, lần lượt cho mẫu số
bằng các số là ước số của M, từ đó tìm ra x
0
, thay lại hàm số tìm ra y
0
rồi kết luận.
12. Tính diện tích hình phẳng, thể tích tròn xoay
a. Bài toán 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau














y = f (x)
y = g(x)
x = a (có thể khuyết)
x = b (có thể khuyết)
(dạng I) hoặc













x = g(y)
x = h(y)
y = c (có thể khuyết)
y = d (có thể khuyết)

(dạng II)
Giải dạng I:
• Giải f (x) = g(x) ⇒ x
1
, x
2
, . . . ⇒ xét x
1
, x
2
∈ [a, b]?
• Giả sử x
1
, x
2
∈ [a, b](x
1
< x
2
) thì
S =

b
a
|f(x) − g(x)|dx
=






x
1
a
[f(x) − g(x)]dx




+





x
2
x
1
[f(x) − g(x)]dx




+






b
x
2
[f(x) − g(x)]dx




Giải dạng II: Xem x là y, xem y là x.
Chú ý: Dạng I nếu cho 3 đường y hoặc dạng II nếu cho 3 đường x thì buộc phải
vẽ hình.
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 11
c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
b. Bài toán 2: Tính thể tích tròn xoay.
• Quay quanh trục Ox: Phải đưa các đường đề cho về dạng I (rút y theo x)
và áp dụng
V =

b
a


f
2
(x) − g
2
(x)



dx
= π





x
1
a
[f
2
(x) − g
2
(x)]dx




+π





x
2
x

1
[f
2
(x) − g
2
(x)]dx




+π





b
x
2
[f
2
(x) − g
2
(x)]dx




• Quay quanh trục Oy: Phải đưa các đường đề cho về dạng II (rút x theo y)
và áp dụng

V =

b
a


g
2
(y) − h
2
(y)


dy
= π





y
1
c
[g
2
(y) − h
2
(y)]dy





+ π





y
2
y
1
[g
2
(y) − h
2
(y)]dy




+ π





d
y
2

[g
2
(y) − h
2
(y)]dy




13. Đồ thị của hàm số có dấu trị tuyệt đối
Phương pháp chung: Khử dấu trị tuyệt đối trên cơ sở |A| =

A nếu A  0
−A nếu A < 0
.
Trong đó thường gặp nhất là 5 bài toán cụ thể sau:
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C)
a. Bài toán 1: Từ (C) suy ra đồ thị của hàm số y = f(|x|).
Gọi (C
1
) là đồ thị của hàm số y = f (|x|) thì (C
1
) gồm 2 phần:
• Phần 1: Giữ nguyên phần của (C) nằm bên phải trục tung Oy (ứng với x  0).
• Phần 2: Lấy đối xứng qua trục Oy phần 1 (phần giữ nguyên).
b. Bài toán 2: Từ (C) suy ra đồ thị của hàm số y = |f(x)|.
Gọi (C
2
) là đồ thị của hàm số y = f (|x|) thì (C
2

) gồm 2 phần:
• Phần 1: Giữ nguyên phần của (C) nằm bên trên trục hoành Ox (ứng với y  0).
• Phần 2: Lấy đối xứng qua trục Ox phần của (C) nằm bên dưới trục Ox (phần
của (C) ứng với y  0).
c. Bài toán 3: Từ (C) suy ra đồ thị của hàm số |y| = f(x).
Gọi (C
3
) là đồ thị của hàm số |y| = f(x) thì (C
3
) gồm 2 phần:
• Phần 1: Giữ nguyên phần của (C) nằm bên trên trục hoành Ox (ứng với y  0).
• Phần 2: Lấy đối xứng qua trục Ox phần 1 (phần giữ nguyên).
d. Bài toán 4: Từ (C) của hàm số y =
u(x)
v(x)
suy ra đồ thị của hàm số y =
u(x)
|v(x)|
.
Giải v(x)  0 ⇔ x? và giải v(x) < 0 ⇔ x?.
Gọi (C
4
) là đồ thị của hàm số y =
u(x)
|v(x)|
thì (C
4
) gồm 2 phần:
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 12

c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
• Phần 1: Giữ nguyên phần của (C) ứng với v(x)  0.
• Phần 2: Lấy đối xứng qua trục Ox phần của (C) ứng với v(x) < 0.
e. Bài toán 5: Từ (C) của hàm số y =
u(x)
v(x)
suy ra đồ thị của hàm số y =
|u(x)|
v(x)
.
Giải u(x)  0 ⇔ x? và giải u(x) < 0 ⇔ x?.
Gọi (C
5
) là đồ thị của hàm số y =
|u(x)|
v(x)
thì (C
5
) gồm 2 phần:
• Phần 1: Giữ nguyên phần của (C) ứng với u(x)  0.
• Phần 2: Lấy đối xứng qua trục Ox phần của (C) ứng với u(x) < 0.
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 13
c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
Tích phân


b
a
f(x)dx = F(x)|
b
a
= F (b) −F(a)
1. Tính trực tiếp từ các công thức có sẵn.
Nguyên hàm các hàm số sơ cấp Nguyên hàm mở rộng

dx = x + C

x
α
dx =
x
α+1
α + 1
+ C, α = −1

u
α
du =

u
α
u

dx =
u
α+1

α + 1

1
x
dx = ln |x|+ C

du
u
=

u

u
dx = ln |u|+ C

e
x
dx = e
x
+ C

e
ax+b
dx =
1
a
.e
ax+b
+ C, a = 0


a
x
dx =
a
x
ln a
+ C, 0 < a = 1

a
mx+n
dx =
1
m
a
mx+n
ln a
+ C, 0 < a = 1

cos xdx = sin x + C

cos(ax + b)dx =
1
a
sin(ax + b) + C

sin xdx = −cos x + C

sin(ax + b)dx = −
1
a

cos(ax + b) + C

1
cos
2
x
dx = tan x + C

1
cos
2
(ax + b)
dx =
1
a
tan(ax + b) + C

1
sin
2
x
dx = −cot x + C

1
sin
2
(ax + b)
dx = −
1
a

cot(ax + b) + C
2. Đổi biến.
a. Dạng 1:
• Đặt t = ϕ(x).
• Tính dt = ϕ

(x)dx.
• Đổi cận
x
t = ϕ(x)
a b
ϕ(a) ϕ(b)
Việc chọn t = ϕ(x) tùy thuộc vào từng bài toán, thường để xử lý các tích phân
dạng phân thức mà đạo hàm mẫu số sẽ xuất hiện phần tử số hoặc xử lý các
tích phân lượng giác. Nói chung là đổi biến sao cho sau khi lấy vi phân ta được
phần còn lại.
b. Dạng 2: Ta chú ý các dạng sau đây
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 14
c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
•
√
a
2
+ x
2
hoặc a
2

+ x
2
−→ đặt x = a tan t.
•
√
a
2
− x
2
−→ đặt x = a sin t.
•
√
x
2
− a
2
−→ đặt x =
a
sin t
.
•

a + x
a − x
hoặc

a − x
a + x
−→ đặt x = a cos 2t.
3. Từng phần.


b
a
udv = [uv]|
b
a
−

b
a
vdu (*)
Xét

b
a
f(x)dx.
• Tách f(x)dx để xác định



u =?
dv =?
⇒



du =?
v =?
• Áp dụng công thức (∗).
Quy tắc tách: Ưu tiên ln, log rồi đến đa thức P (x) chứa x để đặt u. Cụ thể là


b
a

ln(αx + β)
log
m
(αx + β)

  
u
P (x)dx
  
dv
và

b
a
P (x)

u



e
αx+β
sin(αx + β)
cos(αx + β)




dx
  
dv
4. Tích phân hàm hữu tỷ. Xét tích phân có dạng

b
a
P (x)
Q(x)
dx,
nếu bậc tử lớn hơn hoặc bằng bậc mẫu ta chia đa thức cho tới khi bậc tử nhỏ hơn bậc
mẫu. Khi đó ta có:
a. Dạng 1:

b
a
dx
x
2
+ mx + n
  
∆<0
=

b
a
dx
(x + α)
2

+ β
2
: đặt x + α = β tan t
b. Dạng 2:

b
a
dx
x
2
+ mx + n
  
∆=0
=

b
a
d(x − x
0
)
(x − x
0
)
2
= −
1
x − x
0





b
a
(x
0
: nghiệm kép)
c. Dạng 3:

b
a
dx
x
2
+ mx + n
  
∆>0
=

b
a
dx
(x − x
1
).(x − x
2
)
=
1
M


b
a

1
x − x
2
−
1
x − x
1

dx
d. Dạng 4:

b
a
Mx + N
x
2
+ mx + n
  
∆<0
dx =

b
a
d(x
2
+ mx + n)

x
2
+ mx + n
+

b
a
Edx
x
2
+ mx + n
  
xem (a)
(a)
(a)
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 15
c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
e. Dạng 5:

b
a
Mx + N
x
2
+ mx + n
  
∆=0

dx =

b
a

A
x − x
0
+
B
(x − x
0
)
2

dx
(trong đó x
0
là nghiệm kép, A, B tìm được bằng đồng nhất thức).
f. Dạng 6:

b
a
Mx + N
x
2
+ mx + n
  
∆>0
dx =


b
a

A
x − x
1
+
B
x − x
2

dx
Chú ý: Nếu mẫu số là a x
2
+ mx + n thì nhớ chỉnh hệ số: a

x
2
+
m
a
+
n
a

.
5. Tích phân hàm lượng giác.
a. Dạng 1:


b
a
sin
m
x. cos
n
xdx
• m lẻ thì đặt t = cos x; n lẻ thì đặt t = sin x.
• m, n chẵn và dương thì áp dụng công thức hạ bậc.
• m, n chẵn và âm thì đặt t = tan x.
b. Dạng 2:

b
a
sin mx. cos nxdx
hoặc

b
a
cos mx. cos nxdx
hoặc

b
a
sin mx. sin nxdx
 Ta áp dụng các công thức biến đổi tích thành tổng.
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 16
c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn

Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
Công thức lượng giác
Công thức cơ bản
• sin
2
x + cos
2
x = 1
• tan x =
sin x
cos x
• cot x =
cos x
sin x
• tan x cot x = 1
• 1 + tan
2
x =
1
cos
2
x
• 1 + cot
2
x =
1
sin
2
x
Công thức nhân đôi

• sin 2a = 2 sin a cos a
• cos 2a = cos
2
a − sin
2
a
= 2 cos
2
a −1 = 1 −2 sin
2
a
• tan 2a =
2 tan a
1 − tan
2
a
Công thức nhân ba
• sin 3a = 3 sin a − 4 sin
3
a
• cos 3a = 4 cos
3
a − 3 cos a
• tan 3a =
3 tan a − tan
3
a
1 − 3 tan
2
a

Công thức hạ bậc
• sin
2
a =
1 − cos 2a
2
• cos
2
a =
1 + cos 2a
2
• tan
2
a =
1 − cos 2a
1 + cos 2a
Công thức cộng
• sin(a +b) = sin a cos b + cos a sin b
• sin(a−b) = sin a cos b−cos a sin b
• cos(a+b) = cos a cos b−sin a sin b
• cos(a−b) = cos a cos b+sin a sin b
• tan(a + b) =
tan a + tan b
1 − tan a tan b
• tan(a − b) =
tan a − tan b
1 + tan a tan b
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 17
c

 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
Công thức tổng thành tích
• sin a + sin b = 2 sin
a + b
2
cos
a − b
2
• sin a − sin b = 2 cos
a + b
2
sin
a − b
2
• cos a + cos b = 2 cos
a + b
2
cos
a − b
2
• cos a − cos b = −2 sin
a + b
2
sin
a − b
2
• tan a + tan b =
sin(a + b)
cos a cos b

• tan a − tan b =
sin(a − b)
cos a cos b
Công thức tích thành tổng
• cos a cos b =
1
2
[cos(a − b) + cos(a + b)]
• sin a sin b =
1
2
[cos(a − b) − cos(a + b)]
• sin a cos b =
1
2
[sin(a − b) + sin(a + b)]
Cung liên kết
1. Đối nhau: α và −α
sin(−α) = −sin α
cos(−α) = cos α
tan(−α) = −tan α
cot(−α) = −cot α
cos đối
2. Bù nhau: α và π − α
sin (π − α) = sin α
cos(π −α) = −cos α
tan(π −α) = −tan α
cot(π −α) = −cot α
sin bù
3. Sai khác π : α và π + α

sin(π + α) = −sin α
cos(π + α) = −cos α
tan(π + α) = tan α
cot(π + α) = cot α
tan pi
4. Phụ nhau α và
π
2
− α
sin

π
2
− α

= cos α
cos

π
2
− α

= sin α
tan

π
2
− α

= cot α

cot

π
2
− α

= tan α
phụ chéo
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 18
c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
2. Sai khác π/2: α và
π
2
+ α
sin

π
2
+ α

= cos α
cos

π
2
+ α


= −sin α
tan

π
2
+ α

= −cot α
cot

π
2
+ α

= −tan α
sin lớn bằng cos nhỏ
Chú ý:














sin(α + k2π) = sin α
cos(α + k2π) = cos α
tan(α + kπ) = tan α
cot(α + kπ) = cot α
Cách giải một số phương trình lượng giác
1. Phương trình cơ bản
1. sin u = sin v ⇔

u = v + k2π
u = π − v + k2π
2. cos u = cos v ⇔

u = v + k2π
u = −v + k2π
3. tan u = tan v ⇐⇒ u = v + kπ 4. cot u = cot v ⇐⇒ u = v + kπ
2. Phương trình bậc hai theo sinx, cos x, tan x, cot x
a cos
2
x + b cos x + c = 0 a sin
2
x + b sin x + c = 0
a cot
2
x + b cot x + c = 0 a tan
2
x + b tan x + c = 0
Cách giải
Đặt t = sin x, cos x, điều kiện: −1  t  1
Đặt t = tan x, cot x, điều kiện: không có
Từ đó đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai ẩn t, được t giải tiếp phương

trình cơ bản
3. Phương trình bậc nhất theo sin u và cos u
a sin u + b cos u = c (Điều kiện có nghiệm: a
2
+ b
2
 c
2
)
⇐⇒
a
√
a
2
+ b
2
sin u +
b
√
a
2
+ b
2
cos u =
c
√
a
2
+ b
2

(∗)
Đặt sin ϕ =
a
√
a
2
+ b
2
và cos ϕ =
b
√
a
2
+ b
2
Khi đó đưa (*) được viết lại là
sin ϕ. sin u + cos ϕ. cos u =
c
√
a
2
+ b
2
⇐⇒ cos(u − ϕ) =
c
√
a
2
+ b
2

(phương trình cơ bản)
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 19
c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
4. Phương trình đối xứng
• Dạng 1
a(sin x + cos x) + b sin x cos x = c (1)
Đặt t = sin x + cos x=
√
2 sin(x +
π
4
), |t| 
√
2. Khi đó sin x cos x=
t
2
− 1
2
và đưa
pt (1) đã cho về phương trình bậc hai theo t
• Dạng 2
a(sin x − cos x) + b sin x cos x = c (2)
Đặt t = sin x −cos x=
√
2 sin(x −
π
4

), |t| 
√
2 Khi đó sin x cos x=
1 − t
2
2
và đưa
pt (2) đã cho về phương trình bậc hai theo t
5. Phương trình đẳng cấp a sin
2
x + b sin x cos x + c cos
2
x = d (1)
Bước 1 Tìm nghiệm cos x = 0 (⇐⇒ sin
2
x = 1 ⇐⇒ sin x = ±1)
Bước 2 Với cos x = 0, chia hai vế của (1) cho cos
2
x như sau
a
sin
2
x
cos
2
x
+ b
sin x cos x
cos
2

x
+ c
cos
2
x
cos
2
x
= d(1 + tan
2
x)
⇐⇒ a tan
2
x + b tan x + c = d(1 + tan
2
x) (∗)
và đưa phương trình (*) về phương trình bậc hai theo t = tan x
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 20
c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
Một số công thức mũ và lôgarit thường sử dụng
1. Với mọi a > 0, b > 0 và ∀α, β ∈ R, ta có
(i) a
α
.a
β
= a
α+β

; (ab)
α
= a
α
.b
β
.
(ii) (a
α
)
β
= a
α.β
;
a
α
a
β
= a
α−β
;

a
b

α
=
a
α
b

α
.
2. Với a > 0 và a = 1, ta có:
a. log
a
a
x
= x, ∀x ;



log
a
a = 1
log
a
1 = 0
.
b. a
log
a
x
= x, ∀x.
c. log
a
(xy) = log
a
x + log
a
y, ∀x, y > 0

log
a
(xy) = log
a
|x| + log
a
|y|, ∀x, y.
d. log
a
x
y
= log
a
x − log
a
y, ∀x, y > 0
log
a
x
y
= log
a
|x| − log
a
|y|, ∀x, y.
e. log
a
x
α
= α log

a
x, ∀α, ∀x > 0
log
a
x
2k
= 2k log
a
|x|, ∀k, ∀x.
f. log
a
b. log
b
x = log
a
x với b > 0, b = 1, x > 0.
Chú ý
(i) log
a
α
N
β
=
β
α
log
a
N(N > 0; α, β = 0)
(ii) log
b

N =
log
a
N
log
a
b
(N > 0; a > 0, a = 1; b > 0, b = 1).
(iii) log
a
b. log
b
x = log
a
x(a > 0, a = 1; b > 0, b = 1; x > 0).
⇐⇒ log
b
x =
log
a
x
log
a
b
⇐⇒ log
a
x =
1
log
x

a
(x = 1).
(iv) log
x
α
u =
1
α
log
x
u(x > 0, x = 1; u > 0).
log
x
2k
u =
1
2
log
|x|
k
u(x = 0, x = 1, k ∈ N, u > 0).
Phương trình mũ
1. Phương pháp biến đổi tương đương
a
f(x)
= a
g(x)
⇔





a = 1



0 < a = 1
f(x) = g(x)
hoặc



a > 0
(a − 1) [f(x) − g(x)] = 0
(đặt điều kiện cho f(x), g(x) nếu cần).
2. Phương pháp logarit hóa và đưa về cùng cơ số
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 21
c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
• Dạng 1:
a
f(x)
= b ⇔



0 < a = 1, b > 0
f(x) = log

a
b
• Dạng 2:
a
f(x)
= b
g(x)
⇔ log
a
a
f(x)
= log
a
b
g(x)
⇔ f(x) = g(x). log
a
b
hoặc
a
f(x)
= b
g(x)
⇔ log
b
a
f(x)
= log
b
b

g(x)
⇔ f(x). log
b
a = g(x)
3. Phương pháp đặt ẩn phụ
• Dạng 1:
Đặt t = a
f(x)
, điều kiện t > 0 thì a
2f(x)
= t
2
, a
3f(x)
= t
3
, . . . , a
kf (x)
= t
k
và
a
−f(x)
=
1
t
.
• Dạng 2:
Với ab = 1 thì khi đặt a
f(x)

= t, điều kiện t > 0 ta có b
f(x)
=
1
t
.
• Dạng 3: Cho pt α
1
a
2x
+ α
2
(ab)
x
+ α
3
b
2x
= 0.
Chia hai vế của phương trình cho lũy thừa có cơ số lớn nhất, chẳng hạn b
2x
ta có
α
1

a
b

2x
+ α

2

a
b

x
+ α
3
= 0
Khi đó đặt t =

a
b

x
với điều kiện t > 0 ta có

a
b

2x
= t
2
4. Phương pháp đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất
Bất phương trình mũ
1. Biến đổi tương đương
• Dạng 1:
a
f(x)
< a

g(x)
⇔











a > 1
f(x) < g(x)



0 < a < 1
f(x) > g(x)
hoặc



a > 0
(a − 1) [f(x) − g(x)] < 0
• Dạng 2:
a
f(x)
 a

g(x)
⇔













a > 1
f(x)  g(x)
a = 1



0 < a < 1
f(x)  g(x)
hoặc



a > 0
(a − 1) [f(x) − g(x)]  0
c

 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 22
c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
2. Logarit hóa
• Dạng 1:
a
f(x)
< b (với b > 0) ⇔











a > 1
f(x) < log
a
b



0 < a < 1
f(x) > log
a

b
• Dạng 2:
a
f(x)
> b ⇔




















b  0
f(x) có nghĩa






















b > 0












a > 1
f(x) > log
a
b



0 < a < 1
f(x) < log
a
b
• Dạng 3:
a
f(x)
> b
g(x)
⇔ lg a
f(x)
> lg b
g(x)
⇔ f(x). lg a > g(x). lg b
hoặc có thể sử dụng logarit theo cơ số a hay b
3. Đặt ẩn phụ
Sử dụng các phương pháp đặt ẩn phụ như trong phương trình mũ.
Phương trình - Bất phương trình logarit
1. Biến đổi tương đương
• Dạng 1:
log
a
f(x) = b ⇐⇒




0 < a = 1
f(x) = a
b
• Dạng 2:
log
a
f(x) = log
a
g(x) ⇐⇒



0 < a = 1
f(x) = g(x ) > 0
• Dạng 3:
log
a
f(x) < log
a
g(x) ⇔












a > 1
0 < f(x) < g(x)



0 < a < 1
f(x) > g(x ) > 0
⇔









0 < a = 1
f(x) > 0
g(x) > 0
(a − 1) [f(x) − g(x)] < 0
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 23
c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành

• Dạng 4:
log
a
f(x) < b ⇐⇒











a > 1
0 < f(x) < a
b



0 < a < 1
f(x) > a
b
• Dạng 5:
log
a
f(x) > b ⇐⇒












a > 1
f(x) > a
b



0 < a < 1
0 < f(x) < a
b
2. Đặt ẩn phụ
Tùy bài mà ta có cách đặt ẩn phụ thích hợp. Trong đó ta chú ý:
Nếu đặt t = log
a
x với x > 0 thì log
k
a
x = t
k
; log
x
a =

1
t
với 0 < x = 1.
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 24
c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
SỐ PHỨC
z = a + bi
1. Định nghĩa
• Xét số phức z = a + bi thì a: phần thực, b : phần ảo; i : đơn vị ảo với i
2
= −1.
• z
1
= a + bi và z
2
= c + di. Khi đó z
1
= z
2
⇔



a = c
b = d
(phần thực bằng phần
thực, phần ảo bằng phần ảo).

• Mô đun (độ lớn) của số phức z = a + bi là |z| = |a + bi| =
√
a
2
+ b
2
.
• Số phức z = a + bi có số phức đối là −z = −a −bi.
• Số phức z = a + bi có số phức liên hợp là z = a −bi.
2. Cộng, trừ, nhân, lấy nghịch đảo và chia số phức
• (a + bi) ± (a

+ b

i) = (a ±a

) + (b ± b

)i.
• (a + bi).(a

+ b

i) = (aa

− bb

) + (ab

+ a


b)i.
• Nghịch đảo của số phức z = a + bi (z = 0) là
1
z
với
1
z
=
1
a + bi
=
a − bi
(a + bi)(a − bi)
=
a − bi
a
2
+ b
2
=
a
a
2
+ b
2
−
b
a
2

+ b
2
i
• Cho z = a + bi và z

= c + di. Khi đó
z
z

=
a + bi
c + di
=
(a + bi)(c − di)
c
2
+ d
2
Chú ý:
(i) z ± z

= z ± z

(ii) zz

= z.z

; z = z.
(iii) |z|  0, ∀z; z = a + bi = 0 ⇔ a = b = 0.
(iv) |z + z


|  |z| + |z

|
(v) |
z.z

|
=
|
z
|
.
|
z

|
;



z
z




=
|z|
|z


|
.
3. Biểu diễn hình học của số phức
Trục ảo
Trục thực
b
a
M(a, b) → biễu diễn cho số phức z = a + bi
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 25