Bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình Schrodinger trong trụ với đáy là miền với biên không trơn 90

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————————
NGUYỄN BÌNH
BÀI TOÁN HỖN HỢP
ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER
TRONG TRỤ VỚI ĐÁY LÀ MIỀN VỚI BIÊN KHÔNG TRƠN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI, 2009
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————————
NGUYỄN BÌNH
BÀI TOÁN HỖN HỢP
ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER
TRONG TRỤ VỚI ĐÁY LÀ MIỀN VỚI BIÊN KHÔNG TRƠN
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng
HÀ NỘI, 2009
i
LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trườ ng Đại học sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, cá c thầy, cô giáo giảng dạy đã giúp
đỡ trong quá trình học tập, thực hiện đề tài, hoàn thành luận văn tốt
nghiệp và kết thúc tốt đẹp chương trình cao học.
Đặc biệt, tác giả xin cảm ơn PGS. TSKH Nguyễn Mạnh Hùng -
Trường Đại học sư phạm Hà Nội - đã trực tiếp hướng dẫn tận tình trong
suốt quá trình nghiên cứu và hoàn chỉnh đề tài. Tác giả cũng xin cảm
ơn các bạn học viên trong lớp đã giúp đỡ và có những đóng góp quí báu

cho bản luận văn này.
Hà Nội, tháng 9 năm 2009
Tác giả
ii
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận vă n là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS. TSKH Nguyễn Mạnh Hùng.
Trong khi nghiên cứu Luận văn, tôi đã kế thừa thành quả kho a
học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 9 năm 2009
Tác giả
iii
Mục lục
Danh mục kí hiệu iv
Mở đầu 1
1 Không gian Sobolev 4
1.1 Trung bình hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Đạo hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Không gian W
m
p
(Ω),
o
W
m
p
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Không gian H
m,k
(Q

T
), H
m,k
(Q
T
, S
1
) . . . . . . . . . . . . 17
2 Bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình Schrodinger trong trụ với
2.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Tính giải được của bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Tính duy nhất nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . 23
2.2.2 Sự tồn tại nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . 28
2.2.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Kết luận 36
Tài liệu tham khảo 37
iv
Danh mục kí hiệu
• R
n
là không gian Euclid n−chiều.
• Ω là một miền trong R
n
, tức là một tập mở liên thô ng, với biên ∂Ω.
Ω = Ω ∪ ∂Ω. Nếu Ω

⊂ Ω sao cho Ω

⊂ Ω, thì ta viết Ω


⊂⊂ Ω.
Giả sử 0 < T < ∞, kí hiệu
Q
T
= Ω × (0, T ) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (0, T )}
là trụ trong R
n+1
. Mặt xung quanh của nó là S
T
= ∂Ω×(0, T ) = {(x, t) :
x ∈ ∂Ω, t ∈ (0, T )}.
• x = (x
1
, . . . , x
n
) ∈ Ω, u(x, t) = (u
1
(x, t), . . . , u
s
(x, t)) là vectơ hàm
phức; α = (α
1
, . . . , α
n
) (α
i
∈ N, i = 1, . . . , n) là đa chỉ số; |α| = α
1
+
···+ α

n
. Đạo hàm (suy rộng) cấp α được kí hiệu là
D
α
= D
α
x
=
∂
|α|
∂x
α
1
1
. . . ∂x
α
n
n
≡ ∂
|α|
/∂x
α
1
1
. . . ∂x
α
n
n
.
Đặc biệt

|D
α
u|
2
=
s

i=1
|D
α
u
i
|
2
Trường hợp (x, t) ∈ Q
T
, để chỉ đạ o hàm (suy rộ ng) cấp l theo biến t ta
viết
u
t
l ≡
∂
l
u
∂t
l
≡

∂
l

u
1
∂t
l
, . . . ,
∂t
l
u
s
∂t
l

.
• Giá của một hàm là bao đóng của tập hợp tất cả các điểm mà hà m đó
khác không và kí hiệu là supp. Kí hiệu C
l
(Ω) là tập hợp tất cả các hàm có
các đạo hàm liên tục đến cấp l trong miền Ω, 0 ≤ l ≤ ∞, C
0
(Ω) = C(Ω)
v
và
o
C
l
(Ω) =
o
C
(Ω) ∩C
l

(Ω), ở đó
o
C
(Ω) là tập hợ p tất cả các hàm liên tục
trong Ω và có giá compact t huộc Ω.
• L
p
(Ω), 1 ≤ p < ∞ là không gia n bao gồm tất cả các hàm u(x) k hả
tổng cấp p theo Lesbegue trong Ω với chuẩn
u
L
p
(Ω)
=


Ω
|u|
p
dx

1/p
.
• W
m
p
(Ω), 1 ≤ p < ∞ là không gian bao gồm các hàm u(x) ∈ L
p
(Ω),
sao cho đạo hàm suy rộng D

α
u ∈ L
p
(Ω), |α| ≤ m, với chuẩn
u
W
m
p
(Ω)
=


|α|≤m

Ω
|D
α
u|
p
dx

1/p
.
Nói r iêng, khi p = 2 ta dùng kí hiệu H
m
(Ω) thay cho W
m
2
(Ω)
u

H
m
(Ω)
=


|α|≤m

Ω
|D
α
u|
2
dx

1/2
.
•
o
W
m
p
(Ω) là bao đóng của
o
C
∞
(Ω) trong không gian W
m
p
(Ω).

• H
m,k
(Q
T
) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x, t) ∈ L
2
(Q
T
), sao
cho đạo hàm suy rộng D
α
u ∈ L
2
(Q
T
), |α| ≤ m và u
t
l
∈ L
2
(Q
T
), 1 ≤ l ≤ k
với chuẩn
u
H
m,k
(Q
T
)

=


|α|≤m

Q
T
|D
α
u|
2
dxdt +
k

l=1

Q
T
|u
l
t
|
2
dxdt

1/2
.
Nói r iêng
u
H

m,0
(Q
T
)
=


|α|≤m

Q
T
|D
α
u|
2
dxdt

1/2
.
• Giả sử ∂Ω = Γ
1
∪Γ
2
; Γ
1
∩Γ
2
= ∅, S
1
= Γ

1
×(0, T ). Kí hiệu C
∞
(Ω, Γ
1
)
là tập hợp các hàm liên t ục trên Ω, triệt tiêu gần mặt Γ
1
. H
m
(Ω, Γ
1
) là
vi
không gian con của H
m
(Ω) sao cho C
∞
(Ω, Γ
1
) trù mật trong H
m
(Ω, Γ
1
)
theo chuẩn của H
m,k
(Q
T
).

• H
m,k
(Q
T
, S
1
) là không gian con của H
m,k
(Q
T
) có tập hợp trù mật
trong nó là các hàm t huộc C
∞
(Q
T
), triệt tiêu gần mặt S
1
.
1
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết các bài toán biên tổng quát trong các miền với biên trơn
đến nay đã khá hoàn thiện [4, 5, 6]. Các bài toán biên ban đầu đối với
phương trình và hệ phương trình k hông dừng trong các hình trụ với đáy
là miền với biên không trơn được xét không nhiều. Các bài toán biên
ban đầu đối với hệ Schrodinger đã được x ét trong công trình [2, 8, 10].
Các bài toán biên loạ i này đối với hệ phương trình Parabolic cũng đã
được nghiên cứu [9]. Trong các công trình này đã nhậ n được các kết quả
về sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng và các kết q uả về tính trơn
cũng như biểu diễn tiệm cận của ng hiệm.

Bài toán biên ban đầu thứ nhất và thứ hai đối với hệ phương trình
hyperbo lic đã được nghiên cứu tro ng các công trình [7, 11], ở đó đã
nhận được các kết quả về tính giải được, tính trơn và biểu diễn tiệm cận
nghiệm suy rộng trong các l ân cận của điểm kỳ dị. Bài toán biên hỗn
hợp trong các miền trụ với đáy là miền với biên không trơn đến nay còn
được xét rất ít.
Lý do trên đề tài được chọn: Bài toán hỗn hợp đối với hệ phương
trình Schrodinger trong t rụ với đáy là miền với biên không trơn.
2
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là nghiên cứu bài to án hỗn hợp đối với hệ
phương trình Schrodinger trong hình trụ với đáy là miền với biên không
trơn, nhận được các định lý về sự tồn tạ i duy nhất nghiệm suy rộng
trong không gian kiểu Sobolev.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Bài toán biên hỗn hợp đối với hệ Schrodinger trong hình trụ với
đáy là miền với biên không trơn; nghiên cứu không gian kiểu Sobolev;
nghiên cứu nghiệm suy rộng.
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp được sử dụng là phương pháp Galerkin, các phương
pháp của giải tích hàm để đánh giá bất đẳng thức, phương pháp t ìm giới
hạn.
5. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của
đề tài
Nhận được các định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng
của bài toán biên hỗn hợp trong lý thuyết tổng quát về các bài toán biên
đối với hệ không dừng trong miền với biên không trơn. G óp phần ho àn
thiện l ý thuyết giải các bài toán biên trong miền với điểm kỳ dị của lý
thuyết phương trình đạo hàm riêng.
3

6. Nội dung
Luận văn bao gồm hai chương:
Chương 1 giới thiệu một số kiến thức bổ trợ, bao gồm các k hông
gian hàm.
Chương 2 là nội dung chính của luận văn trình bày cách đặt bài
toán hỗn hợp đối với hệ phương trình Schrodinger trong hình trụ với
đáy là miền với biên không trơn; trì nh bày nghiệm suy rộng, sự tồn tại
và duy nhất nghiệm suy rộng của bài toán hỗn hợp.
4
Chương 1
Không gian Sobolev
1.1 Trung bình hóa
Giả sử θ(x), x ∈ R
n
, là một hàm sao cho
θ ∈
o
C
∞
(R
n
), θ(x) = θ(−x), θ(x) ≥ 0, θ(x) = 0 nếu |x| ≥ 1, và

R
n
θ(x)dx = 1. (1.1)
Ví dụ, ta có thể lấy hàm sau:
θ(x) =




C.exp(−
1
1−|x|
2
), nếu |x| < 1,
0, nếu |x| ≥ 1,
ở đó hằng số C được chọn để điều kiện (1. 1) được thỏ a mãn.
Với h > 0, ta đặt
θ
h
(x) = h
−n
θ(
x
h
), x ∈ R
n
.
Khi đó θ
h
∈
o
C
∞
(R
n
), θ
h
(x) ≥ 0,

θ
h
(x) = 0, nếu |x| ≥ h,

R
n
θ
h
(x)dx = 1.
Định nghĩa 1.1.1. θ
h
được gọi là nhân t rung bình hóa.
5
Giả sử Ω là một miền tr ong R
n
và u ∈ L
p
(Ω) với 1 ≤ p ≤ ∞. Ta
thác triển u(x) bằng 0 t rên R
n
\Ω và xét tích chập θ
h
∗ u := u
h
u
h
(x) =

R
n

θ
h
(x − y)u(y)dy.
(Chính xác hơn, t ích phân lấy trên Ω ∩ {y : |x − y| < h })
Khi đó, ta có
u
h
∈ C
∞
(R
n
) và D
α
u
h
(x) =

R
n
D
α
x
θ
h
(x − y)u(y)dy (do θ
h
∈ C
∞
);
u

h
(x) = 0 nếu dist{x; Ω} ≥ h ( vì θ
h
(x − y) = 0, y ∈ Ω).
Định nghĩa 1.1.2. u
h
(x) được gọi là hàm trung bình hóa hay hàm
trung bình của u(x).
Định lí 1.1.1 ([1], Định lí 3.4) . Giả sử u ∈ L
p
(Ω) với p ≥ 1. Khi đó
lim
h→0
u
h
− u
L
p
(Ω)
= 0.
Chứng minh. Đặt u(x) = 0 đối với x ∈ R
n
\Ω. Khi đó,
u
h
(x) =

Ω
θ(
x − y

h
)u(y)dy =

R
n
θ(z)u(x + hz)dz.
Bởi vậy,
u
h
(x) − u(x) =

R
n
θ(z)[(u(x + hz) −u(x)]dz,
|u
h
(x) − u(x)|
p
≤ C

|z|<1
|u(x + hz) − u(x) |
p
dz.
Sau khi lấy tích phân bất đẳng thức này theo x và đổ i thứ tự lấy tích
phân nhờ định lí Fubini ta nhận được

Ω
|u
h

(x) − u(x)|
p
dx ≤

|z|<1
dz

Ω
[u(x + hz) − u(x)|
p
dx
6
Do tính liên tục toàn cục của hàm thuộc không gian L
p
(Ω), p ≥ 1, tích
phân sau cùng dần đến không khi h → 0. Định lí được chứng minh.
Định lí 1.1.2 ([1], Định lí 3.5) . Nếu f, g ∈ L
1
(Ω) thì

Ω
f
h
(x)g(x)dx =

Ω
f(x)g
h
(x)dx
Chứng minh. Theo định ng hĩa trung bình hóa, ta có


Ω
f
h
(x)g(x)dx = h
−n

Ω


Ω
θ

x − y
h

f(y)dy

g(x)dx
= h
−n

Ω
f(y)dy

Ω
θ

y −x
h


g(x)dx
=

Ω
f(x)g
h
(x)dx.
Định lí được chứng minh.
Định lí 1.1.3 ([1], Định lí 3.6). Nếu f ∈ L
1
(Ω) và

Ω
f(x)η(x)dx = 0
với mọi η ∈
o
C
∞
(Ω) thì f = 0 hầu khắp nơi.
Chứng minh. Với  > 0, ∀ψ ∈
o
C
∞
(Ω) sa o cho
|

Ω
f
h

(ψ(x) −sig nf
h
(x)) dx| ≤

Ω
|f
h
(ψ(x) − signf
h
(x)) |dx
≤
1
2

Ω
|f
h
|dx + .
Khi đó
0 =

Ω
fψ
h
dx =

Ω
f
h
ψdx =


Ω
f
h
(ψ −signf
h
+ signf
h
)dx
=

Ω
|f
h
|dx +

Ω
f
h
(ψ −signf
h
)dx
≥

Ω
|f
h
|dx −
1
2


Ω
|f
h
|dx − .
7
Do đó f
h
= 0 và vì f − f
h

L
p
(Ω)
→ 0, nên f = 0 hầu khắp nơi. Định lí
được chứng minh.
1.2 Đạo hàm suy rộng
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử u, v ∈ L
1
(Ω) và α là một đa chỉ số. Khi đó
v được gọi là đạo hàm suy rộng cấp α của u, kí hiệu D
α
u, nếu

Ω
u(x)D
α
η(x)dx = (−1)
|α|


Ω
v(x)η(x)dx, ∀η ∈
o
C
∞
(Ω). (1.2)
Chú ý:
a) Nếu u(x) đủ t rơn để có đạo hàm liên tục D
α
u, ta có

Ω
u(x)D
α
η(x)dx =

Ω
(−1)
|α|
D
α
u(x)η(x)dx.
Từ đó, đạo hàm cổ điển D
α
u cũng là đạo hàm suy rộng. Tuy nhiên,
D
α
u có thể t ồn tại theo nghĩa suy rộng mà không tồn tại theo ng hĩa
thông thường. Để làm ví dụ ta lấy u(x) = |x|, x ∈ (−1, 1). Dễ kiểm
tra được hàm u(x) có đạo hàm suy rộng trong khoảng (−1, 1). Tuy

nhiên, hàm này không có đạo hàm thông thường tại điểm x = 0.
b) Từ công t hức Green cổ điển suy ra một hàm u(x) có đạo hàm thông
thường liên tục cấp α thì nó có đạo hàm suy rộng D
α
u. Từ định nghĩa
đạo hàm suy rộng, ta rút ra hàm v(x) có không quá một đạo hàm
suy rộng. Thật vậy, giả sử u ∈ L
1
(Ω) và v, w ∈ L
1
(Ω) là hai đạo hàm
suy rộng của u. Khi đó, theo (1.2) có

Ω
(v(x) −w(x))η(x)dx = 0, ∀η ∈
o
C
∞
(Ω).
Theo Định lí 1.1.3, v(x) = w(x) với hầu khắp x ∈ Ω.
8
c) Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp α trong miền Ω thì nó cũng
có đạo hàm suy rộng cấp α trong miền Ω

⊂ Ω. Thật vậy, g iả sử
D
α
u = v tr ong Ω. Cố định η ∈
o
C

∞
(Ω

), Ω

⊂ Ω. Khi coi η(x) = 0
với x ∈ Ω\Ω

, ta nhận được η(x) ∈
o
C
∞
(Ω).
Ta có hệ thức:

Ω

u(x)D
α
η(x)dx =

Ω
u(x)D
α
η(x)dx
= (−1)
|α|

Ω
v(x)η(x)dx

= (−1)
|α|

Ω

v(x)η(x)dx.
Từ đó, ta có D
α
u = v trong Ω

.
Đạo hàm suy rộng trong miền Ω

được gọi là thu hẹp của đạo hàm
suy rộng trong Ω và o Ω

.
d) Có thể kiểm tra được rằng:
D
α+β
v = D
α
(D
β
v), aD
α
v
1
+ bD
α

v
2
= D
α
(av
1
+ bv
2
),
ở đó a và b là các hằng số tùy ý.
e) Từ định nghĩa của đạo hàm suy rộng thấy ngay được đạo hàm suy
rộng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm . Nói chung, đạ o hàm
suy rộng bả o toàn được nhiều tính chất của đạo hàm theo nghĩa thông
thường. Tuy nhiên không phải là t ất cả, chẳng hạn từ sự tồn tại đạo
hàm suy rộng cấp α không suy ra được sự tồn tại đạo hà m suy rộng
cấp nhỏ hơn α.
Sau đây ta xét một định lí về sự liên hệ giữa đạo hàm suy rộng và trung
bình hóa.
9
Định lí 1.2.1 ([1], Định lí 4.1). Giả sử Ω là một miền trong R
n
và Ω

là một m i ền con của Ω , sao cho khoảng cách giữa Ω

và ∂Ω bằng d > 0.
Khi đó, đối với 0 < h < d và x ∈ Ω

, ta có
(D

α
u)
h
(x) = D
α
u
h
(x).
Chứng minh. Do 0 < h < d và x ∈ Ω

, còn hàm θ((x − y)/h) ∈
o
C
∞
(Ω)
đối với x ∈ Ω

, nên khi sử dụng định nghĩa đạo hàm suy rộng ta nhậ n
được
D
α
u
h
(x) = D
α
x
h
−n

R

n
θ(
x − y
h
)u(y)dy
= h
−n

Ω
(−1)
|α|
D
α
y
θ(
x − y
h
)u(y)dy
= h
−n

Ω
θ(
x − y
h
)D
α
y
u(y)dy
= (D

α
u)
h
(x).
Định lí được chứng minh.
1.3 Không gian W
m
p
(Ω),
o
W
m
p
(Ω)
Định nghĩa 1.3.1. Không gian W
m
p
(Ω), 1 ≤ p < ∞ là khô ng gian ba o
gồm cá c hàm u(x) ∈ L
2
(Ω), sao cho đạo hàm suy rộng D
α
u ∈ L
2
(Ω),
|α| ≤ m, với chuẩn
u
W
m
p

(Ω)
=


|α|≤m

Ω
|D
α
u|
p
dx

1/p
. (1.3)
Định nghĩa 1.3.2. Không gian
o
W
m
p
(Ω), 1 ≤ p < ∞ là bao đóng của
o
C
∞
(Ω) trong chuẩn của không gia n W
m
p
(Ω).
Chú ý:
10

a) W
0
p
(Ω) = L
p
(Ω).
b) Ta kí hiệu H
m
(Ω) thay cho W
m
2
(Ω). Không gian H
m
(Ω) là một không
gian Hilbert cùng với tích vô hướng
(u, v)
H
m
(Ω)
=

Ω

|α|≤m
D
α
u · D
α
vdx, u, v ∈ H
m

(Ω).
Định lí 1.3.1 ([1], Định lí 4.5). Giả sử Ω là một miền trong R
n
và
m ≥ 0, 1 ≤ p < ∞. Khi đó W
m
p
(Ω) là một không gian Banach.
Chứng minh. 1) Trước hết, ta kiểm tr a W
m
p
(Ω) là một không gian tuyến
tính định chuẩn với chuẩn (1.3). Thật vậy:
Dễ thấy
+ λu
W
m
p
(Ω)
= |λ|u
W
m
p
(Ω)
.
+ u
W
m
p
(Ω)

= 0 ⇔ u = 0.
+ Gi ả sử u, v ∈ W
m
p
(Ω). Khi đó với 1 ≤ p < ∞, áp dụng bất đẳng
thức Minkowski
u + v
W
m
p
(Ω)
=


|α|≤m

Ω
|D
α
u + D
α
v|
p

1/p
≤


|α|≤m



Ω
|D
α
u| +

Ω
|D
α
v|

p

1/p
≤


|α|≤m

Ω
|D
α
u|
p

1/p
+


|α|≤m


Ω
|D
α
v|
p

1/p
=  u
W
m
p
(Ω)
+ v
W
m
p
(Ω)
.
2) Tiếp theo, ta chứng minh W
m
p
(Ω) là không gian đầy.
Giả sử {u
j
}
∞
j=1
là dãy Cauchy trong W
m

p
(Ω), t ức là với mỗi số tự
nhiên k:

|α|≤m

Ω
|D
α
(u
j
− u
j+k
)|
p
dx → 0, j → ∞.
11
Đối với mỗi α, dãy {D
α
u
j
}
∞
j=1
là dãy Cauchy trong L
p
(Ω). Bởi vì L
p
(Ω)
là không gian đầy, nên tồn tại m ột hàm u

α
∈ L
p
(Ω) sa o cho

Ω
|D
α
u
j
− u
α
|
p
dx → 0, j → ∞. (1.4)
Đặc biệt u
0
∈ L
p
(Ω), tức là

Ω
|u
j
− u
0
|
p
dx → 0, j → ∞. (1.5)
Theo định nghĩa đạo hàm suy rộng cấp α, ta có hệ thức


Ω
u
j
D
α
ψdx = (−1)
|α|

Ω
D
α
u
j
ψdx, ∀ψ ∈
o
C
∞
(Ω) (1.6)
Từ (1.4) và (1. 5) suy ra có thể chuyển qua gi ới hạn đẳng thức (1.6) khi
j → ∞. Kết quả ta nhận được

Ω
u
0
D
α
ψdx = (−1)
|α|


Ω
u
α
ψdx, ∀ψ ∈
o
C
∞
(Ω).
Điều đó chứng tỏ rằng, u
α
là đạo hàm suy rộng cấp α của hàm u
0
trong
miền Ω và
u
j
− u
0

W
m
p
(Ω)
→ 0, j → ∞.
Định lí được chứng minh.
Ta xét vấn đề xấp xỉ một hàm thuộc không gian W
m
p
(Ω) bằng các
hàm thuộ c C

∞
(Ω).
Định lí 1.3.2 ([1], Định lí 4.6). Giả sử Ω là một miền thuộc R
n
và Ω

là một miền con của Ω sao cho Ω

⊂⊂ Ω. Nếu u ∈ W
m
p
(Ω), thì
lim
h→0
u
h
− u
W
m
p
(Ω

)
= 0.
12
Chứng minh. Do Định lí 1.2. 1, ta có
u
h
− u
W

m
p
(Ω

)
=


|α|≤m

Ω

|D
α
(u
h
− u)|
p
dx

1/p
=


|α|≤m

Ω

|(D
α

u)
h
− D
α
u|
p
dx

1/p
(1.7)
Đặt v
α
= D
α
u. Từ Định lí 1.1.1 t a nhận được

Ω

|(v
α
)
h
− v
α
|
p
dx → 0, h → 0.
Từ đây và từ (1.7) nhận được
u
h

− u
W
m
p
(Ω

)
→ 0, h → 0.
Định lí được chứng minh.
Định nghĩa 1.3.3. Miền Ω thuộc R
n
gọi là có tính chất đoạn, nếu với
mỗi x ∈ ∂Ω, tồn tạ i tập m ở U
x
và vectơ y
x
= 0 sao cho x ∈ U
x
và nếu
z ∈
Ω ∩ U
x
thì z + ty
x
∈ Ω với 0 < t < 1.
Miền Ω gọi là có tính chất nón nếu tồn tại nón hữu hạn C sao cho
mỗi điểm x ∈ Ω là đỉnh của nón hữu hạn C
x
chứa trong Ω và đồng dạng
với C.

Miền Ω gọi là có tính chất nón đều nếu tồn tại phủ mở hữu hạn
địa phương {U
j
} của ∂Ω và dãy con {C
j
} của nón hữu hạn, đồng dạng
với nón hữu hạn cố định C, sao cho:
i) Với M hữu hạn, mọi U
j
có đường kính nhỏ hơn M.
ii) Với δ > 0,

∞
j=1
U
j
⊃ Ω
δ
≡ {x ∈ Ω : dist{x, ∂Ω} < δ}.
iii) Với mọi j,

x∈Ω∩U
j
(x + C
j
) ≡ Q
j
⊂ Ω.
iv) Với hữu hạn R, giao của m ọi tập hợp của R+1 tập Q
j

bằng rỗ ng.
13
x
U
x
y
x
z + ty
x
Ω
z
Hình 1.1: Miền có tính chất đoạn
Hình 1.2: Miền có tính chất nón
14
Định lí sau đây chỉ ra rằng tính chất đoạn là đủ để đảm bảo rằng
o
C
∞
(R
n
) trù mật tr ong không gian W
m
p
(Ω). Trong trường hợp riêng,
không gian C
k
(
Ω) trù mật tr ong W
m
p

(Ω) với m > 1, k ≥ m.
Định lí 1.3.3 ([3], Định lí 3.18). Nếu Ω có tính chất đoạn thì tập hạn
chế trên Ω của các hàm trong
o
C
∞
(R
n
) trù mật trong W
m
p
(Ω) với m > 1,
1 ≤ p < ∞.
Chứng minh. Giả sử f là hàm cố định trong
o
C
∞
(R
n
) thỏa mãn:
i) f(x) = 1 nếu |x| ≤ 1,
ii) f (x) = 0 nếu |x| ≥ 2,
iii) |D
α
f(x)| ≤ M = const với mọi x và 0 ≤ |α| ≤ m.
Đặt f

(x) = f(x) với  > 0, khi đó f

(x) = 1 nếu |x| ≤ 1/ và

|D
α
f

(x)| ≤ M
|α|
≤ M nếu  < 1. Nếu u ∈ W
m
p
(Ω) thì u

= f

.u thuộc
W
m
p
(Ω) và u

có giá bị chặn.
Với 0 <  ≤ 1, |α| ≤ M,
|D
α
u

(x)| =






β≤ α

α
β

D
β
u(x)D
α−β
f

(x)




≤ M

β≤ α

α
β



D
β
u(x)



và đặt Ω

= {x ∈ Ω : |x| ≥ 1/},
ta có
u − u


W
m
p
(Ω)
= u − u


W
m
p
(Ω

)
≤ u
W
m
p
(Ω

)
+ u



W
m
p
(Ω

)
≤ C
0
u
W
m
p
(Ω

)
→0
−→0, (C
0
− const)
Từ đó, mọi u ∈ W
m
p
(Ω) có thể được xấp xỉ trong không gian
o
C
∞
(R
n
)

bởi các hàm với giá bị chặn.
Giả sử K = {x ∈ Ω} : u(x) = 0 bị chặn. Khi đó tập F =
15
K\

x∈∂Ω
U
x
là tập compact và chứa trong Ω (U
x
là các lân cận mở
được chỉ ra trong định nghĩa tính chất đoạn) và tồn tại một tập mở U
0
sao cho F ⊂⊂ U
0
⊂⊂ Ω.
Do
K compa ct nên tồn tại một số hữu hạn các tập U
x
, ta gọi chúng
là U
1
, . . . , U
k
sao cho
K ⊂ U
0
∪ U
1
∪ ··· ∪ U

k
. Ngoài ra, ta có thể tìm
được những tập mở khác

U
0
,

U
1
, . . . ,

U
k
sao cho

U
j
⊂⊂ U
j
, 0 ≤ j ≤ k
nhưng
K ⊂

U
0
∪

U
1

∪ ···∪

U
k
.
Giả sử ψ là một C
∞
−phần của sự hợp nhất phụ thuộc vào {

U
j
:
0 ≤ j ≤ k} và g iả sử ψ
j
là tổ ng của hữu hạn các hàm ψ ∈ Ψ có giá
trị nằm trong

U
j
. Đặt u
j
= ψ
j
.u, giả sử với mỗi j t a có thể tìm được
φ
j
∈
o
C
∞

(R
n
) sao cho
u
j
− φ
j

W
m
p
(Ω)
<

k + 1
(1.8)
Khi đó, đặt φ =

k
j=0
φ
j
ta nhận được
φ − u
W
m
p
(Ω)
≤
k


j=0
φ
j
− u
j

W
m
p
(Ω)
< .
Khi j = 0 hàm φ
0
∈
o
C
∞
(R
n
) thỏa mãn (1.8), vì t heo Định lí 1.3.2,
suppU
0
⊂

U
0
⊂⊂ Ω.
Với 1 ≤ j ≤ k ta tìm φ
j

thỏa mãn (1.8). Với mỗi j cố định, ta t hác triển
u
j
bằng 0 trên R
n
\Ω. Do đó, u
j
∈ W
m
p
(R
n
\Γ), ở đó Γ =

U
j
∩ ∂Ω. Với
vectơ y = 0 và tập phủ mở U
j
, đặt Γ
t
= Γ −ty, ở đó t được chọn sao cho
0 < t < min{1, dist(

U
j
, R
n
\U
j

)/|y|},
khi đó, theo tí nh chất đoạn Γ
t
⊂ U
j
và Γ
t
∩
Ω = ∅.
Đặt u
j,t
= u
j
(x + ty) thì u
j,t
∈ W
m
p
(R
n
\Γ
t
) và D
α
u
j,t
→ D
α
u
j

trong
L
p
(Ω) khi t → 0, |α| ≤ m. Từ đó u
j,t
→ u
j
trong W
m
p
(Ω) khi t → 0
+
và ta tìm được φ
j
∈
o
C
∞
(R
n
) sao cho  u
j,t
− φ
j

W
m
p
(Ω)
là đủ nhỏ (do

16
Ω ∩ U
j
⊂⊂ R
n
\Γ
t
và theo Định lí 1.3. 2 ta có thể lấy φ
j
= θ
h
∗ u
j,t
với
h > 0 thích hợp). Định lí được chứng minh.
Bổ đề 1.3.1 ([3], Định lí 4.14). Giả sử Ω ∈ R
n
có tính chất nón đều và

0
là m ột số cho trước. Khi đó tồn tạ i hằng số K = K(
0
, m, p, Ω) sao
cho với , 0 <  < 
0
, mọi số nguyên j, 0 ≤ j ≤ m −1, bất đẳng thức
|u|
W
j
p

(Ω)
≤ K|u|
W
m
p
(Ω)
+ K
−j/(m−1)
|u|
L
p
(Ω)
,
đúng vớ i mọi u ∈ W
m
p
(Ω).
Hệ qu ả 1.3.1 ([3], Hệ quả 4. 15). Kết luận củ a Bổ đề 1.3.1 cũng đúng
nếu miền Ω bị chặn trong R
n
và có tính c hất nón.
Bổ đề 1.3.2 ([3], Định lí 4. 20). Giả sử Ω ∈ R
n
là miền bị chặn có tính
chất đoạn. K hi đó tồn tại một hằng số K = K(p, Ω) s ao cho với mọi số
 cho trước, miền Ω

⊂⊂ Ω thỏa mãn
|u|
L

p
(Ω)
≤ K|u|
W
1
p
(Ω)
+ K|u|
L
p
(Ω

)
,
với mọi u ∈ W
1
p
(Ω).
Hệ qu ả 1.3.2 ([3], Hệ quả 4. 21). Kết luận củ a Bổ đề 1.3.2 cũng đúng
nếu miền Ω bị chặn trong R
n
và có tính c hất nón.
Bổ đề 1.3.3 ([ 3], Bổ đề 4.22 ). Giả sử Ω
0
và Ω là các miền tro ng
R
n
với Ω
0
⊂⊂ Ω. Khi đó tồn tại miền Ω


có tính chất nó n sao cho
Ω
0
⊂ Ω

⊂⊂ Ω.
Định lí 1.3.4 ([3], Định lí 4.23). Giả sử Ω là miền bị chặn trong R
n
có
tính chất đoạn hoặc tính chất nón và giả sử 0 < 
0
< ∞, 1 ≤ p < ∞;
j, m là các số nguyên với 0 ≤ j ≤ m − 1. Khi đó tồn tại hằng số
K = K(
0
, m, p, Ω) và , 0 <  ≤ 
0
với Ω

⊂⊂ Ω sao cho bất đẳng thức
|u|
W
j
p
(Ω)
≤ K|u|
W
m
p

(Ω)
+ K
−j/(m−1)
|u|
L
p
(Ω

)
, (1.9)
đúng vớ i mọi u ∈ W
m
p
(Ω).
17
Chứng minh. áp dụng Bổ đề 1.3.1 cho đạo hàm D
β
u, |β| = m − 1, ta
nhận được
|u|
W
m−1
p
(Ω)
≤ K
1
|u|
W
m
p

(Ω)
+ K
1
|u|
W
m−1
p
(Ω

)
, (1.10 )
ở đó Ω

⊂⊂ Ω. Theo Bổ đề 1.3.3 ta có thể giả sử Ω

có tính chất nón.
Với 0 <  ≤ 
0
, theo Bổ đề 1.3 .2 ta có
|u|
W
m−1
p
(Ω

)
≤ K
2
|u|
W

m
p
(Ω

)
+ K
2

−(m−1)
|u|
L
p
(Ω

)
(1.11 )
Kết hợp (1.10) và (1.11) ta nhận được trường hợp j = m − 1 của (1.9).
Ta sẽ chứng minh với các trường hợp cò n lại của j. Giả sử (1.9) đúng
với j ≥ 1 và thay  bởi 
m−j
(cùng với kết quả thay đổi của K và Ω

),
ta nhận được
|u|
W
j
p
(Ω)
≤ K

3

m−j
|u|
W
m
p
(Ω)
+ K
3

j
|u|
L
p
(Ω


)
. (1.12 )
Cũng từ (1.12), thay j và m lần lượ t bởi j − 1 và j, ta được
|u|
W
j−1
p
(Ω)
≤ K
4
|u|
W

j
p
(Ω)
+ K
4

−(j−1)
|u|
L
p
(Ω


)
(1.13 )
Kết hợp (1.12) và (1.13), ta có
|u|
W
j−1
p
(Ω)
≤ K
5

m−(j−1)
|u|
W
m
p
(Ω)

+ K
5

−(j−1)
|u|
L
p
(Ω

)
,
ở đó K
5
= K
4
(K
3
+ 1) và Ω

= Ω


∪ Ω


. Thay  bởi 
1/(m−j+1)
ta có bất
đẳng thức (1.9). Định lí được chứng minh.
1.4 Không gian H

m,k
(Q
T
), H
m,k
(Q
T
, S
1
)
Giả sử Ω là một miền tro ng R
n
và T = const > 0.
Kí hiệu Q
T
= Ω × (0, T) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (0, T )} và gọi nó là trụ
với chiều cao T và đáy Ω.