Các lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất và điểm bất động

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2 dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Hà Đức Vượng. Qua đây, cho
phép tôi bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến TS. Hà Đức Vượng - người
thầy đã giúp đỡ, chỉ bảo tận tình để tôi hoàn thành Luận văn này.
Tôi bày tỏ lòng biết ơn đối với Ban giám hiệu, Phòng sau Đại học
và các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy và quan tâm trong suốt thời
gian học tập tại Trường ĐHSP Hà Nội 2.

Hà nội, ngày 1 tháng 10 năm 2010
Tác giả


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng
tôi.
Trong khi nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừa
thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân
trọng và biết ơn.


Hà nội, tháng 9 năm 2010
Tác giả

MỤC LỤC






Lời cảm ơn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lời cam đoan
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mục lục
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mở đầu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

1.1. Không gian metric
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2. Không gian metric xác suất
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.3. Không gian metric xác suất Menger
. . . . . . . . . . . . . . .
17
Chương 2. Điểm bất động của các ánh xạ co trong không
gian metric

2.1. Các lớp ánh xạ co
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.2. Điểm bất động
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Chương 3. Các lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất

3.1. Các lớp ánh xạ co xác suất
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.2. Điểm bất động
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Kết luận
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54
Tài liệu tham khảo
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nhiều bài toán khác nhau của khoa học và kỹ thuật đã dẫn đến
việc nghiên cứu vấn đề sau:
Cho X là một không gian bất kỳ, ánh xạ
:TM M
là một ánh
xạ đi từ tập hợp con M của không gian X vào chính nó. Phương trình
 
Tx x x M
, dưới các điều kiện cụ thể, ta khẳng định sự tồn tại
nghiệm của nó. Điểm
xM
thỏa mãn phương trình
Tx x
được gọi là
điểm bất động của ánh xạ T trên tập hợp M.
Việc nghiên cứu vấn đề trên đã góp phần đắc lực cho việc giải
quyết hàng loạt bài toán quan trọng trong Toán học nói riêng, trong
Khoa học kỹ thuật nói chung. Điều này dẫn đến một lĩnh vực nghiên cứu
mới thu hút nhiều nhà toán học quan tâm và các kết quả về lĩnh vực này
đã hình thành nên:"Lý thuyết điểm bất động".
Lý thuyết điểm bất động đã phát triển theo 2 hướng chính:
Hướng thứ nhất nghiên cứu về điểm bất động của các ánh xạ liên

tục, mở đầu là Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912).
Hướng thứ hai nghiên cứu về điểm bất động của các ánh xạ dạng
co, mở đầu là Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922).
Năm 1922, Banach đã đưa ra một kết quả quan trọng về điểm bất
động cho lớp ánh xạ co, đó là Nguyên lý ánh xạ co Banach. Từ đó lớp ánh
xạ này đã được mở rộng bởi nhiều tác giả khác như Rakotch, Sadovskij,
Krasnoselskij, Boyd – Wong, Meir – Keeler,
Năm 1942 Menger đã đưa ra khái niệm "metric xác suất" . Đó là sự
2


mở rộng " xác suất" của khái niệm metric thông thường: thay cho việc
xét khoảng cách
(, )dxy
, người ta xét hàm phân bố
,
()
xy
Ft
biểu diễn xác
suất để cho
(, )dxy t
, với
t
là một số thực. Khái niệm này đã thu hút sự
quan tâm của nhiều nhà toán học, đặc biệt là Schweizer và Sklar đã xây
dựng thành lý thuyết về không gian metric xác suất, viết thành sách
chuyên khảo xuất bản năm 1983. Các lớp ánh xạ co cùng với kết quả về
điểm bất động của chúng đã được nghiên cứu trong các không gian này.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, nhờ sự hướng dẫn

tận tình của TS. Hà Đức Vượng, tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu:
“Các lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất và điểm bất động”.
Luận văn được trình bày với 3 chương nội dung và một danh mục
tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày một số khái niệm cơ bản là công cụ cho
những nội dung nghiên cứu ở chương sau như: khái niệm về không gian
metric, hàm phân bố, không gian metric xác suất, chuẩn tam giác và
không gian metric xác suất Menger.
Chương 2: Trình bày khái niệm về các lớp ánh xạ co trong không
gian metric: ánh xạ co Banach, ánh xạ co Rakotch, ánh xạ co
Krasnoselskij, ánh xạ co Sadovskij, ánh xạ co Boyd – Wong, và lớp ánh
xạ co Meir – Keeler. Cuối cùng là kết quả về định lý điểm bất động của
các lớp ánh xạ co này.
Chương 3: Nội dung chính của chương này là sự mở rộng khái niệm
các lớp ánh xạ co nói trên sang không gian metric xác suất. Mối quan hệ
giữa lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất. Cuối cùng là các kết
quả về điểm bất động của các lớp ánh xạ co trong không gian metric xác
suất.
3


2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là xây dựng một bài tổng quan về các lớp
ánh xạ co và điểm bất động trong không gian metric. Mở rộng các kết
quả đó sang không gian metric xác suất. Công trình nghiên cứu dựa trên
kết quả của PGS.TSKH Đỗ Hồng Tân trong bài báo:
"A classification of contractive mappings in probabilistic metric spaces"
đăng trên tạp chí Acta Mathematica Vietnamica năm 1998.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống các kết quả đã đạt được về điểm bất động của ánh xạ co

trong không gian metric và lớp ánh xạ co trong không gian metric xác
suất.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về:
“Các lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất
và điểm bất động”.
5. Phương pháp nghiên cứu
− Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu.
− Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
6. Dự kiến đóng góp mới
Đây là một bài tổng quan về các lớp ánh xạ co và điểm bất động.
Mối quan hệ giữa lớp ánh xạ co và điểm bất động trong không gian
metric và không gian metric xác suất.



Chương 1
Kiến thức chuẩn bị


Năm 1942 Menger đã đưa ra khái niệm "metric xác suất" . Đó là sự
mở rộng " xác suất" của khái niệm metric thông thường: thay cho việc
xét khoảng cách
(, )dxy
, người ta xét hàm phân bố
,
()
xy
Ft
biểu diễn xác

suất để cho
(, )dxy t
, với
t
là một số thực. Khái niệm này đã thu hút sự
quan tâm của nhiều nhà toán học, đặc biệt là Schweizer và Sklar đã xây
dựng thành lý thuyết về không gian metric xác suất, viết thành sách
chuyên khảo suất bản năm 1983. Trong chương này chúng tôi hệ thống
lại các khái niệm cơ bản về không gian metric và không gian metric xác
suất, không gian metric xác suất Menger.
1.1. Không gian metric
Định nghĩa 1.1.1 [1]. Tập hợp
X 
cùng với một ánh xạ
d
từ tích
Descartes X × X vào tập hợp số thực

được gọi là không gian metric,
ký hiệu là
 
,Xd
, nếu
d
thoả mãn:
1.
   
, 0, , 0 , ,d xy d xy x y xy X    
.
2.

   
, ,, ,d xy dyx xy X 
.
3.
     
, ,,dxy dxz dzy
,
,xy X
.
Ánh xạ
:dX X
gọi là metric trên X, số
 
,d xy
gọi là khoảng
5


cách giữa hai phần tử
x
và
y
. Các phần tử của
X
gọi là các điểm, các
tiên đề 1, 2, 3 gọi là hệ tiên đề metric.

Định nghĩa 1.1.2 [1]. Cho không gian metric
 
,Xd

. Một tập hợp con bất
kỳ
M 
của tập hợp
X
cùng với metric
d
trên
X
làm thành một
không gian metric. Không gian metric
 
,Md
gọi là không gian metric
con của không gian metric đã cho.

Ví dụ 1.1.1. Với hai vectơ bất kỳ
12 12
( , , , ), ( , , , )
kk
x xx x y yy y

thuộc không gian vectơ thực
k
chiều
k

(
k
là số nguyên dương nào đó)

ta đặt:

2
1
(, ) ( )
k
jj
j
dxy x y



.
(1.1)
Ta có
 
,d xy
là một metric trên
k

.
Chứng minh.
Hiển nhiên ta có:
 
2
1
0
k
jj
j

xy



với mọi
,
k
xy 
.
Vậy
 
,0d xy 
.
Nếu
 
2
1
0
k
jj
j
xy



, thì ta có:
6


 

2
1
0
k
jj
j
xy



.
Ta suy ra
 
2
0, 1,2, , .
jj
xy j k  

Hay
, 1,2, , .
jj
x yj k 

Do đó ta có
xy
.
Vậy
 
, 0 ,, .
k

d xy x y xy 

Hiển nhiên ta có:
 
 
 
 
2
1
2
1
,
,.
k
jj
j
k
jj
j
d xy x y
yx
d yx








Vậy
   
, ,, , .
k
d xy dyx xy 

Bây giờ ta kiểm tra tiên đề 3 về metric. Trước hết ta chứng minh
bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopski.
Với 2k số thực a
j
, bj (j = 1, 2, ,k) ta có:

22
1 11
.
k kk
jj j j
j jj
ab a b
 

 
. (1. 2)
Thật vậy:
7



2
11

0 ()
kk
ij ji
ij
ab ab









22 22
11 11 11
2.
kk kk kk
i j ii j j j i
ij ij ij
ab abab ab
  
 
  


2
22
11 1
22

kk k
j j jj
jj j
a b ab
 
    
 
 
 

 
 
 
 
 
    
 
.
Từ đó suy ra bất đẳng thức (1.2).
Với 3 vectơ bất kỳ
12 12 12
( , , , ), ( , , , ), ( , , , )
k kk
x xx x y yy y z zz z 

thuộc
k

ta có:

22
1
(, ) ( )
k
jj
j
d xy x y





   
2
1
k
jj jj
j
xz zy


 





  
22
11 1

( ) 2. ( )
kk k
jj jjjj jj
jj j
xz xzzy zy
 
     
 


2 2 22
11
( , ) 2. ( ) . ( ) ( , )
kk
jj jj
jj
dxz x z z y dzy

   



22
(, ) 2.(, ).(, ) (, )d xz dxz dzy d zy 


2
(, ) (, )dxz dzy





.
Ta có
(, ) (,) (, )dxy dxz dzy
,
,,
k
xyz
.
8


Vì vậy hệ thức (1.1) là một metric trên không gian
k

.
Không gian metric tương ứng ký hiệu là
k

.
Ví dụ 1.1.2. Ta ký hiệu
,ab
C



là tập hợp tất cả các hàm số với giá trị thực ,
xác định và liên tục trên đoạn
 

,,ab a b

    


. Với hai hàm
số bất kỳ
,
(), ()
ab
x xt y yt C



 
ta đặt:
     
, max
atb
d xy x t yt


(1.3)
Vì các hàm số
   
,xt yt
liên tục trên đoạn
,ab




, nên các hàm số
này đạt giá trị lớn nhất trên đoạn
,ab



. Suy ra hệ thức (1.3) xác định
một ánh xạ từ tích Descartes
,,ab ab
CC
 
 
 

vào tập số thực

.
Dễ dàng thấy ánh xạ (1.3) thoả mãn các tiên đề về metric.
Thật vậy, với
,
, , , (), (), ()
ab
xyz C x xt y yt z zt




ta có:
     

, max 0
atb
d xy x t yt

 
với mọi
,.t ab





Ta có
(, ) 0dxy

   
max 0
atb
xt yt

 


() () 0xt yt


() () 0xt yt


xy
.
Vậy
 
,0d xy x y
,
,
,.
ab
xy C





Ta kiểm tra tiên đề 2:
9


Ta có
   
( , ) max
atb
dxy x t y t




   
max

atb
xt yt




 
,
,, , .
ab
d yx xy C



 

Vậy
   
,,d xy d yx
,
,
,
ab
xy C




.
Bây giờ ta kiểm tra bất đẳng thức tam giác, nghĩa là:

     
, ,,
dxy dxz dzy

;
,
,,
ab
xyz C




.
Ta có
   
( , ) max
atb
dxy x t y t




   
 
   
 
max
atb
xt zt zt yt


 


   
   
max max
atb atb
xt zt zt yt
 
  


   
,
, , , ,, .
ab
dxz dzy xyz C



  

Suy ra ta có
     
, ,,dxy dxz dzy
,
,
,,
ab

xyz C




.
Vậy
 
,
,
ab
Cd



là không gian metric, với metric
d
được xác định bởi (1.3)

Ví dụ 1.1.3. Cho tập hợp
X 
. Với hai phần tử bất kỳ
,xy X
, ta đặt

 
1
,
0.
khi x y

d xy
khi x y










(1.4)
Khi đó
 
,Xd
là một không gian metric.
10


Chứng minh.
Thật vậy hệ thức (1.4) xác định một ánh xạ từ tích Descartes
XX

vào tập hợp số thực

. Ta kiểm tra hệ thức (1.4) về các tiên đề metric.
Với hai phần tử bất kỳ
,xy X
.

Ta thấy nếu
xy
thì theo (1.4) ta có
 
,0d xy 
.
Nếu
xy
thì theo (1.4) ta có
 
,1d xy 
.
Vậy ta có
 
, 0, ,d xy xy X 
.
 
,0d xy x y
.
Do đó (1.4) thỏa mãn tiên đề 1 về metric.
Bây giờ ta kiểm tra tiên đề 2 về metric.
Với hai phần tử bất kỳ
,xy X
.
Nếu
xy
thì
yx
, do đó
   

, ,0d xy d yx
.
Nếu
xy
thì
yx
, do đó
   
, 1, , 1d xy d yx
.
Vì vậy
   
,,d xy d yx
với mọi
,xy X
.
Do đó (1.4) thỏa mãn tiên đề 2 về metric.
Cuối cùng, ta kiểm tra tiên đề 3 về metric, đó là bất đẳng thức tam giác.
Với ba phần tử
,,xyz X
ta có:
Giả sử
xy
thì
 
,0d xy 
. Theo chứng minh trên ta có
 
,0
d xz 

,
 
,0
d yz 
.
Do đó
     
, ,,dxy dxz dzy
.
Nếu
xy
thì
 
,1
d xy 
. Với hai phần tử còn lại:
Nếu
zx
thì
zy
, khi đó
 
,0dxz 
,
 
,1d zy 
. Suy ra
11

     
, ,,dxy dxz dzy
.
Nếu
zy
thì
zx
, khi đó
 
,1d xz 
,
 
,0d zy 
. Suy ra
     
, ,,dxy dxz dzy
.
Nếu
zx
,
zy
thì
   
, ,1dxz dzy
, khi đó ta có
     
, ,,dxy dxz dzy

Vì vậy ta có
     

, ,,dxy dxz dzy
với mọi
,,xyz X
.
Do đó (1.4) thỏa mãn tiên đề 3 về metric.
Vậy hệ thức (1.4) là một metric trên
X
. Không gian metric tương ứng
gọi là không gian metric rời rạc.
Nhận xét 1.1.1. Trên cùng một tập hợp ta có thể xác định được các
metric khác nhau. Chẳng hạn trên cùng tập hợp
k

, ngoài metric
Eukleides, có thể xác định các metric sau đây:
Với hai phần tử bất kì
   
12 12
, , , , , , ,
kk
x xx x y yy y
thuộc
k

ta
đặt:
 
12
1
1

( , ) , , max .
k
jj jj
jk
j
d xy x y d xy x y


  


Dễ dàng ta kiểm tra được
1
d
và
2
d
cũng là các metric trên
k

.

1.2. Không gian metric xác suất
Định nghĩa 1.2.1 [8]. Một ánh xạ
: 0, 1F






được gọi là hàm phân bố
(distribution function) nếu nó không giảm, nửa liên tục dưới và
12


inf 0, sup 1.
t
t
FF







Ví dụ 1.2.1. Cho
: 0,1F






, được xác định như sau:
 
,
khi 0
0 khi 0.
uv

t
t
t uv
Ft
t
















Ta có
 
,uv
Ft
là hàm phân bố.
Chứng minh.
Trước hết ta chứng minh
 
,uv

Ft
là hàm không giảm.
Với
12
,tt

 
, giả sử
12
0 tt
ta có:
 
1
,1
1
,
uv
t
Ft
t uv



 
2
,2
2
.
uv
t

Ft
t uv



Ta phải chứng minh
   
,1 ,2uv uv
Ft Ft
.
Thật vậy, ta có
 
  
21
21
21
21
t tu v
tt
t uv t uv
t uvt uv


 
 
.
Do
21
0tt
nên

21
0.tt

Mặt khác
12
0, 0t uv t uv 
.
Suy ra
13


 
  
21
21
0
t tu v
t uvt uv


 
.
Hay
21
21
0
tt
t uv t uv

 

.
Ta có
   
,1 ,2
.
uv uv
Ft Ft

Vậy
 
,uv
Ft
là hàm không giảm.
Tiếp theo ta chứng minh
 
,uv
Ft
là hàm nửa liên tục dưới.
Do
 
,uv
Ft
là hàm liên tục nên nó là hàm nửa liên tục dưới.
Cuối cùng ta tính
 
,
sup
uv
t
Ft



và
 
,
inf
uv
t
Ft


.
Ta có
lim lim 1
lim 1 lim
1.
tt
tt
uv
t
t uv t uv
uv
t uv
 
 













 








Vậy
 
,
sup 1
uv
t
Ft




.
Mặt khác, do
 

,
0
uv
Ft
khi
0t 
nên hiển nhiên ta có
 
,
inf 0
uv
t
Ft




.
Vậy
 
,uv
Ft
là hàm phân bố.

14


Định nghĩa 1.2.2 [12]. Không gian metric xác suất (probabilistic metric
space) là một cặp sắp thứ tự
 

,X 
, ở đây
X
là một tập hợp khác rỗng
và
 
 
,xy
Ft
là họ các hàm phân bố thỏa mãn các điều kiện sau:
1.
 
,
00
xy
F 
với mọi
,.xy X

2.
 
,
1
xy
Ft
,
0t
nếu và chỉ nếu
.xy

3.
   
,,xy yx
Ft Ft
,
t
với mọi
,.xy X

4. Nếu
 
,1
1
xz
Ft
và
 
,2
1,
zy
Ft
thì
 
,1 2
1,
xy
Ft t
với mọi
,,xyz X
.

Định lý 1.2.1 [12]. Mọi không gian metric đều là không gian metric xác
suất.
Chứng minh.
Cho không gian metric
 
,Xd
, xác suất
P
.
Với
,xy X

,
t
đặt
 
,
() ( , ) ,
xy
F t P dxy t t  
.
Họ các hàm phân bố
 
,
,,
xy
F xy X 
là một metric xác suất trên X.
Khi đó

 
,X 
là một không gian metric xác suất.
Thật vậy, trước tiên

ta chứng minh
 
,xy
Ft
là hàm phân bố.

,xy X
,
t
ta có:
 
0 (, ) 1P dxy t 
, hay
,
( ) 0, 1
xy
Ft




.
Bây giờ ta chứng minh
 
,xy

Ft
là hàm không giảm.
Giả sử
12
tt
,
12
,tt

ta có:


15


 
   
 
,1 1
1 21 2
2
,2
( ) (, )
(, ) (,
(, )
( ).
xy
xy
F t P dx y t
P dxy t P t t dxy t

P dxy t
Ft

    



Vậy ta có
   
,1 ,2
.
xy xy
Ft Ft

Chứng tỏ
 
,xy
Ft
là hàm không giảm.

Tiếp theo ta chứng minh
 
,xy
Ft
là hàm nửa liên tục dưới.
Xét tập hợp
 
 
,
:1

xy
t Ft  
. Để chứng minh
 
,xy
Ft
là hàm nửa
liên tục dưới ta sẽ chứng minh
 
 
,
:1
xy
t Ft  
là tập đóng.
Thật vậy, theo định nghĩa của hàm phân bố ta có:
   
,,
inf 0 1
xy xy
Ft Ft   

,
với
 
, 0;1t   
.
Do đó tập hợp
 
 

,
:1
xy
t Ft  
là tập đóng.
Vậy
 
,xy
Ft

là hàm nửa liên tục dưới,
,xy X
.
Cuối cùng ta chứng minh
 
,,
inf ( ) 0,sup 1
xy xy
t
t
Ft F t





.
Do
,
0 ( ) 1, , ,

xy
F t t xy X    
, với
0t 
thì
 
,
00
xy
F 
,
,xy X
.
Vậy
 
,,
inf ( ) 0 0 .
xy xy
t
Ft F




Bây giờ ta tính
,
sup ( )
xy
t
Ft


.
Ta có

, , (, ) 0, (, ) , ,xy Xdxy dxy xy X

        


.
16


Suy ra
 
( , ) 1.P dxy   

Lấy dãy
 
n
t  
với
0
n
t 
,
1,2, n 
. Ta có
   
 

 
 
,
lim lim ,
, 1.
xy n n
nn
F t P d xy t
P d xy
 

   

Suy ra
 
,
su p 1, , .
xy
t
F t xy X

 


Vậy
,xy
F
là hàm phân bố.
Bây giờ ta chứng minh
 

,
,,
xy
F xy X
là một metric xác suất.
1. Hiển nhiên ta có:
   
 
 
,
0 , 0 0, ,
xy
F P d xy P xy X     
.
2. Bây giờ ta chứng minh
 
,
1, 0
xy
Ft t 
.
Ta có
 
 
, 1, 0.P d xy t t  
(1.5)
Nếu
xy
, ta có
 

,0d xy 
. Đặt
 
1
,t d xy
. Suy ra
1
0.t 


Do tính chất trù mật của tập hợp

,
2
0t
sao cho
12
0.tt

Ta có
 
 
2
,0P d xy t
, mâu thuẫn với (1.5).
Vậy
xy
.
Nếu
xy

,
0t
, ta có
     
 
 
,,
,
0 1.
xy xx
FtFtPdxxt
Pt
 
 

Vậy
 
,
1
xy
Ft x y 
,
, ,0xy X t  

3. Tiếp theo, do
   
,,d xy d yx
,
,xy X


nên ta có
17


   
 
 
 
 
,
,
,
,.
xy
yx
F t P d xy t
P d yx t F t t

   

Vậy
   
,,xy yx
Ft Ft
,
,xy X
.
4. Cuối cùng,
,,xyz X
,

,ts
mà
 
,d xy t
,
 
,d xz s
, ta
chứng minh bất đẳng thức tam giác.
Ta có:
     
,,,
, , , ,, .
dxz dxy dyz
t s ts xyz X

    

Suy ra

 
 
, 1 , ,, .P d xz t s xz X ts     

Hay
 
,
1 , ,,
xz
F t s ts xz X    

.

Vậy họ hàm phân bố
 
,
,,
xy
F xy X 
xác định như trên là
một metric xác suất trên X.
Ta có
 
,X 
là một không gian metric xác suất.

1.3. Không gian metric xác suất Menger
Định nghĩa 1.3.1 [17]. Một ánh xạ
: 0;1 0;1 0;1
 
 
 
 
được gọi là một
chuẩn tam giác, viết tắt là
t
- chuẩn (triangular norm) nếu những điều
kiện sau đây được thỏa mãn:
1.
 
,1aa

với mọi
0;1a




.
2.
   
,,
ab ba 
với mọi
, 0;1ab




.
18


3.
   
,,
ab cd 
nếu
, ; , , , 0;1a cb dabcd

 



.
4.
 
 
 
 
, , ,,a bc ab c   
với mọi
, , 0;1abc




.

Nhận xét 1.3.1. Ta có một số chuẩn tam giác cơ bản thường gặp sau đây:
 
 
1
, max 1, 0ab a b  
.
 
2
,.a b ab
.
 
 
3
, min ,ab ab

.
Các
t
- chuẩn có thể được sắp xếp theo thứ tự sau:
123
.  

Thật vậy:
Ta có
 
 
1
0 khi 1 0
, m ax 1, 0
1 khi 1 0.
ab
ab a b
ab ab




   


 



 

2
,.a b ab
.
Vì
, 0;1ab




, nên
10a 
;
10b 
.
Suy ra
( 1)( 1) 0ab
 
.
Hay
10ab a b
.
Do đó
1ab a b 
.
Vậy
12
 
.
Mặt khác do
, 0;1ab





nên
 
min ,ab a b
hay
23
 
.
Vậy ta có
123
  
.
19


Định nghĩa 1.3.2 [8]. Không gian metric xác suất Menger (Menger proba-
bilistic metric space) là một bộ ba có thứ tự
 
,,X 
. Trong đó
 
,X 

là không gian metric xác suất,

là
t

- chuẩn thỏa mãn các điều kiện
sau:
1.
 
,
0 0, ,
xy
F xy X 
.
2.
 
,
1, 0
xy
Ft t x y   
.
3.
   
,,
, ,,
xy yx
Ft Ft t xyX   
.
4.
   
 
 
,, ,
, , , , ,,
xy yz xz

F t F s F t s ts xyz X   
.

Nhận xét 1.3.2.
Ta nhận thấy không gian metric xác suất Menger là
trường hợp riêng của không gian metric xác suất. Vì các điều kiện từ 1
đến 3 của Định nghĩa 1.2.2 trùng với các điều kiện từ 1 đến 3 của Định
nghĩa 1.3.2 nên ta chỉ cần kiểm tra điều kiện 4 của Định nghĩa 1.2.2.
Thật vậy, giả sử
 
,
1
xy
Ft
,
 
,
1, ,
yz
F s ts 
, với mọi
,,xyz X
thì
     
 
 
, ,,
,
1, 1 1.
xz xy yz

F t s F tF t 
 

Do định nghĩa của hàm phân bố:
 
,
sup 1
xy
t
Ft



nên suy ra
 
,
1
xz
Fts
.
Vậy không gian metric xác suất Menger là trường hợp riêng của
không gian metric xác suất.

Nhận xét 1.3.3. Nếu
 
,,X 
là một không gian metric xác suất Menger
thì nó là một không gian tô pô Hausdorff , tô pô sinh bởi một họ
 
,

-
lân cận:
20


 
 
, : , 0, 0
x
U xX   
,
ở đây
   
 
,
, :1
x xy
U y XF    
.

Định nghĩa 1.3.3 [8]. Cho không gian metric xác suất Menger
 
,,X 
.
Dãy
 
n
xX
được gọi là hội tụ tới
xX

nếu với
0 
và
0 
tùy ý,
tồn tại một số nguyên dương
 
,NN
sao cho
 
,
1
n
xx
F 
với mọi
nN
.
Điều này nghĩa là: Với
0 
tùy ý và
0 
,


,,NN N 
sao cho
 
,
1

n
xx
F 
. Tức là
 
,
lim 1
n
xx
n
F 


.

Định nghĩa 1.3.4 [8]. Cho không gian metric xác suất Menger
 
,,X 
.
Dãy
 
n
xX
được gọi là một dãy Cauchy nếu với
0 
và
0 
tùy ý tồn
tại một số nguyên dương
 

,NN
sao cho
,
1
nm
xx
F 
với mọi
,nm N
.
Điều này nghĩa là: Với
0 
tùy ý và
0 
,
 
,,NN N 
sao
cho
 
,
1
nm
xx
F 
với mọi
,nm N
. Tức là
 
,

,
lim 1
nm
xx
nm
F 


.

Định nghĩa 1.3.5 [8]. Một không gian metric xác suất Menger
 
,,X 

được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong
X
đều hội tụ đến một
điểm thuộc
X
.

21


Định nghĩa 1.3.6 [8]. Cho tập hợp
X
khác rỗng, ánh xạ
:dX X

được gọi là một giả metric nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

1.
 
, 0,d xx x X 
.
2.
   
, ,, ,d xy d yx xy X 
.
3.
     
, , , , ,,d xz d xy d yz xyz X  
.

Định nghĩa 1.3.7 [8]. Cho tập hợp
X
khác rỗng và ánh xạ
 
: , 0;1d XX

 
.
Họ
 
 
, 0;1d

 
được gọi là một họ giả metric nếu:
1.
 

,0d xx


,
 
, 0;1xX 
.
2.
     
, , , , , 0;1d xy d yx xy X

   
.
3.
       
, , , , , , , 0;1d xz d xy d yz xyz X

    
.

Định lý 1.3.1 [8]. Cho không gian metric xác suất Menger
 
,,XF
, nếu
t
- chuẩn

thỏa mãn điều kiện:
 
,aa a

,
0;1a




,
thì không gian metric xác suất Menger
 
,,XF
chứa một họ giả metric.
Chứng minh.
Với
 
0;1 
và mọi
,xy X
, ta đặt
   
 
,
, sup : 1
xy
d xy t F t

 
.
Hiển nhiên
:d XX



.
Bây giờ ta kiểm tra sự thỏa mãn các tiên đề về giả metric
22


1.
 
,0d xx


,
xX
.
Theo tính chất của hàm phân bố ta có
 
,
1, 0
xx
Ft t 
.
Suy ra
   
,
1 , 0, 0, 1
xx
Ft t   
.
Khi đó
 

 
,
sup : 1 0
xx
t Ft   
.
Vậy
 
,0d xx


.
2.
   
,,d xy d yx


,
,xy X
.
Theo tính chất của hàm phân bố
   
,,xy yx
Ft Ft
,
t
,
,xy X
ta
có:

   
 
,
, sup : 1
xy
d xy t F t

  


 
 
,
sup : 1
yx
t Ft   
 
,d yx


.
Vậy
   
,,d xy d yx


,
,xy X
.
3. Do

   
 
 
,
, sup : 1 , 0,1
xy
d xy t F t

   
.
Theo định nghĩa của supremum,
 
nn
tt
sao cho
 
,
n
t d xy


.
Ta có

 
 
 
,
, 1 , , , 0,1
xy

F d xy xy X

   
. (1.6)
Từ tính chất không giảm của
 
,xy
Ft
và (1.6) ta suy ra

   
,
,1
xy
d xy F

   
,
0
. (1.7)