Lý thuyết điểm bất động trong không gian metric xác suất

Mở đầu
Lý thuyết điểm bất động trong không gian metric xác suất có thể đợc coi nh là
một phần trong giải tích ngẫu nhiên. Hơn nữa, đây là một hớng tổng quát tốt, tiệm cận
tốt tới các định lý về điểm bất động ngẫu nhiên. Một hớng nghiên cứu trong nhóm
Xemina khoa học do GS. TSKH Đặng Hùng Thắng chủ trì.
Cấu trúc của luận án gồm phần mở đầu, 3 chơng (chơng 1-2-3), tài liệu tham
khảo. Nội dung chính của các chơng đợc tóm tắt nh sau:
Chơng 1 trình bày về không gian metric xác suất. Chơng 1 chủ yếu trình bày về
định nghĩ không gian metric xác suất, topo trong không gian metric xác suất và một số
ví dụ.
Chơng 2 là chơng chính của luận văn. Chơng trình bày một số định lý điểm bất
động trong không gian metric xác suất. Đầu tiên là một số định lý về điểm bất động
trong không gian metric xác suất đầy đủ cho ánh xạ co xác suất. Trong phần này có
trình bày hai xu hớng về nghiên cứu định lý điểm bất động trong không gian metric
xác suất. Xu hớng đặt điều kiện lên t-chuẩn của không gian, xu hớng thứ hai là đặt
điều kiện lên hàm phân phối khoảng cách của không gian. Sở dĩ có hai xu hớng nh
vậy, nguyên nhân là tồn tại một không gian metric xác suất đủ, và một ánh xạ co mà
không có điểm bất động trên đó. Đây chính là định lý nổi tiếng của H. Sherwood. Kế
đến, luận văn trình bày các định lý điểm bất động khi đặt điều kiện lên hàm phân phối
khoảng cách với các t-chuẩn T T
L
. Các định lý này tìm đợc ứng dụng cho một số
định lý về điểm bất động của ánh xạ ngẫu nhiên. Phần tiếp theo, luận văn trình bày các
định lý điểm bất động cho các ánh xạ q co xác suất và một số tổng quát hóa của ánh
1
2
xạ co. Phần tổng quát hóa chủ yếu theo các hớng. Hớng thứ nhất, phát biểu định lý
điểm bất động cho ánh xạ co tổng quát. Hớng thứ hai là các định lý cho ánh xạ q
co địa phơng.
Trong chơng 3, xin trình bày về các hệ quả đợc rút ra từ các định lý viết trong
chơng 2 cho các định lý về điểm bất động của ánh xạ ngẫu nhiên.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy GS.TSKH Đặng Hùng Thắng . Thầy đ
dành nhiều tình cảm và công sức động viên, nhắc nhở trong quá trình tôi hoàn thành
luận văn. Tôi đ học tập đợc nhiều kinh nghiệm quí báu trong nghiên cứu khoa học
mà thầy hết lòng hớng dẫn tôi từ cách đọc sách đến khả năng tìm tài liệu.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán-Tin đ luôn quan tâm và tạo
nhiều điều kiện thuận lợi cho tôi cũng nh các học viên cao học khác trong quá trình
học tập.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô và các bạn bè đồng nghiệp ở Bộ môn Đại
Số và Xác Suất Thống Kê, Đại học Giao Thông Vận Tải đ động viên và tạo điều kiện
thuận lợi để tôi có điều kiện tập trung hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thành viên của Xê mi na do GS.TSKH Đặng Hùng
Thắng chủ trì, tôi đ học tập đợc rất nhiều về kinh nghiệm học tập và nghiên cứu khoa
học từ Xemina.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và ngời thân đ động viên tôi hoàn
thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 11 năm 2009
Ngời thực hiện
Ngô Quang Quỳnh
Mục lục
Mở đầu 1
1 Không gian metric xác suất 5
1.1 Hàm tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Chuẩn tam giác và đối chuẩn tam giác . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Hàm tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Các định nghĩa về không gian metric xác suất và các không gian liên quan 10
1.3 Không gian Menger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Topo trên không gian metric xác suất, tính đầy đủ của không gian metric
xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 Topo mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2 Sự hội tụ trong không gian metric xác suất . . . . . . . . . . . . 14

1.4.3 Không gian metric xác suất đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Không gian định chuẩn ngẫu nhiên và không gian tiền chuẩn . . . . . . 17
1.6 Không gian metric liên quan tới độ đo tách đợc . . . . . . . . . . . . . 22
1.6.1 Độ đo tách đợc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6.2 Các không gian metric xác suất liên quan . . . . . . . . . . . . 26
2 Các định lý điểm bất động trong không gian metric xác suất 31
2.1 Các nguyên lý B co xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3
4
2.2 Một số tổng quát hóa của các nguyên lý B co xác suất cho ánh xạ
đơn trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.1 Các định nghĩa liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.2 Các định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3 áp dụng vào các định lý điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên 68
3.1 Một số định lý áp dụng trong E-không gian . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2 Hai lớp đặc biệt của q co xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Chơng 1
Không gian metric xác suất
1.1 Hàm tam giác
1.1.1 Chuẩn tam giác và đối chuẩn tam giác
Định nghĩa 1.1.1. Một chuẩn tam giác( t- chuẩn) là một toán tử nhị phân trên đoạn
đóng [0, 1], có nghĩa là, một hàm T : [0, 1]
2
[0, 1] sao cho với mọi x, y, z [0, 1] các
tiên đề sau đợc thỏa mn:
1. T (x, y) = T (y, x) (Giao hoán);
2. T (x, T(x, z)) = T (T (x, y), z) (Kết hợp);
3. T (x, y) T(x, z) với y z ( Đơn điệu);
4. T (x, 1) = x (chuẩn hóa).
Định nghĩa 1.1.2. Nếu T là một t- chuẩn, khi đó t- đối chuẩn đối ngẫu vớ nó S :

[0, 1]
2
[0, 1] đợc cho dới dạng
S(x, y) = 1 T (1 x, 1 y).
Ví dụ 1.1.1.
1. Minimum T
M
và maximum S
M
cho bởi
T
M
(x, y) = min(x, y),
5
6
S
M
(x, y) = max(x, y);
2. TÝch T
P
vµ tæng x¸c suÊt S
P
cho bëi
T
P
(x, y) = x.y,
S
P
(x, y) = x + y − x.y;
3. t- chuÈn Lukasiewicz T

L
vµ t- ®èi chuÈn Lukasiewicz S
L
cho bëi
T
L
(x, y) = max(x + y − 1, 0),
S
L
(x, y) = min(x + y, 1);
4. t- chuÈn yÕu nhÊt ( tÝch drastic) T
D
vµ t- ®èi chuÈn m¹nh nhÊt S
D
cho bëi
T
D
(x, y) =





min(x, y) nÕu max(x, y) = 1;
0 tr−êng hîp kh¸c,
S
D
(x, y) =






max(x, y) nÕu min(x, y) = 0,
1 tr−êng hîp kh¸c
VÝ dô 1.1.2.
1. Hä t- chuÈn Frank (T
F
λ
)
λ∈[0,+∞]
cho bëi
T
F
λ
(x, y) =




















T
M
(x, y) nÕu λ = 0,
T
P
(x, y) nÕu λ = 1,
T
L
(x, y) nÕu λ = +∞,
log
λ
(1 +
(λ
x
−1)(λ
y
−1)
λ−1
) tr−êng hîp kh¸c.
2. Hä t-chuÈn Yager (T
Y
λ
)
λ
∈ [0, +∞] cho bëi

T
Y
λ
(x, y) =













T
D
(x, y) nÕuλ = 0,
T
M
(x, y) nÕu λ = +∞,
max(0, 1 − ((1 − x)
λ
+ (1 − y)
λ
)
1
λ

) tr−êng hîp kh¸c.
7
3. Họ t- chuẩn Sugeno -Weber cho bởi
T
SW

(x, y) =













T
D
(x, y) nếu = 1
T
P
(x, y) nếu = ,
max(0,
x+y1+xy
1+
) trờng hợp khác.

4. Họ lũy linh minimum T
nM
đợc cho bởi
T
nM
(x, y) =





min(x, y) nếu x + y > 1,
0 trờng hợp khác.
Định nghĩa 1.1.3. t -chuẩn T
1
đợc gọi là yếu hơn T
2
nếu T
1
(x, y) T
2
(x, y) đúng
với mọi (x, y) [0, 1]
2
. Ta cũng nói T
2
là mạnh hơn T
1
.
Nhận xét 1.1.1.

Ta có thứ tự mạnh yếu sau: T
D
< T
L
< T
P
< T
M
Định nghĩa 1.1.4. Một t-chuẩn T đợc gọi là Archimedean nếu với mọi (x, y) (0, 1)
2
tồn tại mọt số tự nhiên n N sao cho
x
(n)
T
< y.
Bổ đề 1.1.1. Một t-chuẩn T là Archimedean nếu và chỉ nếu với mỗi x (0, 1) chúng
ta có
lim
n
x
(n)
T
= 0.
Định nghĩa 1.1.5. Một t-chuẩn T gọi là có kiểu H nếu họ (x
(n)
T
)
nN
là liên tục đồng
bậc tại điểm x = 1.

1.1.2 Hàm tam giác
Định nghĩa 1.1.6. Một hàm phân phối khoảng cách F : [, ] [0, 1] là một hàm
phân phối với giá chứa trong [0, ]. Họ các hàm phân phối khoảng cách ký hiệu là

+
. Ta ký hiệu D
+
= {F |F
+
, lim
x
F (x) = 1}.
8
Ta ký hiệu là họ tất cả các hàm phân phối trên [, ].
Định nghĩa 1.1.7 (Hàm Dirac). Ta có với a [, ) thì
H
a
(u) =





0 nếu u [, a],
1 nếu u (a, ],
Còn với a = ta có
H

(u) =

0 nếu a [, ),
1 nếu u = .
Trong chúng ta đặt vào đó một thứ tự sau: nếu F và G là hai hàm phân phối thì
ta nói F G khi và chỉ khi F (x) G(x) x [, ]. Khi đó, ta có (
+
, ) là
sắp thứ tự bộ phận với H

là phần tử lớn nhất và H

là phần tử bé nhất. Chúng ta
có H
a
[0, ].
Định nghĩa 1.1.8. Một hàm tam giác là một phép toán hai ngôi :
+
ì
+

+
trên
+
mà thỏa mn các tính chất
1. Tính chất giao hoán: (F, G) = (G, F )F, G
+
.

2. Tính chất kết hợp: ( (F, G), H) = (F, (G, h))F, G, H
+
.
3. Không giảm theo mỗi biến: với F, G
+
và F G, thì (F, H) (G, H)H

+
.
4. Nhận H
0
là phần tử đơn vị: (H
0
, F ) = F F
+
.
Nhận thấy H

là phần tử không của . Tức là, với mọi F
+
chúng ta có
H

(H

, F ) (H

, H
0
) = H

.
Nếu
1
và
2
là hai hàm tam giác khi đó
1
là yếu hơn
2
( hay
2
là mạnh hơn
1
).

1

2
, nếu với mọi F, G trong
+
và với x in R
+

1
(F, G)(x)
2
(F, G)(x).
9
Ví dụ 1.1.3.

Cho T là một t-chuẩn liên tục trái. Khi đó hàm T :
+
ì
+

+
xác định bởi
T (F, G)(x) = T (F (x), G(x))
là một hàm tam giác.
Ví dụ 1.1.4.
T
M
xác định bởi
T
M
(F, G)(x) = T
M
(F (x), G(x))
là hàm tam giác lớn nhất. Thật vậy với bất kỳ hàm tam giác ta có
(F, G) (F, H
0
) = F
và
(F, G) (H
0
, G) = G.
Vì thế ta có
(F, G)(x) T
M
(F (x), G(x))

= T
M
(F, G)(x) (x R
+
).
Ví dụ 1.1.5.
Nếu T là một t-chuẩn liên tục trái, khi đó
T
, đợc định nghĩa bởi

T
(F, G)(x) = sup
u,vR
{T (F (u), G(v))|u + v = x}
là một hàm tam giác.
Một hàm tam giác là liên tục, nếu nó liên tục trong topo hội tụ yếu trong
+
.
Ví dụ 1.1.6.
Nếu F, G
+
khi đó tích chập F G trên [0, ) định nghĩa bởi
(F G)(0) = 0, (F G)() = 1 và
(F G)(x) =

[0,x)
F (x t)dG(t) với x (0, ).
Định nghĩa 1.1.9. L là lớp tất cả các phép toán hai ngôi trên [0, ) thỏa mn điều
kiện:
10

1. L ánh xạ [0, )
2
vào [0, );
2. L là không giảm theo cả hai tọa độ;
3. L là liên tục trên [0, )
2
( ngoại trừ có thể tại hai điểm (0, ) và (, 0)).
Định nghĩa 1.1.10. Với một t-chuẩn T và L L, hàm
T,L
định nghĩa trên
+
ì
+
và với giá trị trong [0, ) cho bởi

T,L
(F, G)(x) = sup{T (F (u), G(v))|L(u, v) = x}.
Trong trờng hợp đặc biệt L(x, y) = x + y chúng ta nhận đợc
T,L
=
T
.
Định lý 1.1.2. Nếu T là một t-chuẩn liên tục trái và L từ L là giáo hoán, kết hợp, có
0 là phần tử đơn vị và thỏa mn điều kiện
nếu u
1
< u
2
và v
1

< v
2
thì L(u
1
, v
1
) < L(u
2
, v
2
), (1.1)
khi đó
T,L
là một hàm tam giác.
Điều kiện (1.1) là yếu hơn tính tăng ngặt của L theo mỗi biến.
Tài liệu tham khảo về chuẩn tam giác có thể xem tại [6]
1.2 Các định nghĩa về không gian metric xác suất và các
không gian liên quan
Định nghĩa 1.2.1. Một không gian metric xác suất theo nghĩa của Serstnev là một bộ
ba (S, F, ) với S là một tập khác rỗng, F : S ì S
+
cho bởi (p, q) F
p,q
, là
một hàm tam giác, sao cho điều kiện sau đây đợc thỏa mn với mọi p, q, r trong S :
1. F
p,p
= H
0
;

2. F
p,q
= H
0
, với p = q;
3. F
p,q
= F
q,p
;
11
4. F
p,r
(F
p,q
, F
q,r
).
Định nghĩa 1.2.2. (S, F, ) đợc gọi là tốt nếu (H
a
, H
b
) H
a+b
(a, b [0, )).
Định nghĩa 1.2.3. Nếu tiên đề 1 và tiên đề 3 của định nghĩa (1.2.1) đúng thì cặp (S, F)
là một không gian tiền metric xác suất.
Định nghĩa 1.2.4. Nếu chỉ có tiên đề 1, 3 và tiên đề 4 trong định nghĩa (1.2.1) đúng
thì cặp (S, F, ) là một không gian giả metric xác suất và (S, F) là một không gian
tiền metric xác suất với .

Định nghĩa 1.2.5. Nếu tiên đề 1, 2 và 3 trong định nghĩa (1.2.1) đúng thì cặp (S, F)
đợc gọi là không gian nửa metric xác suất.
1.3 Không gian Menger
Định nghĩa 1.3.1. Cho T là một t-chuẩn liên tục trái. Khi đó, không gian metric xác
suất (S, F, ) là không gian metric xác suất với =
T
, đợc gọi là không gian Menger,
ta cũng ký hiệu là (S, F, T ).
Nhận xét 1.3.2.
Nếu một t-chuẩn T là liên tục trái khi đó
T
trong định nghĩa (1.3.1)
là một hàm tam giác. Khi đó ta có
F
p,r
(x + y) T (F
q,q
(x), F
q,r
(y)) (1.2)
với mọi p, q, r trong S và x, y là các số thực. Khi đó bất đẳng thức trên đơng nhiên
cũng kéo theo tiên đề 4 trong định nghĩa không gian metric xác suất theo nghĩa của
Serstnev. Thật vậy, lấy x [0, ) chúng ta có với mọi u, v [0, ) sao cho u + v = x
F
p,r
(x) T (F
p,q
(u), F
q,r
(v)).

Vì thế mà ta có
F
p,r
(x) (
T
(F
p,q
, F
q,r
))(x).
12
Ta có thể giải thích bất đẳng thức (1.2) theo ngôn ngữ không gian metric cổ điển nh
sau: cạnh thứ ba của một tam giác phụ thuộc vào hai cạnh còn lại của tam giác theo
nghĩa nếu khi thông tin về độ dài hai cạnh kia tăng thì thông tin về độ dài của cạnh thứ
ba cũng tăng hay nếu ta biết đợc cận trên của hai cạnh thì ta cũng có một cận trên
cho cạnh thứ ba.
Nhận xét 1.3.3.
Nếu bất đẳng thức F
p,r
(x + y) T (F
p,q
(x), F
q,r
(y)) đợc thay bởi
bất đẳng thức
F
p,r
(max(x, y)) T (F
p,q
(x), F

q,r
(y))
thì bộ ba (S, F, T ) là không gian Menger không có tính Arrchimedean.
Ta xét một trờng hợp đặc biệt của không gian Menger để thu đợc không gian
metric cổ điển.
Ví dụ 1.3.7.
Nếu ta giả sử tồn tại một hàm d, d : M ì M [0, ), sao cho
F
p,q
(x) = H
d(p,q)
(p, q M, x R) (1.3)
khi đó ta nhận đợc không gian Menger (M, F,
T
), với F(p, q) = H
d(p,q)
, với bất kỳ
t-chuẩn T là một không gian metric cổ điển. Ta có với p, q, r M sao cho d(p, q) < x
và d(q, r) < y với x, y > 0, khi đó theo (1.3) ta có F
p,q
(x) = 1 và F
q,r
(y) = 1. Khi đó
theo (1.2) và tính bị chặn của t-chuẩn T ta có d(p, r) < x + y, tức là ta có bất đẳng
thức tam giác.
Ngợc lại, nếu (M, d) là một không gian metric cổ điển thì ta lấy F
p,q
định nghĩa
bởi (1.3) chúng ta nhận đợc với bất kỳ t-chuẩn T nào ta có F
p,q

là hàm phân phối thỏa
mn cả bốn tiên đề về không gian metric xác suất.
Ví dụ 1.3.8
(Drossos)
.
Cho (M, d) là một không gian metric khả ly và (, A, P ) là
một không gian xác suất. Chúng ta sẽ ký hiệu S là tập hợp tất cả các lớp tơng đơng
các ánh xạ đo đợc X : M. Nếu

X,

Y S và x R khi đó F

X,

Y
(x) định nghĩa
bởi:
F

X,

Y
(x) = P ({| , d(X(), Y ()) < x}) (X

X, Y

Y ).
13
Khi đó, ta có bộ ba (S, F, T

L
) là một không gian Menger và đợc gọi là E-không gian
trên không gian metric (M, d).
Định nghĩa 1.3.2. Một không gian metric xác suất mà (S, F, ) với là một tích chập
đợc gọi là không gian Wald.
Định lý 1.3.1. Một không gian metric xác suất (S, F, ), là không gian Wald thì là
không gian Menger (S, F, T
P
).
Chứng minh. Trong một không gian Wald, với bất kỳ x, y 0 và p, q, r S chúng ta
có
F
p,r
(x + y)
x+y

0
F
p,q
(x + y z)dF
q,r
(z)
=
x+y

0
(
x+y

0

dF
p,q
(t))dF
q,r
(z)
=

t,z0t+zx+y
dF
p,q
(t)dF
q,r
(z).
Vì thế,

t,z0t+zx+y
dF
p,q
(t)dF
q,r
(z)

0x0zy
dF
p,q
(t)dF
q,r
(z)
và

t,z0t+zx+y
dF
p,q
(t)dF
q,r
(z) =
x

0
y

0
dF
p,q
(t)dF
q,r
(z)
=
x

0
dF
p,q
(t)
y

0
dF
q,r
(z)

= F
p,q
(x).F
q,r
(y),
Từ đó ta nhận đợc
F
p,r
(x + y) F
p,q
(x).F
q,r
(y).
14
1.4 Topo trên không gian metric xác suất, tính đầy đủ
của không gian metric xác suất
1.4.1 Topo mạnh
Ta định nghĩa topo mạnh đợc xây dựng từ hệ các lân cận N =
pS
N
p
, với
N
p
= {N
p
(t)|t > 0} và
N
p
(t) = {q|F

p,q
(t) > 1 t} với t > 0 và p S.
Định lý 1.4.1. Cho (S, F, ) là một không gian metric xác suất. Nếu là liên tục khi
đó hệ lân cận N xác định trên S một topo Hausdorff.
Chúng ta quan tâm tới (, )topo trên (S, F, ) đợc định nghĩa bởi họ các lân
cận sau (N
p
(, ))
pS,t>0(0,1)
với N
p
(, ) = {q|q S, F
p,q
() > 1 }.
Vì N
p
(t, t) = N
p
(t) với t > 0, và
N
p
(min(, )) N
p
(, ) với mọi > 0, (0, 1)
hệ lân cận mạnh tơng đơng với hệ (, ) lân cận.
Nếu (S, F, T ) là không gian Menger và sup
a<1
T (a, a) = 1, khi đó họ (N
p
)

pS
xác
định trên S một topo metric hóa đợc.
1.4.2 Sự hội tụ trong không gian metric xác suất
Định nghĩa 1.4.1. Một dy (p
n
)
nN
trong S hội tụ theo (, )- topo tới p S khi và
chỉ khi với mọi > 0 và (0, 1) tồn tại n
0
(, ) N sao cho
F
p
n
,p
() > 1 với mọi n n
0
(, )
Trong không gian Menger (S, F, T ) với sup
a<1
T (a, a), thì họ {N (, )| > 0,
(0, 1)} là cơ sở cho cái đều Hausdorff U
F
trong S, với
N(, ) = {(p, q)|(p, q) S ì S, F
p,q
() > 1 }.
15
Định nghĩa 1.4.2. Một dy (p

n
)
nN
trong S là một dy Cauchy nếu với mọi và
(0, 1) tồn tại n
0
(, ) N sao cho F
p
n
,p
m
> 1 , với mọi n, m n
0
(, ).
1.4.3 Không gian metric xác suất đầy đủ
Định nghĩa 1.4.3 (Định nghĩa không gian metric xác suất đủ). Không gian metric xác
suất (S, F, T ) đợc gọi là đầy đủ nếu mọi dy Cauchy trong (S, F, T ) đều có giới hạn
trong (S, F, T ) .
Mệnh đề 1.4.2. Cho (S, F, T
L
) là một E không gian trên không gian metric đủ (M, d).
Khi đó ta có các khẳng định sau tơng đơng:
1. {x
n
} S hội tụ tới x
0
trong S.
2. lim
n
F

x
n
,x
0
(t) = H
0
(t) với mọi t R.
3. {x
n
} hội tụ theo xác suất tới x
0
.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh sự tơng đơng giữa 1 và 3. Giả sử, có x
n
hội tụ
tới x
0
trong S. Khi đó, theo định nghĩa ta có với mọi > 0, > 0 chúng ta có tồn tại
một số tự nhiên N(, ) thỏa mn:
F
x
n
,x
0
() = P ( : d(x
n
(), x()) < ) > 1 , n N.
Do tính tùy ý của mà ta có, x
n
P

x
0
.
Ngợc lại, giả sử x
n
P
x
0
khi đó với mọi > 0 chúng ta có
lim
n
P { , d(x
n
(), x
0
()) < } = 1.
Vì thế mà với mọi > 0 chúng ta có, tồn tại một số nguyên dơng N = N (, ), sao
cho
P { , d(x
n
(), x
0
()) < } > 1 n N.
Tức là ta có F
x
n
,x
0
() > 1 với mọi n N. Cũng tức là ta có x
n

hội tụ tới x
0
trong
S.
16
Mệnh đề 1.4.3. Mọi Ekhông gian đều là không gian đầy đủ.
Chứng minh. Sử dụng mệnh đề trên và sự kiện mọi dy Cauchy theo hội tụ xác suất
đều có duy nhất một giới hạn.
Nếu (S, F, ) là không gian Wald khi đó:
d(p, q) = log


0
e
x
dF
p,q
(x)
là một metric trên S. Cái đều sinh bởi d, tơng đơng với cái đều U
F
.
Cho M là họ tất cả các ánh xạ m : R R(F = [0, ] sao cho các điều kiện sau
đợc thỏa mn:
1. Với mọi t, s 0 : m(t + s) m(t) + m(s);
2. m(t) = 0 t = 0;
3. m là liên tục.
Cho (S, F,
T
) là một không gian Archimedean với t-chuẩn T có nhận cộng tính f.
Nếu m

1
, m
2
M, khi đó metric d
m
1
,m
2
xác định bởi
d
m
1
,m
2
(p, q) = sup{t|t 0, m
1
(t) f F
p,q
(m
2
(t))}(p, q S)
xác định (, )topo trên S.
Trong trờng hợp đặc biệt khi T = T
L
, khi đó d
m
1
,m
2
: S ìS [0, ) (m

1
, m
2

M) đợc xác định bởi
d
m
1
,m
2
(p, q) = sup{s|s 0, m
1
(s) 1 F
p,q
(m
2
(s))} (p, q S).
Nếu m
1
(s) = m
2
(s) = s, với mọi s R chúng ta có metric:
d(p, q) = sup{s|s R, s 1 F
p,q
(s)} (p, q S).
17
1.5 Không gian định chuẩn ngẫu nhiên và không gian
tiền chuẩn
Trong phần này ta sẽ ký hiệu K là trờng số R hoặc C.
Định nghĩa 1.5.1. Cho S là một không gian vector trên trờng K, F : S D

+
và T
là một t-chuẩn với T T
L
. Bộ ba (S, F, T ) đợc gọi là một không gian định chuẩn
ngẫu nhiên khi và chỉ khi các điều kiện sau đợc thỏa mn, với F(p) = F
p
, với mọi
p S :
1. F
p
(0) = 0 với mọi p S và F
0
= H
0
p = 0;
2. F
p
(x) = F
p

x
||

với mọi p S, x > 0, K \ {0};
3. F
p+q
(x + y) T (F
p
(x), F

q
(x)), với mọi p, q S và với mọi x, y > 0.
Mọi không gian định chuẩn (S, ã ) là một không gian định chuẩn ngẫu nhiên
(S, F, T
L
), với
F
p
(x) =





1 nếu p < x,
0 nếu p x.
Và nếu (S, F, T
L
), là một không gian định chuẩn thì với F(p, q) = F
pq
, p, q S thì
(S, F, T ) là không gian Menger.
Ví dụ 1.5.9.
Cho (M, ã ) là một không gian định chuẩn khả ly, (, A, P ) là một
không gian xác suất và S(, A, P ) là tập hợp tất cả các lớp tơng đơng các biến ngẫu
nhiên X : M. Ta định nghĩa F : S D
+
định nghĩa bởi
F
X

() = P({| , X() < }) ( > 0,

X S, X

X),
khi đó (S(, A, P ), F, T
L
) là một không gian định chuẩn ngẫu nhiên.
Mọi không gian định chuẩn ngẫu nhiên (S, F, T ) , với t-chuẩn T liên tục, là một
không gian vector topo với một cơ sở lân cận đếm đợc tại 0 của S. Khi đó tồn tại một
F chuẩn ã : S [0, ) thỏa mn các tiên đề sau và sinh ra (, ) topo:
18
1. Với mọi x S : x 0 và x = 0 x = 0;
2. Với mọi x S và với mọi a K
|a| 1 ax x;
3. Với mọi (x, y) S ì S : x + y x + y;
4. Với mọi x S và với mọi (a
n
) K
N
lim
n
a
n
= 0 lim
n
a
n
x = 0.
Bổ đề 1.5.1. Cho (S, F, T ) là một không gian định chuẩn ngẫu nhiên và d : S ì S

[0, ) định nghĩa bởi
d(x, y) = sup{t|F
xy
(t) 1 t} (x, y S).
Khi đó d là một metric trên S và sinh ra topo (, ) và x

= d(0, x), x S là một
F chuẩn.
Bổ đề 1.5.2. Nếu (S, F, T ) là một không gian định chuẩn ngẫu nhiên và T là một
t-chuẩn kiểu H, khi đó topo (, ) trên S sinh bởi họ nửa chuẩn (s
n
)
nN
s
n
(p) = inf{u|u R, F
p
(u) b
n
}(p S, n N),
Đồng thời họ trên cũng cảm sinh ra một không gian vector topo lồi địa phơng trên S.
Dy (b
n
)
nN
thỏa mn b
n
1 và T (b
n
, b

n
) = b
n
(n N).
Định lý 1.5.3. Cho (X, ã ) là một không gian F chuẩn thỏa mn
((x
i
) X
N
)

lim
n
x
n
= 0 co{x
i
|i N} là bị chặn

.
Khi đó X là một không gian lồi địa phơng.
Mệnh đề 1.5.4. Cho (S, F, T ) là một không gian định chuẩn ngẫu nhiên với T là một
t-chuẩn liên tục kiểu H. Khi đó S với topo (, ) là một không gian vector topo lồi địa
phơng.
19
Chứng minh. Xét (x
i
) S
N
với lim

n
x
n
= 0. Khi đó ta chứng minh co{x
n
|n N} là
bị chặn, có nghĩa là với mọi > 0 và với mọi (0, 1) tồn tại (, ) > 0 sao cho
co{x
n
|n N} (, )N(, ), có nghĩa
F
x
((, )) > 1 với mọi x co{x
n
|n N}. (1.4)
Chọn > 0 và (0, 1) và = (, ) (0, 1) thỏa mn
u (, 1) u
(n)
T
> 1 với mọi n N.
Do T là t-chuẩn kiểu H nên (, ) nh thế tồn tại. Theo giả thiết lim
n
x
n
= 0, nên
tồn tại n(, ) N sao cho
F
x
n
() > với mọi n n(, ).

Chọn M
1
= {x
n
|n n(, )} và M
2
= {x
n
|n < n(, )}. Vì F
x
là một hàm phân phối
nên tồn tại

(, ) 1 sao cho
F
x
(

(, )) > với mọi x M
2
.
Chúng ta sẽ chứng minh (1.4) đúng cho (, ) = 2

(, ).
Nếu x co{x
n
|n N} khi đó
x =
n

k=1
r
k
x
i
k
+
m

s=1
p
s
x
j
s
,
với r
k
, p
s
0 nào đó (k {1, 2, ..., n}, s {1, 2, ...., m}), với
n

k=1
r
k
+
m

s=1

p
s
= 1,
và x
i
k
M
1
(k {1, 2, .., n}), x
j
s
M
2
(s {1, 2, ..., m}).
Giả sử
n

k=1
r
k
< 1 và
m

s=1
p
s
< 1. Nếu
n

k=1

r
k
= 1 hay
m

s=1
p
s
= 1 chứng minh tơng
tự. Chúng ta có
F
x
(2

(, )) = F
n

k=1
r
k
x
i
k
+
m

s=1
p
s
x

j
s
(2

(, ))
T

F
n

k=1
r
k
x
i
k
(

(, )), F
m

s=1
p
s
x
j
s
(

(, ))

20
Hơn nữa,
F
n

k=1
r
k
x
i
k
(

(, )) = F
n

k=1
r
k
x
i
k



(, )

n

k=1
r
k
+ 1
n

k=1
r
k



T (T (....T (T

n - lần

F
x
i
1
(

(, )), F
x
i
2
(

(, )),

...., F
x
i
n
(

(, )), F
0



(, )

1
n

k=1
r
k




(n)
T
,
và tơng tự F
m

s=1

p
s
x
j
s


(, ))
(m)
T
. Vì thế mà
F
x
(2

(, )) T (
(n)
T
,
(m)
T
) =
(m+n+1)
T
> 1 .
Định nghĩa 1.5.2. Cho (S, F) là một không gian nửa metric xác suất và > 0,
(0, 1). Không gian (S, F) đợc gọi là (, ) xích hóa đợc nếu với mỗi p, q S tồn
tại dy điểm hữu hạn trong S, p = p
0
, p

1
, ..., p
n
= q, sao cho
F
p
i
+1,p
i
() > 1 với mọii {0, 1, ..., n 1}.
Mệnh đề 1.5.5. Cho (S, F, T ) là một không gian định chuẩn ngẫu nhiên. Khi đó với
mọi > 0 và (0, 1), (S, F) là một không gian nửa metric xác suất (, ) xích hóa
đợc.
Chứng minh. Vì T T
L
ta có sup
x<1
T (x, x) = 1 và vì thế với (0, 1) tồn tại

(0, 1)
sao cho T(,

) > 1 . Cho p, q S, > 0 và (0, 1). Vì F
p
, F
q
D
+
tồn tại
> 0 sao cho

2
< 1 và
F
p
() >

, F
q
() >

.
Nếu p
i
= (1
i
)p +
i
q, i {0, 1, ..., n}, với n =

2

+ 1

và
i
= i

2
, i

21
{0, 1, ..., n 1},
n
= 1. Khi đó,
F
p
i
+1,p
i
() T

F
p


2(
i+1

i
)

, F
q


2(
i+1

i
)

T

F
p


2
2


, F
q


2
.
2


T (

,

)
> 1
với mọi i {0, 1, ..., n 1}.
Định nghĩa 1.5.3. Cho E là một không gian vector trên trờng K và p : E [0, )
thỏa mn các điều kiện sau:
1. p(x) = 0 x = 0;

2. p(x) = p(x) với mọi x E;
3. p(x + y) p(x) + p(y) với mọi x, y E;
4. Nếu lim
n

n
= (
n
, K) và lim
n
p(x
n
x) = 0(x
n
, x E) khi đó lim
n
p(
n
x
n

x) = 0.
Khi đó (E, p) đợc gọi là không gian tiền chuẩn và p đợc gọi là một tiền chuẩn.
Một không gian tiền chuẩn (E, p) là một không gian vector topo nếu hệ cơ bản các lân
cận tại 0 đợc cho bởi V = (V

)
>0
, với V

= {x|x E, p(x) < }.
Không gian S(0, 1) tât cả các lớp tơng đơng các biến ngẫu nhiên trên (0, 1) là
không gian tiền chuẩn nếu tiền chuẩn p : S(0, 1) [0, ) cho bởi
p(x) =
1

0
|x(t)|
1 + |x(t)|
m
0
(dt) ({x(t)} x). (1.5)
Tiền chuẩn p xác định bởi (1.5) không có tính thuần nhất. Tổng quát hơn, nếu (, A, P )
là một không gian xác suất và X là một biến ngẫu nhiên trên vào R
n
khi đó một tiền
chuẩn trên S(, A, P ) đợc xác định bởi
p(

X) =


X()
R
n
1 + X()
R
n
dP.
22

Định nghĩa 1.5.4. Một bộ ba thứ tự (E, F, T ), với E là một không gian vector thực,
F : E D
+
và T T
L
, là một không gian tiền chuẩn ngẫu nhiên nếu F : E D
+
thỏa mn các điều kiện sau:
1. F
p
= H
0
p = 0;
2. F
x
= F
x
với mọi x E;
3. F
x+y
(u
1
+ u
2
) T (F
x
(u
1
), F
y

(u
2
)) với mọi x, y E và với mọi u
1
, u
2
0;
4. Nếu
n
(
n
, R) và lim
n
F
x
n
=x
() = 1 với mọi > 0(x
n
, x E) khi đó
lim
n
F

n
x
n
x
() với mọi > 0.
Mỗi không gian tiền chuẩn (E, p) cũng là một không gian tiền chuẩn ngẫu nhiên

nếu
F
x
() =





1 nếu p(x) < ,
0 nếu p(x) .
Topo trong không gian tiền chuẩn ngẫu nhiên cũng là (, ) topo. Một không gian
tiền chuẩn ngẫu nhiên là một không gian vector topo theo topo (, ), nếu t-chuẩn T là
liên tục.
1.6 Không gian metric liên quan tới độ đo tách đợc
1.6.1 Độ đo tách đợc
Cho A là một đại số trên . Xét hàm tập m : A [0, 1] với A.B A và
A B = là một hàm của m(A B) phụ thuộc vào m(A), m(B) tức là tồn tại một
hàm F : [0, 1]
2
[0, 1] sao cho ta có
m(A B) = F (m(A), m(B)) (1.6)
23
với mọi A, B A sao cho A B = . Hàm F cần thỏa mn một số tính chất nhằm
đảm bảo rằng định nghĩa m là tốt. Để m() = 0 ta cần có F (x, 0) = x. Và F cần phải
là một toán tử nhị phân thỏa mn giao hoán và có tính kết hợp và F cũng cần phải có
tính đơn điệu.
Định nghĩa 1.6.1. Cho S là một t-đối chuẩn. Một độ đo S tách đợc m là một hàm
tập m : A [0, 1] thỏa mn m() = 0 và
m(A B) = S(m(A), m(B))

với bất kỳ A, B A và A B = .
Ví dụ 1.6.10.
Xét t-đối chuẩn S
L
, = N, A = 2
N
và m(E) = min(|E|/N, 1) với N
là một số tự nhiên cố định, với |E| là lực lợng của E, chúng ta có m là một độ đo
S
L
tách đợc.
Định nghĩa 1.6.2. Cho S là một t-đối chuẩn liên tục liên tục trái. Một hàm tập
m : A [0, 1] là một độ đo S tách đợc nếu m() = 0 và
m



i=1
A
i

= S

i=1
m(A
i
)
với mọi dy (A
i
)

iN
trong A đôi một rời nhau.
Ví dụ 1.6.11.
Cho P : A [0, 1], là một độ đo xác suất. Khi đó m

định nghĩa bởi
m

(E) =
1

((1 + )
P (E)
1)
là một độ đo S
SW

tách đợc.
Định lý 1.6.1. Một hàm tập m : A [0, 1], là một S tách đợc khi và chỉ khi m
là S tách đợc và liên tục từ phía dới. Tức là với mọi dy (E
n
)
nN
trong A sao cho
E
1
E
2
... ta có
lim

n
m(E
n
) = m



n=1
E
n

.
24
Ví dụ 1.6.12.
Cho B là một đại số Borel trên [0, 1] và f : [0, 1] [0, 1], là một
hàm liên tục sao cho f(0) = 0. Hàm tập m : B [0, 1], xác định bởi
m(E) = sup
xE
f(x)
là một độ đo sup tách đợc nhng không liên tục từ phía trên tại . Thật vậy,
chúng ta xét dy tập ((0, 1/n))
nN
, khi đó đơng nhiên (0, 1/n) , nhng
lim
n
m((0, 1/n)) = lim
n
sup
x(0,1/n)
f(x) = f(0) = 0.

Định lý 1.6.2. Cho S là một t-đối chuẩn Archimedean liên tục. Khi đó một độ đo S
tách đợc là độ đo S tách đợc khi và chỉ khi nó liên tục từ phía trên với mọi
dy (E
n
)
nN
sao cho E
n
và m(E
1
) < 1.
Biểu diễn t-đối chuẩn Archimedean liên tục bởi nhân cộng tính s ta có phân loại
của các độ đo S tách đợc:
1. s m là cộng tính trên A;
2. s m là giả cộng tính trên A theo nghĩa tồn tại một dy (A
n
)
nN
các tập
rời nhau trong A sao cho
(s m)


nN
A
n

= s(1)
<

nN
(s m)(A
n
).
Trờng hợp thứ nhất xảy ra đối với t-đối chuẩn chặt hoặc không chặt nhng có s m
cộng tính hữu hạn.
Mệnh đề 1.6.3. Cho P làm một độ đo xác suất trên A và s là một nhân cộng tính của
t-đối chuẩn Archimedean S. Khi đó, m = s
(1)
P là một độ đo S tách đợc trên
A. m thỏa mn s m là giả cộng tính khi và chỉ khi s(1) < P () = 1 và tồn tại
E A sao cho 0 < P (E) < P () = 1.
Tính liên tục tại 0 của t-đối chuẩn S đảm bảo một topo liên quan tới độ đo con .
Một hàm tập , : A [0, ], là một độ đo con nếu nó thỏa mn các điều kiện sau:
25
1. () = 0;
2. (A) (B) với A B, A, B A;
3. (A B) (A) + (B) với A, B A và A B = .
Định lý 1.6.4. Cho m, m : A [0, 1], là một độ đo S tách đợc ứng với một t-đối
chuẩn liên tục tại 0 S. Khi đó, tồn tại một độ đo con trên A sao cho lim
n
m(E
n
) = 0
khi và chỉ khi lim
n
(E
n
) = 0.
Định nghĩa 1.6.3. Một độ đo max-tách đợc m, m : A [0, ], nếu m thỏa mn điều

kiện
m(A B) = sup(m(A), m(B))
với bất kỳ A, B A, m lúc đó đợc gọi là độ đo tối đại. m đợc gọi là tối đại hoàn
toàn nếu với bất kỳ họ (E
i
)
iI
của A với

iI
E
i
A chúng ta có
m


iI
E
i

= sup
iI
m(E
i
).
Nếu I là đếm đợc, khi đó m đợc gọi là tối đại.
Định lý 1.6.5. Mọi độ đo hoàn toàn tối đại m sao cho tồn tại E A với m(E) <
là liên tục dới.
Ví dụ 1.6.13.
Một hàm tập m : 2

R
[0, 1] xác định bởi
m(A) =





1 nếu A = ,
0 nếu A = .
với A 2
R
là hoàn toàn tối đại nhng không liên tục trên. Thật vậy, lấy E
n
=
(0, 1/n)(n N), chúng ta nhận đợc dy giảm (E
n
)
nN
với E
n
, nhng 1 =
lim
n
m(E
n
) = m() = 0.
Ví dụ 1.6.14.
Mọi hàm số f : [0, ) xác định một độ đo hoàn toàn tối đại theo
nghĩa sau, m(A) = sup

xA
f(x)(A A). Ngợc lại, với bất kỳ một độ đo tối đại xác định
trên 2

chúng ta có thể xác định một hàm số xác định một hàm số f trên ( hàm mật
độ) bởi f(x) = m({x})(x ).