Cấu trúc của không gian mầm các hàm chỉnh hình

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người
thầy đã tận tình giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Sau đại học,
trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 cùng toàn thể các thầy cô giáo trong
trường đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tôi học tập và nghiên
cứu.
Trong quá trình thực hiện công tác nghiên cứu không tránh khỏi
những hạn chế và thiếu sót, tôi xin chân thành cảm ơn những ý kiến
đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên.
Hà Nội, tháng 10 năm 2010
Tác giả.
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, khóa
luận tốt nghiệp"Cấu trúc của không gian mầm các hàm chỉnh
hình"được hoàn thành, không trùng với bất kỳ khóa luận nào khác.
Trong quá trình làm khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2010
Tác giả
Đặng Thị Bích Thảo
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 4
1.1. Không gian véc tơ tô pô . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Đa thức trên không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . 12
1.3. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4. Không gian mầm các hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . 23
Chương 2. Cấu trúc của không gian mầm các hàm chỉnh
hình 26
2.1. Tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình 26

2.2. Tính chính quy Cauchy của không gian mầm hàm chỉnh
hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3. Một số ví dụ và phản ví dụ về điều kiện (B) . . . . . . . 34
2.4. Tính đầy của không gian mầm các hàm chỉnh hình . . . 37
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong giải tích phức, một vấn đề lớn được đặt ra đối với lý thuyết
các hàm chỉnh hình đó là tính chỉnh hình địa phương trên một tập con
K nào đó của một không gian lồi địa phương. Điều đó dẫn đến khái
niệm mầm hàm chỉnh hình H(K) trên tập K. Ý nghĩa quan trọng của
khái niệm này là sự địa phương hóa khái niệm phần tử, thay cho việc
xét một phần tử cố định nào đó người ta xét lớp tất cả các phần tử
tương đương đối với phần tử này. Trong khái niệm mầm ta phân ra các
đặc điểm chung liên kết các phần tử tương đương lại với nhau. Tập các
mầm hàm chỉnh hình H(K) trên tập compact K có thể được xét theo
hai khía cạnh. Một là, về mặt đại số ta có thể xem nó như là một vành.
Các tính chất của vành H(K) đã được nghiên cứu rộng rãi, có thể xem:
Bănică-Stănilă [2], Siu [7], Mặt khác, H(K) có thể được xem như là
một không gian véc tơ tô pô trang bị tô pô lồi địa phương tự nhiên bằng
cách kết hợp các tô pô của không gian các hàm chỉnh hình trên một lân
cận của K. Theo hướng nghiên cứu này phải kể đến các công trình của
S. B. Chae [3], A. Grothendieck [10] và A. Martineau [14, 15],
Việc nghiên cứu một cách trực tiếp tô pô trên lớp không gian các hàm
chỉnh hình không phải luôn được tiến hành một cách dễ dàng. Trong khi
đó không gian mầm các hàm chỉnh hình đôi khi lại có thể nghiên cứu
một cách thuận lợi. Trên H(K) người ta thường quan tâm đến tính chính
quy và tính đầy của lớp không gian này. Theo hướng nghiên cứu đó, S.
B. Chae [9] đã chứng tỏ tính chính quy của H(K) với K là tập compact

trong không gian Banach.
2
Để nghiên cứu cấu trúc của không gian mầm hàm chỉnh hình H(K),
với K là tập compact trong không gian lồi địa phương metric tôi đã chọn
đề tài:
"Cấu trúc của không gian mầm các hàm chỉnh hình".
Luận văn được chia làm 2 chương (ngoài phần mở đầu, kết luận và tài
liệu tham khảo).
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương này được bắt đầu bằng việc giới thiệu một số các khái niệm
và đưa ra một số kết quả quan trọng về không gian véc tơ tô pô, cần
thiết cho quá trình sử dụng sau này. Tiếp theo bằng cách tiếp cận ngắn
gọn chúng tôi sẽ giới thiệu khái niệm về không gian mầm các hàm chỉnh
hình mà mục đích của luận án là nghiên cứu các tính chất tô pô trên lớp
các không gian này.
Chương 2: Cấu trúc của không gian mầm các hàm chỉnh hình.
Với mục tiêu trọng tâm là nghiên cứu vấn đề chính quy của lớp không
gian mầm các hàm chỉnh hình trên các tập compact trong không gian lồi
địa phương metric và tính đầy của lớp không gian mầm các hàm chỉnh
hình trên các tập compact cân trong không gian lồi địa phương metric,
chương này lần lượt trình bày một cách có hệ thống một số kết quả về
tính chính quy và tính đầy của lớp không gian đó.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu tính chính quy và tính đầy đủ của không gian
mầm các hàm chỉnh hình H(K) với K là tập compact trong không gian
lồi địa phương metric.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Việc nghiên cứu luận văn với nhiệm vụ hệ thống, làm rõ lý thuyết về
không gian mầm các hàm chỉnh hình và cấu trúc của nó.
3

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Tính chính quy của không gian mầm hàm chỉnh hình H(K).
- Tính chính quy Cauchy của không gian H(K).
- Tính đầy của không gian H(K) với K là tập compact trong không
gian lồi địa phương metric.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc sách, nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo.
- Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
6. Những đóng góp của đề tài
Trình bày một cách có hệ thống một số kết quả về tính chính quy và
tính đầy đủ dãy của không gian mầm các hàm chỉnh hình H(K) với K
là tập compact trong không gian lồi địa phương.
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian véc tơ tô pô
Trong phần này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất
cơ bản sẽ được sử dụng về sau.
Định nghĩa 1.1.1. Cho E là một không gian véc tơ và A là một tập
con của E
i) Tập A được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ A ta có: λx + µy ∈ A,
trong đó λ ≥ 0, µ ≥ 0 và λ + µ = 1.
ii) Tập A được gọi là cân nếu với mọi x ∈ A thì λx ∈ A khi | λ |≤ 1.
iii) Tập A được gọi là tuyệt đối lồi nếu nó đồng thời là lồi và cân.
iv) Tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn
n

i=1
λ
i
· x

i
với λ
i
≥ 0,
n

i=1
λ
i
= 1, x
i
∈ A
là một tập lồi chứa A và được gọi là bao lồi của A.
v) Bao tuyệt đối lồi của A là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu
hạn
n

i=1
λ
i
· x
i
với
n

i=1
| λ
i
|≤ 1 và với mọi x
i

∈ A (là tập hợp tuyệt đối lồi
nhỏ nhất chứa A).
vi) Tập A được gọi là hút nếu với mọi x ∈ E, tồn tại λ > 0 sao cho
x ∈ µA với mọi µ thỏa mãn: | µ |≥ λ
Định nghĩa 1.1.2. Một không gian véc tơ tô pô có một cơ sở gồm
những lân cận lồi của điểm gốc được gọi là không gian véc tơ tô pô lồi
địa phương (không gian lồi địa phương) và tô pô của nó gọi là tô pô lồi
địa phương.
5
Định nghĩa 1.1.3. a) Giả sử E là một không gian véc tơ trên trường
K (K = C hoặc K = R). Một hàm p xác định trên E có giá trị thực và
không âm (hữu hạn) được gọi là một nửa chuẩn nếu
+) p(x) ≥ 0,
+) p(λx) =| λ | p(x),
+) p(x + y) ≤ p(x) + p(y),
với mọi x, y ∈ E, λ ∈ K
b) Một nửa chuẩn p tương ứng với tập hợp tuyệt đối lồi và hút A được
gọi là hàm cỡ của tập A.
Mệnh đề 1.1.4. Trong một không gian lồi địa phương E, một nửa
chuẩn p là liên tục khi và chỉ khi nó liên tục tại điểm gốc.
Chứng minh. Nếu p liên tục tại điểm gốc và ε > 0 là một số cho trước
thì tồn tại một lân cận V sao cho p(x) < ε khi x ∈ V . Do đó, với a là
một điểm tùy ý của E, ta có: | p(x)−p(a) |≤ p(x−a) < ε khi x ∈ a+V 
Định nghĩa 1.1.5. Không gian véc tơ E được gọi là khả định chuẩn
nếu tô pô của nó có thể xác định được bởi một chuẩn p.
Mệnh đề 1.1.6. Không gian lồi địa phương E là khả metric khi và
chỉ khi nó là tách và có một cơ sở lân cận của điểm gốc đếm được. Tô pô
của một không gian khả metric luôn luôn có thể xác định được bởi một
metric, bất biến đối với các phép tịnh tiến.
Chứng minh. Nếu E là khả metric thì dĩ nhiên nó là tách và có một

cơ sở đếm được những lân cận của điểm gốc.
Ngược lại, nếu E có một cơ sở lân cận đếm được, thì vì mỗi lân cận
đều chứa một lân cận tuyệt đối lồi, nên tồn tại một cơ sở (u
n
) những
6
lân cận tuyệt đối lồi. Gọi p
n
là hàm cỡ của u
n
. Đặt
f(x) =
∞

n=1
2
−n
inf{p
n
(x), 1}.
Thế thì f(x + y) ≤ f(x) + f(y) , f(−x) = f(x) và nếu f(x) = 0 thì
p
n
(x) = 0, với mọi n. Bởi vì E là tách nên x = 0. Đặt d(x, y) = f(x − y)
thì d là một metric và d(x + z, y + z) = d(x, y). Như vậy d là bất biến
đối với các phép tịnh tiến. Trong tô pô metric, các tập hợp
V
n
= {x : f(x) < 2
−n

}
lập thành một cơ sở lân cận. Nhưng V
n
là mở đối với tô pô xuất phát
bởi mỗi p
n
và do đó f là liên tục. Hơn nữa V
n
⊂ U
n
bởi vì nếu x /∈ U
n
thì p
n
(x) ≥ 1, vậy f(x) ≥ 2
−n
. Thành thử d xác định tô pô xuất phát
của E. 
Định nghĩa 1.1.7.
a) Một hàm thực ϕ(x) trên một không gian tuyến tính X được gọi
là dưới tuyến tính, nếu
+) ϕ(x
1
+ x
2
) ≤ ϕ(x
1
) + ϕ(x
2
), với mọi x

1
, x
2
∈ X
+) ϕ(αx) = αϕ(x), với mọi x ∈ X và mọi số α ≥ 0
b) Một phiếm hàm dưới tuyến tính ϕ(x) (trong không gian thực hay
phức) là một sơ chuẩn nếu ϕ(αx) = |α|ϕ(x) với mọi x ∈ X và mọi số
α ∈ K
Mệnh đề 1.1.8. Một hàm p : X → R là sơ chuẩn khi và chỉ khi
nó là hàm cỡ của một tập lồi, cân, hút; nó là một chuẩn khi và chỉ khi
nó là hàm cỡ của một tập lồi, cân, hút và không chứa trọn một đường
thẳng nào.
Chứng minh. Thật vậy, nếu B là một tập lồi, cân, hút thì dễ thấy
rằng hàm cỡ p
B
của nó nghiệm đúng p
B
(−x) = p
B
(x), do đó với mọi
7
α < 0 : p
B
(αx) = −αp
B
(−x) = −αp
B
(x), cho nên p
B
(αx) =| α | p

B
(x)
với mọi α và p
B
là một sơ chuẩn.
Ngược lại, nếu p là một sơ chuẩn thì tập B = {x : p(x) < 1} lồi vì với
x ∈ B, y ∈ B, 0 < α < 1 ta có p(αx+(1−α)y) ≤ αp(x)+(1−α)p(y) < 1.
Hơn nữa B cân đối vì p(x) < 1 kéo theo p(−x) = p(x) < 1, và B cũng
là hút vì nếu x ∈ X và λ > p(x) thì p(x/λ) = p(x)/λ < 1. Dễ thấy
p(x) = inf{λ > 0 : x ∈ λB} cho nên p(x) = p
B
(x). Sau cùng, nếu p là
một chuẩn thì với mọi x = 0, p(x) > 0 cho nên p(αx) = αp(x) ≥ 1 (với
α đủ lớn), tức là αx = B, chứng tỏ B không chứa trọn một đường thẳng
nào đi qua 0 và x 
Mệnh đề 1.1.9. Trong một không gian tuyến tính X cho một họ sơ
chuẩn Γ tùy ý. Trên X có một tô pô tương thích với cấu trúc đại số,
trong đó mỗi sơ chuẩn thuộc họ Γ đều liên tục. Tô pô ấy lồi địa phương
và nhận làm cơ sở lân cận của gốc họ tất cả các tập có dạng
{x : sup
1≤i≤n
p
i
(x) < ε} (ε > 0, p
i
∈ Γ) (1.1).
Nó là một tô pô Hausdorff khi và chỉ khi
(∀x = 0)(∃p ∈ Γ)p(x) > 0 (1.2).
Chứng minh. Cho B
o

là họ tất cả các tập có dạng V = {x : p(x) < 1},
với p ∈ Γ. Khi đó, các tập V lồi, cân, hút nên có một tô pô trên X tương
hợp với cấu trúc đại số, mà trong đó mỗi tập V là một lân cận, tức là
theo mệnh đề 1.1.8, mỗi sơ chuẩn p ∈ Γ là liên tục. Tô pô ấy lồi địa
phương, với cơ sở lân cận là họ tất cả các tập có dạng
ε
n

i=1
V
i
(ε > 0, V
i
∈ B
o
).
8
Nhưng rõ ràng
ε
n

i=1
V
i
= {εx : p
i
(x) < 1, i = 1, 2, · · ·, n}
= {x : p
i
(x) < ε, i = 1, 2, · · ·, n}

= {x : sup
1≤i≤n
p
i
(x) < ε}
nghĩa là các tập ε
n

i=1
V
i
(ε > 0, V
i
∈ B
o
) chính là các tập (1.1).
Mặt khác, X là không gian Hausdorff khi và chỉ khi giao của tất cả các
tập (1.1) là {0}, mà điều này lại tương đương với: bất kỳ x = 0, tồn tại
một tập (1.1) không chứa x, tức là tồn tại một ε > 0 và một p ∈ Γ sao
cho p(x) ≥ ε 
Định nghĩa 1.1.10.
a) Một không gian lồi địa phương mà tô pô được xác định bởi một họ
sơ chuẩn Γ hữu hạn hoặc đếm được, và thoả mãn điều kiện tách (1.2),
gọi là không gian đếm được chuẩn.
b) Một không gian đếm được chuẩn và đủ gọi là một không gian
Frechet. Như vậy mọi không gian Banach (không gian định chuẩn đủ)
đều là không gian Frechet.
c) Một tập lồi, cân đối, đóng và hấp thu trong một không gian lồi địa
phương gọi là một thùng. Một không gian lồi địa phương trong đó mọi
thùng đều là lân cận của gốc gọi là một không gian thùng và mọi không

gian Frechet là không gian thùng.
Định nghĩa 1.1.11. Cho I là tập chỉ số định hướng tùy ý. Với mỗi
α ∈ I, cho ν
α
: E → E
α
là một ánh xạ tuyến tính từ không gian véc tơ
E vào không gian lồi địa phương E
α
. Tô pô xạ ảnh trên E là tô pô yếu
nhất trên E sao cho tất cả các ánh xạ ν
α
là liên tục.
9
Tô pô xạ ảnh trên E là tô pô lồi địa phương và một ánh xạ tuyến
tính η : G → E của một không gian véc tơ tô pô G vào E là liên tục
nếu và chỉ nếu ν
α
◦ η là liên tục với mọi α ∈ I.
Định nghĩa 1.1.12. Cho I là tập chỉ số định hướng. Với mỗi α ∈ I,
cho E
α
là một không gian lồi địa phương và giả sử rằng với mỗi α ≤ β,
tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục u
αβ
: E
β
→ E
α
sao cho

i) u
αα
là ánh xạ đồng nhất, với mỗi α ∈ I.
ii) u
αβ
◦ u
βγ
= u
αγ
, với mọi α ≤ β ≤ γ.
Khi đó họ các không gian và các ánh xạ tuyến tính {E
α
, u
αβ
} được
gọi là một hệ xạ ảnh. Không gian con:
E = {{x
α
} ∈

α∈I
E
α
: u
αβ
(x
β
) = x
α
, với mọi α ≤ β}

của

α∈I
E
α
với tô pô cảm sinh được gọi là giới hạn xạ ảnh của {E
α
, u
αβ
}
và ta viết là
E = lim proj
α
E
α
.
Mệnh đề 1.1.13. Mỗi không gian lồi địa phương là giới hạn xạ ảnh
của một họ không gian định chuẩn.
Chứng minh. Cho X là một không gian lồi địa phương bất kỳ, Γ là một
họ sơ chuẩn ứng với một cơ sở lân cận B của X. Ta biết là trong một
không gian lồi địa phương, họ các tập bị chặn yếu trùng với họ các tập
bị chặn nên ta thấy rằng với mỗi p ∈ Γ tập p
−1
(0) là một không gian con
của X và p xác định một chuẩn trên không gian thương X
p
= X/p
−1
(0).
Khi ấy, gọi u

p
là ánh xạ cho tương ứng với x ∈ X phần tử ˜x ∈ X
p
(˜x là
lớp các x

∈ X với p(x

− x) = 0), và dựa vào mệnh đề 1.1.9 ta thấy X
chính là giới hạn xạ ảnh của các X
p
đối với các u
p
. 
10
Mệnh đề 1.1.14. Giới hạn xạ ảnh của một họ các không gian lồi
địa phương đầy là đầy.
Mệnh đề 1.1.15. Nếu E là một không gian lồi địa phương Hausdorff
và đầy thì
E = lim proj
α

E/ ker α
ở đây, α chạy trên tất cả các nửa chuẩn liên tục trên E.
Mệnh đề 1.1.16. Cho E là giới hạn xạ ảnh của các không gian lồi
địa phương E
α
đối với các ánh xạ ν
α
. Một tập M trong E bị chặn khi và

chỉ khi ν
α
(M) cũng bị chặn.
Định nghĩa 1.1.17. Cho I là tập chỉ số định hướng tùy ý. Với mỗi
α ∈ I, cho ν
α
: E
α
→ E là một ánh xạ tuyến tính từ không gian lồi địa
phương E
α
vào không gian véc tơ E =

α
ν
α
(E
α
). Tô pô quy nạp trên E
là tô pô mạnh nhất trên E sao cho tất cả các ánh xạ tuyến tính ν
α
là
liên tục.
Tô pô quy nạp trên E là tô pô lồi địa phương và một ánh xạ tuyến
tính η : E → F của E vào một không gian véc tơ tô pô F là liên tục
nếu và chỉ nếu η ◦ ν
α
là liên tục với mọi α ∈ I.
Định nghĩa 1.1.18. Cho không gian véc tơ E là hợp của một họ các
không gian lồi địa phương {E

α
} được định hướng bởi quan hệ bao hàm
và mỗi ánh xạ bao hàm E
α
→ E
β
là liên tục. Khi đó, E được trang bị
bởi tô pô quy nạp với các ánh xạ bao hàm E
α
→ E được gọi là giới hạn
quy nạp của các không gian con E
α
và được kí hiệu bởi
E = lim ind
α
E
α
.
11
Ví dụ 1.1.19. Ví dụ đơn giản và quan trọng về giới hạn quy nạp là
không gian thương. Cho X
0
là một không gian lồi địa phương, M là một
không gian tuyến tính con của X
0
, và X = X
0
/M. Gọi v là ánh xạ chính
tắc từ X
0

vào X (tức là ánh xạ cho tương ứng với mỗi x ∈ X
0
lớp tương
đương ˜x chứa nó), thì dễ thấy rằng tô pô thương chính là tô pô lồi địa
phương mạnh nhất để η liên tục.
Định nghĩa 1.1.20. Cho E = lim ind
α
E
α
là giới hạn quy nạp của các
không gian con E
α
. Khi đó ta nói rằng
i) E là giới hạn quy nạp chặt nếu E
α
có tô pô cảm sinh của E
β
mỗi
khi E
α
⊂ E
β
.
ii) E là đầy đủ nếu mọi lưới Cauchy trong E là hội tụ.
iii) E là giới hạn quy nạp chính quy nếu mọi tập bị chặn của E là bị
chứa và bị chặn trong E
α
nào đó.
iv) E là giới hạn quy nạp chính quy Cauchy nếu cho trước B ⊂ E
bị chặn thì tồn tại α sao cho B bị chứa và bị chặn trong E

α
và ngoài ra
mọi lưới {x
α
} ⊂ B là E-Cauchy nếu và chỉ nếu nó là E
α
-Cauchy.
Mệnh đề 1.1.21. ([6], tr 58-59, mệnh đề 6.4-6.6) Cho E = lim ind
n
E
n
là giới hạn quy nạp chặt của một dãy các không gian con E
n
thì
i) Mỗi E
n
có tô pô cảm sinh của E.
ii) Nếu E
n
là đóng trong E
n+1
, với mọi n thì E = lim ind
n
E
n
là giới
hạn quy nạp chính quy Cauchy.
iii) Nếu mỗi E
n
là Hausdorff và đầy thì E là Hausdorff và đầy.

Định nghĩa 1.1.22. Một không gian lồi địa phương E là một (DF )-
không gian nếu
a) E có một dãy cơ bản của các tập bị chặn.
b) Mọi hợp đếm được bị chặn mạnh của các tập con đồng liên tục
của E là đồng liên tục.
12
Mệnh đề 1.1.23. ([10], tr 77, hệ quả 2) Một (DF )-không gian tựa
đầy là đầy.
Mệnh đề 1.1.24. ([10], tr 78, định lý 9) Cho E là giới hạn quy nạp của
một dãy tăng của (DF )-không gian E
n
. Khi đó, E là một (DF)-không
gian và mỗi tập con bị chặn của E bị chứa trong bao đóng E của một
tập con bị chặn của E
n
.
1.2. Đa thức trên không gian lồi địa phương
Định nghĩa 1.2.1. Cho E là một không gian véc tơ trên trường C.
Một ánh xạ L : E
n
→ C được gọi là n tuyến tính trên E nếu nó tuyến
tính theo từng biến mỗi khi cố định các biến còn lại. Ký hiệu tập hợp
tất cả các ánh xạ n tuyến tính bởi L
a
(
n
E).
Định nghĩa 1.2.2. Một ánh xạ tuyến tính L : E → C được gọi là
đối xứng nếu
L(x

1
, x
2
, , x
n
) = L(x
σ(1)
, x
σ(2)
, , x
σ(n)
),
với mọi x
1
, x
2
, , x
n
∈ E và σ là phép hoán vị bất kỳ của n số tự nhiên
đầu tiên. Chúng ta ký hiệu L
s
a
(
n
E) là không gian véc tơ của tất cả các
ánh xạ n tuyến tính đối xứng trên E.
Chúng ta có thể liên kết một ánh xạ n tuyến tính đối xứng với mỗi
ánh xạ n tuyến tính bởi toàn ánh chính tắc s : L
a
(

n
E) → L
s
a
(
n
E) được
xác định bởi công thức
s(L)(x
1
, x
2
, , x
n
) =
1
n!

σ∈S
n
L(x
σ(1)
, x
σ(2)
, , x
σ(n)
),
ở đó S
n
ký hiệu là tập tất cả các phép hoán vị của n số tự nhiên đầu tiên.

13
Định nghĩa 1.2.3. Cho E là một không gian véc tơ tô pô lồi địa
phương trên C. Một ánh xạ P : E → C được gọi là một đa thức n thuần
nhất nếu tồn tại một ánh xạ n tuyến tính L : E
n
→ C sao cho P = L◦∆,
trong đó ∆(x) = x
n
, x ∈ E. Ký hiệu P
a
(
n
E) là không gian véc tơ của
tất cả các đa thức n thuần nhất trên E.
Một đa thức trên E là một tổng hữu hạn của các đa thức thuần nhất
trên E. Ta ký hiệu P
a
(E) là không gian véc tơ tất cả các đa thức trên
E.
Ví dụ 1.2.4. Giả sử L : C
n
× C
n
→ C là một ánh xạ 2 tuyến tính trên
C
n
. Khi đó tồn tại một ma trận A = (a
ij
)
1≤i≤n,1≤j≤n

sao cho
L(z, w) =

1in
1jn
a
ij
z
i
w
j
,
với mọi z = (z
1
, z
2
, , z
n
) ∈ C
n
và w = (w
1
, w
2
, , w
n
) ∈ C
n
. Do đó, một
đa thức 2 thuần nhất P : C

n
→ C trên C
n
có dạng
P (z) = L(z, z) =

1in
1jn
a
ij
z
i
z
j
.
Trong trường hợp tổng quát không có sự tương ứng 1-1 giữa các đa
thức n thuần nhất và các ánh xạ n tuyến tính. Tuy nhiên nếu chỉ hạn
chế trên tập hợp các ánh xạ n tuyến tính đối xứng chúng ta thu được
một tương ứng duy nhất. Theo định nghĩa của các đa thức n thuần nhất
và toán tử đối xứng biểu đồ sau giao hoán
L
a
(
n
E)
//
%%
L
L
L

L
L
L
L
L
L
L
L
s
a
(
n
E)


P
a
(
n
E)
Như một hệ quả của công thức phân rã, chúng ta chứng minh được ánh
xạ ∧ là một đơn ánh. Do đó chúng ta nhận được một song ánh chính tắc
14
giữa không gian các ánh xạ n tuyến tính đối xứng và không gian các đa
thức n thuần nhất trên E.
Định lý 1.2.5. (Công thức phân rã). Cho E là một không gian lồi địa
phương trên C. Khi đó, nếu L ∈ L
s
a
(

n
E) và x
1
, x
2
, , x
n
∈ E thì
L(x
1
, x
2
, , x
n
) =
1
2
n
n!

ε
i
=±1
ε
1
ε
n
ˆ
L


n

j=1
ε
j
x
j

.
Chứng minh. Bởi tính tuyến tính và tính đối xứng
ˆ
L

n

j=1
ε
j
x
j

= L

n

j=1
ε
j
x
j

, · · ·,
n

j=1
ε
j
x
j

=

0m
i
n

m
i
=n
ε
m
1
1
· · · ε
m
n
n
n!
m
1
! · · · m

n
!
L(x
1
)
m
1
· · · (x
n
)
m
n
.
Do đó
1
2
n
n!

ε
i
=±1
ε
1
ε
n
ˆ
L

n


j=1
ε
j
x
j

=
=
1
2
n

0m
i
n

m
i
=n
ε
m
1
1
ε
m
n
n
n!
m

1
! m
n
!
L(x
1
)
m
1
(x
n
)
m
n








ε
j
=±1
ijn
ε
m
1
+1

1
ε
m
n
+1
n







.
Nếu m
1
= m
2
= = m
n
= 1 thì

ε
j
=±1
ijn
ε
m
1
+1

1
ε
m
2
+1
2
ε
m
n
+1
n
= 2
n
và các
hệ số của L(x
1
, x
2
, x
n
) trong khai triển trên bằng 1.
Nếu m
i
> 1 với i nào đó thì m
j
= 0 với j nào đó. Khi đó chúng ta
nhận được

ε
j

=±1
1in
ε
m
1
+1
1
···ε
m
n
+1
n
=

ε
j
=±1
ε
j

ε
j
=±1
1in,i=j
ε
m
1
+1
1
···ε

m
j−1
+1
j−1
ε
m
j+1
+1
j+1
···ε
m
n
+1
n
= 0.
Do đó tất cả các số hạng khác triệt tiêu và công thức được chứng minh. 
15
Hệ quả 1.2.6. Ánh xạ ∧ : L
s
a
(
n
E) → P
a
(
n
E) là một song ánh tuyến
tính.
Chứng minh. Bởi công thức phân rã L ∈ L
s

a
(
n
E) đồng nhất bằng 0
nếu và chỉ nếu
ˆ
L đồng nhất bằng 0. Do đó, ánh xạ ∧ là tuyến tính có
hạt nhân bằng 0 và là đơn ánh. Như vậy, nó là một song ánh tuyến tính.

Cho A là một tập con của một không gian lồi địa phương E và hàm
f : A → C, ta đặt
f
A
= sup
x∈A
| f(x) |.
Định lý 1.2.7. Cho E là một không gian lồi địa phương trên C và A
là một tập lồi cân trong E. Khi đó, ta có

ˆ
L
A
 L
A
n

n
n
n!


ˆ
L
A
, với mọi L ∈ L
s
a
(
n
E)
Chứng minh. Bất đẳng thức thứ nhất là tầm thường vì
ˆ
L(A) ⊂ L(A
n
).
Theo công thức phân rã, ta có
L
A
n
=
1
2
n
·
1
n!

ε
j
=±1
1in

sup
x
i
∈A





ˆ
L(
n

i=1
ε
i
x
i
)





.
Bởi vì A là lồi cân nên nếu x
i
∈ A, với mỗi i = 1, 2, , n và ε
i
= ±1 thì

1
n
n

i=1
ε
i
x
i
∈ A. Do đó





ˆ
L(
n

i=1
ε
i
x
i
)






= n
n





ˆ
L

1
n
n

i=1
ε
i
x
i






 n
n

ˆ
L

A
.
Do đó, chúng ta nhận được
L
A
n

1
2
n
·
1
n!

ε
j
=±1
1in
n
n

ˆ
L
A
=
n
n
n!
L
A

n
.
Định lý được chứng minh. 
16
Bổ đề 1.2.8. Nếu L ∈ L
s
a
(
n
E) và P =
ˆ
L ∈ P
a
(
n
E) thì với mọi x, y ∈ E
và λ ∈ C ta có
P (x + λy) =
n

r=0




n
r


L(x)

n−r
(y)
r


λ
r
;
P (x + y) = P(x) + P (y) +
n−1

r=0


n
r


L(x)
n−r
(y)
r
.
Bổ đề 1.2.9. Cho E là một không gian lồi địa phương trên C. Nếu A
là một tập cân trong E và x ∈ E, thì
P 
A
 P 
x+A
.

Hơn nữa, nếu λ = 0, λx ∈ E và A là một tập lồi thì
P 
x+A


1 +
1
λ

n
P 
A
.
Chứng minh. Ta có
P 
x+A
= sup
y∈A
| P (x + y) |
= sup
y∈A,θ∈R
| P (x + e
iθ
y) | (vì A là tập cân)
= sup
y∈A,θ∈R
| P (e
iθ
x + y) | (vì tính thuần nhất)
≥ sup

y∈A
| P (y) | (theo nguyên lý modul cực đại)
= P 
A
.
Nếu λx ∈ A thì x + A ⊂
1
λ
A + A =

1 +
1
λ

A và do đó ta có
P 
x+A
 P 
(
1+
1
λ
)
A
=

1 +
1
λ


n
P 
A
.
17
Không gian véc tơ của tất cả các đa thức n thuần nhất liên tục trên
không gian lồi địa phương E được ký hiệu bởi P(
n
E). Không gian véc
tơ tất cả các đa thức liên tục trên E được ký hiệu bởi P (E)
Mệnh đề 1.2.10. Cho E là một không gian lồi địa phương trên C
và P ∈ P
a
(
n
E). Khi đó các mệnh đề sau tương đương
a) P là liên tục.
b) P liên tục tại gốc.
c) P bị chặn trong lân cận nào đó của điểm gốc.
d) P là bị chặn địa phương (nghĩa là bị chặn trong lân cận của mỗi
điểm).
Chứng minh. Các kéo theo a) ⇒ b) ⇒ c) là tầm thường. Theo bổ đề
1.2.9 ở trên ta nhận được c) ⇔ d). Vấn đề còn lại là ta chứng minh
c) ⇒ a). Cho A ∈ L
s
(
n
E) và giả sử
ˆ
A = P , theo công thức phân rã và

c) tồn tại một lân cận lồi cân V của 0 sao cho A
V
n
= M < ∞. Với
x
o
∈ E tùy ý chọn α > 0 sao cho αx
o
∈ V . Theo bổ đề 1.2.8, ta có
sup
y∈V
P (x
o
+ δy) − P(x
o
) ≤
n

R=1


n
R


sup
y∈V


A(x

o
)
R−n
(y)
R


· δ
R
=
n

R=1


n
R


1
α
n−R
sup
y∈V


A(αx
o
)
R−n

(y)
R


· δ
R
=
n

R=1


n
R


M
α
n−R
· δ
R
= M

1
α
+ δ

n
−


1
α

n

→ 0 khi n → ∞.
Như vậy P liên tục tại x
o
và việc chứng minh được hoàn thành. 
18
1.3. Hàm chỉnh hình
Định nghĩa 1.3.1. Một tập con U của không gian lồi địa phương
E được gọi là mở hữu hạn nếu U ∩ F là một tập con mở của không gian
Euclide F với mỗi không gian con hữu hạn chiều F của E.
Các tập con mở hữu hạn của E xác định một bất biến tô pô t
f
. Các
t
f
lân cận cân lập thành một cơ sở đối với t
f
lân cận của 0 trong E.
Định nghĩa 1.3.2. Một hàm f xác định trên tập con mở hữu hạn
chiều U của không gian lồi địa phương E được gọi là G chỉnh hình
(Gateaux chỉnh hình) nếu hạn chế của f tới mỗi đường thẳng phức là
chỉnh hình. Nghĩa là: với mọi a ∈ U, 0 = b ∈ E sao cho a + λb ∈ U với
λ ∈ C thì ánh xạ λ → f(a + λb) là chỉnh hình. Ta ký hiệu H
G
(E) là tập
tất cả các hàm G chỉnh hình trên E.

Định nghĩa 1.3.3. Một ánh xạ f : U → C được gọi là bị chặn địa
phương nếu với mọi ξ ∈ U thì tồn tại một lân cận V
ξ
của ξ trong U sao
cho f(V
ξ
) là tập bị chặn trong C.
Mối quan hệ giữa ánh xạ chỉnh hình và ánh xạ bị chặn địa phương
được phản ánh trong kết quả sau
Mệnh đề 1.3.4. ([16], tr 25, định lý 1.2.8)Cho ánh xạ f : U → C.
Khi đó các điều kiện sau là tương đương.
i) f là chỉnh hình.
ii) f là G chỉnh hình và liên tục.
iii) f là G chỉnh hình và bị chặn địa phương.
Bổ đề 1.3.5. Nếu U là một tập con mở của không gian véc tơ E và
f ∈ H
G
(E) thì f là liên tục khi U được cho bởi tô pô mở hữu hạn.
19
Chứng minh. Dễ dàng thấy rằng t
f
là tô pô giới hạn quy nạp được cho
bởi các ánh xạ bao hàm G → E, ở đó G chạy trên tất cả các không gian
con hữu hạn chiều của E. Do đó một hàm f xác định trên một tập con
t
f
mở của E là liên tục nếu và chỉ nếu hạn chế của nó lên mỗi phần hữu
hạn chiều của U là liên tục. Nhưng các hàm nhiều biến là liên tục nên
chúng ta nhận được điều cần chứng minh. 
Mệnh đề 1.3.6. Nếu U là một tập con mở hữu hạn trong không gian

véc tơ E và f ∈ H
G
(E) thì với mỗi ξ ∈ U tồn tại duy nhất một dãy đa
thức thuần nhất trên E

ˆ
d
m
f(ξ)
m!

∞
m=0
sao cho
f(ξ + y) =
∞

m=0
ˆ
d
m
f(ξ)
m!
(y)
với mọi y trong t
f
lân cận nào đó của 0.
Chứng minh. Cố định điểm ξ ∈ U. Với mỗi số nguyên dương m ta đặt
P
m,ξ

=
1
2πi

|λ|=ρ
x
f(ξ + λx)
λ
m+1
dλ,
ở đó ρ
x
được chọn sao cho ξ + {λx : |λ| ≤ ρ
x
} ⊂ U. Bởi vì f là G chỉnh
hình nên P
m,ξ
không phụ thuộc vào ρ
x
và
f(ξ + x) =
∞

m=0
1
2πi

|λ|=ρ
x
f(ξ + λx)

λ
m+1
dλ.
Theo bổ đề 1.3.5, hàm f liên tục nên tích phân
P
m,ξ
=
1
2πi

|λ|=ρ
x
f(ξ + λx)
λ
m+1
dλ,
là hoàn toàn xác định. Bởi vì hạn chế của f tới mỗi phần hữu hạn chiều
của U là chỉnh hình nên hàm x → P
m,ξ
(x) là một đa thức n thuần nhất.
20
Gọi L
m,ξ
là ánh xạ m tuyến tính đối xứng liên kết trên E. Theo định lý
1.2.5 về công thức phân rã, nếu x
1
, x
2
, , x
n

∈ E thì ta có
L
m,ξ
(x
1
, x
2
, , x
m
) =
1
2
m
m!

ε
i
=±1
ε
1
ε
m
P
m,ξ

m

i=1
ε
i

x
i

.
Theo định lý Haln-Banach thì L
m,ξ
∈ L
s
a
(
m
E) và P
m,ξ
∈ P
a
(
m
E). Cho
V là một t
f
lân cận của 0 sao cho ξ + V ⊂ U. Nếu x ∈ V thì ξ + {λx :
|λ| ≤ 1} là một tập con compact của U. Do đó, tồn tại ρ > 1 sao cho
ξ + {λx : |λ| ≤ ρ} ⊂ U.
Theo bổ đề 1.3.5 hàm f là liên tục và ta có
sup
|λ|<ρ
|f(ξ + λx)| = M
x
< ∞.
Do đó

|P
m,ξ
(x)| ≤
M
x
ρ
m
,
với mỗi số nguyên dương m. Điều đó chứng tỏ rằng





f(ξ + x) −
n

m=0
P
m,ξ
(x)





≤
∞

m=n+1

|P
m,ξ
(x)| ≤ M
x
∞

m=n+1
1
ρ
m
.
Do đó
f(ξ + x) =
∞

m=0
P
m,ξ
(x),
với mọi x ∈ V . Bởi tính duy nhất của khai triển Taylor đối với hàm
nhiều biến phức, ta thấy rằng dãy (P
m,ξ
)
∞
m=0
được xác định duy nhất bởi
f. 
Trong quá trình chứng minh mệnh đề trên ta cũng chứng tỏ được rằng
Mệnh đề 1.3.7. (Bất đẳng thức Cauchy). Cho f ∈ H
G

(U), ξ ∈ U, ρ > 0
và B là một tập con cân của E sao cho ξ +ρB ⊂ U thì với mọi số nguyên
không âm ta có
1
m!
P
m,ξ

B
≤
1
ρ
m
sup
x∈ξ+ρB
f
B
=
1
ρ
m
f
ξ+ρB
.
21
Định nghĩa 1.3.8. Cho U là một tập con mở trong không gian lồi
địa phương E. Một hàm f : U → C được gọi là chỉnh hình trên U nếu
∀ξ ∈ U,tồn tại một dãy {P
m
} các đa thức thuần nhất bậc m trên E

(P
m
∈ P (
m
E), m = 0, 1, 2 ) sao cho chuỗi
∞

m=0
P
m
(z − ξ)
m
hội tụ đều về
hàm f(z) với mọi z trong lân cận nào đó của ξ.
Dãy {P
m
} được xác định một cách duy nhất và ta kí hiệu P
m
=
(1/m!)
ˆ
d
m
f(ξ). Khi đó ta có thể viết
f(z) =
∞

m=0
1
m!

ˆ
d
m
f(ξ)(z − ξ)
m
.
Ta gọi chuỗi
∞

m=0
P
m
(x − ξ)
m
là chuỗi Taylor của hàm f(z) tại ξ. Tập tất
cả các hàm chỉnh hình trên U được ký hiệu bởi H(U).
Định nghĩa 1.3.9. Cho U là một tập con mở trong không gian lồi địa
phương E. Tô pô mở compact hay tô pô hội tụ đều trên các tập compact
là tô pô lồi địa phương trên H(U) được sinh bởi các nửa chuẩn có dạng
p(f) = f
K
= sup
z∈K
| f(z) |,
ở đó f ∈ H(U) và K chạy trên tất cả các tập con compact của U.
Ta ký hiệu τ
0
là tô pô mở compact trên không gian các ánh xạ chỉnh
hình.
Tô pô τ

0
là tô pô tự nhiên nhất được xét trên không gian các hàm chỉnh
hình H(U). Tuy nhiên, tô pô này luôn có các tính chất không mong
muốn và vì lý do đó τ
δ
đã được đề xuất. Tô pô này có nhiều tính chất
tốt nhưng cũng khó có thể mô tả nó một cách cụ thể và mối quan hệ của
nó với tô pô τ
0
không phải luôn được rõ ràng. Tô pô τ
ω
được đề xuất từ
sự thúc đẩy trong quá trình nghiên cứu các phiếm hàm giải tích nhiều
biến.
22
Định nghĩa 1.3.10. Cho U là một tập con mở trong không gian
lồi địa phương E. Một nửa chuẩn p trên H(U) được gọi là mang bởi
tập compact K của U nếu với mọi tập con mở V , K ⊂ V ⊂ U tồn tại
C(V ) > 0 sao cho
p(f) ≤ C(V )f
V
,
với mọi f ∈ H(U) và f
V
= sup
x∈V
|f(x)|. Tô pô τ
ω
trên H(U) là tô pô lồi
địa phương sinh bởi tất cả các nửa chuẩn mang bởi các tập con compact

của U.
Định nghĩa 1.3.11. Cho U là một tập con mở trong không gian lồi
địa phương E. Một nửa chuẩn p trên H(U) được gọi là τ
δ
liên tục nếu
với mỗi phủ mở đếm được tăng (V
n
)
∞
n=1
của U tồn tại một số nguyên
dương n
o
và c > 0 sao cho
p(f) ≤ cf
V
n
o
, với mọi f ∈ H(U).
Tô pô τ
δ
trên H(U) là tô pô lồi địa phương sinh bởi tất cả các nửa chuẩn
τ
δ
liên tục.
Mệnh đề 1.3.12. Cho E là một không gian lồi địa phương và U là
một tập con mở của E. Khi đó, trên H(U) ta có τ
0
≤ τ
ω

≤ τ
δ
.
Chứng minh. Bởi vì f
K
≤ f
V
với mọi V chứa K nên ta suy ra
τ
0
≤ τ
ω
. Bây giờ, giả sử rằng p là một nửa chuẩn τ
ω
liên tục trên H(U)
được mang bởi tập compact K của U. Giả sử (V
n
)
∞
n=1
là một phủ mở
đếm được tăng của U. Vì K là tập compact nên tồn tại n
0
sao cho V
n
0
là lân cận của K. Do đó tồn tại c = C(V
n
o
) > 0 sao cho

p(f) ≤ cf
V
n
0
, với mọi f ∈ H(U).
Điều đó chứng tỏ p là một nửa chuẩn τ
δ
liên tục. 