Biểu diễn tensor của không gian các hàm chỉnh hình và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
DƯƠNG QUỐC HUY
BIỂU DIỄN TENSOR CỦA KHÔNG GIAN
CÁC HÀM CHỈNH HÌNH VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Bình Định - 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
DƯƠNG QUỐC HUY
BIỂU DIỄN TENSOR CỦA KHÔNG GIAN
CÁC HÀM CHỈNH HÌNH VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. Thái Thuần Quang
Bình Định - 2012
Mục lục
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt iii
Mở đầu iv
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 1
1.1 Không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Không gian vector topo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Tích tensor xạ ảnh và tích tensor nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Tích tensor xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Tích ε-tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Giới hạn quy nạp và giới hạn xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Giới hạn quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Giới hạn xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Một số không gian lồi địa phương quan trọng . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 Không gian Fréchet và đối ngẫu Fréchet . . . . . . . . . . . 14
1.4.2 Không gian Schwartz và không gian Montel . . . . . . . . . 16
1.4.3 Không gian hạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.4 Không gian các dãy K¨othe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.5 Không gian các chuỗi luỹ thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
i
ii
Chương 2. Biểu diễn tensor của không gian các hàm chỉnh hình 24
2.1 Không gian các hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1 Hàm chỉnh hình - Mầm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.2 Không gian hàm chỉnh hình và mầm chỉnh hình . . . . . . . 30
2.2 Biểu diễn tensor của không gian các hàm chỉnh hình . . . . . . . . 35
Chương 3. Một số ứng dụng 42
3.1 Luật mũ với các topo τ
0
, τ
ω
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Sự trùng nhau của các topo τ
0
, τ
b
, τ
ω
trên không gian các hàm chỉnh
hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Tính chất (QNo) và (QNo)’ trên không gian các hàm (mầm) chỉnh
hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Kết luận 54

Tài liệu tham khảo 55
iii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
Γ : Toán tử bao lồi cân
Γ : Toán tử bao đóng của bao lồi cân
E : Đối ngẫu đại số của E
E : Đối ngẫu topo của E
E
co
: Không gian E với topo compact mở
A : polar của tập A
E
V
: Không gian Banach kết hợp với lân cận V
E
V
: Không gian Banach sinh bởi V E
intU : Phần trong của U
U : Bao đóng của U
L E : Không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E E
H
b
E, F : Không gian các hàm chỉnh hình bị chặn trên các tập
bị chặn của E giá trị trong F
P
n
E, F : Không gian các đa thức n-thuần nhất liên tục từ E F
H U : Không gian các hàm chỉnh hình trên U giá trị vô hướng
H U, F : Không gian các hàm chỉnh hình trên U giá trị trong F
H K : Không gian các mầm chỉnh hình trên K giá trị vô hướng

H K, F : Không gian các mầm chỉnh hình trên K giá trị trong F
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
t.ư : tương ứng
iv
Mở đầu
Hai bài toán topo trên không gian các hàm chỉnh hình rất được quan tâm là
bài toán phân lớp topo và xét sự trùng nhau của chúng. Các topo tự nhiên nhất
trên không gian các hàm chỉnh hình phải kể đến lần lượt là topo compact mở τ
0
,
topo τ
b
, topo Nachbin τ
ω
, topo τ
δ
và topo mạnh β. Việc nghiên cứu các topo này
trên không gian các hàm chỉnh hình giá trị vô hướng H U cũng như trên không
gian các hàm chỉnh hình giá trị vector H U, F đã đạt được nhiều kết quả đáng
chú ý.
Một trong những kết quả rất sớm về sự trùng nhau của các topo τ
0
và τ
ω
trên H U được Ansemil và Ponte tìm ra vào năm 1988 (xem [10]). Sau đó vào
năm 1991, P. Galindo, D. Garcia và M. Maestre [10] đã đưa ra các điều kiện về
(BB) tính chất và T-không gian trên không gian Fréchet-Montel để τ
0
τ
ω

trên
H U . Thậm chí đẳng thức này vẫn đúng nếu U là tập con mở cân của không
gian Fréchet-Montel Hilbert. Một số kết quả tương tự cũng được A. Defant và M.
Maestre [7] chỉ ra vào năm 1993.
Các kết quả trên không gian các hàm chỉnh hình giá trị vector H U, F được
tìm ra muộn hơn. Vào năm 1994, T. Bonet, P. Doma´nski và J. Mujica [6] đã giới
thiệu một kỹ thuật tuyến tính hoá mầm chỉnh hình giá trị vector. Phương pháp
này cho phép chúng ta nghiên cứu hàm chỉnh hình giá trị vector thông qua các
hàm tuyến tính thuận tiện hơn nhiều. Đến năm 1996, C. Boyd và A. Peris [5] đã
đưa ra các mô tả xạ ảnh của topo Nachbin τ
ω
trên không gian các hàm chỉnh hình
giá trị vector H U, X . Kết quả là các tác giả này đã chỉ ra được sự trùng nhau
của τ
0
τ
ω
và τ
b
τ
ω
trên H U, X .
Rõ ràng việc nghiên cứu các topo này trên không gian các hàm chỉnh hình giá
trị vô hướng H U có nhiều thuận lợi so với trên không gian các hàm chỉnh hình
giá trị vector H U, F . Do đó, ngoài cách tuyến tính hoá các hàm chỉnh hình như
trong [6] thì một điều tự nhiên là phải đi tìm cách biểu diễn các hàm chỉnh hình
giá trị vector thông qua các hàm chỉnh hình giá trị vô hướng. Một công cụ hiện
đại ngày nay giúp chúng ta thực hiện điều này là sử dụng tích tensor. Tích tensor
cho phép biểu diễn H U, F , τ dưới dạng tích tensor của H U , τ và F , tức là
các biểu diễn dạng

H U, F , τ H U , τ
π
F. (*)
Bởi tầm quan trọng của nó, nhiều bài toán được đặt ra trên tích tensor giữa các
v
không gian cho đến nay vẫn còn là một trong những hướng nghiên cứu lớn của
toán học. Chẳng hạn như “Bài toán topo của Grothendick” rất nổi tiếng được đề
xướng từ những năm 50 của thế kỷ trước cho đến nay được phân chia theo nhiều
mảng nghiên cứu khác nhau và vẫn đang thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán
học.
Chính vì lẽ đó, mục đích chính của luận văn là đi tìm các biểu diễn dưới dạng
tích tensor của không gian các hàm chỉnh hình giá trị vector có dạng (*) và vận
dụng các biểu diễn trên để giải quyết một số bài toán về sự trùng nhau, không
trùng nhau của các topo trên không gian các hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vector.
Để đạt được các mục đích trên, ngoài mục lục, bảng ký hiệu chữ viết tắt, phần
mở đầu và phần kết luận, luận văn được chúng tôi chia thành ba chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này được chúng tôi dành để trình bày
các kiến thức cơ cở cần thiết nhất về không gian vector topo, không gian lồi
địa phương, giới hạn quy nạp, giới hạn xạ ảnh và các kiểu tích tensor cùng
các tính chất của chúng. Chúng tôi kết thúc chương này bằng việc trình bày
một số lớp không gian lồi địa phương quan trọng được sử dụng ở các chương
tiếp theo.
Chương 2. Biểu diễn tensor của không gian các hàm chỉnh hình. Trong
chương này, chúng tôi trình bày chi tiết về hàm (mầm) chỉnh hình giữa các
không gian lồi địa phương. Chúng tôi cũng mô tả và định nghĩa các topo
compact mở τ
0
, topo τ
b
, topo Nachbin τ

ω
, topo τ
δ
và topo mạnh β trên
không gian các hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vector. Cuối chương này dành
cho việc trình bày các kết quả chính đạt được là các biểu diễn tensor của
không gian các hàm (mầm) chỉnh hình dưới dạng (*).
Chương 3. Một số ứng dụng. Chương này dành cho việc trình bày ứng dụng
của các kết quả chính trong Chương 2. Đó chính là việc mở rộng các kết quả
topo trên không gian các hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vô hướng lên không
gian các hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vector trên một số lớp không gian cụ
thể.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn hết sức tận tình và đầy nhiệt
tâm của PGS. TS. Thái Thuần Quang. Nhân đây tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn
vi
sâu sắc đến thầy và gia đình. Mặc dù đã rất nỗ lực cố gắng nhưng chắc chắn luận
văn khó tránh khỏi những thiếu sót ngoài ý muốn. Chúng tôi rất mong nhận được
những góp ý thẳng thắn, chân tình của quý thầy cô giáo và bạn bè đồng nghiệp
để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng
Sau đại học, Khoa Toán cùng quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học Toán khoá
XIII đã tận tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian
học tập và nghiên cứu thực hiện đề tài.
Cuối cùng, tôi xin gửi đến Trường Đại học Tây Nguyên lời cảm ơn chân thành.
Tôi cũng xin được gửi đến gia đình, các đồng nghiệp và bạn bè những lời tri ân
trong suốt quá trình học tập và công tác của mình.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian lồi địa phương
Ký hiệu K là trường số thực R hoặc phức C và E là không gian vector trên K.

1.1.1 Không gian vector topo
Một topo trên E được gọi là tương thích với cấu trúc đại số của E nếu các phép
toán cộng đại số và nhân ngoài
: E E E
x, y x y
và
: K E E
λ, x λx
liên tục theo topo này. Một không gian vector cùng với topo tương thích với cấu
trúc đại số trên nó được gọi là không gian vector topo.
Nếu E là một không gian vector topo thì phép tịnh tiến và phép vị tự trên E là
các phép đồng phôi lên chính nó. Điều này được suy trực tiếp từ tính tương thích
của topo trên E. Nói riêng, nếu U là lân cận của 0 E thì a U là lân cận của a
và αU là lân cận của 0 với mọi α 0.
Ngoài ra, một không gian vector topo còn có các tính chất quan trọng sau đây.
Mệnh đề 1.1.1. ([1]) Giả sử E là một không gian vector topo. Nếu U là cơ sở lân
cận của 0 E thì
(i) Mọi U U là tập hút, tức là mọi x E luôn tồn tại ε 0 sao cho λx U với
mọi λ ε.
1
2
(ii) Với mọi U U tồn tại lân cận V của 0 sao cho V V U.
(iii) Với mọi U U tồn tại một lân cận cân V của 0 sao cho V U. Ở đây, lân
cận V được gọi là cân nếu λV V với mọi λ 1.
Theo tính chất (ii) của Mệnh đề 1.1.1, với mọi U U, tồn tại V U sao cho
V V U. Điều này chứng tỏ V U nên mỗi tập trong U đều chứa bao đóng
của một tập nào đó trong nó. Ngoài ra, hiển nhiên với mọi V thuộc U thì V V
nên V cũng là một lân cận của 0. Do đó, không gian vector topo E có một cơ sở
lân cận của 0 gồm toàn các tập cân đóng.
Mệnh đề 1.1.2. ([1]) Giả sử E là một không gian vector topo. Khi đó E là

Hausdorff nếu và chỉ nếu với mọi x 0 thuộc E tồn tại lân cận U của 0 không
chứa x.
Ta nói rằng topo τ trên không gian vector E là bất biến đối với phép tịnh tiến
nếu mọi phép tịnh tiến trên E là một phép đồng phôi.
Ngược lại với Mệnh đề 1.1.1, ta có
Mệnh đề 1.1.3. ([1]) Giả sử E là một không gian vector và τ là một topo trên E
bất biến đối với phép tịnh tiến. Nếu E có một cơ sở lân cận U của 0 trong topo τ
thoả mãn:
(i) Với mọi U U tồn tại V U sao cho V V U,
(ii) Mọi V U là cân và hút
thì topo τ là topo vector trên E.
Giả sử E là không gian vector topo và F là không gian con của E. Xét không
gian vector thương E F cùng với topo thương trên nó, tức là topo mạnh nhất trên
E F sao cho ánh xạ tuyến tính chính tắc Φ : E E F liên tục, hay topo mà tập
con của E F mở khi và chỉ khi nó có dạng Φ G với G là tập mở trong E. Dễ thấy
rằng với topo này E F là không gian vector topo và ta sẽ gọi nó là không gian
thương của E theo F .
Mệnh đề 1.1.4. ([1]) Giả sử E là không gian vector topo và F là không gian con
của E. Khi đó, không gian thương E F là Hausdorff khi và chỉ khi F là không gian
con đóng trong E.
3
Giả sử E
α α I
là họ các không gian vector topo. Xét không gian vector
α
E
α
là tích các không gian vector E
α
với topo tích. Khi đó, cơ sở lân cận của mỗi phần

tử x x
α
α
E
α
là các tập có dạng
α
U
α
trong đó U
α
là lân cận của x
α
nhưng chỉ có hữu hạn U
α
E
α
. Hiển nhiên, với topo này
α
E
α
là không gian
vector topo và nó được gọi là không gian tích của các E
α
.
Không gian vector con
α
E
α
của

α
E
α
thành lập từ các phần tử x x
α
trong đó chỉ có hữu hạn x
α
0. Không gian vector con
α
E
α
với topo vector mà
cơ sở lân cận của mỗi x x
α
α
E
α
là các tập có dạng
α
U
α
với U
α
là lân
cận của x
α
với mọi α và được gọi là tổng trực tiếp của các không gian E
α
. Dễ thấy
rằng ánh xạ đồng nhất

α
E
α
α
E
α
liên tục, tức là topo trên
α
E
α
mạnh
hơn topo cảm sinh bởi topo của
α
E
α
.
Định nghĩa 1.1.1. ([1]) Không gian vector topo E được gọi là không gian vector
metric nếu topo trên nó có thể được xác định bởi một metric.
Định lý sau đây cho chúng ta điều kiện cần và đủ để một không gian vector
topo trở thành không gian vector metric.
Định lý 1.1.5. ([1]) Không gian vector topo Hausdorff E là không gian vector
metric nếu và chỉ nếu 0 E có một cơ sở lân cận đếm được.
Chứng minh. Xem [1], Định lý 2.1.4.2, trang 18.
Theo [1], một không gian vector topo Hausdorff E được gọi là đầy đủ nếu mọi
dãy suy rộng Cauchy trong E hội tụ. Tuy nhiên, thực tế chúng ta lại thường gặp
phải các không gian không đầy đủ. Vì vậy, một yêu cầu tự nhiên là cần đầy đủ
hoá các không gian chưa đầy đủ.
Định lý 1.1.6. ([1]) Giả sử E là không gian vector topo Hausdorff. Khi đó, tồn
tại duy nhất (sai khác một đẳng cấu) một không gian vector topo Hausdorff đầy đủ
E chứa E như một không gian con trù mật khắp nơi.

Không gian E được gọi là bao đầy của E.
1.1.2 Không gian lồi địa phương
Định nghĩa 1.1.2. ([1]) Một không gian lồi địa phương E là không gian vector
topo mà 0 E có một cơ sở lân cận gồm toàn các tập lồi.
4
Từ Định nghĩa 1.1.2, ta có:
Mệnh đề 1.1.7. ([1]) Một không gian lồi địa phương E có một cơ sở U các lân
cận của 0 E gồm toàn các tập lồi, cân và đóng kín đối với phép vị tự.
Ngược lại với Mệnh đề 1.1.7, ta có:
Mệnh đề 1.1.8. ([1]) Giả sử U là họ các tập con của không gian vector E gồm
toàn các tập lồi, cân, hút và đóng kín đối với phép vị tự. Nếu U thoả mãn thêm
điều kiện mọi U, V U tồn tại W U sao cho W U V thì tồn tại duy nhất
topo lồi địa phương τ trên E sao cho U là cơ sở lân cận của 0 E.
Định lý sau cho ta đặc trưng về cấu trúc cơ sở lân cận của topo lồi địa phương
xác định bởi họ U nào đó.
Định lý 1.1.9. ([1]) Giả sử U là một họ tuỳ ý các tập lồi cân hút của một không
gian vector E. Khi đó, tồn tại trên E một topo lồi địa phương yếu nhất tương thích
với cấu trúc đại số của E sao cho mỗi tập trong U là một lân cận của 0 E.
Một cơ sở lân cận của 0 E trong topo ấy gồm các tập có dạng ε
n
i 1
V
i
trong
đó V
i
U với mọi i và mọi ε 0.
Chứng minh. Xem [1], Định lý 3.1.1.3, trang 35.
Sau đây, chúng ta đưa ra khái niệm nửa chuẩn và phiếm hàm Mincowski.
Định nghĩa 1.1.3. ([1]) Một nửa chuẩn p trên không gian vector E là hàm không

âm thoả mãn các điều kiện:
(i) p λx λ p x với mọi λ K và mọi x E,
(ii) p x y p x p y với mọi x, y E.
Nếu giả thiết thêm p x 0 kéo theo x 0 thì p được gọi là một chuẩn. Từ (i)
và (ii) ta suy ra
(ii’) p x p y p x y với mọi x, y E.
5
Ngược lại, nếu xảy ra (i) và (ii’) thì có (ii).
Rõ ràng, nếu p là nửa chuẩn trên E thì hình cầu U x E : p x 1 là một
tập lồi cân. Ngoài ra, nếu p và q là các nửa chuẩn trên không gian vector E thoả
mãn p x 1 kéo theo q x 1 thì p x q x với mọi x E.
Mệnh đề 1.1.10.([1]) (i) Mỗi tập lồi cân hút A E đều tương ứng với nửa chuẩn
p
A
xác định bởi
p
A
x inf λ 0 : x λA
có tính chất
x : p
A
x 1 A x : p
A
x 1 .
(ii) Nếu p là nửa chuẩn trên E thì với mọi  0 các tập
x : p x  và x : p x 
là lồi cân hút. Hơn nữa p x p
U
1
x với mọi x E và U

1
x : p x 1 .
Định nghĩa 1.1.4. ([1]) Nửa chuẩn p
A
xác định như trong phần (i) của Mệnh
đề 1.1.10 tương ứng với tập lồi cân hút A được gọi là phiếm hàm Mincowski hay
hàm cỡ kết hợp với tập A.
Mệnh đề sau đây cho ta liên hệ giữa nửa chuẩn liên tục và lân cận lồi cân của
không trong không gian lồi địa phương.
Mệnh đề 1.1.11.([1]) (i) Nửa chuẩn p trên không gian lồi địa phương E liên tục
khi và chỉ khi p liên tục tại 0 E.
(ii) Nếu p là phiếm hàm Mincowski của tập lồi cân hút U thì p liên tục khi và
chỉ khi U là một lân cận của 0 E. Khi đó
int U x : p x 1 và U x : p x 1 .
Hai định lý sau cho ta liên hệ về tính tương đương giữa topo lồi địa phương với
họ các nửa chuẩn tương ứng.
Định lý 1.1.12. ([1]) Giả sử P là một họ nào đó các nửa chuẩn trên không gian
vector E. Khi đó, tồn tại một topo lồi địa phương yếu nhất trên E làm cho mọi
nửa chuẩn trong P liên tục.
6
Ta gọi topo trong Định lý 1.1.12 là topo xác định bởi họ nửa chuẩn P.
Định lý 1.1.13. ([1]) Giả sử E là một không gian lồi địa phương. Khi đó, tồn
tại một họ nửa chuẩn liên tục P trên E sao cho topo sinh bởi P là topo ban đầu.
Ngoài ra, E là Hausdorff khi và chỉ khi p x 0 với mọi p P kéo theo x 0.
1.2 Tích tensor xạ ảnh và tích tensor nội xạ
1.2.1 Tích tensor xạ ảnh
Giả sử E, F, H là các không gian vector trên cùng trường K. Ký hiệu B E F, H
là không gian các ánh xạ song tuyến tính từ E F vào H và B E F là không
gian các dạng song tuyến tính trên E F .
Tích tensor E F của hai không gian E và F có thể được xây dựng như là

không gian các hàm tuyến tính trên B E F . Theo cách này, với mỗi x E và
y F ta đặt tương ứng với hàm x y cho bởi
x y B B, x y B x, y
với mọi B B E F . Tích tensor E F là không gian con của không gian đối
ngẫu B E F sinh bởi các phần tử này. Vì vậy, mỗi phần tử tensor trong E F
có dạng
u
n
i 1
λ
i
x
i
y
i
,
trong đó n là số tự nhiên, λ
i
K, x
i
E và y
i
F . Tuy nhiên, biểu diễn trên không
duy nhất.
Trước hết, nếu u
n
i 1
λ
i
x

i
y
i
là một tensor và B là dạng song tuyến tính
thì tác động của u lên B được cho bởi
u B B,
n
i 1
λ
i
x
i
y
i

n
i 1
λ
i
B x
i
, y
i
.
Tất nhiên, giá trị của biểu thức này không phụ thuộc vào cách biểu diễn tensor u.
Ngoài ra, ánh xạ chính tắc E F E F cho bởi x, y x y là ánh xạ song
tuyến tính trên E F giá trị vector trong E F . Hơn nữa, ta có:
(i) x
1
x

2
y x
1
y x
2
y,
7
(ii) x y
1
y
2
x y
1
x y
2
,
(iii) λ x y λx y x λy ,
(iv) 0 y x 0 0.
Từ (iii) ta suy ra mọi tensor u E F đều có biểu diễn dưới dạng u
n
i 1
x
i
y
i
với x
i
E và y
i
F . Số tự nhiên n nhỏ nhất để u có biểu diễn trên được gọi là

hạng của u.
Mệnh đề 1.2.1. ([11]) Nếu u
i i I
và v
j j J
tương ứng là cở sở Hamel của các
không gian E và F thì u
i
v
j
: i, j I J là cơ sở Hamel của E F.
Mệnh đề 1.2.2. ([16]) Cho tensor u
n
i 1
x
i
y
i
E F . Khi đó, các khẳng
định sau tương đương:
(i) u 0;
(ii)
n
i 1
ϕ x
i
ψ y
i
0 với mọi ϕ E , ψ F ;
(iii)

n
i 1
ϕ x
i
y
i
0 với mọi ϕ E ;
(iv)
n
i 1
ψ y
i
x
i
0 với mọi ψ F .
Từ các khẳng định trên dễ dàng suy ra B E F , E F là một cặp đối ngẫu
với dạng song tuyến tính không suy biến cho bởi
B,
n
i 1
x
i
y
i

n
i 1
B x
i
, y

i
.
Hơn nữa, B E F E F . Vậy tích tensor E F có tính chất “đối ngẫu đại
số của nó là không gian các dạng song tuyến tính trên E F”.
Nếu ký hiệu L E F, H là không gian các ánh xạ tuyến tính từ E F vào H
thì ta có đẳng cấu
B E F, H L E F, H
cho bởi B
˜
B với B x, y
˜
B x y .
8
Mệnh đề 1.2.3. ([1]) Giả sử E, F, H là các không gian lồi địa phương trên K và
ánh xạ chính tắc E F E F . Khi đó, tồn tại một topo lồi địa phương mạnh
nhất trên E F để ánh xạ chính tắc liên tục.
Hơn nữa, nếu U và V tương ứng là các cơ sở lân cận trong E và F thì cơ sở
lân cận trong E F là họ
B
π
Γ U V : U U, V V ,
trong đó Γ U V là bao lồi cân của U V . Mỗi ánh xạ tuyến tính
˜
B L E F, H
với topo đó trên E F liên tục khi và chỉ khi ánh xạ song tuyến tính B B E F, H
tương ứng với
˜
B liên tục.
Topo lồi địa phương vừa được mô tả ở trên được gọi là topo xạ ảnh và không
gian E F với topo này được gọi là tích tensor xạ ảnh của hai không gian E và

F , ký hiệu E
π
F . Bao đầy của E
π
F được ký hiệu bởi E
π
F .
Ta dễ dàng thu được các kết quả sau.
Mệnh đề 1.2.4. ([11]) Tích tensor E
π
F là không gian lồi địa phương Hausdorff
khi và chỉ khi E và F là các không gian lồi địa phương Hausdorff.
Mệnh đề 1.2.5. ([18]) Cho E, F là các không gian lồi địa phương, U E và
V F tương ứng là các lân cận lồi cân của E, F . Khi đó, nửa chuẩn xạ ảnh π
U,V
kết hợp với Γ U V trong E
π
F được xác định bởi
π
U,V
u inf
n
i 1
p
U
x
i
p
V
y

i
: u
n
i 1
x
i
y
i
. (1.1)
Hơn nữa, ta có π
U,V
x y p
U
x p
V
y với mọi x E, mọi y F .
Chứng minh. Xem [18], Định lý 6.3.
Mệnh đề 1.2.6. ([18]) Cho E, F là các không gian lồi địa phương khả metric. Khi
đó, mỗi phần tử u E
π
F là tổng của chuỗi hội tụ tuyệt đối
u
i 1
λ
i
x
i
y
i
,

trong đó
i 1
λ
i
và x
i
, y
i
tương ứng là các dãy không trong E và F .
Chứng minh. Xem [18], Định lý 6.4.
9
Hệ quả 1.2.7. ([1]) Cho E và F là các không gian lồi địa phương khả metric. Khi
đó, nếu K là tập compact của E
π
F thì K Γ x
n
y
n
trong đó x
n
và y
n
tương ứng là các dãy không trong E và F .
1.2.2 Tích ε-tensor
Giả sử E và F là hai không gian lồi địa phương. Ngoài topo xạ ảnh π trên
E F người ta còn quan tâm tới một topo lồi địa phương khác, topo này được xác
định như sau.
Ký hiệu E , F là các không gian đối ngẫu của E và F tương ứng, còn U, V
tương ứng là hai cơ sở lân cận trong E và F. Khi đó E F, E F là cặp đối
ngẫu và họ các tập U V : U U, V V thoả mãn các điều kiện để xác định

một topo polar trên E F mà ta gọi nó là topo hội tụ đồng liên tục hay ε-topo
trên E F .
Không gian E F với ε-topo được ký hiệu là E
ε
F . Ta cũng ký hiệu E
ε
F
là bổ sung của E F theo ε-topo. Topo này có một cơ sở
B
ε
U V : U U, V V .
Vì U V U V nên ta suy ra π-topo mạnh hơn ε-topo. Bởi vậy ánh xạ
đồng nhất từ E
π
F E
ε
F được thác triển tới ánh xạ tuyến tính liên tục
E
π
F E
ε
F , nhưng ánh xạ này nói chung không là đơn ánh.
Tương tự topo xạ ảnh, ε-topo có thể được mô tả bởi hệ nửa chuẩn như sau.
Mệnh đề 1.2.8. ([11]) Nếu U E và V F tương ứng là các lân cận lồi cân của
0 E và 0 F thì nửa chuẩn nội xạ ε
U,V
trên không gian E
ε
F kết hợp với U, V
được cho bởi

ε
U,V
u sup
n
i 1
x x
i
y y
i
: x U , y V , u
n
i 1
x
i
y
i
. (1.2)
Hơn nữa, ta có ε
U,V
x y p
U
x p
V
y với mọi x E và y F .
Giả sử E và F là hai không gian lồi địa phương. Ta ký hiệu L
ε
E
b
, F là không
gian lồi địa phương các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E

b
E , β E , E vào F
trang bị topo hội tụ đều trên các tập con đồng liên tục của E
b
.
10
Xác định ánh xạ chính tắc θ : E
ε
F L
ε
E
b
, F cho bởi
θ
n
i 1
x
i
y
i
x
n
i 1
x x
i
y
i
, x E
b
.

Vì đối với mọi lân cận lồi cân U của 0 E và mọi lân cận lồi cân V của 0 F ta
có
sup p
V
θ
n
i 1
x
i
y
i
x : x U sup p
V
n
i 1
x x
i
y
i
: x U
sup y
n
i 1
x x
i
y
i
: x U , y V
sup
n

i 1
x x
i
y y
i
: x U , y V
ε
U,V
n
i 1
x
i
y
i
nên θ là một đẳng cấu lên ảnh.
Trong trường hợp E là không gian lồi địa phương khả metric và F là không
gian đầy đủ thì L
ε
E
b
, F cũng đầy đủ. Vậy θ có thể thác triển tới đẳng cấu θ từ
E
ε
F lên ảnh của nó.
Lập luận trên dẫn đến kết quả sau đây.
Định lý 1.2.9. ([1]) Giả sử E là không gian lồi địa phương khả metric và F là
không gian lồi địa phương đầy đủ. Khi đó, ánh xạ θ : E
ε
F L
ε

E
b
, F cho bởi
θ
i
x
i
y
i
x
i
x x
i
y
i
xác định một đẳng cấu từ E
ε
F lên Im θ.
1.3 Giới hạn quy nạp và giới hạn xạ ảnh
1.3.1 Giới hạn quy nạp
Giả sử E
α α I
là họ các không gian lồi địa phương mà E
α
E với mọi α và
E
α I
E
α
. Chúng ta sẽ xây dựng trên E một topo lồi địa phương mà mọi ánh

xạ tuyến tính từ E vào một không gian lồi địa phương tuỳ ý liên tục khi và chỉ
khi nó liên tục trên mỗi E
α
.
11
Tuy nhiên, thay vì giả thiết E
α
E người ta thường giả thiết có ánh xạ tuyến
tính u
α
: E
α
E sao cho E
α
u
α
E
α
. Khi đó tồn tại topo lồi địa phương
mạnh nhất trên E làm cho mọi u
α
liên tục. Không gian E cùng với topo đó được
gọi là giới hạn quy nạp của họ các không gian lồi địa phương E
α α I
và các ánh
xạ tuyến tính u
α
, ký hiệu E limind E
α
, u

α
.
Hơn nữa, một cơ sở U của 0 E theo topo này được thành lập từ những tập
lồi cân U trong E sao cho u
1
α
U là lân cận của 0 E
α
với mọi α. Nếu giả sử U
α
là cơ sở lân cận lồi cân của 0 trong E
α
với mọi α I thì một cơ sở lân cận của
0 E là họ
B Γ
α I
u
α
V
α
: V
α
U
α
,
trong đó Γ
α I
u
α
V

α
là ký hiệu bao lồi cân của
α I
u
α
V
α
trong E.
Mệnh đề 1.3.1. ([1]) Giả sử E limind E
α
, u
α
và S là một họ các ánh xạ tuyến
tính liên tục từ E vào không gian lồi địa phương F . Khi đó S đồng liên tục khi và
chỉ khi S
α
s u
α
: s S đồng liên tục với mọi α I.
Chứng minh. Họ S đồng liên tục khi và chỉ khi
s S
s
1
V là lân cận của 0 E
với mọi lân cận V của 0 F . Do đó S đồng liên tục khi và chỉ khi
s S
s u
α
1
V

là lân cận của 0 E
α
với mọi lân cận V của 0 F và mọi α I. Điều này tương
đương với tính đồng liên tục của họ S
α
với mọi α I.
Bây giờ ta xét một trường hợp riêng của giới hạn quy nạp thường gặp và có
nhiều ứng dụng trong lý thuyết hàm chỉnh hình.
Giả sử E là không gian vector và E
n
n 1
là một dãy tăng thực sự các không
gian con của E với
n 1
E
n
E. Giả sử mỗi E
n
có topo lồi địa phương ξ
n
và với
mỗi n topo ξ
n 1
của E
n 1
cảm sinh trên E
n
topo ξ
n
. Khi đó nếu gọi ξ là topo giới

hạn quy nạp trên E, tức là E, ξ limind E
n
, id thì E, ξ được gọi là giới hạn
quy nạp chặt của dãy các không gian lồi địa phương E
n
n 1
.
Theo [1], topo ξ cảm sinh trên mỗi E
n
topo ξ
n
. Ngoài ra, ta có:
Mệnh đề 1.3.2. ([1]) Giới hạn quy nạp chặt của một dãy các không gian lồi địa
phương Hausdorff đầy đủ là đầy đủ.
Kết quả sau đây cho ta đặc trưng của tập bị chặn trong giới hạn quy nạp chặt.
12
Định lý 1.3.3. ([1]) Giả sử E limind E
n
là giới hạn quy nạp chặt của một dãy
không gian lồi địa phương Hausdorff E
n
thoả mãn E
n
đóng trong E
n 1
với mọi n.
Khi đó, tập con A E bị chặn khi và chỉ khi nó được chứa và bị chặn trong một
không gian E
n
nào đó.

Chứng minh. Xem [1], Định lý 6.1.3.3, trang 76.
Mệnh đề 1.3.4. ([11]) Nếu E limind E
n
và F limind F
m
là giới hạn quy nạp
của các không gian lồi địa phương Hausdorff khả chuẩn thì
E
π
F limind E
n π
F
m
.
Hơn nữa, nếu E limind E
n
là giới hạn quy nạp của dãy các không gian lồi địa
phương và F là không gian khả chuẩn thì ta cũng có
E
π
F limind E
n π
F .
1.3.2 Giới hạn xạ ảnh
Cho F
α α I
là họ các không gian lồi địa phương mà F F
α
với mọi α và
không gian vector F

α I
F
α
. Chúng ta sẽ xây dựng trên F một topo lồi địa
phương yếu nhất để các ánh xạ tuyến tính từ F F
α
liên tục với mọi α.
Tổng quát hơn, thay vì giả thiết F F
α
ta thường giả thiết có ánh xạ tuyến
tính u
α
: F F
α
với mọi α và F
α I
u
1
α
F
α
. Topo lồi địa phương yếu nhất
trên F để các ánh xạ tuyến tính u
α
liên tục được gọi là topo xạ ảnh. Không gian
vector F cùng với topo xạ ảnh được gọi là giới hạn xạ ảnh của họ F
α
, τ
α
và các

ánh xạ tuyến tính u
α
, ký hiệu F limproj F
α
, u
α
.
Giả sử τ
α
tương ứng là topo lồi địa phương trên F
α
với mọi α. Khi đó u
1
α
τ
α
là các topo lồi địa phương trên F . Từ định nghĩa ta có topo xạ ảnh chính là topo
mạnh nhất trong họ các topo u
1
α
τ
α
trên F. Vì vậy, mỗi lân cận trong F là giao
hữu hạn các tập u
1
α
U
α
với U
α

τ
α
.
Từ định nghĩa giới hạn xạ ảnh, ta suy ra giới hạn xạ ảnh của các không gian lồi
địa phương là Hausdorff nếu và chỉ nếu có ít nhất một không gian lồi địa phương
trong họ là Hausdorff.
Ngoài ra, ta có:
13
Mệnh đề 1.3.5. ([1]) Giả sử F limproj F
α
, u
α
và A F . Khi đó A hoàn toàn
bị chặn khi và chỉ khi u
α
A là hoàn toàn bị chặn với mọi α.
Định lý 1.3.6. ([1]) Mọi không gian lồi địa phương Hausdorff là giới hạn xạ ảnh
của các không gian định chuẩn.
Chứng minh. Ký hiệu cs E là họ tất cả các nửa chuẩn liên tục trên E. Với mỗi
p cs E , ký hiệu E
p
E ker p và ánh xạ chính tắc π
p
: E E
p
. Nếu
x ker p y ker p thì p x p y p x y 0.
Do đó, ta có thể xem E
p
là không gian định chuẩn với chuẩn x ker p p x .

Mặt khác, vì π
1
p
V
p,ε
trong đó V
p,ε
là hình cầu tâm 0 bán kính ε 0 trong E
p
lập thành cơ sở lân cận của 0 E nên E limproj E
p
, π
p
.
Mệnh đề 1.3.7. ([11]) Nếu E limproj E
α
và F limproj F
β
là giới hạn xạ ảnh
của các không gian lồi địa phương Hausdorff thì
E
π
F limproj E
α π
F
β
.
Mệnh đề sau đây cho ta mối liên hệ giữa giới hạn xạ ảnh và giới hạn quy nạp
của các không gian lồi địa phương.
Mệnh đề 1.3.8. ([1]) Cho E limind E

α
, u
α
là giới hạn quy nạp của các không
gian lồi địa phương Hausdorff E
α
. Giả sử E
α
là đối ngẫu của E
α
với topo A
α
-hội
tụ. Ký hiệu A
α I
u
α
A
α
: A
α
A
α
, I hữu hạn . Khi đó, đối ngẫu E với topo
A-hội tụ là giới hạn xạ ảnh của các E
α
và các ánh xạ liên hợp u
α
của u
α

, tức là
limind E
α
, u
α
limproj E
α
, u
α
.
Hơn nữa E là không gian Hausdorff.
Chứng minh. Vì E u
α
E
α
nên ker u
α
0 . Thật vậy, nếu x ker u
α
thì
u
α
x 0 hay x u
α
0 trên u
α
E
α
với mọi α. Do đó x 0 trên E u
α

E
α
.
Điều này chứng tỏ E là Hausdorff.
Mặt khác, topo xạ ảnh trên E là topo yếu nhất để mọi u
1
α
A
α
là lân cận của
0 E trong đó A
α
A
α
. Kết hợp với hệ thức u
1
α
A
α
u
α
A
α
với mọi α ta
14
suy ra topo của E là topo A-hội tụ. Thật vậy, vì topo giới hạn xạ ảnh trên E có
cơ sở lân cận của 0 gồm các tập có dạng
α J
u
1

α
A
α
với J hữu hạn. Hơn nữa
α J
u
α
A
α
α J
u
α
A
α
α J
u
1
α
A
α
.
Vậy topo đó là topo A-hội tụ.
1.4 Một số không gian lồi địa phương quan trọng
Trong mục này, chúng tôi trình bày một số không gian lồi địa phương quan
trọng như không gian Fréchet, không gian Schwartz , không gian đối ngẫu Fréchet
hay (DF)- không gian, không gian hạch, không gian dãy K¨othe, không gian các
chuỗi lũy thừa.
1.4.1 Không gian Fréchet và đối ngẫu Fréchet
Theo [1], một không gian lồi địa phương metric đầy đủ được gọi là không gian
Fréchet hay (F)-không gian.

Từ định nghĩa không gian Fréchet dễ thấy rằng topo của không gian Fréchet
được xác định bởi một dãy giảm các lân cận lồi cân V
n
của 0 hoặc bởi một dãy
tăng các nửa chuẩn liên tục p
n
.
Mệnh đề 1.4.1. ([1]) Nếu topo trên một không gian Hausdorff E là topo lồi địa
phương yếu nhất làm cho một dãy những tập lồi cân hút trở thành lân cận (hoặc
làm cho một dãy các nửa chuẩn liên tục) thì E là không gian khả metric.
Chứng minh. Giả sử tồn tại một topo lồi địa phương yếu nhất trên E làm cho các
tập lồi cân hút V
n
n 1
trở thành lân cận. Khi đó các tập có dạng ε
1 i r
V
n
i
với
r nguyên dương, ε hữu tỷ dương, lập thành một cơ sở lân cận đếm được. Vậy E là
không gian khả metric.
Mệnh đề 1.4.2.([1]) (i) Mọi không gian con đóng của một không gian Fréchet là
không gian Fréchet.
(ii) Không gian thương của một không gian Fréchet theo một không gian con đóng
là một không gian Fréchet.
15
Chứng minh. Xem [1], Mệnh đề 3.2.3.3, trang 43.
Mệnh đề 1.4.3. ([13]) Cho E là không gian Fréchet và
k k 1

là dãy các nửa
chuẩn của E xác định topo của nó. Khi đó, nếu các không gian Banach E
k
,
k
phản xạ với mọi k 1 thì E limproj E
k
cũng là không gian phản xạ.
Chứng minh. Dễ thấy rằng E đẳng cấu với không gian con E
0
của
k
E
k
. Vì E
đầy đủ nên E
0
đóng trong
k
E
k
. Vì các không gian E
k
là Banach nên
k
E
k
là
Fréchet. Theo giả thiết, các không gian E
k

phản xạ và tích các không gian phản xạ
là phản xạ nên
k
E
k
cũng phản xạ. Vì E
0
đóng trong không gian phản xạ
k
E
k
nên nó cũng phản xạ. Do đó E phản xạ.
Mệnh đề 1.4.4. ([1]) Nếu E và F là các không gian lồi địa phương metric thì tích
tensor E
π
F là không gian Fréchet.
Chứng minh. Giả sử U
n
là dãy giảm cơ sở lân cận của 0 E và V
n
là dãy giảm
cơ sở lân cận của 0 F. Khi đó, bao lồi cân Γ U
n
V
n
là dãy giảm cơ sở lân
cận của 0 E
π
F . Do đó E
π

F là không gian lồi địa phương khả metric. Từ
đó E
π
F là không gian Fréchet.
Định nghĩa sau đây cho chúng ta một lớp không gian khác với lớp không gian
Fréchet nhưng lại có mối liên hệ mật thiết với lớp không gian Fréchet. Định nghĩa
này được chúng tôi phát biểu theo R. Meise và D. Vogt [13].
Định nghĩa 1.4.1. ([13]) Một không gian lồi địa phương E được gọi là (DF)-không
gian hay không gian đối ngẫu Fréchet nếu nó thoả mãn hai tính chất sau:
(i) E có hệ cơ sở là dãy gồm toàn các tập bị chặn;
(ii) Nếu V E hút mọi tập bị chặn và là giao của dãy các lân cận lồi cân của
0 E thì V cũng là lân cận của 0 E.
Mệnh đề sau đây cho ta ý nghĩa trực tiếp của Định nghĩa 1.4.1 về lớp (DF)-
không gian.
Mệnh đề 1.4.5. ([13]) Nếu E là (DF)-không gian thì E là (F)-không gian.
Ngược lại với Mệnh đề 1.4.5, ta có:
16
Mệnh đề 1.4.6. ([13]) Nếu E là (F)-không gian thì E là (DF)-không gian đầy
đủ.
Từ Mệnh đề 1.4.6, dễ thấy rằng mọi không gian lồi địa phương tựa thùng E
có một hệ cơ sở đếm được các tập bị chặn cũng là (DF)-không gian và mọi không
gian định chuẩn cũng là (DF)-không gian.
Hệ quả 1.4.7. ([13]) Nếu E là không gian Fréchet thì E cũng là không gian
Fréchet và có thể đồng nhất E với không gian con đóng của E .
Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.4.6, ta có E là (DF)-không gian. Do đó, theo Mệnh
đề 1.4.5, E là không gian Fréchet. Ánh xạ nhúng chính tắc J : E E là đẳng
cấu giữa E và J E vì E là không gian tựa thùng. Vậy J E đầy đủ trong E nên
đóng trong đó.
Hệ quả 1.4.8. ([13]) Không gian Fréchet E phản xạ nếu và chỉ nếu E phản xạ.
Chứng minh. Nếu E phản xạ thì E cũng phản xạ. Mặt khác, nếu E phản xạ thì

E cũng phản xạ. Do đó, ta suy ra E phản xạ.
Mệnh đề 1.4.9. ([12]) Nếu E và F là các (DF)-không gian thì E
π
F và E
π
F
là các (DF)-không gian. Hơn nữa, nếu B
n
và D
n
tương ứng là các dãy cơ sở
các tập bị chặn trong E, F thì dãy Γ B
n
D
n
là dãy cơ sở các tập bị chặn trong
E
π
F .
Chứng minh. Xem [12], Tính chất 7, trang 186.
1.4.2 Không gian Schwartz và không gian Montel
Theo [13], một không gian lồi địa phương E được gọi là không gian Schwartz
nếu với mỗi lân cận lồi cân U của 0 E, tồn tại lân cận V của 0 E sao cho với
mỗi ε 0 tồn tại hữu hạn điểm x
1
, . . . , x
n
V để V
n
i 1

x
i
εU .
Mệnh đề 1.4.10. ([13]) Không gian lồi địa phương E là không gian Schwartz nếu
và chỉ nếu với mỗi không gian định chuẩn F và mỗi A L E, F , tồn tại lân cận
V của 0 E sao cho A V hoàn toàn bị chặn trong F .
17
Tính Schwartz được bảo tồn qua không gian con và không gian thương được
cho bởi mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.4.11. ([13]) Mọi không gian con và không gian thương theo một không
gian con đóng của không gian Schwartz cũng là một không gian Schwartz.
Chứng minh. Xem [13], Mệnh đề 24.18, trang 284.
Mệnh đề 1.4.12. ([13]) Nếu E là không gian Schwartz đầy đủ thì mọi tập bị chặn
B trong E là compact tương đối.
Chứng minh. Gọi p
α α I
là họ nửa chuẩn sinh ra topo trên E. Khi đó E có thể
được đồng nhất với không gian con của
α I
E
α
. Nếu B là tập bị chặn trong E
thì bao đóng của B
α
i
α
B compact trong E
α
với mỗi α I. Do đó, theo định lý
Tychonoff,

α I
B
α
compact tương đối trong
α I
E
α
. Vì E đầy đủ nên E đóng
trong
α I
E
α
. Hơn nữa, do B
α I
B
α
nên B compact tương đối trong E.
Mệnh đề 1.4.13. ([13]) Nếu E là không gian Schwartz thì với mỗi lân cận lồi cân
U của 0 E tồn tại lân cận lồi cân V của 0 E sao cho U compact tương đối
trong E
V
.
Chứng minh. Xem [13], Bổ đề 24.22, trang 286.
Cho E là không gian lồi địa phương Hausdorff và ký hiệu E E
β
là đối
ngẫu của E
β
. Khi đó E được gọi là nửa phản xạ nếu E E. Hơn nữa, một không
gian nửa phản xạ được gọi là phản xạ nếu topo mạnh trên E trùng với topo xuất

phát trên E.
Một không gian lồi địa phương Hausdorff mà mọi tập bị chặn là compact tương
đối được gọi là không gian nửa Montel [11]. Do đó, một không gian nửa Montel là
nửa phản xạ và mọi dãy hội tụ yếu là hội tụ theo topo xuất phát. Vậy trên không
gian nửa Montel thì tính phản xạ, tính thùng và tính tựa thùng là tương đương
với nhau. Một không gian nửa Montel có một trong các tính chất này được gọi là
không gian Montel.
Từ Mệnh đề 1.4.12 và định nghĩa không gian nửa Montel, dễ thấy rằng một
không gian Schwartz đầy đủ là không gian nửa Montel. Hơn nữa, một không gian
Montel luôn là không gian phản xạ và là không gian thùng.