Cấu trúc Đại số dây (LV00415)

6

Mở Đầu
1. Lý do chn ti:
Các đối tợng vật lí tác động lẫn nhau thông qua bốn loại tơng tác cơ bản
nhất tạo nên bức tranh vũ trụ của chúng ta đó là: tơng tác mạnh, tơng tác yếu,
tơng tác điện từ và tơng tác hấp dẫn. Xây dựng một lý thuyết thống nhất các
tơng tác sẽ cho phép ta hiểu sâu sắc hơn về bản chất các hiện tợng, các mối
quan hệ động lực, từ đó tiên đoán đợc hàng loạt các hệ quả mới.
Một phơng hớng hiện nay đợc xem có nhiều triển vọng nhất để xây
dựng lý thuyết đại thống nhất là Lý Thuyết Dây đợc hình thành vào những năm
1968 đến 1973. Sự ra đời của Lý Thuyết Dây là một phát minh có tầm quan trọng
đặc biệt trong vật lý các hạt cơ bản. Đến đây các hạt cơ bản không đợc xem nh
các hạt điểm nữa mà đợc xem nh các sợi dây chuyển động trong không - thời
gian, khi ấy nó quét lên một mặt gọi là lá thế. Nền tảng của Lý Thuyết Dây
chính là lý thuyết trờng lợng tử mô tả động lực học của dây trên lá thế.
Có thể nghiên cứu lí thuyết dây thông qua công cụ đại số dây. Xây dựng
đợc mô hình cấu trúc đại số dây từ đó phát hiện đợc các tính chất xác lập phân
loại mô hình lý thuyết dây. Đề tài Cấu trúc đại số dây nghiên cứu một cách có
hệ thống đại số dây và đại số dây biến dạng.
2. Mục đích nghiên cứu
- Xây dựng đợc đại số dây và các biểu diễn của chúng
- Xây dựng đợc đại số dây biến dạng
- a ra biu din dao ng -q v dao ng Para-Boson ca i s dây
7

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu và viết tổng quan về lý thuyết dây.
- Nghiên cứu đại số dây và các biểu diễn của chúng.
- Xây dựng đại số dây biến dạng không dị thờng, có dị thờng và đại số
dây biến dạng -R(q).

4. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu và tìm hiểu tổng quan về lý thuyết dây và đại số dây
- Nghiên cứu đại số dây biến dạng và đại số dây biến dạng -R(q).
5. Phơng pháp nghiên cứu
- Tự đọc và tìm hiểu tài liệu theo hớng dẫn của giáo viên.
- Tham dự các sêmina và các hội nghị khoa học vật lý
6. Những đóng góp mới về khoa học thực tiễn của đề tài
- Xây dựng đợc mô hình đại số dây, đại số dây biến dạng
- a ra c biu din dao ng -q v dao ng Para-Boson ca i s
Virasoro
- Xõy dng c ại s Virasoro bin dng -R(q).





8

Nội dung
Chơng I: Các nguyên lí cơ bản về đại số dây
1.1. Khái niệm chung về lý thuyết dây:
Lý thuyết trờng lợng tử tơng ứng với quan niệm hạt là đối tợng không
kích thớc - điểm theo nghĩa toán học. Để giúp hiểu sâu hơn về khái niệm hạt
dây, ta hãy nhắc sơ qua về hạt điểm.
Khi chuyển động trong không - thờigian từ vị trí 1 tới vị trí 2, hạt điểm vạch nên
một đờng gọi là đờng thế (xem hình vẽ).



Vị trí của hạt có thể mô tả bởi hàm vector x

() phụ thuộc vào thông số
nào đó dọc theo quỹ đạo, có thể hiểu là thời gian riêng của hạt, là chỉ số
Lorentz khái quát trong không - thời gian D chiều, = 0,1,2, D - 1.
Chuyển động của hạt điểm trong không - thời gian Minkowski với metric.


v
= diag (1,-1,,-1)
Đợc mô tả bởi tác dụng:






v
v
1
x.x)(edS
(1.1)

1
2
đờng thế
x

(

)

9

Trong đó (e() là một hàm nào đó, đóng vai trò nh metric dọc theo quỹ
đạo



d
d

Tác dụng (1.1) bất biến đối với phép biến đổi tổng quát.
= f()
e() e() =
)(e.
d
'd




Thật vậy, ta có:
1'
' ( ') .
v
v
S d e x x

2
1
'
' ( ) . .
'
v
v
d d
d e x x
d d













1
' ( ) .
'

v
v
d
d e x x
d










1
( ) .
v
v
d e x x S







Tính bất biến này có thể sử dụng để đặt e() = 1. Lúc này ta nói rằng đã
dùng conformal gauge, và viết lại (1.1) thành:

v
v
x.xdS
(1.2)


10

Phơng trình Euler - Lagrange áp dụng với x

.
0
)x(
L
x
L

dẫn tới phơng trình
0
d
xd
2
2




có nghiệm tơng ứng với đờng thẳng trong không - thời gian Minkowski.
Khi xem hạt là đối tợng có kích thớc một chiều - dây, thì cách tiếp cận
cũng tơng tự. Khi chuyển động trong không - thời gian từ vị trí 1 tới vị trí 2, hạt
dây sẽ quét nên một mặt gọi là lá thế (xem hình vẽ).



Vị trí của dây trong không - thời gian đợc xác định bởi hàm X

(,)
phụ thuộc 2 thông số và , có thể hiểu nh thời gian riêng của dây
-<<+ , có thể hiểu nh độ dài xác định vị trí từng điểm trên dây, với
các giá trị đợc chọn trong khoảng 0.
Kết hợp lại thành vector 2 chiều trên lá thế, ta viết:


= (,),
0

= ,
1
=
1
2
Lá thế
X

(,)

11

Đa vào các metric tensor trên lá thế h

và h

với các tính chất.
h

= h

, h

= h

, h

h

=

và biến đổi theo quy luật
h

() = h

() =
' '
. . ( )
h








(1.3)
h

() = h

() =
)(h

dới tác dụng của phép biến đổi tổng quát




= f

() (1.4)
Chuyển động của hạt dây trong không - thời gian đợc mô tả bởi tác dụng








X.Xhhd
2
1
S
2
(1.5)

Trong đó:
h det h

= h
00
h
11
- h
2
01
,







X
X

Tác dụng (1.5) không những chỉ bất biến đối với phép biến đổi tổng quát
(94.3), mà còn bất biến đối với phép biến đổi Weyl định xứ metric.
h

() ().h

() (1.6)
12

Vì lúc này:

h.hh)(.h)((hh
12

Nh vậy, ở đây có ba đối xứng định xứ: đối xứng (1.4) với hai thông số và
đối xứng Weyl (1.6). Do đó ta có thể chọn 3 thành phần độc lập của metric tensor
h

theo metric Minkowski

hai chiều:
h

=

= diag (1, -1)
Vậy chuyển động của hạt dây trong không - thời gian đợc mô tả bởi tác dụng









X.Xd
2
1

S
2


1
( . . )
2
d d X X X X







(1.7)
1.2. Phơng trình chuyển động của dây:
áp dụng phơng trình Euler - Lagrange
0
)X(
L
X
L

vào tác dụng (1.7), ta đợc phơng trình chuyển động

0X)(X
22





(1.8)
Đó là phơng trình sóng một chiều với nghiệm tổng quát có thể viết dới
dạng:

)(X)(X)(X
LR


(1.9)
13

trong đó

R
X
mô tả các mode chuyển động phải,

L
X
mô tả các mode chuyển
động trái của dây.
Cần phân biệt dây mở và dây đóng


Dây mở Dây đóng
Với dây mở ta đặt điều kiện biên:
X


= 0 tại = 0, (1.10)
Biểu thức tổng quát của nghiệm (1.9) thoả mãn điều kiện (1.10) có dạng
khai triển nh sau:





2,1n
)(m
nR
e
n
1
2
i
)(p
2

1
x
2
1
)(X
(1.11)



n
)(in
nL
e
n
1
2
i
)(p
2
1
x
2
1
)(X




n
in

n
ncos.e
n
1
ipx)(X

ở đây có thể xem x

và p

nh toạ độ và xung lợng của khối tâm của hạt
dây,


n
nh các dao động tử quỹ đạo.
Ta đòi hỏi X

phải là thực, nên x

và p

cũng phải là thực
14

Và:

nn
(1.12)
Với dây đóng ta đặt điều kiện tuần hoàn:

),(X),(X

(1.13)
Biểu thức tổng quát của nghiệm (1.9) thoả mãn điều kiện (1.13) có dạng
khai triển nh sau:





2,1n
)(in2
nR
e
n
1
2
i
)(p
2
1
x
2
1
)(X
(1.14)

n
)(in
nL
e
~
n
1
2
i
)(p
2
1
x
2
1
)(X





n
m2
n
m2
n
m2

e
~
ee
n
1
2
i
px)(X

Chú ý rằng trong trờng hợp dây đóng ta phân biệt dao động tử quỹ đạo


n

ứng với chuyển động phải, và


n
~
ứng với chuyển động trái.
Để tiện sử dụng về sau, ta viết ra các biểu thức khai triển của X



X


và
X

X


. Trong trờng hợp dây mở, từ (1.11) ta có:

cos
in
n
n
X e n







(1.15)





n
in
n
nsinei'X

Trong ú ta ký hiu


p
0

15

Trong trường hợp dây đóng, từ (1.14) ta có:
 






in2
n
in2
n
n
int2
e
~
eeX


 







in2
n
in2
n
n
int2'
e
~
eeX
(1.16)
trong ®ã ta ký hiÖu

 p
2
1
~
00

1.3. PhÐp biÕn ®æi Lorentz bÊt thêng trong lý thuyÕt d©y
XÐt c¸c phÐp biÕn ®æi PoincarÐ trong kh«ng - thêi gian D chiÒu:
X

 X’


=A


v
X
v

+ a

(1.17)
§èi víi l¸ thÕ th× phÐp biÕn ®æi nµy cã tÝnh toµn côc (c¸c th«ng sè A

v
vµ
a

kh«ng phô thuéc 

), vµ tÝnh bÊt biÕn PoincarÐ g¾n liÒn víi c¸c dßng Noether
trªn l¸ thÕ. Ph¬ng thøc x©y dùng c¸c dßng Noether trªn l¸ thÕ tæng cã thÓ tãm
t¾t nh sau:
XÐt phÐp biÕn ®æi trêng  () d¹ng:
()  ’()

= () + .()

(1.18)
trong ®ã  lµ mét th«ng sè cùc vi.
16

Tác dụng S đợc giả thiết là bất biến (S = 0) đối với phép biến đổi toàn
cục ( không phụ thuộc ). Đối với phép biến đổi định xứ ( = ()), một cách

tổng quát ta có thể viết:





)(.Jd~S
)(2
(1.19)
trong đó
)(
J


là dòng Noether ứng với phép biến đổi (1.19).
Ta hãy chứng tỏ rằng khi tính đến phơng trình chuyển động thì


.J
)(
= 0,
tức
)(
J


là dòng bảo toàn. Quả vậy, phơng trình chuyển động đợc rút ra từ điều
kiện tác dụng S là dừng đối với mọi biến thiên (1.19) với = (), cụ thể là:

0)(.Jd
)(2

Mặt khác, ta có:








)(.Jd))(.J(d)(.Jd
)(2)(2)(2

= -





)(.Jd
)(2

Từ đây suy ra:
)(
J

= 0
Hãy áp dụng để tìm các dòng ứng với các phép biến đổi Poincaré (1.17).
Trớc hết xét phép biến đổi tịnh tiến:
X


= X


+ a


Xem a

nh a

(), ta có:
17


2
1
' ' . '
2
S d X X
 
  



  



2 2
1 1
. .
2
d X X d X a
   
     
 
 
     
 

VËy:
2
1
.
S d X a
 
 
 

  











v
vv2
)XXXX(d
2
1

so sánh với (1.19), ta có thể đặt.
 








X
1
PJ
a

(1.20)
tính bảo toàn của
0P,P





suy ra ngay từ phương trình chuyển động (1.8).
Xung lượng của dây P

đợc định nghĩa là:






 Xd
1
PdP
00
0

(1.21)
thay vào đây các biểu thức khai triển (1.11), (1.14) và chú ý rằng:
no
0
ncosd 



,
no
0
in2
ed 



, n  Z.
p

= p

(xung lượng khối tâm của dây) cho cả trường hợp dây mở lẫn dây đóng.

18

Xột sang phộp bin i Lorentz ng nht
X

X

= X

+

v
X
v

xem

v
nh

v
() ta cú:








''2
X.Xd
2
1
'S

'v'2''2
X.Xd
1
X.Xd
2
1

Vy
2
1
.
v
v
S d X X

2
1
( )
2
v v
v
d X X X X







Từ đây ta có thể đặt:

)XXXX(
1
MJ
vvv
)(
v

(1.22)
tính bảo toàn của
v
M


,

v
M


= 0, suy ra ngay từ phơng trình chuyển động (1.8)
Momen xung lợng của dây đợc định nghĩa là:

)XXXX(d
1
MdM
vv
00
v
0
v

(1.23)
Thay vào đây các biểu thức khai triển (1.11), (1.15), (1.16), (1.17)
19

chú ý rằng








0
m,nm,n
0
)(
2
.mcos.ncosd

n,m Z, ta có:

1n
n
v
n
v
nn
vvv
)(
n
1
ipxpxM
(1.24)
cho dây mở
Và:













1n

n
v
n
v
nnn
v
n
v
nn
vvv
)
~~~~
(
n
1
ipxpxM
(1.25)
cho dây đóng.
1.4. Lợng tử hoá dây boson
Tiến hành lợng tử hoá dây, ta thừa nhận các hệ thức giao hoán đồng nh sau:

)'(i)]',(),,(X[
vv


(1.26)
0)]',(X),,(X[
v

0)]',(),,([


Trong đó
),(X

đợc xem là toạ độ chính tắc,
),(

là xung lợng
chính tắc tơng ứng đợc định nghĩa bởi:
20

L
X







( - ) là hàm - Dirac tuần hoàn thoả mãn tính chất

),0(',0
'0),'(f
)'()(fd
0
(1.27)
ta có thể sử dụng các biểu thức khai triển khác nhau của ( - ) nh sau:






n
)'(in
e
2
1
)'(
(1.29)







n

)'(ncos
2
1








n
'ncos.ncos
1








n
'nsin.nsin
1

Với Lagrangian ở (1.7) ta có:

1
X

(1.30)
và các hệ thức (1.26) sẽ thành:

[ ( , ), ( , ')] ( ')
v v
X X i





[ ( , ), ( , ')] 0
v
X X




(1.31)
21

Từ các hệ thức giao hoán chính tắc trên đây ta có thể tìm đợc các hệ thức
giao hoán giữa các dao động tử quỹ đạo

n
nh sau:
- Với dây mở:

0,nm
vv
nm
.m],[



(1.32)
- Với dây đóng:

,0
[ , ] [ , ] .
v v v
m n m n m n
m





(1.33)
0]
~
,[
v
nm

Ngoài ra, các hệ thức giao hoán với x

, p

là:

vv
.i]x,p[


,
0]p,p[]x,x[
vv


(1.34)
0]
~
,p[],p[]
~
,x[],x[
v
m
v
m
v
m

v
n


(1.35)
Xét tensor trên lá thế:

1
. .
2
T X X X X




(1.36)
Tensor này có thể thu đợc từ Lagrangian (1.7) với định nghĩa

.
( )
L
T X L
X

(1.37)

22

Chú ý đến các tính chất sau đây của

T



T
=

T
,
0T


,
0T


(1.38)
Từ tensor

T

ta lập vector trên lá thế:

0
0
1
P d T






(1.39)
dùng hệ thức giao hoán chính tắc (1.26) dễ dàng chứng tỏ rằng:





Xi]X,p[
(1.40)
Do có các hệ thức (1.38) - (1.40) cho nên tensor

T
định nghĩa ở (1.36) đợc
xem là tensor năng - xung lợng trên lá thế và vector P

định nghĩa ở (1.39) là
vector năng - xung lợng trên lá thế.

23


Chơng Ii: đại số dây
2.1 Xây dựng đại số dây
Từ tensor năng - xung lợng

T
(1.37) ta lập các toán tử
L
n
00 01
0
1
( cos cos ),
in
e d T n iT n n Z







(2.1)

Đặc biệt: L
n
00 0
0
1
d T P






Hãy biểu diễn L
n
qua các dao động tử quỹ đạo. Từ (1.33) ta có:
00
1
( ' ' )
2
T X X X X







X'X
2
1

T
10


thay vào đây các biểu thức khai triển (1.15) và (1.16), ta tính đợc:
L
n
,
1
2
n k n k
k
L








(2.2)
với dây mở, và
L
n
nn
L
~
L

24


,
1
2
n k n k
k
L










(2.3)
với dây đóng.
Từ định nghĩa (2.1), cũng nh từ các biểu thức (2.2), (2.3), ta nhận thấy rằng:
n n
L L



,
n n
L L

Bây giờ hãy xem


n
,


n
~
với n > 0 nh các toán tử huỷ,



n
,



n
~
nh các
toán tử sinh, và định nghĩa lại
nn
L
~

,L

Viết (2.2), (2.3) dới dạng tích normal, trong đó toán sử sinh đứng trớc
toán tử huỷ (tính từ trái), tức là
::
2
1
L
k
kn,kn








(2.4)
:
~~
:
2
1
L
~
k
kn,kn

Ta hãy tính giao hoán tử [L
n
, L
m
]
Trớc hết nhận xét rằng vì giao hoán tử giữa hai dao động tử quỹ đạo chỉ là
một số, cho nên với bất kỳ toán tử F nào ta đều có:
]F,[]F:,[:
v
nm
v
nm



Và do đó có thể viết:
25

[L
n
, L
m
] =
],[

4
1
1m,v
v
1
k
kn,k








(2.5)
áp dụng đồng nhất thức dạng
[AB,CD] = [A,C]BD+C[A,D]B + A[B,C]D + AC[B,D] (2.6)
vào vế phải của (2.5) và sử dụng hệ thức (2.6) ta tính đợc
[L
n
, L
m
] =
,
1
( )
2
k n m k
k

n m











(2.7)
Lại chú ý rằng ta cần phân biệt tích normal và tích bình thờng chỉ với L
0

mà thôi, vì khi n0 ta có:





kkn,kn,k

Nh vậy, trong trờng hợp n + m 0 phơng trình (2.7) cho ta:
[L
n
, L
m
] =

nm
L)mn(


(2.8)
Trong trờng hợp n + m = 0 , ở vế phải (2.8) sẽ xuất hiện thêm một số
hạng gọi là dị thờng, ký hiệu bởi A(n). Một cách tổng quát, ta có thể viết:
[L
n
, L
m
] =
nm
L)mn(


+ A(n).
n+m,0
(2.9)
Số hạng dị thờng A(n) có thể tính theo cách nh sau:
Giả sử 0 là trạng thái nền - chân không thoả mãn điều kiện

00
~
0
0n


, n > 0 (2.10)
26

Lúc này, từ định nghĩa của L
n
ta có:
L
n
0 = 0, n > 0 (2.11)
Mặt khác, từ (28.9) ta có
[L
n
, L
m
] =2nL
0
+ A(n) (2.12)
Để xác định ta xem n > 0. Lấy trung bình hai vế của (2.12) theo trạng thái
0, chú ý tới (2.11), ta có:

)n(A0L0n20LL0
0nn


(2.13)
để tính
0LL0
nn
ta tiến hành nh sau: Với n > 0 ta có:

0::
2
1
0L
k
kn,kn

0
2
1
1n
1k
0nkn,k0n,

0
c
p
2
2
1
1n
1k
kn,kn

c = 1 với dây mở, và c = 2 với dây đóng
Từ đây ta có:

2
1
0 0 0 0
v
n n v n n
L L p p
c





00
4
1
1n
1l,k
kn,k
v
11n,v

(2.14)
27

Các số hạng ở vế phải (2.14) tính nh sau:
2v
vn
v
nn
v
nv
np)n(pp0][00pp0








1
, 1 1 ,
, 1
0 0
n
v
v n k n k
k l

1
, 1 1 ,
, 1
0 , 0
n
v
v n k n k
k l










1
,
1
2 0 0

n
n k n k
k
k










1
,
1
2 0 , 0
n
n k n k
k
k

1n
1k
2
)1n(Dn
3
1
)kn(kD2

Trong quá trình tính ta đã sử dụng tính chất (2.10), đồng nhất thức (2.6) và



n
1k
)1n(n
2
1
k
,



n
1k

2
)1n2)(1n(n
6
1
k

Nh vậy, ta tính đợc:

)1n(n
12
D
p
c
n
0LL0
22
2
nn


(2.15)
Tiếp theo, ta có:
0 0 0
8
1 1
0 0 0 : : 0 0 0
2 2
k k
k
L

2
2
p
c2
1


(2.16)
28

Thay (2.15) và (2.16) vào (2.12), ta có:

)1n(n
12
D
)n(A
2

(2.17)
Vậy:
0,mn
2

mnmn
)1n(n
12
D
L)mn(]L,L[


(2.18)
Với
n
L
~
cũng hoàn toàn nh vậy:

0,mn
2
mnmn
)1n(n
12
D
L
~
)mn(]L
~
,L
~
[


(2.19)

Đại số tạo nên bởi các hệ thức giao hoán dạng (2.12), (2.19) đợc gọi là
đại số Virasoro dị thờng.
2.2. Các trạng thái kích thích
Xét không gian Fock các trạng thái kích thích tạo nên do tác dụng các toán
tử sinh


n
và


n
~
, n > 0, lên trạng thái nền chân không 0. Chuẩn của các trạng
thái này không phải tất cả đều > 0.
Chẳng hạn, các trạng thái


0
n
0 có chuẩn < 0.

,n0][000
0
n
0
n
0
n
0

n



và do đó không thể xem là các trạng thái vật lý. Không gian các trạng thái vật lý
chỉ là một không gian con của toàn không gian Fock nói trên, thoả mãn một số
điều kiện nhất định. Trớc hết, trạng thái vật lý phải có chuẩn > 0. Một trạng thái
29

vật lý cũng phải thoả mãn các phơng trình suy ra từ phơng trình chuyển
động.
Nh sẽ trình bày ở các chơng sau, các phơng trình này có dạng:
(L
0
- a
0
) = 0 (2.20)
L
n
= 0 , n > 0
đối với dây mở, và
(L
0
- a
0
) = 0, (
0
L
~
- a

0
) = 0 (2.21)
L
n
= 0 ,
n
L

= 0 n > 0
đối với dây đóng.
trong đó a
0
là một thông số, đợc gọi là thông số Regge
Các phơng trình (2.20) và (2.21) cho phép xác định đợc phổ khối lợng
của các trạng thái kích thích.
Trớc hết xét trờng hợp dây mở. Ta có:













1k

kk
2
8k
kk0
p
2
1
::
2
1
L
(2.22)
và phơng trình (2.20) cho:















1k
kk0

2
a2p
(2.23)
30

phơng trình (29.4) cho thấy rằng toán tử














1k
kk0
2
a2M
(2.24)
có ý nghĩa là toán tử bình phơng khối lợng của dây.
dùng hệ thức giao hoán (1.30) dễ dàng thấy rằng trạng thái kích thích

1 2
1 2

1 2
( )
~ 0
p p
p
n n n
n n n






(2.25)
là trạng thái riêng của toán tử M
2
cùng với giá trị riêng
0
1
2
i
k
a n

, cụ thể là:

1 2
( )
2
p
n n n
M


0
1
2
i
i
a n







1
( )
p
n n

(2.26)
Trong trờng hợp dây đóng ta có:

2
0
1
1
8
k k
k
L p








(2.27)







1k
kk
2
0
~~
p

8
1
L
~

và phơng trình (2.21) cho:

2
p
0
1
8
k k
k
a












(2.28)