Cấu trúc Tô pô lồi địa phương trên không gian các hàm chỉnh hình

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
Cho
E
là không gian lồi địa phương Hausdorff và
U
là tập con mở
của
E
. Ký hiệu
( )H U
là không gian véc tơ của các hàm chỉnh hình trên
U
. Tô pô mở compact
o

là tô pô lồi địa phương tự nhiên nhất trên
( )H U
.
Tuy nhiên, trong trường hợp vô hạn chiều không gian
 
( ),
o
H U


không có
được những tính chất mong muốn, chẳng hạn khi
N
E  C
thì
 
( ),
o
H U


không là không gian thùng. Trong giải tích vô hạn chiều, chúng ta cần xét
đến các tô pô mạnh hơn trên
( )H U
. Từ các kết quả nghiên cứu của A.
Martineau
 
4
trên các hàm giải tích nhiều biến, tô pô


được đề xuất lần
đầu tiên bởi L. Nachbin
 
5
. Đó là tô pô xác định từ các nửa chuẩn
p

mang bởi tập compact
K

trên
( )H U
. Tô pô


có nhiều tính chất tốt hơn
tô pô
0

. Thế nhưng, chỉ đơn giản khi
N
E  C
thì
o

 

và người ta cũng
không thể mô tả được tập định hướng của các nửa chuẩn sinh ra tô pô


.
Từ đó, tô pô lồi địa phương mạnh nhất trên
( )H U
đã được giới thiệu bởi
G. Coeuré
 
1
và L. Nachbin
 

6
là tô pô


sinh bởi tất cả các nửa chuẩn


liên tục.
Việc nghiên cứu các tô pô trên không gian hàm chỉnh hình là một
lĩnh vực đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm. Từ cấu trúc tô pô
trên không gian
( )H U
người ta giải quyết được nhiều vấn đề quan trọng


2
2
trong giải tích phức vô hạn chiều như: Bài toán thác triển giải tích
   
 
2 , 6
; Nghiên cứu đặc trưng của: miền chỉnh hình, miền lồi chỉnh
hình, miền giả lồi, miền lồi đa thức và miền tồn tại
   
 
2 , 7
; Nghiên cứu
về các hàm điều hoà và hàm đa điều hoà
 
1

,….
Để hoàn thành luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích em
chọn đề tài nghiên cứu:
“CẤU TRÚC TÔ PÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG
TRÊN KHÔNG GIAN CÁC HÀM CHỈNH HÌNH”

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu cấu trúc tô pô lồi địa phương trên không gian
các hàm chỉnh hình và quan hệ giữa các tô pô đã nói trên đậy.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các tô pô lồi địa phương trên không gian hàm chỉnh hình
và sự tuơng đương của các topo:
0

- tô pô mở compact;


- tô pô mang
bởi tập compact;
ob

- tô pô bornological liên kết với tô pô
o

;
b


-
bornological liên kết với tô pô



và tô pô


.
4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách, nghiên cứu tài liệu.
Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
5. Dự kiến đóng góp mới
Hệ thống hóa một số kiến thức căn bản về không gian các hàm chỉnh
hình trên không gian lồi địa phương. Giới thiệu một số cấu trúc tô pô lồi
địa phương quan trọng trên không gian
( )H U
đã và đang được quan tâm
nghiên cứu.


3
3
Nghiên cứu một số tô pô lồi địa phương và các tương đương tô pô đề
cập trên không gian
( )H U
các hàm chỉnh hình trên tập con mở
U
trong
không gian lồi địa phương
E
.
Trình bày một số ví dụ và các phản ví dụ đối với các tương đương tô

pô trên không gian các hàm chỉnh hình.

























4
4

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Đa thức trên không gian lồi địa phương
Định nghĩa 1.1.1. Cho
E
là một không gian véc tơ trên trường

. Một
ánh xạ
:
n
L E


được gọi là
n
tuyến tính trên
E
nếu nó tuyến tính theo
từng biến, mỗi khi cố định các biến còn lại. Ký hiệu tập hợp tất cả các ánh
xạ
n
tuyến tính bởi
 
n
a
L E

.

Định nghĩa 1.1.2. Một ánh xạ
n
tuyến tính
:L E  
được gọi là đối
xứng nếu
 
 
1 2 (1) (2) ( )
, , , , , ,
n n
L x x x L x x x
  

,
với mọi
1 2
, , ,
n
x x x E
và

là phép hoán vị bất kỳ của
n
số tự nhiên đầu
tiên. Chúng ta ký hiệu
 
s n

a
L E
là không gian véc tơ của tất cả các ánh xạ
n
tuyến tính đối xứng trên
E
.

Một ánh xạ
n
tuyến tính đối xứng có thể liên kết với ánh xạ
n
tuyến tính
bởi toàn ánh chính tắc
   
:
n s n
a a
s L E L E

được xác định bởi công thức
  
 
1 2 (1) (2) ( )
1
, , , , , ,
!
n
n n
S

s L x x x L x x x
n
  




,
ở đó
n
S
ký hiệu là tập tất cả các phép hoán vị của
n
số tự nhiên đầu tiên.



5
5
Định nghĩa 1.1.3. Cho
E
là một không gian véc tơ tô pô lồi địa phương
trên

. Một ánh xạ
:P E  
được gọi là một đa thức
n
thuần nhất nếu
tồn tại một ánh xạ

n
tuyến tính
:
n
L E


sao cho
P L 
, trong đó
( ) ;
n
x x x E  
. Ký hiệu
 
n
a
P E
là không gian véc tơ của tất cả các đa
thức
n
thuần nhất trên
E
.
Một đa thức trên
E
là một tổng hữu hạn của các đa thức thuần nhất
trên
E
. Ta ký hiệu

 
a
P E
là không gian véc tơ tất cả các đa thức trên
E
.

Ví dụ 1.1.4. Giả sử
:
n n
L
 
  
là một ánh xạ 2 tuyến tính trên
n

.
Khi đó tồn tại một ma trận
 
1 ,1
ij
i n j n
A a
   

sao cho
 
1
1
,

ij i j
i n
j n
L z w a z w
 
 


,
với mọi
 
1 2
, ,
n
n
z z z z 

và
 
1 2
, ,
n
n
w w w w 

. Do đó, một đa
thức 2 thuần nhất
:
n
P


 
trên
n

có dạng
   
1
1
,
ij i j
i n
j n
P z L z z a z z
 
 
 

.

Trong trường hợp tổng quát không có sự tương ứng 1-1 giữa các đa thức
n

thuần nhất và các ánh xạ
n
tuyến tính. Tuy nhiên nếu chỉ hạn chế trên tập
hợp các ánh xạ
n
tuyến tính đối xứng chúng ta thu được một tương ứng
duy nhất. Theo định nghĩa của các đa thức

n
thuần nhất và toán tử đối
xứng biểu đồ sau giao hoán
   
 
n s n
a a
n
a
L E L E
P E

 




6
6
Như một hệ quả của bổ đề phân rã, chúng ta chứng minh được ánh xạ

là
một đơn ánh. Do đó, chúng ta nhận được một song ánh chính tắc giữa
không gian các ánh xạ
n
tuyến tính đối xứng và không gian các đa thức
n

thuần nhất trên
E

.

Định lý 1.1.5 (công thức phân rã). Cho
E
là một không gian lồi địa
phương trên

. Khi đó, nếu
 
s n
a
L L E

và
1 2
, , ,
n
x x x E
, thì
 
1 2 1
1 1
1
ˆ
, , ,
2 !
i
n
n n j j
n

j
L x x x L x
n

  
 
 

 
 
 

Chứng minh. Bởi tính tuyến tính và tính đối xứng

1 1 1
ˆ
, ,
n n n
j j j j j j
j j j
L x L x x
  
  
   

   
   
  

     

1 2
1 2
1 2 1 2
0
1
!
.
! !
n
n
i
i
m m m
m
m m
n n
m n
n
m n
n
L x x x
m m
  
 




.
Do đó

1
1 1
1
ˆ

2 !
i
n
n j j
n
j
L x
n

  
 
 

 
 
 

     
1 2
1 2 1
1
1
1 2 1 2 1
0 1
1

1 !
.
! !
2
n
n n
i j
i
m m m
m mm m m
n n n
n
m n
n
m n
i j n
n
L x x x
m m

    

  

 
 
 

 
 

 

 

Nếu
1 2
1
n
m m m
   
thì
1
1
1
1
1
2
n
j
m
m
n
n
i j n

 



 



và các hệ số của
 
1 2
, , ,
n
L x x x
trong khai triển trên bằng 1.
Nếu
1
i
m

với
i
nào đó thì
0
j
m

với
j
nào đó. Khi đó chúng ta
nhận được


7
7
1 1

1 1
1 1
1 11 1
1 1 1 1
1 1 1
1 1 ,
0
j j
n n
j j j
m m
m mm m
n j j j n
i n i n i j
  
      
 
 
  
 
  
    
 
  
.
Do đó, tất cả các số hạng khác triệt tiêu và công thức phân rã được chứng
minh.

Hệ quả 1.1.6. Ánh xạ
   

:
s n n
a a
L E P E
 
là một song ánh tuyến tính.
Chứng minh. Bởi công thức phân rã
 
s n
a
L L E

đồng nhất bằng
0
nếu và
chỉ nếu
ˆ
L
đồng nhất bằng
0
. Do đó, ánh xạ

là tuyến tính có hạt nhân
bằng
0
và là đơn ánh. Như vậy, nó là một song ánh tuyến tính.

Cho
A
là một tập con của không gian lồi địa phương

E
và hàm
:f A  
, ta đặt
sup ( )
A
x A
f f x


.
Định lý 1.1.7. Cho
E
là một không gian lồi địa phương trên

và
A
là
một tập lồi cân trong
E
. Khi đó ta có
ˆ ˆ
!
n
n
A
A A
n
L L L
n

 
,
với mọi
 
s n
a
L L E

.
Chứng minh. Bất đẳng thức thứ nhất là tầm thường vì
 
 
ˆ
n
L A L A

.
Theo công thức phân rã, chúng ta có
1 1
1
1 1
ˆ
. sup
!
2
n
i
i
n
i i

n
A
x A
i
i n
L L x
n



 
 
 

 
 
 

Bởi vì
A
là lồi cân nên nếu
i
x A
; với mỗi
1,2, ,i n
và
1
i

 

thì
1
1
n
i i
i
x A
n




. Do đó


8
8
1 1
1
ˆ ˆ
n n
n
i i i i
i i
L x n L x
n
 
 
   


   
   
 


ˆ
n
A
n L

.
Từ đó, chúng ta nhận được
1
1
1 1
ˆ
.
! !
2
n n
i
n
n
n
A A
A
i n
n
L n L L
n n



 
 

.
Định lý được chứng minh.

Bổ đề 1.1.8. Nếu
 
s n
a
L L E

và
 
ˆ
n
a
P L P E
 
thì với mọi
,x y E
và


ta có
     
0
n

n r r
r
r
n
P x y L x y
r
 


 
 
 
 
 
 
 


         
1
0
n
n r r
r
n
P x y P x P y L x y
r




 
   
 
 

.

Bổ đề 1.1.9. Cho
E
là một không gian lồi địa phương trên

. Nếu
A
là
một tập cân trong
E
và
x E
, thì
A x A
P P

 .
Hơn nữa, nếu
0, x E
 
 
và
A
là một tập lồi thì

1
1
n
x A A
P P


 
 
 
 
.
Chứng minh. Ta có

 
sup
x A
y A
P P x y


 

 
,
sup
i
y A
P x e y



 
 

(vì
A
là tập cân)


9
9
 
,
sup
i
y A
P e x y


 
 

(vì tính thuần nhất)
 
sup
y A
P y


(theo nguyên lý modul cực đại)

A
P

.
Nếu
x A


thì
1 1
1
x A A A A
 
 
    
 
 
và do đó ta có
1
1
1
1
n
x A A A
P P P


 
 

 
 
 
  
 
 
.

Không gian véc tơ của tất cả các đa thức
n
thuần nhất liên tục trên không
gian lồi địa phương
E
được ký hiệu bởi
 
n
P E
. Không gian véc tơ tất cả
các đa thức liên tục trên
E
được ký hiệu bởi
 
P E
.

Mệnh đề 1.1.10. Cho
E
là một không gian lồi địa phương trên

và

 
n
a
P P E

. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương.
(a)
P
là liên tục.
(b)
P
liên tục tại gốc.
(c)
P
bị chặn trong lân cận nào đó của điểm gốc.
(d)
P
là bị chặn địa phương (nghĩa là bị chặn trong lân cận của
mỗi điểm).
Chứng minh. Các kéo theo
( ) ( ) ( )a b c 
là tầm thường. Theo Bổ đề
1.1.9. thì ta nhận được
( ) ( )c d
. Vấn đề còn lại là ta chứng minh
( ) ( )c a
. Cho
 
s n
A L E


và giả sử
ˆ
A P
. Theo công thức phân rã và
( )c
tồn tại một lân cận lồi cân
V
của
0
sao cho
n
V
A M
  
. Với
0
x E
tùy ý chọn
0


sao cho
0
x V


. Theo Bổ đề 1.1.7, chúng ta có

10
10

       
0 0 0
1
sup sup .
n
R n R
R
y V y V
R
n
P x y P x A x y
R
 

 

 
  
 
 



   
0
1
1

sup .
n
R n R
R
n R
y V
R
n
A x y
R
 





 

 
 



1
.
n
R
n R
R
n

M
R




 

 
 



1 1
0
n n
M

 
 
   
   
 
   
   
 
 
khi
n  
.

Như vậy
P
liên tục tại
0
x
và việc chứng minh được hoàn thành.

1.2. Hàm chỉnh hình
Định nghĩa 1.2.1. Một tập con
U
của không gian lồi địa phương
E
được
gọi là mở hữu hạn nếu
U F
là một tập con mở của không gian Euclide
F

với mỗi không gian con hữu hạn chiều
F
của
E
.
Các tập con mở hữu hạn của
E
xác định một bất biến tô pô
f
t
. Các
f

t
lân cận cân lập thành một cở sở đối với
f
t
lân cận của
0
trong
E
.

Định nghĩa 1.2.2. Một hàm
f
xác định trên tập con mở hữu hạn chiều
U

của không gian lồi địa phương
E
được gọi là Gâteaux chỉnh hình hoặc
G

chỉnh hình nếu với mỗi
,a U b E 
thì hàm một biến phức
 
:
f f a b
 


là một hàm chỉnh hình trong một lân cận nào đó của điểm

0
. Ta ký hiệu
 
G
H E
là tập tất cả các hàm
G
chỉnh hình trên
E
.



11
11
Bổ đề 1.2.3. Nếu
U
là một tập con mở của không gian véc tơ
E
và
 
G
f H E

thì
f
là liên tục khi
U
được cho bởi tô pô mở hữu hạn.
Chứng minh. Dễ dàng thấy rằng

f
t
là tô pô giới hạn quy nạp được cho bởi
các ánh xạ bao hàm
U E
, ở đó
U
chạy trên tất cả các không gian con
hữu hạn chiều của
E
. Do đó một hàm
f
xác định trên một tập con
f
t
mở
của
E
là liên tục nếu và chỉ nếu hạn chế của nó lên mỗi phần hữu hạn
chiều của
U
là liên tục. Nhưng các hàm nhiều biến là liên tục nên chúng ta
nhận được điều cần chứng minh.

Mệnh đề 1.2.4. Nếu
U
là một tập con mở hữu hạn trong không gian véc tơ
E
và
 

G
f H E
 thì với mỗi
U


tồn tại duy nhất một dãy các đa thức
thuần nhất trên
E

0
ˆ
( )
!
m
m
d f
m



 
 
 

sao cho
   
0
ˆ
( )

!
m
m
d f
f y y
m




 

.
với mọi
y
trong
f
t
lân cận nào đó của
0
.
Chứng minh. Cố định điểm
U


. Với mỗi số nguyên dương
m
ta đặt
 
,

1
1
2
x
m
m
f x
P d
i

 
 








,
ở đó
x

được chọn sao cho
 
:
x
x U
   

  
. Bởi vì
f
là
G
chỉnh
hình nên
,m
P

không phụ thuộc vào
x

và
 
 
1
0
1
2
x
m
n
f x
f x d
i
 
 
 








 


.


12
12
Theo Bổ đề 1.2.3, hàm
f
là liên tục nên tích phân
 
,
1
1
2
x
m
m
f x
P d
i

 

 









là hoàn toàn xác định.
Bởi vì hạn chế của
f
tới mỗi phần hữu hạn chiều của
U
là chỉnh
hình, nên hàm
,
( )
m
x P x


là một đa thức
n
thuần nhất. Gọi
,m
L

là ánh

xạ
m
tuyến tính đối xứng liên kết trên
E
. Theo Định lý 1.1.5 (bổ đề phân
rã), nếu
1 2
, , ,
n
x x x E
thì ta có
 
, 1 1 ,
1 1
1
, ,
2 !
i
m
m m m m i i
m
i
L x x P x
m
 

  
 
 


 
 
 
.
Theo định lý Haln-Banach thì
 
,
s m
m a
L L E


và
 
,
m
m a
P P E


.
Cho
V
là một
f
t
lân cận cân của
0
sao cho
V U


 
. Nếu
x V

thì
 
: 1
x
  
 
là một tập con compact của
U
. Do đó, tồn tại
1



sao cho
 
:
x U
   
  
. Theo Bổ đề 1.2.3 hàm
f
là liên tục và ta có
 
sup
x

f x M
 
 

   
.
Do đó
,
( )
x
m
m
M
P x



,
với mỗi số nguyên dương
m
. Điều đó chứng tỏ rằng
 
, ,
0 1 1
1
( ) ( )
n
m m x
m
m m n m n

f x P x P x M
 


 
    
   
  
.
Do đó
 
,
0
( )
m
m
f x P x




 

; với mọi
x V
.


13
13

Bởi tính duy nhất của khai triển Taylor đối với hàm nhiều biến phức, chúng
ta thấy rằng dãy
 
,
0
m
m
P



được xác định duy nhất bởi
f
.

Trong quá trình chứng minh Mệnh đề 1.2.4, chúng ta cũng đã chứng tỏ
được rằng
Mệnh đề 1.2.5 (Bất đẳng thức Cauchy). Cho
 
, , 0
G
f H U U
 
  
và
B
là một tập con cân của
E
sao cho
B U

 
 
thì với mọi số nguyên
không âm
m
ta có
,
1 1 1
sup
!
m
m m
B B
B
x B
P f f
m

 
 
 

 
 
.

Định nghĩa 1.2.6. Cho
U
là một tập con mở trong không gian lồi địa
phương

E
. Một hàm
:f U  
được gọi là chỉnh hình trên
U
nếu với
mỗi
U


tồn tại
 
,
; 0,1,2,

 
n
n
P P E n
sao cho chuỗi
 
,
0






n

n
n
P x

hội tụ đều về hàm
( )f x
với mọi
x
trong lân cận nào đó của

.
Ta gọi chuỗi
 
,
0






n
n
n
P x
là chuỗi Taylor của hàm
( )f x
tại

.

Bởi vì khai triển trên là duy nhất nên ta thường ký hiệu
 
,
!
n
n
d f
P
n




.
Tập tất cả các hàm chỉnh hình trên
U
được ký hiệu bởi
 
H U
.







14
14

Chương 2
TÔ PÔ TRÊN KHÔNG GIAN CÁC HÀM CHỈNH HÌNH

2.1. Một số khái niệm
Định nghĩa 2.1.1. Cho
U
là một tập con mở trong không gian lồi địa
phương
E
. Tô pô mở compact (hay tô pô hội tụ đều trên tập compact) trên
không gian các hàm chỉnh hình
 
H U
là tô pô sinh bởi các nửa chuẩn
 
sup ( )
K
x K
p f f f x

 
,
ở đó
K
chạy trên tất cả các tập con compact trong
U
, ta ký hiệu tô pô này

bởi
o

.

Tô pô
o

là tô pô tự nhiên nhất được xét trên không gian các hàm chỉnh
hình
 
H U
. Tuy nhiên, tô pô này không phải luôn có các tính chất mong
muốn và vì lý do đó


đã được đề xuất. Tô pô này có nhiều tính chất tốt,
nhưng cũng khó có thể mô tả nó một cách cụ thể và mối quan hệ của nó với
tô pô
o

không phải luôn được rõ ràng. Tô pô


được đề xuất từ sự thúc
đẩy trong quá trình nghiên cứu các phiếm hàm giải tích nhiều biến.
Định nghĩa 2.1.2. Cho
U
là một tập con mở trong không gian lồi địa
phương

E
. Một nửa chuẩn
p
trên
 
H U
được gọi là mang bởi tập
compact
K
của
U
nếu với mọi tập con mở
,V K V U 
tồn tại
 
0
C V


sao cho


15
15
   
V
p f C V f

; với mọi
 

f H U

.
Tô pô


trên
 
H U
là tô pô lồi địa phương sinh bởi tất cả các nửa chuẩn
mang bởi các tập con compact của
U
.

Định nghĩa 2.1.3. Cho
U
là một tập con mở trong không gian lồi địa
phương
E
. Một nửa chuẩn
p
trên
 
H U
được gọi là


liên tục nếu với
mỗi phủ mở đếm được tăng
 

1
n
n
V


của
U
tồn tại một số nguyên dương
0
n

và số
0c 
sao cho
 
0
n
V
p f c f

; với mọi
 
f H U

.
Tô pô


trên

 
H U
là tô pô lồi địa phương sinh bởi tất cả các nửa chuẩn


liên tục.

2.2. Quan hệ giữa các tô pô và một số tính chất của chúng
Mệnh đề 2.2.1. Cho
E
là một không gian lồi địa phương và
U
là một tập
con mở của
E
. Khi đó, trên
 
H U
ta có
o
 
  
 
.
Chứng minh. Bởi vì
K V
f f

với mọi
V

chứa
K
, nên ta suy ra
o

 

. Bây giờ, giả sử rằng
p
là một nửa chuẩn


liên tục trên
 
H U

được mang bởi tập compact
K
của
U
. Giả sử
 
1
n
n
V


là một phủ mở đếm
được tăng của

U
. Bởi vì
K
là tập compact nên tồn tại
0
n
sao cho
0
n
V
là
lân cận của
K
. Do đó, tồn tại
0c 
sao cho
 
0
n
V
p f c f

; với mọi
 
f H U

.
Điều đó chứng tỏ
p
là một nửa chuẩn



liên tục.


16
16
Kết quả dưới đây chứng tỏ rằng tô pô


có các tính chất tô pô tốt trên
không gian các hàm chỉnh hình.
Mệnh đề 2.2.2. Giả sử
U
là tập con mở trong không gian lồi địa phương
E
. Khi đó
 
 
,
H U


là giới hạn quy nạp của một dãy các không gian
Frechet và do đó nó là không gian thùng, bornological.
Chứng minh. Với mỗi phủ mở tăng đếm được
 
1
n
n

V


V
của
U
, đặt
   
 
: ,
n
V
H U f H U f n    
V
.
Khi trang bị trên
 
H U
V
tô pô sinh ra bởi các nửa chuẩn
 
n
n
V
p f f

thì
nó là không gian lồi địa phương metric và là một không gian Frechet do


là không gian đầy. Tiếp tục, chúng ta sẽ chứng minh
   
H U H U
 
V
V
, ở
đó
V
chạy trên tất cả các phủ mở tăng đếm được của
U
. Với mỗi
 
f H U

, ta đặt
 
:
n
W x U f n  
.
Khi đó
n
W
là một tập mở trong
E
và
 
1
W

n
n


=
là một phủ mở đếm
được tăng của
U
. Như vậy
 
f H U


.
Bây giờ cho
i

là tô pô giới hạn quy nạp trên
 
H U
xác định bởi tất
cả các không gian
 
H U

, nghĩa là
( )
( )
( )
, lim

i
H U ind H U
t
Á
=
. Bởi vì
 
H U

là không gian Frechet nên
 
 
,
i
H U

là không gian thùng và
bornological. Để hoàn thành chứng minh ta chỉ cần chứng tỏ
i

 

. Bởi
vì ánh xạ đồng nhất từ
 
H U

vào
 
H U

là liên tục với phủ mở tăng đếm
được bất kỳ

của
U
nên
i

 

. Tiếp tục, chúng ta cho
p
là nửa chuẩn
i

liên tục trên
 
H U
. Nếu
p
không


liên tục, thì tồn tại phủ mở tăng


17
17
đếm được
 

1
n
n
V


V
và một dãy
( )
1
n
n
f
¥
=
trong
 
H U
sao cho
1
n
n
V
f
£

và
( )
n
p f n>

với mọi
n
. Đặt
{ }
: ( ) ;
n m
W x U f x n m= Î £ "

và
( )
1
o
n
n
W
¥
=
Á =
, với
o
n
W
là phần trong của
n
W
. Bời vì
1
n
m
V

f
£
với mọi
m n³
nên
Á
là một phủ mở đếm được tăng của
U
. Do đó
( )H U
p
Á
là liên
tục . Từ cách xây dựng các tập
n
W
, chúng ta có
W
sup
n
m
m
f n£
với mọi
n
.
Do đó
( )
1
n

n
f
¥
=
là tập bị chặn trong
( )
H U
Á
. Điều đó mâu thuẫn với
( )
n
p f n>
với mọi
n
và chứng minh hoàn thành.

Định nghĩa 2.2.3. Tô pô lồi địa phương mạnh nhất trên
 
H U
có cùng các
tập bị chặn với tô pô
o

(tương ứng


) được gọi là tô pô bornological liên
kết với tô pô
o


(tương ứng


) và được ký hiệu là
ob

(tương ứng
b


).

Từ các khái niệm và tính chất các tô pô ta dễ dàng thấy mối quan hệ giữa
các tô pô trên như sau
Mệnh đề 2.2.4. Cho
U
là tập con mở trong không gian lồi địa phưng
E
.
Khi đó, trên không gian các hàm chỉnh hình
 
H U
ta có mối quan hệ giữa
các tô pô sau đây
(1)
0
b
 
  
 

(2)
0
ob b

  
 


Ký hiệu
S
là tập tất cả các dãy số phức
 
1
n
n



sao cho
1/
limsup 1
n
n
n



.

18
18
Bổ đề 2.2.5. Cho
0
ˆ
(0)
!
n
n
d f
f
n




là một hàm chỉnh hình trên tập con mở
U

trong không gian lồi địa phương
E
và
 
1
n
n
 



 S
. Khi đó
 
0
ˆ
(0)
!
n
n
n
d f
g H U
n



 

.
Chứng mính. Cho
K
là một tập compact cân của
U
. Chọn
0


và
V
là

một lân cận lồi cân của
0
sao cho
K V U
 
 
và
K V
f M
 

  
.
Theo bất đẳng thức Cauchy, chúng ta có
ˆ
(0) 1
!
n
n
K V
d f
M
n



; với mỗi
n
.
Do đó, nếu

1
1
2
n
n
C



 

 
 
với mỗi
n
và số dương
1
C
nào đó thì
1
0 0
ˆ
(0) 1
! 2
n
n
n
n n
K V
d f

C M
n


 
 


 
  
 
 
 
.
Do đó
K V
g

 
và
 
g H U

.

Mệnh đề 2.2.6. Chuỗi Taylor của hàm
 
f H U
 tại
0

hội tụ trong
 
( ),
H U


. Do đó cũng hội tụ trong
   
0
( ), , ( ),
b b
H U H U

 
và
 
( ),
H U


.
Chứng minh. Với mỗi
n
, chúng ta đặt
2
ˆ
(0)
!
m
n

m n
d f
g n
m




và
{ }
: ( ) 1,
M n
W x g x n M
= £ ³
.
Gọi
o
m m
V W
=
, với
o
m
W
là phần trong của
m
W
. Theo Bổ đề 2.2.5. ta có

19
19
1
M
M
V U
¥
=
=
U
và
1
M M
V V
+
Ì
với mỗi
M
.
Cho
p
là một nửa chuẩn


liên tục trên
( )
H U
thì tồn tại số nguyên
dương
1

n
và
0C 
sao cho
 
1
n
V
p f C f

với mọi
( )
f H U
Î
.
Do đó
 
n
p g C
với mọi
1
n n
và
ˆ
(0)
0
!
m
m n
d f

p
m


 

 
 

khi
n  
. Như
vậy chuỗi Taylor của
f
tại
0
hội tụ trong
 
( ),
H U


.

Bổ đề 2.2.7. Cho
B
là một tập con bị chặn của
 
( ),
o

H U

(tương ứng, của
 
( ),
H U


) và
 
1
n
n
S
 


 
. Khi đó tập
0,
ˆ
(0)
!
n
n
n f B
d f
n



 
 
 
 
là bị chặn
trong
 
( ),
o
H U

(tương ứng, trong
 
( ),
H U


).
Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử
 
1
n
n
B f



. Nếu
K
là một tập con compact cân của

U
, thì tồn tại
1


sao cho
K U


.
Khi đó tồn tại
0M 
sao cho
sup
n
K
n
f M

  
.
Theo công thức tích phân Cauchy, với mỗi
m
và
n
ta có
ˆ
(0)
!
n

m
n
K
d f
M
n


.
Do đó
ˆ
(0)
sup sup
!
n
n
m
n
n
n n
K
d f
M
n



 
  
 

 
.
Điều đó chứng tỏ
B
là tập con bị chặn của
 
( ),
o
H U

.


20
20
Cho
p
là một nửa chuẩn


liên tục trên
 
H U
. Bằng phương pháp
như đã sử dụng trong Bổ đề 2.2.5, ta cũng chứng tỏ được rằng nửa chuẩn
1
p
được xác định bởi
 
1

0
ˆ
(0)
!
n
n
n
d f
p f p
n



 

 
 


luôn hữu hạn và


liên tục trên
 
H U
. Như vậy
B
là tập con bị chặn của
 
( ),

H U


.

Mệnh đề 2.2.8. Cho
p
là một nửa chuẩn
ob

(tương ứng
,
b
 
 
) liên tục.
Khi đó, tồn tại một nửa chuẩn
1
p
, mà nó
ob

(tương ứng
,
b
 
 
) liên tục
trên
 

H U
sao cho
(1)
1
p p

(2)
 
1 1
0
ˆ
(0)
!
n
n
d f
p f p
n


 

 
 

.
Chứng minh. Đặt
 
1
0

ˆ
(0)
!
n
n
d f
p f p
n


 

 
 

thì
 
1
p f
là hữu hạn với mọi
 
f H U

và điều kiện (2) được thỏa mãn.
Nếu
p
là một nửa chuẩn


liên tục thì chúng ta cũng thấy rằng

1
p

là


liên tục. Do đó điều còn lại là xét đến các tô pô bornological
ob

và
b


. Cho
B
là một tập con
ob

(tương ứng
b


) bị chặn của
 
H U
. Từ Bổ
đề 2.2.5, chúng ta có
2
1,2,
ˆ

(0)
sup
!
n
f B
n
d f
p n M
n


 
  
 
 
.
Do đó, chúng ta có


21
21
2
2
1 1
ˆ
(0)
sup
!
n
f B

n n
d f M
p n
n
n
 

 
 
  
 
 
 
.
Vậy
1
p
là
ob

(tương ứng
b


) liên tục. Bởi vì chuỗi Taylor hội tụ nên
chúng ta suy ra
1
p p
.

Mệnh đề 2.2.9. Tô pô


trên
 
H U
được sinh bởi tất cả các nửa chuẩn
trên
 
H U
, nó thỏa mãn các điều kiện sau
(1)
 
0
ˆ
(0)
!
n
n
d f
p f p
n


 

 
 


(2)
 
n
P E
p
là nửa chuẩn


liên tục với mỗi
n
.
Chứng minh. Cho
p
là một nửa chuẩn trên
 
H U
thỏa mãn các điều kiện
(1) và (2). Đặt
 
 
: 1
V f p f
 
thì
V
là một tập lồi cân và hút. Bây giờ
cho
,
f V f f
 

 
trong
 
( ),
H U


. Bởi vì
 
n
P E
p
là nửa chuẩn


liên
tục và do đó


liên tục, nên chúng ta có
0
ˆ
(0)
1
!
n
k
n
d f
p

n

 

 
 

với mọi số
nguyên dương
k
. Do đó
 
1
p f

và như vậy
V
là tập con đóng của
 
( ),
H U


. Do
 
( ),
H U


là không gian thùng nên

V
là lân cận của
0
.
Như vậy
p
là một nửa chuẩn


liên tục trên
 
H U
.
Ngược lại nếu
p
là một nửa chuẩn


liên tục trên
 
H U
thì
 
1
0
ˆ
(0)
!
n
n

d f
p f p
n


 

 
 




22
22
thỏa mãn các điều kiện (1) và (2). Do đó
1
p
là một nửa chuẩn


liên tục
trên
 
H U
. Bởi vì chuỗi khai triển Taylor hội tụ trong
 
( ),
H U



nên
chúng ta có
1
p p
. Mệnh đề được chứng minh.

Hệ quả 2.2.10. Tô pô


là tô pô lồi địa phương mạnh nhất trên
 
H U
.
Đối với tô pô này chuỗi Taylor hội tụ tuyệt đối và nó cảm sịnh trên mỗi
 
n
P E
tô pô


.

23
23





Chương 3.
MỘT SỐ TƯƠNG ĐƯƠNG TÔ PÔ
TRÊN KHÔNG GIAN CÁC HÀM CHỈNH HÌNH

3.1. Một số điều kiện tương đương tô pô trên
( )H U

Trong phần này chúng ta sẽ kết hợp các kết quả trong chương trước với lý
thuyết cơ sở chung để tìm ra một số mối quan hệ giữa các tô pô trên không

gian mầm các hàm chỉnh hình
( )H U
.
Định nghĩa 3.1.1.
(i). Một phép phân tích của không gian véc tơ tô pô
E
là một dãy
các không gian con khác rỗng
 
1
n
n
E


của
E
sao cho với mỗi
x E
có thể
biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng
1
i
i
x x




, trong đó

i i
x E
với mỗi
1,2, i
.
(ii). Một phép phân tích của không gian véc tơ tô pô
E
được gọi là
Schauder nếu tồn tại một dãy các phép chiếu trực giao liên tục
 
1
n
n
Q


sao
cho
( )
n n
Q E E
và
1
( )
n
n
x Q x





.
(iii). Nếu các phép chiếu
1
n
n i
i
R Q



là đồng liên tục thì phân tích
được gọi là đồng Schauder.


24
24
(iv). Một phân tích Schauder
 
1
,
n n
n
E Q


được gọi là co nếu
 
' '
1

,
n n
n
E Q


là một phân tích Schauder đối với
 
', ( ', )E E E

, ở đó
'
n
E
là
đối ngẫu tô pô của
n
E
,
'
n
Q
là liên hợp của
n
Q
và
( ', )E E

là tô pô đối
ngẫu mạnh trên

'E
.

Mệnh đề 3.1.2.
 
0
( ),
n
n
P E



là một phân tích đồng Schauder co đối với
 
( ),
H U

, trong đó
, ,
ob b
 
   

hoặc


.
Chứng minh. Bởi vì tập hợp tất cả các nửa chuẩn


-liên tục trên
 
H U

thỏa mãn điều kiện
 
 
0
0
!
n
n
d f
p f p
n


 

 
 
 


sinh ra tô pô

trên
 
H U
,

nên ta thấy ngay rằng
 
0
( ),
n
n
P E



là một phân tích đồng Schauder đối với
 
( ),
H U

.
Bây giờ, nếu
 
( ), '
T H U


thì
0
n
n
T T





với
 
( ), '


n
n
T P E
và
 
0
(0)
!
n
n
n
d f
T f T
n


 

 
 
 


. Do đó

 
0
(0)
!


 

 
 
 



n
n
n
d f
T f T
n
là một nửa chuẩn

liên tục trên
 
H U
. Bởi Bổ đề 2.2.7, ta nhận được khẳng định của định
lý với các tô pô
, ,
ob b
 

   

.
Vấn đề còn lại là đối với tô pô

 

. Từ Bổ đề 2.2.5 và Mệnh đề
2.2.9, ta thấy rằng
 
2
1
0
(0)
!


 

 
 
 



n
n
n
d f
T f n T

n



25
25
là một nửa chuẩn


liên tục trên
 
H U
. Do đó, nếu
B
là một tập con bị
chặn của
 
H U
thì ta có
1
(0)
sup ( ) 0
!
f
n
i
f B
i
d f
T f T

n


 
 
 
 
 


, khi
n  
.
Điều đó cho ta khẳng định đối với trường hợp

 

.

Mệnh đề 3.1.3. Không gian
 
( );
H U

, với
,
ob b

  


là không gian
thùng nếu và chỉ nếu các điều kiện sau được thoả mãn
1.
( ),
n
P E

 
 
là không gian thùng với mỗi
n
;
2. Nếu
 
'
( ),
n
n
T P E


với mỗi
n
và
0
ˆ
(0)
!



 
 
 
 

n
n
n
d f
T
n
hội tụ với mỗi
0
ˆ
(0)
( )
!


 

n
n
d f
f H U
n
thì
 
'
0

( ),
n
n
T H U





.
Chứng minh. Bởi vì
 
( );
H U

không gian thùng nên nó là không gian
bornological. Do đó điều còn lại là ta chứng tỏ rằng phân tích của
 
H U
là
Schauder với tô pô
   
( ), ; ( ), '
H U H U
  
 
 
. Cho
B
là một tập con

   
( ), '; ( ),
H U H U
  
 
 
bị chặn của
 
( ), '
H U

, ta phải chứng tỏ rằng
ˆ
(0)
sup 0
!
n
T B
n m
d f
T
n



 

 
 
 


khi
m  
,
với mỗi
0
ˆ
(0)
( )
!


 

n
n
d f
f H U
n
cố định cho trước. Giả sử ngược lại tồn tại
0


và một dãy tăng các số nguyên dương
 
1
j
j
n



và
j
n
T B
sao cho