Chuỗi fourier và phép biến đổi fourier (LV00345)

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, chu
đáo của TS Trần Văn Vuông. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của
mình đến TS Trần văn Vuông. Trong quá trình học tập và hoàn thành
luận văn tác giả nhận được sự quan tâm giúp đỡ rất nhiều từ khoa Toán,
phòng SĐH, trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2. Tác giả xin trân trọng
cảm ơn sự giúp đỡ quý báu đó.
Bên cạnh đó, tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn phòng GD-ĐT Gia
Bình, Trường THCS Thị Trấn huyện Gia Bình, phòng GD-ĐT thành
phố Bắc Ninh, trường THCS Nguyễn Đăng Đạo tỉnh Bắc Ninh, bạn bè
đồng nghiệp và người thân đã động viên và tạo điều kiện thuận lợi trong
suốt quá trình nghiên cứu và học tập để hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 9 năm 2010
Tác giả
2
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Vuông.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừa
những thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và
biết ơn.
Hà Nội, tháng 9 năm 2010
Tác giả
Mục lục
Mở đầu 5
Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7
1.1. Không gian L
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1. Các định lí quan trọng của lý thuyết tích phân . . 7
1.1.2. Không gian L

p
, 1 ≤ p ≤ ∞ . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3. Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2. Vài định lý về không gian Banach và không gian Hilbert 11
1.2.1. Định lý ánh xạ mở và định lý Lax - Milgram . . . 11
1.2.2. Hệ trực giao, trực chuẩn trong không gian Hilbert 13
1.2.3. Tính đầy đủ của một hệ trực giao, trực chuẩn . . 14
1.3. Một số định lý giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4. Tích phân Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Chương 2. CHUỖI FOURIER 18
2.1. Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2. Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3. Chuỗi cosin, chuỗi sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4
2.4. Sự hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5. Định lý Fejér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6. Sự hội tụ trong L
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7. Chuỗi Fourier dạng phức, đẳng thức Parseval . . . . . . 35
2.8. Chuỗi Fourier của hàm trong L
p
(−π, π) . . . . . . . . . . 37
2.9. Chuỗi Fourier kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Chương 3. PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER 46
3.1. Tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2. Phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3. Các tính chất của phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . 56
3.4. Phép biến đổi Fourier trong L
P

(R), 1 < p ≤ 2 . . . . . . 61
3.5. Hàm Cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.6. Ví dụ áp dụng phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . 67
3.7. Chuỗi Fourier rời rạc, phép biến đổi Fourier rời rạc . . . 68
3.8. Tính chất của phép biến đổi Fourier rời rạc . . . . . . . . 71
3.9. Thuật toán FFT (Fast Fourier Transform) . . . . . . . . 72
Kết luận 76
Tài liệu tham khảo 77
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Có thể nói trong số những biến đổi tích phân phổ biến nhất thì biến
đổi Fourier ra đời trước tiên. Mặc dù trước Fourier, Euler đã đưa ra khái
niệm khai triển một hàm số thành chuỗi hàm lượng giác, song lí thuyết
này chưa được hoàn chỉnh. Fourier đã viết xong công trình về biến đổi
Fourier vào năm 1807 nhưng do sự hoài nghi của các nhà toán học thời
bấy giờ nên đến năm 1815 công trình của Fourier mới được công bố. Sau
đó công trình tiếp tục được Drichlet và Riemann bổ sung và hoàn chỉnh.
Lý thuyết về chuỗi Fourier còn nhận được nhiều sự đóng góp của nhiều
nhà toán học như: Heine, Lipschitz, . . .
Ngày nay, những chuyên gia về xử lí tín hiệu số là những người hiểu
hơn ai hết vai trò quan trọng của chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier.
Có thể nói rằng hầu hết các thiết bị điện tử liên quan đến hình ảnh
và âm thanh mà chúng ta dùng hôm nay đều chứa các “con chíp” làm
nhiệm vụ chuyển đổi các hệ số Fourier thành hàm số (tín hiệu số) và đôi
khi kiêm luôn chức năng “khử nhiễu” hay “hiệu chỉnh tín hiệu” dựa trên
các phép biến đổi Fourier. Ngoài ra phép biến đổi Fourier còn có nhiều
ứng dụng quan trọng các lĩnh vực số học, xác suất, quang học, hình học
và nhiều lĩnh vực khác. Do tầm quan trọng như vậy của chuỗi Fourier
và phép biến đổi Fourier, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn nữa về chuỗi
Fourier và phép biến đổi Fourier, tôi đã chọn đề tài

6
“Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier”
để nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về khái niệm, một số tính chất và một số ứng dụng của
chuỗi Fourier và biến đổi Fourier.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu chuỗi Fourier, sự hội tụ. Chuỗi Fourier dưới dạng phức.
Nghiên cứu chuỗi Fourier kép, một số ứng dụng.
Nghiên cứu phép biến đổi Fourier và các tính chất.
Nghiên cứu một số ứng dụng của phép biến đổi Fourier.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier
5. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo.
- Phân tích, tổng hợp kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu.
6. Dự kiến đóng góp mới
Đây là bài tổng quan về chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier. Giúp
người đọc không chỉ hiểu rõ hơn về các tính chất của nó mà còn thấy
chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier có thể áp dụng cho các bài toán
dao động, phương trình truyền nhiệt của vật lý, lý thuyết thông tin, . . .
Chương 1
NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian L
p
1.1.1. Các định lí quan trọng của lý thuyết tích phân
Định lý 1.1. Cho (f
n
) là dãy tăng các hàm khả tích Lesbesgue trên tập
Ω ⊂ R

N
sao cho sup
n

f
n
∞. Khi đó, f
n
hội tụ hầu khắp nơi trên Ω về
một hàm f khả tích trên Ω và f
n
− f
1
≡

Ω
|f
n
(x) −f(x)|dx → 0 khi
n → ∞.
Định lý 1.2. Cho (f
n
) là dãy các hàm thực (phức) khả tích trên Ω. Giả
sử
a. f
n
(x) → f(x) hầu khắp nơi trên Ω,
b. tồn tại hàm g khả tích sao cho với mỗi n, |f(x)| ≤ g(x) hầu khắp nơi
trên Ω.
Khi đó f khả tích và f

n
− f
1
≡

Ω
|f
n
(x) −f(x)|dx → 0 khi n → ∞.
Hệ quả 1.1. Cho f là hàm đo được và g là hàm khả tích trên Ω. Ta có:
Nếu |f
n
(x)| ≤ g(x) hầu khắp nơi trên Ω thì f khả tích trên Ω.
Suy ra rằng: Nếu |f| khả tích thì f khả tích và ngược lại.
8
Bổ đề 1.1. Giả sử (f
n
) là một dãy các hàm khả tích sao cho
a. f
n
≥ 0 hầu khắp nơi trên Ω, ∀n.
b. sup

f
n
< ∞.
Với mỗi x ∈ Ω đặt f(x) = lim inf f
n
(x). Khi đó, f khả tích trên Ω và


f ≤ lim
n→∞
inf

f
n
.
Giả sử Ω
1
⊂ R
1
, Ω
2
⊂ R
2
là hai tập mở và F : Ω
1
×Ω
2
→ R (hoặc C)
là hàm đo được.
Định lý 1.3. Giả sử

Ω
2
|F (x, y)|dy < ∞ hầu khắp nơi với x ∈ Ω
1
và

Ω

1
dx

Ω
2
|F (x, y)|dy < ∞. Khi đó, F khả tích trên Ω
1
× Ω
2
.
Định lý 1.4. Cho F khả tích trên Ω
1
× Ω
2
. Khi đó với hầu hết x thuộc
Ω
1
F (x, .) ≡ y → F (x, y) khả tích trên Ω
2
và
x →

Ω
2
F (x, y)dy khả tích trên Ω
1
.
Kết luận tương tự khi đổi vai trò x cho y, Ω
1
cho Ω

2
.
Hơn nữa, ta có

Ω
1
dx

Ω
2
F (x, y)dy =

Ω
2
dy

Ω
1
F (x, y)dx =

Ω
1
×Ω
2
F (x, y)dxdy.
1.1.2. Không gian L
p
, 1 ≤ p ≤ ∞
Định nghĩa 1.1. Cho p ∈ R với 1 ≤ p < ∞; ta định nghĩa
L

p
(Ω) = {f : Ω → R (hoặc C); f đo được và |f|
p
khả tích),
L
∞
(Ω) = { f : Ω → R (hoặc C); f đo được và ∃C, |f(x)| ≤ C hầu
9
khắp nơi}.
Và ký hiệu
f
p
=


Ω
|f(x)|
p
dx

1/p
f
∞
= inf

C : |f(x)| ≤ C hầu khắp nơi

.
NHẬN XÉT. Nếu f ∈ L
∞

(Ω) thì
|f(x)| ≤ ||f||
∞
hầu khắp nơi với x ∈ Ω.
Định lý 1.5 (Bất đẳng thức Holder). Cho f ∈ L
p
và g ∈ L
p

với
1≤ p ≤ ∞ và p

là liên hợp của p, nghĩa là
1
p
+
1
p

= 1. Khi đó f.g ∈ L
1
và

|f.g| ≤ f
p
. g
p

Dựa vào bất đẳng thức Holder ta chứng minh được
Định lý 1.6. L

p
là một không gian vectơ và .
p
là một chuẩn với
1 ≤ p ≤ ∞.
Định lý 1.7 (Fischer-Riez).
a. L
p
là không gian Banach với 1 ≤ p ≤ ∞.
b. Giả sử (f
n
) là dãy hội tụ về f trong không gian L
p
(1 ≤ p ≤ ∞) nghĩa
là f
n
− f
p
→ 0.Thế thì dãy con (f
n
k
)
k=1,2,
sao cho
f
n
k
(x) → f(x) hầu khắp nơi
∀k, |f
n

k
(x)| ≤ h(x) hầu khắp nơi, với h là một hàm trong L
p
.
Với Ω là tập mở trong R, ta ký hiệu C
k
(Ω) là không gian các hàm số
khả vi liên tục đến cấp k và C
∞
(Ω) = ∩
∞
k=1
C
k
(Ω). Còn C
c
(Ω) là không
10
gian các hàm số f liên tục trên Ω sao cho giá (support) của f, tức là tập
hợp supp f = {x ∈ Ω; f(x) = 0} là compact chứa trong Ω.
Đặt
C
k
c
(Ω) = C
k
(Ω) ∩C
c
(Ω),
C

∞
c
(Ω) = C
∞
(Ω) ∩C
c
(Ω).
Ta có kết quả sau đây về tính trù mật
Định lý 1.8. Với 1 ≤ p < ∞ thì C
∞
c
(Ω) trù mật trong L
p
(Ω).
Định lý 1.9 (Riemann - Lesbesgue). Cho f ∈ L
1
(a, b), với (a,b) là
khoảng vô hạn hoặc hữu hạn của R, thì ta có
lim
N→∞

b
a
f(x) cos Nxdx = 0, lim
N→∞

a
b
f(x) sin Nxdx = 0 khi N → ∞.
1.1.3. Tích chập

Định nghĩa 1.2. Cho hai hàm số f và g xác định trên R
N
thì hàm số
f ∗ g xác định bởi (f ∗ g) (x) =

R
N
f(x −y)g(y)dy, với giả thiết tích
phân ở trên tồn tại, được gọi là tích chập của f và g.
Định lý 1.10. Giả sử f ∈ L
1
(R
N
) và g ∈ L
p
(R
N
) với 1 ≤ p ≤ ∞.
Khi đó, với mỗi x ∈ R
N
, hàm số y → f(x − y)g(y) khả tích trên R
N
và
f ∗g ∈ L
p
(R
N
).
Hơn nữa f ∗g ≤ f
1

g
p
.
11
1.2. Vài định lý về không gian Banach và không
gian Hilbert
1.2.1. Định lý ánh xạ mở và định lý Lax - Milgram
Định nghĩa 1.3. Cho X và Y là hai không gian định chuẩn và A là ánh
xạ tuyến tính từ X vào Y . Ta định nghĩa A = sup {Ax : x ∈ X, x ≤ 1}.
Ánh xạ A được gọi là bị chặn nếu A < ∞.
Tính chất 1.1. Với một ánh xạ tuyến tính A từ không gian định chuẩn
X vào không gian định chuẩn Y , các điều kiện sau là tương đương
a. A bị chặn.
b. A liên tục.
c. A liên tục tại một điểm nào đó.
Định lý 1.11. Cho A là một toàn ánh từ X lên Y và giả sử A tuyến
tính, bị chặn. Khi đó A(U) là mở trong Y , Với U là tập mở bất kỳ trong
X.
Định nghĩa 1.4. Không gian vectơ (thực hoặc phức) H được gọi là
không gian có tích trong nếu mỗi cặp thứ tự (x, y) trong H × H được
liên kết với một số (thực hoặc phức), cũng được ký hiệu là (x, y), sao
cho
(a) (y, x) = (x, y), dấu gạch ký hiệu cho liên hợp phức.
(b) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) với mọi x, y, z trong H.
(c) (αx, y) = α(x, y)∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R (hoặc C nếu H là không gian
vectơ phức)
(d) (x, x) ≥ 0, ∀x ∈ H.
12
(e) (x, x) = 0 nếu chỉ nếu x = 0.
Khi đó, (., .) được gọi là tích trong (tích vô hướng) hay dạng Hermite.

Tính chất 1.2. Cho H là không gian vectơ với tích trong (.,.). Thì với
mọi x, y trong H. Ta có
a. Bất đẳng thức Schwartz
|(x, y)|
2
≤ (x, x).(y, y).
b. Bất đẳng thức Minkovski
(x + y, x + y)
1/2
≤ (x, x)
1/2
+ (y, y)
1/2
.
Định nghĩa 1.5. Cho H là không gian vectơ với tích trong (.,.). Từ
tính chất trên ta có (H, .) là một không gian định chuẩn, trong đó
x = (x, x)
1/2
. Ta nói H là không gian Hilbert nếu H đầy đủ với chuẩn
..
Định lý 1.12 (Lax - Milgram). Cho H là không gian Hilbert và a:H ×
H → Φ (Φ = R hoặc C) là dạng song tuyến tính liên tục trên H, nghĩa
là cố định một biến thì a tuyến tính theo biến còn lại và
|a(u, v)| ≤ M uv, ∀u, v ∈ H.
Giả sử a cưỡng bức trên H nghĩa là có số α0 sao cho
α(u, u) ≥ αu
2
, ∀u ∈ H.
Khi đó, với mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục l : H → Φ, tồn tại duy
nhất một u

l
∈ H, phụ thuộc liên tục vào l, thỏa mãn
a(u
l
, v) = l, v∀v ∈ H.
13
1.2.2. Hệ trực giao, trực chuẩn trong không gian Hilbert
Hai vectơ x và y trong không gian Hilbert H được gọi là trực giao
nếu (x, y) = 0, và ta viết x⊥y. Ký hiệu x
⊥
là tập hợp các vectơ trong
H trực giao với x. Tương tự, cho tập A ⊂ H, A
⊥
chỉ tập hợp các vectơ
trong H vuông góc với mọi vectơ trong A.
Họ vectơ (v
α
)
α∈A
trong không gian Hilbert H, với A là tập “chỉ số” bất
kỳ, được gọi là hệ (họ) trực giao nếu họ này không chứa vectơ 0 ∈ H và
v
α
⊥v
β
, ∀α, β ∈ A và α = β.
Họ vectơ (v
α
)
α∈A

được gọi là hệ trực chuẩn nếu nó là họ trực giao và
∀α ∈ A, v
α
 = 1.
Cho một hệ trực chuẩn (v
α
)
α∈A
.Với mỗi vectơ x ∈ H, ta đặt
ˆx(α) = (x, v
α
), α ∈ A,
thì ˆx(α), ∀α ∈ A, được gọi là các hệ số Fourier của x ứng với hệ trực
chuẩn (v
α
)
α∈A
.
Cho (α
i
)
i∈I
là một họ các số thực dương, với I là tập “chỉ số” bất kỳ. Đặt
Finite(I) là họ các tập con của I có hữu hạn phần tử. Ta định nghĩa

i∈I
α
i
= sup
K∈F inite(I)


i∈K
α
i
.
Giá trị của tổng

i∈I
α
i
được định nghĩa như trên có thể vô hạn hay hữu
hạn. Ta có
Định lý 1.13.
(a) Cho (v
i
)
i=1,n
là họ n vectơ trực giao từng đôi một thì





n

i=1
v
i






2
=
n

i=1
v
i

2
.
14
(b) Cho (v
i
)
i=1,n
là họ trực chuẩn gồm n vectơ, (t
i
)
i=1,n
là n số thực (hay
phức). Ta có





n


i=1
t
i
v
i





2
=
n

i=1
|t
i
|
2
.
(c) Bất đẳng thức Bessel: Cho (v
α
)
α∈A
là một họ trực chuẩn. Với x ∈ H
bất kỳ thì

α∈A
|ˆx(α)|

2
≤ x,
trong đó ˆx(α), α ∈ A, là các hệ số Fourier của x đối với hệ trực chuẩn
đã cho.
1.2.3. Tính đầy đủ của một hệ trực giao, trực chuẩn
Định nghĩa 1.6. Một hệ trực chuẩn (v
α
)
α∈A
được gọi là đầy đủ (hay cơ
sở đầy đủ) nghĩa là với mọi x trong H ta có đẳng thức Parseval sau đây

α∈A
|ˆx(α)|
2
= x.
Hệ trực giao (v
α
)
α∈A
được gọi là đầy đủ nếu hệ trực chuẩn

v
α

−1
v
α

α∈A

là đầy đủ.
Định lý 1.14. Cho (v
α
)
α∈A
là một hệ trực chuẩn trong không gian
Hilbert H. Ta có các điều kiện sau là tương đương:
(a) (v
α
)
α∈A
là hệ đầy đủ.
(b) (v
α
)
α∈A
là hệ trực chuẩn tối đại trong H, nghĩa là không có hệ trực
chuẩn nào trong H rộng hơn chứa (v
α
)
α∈A
ngoại trừ chính nó.
(c) Không gian vectơ sinh bởi hệ (v
α
)
α∈A
, tức là không gian gồm tất cả
các tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn vectơ trong hệ (v
α
)

α∈A
, là trù
mật trong H.
15
1.3. Một số định lý giải tích
Định lý 1.15 (Stone - Weierstrass). Cho một hàm số f liên tục trên
đoạn đóng bị chặn [a, b], thì có một dãy đa thức hội tụ đều trên [a, b] về
f.
Định lý 1.16 (Weiertrass). Giả sử với mỗi n ∈ N, f
n
là một hàm (phức)
giải tích trên miền Ω
n
sao cho dãy (f
n
) hội tụ từng điểm trên miền Ω
về một hàm f và hội tụ đều trên mỗi tập compact của Ω. Khi đó f giải
tích trên Ω. Hơn nữa, f

n
hội tụ đều tới f

trên mỗi tập con compact của
Ω.
Định lý 1.17. Cho f là hàm thực đơn điệu trên [a, b] và g là hàm thực
liên tục trên [a, b]. Khi đó, tồn tại điểm x ∈ [a, b] sao cho

b
a
f(t)g(t)dt = f(a)


x
a
g(t)dt + f(b)

b
x
g(t)dt.
1.4. Tích phân Dirichlet
Định nghĩa 1.7. Cho f là hàm số (thực hay phức) xác định trên [a, b].
Giả sử P = {x
0
, x
1
, , x
n
} là một phân hoạch của [a, b], nghĩa là a =
x
0
< x
1
< ··· < x
n
= b. Đặt
V (f) = V (f; a, b) = sup
P
n

i=1
|∆f

i
|,
trong đó ∆f
i
= f(x
i
) −f(x
i−1
), sup lấy trên tất cả các phân hoạch của
[a, b]. Ta gọi V (f) là biến phân toàn phần của f trên [a, b]. Hàm f gọi
là có biến phân bị chặn trên [a, b] nếu V (f) < +∞.
16
Tính chất 1.3. Cho f là hàm số (thực hoặc phức) xác định trên [a, b].
Khi đó
(a) f có biến phân bị chặn nếu và chỉ nếu Re [f] và Im [f], tức phần thực
và phần ảo của f, có biến phân bị chặn.
(b) Nếu f có biến phân bị chặn thì f bị chặn, cụ thể,
|f(x)| ≤ |f(a)| + V (f; a, b), ∀x ∈ [a, b] .
(c) Nếu f là hàm thực có biến phân bị chặn thì tồn tại hai hàm thực p, q
đơn điệu tăng trên [a, b] sao cho f(x) = p(x) −q(x) ∀x ∈ [a, b].
Hơn nữa, nếu f liên tục thì p, q cũng liên tục.
Bổ đề 1.2 (tích phân Dirichlet). Cho f là hàm số (thực hoặc phức) xác
định trên (a, b) thỏa mãn một trong hai điều kiên Dirichlet sau đây
(i) tồn tại f(a
+
), f(b
−
) và f có biến phân bị chặn trên [a, b], (ta xem
như f xác định trên [a, b] với giá trị tại biên là f(a
+

)và f(b
−
)).
(ii) Có hữu hạn điểm thuộc đoạn [a, b] sao cho khi bỏ đi các lân cận bé
tùy ý của những điểm này thì f có biến phân bị chặn trên các phần còn
lại của đoạn [a, b]; hơn nữa f ∈ L
1
(a, b). Khi đó, ta có
Nếu 0 < a < b thì lim
µ→∞

b
a
f(x)
sin µx
x
dx = 0
Nếu 0 = a < b, ∃f(0
+
) và f có biến phân bị chặn trên một lân cận [0, δ]
của 0 (δ > 0) thì lim
µ→∞

b
0
f(x)
sin µx
x
dx =
π

2
f(0
+
).
NHẬN XÉT. Hàm f ∈ L
1
(a, b) trơn từng khúc thì f thỏa mãn điều
kiện Dirichlet. Nếu f bị chặn và đơn điệu từng khúc trên (a, b) thì f
thỏa mãn điều kiện Dirichlet (i). Nếu có hữu hạn điểm thuộc [a, b] sao
cho khi bỏ đi lân cận bé tùy ý của những điểm này thì f đơn điệu từng
17
khúc trên các đoạn còn lại, thêm vào đó f ∈ L
1
(a, b) thì f thỏa mãn
điều kiện Dirichlet (ii).
Chương 2
CHUỖI FOURIER
2.1. Chuỗi Fourier
Với hàm f ∈ L
1
[−π, π], nghĩa là f khả tích Lebesgue trên [−π, π], ta
định nghĩa chuỗi Fourier của f là chuỗi hàm lượng giác như sau
a
0
2
+
∞

n=1
(a

n
cos nx + b
n
sin nx) (2.1)
trong đó a
n
=
1
π

π
−π
f(x

)cosnx

dx

, n = 0, 1, 2,
b
n
=
1
π

π
−π
f(x

) sinnx


dx

, n = 1, 2, (2.2)
Mối liên hệ giữa (2.1) và (2.2) cũng được ký hiệu là
f(x) ∼
a
0
2
+
∞

n=1
(a
n
cos nx + b
n
sin nx).
Nếu f là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π, ta định nghĩa chuỗi Fourier của
f tương tự như trên, trong các hệ số a
n
, b
n
được tính trên một đoạn tùy
ý [a, a + 2π].
Nếu f là hàm tuần hoàn chu kỳ 2l, bằng phép đổi biến t = πx/l, ta đưa
về trường hợp tuần hoàn chu kỳ 2π.
Ta thấy rằng vì f ∈ L
1
[−π, π] nên các tích phân trong (2.2) tồn tại.

19
2.2. Sự hội tụ
Định lý 2.1. Cho f ∈ L
1
[−π, π]. Nếu f thỏa mãn điều kiện Dirichlet
trong (−π, π) thì chuỗi Fourier của f sẽ hội tụ về f(x) tại các điểm
x ∈ (−π, π) mà tại đó hàm f liên tục, hội tụ về
1
2

f(x
+
) + f(x
−
)

nếu
x là điểm gián đoạn thông thường, hội tụ về
1
2

f(−π
+
) + f(π
−
)

tại
x = ±π nếu f(−π
+

) và f(π
−
) tồn tại.
Chứng minh. Đặt S
n
(x) =
a
0
2
+
∞

n=1
(a
n
cos nx+b
n
sin nx)
Ta có
S
n
=
1
2π

π
−π
f(x

) [1 + 2(cos x


cos x + sin x

sin x)+
··· + 2(cos nx

cos nx + sin nx

sin nx)]dx

=
1
2π

π
−π
f(x

) [1 + 2 cos(x

− x) + ··· + 2 cos n(x

− x)]dx

=
1
2π

π
−π

f(x

)
sin
1
2
(2n + 1)(x

− x)
sin
1
2
(x

− x)
dx

,
do công thức 1 + 2
n

k=1
cos ku =
sin
1
2
(2n + 1)u
sin
1
2

u
.
Suy ra
S
n
=
1
2π

x
−π
f(x

)
sin
1
2
(2n + 1)(x

− x)
sin
1
2
(x

− x)
dx

+
1

2π

π
x
f(x

)
sin
1
2
(2n + 1)(x

− x)
sin
1
2
(x

− x)
dx

.
Đổi biến α =
x −x

2
và α =
x

− x

2
lần lượt trong tích phân thứ nhất và
tích phân thứ hai của đẳng thức trên, ta được
20
S
n
=
1
π

(x+π)/2
0
f(x −2α)
sin(2n + 1)α
sin α
dx
+
1
π

(π−x)/2
0
f(x + 2α)
sin(2n + 1)α
sin α
dx. (2.3)
Với x ∈ (−π, π) cố định, ta có các hàm theo biến α là f(x ± 2α) thỏa
mãn điều kiện Dirichlet trong các khoảng tương ứng (0,
π−x
2

) và (0,
π+x
2
).
Do đó, nếu f(x
+
) và f(x
−
) tồn tại, theo bổ đề 1.2, ta có
lim S
n
n→∞
(x) =
1
π

π
2
f(x
−
) +
π
2
f(x
+
)

=
1
2


f(x
−
) + f(x
+
)

.
Với x = π, do (2.3) ta có
S
n
(x) =
1
π

π
0
f(π − 2α)
sin(2n + 1)α
sin α
dα
=
1
π

π−ξ
0
f(π − 2α)
sin(2n + 1)α
sin α

dα +
1
π

π
π−ξ
f(π − 2α)
sin(2n + 1)α
sin α
dα
=
1
π

π−ξ
0
f(π − 2α)
sin(2n + 1)α
sin α
dα +
1
π

ξ
0
f(2α −π)
sin(2n + 1)x

sin x


dx

Trong đó, ta đổi biến x

= π − α ở tích phân thứ hai. Áp dụng bổ đề
1.2, ta có
lim
n→∞
S
n
(x) =
1
2

f(π
−
) + f(−π
+
)

.
Với x = −π, chứng minh tương tự.
CHÚ THÍCH. Có những hàm f liên tục trên [−π, π] mà tại những
điểm nào đó thuộc đoạn [−π, π], chuỗi fourier của f không hội tụ. Vấn
đề khôi phục hàm f trong trường hợp đó sẽ được xét ở mục 2.5.
21
2.3. Chuỗi cosin, chuỗi sin
Cho f ∈ L
1
[0, π] và thoả mãn điều kiện Dirichlet trên (0, π). Ta định

nghĩa f trên (−π, 0) bằng công thức f(x) = f (−x).
Khi đó, f ∈ L
1
[−π, π], và thoả mãn điều kiện Dirichlet trên (−π, π), vì
vậy có thể áp dụng kết quả phần trên. Ngoài ra, do f là hàm chẵn
a
0
=
1
π

π
0
f (x

) dx

, a
n
=
2
π

π
0
cos nx

f (x

) dx


, b
n
= 0, n = 1, 2,
Ta có định lý sau
Định lý 2.2. Cho f ∈ L
1
[0, π] và thoả mãn điều kiện Dirichlet trên
(0, π). Khi đó, ta có chuỗi consin
1
π

π
0
f (x

) dx

+
2
π
∞

n=1
cos nx

π
0
f (x


) cos nx

dx

(2.4)
hội tụ về
1
2

f

x
−

+ f

x
+

tại những điểm x ∈ (0, π) mà f (x
−
) và
f (x
+
) tồn tại, hội tụ về f (0
+
) tại x = 0 nếu f (0
+
) tồn tại; hội tụ về
f (π

−
) tại x = π nếu f (π
−
) tồn tại.
Định lý 2.3. Cho f ∈ L
1
[0, π] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên
(0, π). Khi đó, ta có chuỗi sin
2
π
∞

n=1
sin nx

π
0
f (x

) sin nx

dx

(2.5)
hội tụ về
1
2

f


x
−

+ f

x
+

tại những điểm x ∈ (0, π) mà f (x
−
) và
f (x
+
) tồn tại; hội tụ về 0 tại x = 0 hay x = π.
22
2.4. Sự hội tụ đều
Định lý 2.4. Cho f ∈ L
1
[−π, π]. Giả sử rằng f bị chặn, thoả mãn
điều kiện Dirichlet trên (−π, π). Giả sử f liên tục trên khoảng (u, v) ⊂
(−π, π). Khi đó, chuỗi Fourier của f hội tụ đều về f trên một đoạn bất
kỳ [a, b] ⊂ (u, v).
Chứng minh. Trước hết, ta thác triển f thành một hàm xác định trên
R, tuần hoàn chu kỳ 2π bằng công thức f (x + 2π) = f (x). Khi đó,
trong bất kỳ đoạn nào, ví dụ đoạn [−2π, 2π] , f được biểu diễn dưới
dạng f = F − G, với F và G là các hàm bị chặn, không âm, đơn điệu
tăng. Ngoài ra, F và G liên tục tại các điểm mà f liên tục.
Để chứng minh sự hội tụ đều, cho trước số ε > 0 bất kỳ, ta sẽ tìm được
số n
0

∈ N sao cho với mỗi n > n
0
, bất đẳng thức |S
n
(x) − f (x)| < ε
đúng cho ∀x ∈ [a, b].
Thật vậy, với mỗi x ∈ [a, b], ta có
S
n
(x) =
1
2π

π
−π
f (x

)
sin
1
2
(2n + 1) (x

− x)
sin
1
2
(x

− x)

dx

=
1
π

(π−x)/2
(−π−x)/2
f (x + 2α)
sin (2n + 1) α
sin α
dα
=
1
π

π/2
−π/2
f (x + 2α)
sin (2n + 1) α
sin α
dα,
trong đó, ta đã sử dụng phép đổi biến x

= x + 2α trong tích phân
thứ hai và tính tuần hoàn chu kỳ 2π của f trong tích phân thứ ba. Do
f = F − G, tách cận tích phân và đổi biến ta được
23
S
n

(x) =
1
π

π/2
−π/2
F (x + 2α)
sin (2n + 1) α
sin α
dα
−
1
π

π/2
−π/2
G (x + 2α)
sin (2n + 1) α
sin α
dα
=
1
π

π/2
0
F (x + 2α)
sin (2n + 1) α
sin α
dα

+
1
π

π/2
0
F (x −2α)
sin (2n + 1) α
sin α
dα
−
1
π

π/2
0
G (x + 2α)
sin (2n + 1) α
sin α
dα
−
1
π

π/2
0
G (x −2α)
sin (2n + 1) α
sin α
dα,

từ đây suy ra
|S
n
(x) −f(x)| = |S
n
(x) −F (x) + G(x)|
≤




1
π

π/2
0
F (x + 2α)
sin (2n + 1) α
sin α
d α −
1
2
F (x)




+





1
π

π/2
0
F (x −2α)
sin (2n + 1) α
sin α
d α −
1
2
F (x)




(2.6)
+




1
π

π/2
0
G(x + 2α)

sin (2n + 1) α
sin α
d α −
1
2
G(x)




+




1
π

π/2
0
G(x −2α)
sin (2n + 1) α
sin α
d α −
1
2
G(x)





.
Vì các hàm F, G bị chặn, hàm y →

y
0
sin α
α
dα là liên tục và
lim
y→∞

y
0
sin α
α
dα =
π
2
, do đó tồn tại hằng số C > 0 sao cho
|F (x)| ≤ C, |G(x)| ≤ C,





y
0
sin α
α

dα




≤ C
với mọi x ∈ [−2π, 2π] và mọi y ≥ 0.
Tiếp theo, ta chọn hai số c, d cố định thoả mãn u < c < a < b < d < v.
24
Do F và G liên tục đều trên [c, d] nên ta có số µ ∈ (0, π/2) sao cho
|F (x

± 2µ) −F (x

) | <
ε
8C
, |G (x

± 2µ) −G (x

)| <
ε
8C
(2.7)
đúng với mọi x

∈ [a, b].
Sau đây, ta xét số hạng đầu tiên bên vế phải của (2.6). Ta có


π/2
0
sin(2n + 1)α
sin α
dα =

π/2
0

1 + 2
n

k=1
cos2kα

dα =
π
2
do đó, ta đánh giá số hạng đầu tiên bên vế phải của (2.6) như sau





1
π

π/2
0
F (x + 2α)

sin(2n + 1)α
sin α
dα −
1
2
F (x)





=





1
π

π/2
0
[F (x + 2α) −F (x)]
sin(2n + 1)α
sin α
dα






≤




1
π

µ
0
[F (x + 2α) −F (x)]
sin(2n + 1)α
sin α
dα




+





1
π

π/2
µ

[F (x + 2α) −F (x)]
sin(2n + 1)α
sin α
dα





. (2.8)
Ta lại có hàm α → F (x + 2α) −F (x) là hàm bị chặn, dương và đơn điệu
tăng trên một đoạn tuỳ ý, và hàm α → α/ sin α cũng bị chặn, dương,
đơn điệu tăng trên

0,
π
2

. Do đó, theo định lý thứ hai về giá trị trung
bình của tích phân, tồn tại ξ ∈ [0, µ], sao cho




1
π

µ
0
[F (x + 2α) −F (x)]

sin(2n + 1)α
sin α
dα




=
1
π
[F (x + 2µ) −F (x)]
µ
sin µ
.





µ
ξ
sin(2n + 1)α
α
dα




=
1

π
[F (x + 2µ) −F (x)]
µ
sin µ
.






(2n+1)µ
(2n+1)ξ
sin α
α
dα





≤
1
π
[F (x + 2µ) −F (x)]
π/2
sin(π/2)
2C,
kết hợp với (2.7), ta có





1
π

µ
0
[(F (x + 2α) −F (x)]
sin(2n + 1)α
sin α
dα




≤
ε
8
. (2.9)
25
Cũng từ định lý giá trị trung bình thứ hai, ta có ξ

∈

µ,
π
2

sao cho






1
π

π/2
µ
[F (x + 2α) −F (x)]
sin(2n + 1)α
sin α
dα





=




1
π
[F (x + 2µ) −F (x)]

ξ


µ
sin(2n + 1)α
sin α
dα
+
1
π
[F (x + π) −F (x)]

π/2
ξ

sin(2n + 1)α
sin α
dα





≤
2C
π








ξ

µ
sin(2n + 1)α
sin α
dα





+






π/2
ξ

sin(2n + 1)α
sin α
dα







. (2.10)
Mặt khác, với 0 < p < q ≤
π
2
, áp dụng định lý giá trị trung bình thứ
hai, ta được





q
p
sin(2n + 1)α
sin α
dα




=




1
sin p

r
p

sin(2n + 1)αdα +
1
sin q

q
r
sin(2n + 1)αdα




≤
1
sin p






r
p
sin(2n + 1)αdα




+






q
r
sin (2n + 1)αdα





≤
4
(2n + 1) sin p
ở đây p ≤ r ≤ q; bất đẳng thức sau cùng là do tính toán trực tiếp tích
phân. Áp dụng điều này vào (2.10) và để ý thêm sin ξ
/
≥ sin µ, suy ra





1
π

π/2
µ
[F (x + 2α) −F (x)]
sin(2n + 1)α

sin α
dα





≤
16C
(2n + 1)π sin µ
. (2.11)
Từ (2.8) – (2.11) dẫn đến đánh giá sau cùng cho số hạng thứ nhất bên
vế phải của (2.6)





1
π

π/2
0
F (x + 2α)
sin(2n + 1)α
sin α
dα −
1
2
F (x)






<
ε
8
+
16C
(2n + 1)π sin µ
.
Ta cũng có kết quả đánh giá hoàn toàn tương tự cho các số hạng còn lại
bên vế phải của (2.6), từ đó suy ra
|S
n
(x) −f(x)| <
ε
2
+
64C
(2n + 1)π sin µ
.