Tín Hiệu và Hệ Thống - Bài 4: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier docx

1
Tín HiệuvàHệ Thống
Đỗ Tú Anh

Bộ môn Điềukhiểntựđộng, Khoa Điện
Bài 4: Chuỗi Fourier và phép biến đổi
Fourier
22
Chương 3: Chuỗi Fourier và phép
biến đổiFourier
3.1 Giớithiệu chung
3.2 Biểudiễntínhiệutuần hoàn bằng chuỗi Fourier
3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục
3.4 Phép biến đổi Fourier rờirạc
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
3
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
Tổ chức
44
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
55
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
Vài nét lịch sử
 Euler nghiên cứu các dây rung,
~ 1750
 Fourier chỉ ra rằng các tín hiệu
tuần hoàn có thểđượcbiểudiễn
thành tổng của các hàm sin có tần
số khác nhau
 Đượcsử dụng rộng rãi để hiểu
rõ về cấutrúcvàbảnchấttầnsố

củatínhiệu
 Phương pháp phân tích các
sóng của Fourier (1822) là sự
phát triển công trình củaôngvề
dòng nhiệt
6
Tại sao lý thuyết Fourier quan trọng ?
 Phép biến đổi Fourier ánh xạ mộttínhiệu miềnthờigiansang một
tín hiệu miềntầnsố
 Bảnchấttầnsố củacáctínhiệu đượcgiảithíchmộtcáchđơngiản
trên miềntầnsố
 Thiếtkế các hệ thống để lọc các thành phầntầnsố thấphoặccao
Bấtbiếnvới
tín hiệucao
tần
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
77
Chương 3: Chuỗi Fourier và phép
biến đổiFourier
3.1 Giớithiệu chung
3.2 Biểudiễn tín hiệutuần hoàn bằng chuỗi Fourier
3.2.1 Hàm riêng và giá trị riêng
3.2.2 Chuỗi Fourier cho tín hiệuliêntục
3.2.3 Xác định các hệ số chuỗi Fourier (liên tục)
3.2.4 ĐiềukiệnDirichlet
3.2.5 Chuỗi Fourier rờirạc cho tín hiệugiánđoạn
3.2.6 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rờirạc
3.2.7 So sánh chuỗi Fourier liên tụcvàrờirạc
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
88

EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
Hàm riêng
(Đi sâu vào các hệ liên tụctrước, nhưng kếtquả có thể áp dụng cho các hệ
gián đoạn)
– Các hàm riêng củahệ LTI là gì?
–Loại tín hiệu nào có thể biểudiễn thành xếpchồng củanhững hàm riêng đó?
Hệ thống
Hàm riêng
Hàm riêngGiá trị riêng
Từ tính chấtxếpchồng củahệ LTI
 Giống khái niệmgiátrị riêng/vector riêng trong đạisố ma trận
99
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
 Ví dụ 1: Hệ thống đơnvị
Hàm riêng
Bấtkỳ hàm nào cũng là một hàm riêng củahệ LTI này
Bấtkỳ hàm tuần hoàn x(t)=x(t+T) cũng là một hàm riêng củahệ LTI
này
 Ví dụ 2: Hệ thống trễ
10
 Ví dụ 3: h(t) là hàm chẵn
Hàm riêng
là một hàm riêng
(cho hệ
thống này)
Mộthệ thống LTI cụ thể có nhiềuhơnmộtloại hàm riêng
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
1111
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
Hàm riêng

Các hàm mũ phức là các
hàm riêng củabấtkỳ
hệ
LTI nào
giá trị riêng hàm riêng
đúng vớitấtcả
1212
Chương 3: Chuỗi Fourier và phép
biến đổiFourier
3.1 Giớithiệu chung
3.2 Biểudiễn tín hiệutuần hoàn bằng chuỗi Fourier
3.2.1 Hàm riêng và giá trị riêng
3.2.2 Chuỗi Fourier cho tín hiệuliêntục
3.2.3 Xác định các hệ số chuỗi Fourier (liên tục)
3.2.4 ĐiềukiệnDirichlet
3.2.5 Chuỗi Fourier rờirạc cho tín hiệugiánđoạn
3.2.6 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rờirạc
3.2.7 So sánh chuỗi Fourier liên tụcvàrờirạc
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
13
Tín hiệutuần hoàn và chuỗiFourier
() ( )xt xt T=+
vớimọit
–T nhỏ nhất đgl chu kỳ
Ví dụ:
0
() cos( )xt A t
ω
θ
=+

A thực
0
()
j
t
xt Ae
ω
=
A phức
0

2
T
π
ω
=
0
()
j
kt
k
xt Ae
ω
=
k nguyên
0
2

k
T

k
π
ω
=
Xét
0
()
j
t
k
k
xt ae
ω
∞
=−∞
=
∑
Chuỗi Fourier
–tuần hoàn vớichukỳ T
–
{
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
}
k
a
là các hệ số chuỗi Fourier
– k = 0 thành phầnmộtchiều(DC)
– k = ±1 thành phầncơ bản
– k = ±2 hài thứ hai, …
Chu kỳ cơ bản

1414
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
 Lý thuyếtvề tích chậpLTI sử dụng khái niệmlàbấtkỳ tín hiệuvào
nào cũng đượcbiểudiễn thành tổ hợptuyếntínhcủa các xung đơnvị
đượcdịch
Chuỗi Fourier
 Bây giờ ta sẽ xem làm thế nào các tín hiệu (vào) đượcbiểudiễn
thành tổ hợptuyếntínhcủa các hàm Fourier cơ sở (các hàm riêng),
chính là các hàm mũ thuần ảo
 Các tín hiệu này đgl các chuỗi Fourier liên tục
 Các cơ sở là các tín hiệusin đượcdịch, đượcbiểudiễndướidạng
các hàm sin phức
15
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
Ví dụ 1: Tín hiệu sin thực
0
() sin
x
tt
ω
=
có thể viết thành
00
1
() ( )
2
j
tjt
xt e e
j

ωω
−
=−
Do đócáchệ số củachuỗiFourier củanólà
11
11
, , 0 1
22
k
aa ak
jj
−
==−=≠±
 Đồ thị biên độ và góc pha

1616
Ví dụ 2: Tổng các hàm sin thực
 Xét chuỗi các hàm sin có tầnsố cơ bảnlàω
0
 Tín hiệu này có thể viết thành
 Đồ thị biên độ và góc pha
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
17
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
Ví dụ 3: Đáp ứng củahệ LTI
 Hệ LTI có đáp ứng xung
() (), 0
t
ht e ut
α

αα
−
=
>
vớitínhiệuvào
0
0
0
0
() ( )
() ()
jk
k
k
jk
yt aH jk e
H
j
khed
ω
ωτ
ω
ω
ττ
∞
=−∞
∞
−
−
∞

=
=
∑
∫
00 0
() ()
0
00
0
00
() .
jk jk jk
Hjk e e d e e
jk jk
ωτ α ω τ α ω τ
ατ
αα
ωα τα
α
ωαω
∞∞
∞
−−+ −+
−
===− =
++
∫∫
 Ta có
 Tín hiệura
0

2
2
() ,
j
kt
k
k
yt ce
ω
=−
=
∑
trong đó
0
()
kk
caHjk
ω
=
0
11
00
22
00
1,
11
() ()
22
,
22

() ()
44
,
22
c
jj
cc
jj
j
j
cc
jj
αα αα
αω αω
α
ααα
αω αω
−
−
=
−+
==
++
+−
==
++
18
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
Chuỗi Fourier cho tín hiệuthực
 Vớitínhiệuthực, ta luôn có

kk
aa
∗
−
=
do đócóthể viết
()()
00 00
00
11
()
j
kt jkt jkt jkt
kk kk
kk
xt a ae a e a ae ae
ωω ωω
∞∞
−−
∗
−
==
=+ + =+ +
∑∑
(Để chứng minh, tìm liên hợpphứccủa x(t), ký hiệulàx*(t),
vớichúý rằng x(t)=x*(t))
k
j
kk
aAe

θ
=
00
1
() 2 cos( )
kk
k
xt a A k t
ω
θ
∞
=
=+ +
∑
kk k
aBjC=+
000
1
() 2 ( cos sin )
kk
k
xt a B k t C k t
ω
ω
∞
=
=+ −
∑
 Mộtsố cách biểudiễn khác
19

EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
Chuỗi Fourier cho tín hiệuthực
 Ví dụ
20
Chương 3: Chuỗi Fourier và phép
biến đổiFourier
3.1 Giớithiệu chung
3.2 Biểudiễn tín hiệutuần hoàn bằng chuỗi Fourier
3.2.1 Hàm riêng và giá trị riêng
3.2.2 Chuỗi Fourier cho tín hiệuliêntục
3.2.3 Xác định các hệ số chuỗi Fourier (liên tục)
3.2.4 ĐiềukiệnDirichlet
3.2.5 Chuỗi Fourier rờirạc cho tín hiệugiánđoạn
3.2.6 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rờirạc
3.2.7 So sánh chuỗi Fourier liên tụcvàrờirạc
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
2121
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
Xác định các hệ số chuỗiFourier
1) nhân với
2) tích phân trong chu kỳ
1) nhân với
2) tích phân trong chu kỳ
Ởđây
chỉ tích phân trong bấtkỳ khoảng nào có độ dài T (mộtchukỳ)
⇓
2222
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
⇓
(Phương trình

tổng hợp)
(Phương trình
phân tích)
Cặpchuỗi Fourier liên tục
⇓
Tiếptục…
2323
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
Ví dụ 1: Tín hiệu sin thực
 Các hệ số chuỗi Fourier đượcxácđịnh như sau
0
00
0
(1 ) ( 1 )
1
(sin )
11
22
jk t
k
T
j
kt j kt
TT
ate
T
edt e dt
jT jT
ω
ωω

ω
−−−
=
=−
∫
∫∫
 Tích phân đầutiênbằng T khi k = 1, bằng 0 khi k ≠ 1
Tích phân thứ hai bằng T khi k = -1, bằng 0 khi k ≠ -1
Do đótacó
11
11
, , 0 1
22
k
aa ak
jj
−
==−=≠±
2424
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
Ví dụ 2: Sóng vuông tuần hoàn
Vớik = 0
Vớik ≠ 0
25
Mộtsố chuỗiFuriercóích
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
00
0
0
1

() , ()
jk t jk t
kk
T
k
xt Ce C xte dt
T
ωω
∞
−
=
−∞
==
∑
∫