Điểm bất động của toán tử lõm chính quy đều

3

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS GVCC Nguyễn Phụ Hy
người thầy đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn
chỉnh đề tài.
Tôi xin chân thành cảm ơn các GS, TS giảng dạy chuyên ngành Toán Giải
tích trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, các bạn học viên cao học Toán Giải tích
K13 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài.
Tôi xin chân thành cảm ơn trường THPT Mê Linh đã tạo điều kiện về thời
gian cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và bảo vệ đề tài.
Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Tác giả.







4

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là
trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi
sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích
dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc .

Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Tác giả

5

MỤC LỤC
Mở đầu
Trang
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị 8
1.1 Một số kiến thức về không gian định chuẩn thực 8
1.1.1 Các định nghĩa 8
1.1.2 Một số không gian định chuẩn thực 9
1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 18
1.2.1 Một số định nghĩa và tính chất 18
1.2.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 25
1.2.3 Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 26
1.3 Không gian
0
u

E
34
1.3.1 Định nghĩa không gian
0
u
E
34
1.3.2 Một số tính chất về không gian
0
u
E
34
1.3.3 Một số ví dụ về không gian
0
u
E
37
Chương 2: Toán tử
0
u
- lõm và toán tử lõm chính quy đều 40
2.1 Toán tử
0
u
-lõm 40
2.1.1 Các định nghĩa 40
2.1.2. Một số tính chất đơn giản về toán tử
o
u
−

lõm 41
2.1.3. Ví dụ về toán tử
o
u
−
lõm 44
2.2 – Toán tử lõm chính quy đều 46
2.2.1 Các định nghĩa 46
2.2.2 Một số tính chất đơn giản về toán tử lõm chính quy đều 47
2.2.3 Ví dụ về toán tử lõm chính quy đều 49

Chương 3: Sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm chính quy đều 51


6

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán tử lõm là lớp các toán tử quan trọng trong giải tích hàm phi tuyến.
Nhiều nhà khoa học trên thế giới đã nghiên cứu về lớp toán tử này. Mở đầu là năm
1956 nhà toán học người Nga M.A. Craxnoxenki đã nghiên cứu về lớp toán tử này.
Ông đã đưa ra các kết quả quan trọng về toán tử lõm trong không gian Banach thực
nửa sắp thứ tự. Sau đó giáo sư tiến sĩ khoa học I. A. Baxtin đã mở rộng các kết quả
đó cho lớp toán tử
0
u
- lõm (1958) và
0
u
-lõm đều trong luận án tiến sĩ khoa học của

mình (1959, 1963).
Tuy nhiên khi ứng dụng các kết quả đạt được về lớp toán tử lõm và
0
u
-lõm
đều thì điều kiện
0
u
- đo được lại trở nên phức tạp trong một số trường hợp. Hơn
nữa, có những lớp toán tử phi tuyến tuy không thoả mãn điều kiện
0
u
- đo được
nhưng lại có các tính chất phổ dụng như toán tử lõm – đó là toán tử lõm chính quy.
Ở nước ta vào những năm 1980, PGS.TS Nguyễn Phụ Hy đã nghiên cứu và đạt
được một số kết quả cho lớp toán tử lõm chính quy, trong đó không yêu cầu lớp
toán tử này có tính chất
0
u
- đo được.
Với mong muốn tìm hiểu sâu về toán tử lõm chính quy đều, cùng với sự hướng dẫn
tận tình của PGS.TS GVCC Nguyễn Phụ Hy tôi đã chọn nghiên cứu đề tài:

“Điểm bất động của toán tử lõm chính quy đều”

Luận văn chỉ tập trung nghiên cứu một số tính chất của toán tử lõm chính quy
đều và sự tồn tại điểm bất động của lớp toán tử này.

2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu một số tính chất về toán tử lõm chính quy đều và điểm bất động

của loại toán tử này.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
7

- Nghiên cứu, hệ thống hóa các tính chất đã có về điểm bất động của toán tử
o
u
−
lõm.
- Trên cơ sở những tính chất về điểm bất động của toán tử
o
u
−
lõm, nghiên
cứu một số tính chất về điểm bất động và sự tồn tại điểm bất động của lớp toán tử
lõm chính quy đều.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Toán tử lõm chính quy đều, điểm bất động của toán tử lõm chính quy đều.
- Sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm chính quy đều.

5. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc sách, nghiên cứu lý luận và tài liệu tham khảo.
- Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.

6. Dự kiến đóng góp mới
Trình bày một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về điểm bất động của
toán tử lõm chính quy đều và một số ví dụ áp dụng.

8

CHƯƠNG I :
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 – Một số kiến thức về không gian định chuẩn thực.
1.1.1 – Các định nghĩa.
Định nghĩa 1.1.1.1: Cho không gian tuyến tính thực E. Một chuẩn trên E là một
ánh xạ từ E vào
R
, kí hiệu là
•
,thỏa mãn các tiên đề sau :
i.
, 0, 0x E x x x
θ
∀ ∈ ≥ = ⇔ =
( Phần tử
θ
trong E);
ii.
, , .
x E R x x
α α α

∀ ∈ ∀ ∈ =
;
iii.
, :
x y E x y x y
∀ ∈ + ≤ +
.
Không gian tuyến tính thực E cùng 1 chuẩn trên nó được gọi là không
gian định chuẩn thực, kí hiệu
(
)
,
E
•
hay E. Số
x
được gọi là chuẩn của
x
.

Định nghĩa 1.1.1.2 : Cho không gian định chuẩn E. Dãy điểm
( )
1
n
n
x E
∞
=
⊂
gọi là hội

tụ tới
x E
∈
nếu
lim 0
n
x
x x
→∞
− =
. Kí hiệu
lim
n
x
x x
→∞
=
hay
(
)
n
x x n
→ → ∞
.

Ta có một số tính chất sau :
1) Nếu
(
)
(

)
n
x x n
→ → ∞
thì dãy chuẩn
(
)
n
x x n
→ → ∞
hay nói cách
khác hàm
•
là hàm giá trị thực liên tục theo biến
x
.
2) Nếu dãy điểm
(
)
n
x
hội tụ trong không gian định chuẩn E thì dãy
chuẩn tương ứng
(
)
n
x
bị chặn.
3) Nếu

lim ,lim
n n
x y
x x y y
→∞ →∞
= =
trong không gian E và dãy số

(
)
n
α

hội tụ
tới

α

thì
:
(
)
lim
n n
n
x y x y
→∞
+ = +
;
(

)
lim
n n
n
x x
α α
→∞
=
.

9

Định nghĩa 1.1.1.3 : Cho không gian định chuẩn E. Dãy điểm
(
)
1n n
x E
∞
=
⊂
gọi là
dãy cơ bản trong E nếu :
,
lim 0
n m
n m
x x
→∞
− =
. Hay

(
)
(
)
*
0
0
n N
ε
∀ > ∃ ∈
sao cho
(
)
0
,
m n n
∀ ≥
ta có
n m
x x
ε
− >
.

Định nghĩa 1.1.1.4 : Không gian định chuẩn E gọi là không gian Banach nếu mọi
dãy cơ bản trong E đều hội tụ về một phần tử thuộc E.

1.1.2 – Một số không gian định chuẩn.
1.1.2.1 – Không gian
0

c

Xét không gian tuyến tính :

(
)
(
)
{
0
, , 1,2,3,
n n
c x x x R n= = ∈ =
,
(
)
n
x
hội tụ về 0}.
Với 2 phép cộng và nhân thông thường, tức với
(
)
(
)
0
,
n n
x x y y c
= = ∈
và

α
∈
ℝ
thì

(
)
( )
1 1 2 2
1 2
, ,
, ,
x y x y x y
x x x
α α α
+ = + +
=

1)
0
c
là một không gian định chuẩn với chuẩn của phần tử
(
)
1
n
n
x x
∞
=

=
cho
1
max
n
n
x x
≤ ≤∞
=
. (1.1)
Thật vậy, vì
( )
1
n
n
x x
∞
=
=
hội tụ về 0 và
n
x n
∈ ∀
ℝ
nên vế phải của (1.1) tồn
tại. Ta đi kiểm tra ba tiên đề về chuẩn đối với (1.1).
i.
(
)
0

n
x x c
∀ = ∈
ta đều có :
1
max 0
n
x x
≤ ≤∞
= ≥
,
Hơn nữa
1
0 max 0 0 1,2,3,
n n
n
x x x n
≤ ≤∞
= ⇔ = ⇔ = ∀ =


(
)
0,0,0, ,0, x x
θ
⇔ = ⇔ =
(
θ
là vecto không trong không gian
0

c
).
ii.
0
,
x c R
α
∀ ∈ ∀ ∈
, ta có :

1 1
max max . .
n n
n n
x x x x
α α α α
≤ ≤∞ ≤ ≤∞
= = =

10

iii.
(
)
(
)
0
, : ,
n n
x y c x x y y

∀ ∈ = =
, ta có :

(
)
1 1 1 1
ax max max max .
n n n n
n n n n
x y M x y x y x y x y
≤ ≤∞ ≤ ≤∞ ≤ ≤∞ ≤ ≤∞
+ = + = + = + = +

Vậy công thức (1.1) xác định một chuẩn trên
0
c
.
2) Sự hội tụ trong không gian
0
c
tương ứng với sự hội tụ đều của dãy số thực.
Giả sử dãy
( )
(
)
1
s
s
x
∞

=
hội tụ tới
(
)
n
x x
=
trong không gian
0
c
. Theo định nghĩa có:
( )
lim 0
s
s
x x
→∞
− =
, nghĩa là:

( )
(
)
( )
( )
*
0 0
0 :
s
s N s s x x

ε ε
∀ > ∃ ∈ ≥ − <


( )
(
)
0
1
max
s
n n
n
x x s s
ε
≤ ≤∞
⇒ − < ∀ ≥


( )
s
n n
x x
ε
⇒ − <

0
, 1,2,
s s n∀ ≥ ∀ =

Chứng tỏ dãy
( )
(
)
s
n
x
hội tụ đều tới
n
x
khi
s
→ ∞

*
n N
∀ ∈
.
Ngược lại, giả sử có dãy
( )
(
)
( ) ( ) ( )
(
)
0 1 2
, , ,
s s s s
y c y y y∈ =
hội tụ đều tới

(
)
1 2
, ,
y y y=
. Theo sự hội tụ đều của dãy số ta có :

( )
(
)
( )
( )
*
0 0
0 :
s
n n
s N s s y y
ε ε
∀ > ∀ ∈ ∀ ≥ − <

*
n∀ ∈
ℕ


(
)
( )
( ) ( ) ( )

0
0 0 0
*
.
s
n n
s s s
n n n n n
n y y
y y y y y
ε
ε
⇒ ∀ ∈ − <
⇒ ≤ + − < +
ℕ

Do
( )
0
lim 0
s
n
n
y
→∞
=
và
0
ε
>

nhỏ tuỳ ý nên
lim 0
n
n
y
→∞
=
, nghĩa là
0
y c
∈
.
Suy ra
( )
0
1
max ,
s
n n
n
y y s s
ε
≤ ≤∞
− < ∀ ≥

( )
s
y y
ε
⇒ − <

,
0
s s
∀ ≥


(
)
s
y
⇒
hội tụ về
y
trong không gian
0
c
.
3)
0
c
là không gian Banach.
Giả sử
( )
{
}
( ) ( )
{
}
1 2
1 1

, ,
s s s
s s
x x x
∞ ∞
= =
=
là một dãy cơ bản tùy ý trong
0
c
.
11

Theo định nghĩa dãy cơ bản thì :

(
)
(
)
(
)
( ) ( )
*
0 0
0 , , :
s p
s N s p s x x
ε ε
∀ > ∃ ∈ ∀ ≥ − <
,

hay
( ) ( )
(
)
1
max
s p
n n
n
x x
ε
≤ ≤∞
− <
( ) ( )
s p
n n
x x
ε
⇒ − <

*
0
, ,
s p s n N
∀ ≥ ∀ ∈
.
(
)
1.2

Chứng tỏ rằng với mỗi n cố định, dãy
( )
{
}
s
n
x
là dãy số thực cơ bản nên có
giới hạn :

(
)
lim
s
n n
s
x x
→∞
=

(
)
1,2,3,
n =

Đặt
(
)
1 2
, ,

x x x=
. Do (1.2) không phụ thuộc vào
n
cho
p
→ ∞
trong
(1.2) ta có :

( )
s
n n
x x
ε
− <
,
*
0
,
s s n N
∀ ≥ ∀ ∈

(
)
1.3

Từ (1.3) ta có
( )
s
n n

max x x
ε
− <

*
0
,
s s n N
∀ ≥ ∀ ∈

Do dãy
( )
(
)
s
n
x
hội tụ về 0 với mỗi s cố định suy ra
1
n
n
max x
ε
≤ ≤∞
<


lim 0
n
n

x
→∞
⇒ =
.
Do đó dãy
( )
{
}
( ) ( )
{
}
1 2
1 1
, ,
s s s
s s
x x x
∞ ∞
= =
=
hội tụ tới
(
)
1 2 0
, ,
x x x c
= ∈
.
Vậy
0

c
là không gian Banach.

1.1.2.2 – Không gian
[
]
,
M a b
.
Xét không gian các hàm số xác định và bị chặn trên
[
]
,
a b
:
[
]
.
M a b
=
{
(
)
(
)
:
x x t x t
=
xác định và bị chặn trên
[

]
,
a b
} với 2 phép toán thông
thường.

(
)
(
)
(
)
(
)
x y t x t y t
+ = +
,
[
]
,
t a b
∈


(
)
(
)
(
)

x t x t
α α
=
,
[
]
, ,
R t a b
α
∈ ∈

Với
(
)
(
)
[
]
, , ,
x x t y y t M a b R
α
= = ∈ ∈
.
12

1)
[
]
,
M a b

là không gian đinh chuẩn với chuẩn của phần tử
(
)
x x t
=
cho bởi :

(
)
sup
a t b
x x t
≤ ≤
=
. (1.4)
Vì
(
)
x t
bị chặn trên
[
]
,
a b
nên tồn tại
(
)
sup
a t b
x t

≤ ≤
. Do đó vế phải của (1.4) xác định.
Ta đi kiểm tra ba tiên đề về chuẩn đối với (1.4).
i.
(
)
[
]
,
x x t M a b
∀ = ∈
, ta có :

(
)
sup
a t b
x x t
≤ ≤
=
mà
(
)
(
)
(
)
0 sup 0 0
a t b
x t x t x t

≤ ≤
≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥
.
Hơn nữa
(
)
(
)
[
]
0 sup 0 0 ,
a t b
x x t x t t a b
≤ ≤
= ⇔ = ⇔ = ∀ ∈


0
x
⇒ =
.
ii.
(
)
[
]
, ,
x x t M a b R
α
∀ = ∈ ∀ ∈

ta có :

(
)
(
)
sup .sup
a t b a t b
x x t x t x
α α α α
≤ ≤ ≤ ≤
= = =
.
iii.
(
)
(
)
[
]
, ,
x x t y y t M a b
∀ = = ∈
, ta có :

(
)
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
sup sup sup sup
a t b a t b a t b a t b
x y y x t x t y t x t y t x y
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
+ = + = + ≤ + = +
.
Vậy
[
]
,
M a b
là không gian định chuẩn.

2) Sự hội tụ trong không gian
[
]
,
M a b
tương ứng với sự hội tụ đều của dãy
hàm bị chặn trên
[
]
,

a b
.
Thật vậy, giả sử dãy hàm
( )
{
}
[ ]
1
,
n
n
x t M a b
∞
=
⊂
hội tụ tới
(
)
x t
trong không
gian
[
]
,
M a b
.
Ta có :
lim 0
n
n

x x
→∞
− =
hay
(
)
(
)
(
)
*
0 0
0 :
n
n N n n x x
ε ε
∀ > ∃ ∈ ∀ ≥ − <


(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
0 0

sup , , , ,
n n
a t b
x t x t n n x t x t n n t a b
ε ε
≤ ≤
⇒ − < ∀ ≥ ⇒ − < ∀ ≥ ∀ ∈


(
)
n
x t
⇒
hội tụ đều đến
(
)
x t
trên
[
]
,
a b
.
13

Ngược lại, giả sử dãy hàm
{
}
[

]
1
,
n
n
x M a b
∞
=
⊂
hội tụ đều về x.
Theo định nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm:

(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
*
0 0
0 ,
n N n n t a b
ε
∀ > ∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ∈
:
(

)
(
)
.
n
x t x t
ε
− <


[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0
, , .
n n
t a b x t x t x t x t
ε
⇒ ∀ ∈ ≤ − < +

Do hàm
(
)

0
n
x t
xác định và bị chặn trên
[
]
,
a b
nên hàm
(
)
x t
xác định và bị chặn
trên
[
]
,
a b
, nghĩa là
(
)
[
]
,
x t M a b
∈
. Suy ra:

(
)

(
)
(
)
[
]
(
)
*
0
0 ,
n N n n t a b
ε
∀ > ∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ∈

thì
(
)
(
)
n
x t x t
ε
− <
(
)
(
)
sup
n

a t b
x t x t
ε
≤ ≤
⇒ − <

hay
0
, .
n
x x n n
ε
− < ∀ ≥

Vậy
( )
(
)
n
x t
hội tụ về
(
)
x t
trong không gian
[
]
,
M a b
.

3) Không gian
[
]
,
M a b
là không gian Banach với chuẩn xác định bởi (1.4).
Thật vậy:
Giả sử
(
)
(
)
n
x t
là một dãy hàm cơ bản thì
(
)
(
)
(
)
*
0 0
0 ,
n N m n n
ε
∀ > ∃ ∈ ∀ ≥
có :

(

)
(
)
(
)
(
)
sup
m m n
n
a t b
x t x t x t x t
ε
≤ ≤
− ⇒ − <


(
)
(
)
[
]
0
, , , ,
m n
x t x t m n n t a b
ε
⇒ − < ∀ ≥ ∀ ∈
. (1.5)

Hệ thức (1.5) chứng tỏ với mỗi
[
]
,
t a b
∈
cố định, dãy
(
)
m
x t
là một dãy cơ
bản nên tồn tại giới hạn
(
)
(
)
[
]
lim , ,
m
m
x t x t t a b
→∞
= ∈

– Có hàm
(
)
x t

xác định trên
[
]
,
a b
.
– Trong (1.5), do không phụ thuộc vào n nên cho
n
→ ∞
, được :

(
)
(
)
[
]
0
, , ,
m
x t x t m n t a b
ε
− < ∀ ≥ ∀ ∈


(
)
(
)
[

]
0
, , ,
m
x t x t m n t a b
ε
⇒ < + ∀ ≥ ∀ ∈

14


(
)
(
)
( )
0
0
sup sup ,
sup ,
m
a t b a t b
m
a t b
x t x t m n
x x t m n
ε
ε
≤ ≤ ≤ ≤
≤ ≤

⇒ < + ∀ >
⇒ < + ∀ ≥

Do
(
)
m
x t
bị chặn nên
(
)
x t
bị chặn, hay
(
)
[
]
,
x t M a b
∈
.
Mà theo (1.5) :
(
)
(
)
[
]
0
, , , ,

m n
x t x t m n n t a b
ε
− < ∀ ≥ ∀ ∈
, không phụ thuộc
t nên cho
n
→ ∞
, ta được
(
)
(
)
[
]
, ,
n
x t x t t a b
ε
− < ∀ ∈ ⇒
Dãy
( )
{
}
1
n
n
x t
∞
=

hội tụ đều về
(
)
x t
trên
[
]
,
a b
. Mà sự hội tụ đều trong
[
]
,
M a b
tương đương với sự hội tụ nên
(
)
(
)
m
x t
hội tụ về
(
)
x t
khi
m
→ ∞
.
Vậy

[
]
,
M a b
là không gian Banach.

1.1.2.3 – Không gian
[
]
,
m
D a b

Xét không gian các hàm số giá trị thực, xác định và có đạo hàm liên tục
đến cấp m trên
[
]
*
, ,a b m∈
ℕ

[
]
,
m
D a b
=
{
(
)

x x t
=
xác định và khả vi liên tục đến cấp m trên
[
]
,
a b
} với hai phép
xác định như trong
[
]
,
M a b
.
1. Không gian
[
]
,
m
D a b
là không gian định chuẩn với chuẩn của phần tử
(
)
x x t
=
xác định bởi :
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
{

}
' '' '''
max , , , ,
m
a t b
x x t x t x t x t x t
≤ ≤
=
. (1.6)
Do hàm
(
)
x t
xác định và khả vi liên tục đến cấp m trên đoạn
[
]
,
a b
nên
các hàm số
(
)
(
)
(
)
(
)
, ' , ,
m

x t x t x t
liên tục trên
[
]
,
a b
, do đó mỗi hàm có giá trị lớn
nhất trên
[
]
,
a b
. Vậy vế phải của (1.6) tồn tại. Ta chứng minh các tiên đề về
chuẩn :
i.
(
)
[
]
,
m
x x t D a b
∀ = ∈
Ta có :
15


( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )

{
}
' '' '''
ax , , , , 0
m
a t b
x m x t x t x t x t x t
≤ ≤
= ≥

mà
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
{
}
' '' '''
0 max , , , , 0
m
a t b
x x x t x t x t x t x t
≤ ≤
= ⇔ = =


(
)
(
)
( )

(
)
[
]
( )
[ ]
' 0, ,
0, ,
.
m
x t x t x t t a b
x t t a b
x
θ
⇒ = = = = ∀ ∈
⇒ = ∀ ∈
⇒ =

ii.
(
)
[
]
, ,
m
x x t D a b R
α
∀ = ∈ ∀ ∈
ta có:

( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
{
}
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
{ }
' '' '''
' '' '''
max , , , ,
.max , , , ,
. .
m
a t b
m
a t b
x x t x t x t x t x t
x t x t x t x t x t
x
α α α α α α
α
α
≤ ≤
≤ ≤
=
=
=

iii.
[
]
, ,
m
x y D a b
∀ ∈
có :

( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
{
}
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
{ }
( )
( )
( )
{ }
( )
( )
( )
{ }

' '
max , , ,
max , ,
max , , ax , ,
m m
a t b
m m
a t b
m m
a t b a t b
x y x t y t x t y t x t y t
x t y t x t y t
x t x t M y t y t
x y
≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤ ≤ ≤
+ = + + +
≤ + +
= +
= +

Vậy công thức (1.6) xác định một chuẩn trên
[
]
,
m
D a b
.

2. Sự hội tụ trong
[
]
,
m
D a b
đối với chuẩn (1.6) tương đương với sự hội tụ
đều của dãy hàm khả vi liên tục cấp m trên
[
]
,
a b
cùng với dãy đạo hàm của nó.
Thật vậy, giả sử dãy hàm
{ }
1
n
n
x
∞
=
hội tụ đến hàm
(
)
x x t
=
trong không
gian
[
]

,
m
D a b
. Ta có:

lim 0
n
n
x x
→∞
− =

16


(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
{ }
( )
( )
( )

( )
[ ]
*
0 0
' '
0 :
max , , ,
, , , 1,2, , ,
n
m m
n n n
a t b
k k
n
n N n n x x
x t x t x t x t x t x t
x t x t t a b k m
ε ε
ε
ε
≤ ≤
⇒ ∀ > ∃ ∈ ∀ ≥ − <
⇒ − − − <
⇒ − < ∀ ∈ ∀ =




trong đó
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0
,
n n
x t x t x t x t
= =
.
Vậy dãy
(
)
{
}
n
x t
hội tụ đều đến
(
)
x t
trên đoạn
[

]
,
a b
cùng với dãy đạo
hàm
(
)
(
)
k
n
x t
hội tụ đều đến đạo hàm
(
)
(
)
k
x t
trên đoạn
[
]
(
)
, , 1,2, ,
a b k m
=
.
Ngược lại, giả sử dãy hàm
(

)
{
}
[
]
,
n m
x t D a b
⊂
hội tụ đều đến hàm
(
)
x t
cùng
với dãy đạo hàm
(
)
(
)
k
n
x t
hội tụ đều đến đạo hàm
(
)
(
)
k
x t
trên đoạn

[
]
, ,
a b

(
)
1,2, ,
k m
=
.
Hiển nhiên,
(
)
[
]
,
m
x t D a b
∈
. Theo định nghĩa hội tụ đều ta có

(
)
(
)
(
)
[
]

(
)
( ) ( )
*
0 0
0 , :
,
n
n N n n t a b
x t x t
ε
ε
∀ > ∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ∈
− <




(
)
(
)
' '
,
n
x t x t
ε
− <

…

( )
( )
( )
( )
,
m m
n
x t x t
ε
− <


( ) ( )
( )
( )
( )
( )
{
}
[ ]
0
max , ,
, , ,
m m
n
n
a t b
n
x t x t x t x t

x x t a b n n
ε
ε
≤ ≤
⇒ − − <
⇒ − < ∀ ∈ ∀ ≥


(
)
{
}
n
x t
⇒
hội tụ tới
(
)
x t
trong
[
]
,
m
D a b
.

iv. Không gian
[
]

,
m
D a b
là không gian Banach với chuẩn (1.6)
Giả sử
(
)
(
)
(
)
n n
x x t
=
là một dãy cơ bản tùy ý trong không gian
[
]
,
m
D a b
.

Ta có :
(
)
(
)
(
)
*

0 0
0 ,
n n p n
ε
∀ > ∃ ∈ ∀ ≥ℕ
thì
n p
x x
ε
− <

17

hay
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
{
}
max , ,
m m
n p n p
a t b
x t x t x t x t
ε
≤ ≤
− − <
,

(
)
(
)
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
[ ]
0
,
' ' ,

, , , ,
n p
n p
m m
n p
x t x t
x t x t
x t x t n p n t a b
ε
ε
ε
⇒ − <
− <
− < ∀ ≥ ∀ ∈

(1.7)
Với mỗi t cố định tuỳ ý thuộc
[
]
,
a b
dãy
( )
(
)
1
n
n
x t
∞
=
là dãy số thực cơ bản, nên
tồn tại
(
)
(
)
lim
n
n
x t x t
→∞
=

. Ta nhận được hàm số
(
)
x t
xác định trên đoạn
[
]
,
a b
. Do
bất đẳng thức đầu tiên trong (1.7) không phụ thuộc t, cho
p
→ ∞
ta được:

(
)
(
)
0
,
n p
x t x t n n
ε
− ≤ ∀ ≥

,
nghĩa là dãy
( )
(

)
1
n
n
x t
∞
=
hội tụ đều tới hàm
(
)
x t
trên
[
]
,
a b
, nên
(
)
x t
xác định và
liên tục trên
[
]
,
a b
.
Lập luận hoàn toàn tương tự, dãy đạo hàm cấp một
(
)

(
)
'
n
x t
h
ộ
i t
ụ

đề
u
đế
n hàm
(
)
t
ϕ
trên
[
]
,
a b
. Theo m
ộ
t
đị
nh lí trong gi
ả
i tích c

ổ

đ
i
ể
n thì hàm s
ố

(
)
x t
có
đạ
o
hàm liên t
ụ
c trên
đ
o
ạ
n
[
]
,
a b
và
(
)
(
)

[
]
' , ,
x t t t a b
ϕ
= ∀ ∈ . Do
đ
ó:

(
)
(
)
[
]
0
' ' , ,
n
x t x t n n t a b
ε
− ≤ ∀ ≥ ∀ ∈
.
Gi
ả
s
ử
dãy
đạ
o hàm
(

)
(
)
k
n
x t
h
ộ
i t
ụ

đề
u
đế
n
đạ
o hàm
(
)
(
)
k
x t
trên
đ
o
ạ
n
[
]

,
a b
v
ớ
i
1
k m
≤ −
. Khi
đ
ó
( )
( )
( )
( )
[
]
1
', ,
k k
n n
x t x t t a b
+
 
= ∀ ∈
 

.
18

Lặp lại lí luận đã áp dụng cho đạo hàm cấp 1, ta nhận được dãy đạo hàm
(
)
(
)
1k
n
x t
+

hội tụ đều tới hàm
(
)
(
)
1k
x t
+
trên đoạn
[
]
,
a b
.
Ta đã chứng minh được dãy cơ bản tuỳ ý
( )
(
)
[ ]
1

,
n m
n
x t D a b
∞
=
⊂
hội tụ đều đến
hàm
(
)
x t
trên
[
]
,
a b
cùng với dãy đạo hàm
( )
( )
(
)
1
, 1,2, ,
k
n
n
x t k m
∞
=

=
trên
[
]
,
a b
.
Từ đó dãy
( )
[
]
1
,
n m
n
x D a b
∞
=
⊂
h
ộ
i t
ụ
t
ớ
i x trong không gian
[
]
,
m

D a b
.
V
ậ
y
[
]
,
m
D a b
là không gian Banach.

1.2 – Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự
1.2.1 – Một số định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1.2.1.1
: Cho không gian Banach th
ự
c
E
, t
ậ
p
, .
K E K
⊂ ≠ ∅
T
ậ
p
K

đượ
c g
ọ
i là nón trong không gian
E
n
ế
u
K
th
ỏ
a mãn các tính ch
ấ
t sau :
N
1
)
K
là t
ậ
p
đ
óng trong không gian
E
;
N
2
) , :
x y K x y K

∀ ∈ + ∈
;
N
3
)
, : 0
x K t R t
∀ ∈ ∀ ∈ ≥
thì
tx K
∈
;
N
4
)
, 0:
x K x x K
∀ ∈ ≠ − ∉
.

Nhận xét
: N
ế
u
K
là nón trong không gian
đị
nh chu
ẩ
n

E
thì
K
là m
ộ
t t
ậ
p l
ồ
i.
Gi
ả
s
ử

E
là không gian Banach th
ự
c,
K
là nón trong
E
. Khi
đ
ó v
ớ
i hai
ph
ầ
n t

ử

,
x y E
∈
vi
ế
t
x y
≤
n
ế
u
y x K
− ∈
. Quan h
ệ
“
≤
” này là m
ộ
t quan h
ệ
th
ứ
t
ự
trên
E
và ta g

ọ
i là quan h
ệ
s
ắ
p th
ứ
t
ự
theo nón
K
.
Th
ậ
t v
ậ
y,
•
:
x E x x K
θ
∀ ∈ − = ∈
nên
x x
≤

•
,
x y E
∀ ∈

mà
x y
≤
và
y x
≤
ta ch
ứ
ng minh
x y
=
:
19

Do
(
)
x y y x K y x K
≤ ⇒ − ∈ ⇒ − − ∉

Do
y x x y K
≤ ⇒ − ∈


(
)
x y y x K
⇒ − = − − ∈
. Mâu thuẫn.

Vậy
x y
=
.
• Giả sử
, ,
x y z E
∈
mà
;
x y y z
≤ ≤
. Ta chứng minh
x z
≤
.
Có
(
)
(
)
;
y x K z y K z y y x K z x K
− ∈ − ∈ ⇒ − + − ∈ ⇒ − ∈
x z
⇒ ≤
.

Định nghĩa 1.2.1.2 : Nón K trong không gian định chuẩn E được gọi là nón chuẩn
nếu tồn tại số dương

N
sao cho
, ;
x y K x y
∀ ∈ ≤
ta đều có
.
x N y
≤
.
Định nghĩa 1.2.1.3 : Cho K là một nón trong không gian định chuẩn E. Kí hiệu
{
}
*
\
K K
θ
=
và với mỗi
*
x K
∈
gọi là một phần tử dương.
Ta viết
x y
<
nếu
*
y x K
− ∈

Với
,
x y K
∈
, nói
,
x y
thông ước với nhau nếu
,
α β
∃
dương sao cho :

y x y
α β
≤ ≤

Giả sử
*
0
u K
∈
. Tập hợp tất cả các phần tử
x K
∈
thông ước với
0
u
được kí

hiệu là
(
)
0
K u
.
Nhận xét : Cho
,
x y K
∈
. Nếu
x
thông ước với
y
thì
y
thông ước với
x.

Bởi vì nếu
x
thông ước với
y
thì
, 0
α β
∃ >
sao cho :

1 1

y x y x y x
α β
β α
≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇒
y
thông ước với
x
.
Định lý 1.2.1.1 : Cho
,F E F
⊂ ≠ ∅

là tập lồi, đóng, bị chặn và không chứa phần tử
không. Đặt
(
)
{
}
: , 0,
K F x E x tz t z F
= ∈ = ≥ ∈
. Khi đó
(
)
K F
là một nón trong không
gian Banach
E
.
Chứng minh :

Có
(
)
(
)
F K F K F
⊂ ⇒ ≠ ∅
. Ta chứng minh
(
)
K F
thỏa mãn bốn tiên về đề
nón :
20

i. Chứng minh
( )
K F
là tập đóng.
Ta chứng minh :
,
m z M z F
≤ ≤ ∀ ∈

. (1.8)
Ta có
F
bị chặn nên tồn tại số
0
M

>
sao cho
,
z M z F
≤ ∀ ∈

.
- Nếu
inf 0
z F
z
∈
= ⇒ ∃
dãy
{ }
1
n
n
z
∞
=
để
lim 0
n
n
z
→∞
=
hay
lim

n
n
z
θ
→∞
=
trong E.
Khi ấy
F
θ
∈
(do F đóng), trái giả thiết F không chứa
θ
.
Do đó
inf 0
z F
z
∈
≠
, giả sử
inf 0
z F
z m
∈
= >


inf ,
z F

z z z m z F
∈
⇒ ≥ ⇒ ≥ ∀ ∈

.
 Bây giờ ta đi chứng minh
(
)
K F
là tập đóng.
Lấy một dãy bất kì
{ } ( )
1
n
n
u K F
∞
=
⊂
sao cho
lim
n
n
u u
→∞
=
trong
E
. Nếu
u

θ
=

thì
(
)
u K F
∈
. Giả sử
u
θ
≠
, theo định nghĩa giới hạn, với
( )
*
0
1
0
2
e u n
 
= > ∃ ∈
 
 
ℕ
sao
cho
0
n n
∀ ≥

có :
1
2
n
u u u
− <
.
Khi đó
1
2
n n
u u u u u
− ≤ − <
.
Do vậy
0
1 3
,
2 2
n
u u u n n
< < ∀ ≥
. (1.9)
Mặt khác do
(
)
n
u K F
∈
nên

(
)
, 0, 1,2,3,
n n n n n
u t z t z F n= ≥ ∈ =

Theo (1.9) ta có :

1 3 1 3
.
2 2 2 2
n n n n n
n n
u t z t z u u t u
z z
< = < ⇒ < <
.
Từ (1.8) ta có :
,
n n
m z M z F
≤ ≤ ∀ ∈
0
1 3
,
2 2
n
u t u n n
M m
⇒ < < ∀ ≥

.
Do vậy tồn tại dãy con
{
}
{ }
1
1
i
n n
n
i
t t
∞
∞
=
=
⊂
sao cho
0
lim
i
n
i
t t
→∞
=
.
Ta có :
0 0
1 3

, 0
2 2
u t u t
M m
≤ ≤ ∀ >
.
Ta xét dãy con
{
}
1
i
n
i
z
∞
=
thì :
21


0 0 0 0
1 1
i i i i
i i
n n n n
n n
t z t z
z u z u
t t t t
   

− = − + −
   
   
0
0 0
1 1
.
i i i
n n n
t t z u u
t t
≤ − + −


0
0 0
1
0
i i
i
n n
M
t t u u
t t
→∞
≤ − + − →

Do vậy
0
1

lim 0
i
n
i
z u
t
→∞
− = ⇒
0
1
u F
t
∈
và
( )
0
0
1
u t u K F
t
 
= ∈
 
 
.
Vậy
(
)
K F
là tập đóng.

ii.
(
)
,
x y K F
∀ ∈
, ta chứng minh
(
)
x y K F
+ ∈

Thật vậy
(
)
,
x y K F
∀ ∈
thì:

1 1 1 1
2 2 2 2
, 0,
, 0,
x t z t z F
y t z t z F
= ≥ ∈
= ≥ ∈

1 1 2 2
x y t z t z
⇒ + = +
.
Nếu
1
0
t
=
hoặc
2
0
t
=
thì rõ ràng
x y F
+ ∈
(Vì khi ấy
x y x F
+ = ∈
hoặc
x y y F
+ = ∈
)
Nếu
1 2 1 2
, 0 0
t t t t
> ⇒ + >
có :

( )
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
t t
x y t t z z
t t t t
 
+ = + +
 
+ +
 

Do
F
là tập lồi nên
1 2
1 2
1 2 1 2
t t
z z F
t t t t
+ ∈
+ +
,
mà
1 2
0
t t

+ >
nên
(
)
x y K F
+ ∈
.
iii.
(
)
; , 0
x K F R
α α
∀ ∈ ∀ ∈ ≥
, chứng minh
(
)
x K F
α
∈
.
Có
(
)
, 0,
x K F x tz t z F
∀ ∈ ⇒ = ≥ ∈


x tz

α α
⇒
=
. Do
0;
z F
α
≥ ∈
nên
(
)
z F t x K F
α α
∈ ⇒ ∈


(
)
x K F
α
⇒ ∈
.
iv.
(
)
;x K F x
θ
∀ ∈ ≠
ta chứng minh
(

)
x K F
− ∉
bằng phản chứng.
Giả sử
(
)
0
u K F
∃ ∈
sao cho
0
u
θ
≠
và
(
)
0
u K F
− ∈
.
22


(
)
(
)
0 0

u u K F
θ
⇒ = + − ∈

và
0 1 1 1 1 0 1 1 2 2 2 2
; 0; ; ; 0;
u t z t z F u t z t z t z F
= ≥ ∈ − = − = ≥ ∈
,
Mặt khác :
Nếu
1 2
0
t t
+ >
:

(
)
0 0 1 1 2 2
u u t z t z
θ
= + − = +


( ) ( )
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2

t t t t
t t z z K F do z z F
t t t t t t t t
 
= + + ∈ + ∈
 
+ + + +
 

Vì
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
0
t t
t t z z
t t t t
θ
+ > ⇒ + =
+ +
.

F
θ
⇒ ∈
. Trái giả thiết F không chứa
θ
.
Nếu
1 2

0
t t
+ =
thì
1 2 0
0
t t u
θ
= =
⇒
=
, không đúng giả thiết.
Vậy
(
)
0
u K F
− ∉
.
Do đó
(
)
K F
là nón trong không gian định chuẩn E.
□


Định lý 1.2.1.2 : Nếu
K E
⊂

là một nón chuẩn trong không gian định chuẩn
E
,
*
0
u K
∈
thì
(
)
{
}
0
0
u
K K u
θ
= ∪
là 1 nón trong không gian E.
Chứng minh :
Ta có :
0
u
K
≠ ∅
vì
0
u
K
θ

∈
. Ta chứng minh
0
u
K
thỏa mãn các tiên đề về
nón.
i.
0
u
K
là tập đóng.
Giả sử
( ) ( )
0
1
;
n n
n
x K u x x
θ
∞
=
⊂ → ≠
trong E khi
n
→ ∞
.
Với số dương tùy ý
r x q

≤ =
tồn tại số tự nhiên
0
n
sao cho
0
n n
∀ ≥
thì :

n n
x x x x r
− ≤ − <
n
q r x q r
⇒ − < ≤ +

Mặt khác :
(
)
0n
x K u
∈ ⇒ ∃
các số dương
,
n n
c d
sao cho :

0 0

n n n
c u x d u
≤ ≤

(
)
1,2,
n =
(1.10)
Mà K là nón chuẩn nên
(
)
, 1,2,
n
x K n∀ ∈ =
*
0
,
u K K
∈ ⊂
, ta có
N
∃
sao cho :
23


0
0
0

0
. ,
. . .
.
,
.
.
n
n
n n
n
n
n
n
N
u x
c
x N d u
N x
c
u
x
d
N u

≤



≤



≤


⇒


≥




( )
0
.
,
.
.
n
n
n
n
N x
c
h
h u
x
d
N h


≤


⇒ =


≥




( )
( )
0
0
sup ,
1
inf .
n
n n
n
n n
N
c q r
h
d q r
Nh
≥
≥


≤ +


⇒


≥ −



Do đó tồn tại :
 Dãy con đơn điệu tăng
{
}
1
k
n
k
c
∞
=
hội tụ tới phần tử c.
 Dãy con đơn điệu tăng
{
}
1
k
n
k

d
∞
=
hội tụ tới phần tử d.
Từ (1.10)
0 0
k k k
n n n
c u x d u
⇒ ≤ ≤

Cho
k
→ ∞
ta được
0 0
cu x du
≤ ≤
(do K đóng), hay
(
)
0
x K u
∈
.
ii.
0
,
u
x y K

∀ ∈
. Ta chứng minh
0
u
x y K
+ ∈



 Nếu
x y
θ
= =
hoặc
x
θ
=
hoặc
y
θ
=
, ta có ngay
0
u
x y K
+ ∈
.


 Nếu

,x y
θ θ
≠ ≠
và
0 0
,
u u
x K y K
∈ ∈


, 0
c d
⇒ ∃ >
sao cho
0 0
cu x du
≤ ≤
Và
' '
, 0
c d
∃ >
sao cho
' '
0 0
cu y d u
≤ ≤

(
)
(
)
(
)
0
' '
0 0 0
u
c c u x y d d u x y K u x y K
⇒ + ≤ + ≤ + ⇒ + ∈ ⇒ + ∈
.
iii.
0
, 0
u
x K t
∀ ∈ ∀ ≥
. Ta chứng minh
0
u
tx K
∈
.


 Nếu
0
0

u
t tx K
=
⇒
∈

24



 Nếu
0
t
>

a) Với
0
u
x tx K
θ θ
= ⇒ = ∈
.
b) Với
x
θ
≠
và
(
)
0

x K u
∈
thì tồn tại
, 0
c d
>

sao cho
0
0 0
u
ctu tx dtu tx K
≤ ≤ ⇒ ∈
.
iv. Với
0
,
u
x K x
θ
∈ ≠
. Ta chứng minh
0
u
x K
− ∈
.
Do
0
u

x K
∈
và
x
θ
≠
thì
(
)
0
x K u
∈
. Ta có :

0
u
K K
⊂
, K là nón nên
x K
− ∉
suy ra
0
u
x K
− ∉
.
Vậy
0
u

K
là một nón.
□


Định lý 1.2.1.3 : Cho
K
là một nón trong không gian định chuẩn
*
0
,
E u K
∈
. Khi đó
( )
0
K u
(bao đóng của
(
)
0
K u
) cũng là một nón trong không gian
E
.
Chứng minh :
Ta chứng minh
( )
0
K u

thỏa mãn các tiên đề về nón:
i. Chứng minh
( )
0
K u
≠ ∅

- Ta chọn dãy số dương
{ }
1
; 0
n n
n
t t
∞
=
→
khi
n
→ ∞
và
(
)
0
x K u
∈
.
Ta có
{ } ( )
0

1
,
n n
n
t x K u t x
θ
∞
=
⊂ →
khi
n
→ ∞
nên
( )
0
K u
θ
∈
. Có ngay
( )
0
K u
là
tập đóng.
ii.
( )
0
,
x y K u
∀ ∈

ta chứng minh
( )
0
x y K u
+ ∈

- Trường hợp 1:
(
)
0
,
x y K u
∈


, , , 0
c d c d
′ ′
⇒
∃ >
sao cho
0 0
0 0
cu x du
c u x d u
≤ ≤


′ ′
≤ ≤


(
)
(
)
0 0
c c u x y d d u
′ ′
⇒
+ ≤ + ≤ +


( ) ( )
0 0
x y K u x y K u
⇒ + ∈ ⇒ + ∈

- Trường hợp 2 : Tồn tại các dãy
{ } ( ) { } ( )
0 0
1 1
,
n n
n n
x K u y K u
∞ ∞
= =
⊂ ⊂
sao cho :
25

,
n n
x x y y
→ →
khi
n
→ ∞
.
 Nếu có
x
hoặc
y
thuộc
(
)
0
K u
thì ta hiểu dãy tương ứng là
,
n
x x n
= ∀

hoặc
,
n
y y n
= ∀

.
 Nếu x hoặc y không thuộc
(
)
0
K u

Ta có :
{ } ( )
0
1
n n
n
x y K u
∞
=
+ ⊂
và
n n
x y x y
+ → +

Do vậy
( )
0
x y K u
+ ∈

iii.
( )

0
, 0
x K u
α
∀ ∈ ∀ ≥
:
- Nếu
0
x
=
hoặc
0
α
=
thì
( )
0
x K u
α θ
= ∈

- Nếu
0
x
≠
và
0
α
≠
thì tồn tại dãy :

{ } ( )
0
1
,
n n
n
x K u x x
∞
=
⊂ →
khi
n
→ ∞
.

{ } ( )
0
1
n
n
x K u
α
∞
=
⇒
⊂
và
n
x x

α α
→
khi
n
→ ∞


( )
0
x K u
α
⇒
∈

iv.
( )
0
x K u K x K
∈ ⊂
⇒
− ∉
khi
x
θ
≠


(
)
0

x K u
→ − ∉
. Vậy
( )
0
K u
là một nón.
□


1.2.2 – Không gian Banach nửa sắp thứ tự.
Định nghĩa 1.1.2.1 : Không gian định chuẩn E cùng với quan hệ sắp thứ tự theo
nón K được gọi là không gian định chuẩn nửa sắp thứ tự (hay không gian sắp thứ tự
bộ phận).
Một không gian định chuẩn nửa sắp thứ tự E đồng thời là không gian
Banach thì gọi là không gian Banach nửa sắp thứ tự.
Mệnh đề 1.1.2.1 : Cho E là không gian Banach nửa sắp thứ tự theo nón K. Khi ấy :
a) Nếu
(
)
(
)
1 1
, , 1,2,3,
n n n n
n n
x E y E x y n
∞ ∞
= =
⊂ ⊂ ≤ ∀ =

và
lim ,lim
n n
n n
x x y y
→∞ →∞
= =
thì
x y
≤
.
26

b) Nếu
,
u v E
∈
và
u v
≤
thì
, , 0
tu tv t R t
≤ ∀ ∈ ≥
.
c) Nếu
, , ,u K
α β α β
∈ ∈ ∈ ≤

ℝ ℝ
thì
u u
α β
≤
.
Chứng minh :
a) Do
, ,
n n n n
x y n y x K n
≤ ∀ ⇒ − ∈ ∀

và
( )
lim
lim
lim
n
n n
n
x x
y x y x
y y
=

⇒ − = −

=


Do K là tập đóng nên
y x K
− ∈
hay
x y
≤
.
b) Do
, ,
u v E u v v u K
∈ ≤ ⇒ − ∈

Suy ra
t R
+
∀ ∈
ta có
(
)
t v u K
− ∈
(Theo tiên đề 3 của nón)

tv tu K tu tv
⇒ − ∈ ⇒ ≤
.
c) Do
( )
0

u K
u K u u K
β α β α
β α
∈

⇒ − ∈ ⇒ − ∈

− ≥


hay
u u
α β
≤
.

1.2.3 Một số không gian Banach nửa sắp thứ tự.
1.2.1 – Không gian
0
c

Xét không gian
0
c

1) Kí hiệu
K
là tập hợp tất cả các dãy số thực không âm

(
)
{
}
*
1 2 3 0
, , , : 0
n
K x x x x c x n N
= = ∈ ≥ ∀ ≤
là một nón trong
0
c

Chứng minh : Ta kiểm tra các tiên đề về nón:
i.
K
≠ ∅
vì
K
θ
∈
.
Giả sử
( )
{
}
1
s
s

x K
∞
=
⊂
,
( ) ( ) ( ) ( )
(
)
1 2
, , , ,
s s s s
n
x x x x=
là dãy hội tụ và
(
)
lim
s
s
x x
→∞
=
,
(
)
1 2
, , , ,
n
x x x x=
trong không gian

0
c
. Cần chứng minh
x K
∈
.
Vì sự hội tụ trong không gian
0
c
là sự hội tụ đều của dãy số thực nên khi ấy
(
)
lim , 1,2,
s
n n
s
x x n
→∞
= ∀ =

27

Với mỗi n thì
(
)
0,
s
n
x s
≥ ∀

nên
0,
n
x n
≥ ∀


x K
⇒ ∈
. Vậy
K
đóng.
ii. Nếu
(
)
( )
1 2
1 2
, ,
, ,
x x x K
y y y K

= ∈


= ∈


thì

0
0
n
n
x
y
≥


≥

1,2
n
∀ =


0
n n
x y x y K
⇒ + ≥ ⇒ + ∈
.
iii.
,
x K R
α
+
∀ ∈ ∀ ∈
ta có:
0, 1,2,
n

x n≥ ∀ =


0, 1,2,
.
n
x n
x K
α
α
⇒ ≥ ∀ =
⇒ ∈

iv. Với
(
)
1 2 0
, , ,
x x x K x n N
θ
= ∈ ≠ → ∃ ∈
sao cho
0
0
n
x
>

Khi ấy
(

)
1 2
, ,
x x x− = − −
mà
0
0
n
x
− <


x K
⇒ − ∉
.
Vậy K là một nón trong
0
c
.
2) Quan hệ thứ tự ”
≤
” trong
0
c
được định nghĩa như sau:
Giả sử
(
)
(
)

1 2 0 1 2 0
, , ; , ,
x x x c y y y c
= ∈ = ∈
. Viết
x y
≤
nếu
y x K
− ∈
.
Ta có
x y y x K
≤ ⇒ − ∈
hay
(
)
1 1 2 2
0, , ,
n n
y x n y x y x K
− ≥ ∀ ⇒ − − ∈

Như vậy
, 1,2,
n n
x y x y n
≤ ⇔ ≤ ∀ =

Không gian Banach

0
c
cùng với quan hệ sắp thứ tự như trên được gọi là
không gian Banach nửa sắp thứ tự.
3) Trong không gian
0
c
, nón
K
xác định bởi

(
)
{
}
*
1 2 0
, , : 0
n
K x x x c x n N
= = ∈ ≥ ∀ ∈
là một nón chuẩn.
Thật vậy :
Giả sử
(
)
(
)
1 2 1 2
, , , , ,

x x x y y y= =
là 2 phần tử tùy ý trong
K
.
Có
0 1,2,
n n
x y x y n
≤ ⇒ ≤ ≤ ∀ =


1 1
max max
n n n n
n n
x y x y
≥ ≥
⇒ ≤ ⇒ ≤
.
V
ậy
K
là nón chuẩn.