Phương pháp mann tìm nghiệm bài toán cân bằng và điểm bất động của ánh xạ không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM THỊ BÍCH THẢO
PHƯƠNG PHÁP MANN
TÌM NGHIỆM BÀI TOÁN CÂN BẰNG
VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN
CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG
MÃ SỐ: 60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG
THÁI NGUYÊN - 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Một số ký hiệu và chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chương 1. Một số khái niệm và vấn đề cơ bản 7
1.1. Một số khái niệm cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1. Định nghĩa không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2. Một số khái niệm liên quan . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3. Định nghĩa ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.4. Định nghĩa nửa nhóm không giãn . . . . . . . . . . . . 11
1.2. Một số tính chất của toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Bài toán tìm điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5. Phương pháp Mann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1. Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.2. Nội dung của phương pháp Mann . . . . . . . . . . . . 14
Chương 2. Nghiệm chung của bài toán cân bằng và điểm bất
động của họ các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert 19
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2.1. Phương pháp tìm điểm bất động của nửa nhóm các ánh xạ
không giãn và nghiệm bài toán cân bằng trong không gian
Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1. Các kết quả đã được công bố. . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2. Các bổ đề cần sử dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.3. Các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.4. Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2. Phương pháp lặp cho bất đẳng thức biến phân trên tập các
điểm bất động của họ các ánh xạ không giãn trong không gian
Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.1. Bất đẳng thức biến phân và các kết quả liên quan. . . 35
2.2.2. Các bổ đề cần sử dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.3. Những kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.4. Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của GS.TS. Nguyễn Bường. Trong suốt quá
trình làm luận văn, thầy đã luôn dành cho tôi sự hướng dẫn, chỉ bảo rất tận
tình, truyền cho tôi nhiều kiến thức và kinh nghiệm quý báu. Tác giả xin bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy.
Trong quá trình học tập và làm luận văn, thông qua các bài giảng, các
buổi hội thảo tác giả thường xuyên nhận được sự quan tâm giúp đỡ và đóng
góp những ý kiến quí báu của PGS. TS Lê Thị Thanh Nhàn, TS. Nguyễn
Thị Thu Thủy và sự quan tâm giảng dạy nhiệt tình của các thầy và các cô
công tác tại trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên, Viện Công
Nghệ Thông Tin và Viện toán học thuộc Viện khoa học và Công nghệ Việt

Nam. Từ đáy lòng mình tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy,
các cô.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy và các cô trong Ban giám hiệu,
Tổ Toán - Trường THPT Trại Cau - Đồng Hỷ - Thái Nguyên đã tạo điều
kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận
văn cao học.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, các anh chị em
học viên cao học toán K3 và bạn bè đồng nghiệp động viên và khích
lệ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và làm luận văn.
Tác giả
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mở đầu
Bài toán tìm điểm bất động cho ánh xạ nói chung đã được rất nhiều nhà
toán học nghiên cứu như Định lý Brouwer được phát biểu năm 1912 bởi nhà
toán học Hà Lan Luizen Egbereis Jan Brouwer còn có tên Nguyên lý điểm
bất động Brouwer. Đây là một trong những định lý toán học quan trọng của
thế kỷ 20 và sau đó vẫn được nhiều nhà toán học tiếp tục nghiên cứu.
Nguyên lý điểm bất động Brouwer: Một ánh xạ liên tục f từ hình cầu
đóng trong R
n
vào chính nó phải có điểm bất động, tức tồn tại x sao cho
f(x) = x.
Ví dụ 0.0.1. Trong mặt phẳng phức mọi ánh xạ liên tục của hình tròn đơn
vị vào chính nó sẽ có điểm bất động.
Sau đó, Schauder (1930), Tikhonov (1935) đã mở rộng nguyên lý này và ở
dạng tổng quát nó được gọi là nguyên lý Brouwer- Schauder- Tikhonov phát
biểu như sau: Một ánh xạ liên tục f từ một tập lồi compac trong một không
gian topo lồi địa phương Hausdorff vào chính nó phải có điểm bất động, tức
tồn tại x sao cho f(x) = x.

Cho đến nay các nhà toán học cả trong và ngoài nước vẫn đang tiếp tục
mở rộng định lý này cho các vấn đề như đối với ánh xạ đa trị, ánh xạ không
giãn hay đối với nửa nhóm không giãn. Trong khuôn khổ của luận văn này
chúng tôi xin được trình bày một đề tài: "Phương pháp Mann tìm nghiệm
của bài toán cân bằng và điểm bất động cho ánh xạ không giãn". Đây là vấn
đề gặp nhiều trong nhiều lĩnh vực khoa học và ứng dụng. Đã có rất nhiều
nhà toán học nghiên cứu vấn đề này như Martinet đưa ra để giải bài toán
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
bất đẳng thức biến phân, sau đó Rockafellar mở rộng để giải bài toán biến
phân và toán tử đơn điệu. Phương pháp Mann được sử dụng để giải bài toán
bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng, và một trong những kết quả
đẹp về vấn đề này đã được Giáo sư - Tiến sĩ Nguyễn Bường cùng với hai cộng
sự Nguyễn Đình Dương và Nguyễn Thị Quỳnh Anh đưa ra trong hai bài báo
"Phương pháp lặp tìm nghiệm của bài toán cân bằng và điểm bất động của
nửa nhóm các ánh xạ không giãn trên không gian Hilbert" và "Phương pháp
lặp cho bất đẳng thức biến phân trên tập các điểm bất động của họ hữu hạn
các ánh xạ không giãn trên không gian Hilbert." Luận văn này chúng tôi xin
trình bày chi tiết về kết quả đó.
Bố cục luận văn này gồm 2 chương:
Chương I. Một số khái niệm và vấn đề cơ bản.
Chương II. Nghiệm chung của bài toán cân bằng và điểm bất động của họ
các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.
Do thời gian có hạn nên luận văn này chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu, tập
hợp tài liệu và trình bày các kết quả nghiên cứu đã có theo chủ đề đặt ra.
Trong quá trình viết luận văn cũng như trong quá trình xử lý văn bản chắc
chắn không tránh khỏi sai sót, rất mong nhận được những ý kiến đóng góp
của quí thầy, cô và bạn đọc.
Thái Nguyên, ngày tháng năm 2011
Tác giả

Phạm Thị Bích Thảo
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Một số ký hiệu và chữ viết tắt
R
n
: Không gian Euclide n-chiều
|β| : Trị tuyệt đối của số thực β
x := y : x được định nghĩa bằng y
∀x : Với mọi x
∃x : Tồn tại x
I : Ánh xạ đồng nhất
A ⊂ B : Tập A là tập con thực sự của tập B
A ⊆ B : Tập A là tập con của tập B
A ∪ B : A hợp với B
A ∩ B : A giao với B
A × B : Tích Đề-các của hai tập A và B
convD : Bao lồi của tập D
x
k
→ x : dãy {x
k
} hội tụ mạnh tới x
x
k
 x : dãy {x
k
} hội tụ yếu tới x
A
∗

: Toán tử liên hợp của toán tử A
D(A) : Miền xác định của toán tử A
R(A) : Miền giá trị của toán tử A
R : Tập các số thực.
C : Tập các số phức.
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1
Một số khái niệm và vấn đề cơ bản
Trong chương này, chúng tôi đề cập đến các vấn đề sau. Trong mục 1.1,
chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và kiến thức liên quan đến không gian
Hilbert. Trong mục 1.2, chúng tôi trình bày một số tính chất của toán tử.
Trong mục 1.3 chúng tôi sẽ trình bày bài toán tìm điểm bất động của họ các
ánh xạ không giãn trên không gian Hilbert. Mục 1.4 là nội dung của bài toán
cân bằng Mục 1.5 là nội dung cơ bản của phương pháp MANN
1.1. Một số khái niệm cơ bản.
1.1.1. Định nghĩa không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một không gian tuyến tính trên R. Một tích
vô hướng trong X là một ánh xạ ., . : X × X → R thoả mãn các điều kiện
sau:
i) x, x > 0, ∀x = 0; x, x = 0 ⇔ x = 0;
ii) x, y = y, x, ∀x, y ∈ X;
iii) αx, y = αx, y, ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R;
iv) x + y, z = x, z + y, z, ∀x, y, z ∈ X.
Không gian tuyến tính X cùng với tích vô hướng ., . được gọi là không
gian tiền Hilbert.
Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian Hilbert. Chuẩn
của phần tử x được kí hiệu là x và được xác định bằng x =

x, x.

Các không gian R
n
, L
2
[a, b] là các không gian Hilbert với tích vô hướng
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
được xác định tương ứng là:
x, y =
n

i=1
ξ
i
η
i
; x = (ξ
1
, ξ
2
, , ξ
n
) ∈ R
n
;
y = (η
1
, η
2
, , η

n
) ∈ R
n
;
ϕ, ψ =

b
a
ϕ(x)ψ(x)dx, ϕ, ψ ∈ L
2
[a, b].
1.1.2. Một số khái niệm liên quan
• Cho X là một không gian Hilbert, một dãy {x
n
} gồm các phần tử x
n
∈ X
gọi là hội tụ mạnh tới phần tử của x ∈ X nếu x
n
− x → 0 khi n → ∞.
Nếu {x
n
} hội tụ mạnh tới x ∈ X thì:
(i) Mỗi dãy con {x
n
k
} ⊂ {x
n
} cũng hội tụ tới x;
(ii) Mỗi dãy {x

n
− ξ} bị chặn, ξ ∈ X.
• Dãy {x
n
} ⊂ X được gọi là đủ hay Cauchy, nếu với mỗi ε > 0, tồn tại
n
0
(ε) sao cho: x
m
− x
n
 < ε với mọi m ≥ n
0
(ε), n ≥ n
0
(ε).
• Cho X, Y là hai không Hilbert. Khi viết A : X → Y có nghĩa A là một
toán tử đơn trị từ X vào Y. Khi viết A : X → 2
Y
có nghĩa A là một toán tử
đa trị từ X vào Y.
• Toán tử A : X → R được gọi là tuyến tính nếu:
(i) A(x
1
+ x
2
) = Ax
1
+ Ax
2

∀x
1
, x
2
∈ X;
(ii)A(αx) = αAx ∀α ∈ R, x ∈ X.
• Toán tử tuyến tính A được gọi là bị chặn, nếu tồn tại một hằng số M > 0
sao cho Ax ≤ Mx. Giá trị hằng số M nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức
đó được gọi là chuẩn của A và ký hiệu là A.
Mệnh đề 1.1.1. Cho X là một không gian Hilbert và x
0
∈ X là một phần
tử tùy ý. Khi đó tồn tại một hàm tuyến tính ϕ : X → R sao cho ϕ = 1 và
ϕ(x
0
) = x
0
.
• Tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X gọi là không
gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu của X) và được ký hiệu là X
∗
.
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
• Dãy {x
n
} gồm các phần tử x
n
∈ X được gọi là hội tụ yếu tới phần tử
x ∈ X (viết tắt là x

n
 x) nếu φ, x
n
 → φ, x với mỗi φ ∈ X
∗
.
• Cho X là không gian Hilbert, và C là tập con của X. Một ánh xạ
T : C → X được gọi là demicompact, nếu nó thỏa mãn tính chất với mỗi dãy
{x
n
} bị chặn trong X và {T x
n
− x
n
} hội tụ mạnh thì tồn tại một dãy con
{x
n
k
} của {x
n
} cũng hội tụ mạnh đến p thì T (x) = p.
Nếu dãy {x
n
} hội tụ yếu tới x ∈ X thì dãy {x
n
} là bị chặn.
Định nghĩa 1.1.2. Cho X là một không gian Hilbert, M là một tập con
khác rỗng của X. (i) M được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ M, 0 ≤ λ ≤ 1
ta có:
λx + (1 − λ)y ∈ M;

(ii) M được gọi là compact nếu mọi dãy {x
n
} ⊂ M đều chứa dãy con hội
tụ tới một điểm thuộc M.
• Mỗi tập con đóng bị chặn M của một không gian Hilbert là compact
yếu, tức là với mỗi dãy bị chặn trong M có thể trích ra được một dãy con
hội tụ yếu tới một phần tử của không gian này. • Tập M ⊂ X được gọi
là tập đóng yếu, nếu {x
n
}  x, thì x ∈ M.
Định lý 1.1.1. Định lý Mazur
Mỗi tập con lồi đóng của một không gian Hilbert là đóng yếu.
Định nghĩa 1.1.3. Một phiếm hàm ϕ xác định trên X được gọi là lồi, nếu
ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y)
với mọi x, y ∈ X, t ∈ [0, 1]. Nếu dấu "=" xảy ra chỉ khi x = y, thì ϕ được
gọi là lồi chặt.
• Nếu tồn tại một hàm liên tục tăng γ : [0; +∞) → R, γ(0) = 0 sao cho:
ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y) − t(1 − t)γ(x − y)
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
với mọi x, y ∈ X thì ϕ được gọi là lồi đều và hàm γ(t) gọi là modul lồi của
ϕ.
• Nếu γ(t) = ct
2
(c > 0) thì phiếm hàm ϕ được gọi là lồi mạnh.
Định nghĩa 1.1.4. Một phiếm hàm ϕ được gọi là nửa liên tục dưới tại
x
0
∈ X, nếu với mỗi dãy {x
n

} ⊂ X sao cho x
n
→ x
0
ta có:
ϕ(x
0
) ≤ lim inf
n→∞
ϕ(x
n
).
Nếu x
n
 x
0
và
ϕ(x
0
) ≤ lim inf
n→∞
ϕ(x
n
),
thì ϕ được gọi là nửa liên tục yếu tại x
0
.
Định lý 1.1.2. (i) Nếu ϕ(x) là một phiếm hàm lồi trên X thì ϕ

(x) thỏa

mãn bất đẳng thức sau:
ϕ

(x) − ϕ

(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X;
(ii) Nếu ϕ(x) là một phiếm hàm lồi đều trên X thì:
ϕ

(x) − ϕ

(y), x − y ≥ 2γ(x − y), ∀x, y ∈ X;
(iii) Nếu ϕ(x) là một phiếm hàm lồi mạnh trên X thì:
ϕ

(x) − ϕ

(y), x − y ≥ 2cx − y
2
, ∀x, y ∈ X.
Định lý 1.1.3. (i) Nếu ϕ(x) là một phiếm hàm lồi trên X thì ϕ

(x) thỏa
mãn bất đẳng thức sau:
ϕ

(x), x − y ≥ ϕ(x) − ϕ(y), ∀x, y ∈ X;
(ii) Nếu ϕ(x) là một phiếm hàm lồi đều trên X thì:
ϕ


(x), x − y ≥ ϕ(x) − ϕ(y) + γ(x − y), ∀x, y ∈ X;
(iii) Nếu ϕ(x) là một phiếm hàm lồi mạnh trên X thì:
ϕ

(x), x − y ≥ ϕ(x) − ϕ(y) + cx − y
2
, ∀x, y ∈ X.
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1.1.3. Định nghĩa ánh xạ không giãn
Định nghĩa 1.1.5. Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian
Hilbert thực H. Phép chiếu của phần tử x ∈ H vào C kí hiệu là P
C
x. Ánh
xạ T : C → C được gọi là ánh xạ không giãn trên C nếu T : C → C sao cho
T x − T y ≤ x − y với mọi x, y ∈ C.
Ta kí hiệu F (T ) là tập các điểm bất động của T , tức là:
F (T ) = {x ∈ C : x = T x}.
1.1.4. Định nghĩa nửa nhóm không giãn
Định nghĩa 1.1.6. Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian
Hilbert thực H. Ánh xạ T : C → C là ánh xạ không giãn trên C. Tập
{T (s) : s > 0} được gọi là nửa nhóm không giãn trên C nếu thỏa mãn các
điều kiện sau:
(1) Với mỗi s > 0, T(s) là ánh xạ không giãn trên C;
(2) T (0)x = x với mọi x ∈ C;
(3) T (s
1
+ s
2
) = T (s

1
) ◦ T (s
2
) với mọi s
1
, s
2
> 0; và
(4) Với mỗi x ∈ C, ánh xạ T (.)x từ (0, ∞) vào C là liên tục
Ta kí hiệu F = ∩
s>0
F (T (s)). Khi đó F là tập con lồi đóng trong H và
F = ∅ nếu C bị chặn.
1.2. Một số tính chất của toán tử
Định nghĩa 1.2.1. Toán tử A : X → 2
Y
được gọi là bị chặn nếu nó biến
mỗi tập bị chặn trong X thành một tập bị chặn trong Y . Nếu R(A) ⊂ Y là
một tập bị chặn thì toán tử A được gọi là bị chặn đều.
Định nghĩa 1.2.2. Toán tử A : X → 2
X
∗
được gọi là bức nếu nó tồn tại
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
một hàm c(t) xác định với t ≥ 0 sao cho c(t) → +∞ khi t → ∞, thì:
y, x ≥ c(x)x, ∀x ∈ X, ∀y ∈ Ax.
Điều kiện trên tương đương với: A là toán tử bức khi và chỉ khi:
lim
x→∞

Ax, x
x
= +∞.
Định nghĩa 1.2.3. Toán tử A : X → X được gọi là compact trên X nếu nó
biến mỗi tập bị chặn trong X thành một tập compact trong Y.
Định nghĩa 1.2.4. Cho X, Y là không gian Hilbert. Toán tử A : X → Y
được gọi là: (i) liên tục tại x
0
∈ X nếu với mỗi dãy con {x
n
} ⊂ X sao
cho: Ax
n
→ Ax
0
, khi x
n
→ x
0
;
(ii) h - liên tục tại x
0
∈ X nếu A(x
0
+ t
n
h)  Ax
0
khi t
n

→ 0 với mỗi
véctơ h ∈ X ;
(iii) d - liên tục tại x
0
∈ X nếu với mỗi dãy con {x
n
} ⊂ X sao cho khi
x
n
→ x
0
thì Ax
n
 Ax
0
;
(iv) liên tục Lipschitz nếu ∃L > 0 sao cho:
Ax − Ay ≤ Lx − y, ∀x, y ∈ X.
Toán tử A : X → 2
X
∗
được gọi là d - đơn điệu trên X nếu tồn tại một
hàm không âm d(t), không giảm với t ≥ 0, và d(0) = 0 thỏa mãn tính chất:
Ax − Ay, x − y ≥ (d(x) − d(y))(x − y), ∀x, y ∈ X.
Định nghĩa 1.2.5. Toán tử A : X → 2
X
∗
được gọi là đơn điệu đều trên X
nếu tồn tại một hàm không âm δ(t), không giảm với t ≥ 0, và δ(0) = 0 và
thỏa mãn tính chất:

Ax − Ay, x − y ≥ δ(x − y), ∀x, y ∈ X.
Nếu δ(t) = ct
2
, (c > 0) thì toán tử A được gọi là đơn điệu mạnh. Toán
tử A được gọi là nửa đơn điệu, nếu tồn tại một toán tử compact C sao cho
A + C là một toán tử đơn điệu.
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1.3. Bài toán tìm điểm bất động
Bài toán tìm điểm bất động chung cho họ hữu hạn các ánh xạ không
giãn trong không gian Hilbert H được phát biểu như sau: Tìm một điểm
p ∈ C := ∩
N
i=1
(C
i
) trong đó N ≥ 1 là một số nguyên và mỗi C
i
là tập các
điểm bất động F ix(T
i
) của các ánh xạ không giãnT
i
: H → H, i = 1, 2 N
Trong trường hợp đơn giản, khi N = 1 và T
1
= T là ánh xạ không giãn
trên một tập lồi đóng C của không gian Hilbert H, tức là T : C → C và
T x − T y ≤ x − y với mọi x, y ∈ C.
Bài toán tìm điểm bất động cho họ các ánh xạ loại không giãn xác định

trên một tập lồi đóng của không gian Hilbert là một vấn đề lớn và hiện được
rất nhiều các nhà toán học trên thế giới quan tâm. Trong luận văn này chúng
tôi chỉ xin được trình bày một khía cạnh liên quan đến phương pháp MANN
tìm nghiệm của bài toán cân bằng và điểm bất động của họ các ánh xạ không
giãn trên không gian Hilbert ở trong chương sau.
1.4. Bài toán cân bằng
Định nghĩa 1.4.1. Bài toán cân bằng của một hàm hai biến G(u, v) trên
C × C là tìm phần tử u
∗
∈ C sao cho
G(u
∗
, v) ≥ 0 ∀v ∈ C. (1.1)
Ở đây hàm hai biến G thỏa mãn các điều kiện sau:
(A1) G(u, u) = 0 ∀u ∈ C;
(A2) G(u, v) + G(v, u) ≤ 0 ∀(u, v) ∈ C × C;
(A3)Với mỗi u ∈ C, G(u, .) : C → (−∞, +∞) là phiếm hàm liên tục dưới
yếu ;
(A4) lim
t→+0
G((1 − t)u + tz, v) ≤ G(u, v) ∀(u, z, v) ∈ C × C × C;
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ta kí hiệu tập nghiệm của bài toán (1.1) là EP (G). Khi đó EP (G) là tập
con lồi đóng trên H.
1.5. Phương pháp Mann
1.5.1. Đặt vấn đề
Năm 1952 W.R.MANN đã đưa ra một phương pháp tìm điểm bất động
cho một tập E lồi trong không gian Banach với một ánh xạ liên tục T từ E
vào chính nó. Nội dung cơ bản của phương pháp Mann như sau: Trong E ta

sẽ xây dựng một dãy x
n
và dãynà y sẽ hội tụ đến điểm bất động của T , bằng
cách chọn phần tử ban đầu x
1
∈ E và các phần tử tiếp theo được xác định
thông qua quá trình lặp:
x
n+1
= T (x
n
), ∀n ≥ 1. (1.2)
Nếu dãy này hội tụ thì nó sẽ hội tụ đến điểm bất động của T . Nhưng để nó
hội tụ thì ta phải hạn chế một số điều kiện của T, ví dụ như T là một hàm
khoảng cách giảm chẳng hạn. Tuy nhiên, những giả thiết như thế là rất đặc
biệt, vấn đề đặt ra là ta cần tìm những điều kiện khác mà không cần đến
những giả thiết đặc biệt đó mà bài toán vẫn được giải quyết.
1.5.2. Nội dung của phương pháp Mann
Giả sử quá trình lặp được xác định bởi (1.2) là không hội tụ, khi đó ta
xét ma trận A như sau:
A =






1 0 0 · · · 0 0
a
21

a
22
0 · · · 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
· · · a
nn
0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .






,
trong đó các phần tử của A thỏa mãn các điều kiện sau:
a
ij
≥ 0, ∀i, j,
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
a
ij
= 0, ∀i > j, (1.3)
i


j=1
a
ij
= 1, ∀i.
Bắt đầu với phần tử x
1
∈ E và quá trình lặp được xác định như sau:
x
n+1
= T (v
n
), (1.4)
trong đó
v
n
=
n

k=1
a
nk
x
k
. (1.5)
Quá trình này được xác định bởi điểm ban đầu x
1
, ma trận A và ánh xạ
T được biểu thị bởi bộ (x
1
, A, T) có thể được coi là quá trình lặp, vì khi ma

trận A là ma trận đơn vị I thì (x
1
, I, T ) là quá trình lặp thông thường (1.2)
Định lý 1.5.1. Nếu một trong hai dãy {x
n
} và {v
n
} hội tụ thì dãy còn lại
cũng hội tụ đến cùng một điểm, và điểm hội tụ chung là điểm bất động của
T.
Chứng minh. Giả sử lim x
n
= p, vì A là ma trận xác định như trên và theo
(1.5) nên lim v
n
= p.
Từ T là ánh xạ liên tục nên lim T (v
n
) = T (p), nhưng T (v
n
) = x
n+1
do đó
T (p) = p
Bây giờ ta giả rằng lim v
n
= q thì lim x
n
= T(q) và theo qui luật của A
nên lim v

n
= T (q). Do đó T (q) = q. 
Nếu {x
n
} hoặc {v
n
} không có điểm giới hạn. Khi đó ta gọi X là tập các
điểm giới hạn của x

s và V là tập các điểm giới hạn của v

s. Ta có định lý
sau:
Định lý 1.5.2. Nếu ma trận A xác định như trên và bổ xung thêm điều kiện
lim a
nn
= 0,
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
lim
n

k=1
|a
(n+1),k
− a
n,k
| = 0, (1.6)
thì X và V là các tập đóng liên thông.
Chứng minh. V là tập đóng và compact và vì (1.6), lim(v

n+1
− v
n
) = 0 do
đó, V là tập liên thông.
Khi T là liên tục và X = T (V ) nên X là đóng và liên thông 
Định lý 1.5.3. V chứa trong bao lồi của X.
Chứng minh. Giả sử X

là một bao lồi của X. Áp dụng định lý Mazur, thì
X

là tập đóng. Do một số hữu hạn các phần tử của {x
n
} nằm trong tập mở
chứa X nên với n đủ lớn thì v
n
nằm trong lân cận đóng của X. Do đó, các
giới hạn của mỗi dãy hội tụ {v
n
} nằm trong X và định lý được chứng minh.

Ví dụ 1.5.1. Ta xét ma trận A là ma trận Cesaro, có dạng
A =









1 0 0 0 0 · · · · · · · · ·
1/2 1/2 0 0 0 · · · · · · · · ·
1/3 1/3 1/3 0 0 · · · · · · · · ·
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1/n 1/n 1/n · · · 1/n 0 0 · · ·
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .








.
Khi đó A thỏa mãn tất cả các giả thiết của định lý(1.5.2). Áp dụng (1.4) và
(1.5) ta thấy rằng (x
1
, A, T) biểu thị quá trình lặp, bắt đầu với điểm x
1
∈ E
và áp dụng công thức:
x
n+1
= T (v
n
), ∀n ≥ 1,
trong đó

v
n
=
1
n
n

k=1
x
k
.
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Nói cách khác, (k + 1) phần tử trong dãy {x
n
} là ảnh của k phần tử đầu tiên
qua T. Dễ dàng thấy quá trình thỏa mãn
v
n+1
− v
n
=
T (v
n
) − v
n
n + 1
. (1.7)
Bây giờ, trong trường hợp cụ thể mà không gian Banach chỉ là trục thực và
các tập lồi compact E là đóng và bị chặn. Ta thu được kết quả đặc biệt sau

đây.
Định lý 1.5.4. Nếu T là một hàm liên tục trên [a; b] và có một điểm bất
động duy nhất p trên [a; b] thì (x
1
, A, T) hội tụ đến p với mọi cách chọn
x
1
∈ [a; b].
Chứng minh. Từ (1.7) ta thấy (v
n+1
− v
n
) → 0. Vì T (x) là hàm liên tục và p
là duy nhất thỏa mãn T(x) − x > 0 nếu x < p và T (x) − x < 0 nếu x > p.
Hơn nữa, với mỗi δ > 0 tồn tại một số ε > 0 sao cho |T (x) − x| ≥ ε khi
|x − p| ≥ δ. Sử dụng (1.7) để viết v
n+1
theo dạng sau:
v
n+1
= v
1
+
n

k=1
T (v
k
) − v
k

k + 1
;
chúng ta thấy kết quả lim v
n
= p, theo định lý (1.2.1) suy ra lim x
n
= p 
Trong không gian chiều vô hạn chiều không có kết quả tương đương với định
lý (1.2.1) đã thu được, mặc dù trong nhiều trường hợp cụ thể quá trình lặp
khái quát (x
1
, A, T) có thể dẽ dàng nhận thấy sự hội tụ, tuy nhiên cũng có
trường hợp quá trình lặp lại phân kì.
Ví dụ 1.5.2. Nếu E biểu thị bởi vòng tròn cùng với miền trong cua nó, T
biểu thị phép quay với góc quay
π
4
về tâm, quá trình lặp sẽ được sử dụng ít
hơn trong một quá trình nỗ lực tìm điểm bất động duy nhất.
Sử dụng quá trình (x
1
, A, T) các dãy {x
n
} và {v
n
} luôn hướng vào trung
tâm không phân biệt điểm đầu được chọn. Nó mở ra một hy vọng rằng người
ta có thể chứng minh sự hội tụ của phương pháp lặp tổng quát theo giả
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

thuyết yếu hơn so với những yêu cầu mà vẫn bao hàm sự hội tụ của quá
trình lặp thông thường. Kết quả theo hướng này sẽ được quan tâm, ví dụ,
trong các vấn đề biên của hàm phi tuyến, các ánh xạ không giãn với một
điều kiện Lipschitz dể đảm bảo sự hội tụ của xấp xỉ tiếp theo.
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 2
Nghiệm chung của bài toán cân bằng
và điểm bất động của họ các ánh xạ
không giãn trong không gian Hilbert
Trong chương này chúng tôi trình bày hai vấn đề cơ bản của luận văn.
Mục 2.1 là nội dung phương pháp tìm điểm bất động của nửa nhóm các ánh
xạ không giãn và nghiệm bài toán cân bằng trong không gian Hilbert. Mục
2.2 là nội dung Phương pháp lặp cho bất đẳng thức biến phân trên tập các
điểm bất động của họ các ánh xạ không giãn trên không gian Hilbert. Nội
dung của chương này được chúng tôi tổng hợp từ hai bài báo của GS. TS
Nguyễn Bường và hai cộng sự Nguyễn Đình Dương và Nguyễn Thị Quỳnh
Anh (xem [19]- [20])
2.1. Phương pháp tìm điểm bất động của nửa nhóm các ánh xạ
không giãn và nghiệm bài toán cân bằng trong không gian
Hilbert.
2.1.1. Các kết quả đã được công bố.
Cho C
1
và C
2
là các tập con lồi đóng trong H. G(u, v) là hàm hai biến xác
định bởi các điều kiện từ (A1) - (A4). Thay C bởi C
1
và cho {T (s) : s > 0}

là nửa nhóm không giãn trên C
2
. Cần tìm một phần tử
p ∈ EP (G) ∩ F, (2.1)
trong đó EP (G) và F được biểu thị là tập các trạng thái cân bằng trên
C
1
× C
1
và tập các điểm bất động của nửa nhóm không giãn {T (s) : s > 0}
trên tập lồi đóng C
2
tương ứng.
19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Trong trường hợp C
1
≡ H, G(u, v) = 0, C
2
= C và T (s) = T , là ánh xạ
không giãn trên C, với s > 0, thì (2.1) là điểm bất động của ánh xạ không
giãn. Năm 2000, Moudafi [1] đã chứng minh được định lý về sự hội tụ mạnh
sau.
Định lý 2.1.1. Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trên không gian Hilbert thực
H và cho T là ánh xạ không giãn trên C sao cho F (T ) = ∅. Cho f là ánh xạ
co vào C và cho {x
k
} dãy bất kì thỏa mãn: x
1
∈ C và

x
k+1
=
ε
k
1 + ε
k
f(x
k
) +
1
1 + ε
k
T x
k
, k ≥ 1,
trong đó {ε
k
} ∈ (0, 1) thỏa mãn
lim
k→∞
ε
k
= 0,
∞

k=1
ε
k
= ∞, và lim

k→∞




1
ε
k+1
−
1
ε
k




= 0.
Khi đó, {x
k
} hội tụ mạnh đến phần tử p ∈ F (T ), với p = P
F (T )
f(p).
Một phương pháp tìm điểm bất động có tên là phương pháp xấp xỉ mềm
được công bố bởi Chen và Song [24] đã tìm được p ∈ F đó là điểm bất động
của nửa nhóm không giãn {T (s) : s > 0} trên C. Thuật toán này được họ
mô tả như sau: x
1
∈ C và
x
k+1

= µ
k
f(x
k
) + (1 − µ
k
)
1
s
k

s
k
0
T (s)x
k
ds, k ≥ 1,
trong đó f : C → C, là ánh xạ co, {µ
k
} ⊂ (0, 1) và {s
k
} là dãy số thực thỏa
mãn : µ
k
→ 0,

∞
k=1
µ
k

= ∞ và s
k
→ ∞ khi k → ∞.
Sau đó, Yao và Noor [30] đã tiếp tục tìm ra phương pháp xấp xỉ mềm mới:
x
k+1
= µ
k
f(x
k
) + β
k
x
k
+ γ
k
T (s
k
)x
k
, k ≥ 0, x
0
∈ C, (2.2)
trong đó {µ
k
}, {β
k
} và {γ
k
} thuộc (0, 1), s

k
→ ∞, Tìm p ∈ F, khi {T (s) :
s > 0} thỏa mãn các điều kiện tiệm cận đều
lim
s→∞
sup
x∈
˜
C
T (t)T (s)x − T (s)x = 0,
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
với bất kì t, và
˜
C là tập con đóng và giới nội bất kì của C. Thêm nữa,
Plubtieng và Pupaeng trong [26] đã nghiên cứu thuật toán sau:
x
k+1
= µ
k
f(x
k
) + β
k
x
k
+ (1 − β
k
− µ
k

)

s
k
0
T (s)x
k
ds, k ≥ 0, x
0
∈ C, (2.3)
trong đó {µ
k
} và {β
k
} trên [0,1] thỏa mãn điều kiện: µ
k
+β
k
< 1, lim
k→∞
µ
k
=
lim
k→∞
β
k
= 0,

k≥1

µ
k
= ∞, và {s
k
}là dãy số thực khác.
Có một số đề xuất để giải quyết bài toán cân bằng (1.1); xem các ví dụ
[2],[5],[9] và [21]. Đặc biệt, Combettes và Histoaga [22] đã đề xuất một phương
pháp giải quyết bài toán cân bằng.
Năm 2007, Takahashi và W.Takahashi [27] với phương pháp của Moudafi
kết hợp với kết quả của Combettes và Histoaga trong [22] đã tìm được phần
tử p ∈ EP(G) ∩ F(T ). Họ đã chứng minh được định lý về sự hội tụ mạnh
sau.
Định lý 2.1.2. Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert
thực H, cho T là ánh xạ không giãn C và cho G là hàm hai biến từ C ×C đến
(−∞, +∞) thỏa mãn các điều kiện (A1)-(A4) sao cho EP(G) ∩ F (T ) = ∅.
Cho f là ánh xạ co trên C và cho {x
k
} và {u
k
} là dãy bất kì xác định bởi:
x
1
∈ H và
G(u
k
, y) +
1
r
k
u

k
− x
k
, y − u
k
 ≥ 0, ∀y ∈ C,
x
k+1
= µ
k
f(x
k
) + (1 − µ
k
)T u
k
, k ≥ 1,
(2.4)
trong đó {µ
k
} ∈ (0, 1) và {r
k
} ⊂ (0, ∞) thỏa mãn
lim
k→∞
µ
k
= 0,
∞


k=1
µ
k
= ∞, lim inf
k→∞
r
k
> 0,
∞

k=1
|µ
k+1
− µ
k
| < ∞ và
∞

k=1
|r
k+1
− r
k
| < ∞.
Khi đó, {x
k
} và {u
k
} hội tụ mạnh đến p ∈ EP (G) ∩ F (T ), với p =
P

EP (G)∩F (T )
f(p).
21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Rất gần đây, Ceng và Wong trong [6] kết hợp thuật toán (2.4) với kết quả
trong [22] đã đề xuất thuật toán sau:
G(u
k
, y) +
1
r
k
u
k
− x
k
, y − u
k
 ≥ 0, ∀y ∈ C,
x
k+1
= µ
k
f(x
k
) + β
k
x
k
+ γ

k
T (s
k
)u
k
, k ≥ 1,
để tìm một phần tử p ∈ EP (G)∩F trong trường hợp C
1
= C
2
= C theo điều
kiện qui luật thống nhất tiệm cận trên nửa nhóm không giãn {T (s) : s > 0}
trên C.
Thúc đẩy bởi những kết quả trên để giải quyết bài toán (2.1), trong [19]
giới thiệu thuật toán sau:
x
1
∈ H, bất kì,
u
k
∈ C
1
: G(u
k
, y) +
1
r
k
u
k

− x
k
, y − u
k
 ≥ 0 ∀y ∈ C
1
,
x
k+1
= µ
k
f(u
k
) + β
k
x
k
+ γ
k
T
k
P
C
2
u
k
, k ≥ 1,
(2.5)
với f là ánh xạ co trên H, tức f : H → H và f(x) − f(y) ≤ ax − y với
mọi x, y ∈ H, 0 ≤ a < 1,

T
k
x =
1
s
k

s
k
0
T (s)xds (2.6)
vói mọi x ∈ C
2
, {µ
k
}, {β
k
} và {γ
k
} là dãy số trên (0,1), và {r
k
}, {s
k
} là dãy
trên (0, ∞) thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) µ
k
+ β
k
+ γ

k
= 1;
(ii) lim
k→∞
µ
k
= 0,

k≥1
µ
k
= ∞;
(iii) 0 < lim inf
k→∞
β
k
≤ lim sup
k→∞
β
k
< 1;
(iv) lim
k→∞
s
k
= ∞ với bị chặn sup
k≥1
|s
k
− s

k+1
|;
(v)
lim inf
k→∞
r
k
> 0 và lim
k→∞
|r
k
− r
k+1
| = 0.
Sự hội tụ mạnh của (2.5)-(2.6) và hệ quả của nó chúng tôi xin trình bày ở
phần sau.
22
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2.1.2. Các bổ đề cần sử dụng
Bổ đề 2.1.1. (xem [3])Cho H là không gian Hilbert thực. Ta có công thức
sau:
x + y
2
≤ x
2
+ 2y, x + y ∀x, y ∈ H.
Bổ đề 2.1.2. (xem [3]). Cho C là tập con lồi, đóng khác rỗng trong không
gian Hilber thực H. Với bất kì x ∈ H, tồn tại một phần tử z ∈ C sao cho
z −x ≤ y−x với mọi y ∈ C, và z ∈ P
C

x nếu và chỉ nếu z −x, y−z ≥ 0
với mọi y ∈ C.
Bổ đề 2.1.3. (xem [11]). Cho {a
k
} là một dãy các số thực thỏa mãn các điều
kiện sau:
a
k+1
≤ (1 − b
k
)a
k
+ b
k
c
k
,
trong đó {b
k
} và {c
k
} là dãy các số thực thỏa mãn b
k
∈ [0, 1],

∞
k=1
b
k
= ∞,

và lim sup
k→∞
c
k
≤ 0. Khi đó, lim
k→∞
a
k
= 0.
Bổ đề 2.1.4. (xem [5]). Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của H và G là
hàm hai biến từ C × C vào (−∞, +∞) thỏa mãn các điều kiện (A1)-(A4).
Cho r > 0 và x ∈ H. Khi đó, tồn tại z ∈ C sao cho:
G(z, v) +
1
r
z − x, v − z ≥ 0, ∀v ∈ C.
Bổ đề 2.1.5. (xem [5]). Giả sử G : C × C → (−∞, +∞) thỏa mãn các điều
kiện (A1)-(A4). Cho r > 0 và x ∈ H, xác định một ánh xạ T
r
: H → C như
sau:
T
r
(x) = {z ∈ C : G(z, v) +
1
r
z − x, v − z ≥ 0 ∀v ∈ C}. (2.7)
thì ta có các kết quả sau:
(i) T
r

là duy nhất;
(ii) T
r
là nửa nhóm không giãn duy nhất, tức là, với bất kì x, y ∈ H,
T
r
(x) − T
r
(y)
2
≤ T
r
(x) − T
r
(y), x − y; (2.8)
23
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(iii) F(T
r
) = EP (G);
(iv) EP (G) là tập lồi và đóng.
Bổ đề 2.1.6. (xem [28]). Cho C là tập con lồi, đóng khác rỗng trong không
gian Hilbert thực H và cho {T (s) : s > 0} là nửa nhóm không giãn trên C.
Khi đó, với mỗi h > 0
lim sup
t→∞
sup
y∈C





T (h)

1
t

t
0
T (s)yds

−
1
t

t
0
T (s)yds




= 0.
Bổ đề 2.1.7. (Xem [15]). Nếu C là tập con lồi, đóng của H, T là ánh xạ
không giãn trên C, {x
k
} là dãy trên C sao cho x
k
 x ∈ C và x
k

− T x
k
→ 0,
thì x − Tx = 0.
Bổ đề 2.1.8. (xem [29]). Cho {x
k
} và {z
k
} là dãy bị chặn trong không gian
Banach E và {β
k
} là dãy trên [0, 1] với 0 < lim inf
k→∞
β
k
≤ lim sup
k→∞
β
k
<
1.Giả sử x
k+1
= β
k
x
k
+ (1 − β
k
)z
k

với mọi k ≥ 1 và lim sup
k→∞
z
k+1
− z
k
 −
x
k+1
− x
k
 ≤ 0. Khi đó, lim
k→∞
z
k
− x
k
 = 0.
2.1.3. Các kết quả chính
Định lý 2.1.3. . Cho C
1
và C
2
là hai tập con không rỗng đóng lồi trong một
không gian Hilbert thực H. Cho G là hàm hai biến từ C
1
×C
1
đến (−∞, +∞)
thỏa mãn các điều kiện (A1)-(A4) với C thay bởi C

1
, cho {T (s) : s > 0} là
nửa nhóm không giãn trên C
2
sao cho EP (G) ∩ F = ∅ và cho f là ánh xạ
co từH vào chính nó. Khi đó, {x
k
} và {u
k
} xác định bởi (2.4) − (2.5) hội tụ
mạnh đến p ∈ EP (G) ∩ F, với p = P
EP (G)∩F
f(p).
Chứng minh.
Đặt Q = P
EP (G)∩F
. Khi đó, Qf là ánh xạ co từ H vào chính nó. Trong thực
tế, từ điều kiện f(x) − f(y) ≤ ax − y với mọi x, y ∈ H và các điều kiện
của nửa nhóm không giãn P
C
của tập con lồi đóng C trong H, có nghĩa là
Qf(x) − Qf(y) ≤ f(x) − f(y) ≤ ax − y.
24
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên