Lý thuyết khung Gabor trong biểu diễn thời gian - tần số (LV00341)

1
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận
tình của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người thầy đã hướng dẫn, luôn động
viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những
khó khăn trong quá trình hoàn thành luận văn. Tác giả xin bày tỏ lòng
kính trọng, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán và Tổ Giải tích cùng
với các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc
tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2010
Tác giả
Lưu Thị Thu Hương
2
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường.
Trong quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành quả
khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2010
Tác giả
Lưu Thị Thu Hương
BẢNG KÝ HIỆU
N Tập số tự nhiên
R Tập số thực
Z Tập số nguyên
C Tập số phức
R
k
Không gian thực k chiều

. Chuẩn
∅ Tập hợp rỗng
Z
+
= {0, 1, 2, } Tập các số nguyên không âm
Mục lục
Mở Đầu 1
1 Các khái niệm và kiến thức chuẩn bị 3
1.1. Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4. Công thức tổng Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5. Giải tích thời gian - tần số . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.1. Hàm cửa sổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.2. Biến đổi Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.3. Cửa sổ thời gian-tần số của Biến đổi Fourier thời
gian ngắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.4. Cửa sổ thời gian-tần số của biến đổi sóng nhỏ liên
tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Khung Gabor 17
2.1. Lý thuyết khung trong không gian Hilbert . . . . . . . . 17
3
4
2.2. Khung Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3. Sự hội tụ không điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4. Không gian Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5. Tính bị chặn của toán tử khung Gabor . . . . . . . . . . 34
2.6. Biểu diễn Walnut của toán tử khung Gabor . . . . . . . 37
2.7. Mở rộng không trực giao Painless . . . . . . . . . . . . . 41
2.8. Tính trù mật của khung Gabor. . . . . . . . . . . . . . 43

3 Giải tích Gabor trong không gian biến điệu 44
3.1. Các lớp cửa sổ của giải tích Gabor . . . . . . . . . . . . 44
3.2. Tính bị chặn của toán tử khung Gabor trên không gian
biến điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3. Cơ sở Wilson trong không gian biến điệu . . . . . . . . 64
3.4. Nén dữ liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Kết luận 79
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích sóng nhỏ tồn tại từ thập niên đầu của thế kỷ XX và đã
được nhiều nhà khoa học trên thế giới quan tâm nghiên cứu mà đi đầu
là Morlet, Meyer Y.V, Daubechies I., Kỹ thuật sóng nhỏ giúp chúng
ta phân chia một hàm số phức tạp thành chuỗi các hàm sơ cấp nhờ phép
giãn và phép dịch chuyển, cung cấp một công cụ rất hiệu quả và hấp
dẫn trong phân tích và tổng hợp tín hiệu.
Các nhà toán học đã có nhiều nỗ lực phát triển lý thuyết mới,
thuật toán cho các biểu diễn và tổng hợp các hàm. Biểu diễn sóng nhỏ
cùng biểu diễn Gabor là các công cụ toán học hữu hiệu nhất để thực
hiện nhiệm vụ này. Cụ thể là đã tìm thấy nhiều ứng dụng trong phân
tích tín hiệu và xử lý hình ảnh.
Trong lý thuyết Gabor các nhà toán học rất quan tâm tới một đối
tượng quan trọng đó là khung Gabor. Thuật toán khung được ca ngợi
là một phương pháp tái tạo hiệu quả. Vì vậy việc nghiên cứu lý thuyết
khung là một vấn đề rất lý thú.
Đến nay, lý thuyết khung Gabor được trình bày trong nhiều tài liệu
đi cùng với sóng nhỏ. Với mong muốn nghiên cứu lý thuyết khung Gabor
trong biểu diễn thời gian - tần số, một mặt trình bày lý thuyết khung
theo hệ thống, mặt khác mong muốn tìm những ứng dụng cụ thể của
lý thuyết này, dưới sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình của tiến sĩ Bùi Kiên
Cường tôi chọn nghiên cứu đề tài:

"Lý thuyết khung Gabor trong biểu diễn thời gian-tần số"
2
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu tổng quan về lý thuyết khung Gabor.
- Nghiên cứu về giải tích Gabor trong không gian biến điệu.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Trình bày các kết quả, tính chất của toán tử khung Gabor.
- Tính bị chặn của toán tử khung Gabor trong biểu diễn thời gian tần
số và trong không gian biến điệu.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu toán tử khung Gabor trong biểu diễn thời gian tần số
và trong không gian biến điệu.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết : Thu thập tài liệu, đọc và, phân tích, tổng
hợp để nghiên cứu về khung Gabor, toán tử khung Gabor.
6. Dự kiến đóng góp mới
Tìm một số ứng dụng cụ thể của khung Gabor.
Chương 1
Các khái niệm và kiến thức chuẩn
bị
1.1. Một số không gian hàm
Định nghĩa 1.1.1. (Không gian M
p,q
m

R
d

) Giả sử m (x, ω) là một hàm
không âm trên R

2d
, 1 ≤ p, q ≤ ∞ là các tham số khả tích, g ∈ S

R
d

là
một cửa sổ cố định. Khi đó chúng ta xác định chuẩn
f
M
p,q
m
=




R
d



R
d
|V
g
f (x, ω)|
p
m(x, ω)
p

dx


p/q
dω



1/q
Không gian con mọi f ∈ S


R
d

với chuẩn trên là hữu hạn được gọi là
không gian biến điệu M
p,q
m

R
d

.
Nếu p = q thì ta viết M
p
m
thay cho M
p,q
m

và nếu m (z) ≡ 1 trên R
2d
thì
ta viết M
p,q
và M
p
thay cho M
p,q
m
và M
p,p
m
.
Định nghĩa 1.1.2. (Không gian L
p,q
m

R
2d

) Giả sử m là một hàm trọng
trên R
2d
và 1 ≤ p, q ≤ ∞. Khi đó không gian trọng chuẩn hỗn hợp
L
p,q
m

R

2d

bao gồm trả các hàm đo được (Lebesgue) trên R
2d
sao cho
3
4
chuẩn
F 
L
p,q
m
=




R
d



R
d
|F (x, ω)|
p
m(x, ω)
p
dx



p/q
dω



1/q
là hữu hạn.
Nếu p = ∞ với mọi q = ∞ thì p
−
chuẩn tương ứng thực chất là thay
cho supremum. Do đó:
F 
L
∞,q
m
=




R
d



ess sup
x∈R
d
|F (x, ω)|m (x, ω)




q
dω



1/q
và
F 
L
p,∞
m
= ess sup
ω∈R
d



R
d
|F (x, ω)|
p
m(x, ω)
p
dx


1/p

Từ ω → F (., ω) m (., ω) có giá trị trong L
p
, không gian chuẩn hỗn hợp
L
p,q
m
có thể thấy như một không gian giá trị vectơ L
q
.
Nếu p = q thì L
p,q
m
= L
p
m
là không gian L
p
trọng thông thường. Hơn nữa
L
∞
m

R
2d

bao gồm tất cả các hàm (đo được) f sao cho
ess sup |f (z)|m (z) ≤ C
hay
|f (z)| ≤ Cm(z)
−1

, z ∈ R
2d
Theo định nghĩa thì f
L
∞
m
là infimum của tất cả các hằng số C.
Định nghĩa 1.1.3. (Lớp S

R
d

) Lớp Schwartz S

R
d

bao gồm các hàm
f ∈ C
∞

R
d

sao cho : sup
x∈R
d


D

α
X
β
f (x)


< ∞ ∀α, β ∈ Z
d
+
với
X
α
f (x) = x
α
f (x)
5
D
α
=
∂
α
1
∂x
α
1
1

∂
α
d

∂x
α
d
d
Không gian đối ngẫu của S

R
d

ký hiệu là S


R
d

d
.
Định nghĩa 1.1.4. Nhóm đơn hình Sp (d) là nhóm của tất cả các ma
trận A ∈ GL (2d, R) thỏa mãn: [Az, Az

] = [z, z

] với mọi z, z

∈ R
2d
.
Định nghĩa 1.1.5. ( Không gian l
p,q
m


Z
2d

) Không gian l
p,q
m

Z
2d

bao
gồm tất cả các dãy a = (a
kn
)
k,n∈Z
d
( các hàm từ Z
2d
tới C) với chuẩn
a
l
p,q
m
=



n∈Z
d



k∈Z
d
|a
kn
|
p
m(k, n)
p

q/p


1/q
là hữu hạn.
Định nghĩa 1.1.6. ( Không gian S
C

R
d

) Không gian của các cửa sổ
đặc biệt được định nghĩa
S
C

R
d


=

f ∈ L
2

R
d

: f = V
∗
ϕ
F =

R
2d
F (x, ω) M
ω
T
x
ϕdxdω

ở đây F ∈ L
∞

R
2d

và suppF là compact.
Định nghĩa 1.1.7. Cho một hàm cửa sổ cố định g = 0. Khi đó STFT
của hàm f đối với g được xác định

V
g
f (x, ω) =

R
d
f (t)
g (t −x)e
−2πitω
dt
với x, ω ∈ R
d
.
Định nghĩa 1.1.8. Hàm trọng trên R
2d
là một hàm không âm, khả tích
địa phương trên R
2d
.
Cho các hàm trọng m, v trên R
2d
, m được gọi là v
−
ôn hòa nếu tồn tại
hằng số c sao cho
m (z
1
+ z
2
) ≤ cv (z

1
) m (z
2
) , ∀z
1
, z
2
∈ R
2d
.
6
Sau này chúng ta sử dụng m để biểu thị một hàm v
−
trọng ôn hòa.
Cho x, ω ∈ R
d
chúng ta định nghĩa các toán tử:
T
x
f (t) = f (t − x)
M
ω
f (t) = e
2πiωt
f (t) .
Với mỗi n ∈ N\{0}, tập Z
n
+
= {α = (α
1

, α
2
, , α
n
) , α
j
∈ Z
+
, j = 1, 2, , n}
R
n
= {x = (x
1
, x
2
, , x
n
) , x
j
∈, j = 1, 2, , n}.
Với mỗi số thực 1 ≤ p < ∞, ký hiệu:
L
p
(Ω) =

u : Ω → C





ess sup
x∈Ω
|u (x) |< ∞

trong đó :
ess sup
x∈Ω
|u (x)| = inf {M > 0 |µ {x ∈ Ω ||u (x) | > M} = 0 }, µ là độ đo
Lebesgue.
1.2. Chuỗi Fourier
Chuỗi Fourier biểu diễn hàm tuần hoàn giá trị thực p (t) [p (t) = p (t + T )]
như sau:
p (t) =
∞

k=−∞
α
k
e
jkω
0
t
(1.1)
Với :
α
k
=
1
T
t

0
+T

t
0
p (t) e
−jkω
0
t
(1.2)
ở đây α
k
là các hệ số Fourier và chu kỳ T =
2π
ω
0
với ω
0
là tần số cơ sở.
Tập hợp các hàm số {e
k
} =

e
jkω
0

, k ∈ Z tạo thành một cơ sở trực
giao trong L
2

[t
0
, t
0
+ T] và

t
0
+T
t
0
e
k
e
l
dt = Tδ
k,l
.
7
Hệ số α
k
được viết dưới dạng của một tích chập:
α
k
=
1
T

p (t) , e
jkω

0
t

. (1.3)
Một chuỗi Fourier có thể biểu diễn dưới dạng khác. Biểu diễn sử dụng
hàm sin và cos như sau:
p (t) =
a
0
2
+
∞

k=1
(a
k
cos kω
0
t + b
k
sin kω
0
t) (1.4)
trong đó a
k
và b
k
là các hệ số thực. Biểu diễn dưới dạng phức sử dụng
chỉ với hàm điều hòa dương được viết như sau:
p (t) = c

0
+
∞

k=1
c
k
cos (kω
0
t + θ
k
) (1.5)
Với
|c
k
| =

a
2
k
+ b
2
k
, θ
k
= tan
−1

−
b

k
a
k

.
Ở đây c
k
= |c
k
|e
jθ
k
là đại lượng phức.
Công thức biểu diễn a
k
và b
k
:
a
k
=
2
T

T
0
p (t) cos kω
0
b
k

=
2
T

T
0
p (t) sin kω
0
tdt.
1.3. Biến đổi Fourier
Từ mở rộng chuỗi Fourier đến biến đổi Fourier, chúng ta cùng xét
(1.1) và (1.2). Hàm thời gian p (t) trong (1.1) có thể sử dụng biểu thị ở
8
(1.2) như sau:
p (t) =
∞

k=−∞

1
T
T/2

−T/2
p (t

) e
−jkω
0
t



e
jkω
0
t
=
1
2π
∞

k=−∞
ω
0


T/2
−T/2
p (t

) e
−jkωt

dt


e
jkω
0
t

(1.6)
Chúng ta mở rộng chu kỳ T tới vô hạn, như vậy ω
0
xấp xỉ dω và kω xấp
xỉ ω.
Phép lấy tổng trong (1.6) trở thành tích phân:
p (t) =
1
2π

∞
−∞


∞
−∞
p (t

) e
−jωt


e
jωt
dω. (1.7)
Tích phân trong dấu ngoặc được biểu diễn bởi một hàm ˆp (ω)
ˆp (ω) =

∞
−∞

p (t

)e
−jωt

dt

(1.8)
và (1.7) trở thành :
p (t) =
1
2π

∞
−∞
ˆp (ω)e
jωt
dω. (1.9)
Phương trình (1.8) và (1.9) được biết như cặp biến đổi Fourier.
Từ đây chúng ta sử dụng f (t) để biểu diễn một hàm của miền thời
gian, còn p (t) biểu diễn hàm thời gian tuần hoàn. Chúng ta viết lại
(1.8) với ký hiệu mới. Biến đổi Fourier của một hàm năng lượng hạn chế
f (t) ∈ L
2
(R) của một biến thực t được định nghĩa bởi tích phân :
ˆ
f (ω) =

∞
−∞

f (t) e
−jωt
dt (1.10)
Kí hiệu tích vô hướng bởi < f, g >=

Ω
g (t)h (t)dt , biến đổi Fourier có
thể biểu thị như sau:

f (ω) =

f (t) , e
jωt

(1.11)
9
Sự thể hiện của (1.11) là rất quan trọng. Phương trình này trình bày
biểu diễn bộ phận cấu thành của f (t) tại ω . Nếu chúng ta có thể xác
định tất cả các thành phần của f (t) trên trục ω, sự chồng chất của các
thành phần này sẽ xây dựng lại hàm gốc f (t):
f (t) =
1
2π

∞
−∞
ˆ
f (ω)e
jωt
dω. (1.12)

Từ (1.12) có thể xem lại sự chồng chất tích phân là thác triển từ các
thành phần của nó. Tích phân liên quan tới biến đổi Fourier ngược của

f (ω). Nếu biến t biểu diễn thời gian, được gọi là phổ của f (t) . Nếu t
biểu diễn không gian,

f (ω) được gọi là phổ không gian.
1.4. Công thức tổng Poisson
Công thức tổng Poisson có ích trong mối liên hệ thông tin miền thời
gian của một hàm số với quang phổ của nó. Lấy f (t) ∈ L
2
(R). Tuần
hoàn hóa của f(t), gọi là f
p
(t), được biểu diễn bởi :
f
p
(t) :=
∞

n=−∞
f (t + 2πn). (1.13)
Ở đây T = 2π là chu kỳ của f
p
(t).
Từ đó ω
0
=
2π
T

= 1 và chuỗi Fourier biểu diễn f
p
(t) như sau:
f
p
(t) =
∞

k=−∞
c
k
e
jk
t
(1.14)
với các hệ số c
k
xác định bởi :
c
k
=
1
2π

2π
0
f
p
(t) e
−jkt

dt
=
1
2π

2π
0

n∈Z
f (t + 2πn) e
−jkt
dt
10
=
1
2π

n∈Z

2π
0
f (t + 2πn) e
−jkt
dt
=
1
2π

n∈Z


2π
0
f (t + 2πn)e
−jkt
dt
=
1
2π

n∈Z

2π(n+1)
2πn
f (ξ)e
−jk(ξ−2πn)
dξ. (1.15)
Ở đây sử dụng phép đổi biến ξ = t + 2πn . Từ đó
c
k
=
1
2π

∞
−∞
f (ξ) e
−jkξ
dξ =
1
2π


f (k) . (1.16)
Kết hợp (1.13), (1.14) và (1.15) ta có công thức tổng Poisson :
∞

n=−∞
f (t + 2πn) =
1
2π
∞

k=−∞

f (k)e
jkt
(1.17)
Với một chu kỳ T tùy ý, công thức được tổng quát hóa
∞

n=−∞
f (t + nT ) =
1
T
∞

k=−∞

f (kω
0
) e

jkω
0
t
. (1.18)
Nếu g (t) là một hàm bậc thang của f (t) tức là
g (t) = f (at) , a > 0
ta có:
g (ω) =
1
a

f

ω
a

.
Công thức tổng Poisson cho f (at) là :
∞

n=−∞
f (at + 2πan) =
1
2πa
∞

k=−∞

f


k
a

e
jkt
. (1.19)
Nếu at được coi như t ta có:
∞

n=−∞
f (t + 2πan) =
1
2πa
∞

k=−∞

f

k
a

e
jkt/a
. (1.20)
11
Hai dạng khác của tổng Poisson sẽ cần cho phép lấy đạo hàm về sau. Ta
có:

k∈Z


f (ω + 2πk) =

k∈Z
f (k)e
jkω
(1.21)
1
a

k∈Z

f

ω+2πk
a

=

k∈Z
f (ak)e
−jkω
.
1.5. Giải tích thời gian - tần số
Mặc dù phương pháp giải tích Fourier có nhiều tác dụng trong những
lĩnh vực khác nhau, nhưng nó trở nên không thỏa đáng khi liên quan
đến khái niệm tần số địa phương của một tín hiệu bởi quang phổ Fourier
không cung cấp nhiều thông tin miền thời gian về tín hiệu. Để sửa khiếm
khuyết này, sự phân tích địa phương là cần thiết và là sự kết hợp cả giải
tích miền thời gian và miền tần số để đạt được giải tích thời gian- tần

số, bằng phương pháp mà chúng ta có thể rút ra các nội dung tần số địa
phương của một tín hiệu. Đây là điều rất quan trong, từ đó mà trong
thực hành chúng ta chỉ cần quan tâm đến một vài phần đặc biệt của
quang phổ và do đó chúng ta có thể tương tự những điều đã biết về một
phần của tín hiệu miền thời gian là nguồn gốc, nguyên nhân mang đến
nét đặc trưng của quang phổ.
Phương hướng chung điều khiển để biết các nội dung tần số địa phương
của một tín hiệu là chúng ta nên bỏ đi một phần không mong muốn từ
tín hiệu đã cho và sau đó lấy biến đổi Fourier của phần mà ta mong
muốn.
12
1.5.1. Hàm cửa sổ
Giả sử φ (t) ∈ L
2
(R) là một hàm cửa sổ giá trị thực. Khi đó tích
f (t) φ (t −b) =: f
b
(t) sẽ chứa đựng các thông tin của f (t) gần t = b .
Đặc biệt nếu φ (t) = χ
[−τ,τ )
(t) thì:
f
b
(t) =



f (t) , t ∈ [b −τ, b + τ)
0, t /∈ [b −τ, b + τ)
(1.22)

Bằng cách thay đổi tham số b chúng ta có thể trượt hàm cửa sổ theo
trục thời gian để phân tích dáng điệu địa phương của hàm f (t) trong
các khoảng khác nhau.
Hai tham số quan trọng nhất của một hàm cửa sổ là tâm và chiều rộng
của nó. Cuối cùng là hai lần bán kính. Xóa bỏ tâm và bề rộng chuẩn
của hàm cửa sổ lần lượt tại 0 và 2t. Với một hàm cửa sổ tổng quát φ (t),
chúng ta định nghĩa tâm t
∗
của nó như sau:
t
∗
:=
1
φ
2

∞
−∞
t|φ (t)|
2
dt (1.23)
và căn bậc hai bán kính (RMS) ∆
φ
như sau:
∆
φ
:=
1
φ



∞
−∞
(t −t
∗
)
2
|φ (t)|
2
dt

1/2
(1.24)
Cửa sổ đặc biệt dễ dàng thử lại với t
∗
= 0 và ∆
φ
=
t
√
3
. Do đó, bề rộng
RMS nhỏ hơn bề rộng chuẩn
1
√
3
.
Hàm φ (t) mô tả ở trên với ∆
φ
hữu hạn được gọi là một cửa sổ thời gian.

Tương tự chúng ta cũng có một cửa sổ tần số

φ (ω) với tâm ω
∗
và bán
13
kính RMS ∆

φ
định nghĩa tương tự (1.23) và (1.24) như sau:
ω
∗
:=
1




φ



2

∞
−∞
ω





φ (ω)



2
dω (1.25)
Như chúng ta đã biết, lí thuyết một hàm số không thể giới hạn trong
thời gian và tần số tương thích. Tuy nhiên, chúng ta có thể có φ (t), ∆
φ
và ∆

φ
. là hữu hạn. Trong trường hợp đó hàm số φ (t) được gọi là một
cửa sổ thời gian-tần số. Dễ dàng thấy cửa sổ, ω
∗
= 0 và ∆
φ
= ∞. Cửa
sổ này là cửa sổ thời gian tốt nhất nhưng là cửa sổ tần số tồi nhất.
Một dấu hiệu của tính năng cửa sổ thời gian-tần số là tích bề rộng-thời
gian-tần số ∆
φ
∆

φ
bị chặn dưới theo nguyên lí không chặt và cho bởi:
∆
φ
∆


φ
≥
1
2
.
Ở đây đẳng thức xảy ra khi φ là kiểu Gauss.
1.5.2. Biến đổi Gabor
Biến đổi Gabor được phát triển bởi D.Gabor, người đã sử dụng hàm
Gauss
g
α
(t) =
1
2πα
e
−t
2
/4α
, α > 0. (1.26)
như hàm cửa sổ. Biến đổi Fourier của (1.26) là
g
α
(ω) = e
−αω
2
, α > 0. (1.27)
Với hàm cửa sổ g
α
(t) , ta có t

∗
= ω
∗
= 0, ∆g
α
=
√
α và ∆ g
α
=
1
2
√
α.
Chú ý rằng ∆g
α
∆ g
α
= 0, 5 đạt được cận dưới theo nguyên lí không chặt.
14
1.5.3. Cửa sổ thời gian-tần số của Biến đổi Fourier thời gian
ngắn
Chúng ta có thể định nghĩa Biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT)
của hàm f(t) đối với hàm cửa sổ φ (t) biểu thị ở vị trí (b, ξ) trong mặt
phẳng thời gian-tần số như sau:
G
φ
f (b, ξ) :=
∞


−∞
f (t) φ
b,ξ
, (t)dt. (1.28)
Ở đây φ
b,ξ
(t) := φ (t −b) e
jξt
.
Chúng ta cùng nghiên cứu hàm cửa sổ φ (t) trong (1.28). Nếu t
∗
là
tâm và ∆
φ
là bán kính của hàm cửa sổ, thì (1.28) đưa đến thông tin về
hàm f (t) trong cửa sổ thời gian:
[t
∗
+ b − ∆
φ
, t
∗
+ b + ∆
φ
] . (1.29)
Để có được các cửa sổ tương ứng trong miền tần số, áp dụng đẳng thức
Parseval
f (t) , g (t) =
1
2π



f (ω) , g (ω)

(1.30)
cho (1.28). Ta có :
G
φ
f (b, ξ) =
∞

−∞
f (t) φ (t −b)e
−jξt
dt
=
1
2π
e
−jξb
∞

−∞

f (ω)

φ (ω − ξ)e
jbω
dω.
= e

−jξb


f (ω)

φ (ω − ξ)

V
(1.31)
15
1.5.4. Cửa sổ thời gian-tần số của biến đổi sóng nhỏ liên tục
Định nghĩa của tâm miền tần số và bán kính thảo luận trong phần
1 5.1 không áp dụng cho cửa sổ sóng nhỏ, vì không như cửa sổ của
STFT trong đó

φ (0) = 1 , ở đây cửa sổ sóng nhỏ

ψ (0) = 0. Nói cách
khác,

ψ (ω) trình bày đặc tính dải lọc của bộ lọc. Do đó, chúng ta có hai
tâm và hai bán kính trên trục tần số dương

ψ (ω).
ω
∗
+
:=
∞


0
ω




ψ (ω)



2
dω
∞

0




ψ (ω)



2
dω
(1.32)
∆
+

ψ

=




∞

0
(ω − ω
∗
+
)
2




ψ (ω)



2
dω
∞

0





ψ (ω)



2
dω




1/2
(1.33)
Định nghĩa t
∗
và ∆
ψ
vẫn giống như trong phần 1.5.1, với φ (t) thay thế
bằng ψ (t). Đối với sóng nhỏ nguyên lý không chắc chắn xảy ra bất đẳng
thức ngặt
∆
ψ
∆
+

ψ
>
1
2
(1.34)
Nếu t

∗
và ∆
ψ
là tâm và bán kính của ψ (t) thì W
ψ
f (b, a) có chứa các
thông tin của f (t) trong cửa sổ thời gian
[at
∗
+ b − a∆
ψ
, at
∗
+ b + a∆
ψ
] (1.35)
Biến đổi tích phân sóng nhỏ của hàm f (t) ∈ L
2
(R) đối với một số sóng
nhỏ ψ được định nghĩa bởi
W
ψ
f (b, a) :=
∞

−∞
f (t) ψ
b,a
(t)dt. (1.36)
16

Ở đây
ψ
b,a
(t) =
1
√
a
ψ(
t −b
a
), a > 0 (1.37)
Áp dụng đẳng thức Parseval cho (1.35) để có được một ý tưởng về cửa
sổ tần số
W
ψ
f (b, a) =
1
√
a
∞

−∞
f (t) ψ

t −b
a

dt (1.38)
=
√

a
2π
∞

−∞

f (ω)

ψ (aω)e
jbω
dω. (1.39)
Từ (1.37) rõ ràng cửa sổ tần số là:

1
a

ω
∗
+
− ∆
+

ψ

,
1
a

ω
∗

+
+ ∆
+

ψ

Cửa sổ thời gian-tần số là tích :
2a∆
ψ
x
2
a
∆
+

ψ
= 4∆
ψ
∆
+

ψ
= cons tan t .
Chương 2
Khung Gabor
2.1. Lý thuyết khung trong không gian Hilbert
Định nghĩa 2.1.1. (Khung). Một dãy {e
j
: j ∈ J} trong không gian
Hilbert H được gọi là một khung nếu tồn tại các số A, B, với 0 < A ≤ B

sao cho
Af
2
≤

j∈J
|f, e
j
|
2
≤ Bf
2
, ∀f ∈ H. (2.1)
Các hằng số A và B được gọi là các cận khung. Nếu A = B, thì (2.1) trở
thành đẳng thức. Trong trường hợp này, khung được gọi là khung chặt.
Có thể nhận thấy rằng, một khung là một cơ sở trực chuẩn nếu và
chỉ nếu A = B = 1.
Định nghĩa 2.1.2. Đối với bất kỳ tập con {e
j
: j ∈ J} ⊆ H các toán tử
hệ số, hay toán tử giải tích C được cho bởi:
Cf = {f, e
j
 : j ∈ J}.
Toán tử tổng hợp hoặc toán tử tái tạo D được định nghĩa cho một dãy
17
18
hữu hạn c = (c
j
)

j∈J
bởi :
Dc =

j∈J
c
j
e
j
∈ H
và toán tử khung S được định nghĩa trên H bởi:
Sf =

j∈J
f, e
j
e
j
.
Các tính chất cơ bản dưới đây của các toán tử này là:
Định lý 2.1.1. Giả sử rằng {e
j
: j ∈ J} là một khung của H. Khi đó
(a) C là một toán tử bị chặn từ H vào l
2
(J) với miền đóng.
(b) Các toán tử C và D là liên hợp với nhau ,nghĩa là D = C
∗
.
Do đó, D thác triển đến một toán tử bị chặn từ l

2
(J) vào H và thỏa
mãn:







j∈J
c
j
e
j






≤ B
1/2
c
2
.
(c) Toán tử khung S = C
∗
C = DD
∗

ánh xạ H lên H và là một toán tử
dương khả nghịch thỏa mãn AI
H
≤ S ≤ BI
H
và B
−1
I
H
≤ S
−1
≤ A
−1
I
H
Đặc biệt, {e
j
: j ∈ J} là một khung chặt khi và chỉ khi S = AI
H
.
(d) Cận khung tối ưu là B
opt
= S
op
và A
opt
=


S

−1


−1
op
.
ở đây .
op
là toán tử chuẩn của H.
Chứng minh.
(a) Khẳng định này tương đương với bất đẳng thức khung (2.1) .
(b) Giả sử c = (c
j
)
j∈J
là một chuỗi hữu hạn. Ta có
C
∗
c, f = c, Cf =

j∈J
c
j
f, e
j
 =


j∈J
c

j
e
j
, f

= Dc, f.
19
Từ C là bị chặn trên H và có toán tử chuẩn C
op
≤ B
1/2
của (2.1),
theo đó D = C
∗
: l
2
(J) → H cũng bị chặn với cùng toán tử chuẩn. Vì
vậy, có (b).
(c) Rõ ràng là các toán tử khung S = C
∗
C = DD
∗
và hệ quả là S là
tự liên hợp và dương. Từ
Sf, f =

j∈J
|f, e
j
|

2
bất đẳng thức toán tử AI ≤ S ≤ BI chỉ là viết lại (2.1). S là khả nghịch
trên H vì các bất đẳng thức được bảo toàn theo phép nhân với các toán
tử dương giao hoán, do đó AS
−1
≤ SS
−1
≤ BS
−1
như mong muốn.
(d) Theo đó các bất đẳng thức khung (2.1) và thực tế là toán tử chuẩn
của toán tử dương được xác định bởi S
op
= sup {Sf, f : f ≤ 1}
Chứng minh cho A
opt
là tương tự.
Hệ quả 2.1. Giả sử {e
j
: j ∈ J} là một khung trên H . Nếu f =

j∈J
c
j
e
j
đối với một số c ∈ l
2
(J), thì với mọi ε > 0 tồn tại một
tập con hữu hạn F

0
= F
0
(ε) ⊆ J sao cho






f −

j∈F
c
j
e
j






< ε (2.2)
với mọi tập con hữu hạn F ⊇ F
0
. Ta nói rằng các chuỗi

j∈J
c

j
e
j
hội
tụ tuyệt đối tới f ∈ H.
Chứng minh.
Chọn F
0
∈ J sao cho

j /∈F
|c
j
|
2
< ε/B
1/2
với F ⊇ F
0
. Giả sử c
F
=
c.χ
F
∈ l
2
(J) là dãy hữu hạn với các điều kiện c
F,j
= c
j

nếu j ∈ F và
20
c
F,j
= 0 nếu j /∈ F. Khi đó

j∈F
c
j
e
j
= Dc
F
và :






f −

j∈F
c
j
e
j







= Dc −Dc
F
 = D (c −c
F
) ≤ B
1/2
c −c
F

2
< ε.
Hội tụ tuyệt đối là khái niệm quan trọng nhất của hội tụ cho các chuỗi
không trực giao tổng quát, tập chỉ mục không có cấu trúc. Chúng ta sẽ
tiếp tục nghiên cứu tính chất của hội tụ vô điều kiện tại mục 2.3.
Như một hệ quả của Định lý 2.1.1, chúng ta có được một công thức
tái tạo đầu tiên cho f từ các hệ số khung f, e
j
.
Hệ quả 2.2. Nếu {e
j
: j ∈ J} là một khung với cận khung A, B > 0 thì

S
−1
e
j
: j ∈ J


là một khung với cận khung B
−1
, A
−1
> 0 , và gọi là
khung kép. Mỗi f ∈ H có khai triển không trực giao
f =

j∈J

f, S
−1
e
j

e
j
(2.3)
và
f =

j∈J
f, e
j
S
−1
e
j
. (2.4)

Ở đây các tổng đều hội tụ tuyệt đối trong H .
Chứng minh.
Đầu tiên, ta có

j∈J



f, S
−1
e
j



2
=

j∈J



S
−1
f, e
j



=


S

S
−1
f

, S
−1
f

=

S
−1
f, f

.
Vì vậy Định lý 2.1.1 (c) cho ta
B
−1
f
2
≤

S
−1
f, f

=


j∈J



f, S
−1
e
j



2
≤ A
−1
f
2
.
Vì vậy, hệ

S
−1
e
j
: j ∈ J

là một khung với các cận khung B
−1
và A
−1

.