Một số ứng dụng của phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình toán tử (LV00265)

1

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cơ giáo giảng dạy chun
ngành Tốn Giải tích trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tơi trong
suốt q trình học tập và thực hiện đề tài.
Đặc biệt, tôi xin cảm ơn TS. Khuất Văn Ninh đã trực tiếp hướng dẫn
tơi trong suốt q trình nghiên cứu đề tài và hoàn chỉnh đề tài. Xin cảm ơn
các bạn học viên lớp K11 Tốn Giải tích đã giúp đỡ và có những đóng góp
quý báu cho bản luận văn này.

Hà Nội, tháng 9 năm 2009
Tác giả

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


2

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tơi dưới
sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Khuất Văn Ninh.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 9 năm 2009
Tác giả

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

3

MỤC LỤC

Mục lục

3

Mở đầu

5

Chương 1. Một số khái niệm mở đầu………………………………….......7
1.1.

Không gian metric………………………………………………7
1.1.1. Định nghĩa không gian metric…………………………...7
1.1.2. Tập mở và tập đóng……………………………………...7
1.1.3. Ánh xạ liên tục…………………………………………...8
1.1.4. Khơng gian metric đầy…………………………………...8
1.1.5. Nguyên lý Banach về ánh xạ co………………………....9

1.2.

Không gian tuyến tính định chuẩn……………………………...9

1.3.

Phương pháp xấp xỉ liên tiếp…………………………………..11

1.4.

Phương trình loại hai với toán tử đơn điệu
và liên tục Lipschit……………………………………………..13

Chương 2. Phương pháp thác triển theo tham số đối với phương trình
loại hai với tốn tử đơn điệu và liên tục Lipschitz…………16
2.1.

Sự tồn tại nghiệm………………………………………………16

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


4

2.2.

Ước lượng tốc độ hội tụ………………………………………..20

Chương 3. Giải phương trình tốn tử loại hai trong một số khơng gian
định chuẩn…………………………………………………….25
3.1.

Sự tồn tại nghiệm của phương trình (3.1) trong
khơng gian R1 …………………………………………………..25
3.1.1. Định nghĩa……………………………………………...25
3.1.2. Sự tồn tại nghiệm……………………………………….25

3.2.

Sự tồn tại nghiệm của phương trình (3.1) trong
khơng gian R 2 ………………………………………………….30
3.2.1. Định nghĩa………...……………………………………30
3.2.2. Sự tồn tại nghiệm……………………………………….31

Kết luận

39

Tài liệu tham khảo

40

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


5

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán giải phương trình tốn tử đã có nhiều nhà khoa học nổi tiếng
đề cập đến. Phạm vi ứng dụng của lý thuyết phương trình tốn tử rất rộng lớn
và có hiệu lực thực tiễn mạnh mẽ. Trong đó có rất nhiều cơng trình nghiên
cứu về việc tìm nghiệm của phương trình tốn tử loại hai đặc biệt là phương
trình loại hai với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz x + Ax = f. Trong
thực tiễn những yếu tố của bài tốn do nhiều ngun nhân chỉ có tính chất gần
đúng do đó có rất nhiều cơng trình tập trung nghiên cứu các phương trình tốn
tử theo quan điểm xấp xỉ.

Các phương pháp để nghiên cứu xấp xỉ phương trình tốn tử rất phong
phú và đa dạng. Phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình
loại hai với tốn tử đơn điệu và liên tục Lipschitz là một trong những phương
pháp có ứng dụng rộng rãi, phương pháp được thực hiện thơng qua việc chia
nhỏ bài tốn phức tạp thành những bài tốn đơn giản có thể giải được bằng
phương pháp ánh xạ co.
Phương pháp này đã sử dụng q trình lặp thơng qua một số hữu hạn
các bước theo tham số ε và mỗi bước được thực hiện nhờ phương pháp ánh
xạ co.
Bởi vậy tôi đã chọn đề tài “Một số ứng dụng của phương pháp thác
triển theo tham số để giải phương trình tốn tử” để thực hiện luận văn của
mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn trình bày những nghiên cứu về lý thuyết của phương pháp
thác triển theo tham số để giải phương trình tốn tử và ứng dụng của phương
pháp.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


6
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu nói trên của luận văn, những nhiệm vụ
nghiên cứu của luận văn là:
Nghiên cứu lý thuyết của phương pháp thác triển theo tham số đối với
phương trình loại hai với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz.
Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp nói trên để giải phương trình
tốn tử loại hai trong một số khơng gian định chuẩn.
4. Phương pháp nghiên cứu
Áp dụng phương pháp lặp qua một số hữu hạn các bước theo tham số ε

và mỗi bước được thực hiện nhờ phương pháp ánh xạ co để tính nghiệm gần
đúng của phương trình.
5. Giả thuyết khoa học
Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp thác triển theo tham số để giải
phương trình tốn tử loại hai trong một số không gian định chuẩn.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của thầy giáo
TS. Khuất Văn Ninh. Tác giả mong rằng luận văn này sẽ có những đóng góp
hữu ích trong việc giải và nghiên cứu phương trình tốn tử.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ tận tình, chu đáo, của thầy
giáo TS. Khuất Văn Ninh, cảm ơn các thầy (cơ) giáo phịng sau đại học, khoa
Tốn trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 cùng bạn bè, đồng nghiệp đã động
viên, khích lệ và tạo điều kiện tốt nhất giúp hoàn thành đề tài này.

Hà Nội, tháng 9 năm 2009
Tác giả

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


7

Chương 1

Một số khái niệm mở đầu
1.1. Không gian metric
1.1.1. Định nghĩa không gian metric
T a gọi là không gian metric một tập hợp X ≠ Φ cùng với một số ánh xạ
d từ tích Descartes X x X vào tập hợp số thực R thoả mãn các tiên đề sau đây:
1. (∀x, y ∈ X) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, ( tiên đề đồng nhất)
2. (∀x, y ∈ X) d(x, y) = d (y, x), (tiên đề đối xứng)

3. (∀x, y, z ∈ X) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), (tiên đề tam giác)
Ánh xạ d gọi là metric trên X, số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai
phần tử x & y. Các phần tử của X gọi là các điểm, các tiên đề 1, 2, 3 gọi là
các tiên đề metric.
Không gian metric được ký hiệu là: M = (X, d)
1.1.2. Tập mở và tập đóng
Lân cận
Định nghĩa 1.1.2
Cho không gian metric M = (X, d). Ta gọi là lân cận của điểm x ∈ X
trong không gian M mọi hình cầu mở tâm x, bán kính r > 0 nào đấy.
Tập mở và tập đóng
Định nghĩa 1.1.3
Cho không gian Metric M = (X, d) và tập A ⊂ X. Tập A gọi là tập mở
trong không gian M nếu mọi điểm thuộc A đều là điểm trong của A, hay nói
cách khác, nếu điểm x ∈ A, thì tồn tại một lân cận của x bao hàm trong A.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


8
Tập A gọi là tập đóng trong khơng gian M, nếu mọi điểm khơng thuộc
A đều là điểm ngồi của A, hay nói cách khác, nếu điểm x ∉ A, thì tồn tại một
lân cận của x khơng chứa điểm nào thuộc tập A.
Định lý 1.1
Trong không gian metric bất kỳ, mọi hình cầu mở là tập mở, mọi hình
cầu đóng là tập đóng.
1.1.3 Ánh xạ liên tục
Cho hai khơng gian metric M1 = (X, d 1), M2 = (Y , d2), ánh xạ f từ không
gian M1 đến không gian M2.
Định nghĩa 1.1.4

Ánh xạ f gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu:
( ∀ε > 0) ( ∃ δ > 0) (∀x ∈ X: d1(x, x0 ) < δ thì d 2 ( f ( x), f ( x0 ) ) < ε )
Định nghĩa 1.1.5
Ánh xạ f gọi là liên tục trên tập A ⊂ X, nếu ánh xạ f liên tục tại mọi điểm
x ∈ A. Khi A = X thì ánh xạ f gọi là liên tục.
Định nghĩa 1.1.6
Ánh xạ f gọi là liên tục đều trên tập A ⊂ X nếu:
( ∀ε > 0) ( ∃ δ > 0) (∀x, x ' ∈ A: d 1(x, x ' ) < δ , d 2 ( f ( x ), f ( x ' ) ) < ε )
1.1.4. Không gian metric đầy
Định nghĩa 1.1.7
Cho không gian metric M = (X, d), dãy điểm (xn) ⊂ X gọi là dãy cơ bản
trong M nếu:
(∀ε > 0) ( ∃ n0 ∈ N*) (∀m, n ≥ n0) thì d(xn, xm) < ε hay lim d (xn , xm ) = 0
n ,m →∞
Định nghĩa 1.1.8
Không gian metric M = (X, d) gọi là không gian đầy, nếu mọi dãy cơ
bản trong không gian này hội tụ.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


9

1.1.5. Nguyên lý Banach về ánh xạ co
Định nghĩa1.1.9
Cho hai không gian metric M = (X, d 1), M = (Y, d2). Ánh xạ A không
gian M1 vào không gian M 2 gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số α , 0 ≤ α < 1 sao
cho:
d 2 (Ax,Ax' ) ≤ α d1 (x , x' ),∀x , x' ∈ X

Nguyên lý ánh xạ co
Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy M = (X, d) vào chính nó
đều có điểm bất động x duy nhất, nghĩa là x ∈ X thoả mãn hệ thức Ax = x
Giả sử X là không gian metric đủ và ánh xạ T: X→X thỏa mãn điều
kiện:
d(Tx, Ty) ≤ α d(x, y) với hằng số α < 1 và ∀x, y ∈X.
Khi đó tồn tại duy nhất phần tử x*∈ X sao cho x * = Tx*, hơn nữa với
mọi
x0 ∈ X thì dãy

{ xn }n∈N xác định bởi xk+1 = Txk, ∀k∈N, là hội tụ đến x*, đồng

thời ta có ước lượng:
d(x n, x *) ≤

αn
d ( x1 , x0 )
1−α

1.2. Khơng gian tuyến tính định chuẩn
Định nghĩa 1.2
T a gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn)
là khơng gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc P = C) cùng với một
ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu là . và đọc là chuẩn, thoả mãn các
tiêu đề sau đây:
1. (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ (Kí hiệu phần tử không là θ )
2. (∀x ∈ X) (∀ α ∈ P) α x = α x

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

10
3. (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y
Số x gọi là chuẩn của vectơ x.
Kí hi ệu không gian định chuẩn là X. Các tiên đề 1, 2, 3 gọi là hệ tiên đề
chuẩn.
Định nghĩa 1.2.2
Dãy điểm (xn ) của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm
x ∈ X, nếu lim xn − x = 0 . Kí hiệu lim xn = x hay xn → x (n→∞)
n→∞

n →∞

Định nghĩa 1.2.3
Dãy điểm (xn ) trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản nếu:
lim xn − xm = 0

n ,m →∞

Định nghĩa 1.2.4
Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ
bản trong X đều hội tụ

Xét phương trình có dạng
x + Ax = f

(1.2.1)

Định lý 1.2
Giả sử X là không gian định chuẩn, A là toán tử tác dụng từ miền

D(A) ⊂ X vào X.
Giả thiết những điều sau đây được thực hiện
1. Phương trình (1.2.1) có nghiệm tại điểm trong x* của miền D(A).
2. Đối với số dương a tùy ý, và đối với các x, y tùy ý thuộc D(A) ta có bất
đẳng thức a( x − y ) − (Ax-Ay) ≤ a 2 x − y + Ax-Ay
2

2

3. A bị chặn địa phương tại điểm x * .
Khi đó:
1. Nghiệm x * duy nhất.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

2


11
2. Tồn tại hình cầu S = S(x *, r) với tâm x *.

1.3. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp
Kí hiệu X là khơng gian Banach, A là tốn tử tuyến tính tác động trong
X
Trong X xét phương trình tốn tử tuyến tính:
x = Ax + f

(1.3.1)

trong đó f là phần tử cho trước thuộc X.

Để giải phương trình (1.3.1) ta xây dựng phép lặp nhờ các đẳng thức
sau:
xn = Ax n-1 + f , n = 1,2,3….

(1.3.2)

Trong đó x0 ∈ X là phần tử tùy ý.
Định lý 1.3
Giả sử tốn tử tuyến tính A tác động trong X và A <1.
Khi đó dãy { xn } hội tụ đến nghiệm duy nhất x * của phương trình (1.3.1)
và x n − x* ≤ A . x 0 − x*
n

Hay xn − x ≤

A

*

n

1− A

x1 − x0

Chứng minh
Đặt Bx = Ax + f
Ta có Bx1 − Bx2 = Ax1 + f − Ax2 − f = Ax1 − Ax2 = A (x1 − x2 ) ≤ A x1 − x2
Đặt q = A , theo giả thiết 0 ≤ q <1 nên B là ánh xạ co từ X vào X. Mặt
khác X là không gian metric đầy đủ nên theo nguyên lý ánh xạ co tồn tại duy

nhất x* sao cho Bx* = x* hay Ax* + f = x*
Vậy x* là nghiệm của (1.3.1)
Theo nguyên lý ánh x ạ co, x * = lim xn
n →∞
Ta có:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


12
x2 − x1 = Ax1 − Ax0 ≤ A x1 − x0
x3 − x2 = Ax2 − Ax1 ≤ A x2 − x1 ≤ A

2

x1 − x0

.
.
.
xm +1 − xm = Axm − Axm −1 ≤ A xm − xm−1 ≤ A

m

x1 − x0 , ∀m

Với mọi p nguyên dương ta có:

xn + p − xn ≤ xn + p − xn + p −1 + ... + xn +1 − xn ≤ ( A
= A ( A

n

p −1

1− A
= A
1− A

+ A

p −2

n + p −1

+ A

n + p −2

+ ... + A ) x1 − x0
n

+ ... + 1) x1 − x0

p

n

x1 − x0
n

A
⇒ xn + p − xn <
x1 − x0 (*)
1− A

Cho n → ∞ ⇒ xn + p − xn → 0
⇒ { xn } là dãy cơ bản và X là không gian đủ
⇒ { xn } hội tụ.

Gọi lim xn = x* thì x* là điểm bất động của ánh xạ Bx = Ax + f
n →∞
Từ (*) cho p → ∞ thì xn+ p → x* ta được
xn − x * ≤

A

n

1− A

x1 − x 0

xn − x* = Axn −1 − Ax* = A( xn −1 − x* )
≤ A xn −1 − x* ≤ ... ≤ A

n

x 0 − x*

Hơn nữa ta cịn có:

xn + p − xn ≤ xn + p − xn + p −1 + ... + xn +1 − xn

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


13
≤ xn + p − xn + p −1 + ... + xn +1 − xn + xn − xn −1
p −1

≤( A + A
p

= A

1− A

+ ... + A ) xn − xn −1

p

1− A

xn − xn −1

⇒ xn + p − xn ≤ A

1
xn − xn −1
1− A

Do { xn } là dãy cơ bản, cho p → ∞ ta được lim xn + p = x*
p →∞
⇒ xn − x* ≤

A
1− A

xn − xn −1

Định lý 1.3.2
Giả sử A là một tốn tử tuyến tính tác động trong X. Nếu một luỹ thừa
Ak nào đó của A có tính chất Ak < 1 thì dãy

{ xn } được xác định theo công

thức (1.3.2) hội tụ đến nghiệm duy nhất x* của phương trình (1.3.1) và

xn − x* ≤ ( k Ak ) n − k xk − x*
Định nghĩa 1.3.1
ρ ( A) = lim n A
n →∞

n

được gọi là bán kính phổ của tốn tử A.

Định nghĩa 1.3.2
Nếu toán tử A tác động trong X và ρ (A) < 1 thì phương trình (1.3.1) có
một nghiệm duy nhất, nghiệm đó là giới hạn của dãy (1.3.2).
1.4. Phương trình loại hai với tốn tử đơn điệu và liên tục Lipschitz

Xét phương trình loại hai
x + Ax = f
Trong đó A là tốn tử tác dụng từ khơng gian Banach X vào X, f là
phần tử cho trước.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


14
Định nghĩa 1.4.1
Ánh xạ A tác dụng trong không gian Banach X được gọi là liên tục
Lipschitz nếu đối với các phần tử tuỳ ý x1 , x2 ∈ X ước lượng sau đây đúng:
Ax1 − Ax2 ≤ L x1 − x2

Trong đó . là chuẩn của khơng gian X, L = const > 0
Định nghĩa 1.4.2
Ánh xạ A tác dụng trong không gian Banach X được gọi là đơn điệu
nếu đối với các phần tử tuỳ ý x1 , x2 ∈ X và đối với số ε > 0 tuỳ ý ước lượng sau
đây đúng: x1 − x2 ≤ x1 − x2 + ε [ Ax1 − Ax2 ]
Bổ đề 1.3
Giả sử A là một ánh xạ đơn điệu tác động trong khơng gian Banach X.
Khi đó đối với các phần tử tuỳ ý x1 , x2 ∈ X và đối với các số dương tuỳ ý
ε1 , ε 2 , 0 < ε1 ≤ ε 2 bất đẳng thức sau đây đúng:
x − x + ε  Ax − Ax  ≤ x − x + ε  Ax − Ax 
1 2 1 1

2

1 2 2 1


2


Chứng minh
Giả sử ngược lại tồn tại những phần tử x1, x2 , x1 − x2 > 0 và những số
dương tuỳ ý ε1 , ε 2 , 0 < ε1 ≤ ε 2 bất đẳng thức sau đây đúng:
x1 − x2 + ε1 [ Ax1 − Ax 2 ] > x1 − x2 + ε 2 [ Ax1 − Ax2 ]

(1.4.1)

Do tính đơn điệu của ánh xạ A, từ bất đẳng thức (1.4.1) suy ra:
x1 − x2 ≤ x1 − x2 + ε 2 [ Ax1 − Ax2 ] < x1 − x2 + ε1 [ Ax1 − Ax2 ]

(1.4.2)

Mặt khác, đối với các phần tử tuỳ ý x, y ∈ X phụ thuộc điều kiện
x < x + y thì bất đẳng thức

x+y < x + (1+ ε ) y , ∀ε > 0

(1.4.3)

đúng.
Thật vậy, hình cầu K ( r ) ≡ {v : v ∈ X , v ≤ r} là một tập bị chặn, đóng và
lồi trong không gian Banach X.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


15

Do đó giao của hình cầu K(r) với tia P ≡ {v : v = x + ty; x, y ∈ X , 0 ≤ t < ∞}
với điều kiện x < r , y > 0 là một đoạn M (r ) ≡ K ( r) ∩ P = { v : v = x + ty, 0 ≤ t ≤ t( r)}
trong đó tham biến dương t(r) được xác định từ điều kiện x + t (r ) y = r
Vì K ( r1 ) ⊂ K ( r2 ) khi r1 < r2 nên hàm t(r) tăng khi r tăng
Từ điều kiện t(r) tăng với r ∈ ( x , +∞) và từ bất đẳng thức
x + t (r1 ) y ≡ r1 < r2 ≡ x + t ( r2 ) y

Suy ra rằng

x + t1 y ≤ x + t2 y

(1.4.4)

đối với t1 , t2 dương tuỳ ý, t1 < t2 , và đối với các phần tử tuỳ ý x, y ∈ X,
x ≤ x + t1 y

Từ bất đẳng thức (1.4.4) suy ra bất đẳng thức (1.4.3) đúng.
Ta đưa vào kí hiệu:
x ≡ x1 − x2 , y ≡ ε1 (Ax1 − Ax 2 ), ε ≡

ε 2 − ε1
ε1

Khi đó hệ thức (1.4.2) có thể viết dưới dạng:
x ≤ x + (ε + 1) y < x + y

(1.4.5)

So sánh (1.4.3) và (1.4.5) ta thấy sự mâu thuẫn.

* KẾT LUẬN
Chương 1 trình bày một số khái niệm quan trọng trong một số không
gian định chuẩn phục vụ cho nội dung hai chương sau.
Phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương trình loại hai với toán tử đơn
điệu và liên tục Lipschitz là đối tượng nghiên cứu chính trong chương 2 và
chương 3.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


16

Chương 2

Phương pháp thác triển theo tham số đối với
phương trình loại hai với tốn tử đơn điệu
và liên tục Lipschitz
2.1 Sự tồn tại nghiệm
Xét họ một tham biến các phương trình tốn tử
x + ε Ax = f, 0 ≤ ε ≤ 1

ε = 0 ta có phương trình thường x = f
Với ε = 1 ta có phương trình:
x + ε Ax = f (Phương trình loại hai)

(2.1.1)

Với

(2.1.2)

Nếu toán tử A thoả mãn điều kiện Lipschitz với hằng số L thì có thể chỉ
ra được ε0 > 0 sao cho ε0 L < 1 bằng cách cố định một số tự nhiên N sao cho
N > L và đặt ε0 =

1
N

Khi đó phương trình x + ε 0 Ax=f xác định một toán tử co ε0 A
Thật vậy
∀ x 1 , x2 ∈ X : ε 0A x 1 − ε 0 A x 2 = ε 0 A x1 − A x 2

Do A thoả mãn điều kiện Lipschitz nên
ε 0 A x 1 -A x 2 ≤ ε 0 L x 1 − x 2
⇒ ε 0 A x 1 -ε 0 A x 2 ≤ ε 0 L x 1 − x 2

Mà 0 < ε 0 L < 1 suy ra ε 0 A là tốn tử co.
Giả sử nghiệm của phương trình (2.1.1) là x( ε ) và giả sử x( ε 0 ) tìm
được.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


17
Như vậy ta đã cho trượt một bước ε 0 theo tham biến ε từ phần tử
x(0) = f theo hướng đến phần tử x(1) = u
Thực hiện các bước tiếp theo như vậy theo tham biến ε sẽ đến nghiệm
của phương trình (2.1.2) sau một số hữu hạn bước.
Xét phương trình loại hai:
x + Ax = f

(2.1.3)

trong đó A là tốn tử tác dụng từ khơng gian Banach X vào X, f là phần tử
cho trước.
Giả thiết A(0) = 0
Định lý 2.1
Giả sử ánh xạ A tác dụng trong không gian Banach X là liên tục
Lipschitz và đơn điệu. Khi đó phương trình (2.1.3) có nghiệm duy nhất với
phần tử tuỳ ý f ∈ X.
Chứng minh
Giả sử ánh xạ A thoả mãn điều kiện Lipschitz với hằng số L
Ta cố định một số tự nhiên N sao cho N > L và đặt ε 0 =

1
.
N

Ta viết phương trình (2.1.3) dưới dạng sau:
x + A x=x+

1
1
1
A x+
A x + .. .+
A x=f
N
N
N

Hay x + A x = x + ε 0 A x +ε 0 A x +...+ε 0 A x = f
Thực hiện N-1 phép thay biến:
y = x + ε 0 A x ≡ F1 x
z = y + ε 0 A F 1- 1 y = F 2 y
.

(2.1.4)

.
.
1
ω = v + ε 0 A F 1 − 1 F 2 − 1 . . . F N− − 2 v = F N

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

−1

v


18

Sau các phép thay biến trên phương trình (2.1.3) có dạng:
1
ω + ε 0 AF1−1 F2− 1... FN−−1ω = FN ω = f

(2.1.5)

1

Ta sẽ chứng minh ánh xạ ε 0 A F1 − 1 F 2− 1 ... F N− − 1 là ánh xạ co với hệ số co

q = ε0L < 1

Thật vậy:
Do ε 0 A là toán tử co do đó với y tuỳ ý thuộc X phương trình
F1 x ≡ x + ε 0 Ax=y có nghiệm duy nhất.

Vì vậy tốn tử F1−1 và F2 xác định tại tất cả các điểm của khơng gian X.
Tốn tử F1−1 thoả mãn điều kiện Lipschitz với hệ số L = 1 vì:
∀ y1 , y 2 ∈ X , đặt F1 − 1 y 1 = x 1 , F1− 1 y 2 = x 2

Từ tính đơn điệu của A ta có:
F1 − 1 y1 − F1− 1 y 2 = x1 − x 2 ≤ x1 − x 2 + ε 0 ( A x 1 − A x 2 )
= ( x1 + ε 0 A x 1 ) − ( x 2 + ε 0 A x 2 )
= y1 − y 2

Suy ra toán tử ε 0 AF1−1 là toán tử co với hệ số L ε 0 < 1 và do đó toán tử
F2−1 cũng thoả mãn điều kiện Lipschitz với hệ số L = 1.

Thật vậy sử dụng bổ đề (1.3.1) đối với ánh xạ A ta thu được:
F2−1 z1 − F2− 1 z 2 = y1 − y 2 = x1 + ε 0 Ax 1 − x2 − ε 0 Ax 2
= x1 − x 2 + ε 0 (Ax 1 − Ax 2 )
≤ x1 − x 2 + 2 ε 0 (Ax 1 − Ax 2 )
= ( x1 + ε 0 Ax 1 ) − ( x 2 + ε 0 Ax 2 ) + ε 0 Ax1 − ε 0 Ax 2
= y1 − y 2 + ε 0 AF1− 1 y1 − ε 0 AF1− 1 y 2
= ( y1 + ε 0 AF1− 1 y1 ) − ( y 2 + ε 0 AF1− 1 y 2 )
= z1 − z 2

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

19

Một cách tương tự ta có thể chứng minh rằng tất cả các toán tử
Fk− 1 ( k = 1, 2, ..., N − 1)

được xác định trên tồn khơng gian và liên tục

Lipschitz với hệ số L = 1.
Do đó ánh xạ ε 0 AF1−1 F2− 1... FN− 1 là ánh xạ co với hệ số co
q = ε 0L < 1 .

Vì vậy do nguyên tắc ánh xạ co phương trình (2.1.5) với f tuỳ ý có
nghiệm duy nhất ω
Như vậy phương trình xuất phát (2.1.3) tương đương với phương trình
(2.1.5) cũng giải được duy nhất với phần tử tuỳ ý f.
Cụ thể đối với phương trình:
x + Ax = f
trong đó A là tốn tử tác dụng từ không gian Banach X vào X, f là phần tử
cho trước. Giả thiết A(0) = 0.
Giả sử hằng số Lipschitz là L và

L
< 1.
2

Trong trường hợp này có thể lấy số N = 2.
Khi đó
x + Ax=x+

Đặt y = x +

1
1
A x+ A x=f
2
2

1
A x ≡ F1 x
2

(2.1.6)
(2.1.7)

Phương trình (2.1.6) tương đương với phương trình
y+

1
A F1 − 1 y = f
2

(2.1.8)

Đầu tiên ta tìm nghiệm y từ phương trình (2.1.8) sau đó đặt y vào
(2.1.7) ta sẽ tìm được x. Nghiệm y trong phương trình (2.1.8) có thể tìm bằng
công thức xấp xỉ của phép lặp đơn
yn+1 =

−1 −1
AF1 ( yn ) + f , n = 0,1, 2...
2

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

(2.1.9)


20
Mỗi lần muốn tìm F1−1 ( yn ) ta cần giải phương trình
x+

1
Ax=y n
2

(2.1.10)

Nghiệm xấp xỉ của (2.1.10) có thể tìm bằng phép lặp
xm+1 =

−1
Ax m + yn , x0 cho tuỳ ý, m = 0, 1, 2,…
2

Dưới dạng tổng qt có thể viết q trình lặp như sau:
xm+1 =

−1

1
Axm − Axk + f
2
2

m = 0, 1, 2,…;k = 0, 1, 2,…

(2.1.11)

Ta có thể hiểu cách viết (2.1.11) như sau. Ta lấy xấp xỉ không x0 ≡ x và
dựng quá trình lặp

xm+1 =

−1
1
Axm − Ax + f , x0 = x, m=0,1,2...
2
2

Giả sử dãy này hội tụ đến phần tử x . Tiếp theo ta dựng quá trình lặp

xm+1 =

1
−1
Axm − Ax + f , x0 = x, m = 0,1, 2,...
2
2

Trường hợp ε 0 =

1
(N bước theo tham biến ε ) ta đi đến q trình lặp
N

có dạng:
xm +1 =

−1
1
1
Ax m − Ax n − ... − Ax p + f
N
N
N

(2.1.12)

m, n, p = 0, 1, 2,…

2.2. Ước lượng tốc độ hội tụ
Xét tốc độ hội tụ của phương pháp thác triển theo tham biến một cách
tự nhiên là trong các tính tốn thực tế ta ln cần đến một số hữu hạn phép
lặp. Ta sẽ ước lượng sai số của phương pháp nêu trên với điều kiện là trong
mỗi quá trình lặp chỉ sử dụng n phép lặp. Ta giả thiết toán tử trong định lý
(2.1) thoả mãn điều kiện A(0) = 0.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

21

Định lý 2.2
Giả sử ánh xạ A tác dụng trong không gian Banach X là đơn điệu và
liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz L. Khi đó dãy nghiệm xấp xỉ

{ x(n, N )} , N > L, n = 1, 2, …,

được dựng với quá trình lặp (2.1.12), hội tụ

đến nghiệm đúng x của phương trình (2.1.3), theo chuẩn của khơng gian X,
hơn nữa ta có ước lượng
x(n, N ) − x ≤

Trong đó K =

L
N

K n−1 [exp(L)-1] − f
(1 − K ) [ exp(q)-1]

, n = 1, 2,…

Chứng minh
Ta đi thiết lập ước lượng
Bài toán 1 (một bước theo tham biến ε )
Xét phương trình
x + ε0 Ax = f

Vì tốn tử ε 0 A là tốn tử co với hệ số co q = ε 0 L =

(2.2.1)
L
< 1 , nên phương
N

trình (2.2.1) với phần tử tuỳ ý f ∈ X có nghiệm duy nhất x(ε 0 ) ≡ x* . Giá trị xấp
xỉ của phần tử x* dễ dàng thu được nhờ q trình lặp thơng thường

xn = −ε 0 Ax n-1 + f , x0 = f , n = 1, 2,...
Quá trình lặp (2.2.2) có ước lượng về tốc độ hội tụ là :

q n −1
δ1 ( n) ≡ xn − x ≤
f , q = ε 0 L < 1, n = 1, 2,...
1− q
*

Ta ký hiệu
q n−1
µ ( n) =
f , n = 1, 2,…
1− q

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

(2.2.2)

22

Bài toán 2 (hai bước theo tham biến ε )
Xét phương trình
x + 2 ε0 Ax = f

(2.2.3)

Nói chung tốn tử 2ε 0 A khơng phải là tốn tử co. Để sử dụng nguyên
tắc ánh xạ co khi giải phương trình (2.2.3) ta thực hiện phép thay biến (2.1.4).
Sau đó phương trình (2.2.3) sẽ có dạng
y + ε 0 AF1−1 y = f

(2.2.4)

Như đã chứng minh, trong phương trình này tốn tử ε 0 AF1−1 là tốn tử
co do đó nhờ ngun lý ánh xạ co phương trình (2.2.4) có nghiệm y. Giá trị
xấp xỉ của phần tử y thu được nhờ quá trình lặp
yn = −ε 0 AF1−1 yn −1 + f

(2.2.5)

với sai số µ (n) . Vì tốn tử ε 0 A co với hệ số co q = ε 0 L < 1 nên sai số µ (n) cho
đối số của toán tử ε 0 A tương đương với sai số qµ (n) cho vế phải của phương
trình y + ε 0 AF1−1 y = f .
Vì ánh xạ F2−1 liên tục Lipschitz với hằng số L = 1, nên mang sai số
q µ (n ) vào vế phải của phương trình y + ε 0 AF1−1 y = f sẽ gây ra trong nghiệm

tương ứng sai số khơng q q µ (n) .
Sai số µ (n) sau một số hữu hạn n phép lặp khi giải phương trình

y + ε 0 AF1−1 y = f , đối với nghiệm xấp xỉ yn ta sẽ thu được.

yn − y ≡ δ 2 ( n) ≤ q µ ( n) + µ ( n) = qδ1( n) + µ( n)

Mặt khác với phép thay đổi biến ngược, nghĩa là nếu chuyển từ biến y
về biến x cũng sẽ có sai số µ (n) . Như vậy sai số của nghiệm xấp xỉ xn thu
được sau khi thực hiện n phép lặp trong mỗi quá trình lặp đã sử dụng sẽ là
xn − x (2ε 0 ) ≡ ∆ 2 ( n) ≤ q µ (n) + 2 µ ( n) = δ 2 ( n) + δ1( n)

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


23
Lý luận tương tự đối với bài toán k:
x + kε 0 Ax=f,f ∈ [ 1,N] ta thu được ước lượng

xn − x(kε 0 ) ≡ ∆ k (n) ≤ δ k (n) + ... + δ1 ( n),

δ i (n) ≤ q [δi −1 (n ) + ... + δ1 (n )] + µ (n ),1 ≤ i ≤ k

(2.2.6)
(2.2.7)

Trong đó n là số các phép lặp thực hiện trong mỗi quá trình lặp đã sử
dụng.Viết bất đẳng thức (2.2.7) dưới dạng khác
k −1

δ k ≤ µ + q ∑ δi , δ1 < µ , k = 2, 3,..., N
i =1

(2.2.8)

Do sự tương tự rời rạc của bổ đề Belman-Gronwall đã biết từ bất đẳng
thức (2.2.8) ta được:
δ k ≤ µexp [q(k-1) ], k = 2,3,..., N

(2.2.9)

Do đó có thể viết ước lượng sai số (2.2.9) đối với bài toán K dưới dạng
sau đây nếu lưu ý đến ước lượng (2.2.9)
k
xn − x( K ε 0 ) ≡ ∆ k (n) ≤ ∑ δ i (n)
i =1
k
exp(kq)-1
≤ µ ∑ exp q(i-1)  = µ


exp(q)-1
i=1

Ta ký hiệu nghiệm xấp xỉ của bài tốn (2.1.3) được dựng với q trình
lặp (2.1.13) là x(n,N), trong đó N là số các bước theo tham biến ε , n là số
phép lặp được thực hiện trong mỗi quá trình lặp đã sử dụng.
Ta thu được:
x( n, N ) − x ≤ q n −1

[exp(qN)-1] f
(1 − q ) [ exp(q)-1]

Định lý đã được chứng minh.
* KẾT LUẬN
Chương 2 trình bày phương pháp thác triển theo tham số đối với
phương trình loại hai với toán tử đơn điệu và liên lục Lipschitz.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


24
Phương pháp để nghiên cứu xấp xỉ phương trình tốn tử rất phong phú
và đa dạng. Có thể giải xấp xỉ phương trình tốn tử bằng một số phương pháp
như phương pháp lặp, phương pháp sai phân, phương pháp Galerkin,….
Tuy nhiên những phương pháp này chỉ áp dụng dễ dàng đối với phương
trình mà ánh xạ của phương trình là ánh xạ co với hệ số co nhỏ hơn 1.
Phương pháp thác triển theo tham số đối với phương trình loại hai với
toán tử đơn điệu và liên lục Lipschitz là một quá trình lặp sử dụng một số hữu
hạn các bước theo tham biến ε và mỗi bước được thực hiện nhờ phương pháp
ánh xạ co. Ưu điểm của phương pháp này là áp dụng cho cả phương trình mà
ánh xạ là ánh xạ co với hệ số co lớn hơn 1.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


25

Chương3

Giải phương trình tốn tử loại hai trong một số
khơng gian định chuẩn
Xét phương trình loại hai

x + Ax = f

(3.1)

trong đó A là tốn tử tác dụng từ khơng gian X vào X, f là phần tử cho trước.

3.1. Sự tồn tại nghiệm của phương trình (3.1) trong
khơng gian

R1

3.1.1. Định nghĩa
Ánh xạ A tác dụng trong không gian R 1 được gọi là đơn điệu nếu với các
phần tử tuỳ ý x1 , x 2 ∈ X thì ( Ax1 − Ax 2 )(x1 − x 2 ) ≥ 0
3.1.2. Sự tồn tại nghiệm
Định lý
Giả sử ánh xạ A tác dụng trong không gian R1 là liên tục Lipschitz và
đơn điệu. Khi đó phương trình (3.1) có nghiệm duy nhất với phần tử tuỳ ý
f ∈ R1

Chú ý
Giả sử phải giải phương trình
x + f(x) = m (m ∈ R1 )

(3.2)

trong đó f là hàm số xác định trên đoạn [a, b].
Đưa phương trình (3.2) về dạng tương đương
x = g(x)

(3.3)

Giả sử g(x) thoả mãn điều kiện Lipschitz
g ( x2 ) − g ( x1 ) ≤ K x2 − x 1

với hằng số K < 1 và ánh xạ đoạn [a, b] vào trong nó. Khi đó g(x) là một ánh

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com