Các ứng dụng của phương trình schrodinger cho hệ nguyên tử

Khoá luận tốt nghiệp

Uông Thị Hải

Lời cảm ơn
Công trình khoá luận này đợc hoàn thành, ngoài sự nỗ lực của bản thân còn
nhờ vào sự giúp đỡ hớng dẫn nhiệt tình đầy tâm huyết của T.s Vũ Ngọc Sáu thầy giáo hớng dẫn và các thầy cô giáo trong khoa vật lý.
Vậy qua đây chúng tôi xin đợc gửi tới T.s Vũ Ngọc Sáu và toàn thể các thầy
cô giáo trong khoa vật lý lời cảm ơn chân thành nhất.
Do điều kiện thời gian và khả năng có hạn nên không tránh khỏi những thiếu
sót trong khi thực hiện đề tài. Rất mong đợc sự đóng góp ý kiến của các độc giả
để đề tài đợc hoàn thiện hơn./.

Sinh viên

: uông thị hải

A- mở đầu
Từ những năm 30 của thế kỷ XIX, cơ học lợng tử đà trở thành lý thuyết vật lý
hiện đại làm cơ sở để giải thích mọi hiện tợng xẩy ra trong các cấu trúc vi mô của
vật chất, nó trở thành nội dung cơ bản để xây dựng các hớng nghiên cứu mới của
vật lý và công nghệ trong giai đoạn hiện nay nh chất rắn, bán dẫn, lý thuyết hạt
cơ bản, quang học phát x¹,...

1


Khoá luận tốt nghiệp

Uông Thị Hải

Cơ học lợng tử cho các vi hạt chuyển động có vận tốc nhỏ so với vận tốc
ánh sáng (c= 3.108m/s) đợc xây dựng trên phơng trình sóng Schr o dinger. Đây là
phơng trình vừa mang những đặc trng sóng lại vừa mang những đặc trng hạt phù
hợp với việc mô tả lỡng tính sóng - hạt của các vi hạt. Nghiên cứu phơng trình
Schr o dinger là một vấn đề lớn của cơ học lợng tử. Trong khuấn khổ của đề tài
này chúng tôi chØ dõng l¹i xem xÐt mét sè øng dơng thùc tế, khá tiêu biểu của
phơng trình Schr o dinger dừng đối với các hệ vật lý thực, những bài toán quan
trọng và các ứng dụng trong nghiên cứu phổ nguyên tử.
Các vấn đề trình bày trong khoá luận này hy väng sÏ lµ néi dung khoa häc sư
dơng tèt cho những ai quan tâm đến các vấn đề ứng dụng nghiên cứu phơng trình
Schr o dinger trong các vấn đề lợng tử.

B - Nội dung

Chơng I: Tổng quan về phơng trình Schr o dinger
1.1. Phơng trình Schr o dinger không phụ thuộc thời gian
1.1.1. Xây dựng phơng trình
Xét một hạt khối lợng m, ở trạng thái có năng lợng E, xung lợng p không
đổi ( trạng thái dừng ). Trạng thái của hạt mà ta xét đợc mô tả bởi hàm sóng :

(r )

Khi đó hạt chuyển động sẽ tuân theo phơng trình Schr o dinger dừng sau đây:
E ( r)
H

Với


H

là toán tử Haminton : H = -

 2
2m

Ñ2 + U(x,y,z)

2


Khoá luận tốt nghiệp

Uông Thị Hải

Do vậy toán tử này không tác dụng lên phần tử hàm sóng chứa trong trờng
hợp tổng quát khi hạt chuyển động trong trờng ngoài biến đổi. Khi đó hàm sóng

mô tả trạng thái hạt là : (r , t )
Và nó thoả mÃn phơng trình sau đây:
i.


( r , t )

H ( r , t )
t

(1.1)

Phơng trình (1.1) gọi là phơng trình Schr o dinger phụ thuộc thời gian viết
cho hạt vi mô chuyển động trong một trờng thế bất kỳ. Bây giờ để đơn giản ta xét
cho hạt chuyển động mà vị trí của hạt xác định bởi toạ độ trên trục x.
Hạt chuyển động trong trờng thế U(x) có năng lợng E.
Ta có :



( x , t )
i.
 Hˆ  ( x , t )
t

víi

2 2
Hˆ 
Đ U ( x)
2m



Mặt khác ta lại có : i.  ( x , t )  E ( x, t )  Hˆ  ( x, t )  E ( x, t )
t

⇒

 2 ∂ 2 ψ(x, t )
.
+ U(x ).ψ(x, t ) = Eψ(x, t )

2m
∂t 2

⇒

 2 ∂ 2 ψ(x, t )
.
+ [ U(x)
2m
∂t 2

E] ψ(x) = 0

(1.2)

(1.2) là phơng trình Schr o dinger trong chuyển động một chiều
Đặt

( x, t ) ( x). exp(

i
Et )


(1.3)

Thay (1.3) vào (1.2) ta đợc:
2
i
2 ( x)

i
. exp( Et ).
 exp( Et )( E  U ( x)) ( x) 0
2
2m


x
 

 2  2 ( x)
.
 ( E  U ( x )) ( x) 0
2m x 2

(1.4)

Phơng trình (1.4) là phơng trình Schr o dinger dừng hay phơng trình Schr o
dinger không phụ thuộc thời gian. Về phơng diện toán học đây là phơng trình vi
phân đạo hàm riêng hạng hai tuyến tính. Việc giải phơng trình này có thể cho
nghiệm ứng với những giá trị E bất kỳ. Tuy nhiên về phơng diện vËt lý, ta chØ

3


Khoá luận tốt nghiệp

Uông Thị Hải

chọn những giá trị E sao cho E(x,y,z) biểu diễn một trạng thái vật lý, nghĩa là

E(x) phải thoả mÃn các điều kiện đơn trị, liên tục và hữu hạn.
Ngời ta đà chứng minh rằng chỉ có một giá trị E tơng ứng với các hàm E(x)
là thoả mÃn các điều kiện vật lý đó. Tập hợp các giá trị E có thể gián đoạn hoặc
liên tục, hoặc vừa gián đoạn vừa liên tục. Các trạng thái E(x,y,z) với các mức
năng lợng gián đoạn tơng ứng với vi hạt chỉ chuyển động trong một vùng hữu hạn
nào đó trong không gian, xác suất tìm thấy hạt ở vô cùng bằng không. Vì vậy các
trạng thái này gọi là các trạng thái liên kết. Việc giải phơng trinh Schr o dinger
trong không gian ba chiều nói chung là phức tạp về sau sẽ đề cập đến còn bây giờ
ta xét trong không gian một chiều ( trên trục x chẳng hạn ). Với bài toán này có
thể phân tích đợc một số tính chất tiêu biểu đặc trng cho hệ lợng tử mà không
làm giảm tính tổng quát của bài toán ba chiều. Mặt khác trong nhiều trờng hợp
thế năng của trờng tơng tác có thể tách ra dới dạng:
U(x,y,z) = U(x) + U(y) + U(z)
Khi đó bài toán trong không gian ba chiều có thể chuyển về các bài toán một
chiều


2 d 2
.
. E ( x )  U ( x). E ( x)  E. E ( x)
2m dx 2

(1.5)

(1.5) là phơng trình Schr o dinger một chiều
1.1.2. Các tính chất nghiệm của phơng trình.
a) Tính chẵn, lẻ của nghiệm.
Nếu thế năng là một hàm chuẩn của toạ độ thì nghiệm phơng trình (1.5) có
tính chẵn lẻ xác định. Thật vậy do biến số trong phơng trình (1.5) có khoảng giá
trị từ

- Ơ < x < Ơ nên có thể thay x bằng -x vµ ta cã:


2
d2
.
. E (  x )  U (  x). E (  x)  E. E (  x )
2m d (  x )

(1.6)
U(-x) = U(x) nên khi thay vào phơng trình trên ta thu ®ỵc :


2 d 2
.
. E ( x )  U ( x). E ( x)  E. E ( x )
2m dx 2

(1.7)

4


Khoá luận tốt nghiệp

Uông Thị Hải

E(-x) thoả mÃn phơng trình (1.7) giống hệt phong trình (1.5) về dạng và ứng
với cùng một trị riêng E. khi không có suy biến nghĩa là các hàm riêng ứng với
trị riêng khác nhau thì E(x) và E(-x) chỉ có thể khác nhau một h»ng sè nh©n k

E(x) = k . E(-x) (*)
TiÕp tơc đổi dấu x một lần nữa ta có :
E(-x) = k . E(x) (**)
Tõ (*) vµ (**) ta cã :
E(x) = k2 . E(x) suy ra k =  1
E(x) = E(x)
(1.8)
Tõ (1.8) ta kÕt ln r»ng nghiƯm E(x) cđa phơng trình (1.5) là một hàm hoặc
chẵn ứng với dấu (+), hoặc lẻ ứng với dấu trừ của toạ độ
b) Hàm sóng (x) phải giới nội
Điều này có thể suy ra từ điều kiện chuẩn hoá của hàm sóng
Theo điều kiện chuẩn hoá hàm sóng. | ( x, t ) | 2 dx 1
c) Hàm sóng phải đơn trị và nếu không đơn trị thì ứng vơí các mức vị trí
không gian có nhiêù giá trị xác suất tìm hạt. Điều này trái với lý thuyết xác suất .
d) Tính liên tục.
Hàm sóng cần phải liên tục theo toạ độ vì mật độ xác suất tìm thấy hạt |(x)|2
không thay đổi .
Ngoài ra đối với các trờng có thế năng gián đoạn hữu hạn thi ngay cả tại
những điểm đó, đạo hàm bậc nhất của nghiệm cũng sẽ liên tục. Nghĩa là:
E(x0+) = E'(x0+) Với x0 là điểm mà tại đó U(x) gián đoạn.
1.1.3. Tính không suy biến của trạng thái ở phổ gián đoạn.
Trong chuyển động môt chiều ứng với các mức năng lợng của phổ gián đoạn,
các hàm sóng tơng ứng là không suy biến. Thật vậy giả sử tồn tại hai hàm sóng
1, 2 cùng ứng với mức năng lợng E. Khi đó từ (1.5) ta cã:
''

''

1  2
2m

''
''


(U  E )   1 . 2  2 . 1

1  2

TÝch ph©n hai vÕ của phơng trình trên ta có : 1' . 2 - 2' . 1 = const ở vô
cực đối với phổ gián đoạn.
1(+Ơ) = 2(+Ơ) = 0 nên const = 0
'

Suy ra : 1' . 2 = 2' . 1 ⇒

'

ψ1 ψ 2
=
ψ1 ψ 2

5


Khoá luận tốt nghiệp

Uông Thị Hải

Lấy tích phân hai vé của đẳng thức này ta có: 1 = 2.const.
Chứng tỏ rằng 1 và 2 phải trùng nhau. Hay nói cách kh¸c 1(x) , 2(x) chØ

kh¸c nhau bëi mét h»ng sè không phụ thuộc x hay trị riêng E thuộc phổ gián
đoạn không bị suy biến. Điều này chỉ có thể ở các trị riêng ở phổ gián đoạn trong
chuyển động một chiều.

1.2. Các đại lợng đặc trng cơ bản của hệ lợng tử.
1.2.1. Mật độ xác suất và mật độ dòng xác suất.
Nh đà biết nếu biét đợc hám sóng sẽ tính đợc mật độ xác suất tìm thấy hạt:
= ||2 = *.
Râ rµng  phơ thc vµo thêi gian vì rằng hàm sóng phụ thuộc vào thời gian.
Nh vậy sẽ có những giá trị khác nhau khi thời gian trôi đi, ta nói rằng có một
dòng hạt lu thông trong không gian.
Từ phơng trình (1.1) nhân cả hai vế của phơng trình về bên trái với hàm * ta
có:
i * .


* H
t

lấy liên hợp phức (1.10) ta đợc:

(1.10)
i. .

*
*
H
t

(1.11)

Lấy (1.10) trừ (1.11) theo vế ta đợc :
i ( * .

mà:

* .


*
 .
)  * Hˆ   Hˆ  *
t
t

∂ψ
∂ψ *
∂
∂ρ
+ ψ.
=
( ψ * ψ) =
∂t
∂t
∂t
∂t

  * Hˆ  H *

Do đó (1.12) viết lại là:

Nếu ®Ỉt
Ta cã:

j =

i .

ˆ
H

 2
2m

=-

Đ2 + U(x,y,z)

2
( *Đ2  Đ2 * )  *U  U *
2m

∂ρ
=
∂t

i
(ψ*∇ψ
2m

víi

(1.12)

2
∇( ψ *∇ψ
2m

ψ∇∇* ) =

ψ∇∇ * ) = 0

i
( ψ∇∇ *
2m

ψ*∇ψ )

∂p
+ div j = 0
t

(1.13)

Phơng trình (1.13) có dạng tơng tự nh phơng trình liên tục trong cơ học lỡng
tử.
Trong đó: p - gọi là mật độ xác suất
j - gọi là vector mật độ dòng xác suất
6

Khoá luận tốt nghiệp

Uông Thị Hải

Theo ý nghĩa của phơng trình liên tục thì phơng trình (1.13) biểu thị định luật
bảo toàn xác suất hay còn gọi là bảo toàn số hạt trong cơ học lợng tử.
1.2.2. Các ứng dụng của phơng trình Schr o dinger dừng
a. Hố thế sâu vô hạn
Xét một hạt chuyển động trong trờng mà thế năng U(x) có dạng
0 khi

U(x)=

khi x

a < x < a
a

(1.14)

U(x)

Nó đợc biểu diễn ở hình (1.1)

x
-a

0
a
(H.1.1)

Trong khoảng a a hạt chuyển động tự do muốn nó ra khỏi khoảng này
hạt phải tốn năng lợng bằng Ơ . Do đó a a hạt bị chặn lại.
Phơng trình Schr o dinger cho h¹t cã d¹ng :


2 d 2
.
. E ( x)  E. E ( x)
2m dx 2

d2
2m
 E ( x)  2 .E. E ( x) 0
2
dx


víi  a x a
với

(1.15)
(1.16)

x a

Có thể có nhiều giá trị riêng E nên ký hiệu E 1, E2.E.En, các hàm riêng tơng
ứng là : E , E ...... E .
1

2

n

Để đơn giản ta kí hiệu : 1 , 2 .... n .
2
n
(1.16) đợc viết lại là: d 2 n ( x) 2mE
. n ( x) 0
2

dx



(1.17)

Phơng trình (1.17) là phơng trình vi phân hạng hai có hệ sè b»ng sè cã d¹ng:
''
2
 n  k n  n 0. Trong đó kn2 =

2 mE n
2

(1.18)

Trong phơng trình vật lý toán Phơng trình (1.18) có nghiệm tổng quát là :
n ( x ) A sin k n x  B cos k n ( x )
(1.19)
Trong ®ã A,B lµ hai h»ng sè t ý xt hiƯn do việc lấy tích phân hai lần phơng trình (1.19).

Nghiệm (1.19) phải liên tục tại a và +a
Vì ở bên ngoài khoảng a +a không thể có hạt nên hàm sóng phải bằng 0,
để cho nó có nghiệm liên tục thì nó phải bằng không ở hai điểm a vµ +a.

7


Khoá luận tốt nghiệp

Uông Thị Hải

n (a ) 0

(1.20)

n ( a) 0

(1.20) đợc gọi là điều kiện biến đổi với nghiệm. Nh vậy về nguyên tắc dựa
vào điều kiện biên và điều kiện chuẩn hoá hàm sóng ta sẽ xác định đợc A, B. ở
đây do tính đối xứng của thế năng ta có thể xác định đợc A và B theo một cách
khác.
Vì thế năng là hàm chẵn của toạ độ nên nghiệm đợc phân thành hai lớp: Lớp
nghiệm chẵn và lớp nghiệm lẻ theo toạ độ.
Với líp nghiƯm ch½n :  n ( x)  n ( x) . Thay vµo (1.20) ta cã:
A sin k n x  B cos k n x  A sin k n ( x)  B cos k n ( x)  2 A sin k n x 0

V× x đổi liên tục nên
Vậy nghiệm chẵn có dạng : n ( x)  B cos k n ( x)
MỈt khác theo điều kiện biên (1.20) ta có:
A sin k n x  B cos k n x  A sin k n (  x)  B cos k n ( x)  2 cos k n x 0

V× x thay đổi liên tục nên nói chung :
Vậy

cos k n ( x) 0, B 0

(1.21)

n ( x )  A sin k n ( x )

Theo điều kiện biên :  (a) 0 
VËy nghiƯm lỴ cã biĨu thøc: k n n.

A sin k n a 0  k n a n.


2


2a

Trong cả hai lớp nghiệm này kết hợp víi (1.18) : k n 2 

víi n=0,2,4,6,...
(1.22)

2mE n
2

2

2mE
n 2 2 2mE n
 n 
 
 2
  2n 

4a 2

 2a 

 En 

n 2 2  2
8ma 2

víi n nguyên

(1.23)
Hệ thức (1.23) phản ánh đặc thù của vi hạt trong hố thế sâu vô hạn đó là tính
chất năng lợng của hạt mà trong cơ học lợng tử goị là sự lỡng tử hoá năng lợng
b. Rào thế
U(x)
U0
I
II
III
8

Khoá luận tốt nghiệp

Uông Thị Hải
x

(H 1.2 )
Hàng rào thế là một dạng của trờng ngoài mang một miền không gian nào đó
thế năng lớn hơn một miền lân cận. Trong mô hình chuyển động một chiều ta xét
hàng rào sau đây.
0 nếu x<0
U(x) =
U0 nếu 00 nếu x>0
Dạng rào thế nói trên đợc biểu diễn ở hình (H.1.2)
Phơng trình Schr o dinger cho hạt là: miền I và miền III


2 d 2
.
. ( x )
2m dx 2

  '' ( x ) 

miỊn II lµ:

víi x<0 vµ x>a

2mE

 ( x ) 0
2

(1.24)

2 d 2

.
. ( x)  U ( x ). ( x )  E. ( x )
2m dx 2
  '' ( x ) 

2m
( E  U ) ( x) 0
2

Xét trờng hợp E
2mE
2

với 0(1.25)
(1.26)

k2= 2m2 ( E U )

(1.27)

Ta dự đoán trong miền I: x<0 tồn tại sóng tới và sóng phản x¹
Trong miỊn II: ( 0(x>a) chỉ tồn tại sóng truyền qua.
Từ đó ta đi đến nghiệm sau:
I ( x) e ik1x  A.e  ik1x x<0

(1.28)
ψ II (x) = Be k 2 x + C.e - k 2 x

0
(1.29)
 III ( x)  De ik1x

x>a

(1.30)
Sư dơng ®iỊu kiƯn biªn: ψ I (0) = ψ II (0); ψ I ' (0) = ψ II ' (0)
9


Khoá luận tốt nghiệp

Uông Thị Hải
II (a) III (a ); II ' (a )  III ' (a)

Ta đa hệ phơng trình sau:
1 A B C

ik1 (1  A) k 2 ( B  C )

(1.31)

Be k 2a  Ce  k2 a  De ik1a

k 2 ( Be k 2a  Ce  k 2 a ) i.k1 .D.e ik1a

Giải 4 phơng trình trên ta tìm đợc A,B,C,D
Đối với D ta đợc : D

4ik1 k 2 . exp( ik 2 a)
(k1  k 2 ) 2 . exp(k 2 a)   (k1  k 2 ) 2 exp( k 2 a)

(1.32)

Nh vËy dï cho E < 0 biên độ D của sóng vẫn khác 0, tức là hạt vẫn đi qua rào
thế với một xác suất nào đó. Hiện tợng xuyên qua rào thế này goi là hiện tợng đờng ngầm.
Ta sẽ xác định đợc hệ số truyền qua T của hạt đi qua rµo.
2

2

T= D 

16k1 k 2
2

k1  k 2

2
2

2

16 k 1 k 1

Hay T =

2

k1 + k 2

. exp(  2k 2 a )

2
2

. exp

2a


2 m( U 0 - E )

(1.33)

Víi k 2  2m2 (U 0  E )


§èi với trờng hợp rào thế dạng tổng quát nh hình (1.3) có thể chia rào thế
thành vô số rào thế nhỏ hình chữ nhật, mỗi cái có bề rộng x vµ chiỊu cao U(x)
U(x)
HƯ sè trun qua rµo thÕ b»ng tích hệ số
truyền qua các rào thế . Ta có:
x1 0
 2x
T exp




2m(U ( x)  E ) dx 


x2

x
(1.34)

10


Khoá luận tốt nghiệp

Uông Thị Hải

với x1 , x2 là hoành độ giao điểm giữa U(x) và đờng mô tả E
c. Dao động tử điều hoà.
Xét hạt với khối lợng m, dao động dọc theo trục x dới tác dụng của lực đàn

hồi F=-kx (k là hằng số) , x là độ dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng đặt tại gốc toạ
độ x=0 và đựơc gọi là dao động tử điều hoà.
Từ phơng trình của định luật II - Niuton, ta suy ra phơng trình của dao động
tử điều hoà có dạng :

mx F x

F
k
k
.x x .x 0,
m
m
m

đặt

=

k
m

(1.36)
(1.36) có nghiệm là : x=Asin t + Bcos t = acos(t+)
Động năng của tử dao ®éng ®iỊu hoµ:
T=

1
1
mx 2 = ma 2 ω 2 sin 2 (t +t + )

2
2

Thế năng của dao động điều hoµ lµ :
1
E T  U  ma 2 2
2

(1.37)

Râ ràng năng lợng của hạt là liên tục và phụ thuộc vào . Bây giờ ta giải bài
toán dao động tử theo cơ học lợng tử. Đây là bài toán có nhiều ứng dụng trong
vật lý lợng tử và là một số ít bài toán của cơ học lợng tử có thể giải đợc một cách
chính xác.
Phơng trình Schr o dinger của dao động tử có dạng:
(

2 d 2
1
. 2  m 2 m 2 ). n ( x)  E n . n ( x)
2m dx
2

(1.38)
đặt y m .x ; 2 E

(*)

Ta đợc phơng trình với biÕn y:
XÐt nghiƯm khi

y  ¥

d 2 n ( y )
 (  y 2 ). n ( y ) 0
2
dy

(1.39)

lúc đó bỏ qua số hạng 2 E v× nã bÐ so víi y2

d 2 n ( y )
 y 2 . n ( y ) 0
2
dy



(1.40)

11


Khoá luận tốt nghiệp

Uông Thị Hải
y2

(1.40) có nghiệm ( y ) e  2 , ta lo¹i nghiƯm
e
n
kiƯn vËt lý.

y2
2

vì nó không thoả mÃn điều

y2

Nghiệm tổng quát đối với y tìm dới dạng ( y ) e 2 . f ( y )
n

(1.41)

Thay (1.41) vµo (1.39) ta đợc phơng trình vi phân đối với f(y)
d 2 f ( y)
df ( y )
 2 y.
 (  1) f ( y ) 0
2
dy
dy

(1.42)

Nghiệm của (1.42) đợc tìm dới dạng chuỗi:
Ơ

f(y) = a0 + a1y + a2y2 + ... = a k y k

(1.43)

k 0

Ơ

Thay

vào

(1.42)

ta

a

có:

k 2

k

Ơ

Ơ

k 1

k 0

k ( k  1) y k  2  2 a k .k . y k  (  1) a k y k 0

(1.44)
Trong tổng đầu thay chỉ sè k  k+2, trong tæng thø 2 cho k chạy từ 0 (số
hạng =0) , không đóng góp trong tỉng thø hai, ta cã :
¥

  (k  1)(k  2)a

k 2

 2ka k  (  1)a k y k 0

(1.45)

k 0

Để ý đẳng thức trên đúng với mọi k thì các hệ số ở vé trái, vé phải bằng 0 nghĩa
là:
(k 1)(k 2)a k  2  2ka k  (  1)a k 0  a k  2 

2k    k
.a k
(k 1)(k 2)

(1.46)

Đây là công thức truy hồi cho phép ta tính đợc mọi hệ số ak khi biết một hệ số
nào đó và từ đó xác định hàm f(y). Tuy nhiên để đảm bảo ý nghĩa vật lý của
nghiệm thì cần phải buộc hàm f(y) bởi những điều kiện nhất định.
Xét khi k Ơ . từ (1.46) ta có

a k 2 2

ak
k

(1.47)

Mặt khác h(y) = exp(y2) và trong khai triển Taylo của hàm gần điểm y = 0 ta cã:
exp( y 2 ) 1  y 2 

¥
b
1 4
yk
(k / 2)!
2
. y  ... 
 ...  bk . y k  k 2 

k
2!
bk
(k / 2 1)! k

k 0
( )!
2

(1.48)

So sánh (1.47) và (1.48) ta thấy f(y) và h(y) Ơ. Khi y Ơ lµ nh nhau
⇒ ψ( y ) = f (y ). exp(

y2
)→∞
2

khi y¥ .

12


Khoá luận tốt nghiệp

Uông Thị Hải

Để (y) hữu hạn ở vô cùng thì (1.45) phải trở thành một đa thức nghĩa là
trong chuỗi đó từ k = n+1 ak=0 hay an+1 = an+2=...=0 ( an  0 )
Chó ý (1.46) ta đợc: =n=2n+1, n=0,1,2,...
(1.49)
Kết hợp (1.49) và (*) ta ®ỵc :
En = ( n+1/2 ).  víi n= 0,1,2,...
(1.50)
Tõ (1.46) ta cã:

¥

f ( y )  a k . y k a n . y n  a n 2 . y n 2 ...
k 0

(1.51)
Đặt an=2n và tính các hệ số còn lại theo (1.46) trong đó =2n+1 ta nhận đợc:
ak

(k 1)(k 2)
.a k 2
2(k  n)

(1.52).

Tõ ®ã: a n  2   n(n  1) .a n   n(n  1) .2 n  2
2 .2

a n  4 

1!

(n  2)(n  3)
n(n  1)( n  2)( n  3) n  4
.a n  2 
.2
2.4
2!

(1.53)

§a thức (1.53) và hệ thức (1.51) gọi là đa thức HÐcmÝt bËc n, ký hiÖu Hn(y):
2

H n ( y ) ( 1) n .e y .

2
dn
.(e  y )
n
dy

(1.54)

KÕt hỵp (1.41), (1.51), (1.54) ta đợc: n ( y ) An .e y
với

y

2

/2

.H n ( y )

m
.x


(1.55)

An đợc xác định từ điều kiện chuẩn hoá:
Ơ

2

I | n ( y ) | 2 .dy  An .
¥

2
m

¥

e

 y2

2

(1.56).

.H n ( y )dy

Ơ

Thay (1.54) vào (1.56) ta có :
¥

2

2

I  e  y .H n ( y ).a y ( 1) n
Ơ

mặt khác

Ơ

Ơ

+
2
d n-1
(-1) .I = (
.e - y ).H n ( y )
n -1
-∞
dy
n

H n ( y ).

d n  y2
.e
dy n

+∞

2

dH n ( y ) d n-1 .e - y
∫∞ dy . dy n-1 .dy

sè hạng thứ nhất bằng 0
Tiếp tục tích phân số hạng thứ hai (n-1) lần nữa ta có:

13


Khoá luận tốt nghiệp

Uông Thị Hải

2
dn
I n .H n ( y ).e  y dy
 ¥ dy

¥

do Hn(y) là đa thức bậc n của y nên :
Ơ

I 2 n .n!. e 

y2

dn
.H n ( y ) 2 n .n!

n
dy

.dy 2 n .n!. n

.

Thay vµo (1.56) ta cã :

¥

An (

m 1 / 4
) .


1
2 n .n!

(1.57)

Nh vËy ta đà thu đợc kết quả của bài toán dao động tử điều hoà và kết quả này
cho ta thấy rõ các tính chất cơ bản của bài toán chuyển động một chiều nh các trị
riêng En không bị suy biến. Hàm riêng n(y) có tính chẵn, lẻ xác định và không
phụ thuộc vào n. Đồng thời ta thấy năng lợng của dao động tử điều hoà nhận
những giá trị gián đoạn.

1.3. Kết luận
Trong chơng này chúng tôi đà trình bày về lý thuyết phơng trình Schr o

dinger, chủ yếu đi sâu vào khảo sát các tính chất của phơng trình Schr dinger một
chiều. Vì vậy các tính toán phức tạp đợc đơn giản hoá. Trong phạm vi đề tài này
chúng tôi sử dụng phơng trình Schr o dinger này cho hệ nguyên tử và qua đó xác
định đợc phổ năng lợng của một số nguyên tử.

Chơng II
Phơng trình Schr o dinger cho hệ nguyên tử

trong trờng đối xứng tâm
2.1. Bài toán nguyên tử Hydro và các ion đồng dạng Hydro

14


Khoá luận tốt nghiệp

Uông Thị Hải

Xét nguyên tử Hyđro và ion đồng dạng nh một hệ gồm electron mang điện
tích -e và hạt nhân mang điện tích +ze. Hạt nhân đợc coi là đứng yên còn
electron chuyển động quanh hạt nhân dới tác dung của trờng lực thế culông.
U (r )

ze 2

(2.1)

4 0 r

Phơng trình Schr o dinger viết cho điện tử chuyển động trong trờng đối xứng

cầu của hạt nhân có dạng
2
ze
2m
2 E 
 . 0
4 0 r 
 

(2.2)

B©y giê ta chun phơng trình (2.2) sang toạ độ cầu
x=r.cos.sin
y=r.sin.sin
z=r.cos

Z
z
M


y

Y

x
M'
X

Trong toạ độcầu toán tư Laplace cã d¹ng:



1  2 
1
. (r . )  2
2
r
r r
r

 1


1
2 
.
(sin

.
)

.



sin 2   2 
 sin

(2.3)

Vậychuyển sang toạ độ cầu phơng trình Schr dinger cã d¹ng
1 

1
. .(r. )  2
2
r
r r
r

 1


1
 2  2m 
ze 2 

. 0
.
(sin

.
)

.

E





4 0 r 
sin 2   2   2 
 sin  

(2.4)

15


Khoá luận tốt nghiệp

Uông Thị Hải

Trong đó là hàm phụ thuộc biến số toạ độ cầu (r,,). ta giải phơng trình
(2.4) bằng phơng pháp tách biến
Đặt (r,,) = R(r).(,)
(2.5)
Sau đó tiếp tục tách phần gốc : (,)=X().Y()
(2.6)
Sau khi tách biến điều kiện chuẩn hoá có dạng :
2 Ơ
2
2
2
|  | dv | R(r ). X ( ).Y ( ) | .r . sin  .dr.d .d

=

0 0 0

2

2


2

| Y ( ) | d | X ( ) |
0

0

¥

2

sin  .d | R (r ) | r 2 dr 1

(2.7)

0

ở đây việc lấy tích phân theo mỗi biến số đợc tính cho toàn miền biến thiên
khả dĩ, điều kiện (2.7) sẽ đợc thoả mÃn nếu mỗi tích phân đều bằng đơn vị
2

| Y ( , ) |

2

d 1, d sin .d .d

0 0

Đặt phơng trình (2.5) vào (2.4) và rút các hàm không phụ thuộc vào các biến
số tơng ứng khỏi dấu đạo hàm ta có .
2

z
  2 R
R

R
 2 2m
.
(
r
.
)

(sin

.
)

.
 2 ( E  e ).R. 0
2
2

2
2
r

4 0 r
r r
r sin 
r . sin

Chia tất cả các sốhạng trong phơng trình trên cho R rồi nhân chúng với r2 và
chuyển về vé trái những số hạng chỉ phụ thuộc r , còn vế phải là những số hạng
chỉ phụ thuộc vào và . khi đó phơng trình có dạng .
2

ze
1  2 R
2mr 2
1
1 1

1
 2
. (r . )  2 ( E 
) 
. . .(sin  . ) 
.
R r
r
4 0 r
 sin   



sin 2 

(2.8)
Vì r, , là những biến số độc lập nên phơng trình (2.8) với mọi giá trị bất kỳ
của biến số chỉ đúng trong trờng hợp cả vế phải và vế trái của phơng trình cũng
bằng một hằng số vµ ký hiƯu lµ .
1 ∂ 2 ∂R
2mr 2
ze 2
. (r .
)+
(
E
+
)=λ
R ∂r
∂r
4 πε 0 r
2

(2.9)

1 1


1
 2
.

.
(sin  .
)
.

sin

sin 2 2

(2.10)

Từ đây ta thu đợc 2 phơng trình riêng rẽ cho các phần xuyên tâm và góc của
hàm sóng.
16


Khoá luận tốt nghiệp

Uông Thị Hải

Nhân phơng trình (2.8) với R rồi chia cho r2 .
Nhân phơng trình (2.9) với 
ta cã:

1 d 2 dR
2m
ze 2
.
(
r

.
)
+
[
(
E
+
)
dr
4 πε 0 r
r 2 dr
2

λ
r2

].R = 0

(2.11).

1


1
 2
.
(sin  .
)
.
 .

sin  

 . sin 2 2

(2.12)

Trong phơng trình (2.11) các đạo hàm riêng đợc thay bằng các đạo hàm thờng
vì phơng trình chỉ cha một biến số .
Trong phơng trình (2.12) ta tiếp tục tách biến: Đặt (,)=X().Y(). Đặt vào
phơng trình (2.12) ta đa ra ngoài dấu đạo hàm những đại lợng không phụ thuộc
vào biến số tơng ứng
Y

X
X
2Y
.
.(sin .
)
.
  . X .Y
sin  

sin 2   2

Chia cả hai vế của phơng trình trên cho XY sau đó nhân với sin2 và chuyển
các số hạng chỉ phụ thuộc vào vào vế trái của phơng trình, còn các số hạng phụ
thuộc vào về bên phải của phong trình ta đợc.
sin X
1 2Y

.
. sin 2   .
X 
Y  2

(2.13)

Víi mäi gi¸ trị của và , phơng trình (2.13) chỉ đúng khi cả vế trái và vế
phải đầu bằng một số ký hiÖu ml2
sin θ ∂
∂X
2
.
+ (sin θ.
) + λ sin 2 θ = m l
X ∂θ
∂θ

(2.14)

1 ∂2Y
.
=
Y ∂ 2

(2.15)

- ml

2

trong đó m l 2 là hằng số
Ta giải phơng trình (2.15) .thật vậy theo phơng trình vật lý toán (2.15) có
dạng (dùng tính chất của số phức ) ta đợc :
Y ( )  A.e ime  A(cos m  i sin m )

Tìm A từ điều kiện chuẩn hoá.
2

2

2

im
im
2
2
Y ( ) d  Ae . A.e d  A d 2A 1
0

0

 A

1
2

 Y ( ) 

1

2

.e im

(2.16)

17


Khoá luận tốt nghiệp

Uông Thị Hải

với ml nhận các giá trị số nguyên : m l = 0;1;2...
Bây giờ ta xét phơng trình (2.14)
chia (2.14) cho sin 2 rồi nhân với X ta đợc

(2.17)

2

ml
1 d
dX
. (sin . )
X() + λ.X(θ) = 0
sin θ dθ
dθ
sin 2 θ

(2.18)

víi ml 2 tho¶ mÃn điều kiện (2.17)
Để tìm X ta giải phơng trình (2.18) bằng cách khai triển phép tính đạo hàm
theo ta đợc phơng trình
2

m
dX 2 cos dX
+
. + ( - l2 )X = 0
d sin d
sin

(2.19)

Phơng trình (2.19) cho ta một nghiệm phức tạp hơn dới dạng một đa thức liên
kết Lagrăng, phơng trình này có nghiệm hữu hạn và liên tục khi
=l(l+1) với l= 0,1,2,...
(2.20)
và

(2.21)

ml l

Vậy với mỗi giá trị của l, ml có thể nhận các giá trị m l = 0;1;2... l, tức là ml
có thể nhận (2l+1) giá trị khác nhau
Nghiệm của phơng trình (2.18) có dạng là một hàm số cầu
Xl , ml =

trong ®ã :

p ( )

pl

ml

2 l + 1 ( l - m l )!
m
.p l l cos θ
2 ( l + m l )!

(η) = (1 - η 2 ) m l / 2 .

(2.22)

dm l
[ p α ()]
dm l

là đa thức Lagrangde
p ( )

1


d
2 1

2 l! d 



.





Ta cã mét sè hµm Xl,, ml cơ thĨ.
víi l=0, ml=0 ta cã:

X 00 

l=1, ml=0 ta cã:

X 01 =

l=1, ml=1 ta cã:

X 11 =

1
2
3
2

. cos θ

3
. sin 
4

18


Khoá luận tốt nghiệp
l=1, ml=-1 ta có:

Uông Thị Hải
X 1, 1

3
. sin
4

Thay: = l(l+1) vào phơng trình (2.9) và nhân hai vế của phơng trình với R
ta đợc :

d 2 dR
2m
ze 2 r
(r .
) + 2 [ Er 2 +
dr
dr
4 πε 0


l(l + 1) 2
].R = 0
2m

(2.23)

Kết quả khảo sát phơng trình này cho thấy.
* Nếu

E=(

mv 2
2

ze 2
)>0
4 0 r

thì phơng trình (2.23) có nghiệm với mọi giá trị E.

Trong trờng hợp này ta đợc phổ giá trị riêng E liên tục, tức là năng lợng cho
phép của điện tử không bị lỡng tử hoá. Vì khi E >0 động năng của điện tử đÃ
thắng đợc lực hút của Culông và điện tử đợc hoàn toàn tự do, nó có thể chuyển
động ra xa hạt nhân một khoảng vô cùng lớn.
* Nếu E<0 phơng trình (2.23) chỉ có nghiệm thoà mÃn các điều kiện đối với
một số giá trị hoàn toàn xác định của E. Ta giải phơng trình (2.23) qua hai bớc
+ Tìm nghiệm lân cận của phơng trình, tức là khi r Ơ, khi đó phơng trình
(2.23) có dạng gần đúng với r  ¥
d 2 R 2m
 2 ER 0

dr 2


nghiƯm (2.4) cã d¹ng :

R  A1e r  B1e  r

A1, B1 là hằng số :



2m
E 0
2

Mặt khác, để thoà mÃn điều kiện hữu hạn của hàm sóng ta giả thiết A1=0
R = B1e-r
(2.25)
+ Tìm nghiệm gần đúng của (2.23) , Đặt R = R.f = e-r.f

Ơ

với

f    ai  i
i 0

 : lµ mËt độ không thứ nguyên :

R theo (2.25) :

r0

r
r0

với r0 là độ dài đặc trng trong hàm

1



Nghiệm của phơng trình (2.23) có dạng :

R = e - r ∑ a i ρ γ + i

(2.26)

i= 0

KÕt qu¶ kh¶o sát của hàm R từ điều kiện hữu hạn thấy rằng, muốn R đáp ứng
điều kiện hàm sóng ta chỉ có tìm đợc nr số hạng trong chuỗi và cần loại bỏ các số
hạng bắt đầu từ số hạng thứ (nl + 1) trong chuỗi .
19


Khoá luận tốt nghiệp

Uông Thị Hải

Vậy ta có biểu thức xác định các giá trị năng lợng cho phép của điện tử liên
kết với hạt nhân.
E n

mz 2 e 4
1
. 2
2
2
(4 0 ) .2 n

n=1,2,3...

(2.27)

Trong đó: m - là khối lợng của điện tử
n - là số lợng tử chính, n l+1
Đối với nguyên tử Hydro
Thay số liệu:

m,  ,  0 ,  2 , z =1

E n  13,58.

1
n2

vµo (2.27) ta cã
(ev)

(2.28)

+ khi: n=1  E1=-13,58 (ev)
n=2  E2=-3,40 (ev)
n=3  E3= -1,51 (ev)
n=¥  E¥= 0 (ev) ( trạng thái ion hoá )
Ta có sơ đồ phổ năng lợng của Hydro nh sau :
9
6
5
4

-0,38
-0,54
-0,85
-1,51

dÃy Brakét
dÃy paslien

-3,04

3
2

dÃy Balmer
-13,58 DÃy lyman

1

ở đây cực tiểu tuyệt đối của năng lợng ứng với n=1 và chính giá trị năng lợng
của nó bằng năng lợng ion hoá nguyên tử Hydro
E E
13,58
(ev)
Trong quá trình tìm nghiệm từ điều kiện chuẩn hoá đà xuất hiện ba số lợng tử
n=1,2,3,...,Ơ là số lợng tử chính xác định năng lợng của trạng thái l=0,1,2,...,
(n+1): là số lợng tử quỹ đạo xác định độ lớn của mômen động lợng quỹ đạo ml
=0,1,2,...,l là số lợng tử từ xác định hình chiếu của mômen động lỡng quü
1

ionhoa

20