oán tử tích phân kỳ dị nhiều chiều (LV00476)

i
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của PGS.TS Hà Tiến
Ngoạn. Trong suốt quá trình thực hiện luận văn Thầy đã truyền đạt cho
bản thân tôi những kiến thức quý báu và luôn động viên, hướng dẫn tận
tình để tôi hoàn thành công việc. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng
kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán cùng các quý thầy cô đã
tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình
Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Sao Đỏ, Khoa Khoa
học Cơ bản và đồng nghiệp và đặc biệt gia đình, người thân những người
đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả an tâm học tập và bảo vệ thành
công luận văn này!
Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Tác giả
ii
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Tác giả
Mục lục
Mở đầu 2
1 Một số kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Tích phân trong không gian nhiều chiều . . . . . . . . . 5
1.1.1 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Tích phân mặt loại hai . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Tích phân giá trị chính . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Phép biến đổi Fourier trong không gian L
1
(E
n
) . 14
1.3.2 Phép biến đổi Fourier trong không gian L
2
(E
n
) . 23
2 Toán tử tích phân kỳ dị và các tính chất 26
2.1 Định nghĩa toán tử tích phân kỳ dị . . . . . . . . . . . . 26
2.1.1 Biến đổi Hilbert và kết quả . . . . . . . . . . . . 26
2.1.2 Toán tử tích phân kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Toán tử tích phân kỳ dị với nhân lẻ . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Toán tử tích phân kỳ dị với nhân chẵn . . . . . . . . . . 40
3 Một số ứng dụng của toán tử tích phân kỳ dị 46
3.1 Sự tồn tại vết của hàm vecto trên mặt phẳng . . . . . . 47
3.2 Bất đẳng thức trên biên của hàm điều hòa . . . . . . . . 50
iii
1
Kết luận 53
Tài liệu tham khảo 54
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết toán tử tích phân kỳ dị là một bộ phận của Giải tích

điều hòa, là khởi đầu của lý thuyết toán tử giả vi phân và một số phương
pháp hiện đại trong Giải tích và Phương trình đạo hàm riêng.
Lý thuyết toán tử tích phân kỳ dị đã xuất hiện hơn một thế kỷ
qua. Ban đầu lý thuyết này mới chỉ để cập trong các bài toán một chiều
đơn giản. Đến những thập niên 50 và 60 của thế kỷ XX thì sự phát triển
của lý thuyết toán tử tích phân kỳ dị đã mở rộng hơn trong các không
gian nhiều chiều. Trong lý thuyết Phương trình đạo hàm riêng và Lý
thuyết hàm, toán tử tích phân kỳ dị đóng một vai trò quan trọng. Nó
cho phép mô tả nghịch đảo của các toán tử vi phân đạo hàm riêng tuyến
tính loại elliptic với hệ số hằng và giúp mô tả nhiều tính chất định tính
của các không gian hàm số khác nhau.
Hơn nữa trong các bài toán của cơ học đàn hồi và của lý thuyết
thế vị, một số các đại lượng cần tính toán được biểu diễn dưới dạng toán
tử tích phân kỳ dị, do đó có thể được xác định một cách hữu hiệu hơn.
Vì vậy đòi hỏi chúng ta phải nghiên cứu các tính chất của chúng để làm
rõ vai trò của lý thuyết này. Trên đây là những lý do để chúng tôi tiến
hành nghiên cứu đề tài:
"Toán tử tích phân kỳ dị nhiều chiều "
2
3
2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống lại khái niệm, tính chất của toán tử tích phân kỳ dị
nhiều chiều. Chỉ ra mối liên hệ giữa toán tử tích phân kỳ dị nhiều chiều
với lý thuyết giả vi phân. Đưa ra các ứng dụng của toán tử tích phân
kỳ dị vào các bài toán hàm điều hòa.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích đã nêu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu chính của
luận văn là:
Mô tả các khái niệm và tính chất của tích phân kỳ dị và phương
trình tích phân kỳ dị cũng như các ứng dụng của chúng.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng: Một số lý thuyết về toán tử tích phân kỳ dị, các
không gian hàm liên quan và ứng dụng vào phương trình tích phân.
Phạm vi: Nghiên cứu lý thuyết và xây dựng các ứng dụng trên
cơ sở các tài liệu chuyên khảo.
5. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn chủ yếu dùng các phương pháp nghiên cứu truyền
thống của Giải tích hàm: Phân tích, tổng hợp kiến thức. Xuất phát từ
toán tử Hilbert trong trường hợp một chiều, luận văn sẽ đưa vào toán
tử tích phân kỳ dị nhiều chiều và nghiên cứu các tính chất của chúng.
Việc ứng dụng sẽ được mở rộng từ lớp các hàm liên hợp điều hòa và các
phương trình tích phân kỳ dị. Ngoài ra luận văn còn nghiên cứu trên các
tài liệu liên quan: Giáo trình, tạp chí,
4
6. Giả thuyết khoa học
Luận văn được trình bày một cách có hệ thống và khoa học các
vấn đề về toán tử tích phân kỳ dị và các ứng dụng của tích phân kỳ dị
về sự tồn tại vết của hàm vecto trên mặt phẳng và bất đẳng thức giữa
các thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến trên biên của gradient hàm
điều hòa. Đây sẽ là một đóng góp quan trọng về lý thuyết để giải quyết
triệt để các vấn đề về toán tử tích phân kỳ dị và phương trình tích phân
kỳ dị trên các không gian nhiều chiều khác.
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Tích phân trong không gian nhiều chiều
1.1.1 Tích phân suy rộng
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử f là hàm xác định trên R
n
và f khả tích trên
mọi tập bị chặn. Nếu tồn tại


R
n
f(x)dx = lim
R→∞

|x|≤R
f(x)dx
thì ta gọi giới hạn trên là tích phân suy rộng loại 1 của hàm n biến.
Tích phân I =

R
n
f(x)dx được gọi là hội tụ nếu giới hạn là tồn tại
và I là hữu hạn. Ngược lại ta nói tích phân là phân kì.
Ví dụ 1.1.1. Trong R
1
xét tích phân

+∞
1
dx
x
α
với α ∈ R.
Trường hợp 1) α = 1 thì với mọi b ∈ R ta có:

b
1
dx

x
= lnb
5
6
và lnb → +∞ khi b → +∞. Do đó

+∞
1
dx
x
= +∞
hay tích phân đã cho phân kì.
Trường hợp 2) α = 1.
Khi đó với mọi b > 1, ta có:

b
1
dx
x
=
x
1−α
1 −α
|
b
1
=
b
1−α
1 −α

−
1
1 −α
.
Khi đó:
+Với α < 1 thì
lim
b→+∞

b
1
dx
x
α
= +∞
do đó

+∞
1
dx
x
α
= +∞ và tích phân đã cho phân kì.
+Với α > 1 thì
lim
b→+∞

b
1
dx

x
α
=
1
α − 1
Như vậy ta có kết luận:
Tích phân

+∞
1
dx
x
α
với α ∈ R sẽ hội tụ nếu α > 1 và phân kì nếu α ≤ 1.
Ví dụ 1.1.2. Trong trường hợp tổng quát thì tích phân

R
n
dx
(1 + |x|)
m
sẽ hội tụ nếu m > n và phân kì nếu m ≤ n
7
Định lí 1.1.3. Ta có các khẳng định sau:
a) Nếu các tích phân suy rộng

R
n
f(x)dx và


R
n
g(x)dx hội tụ thì:

R
n
(f(x)+g(x))dx
cũng hội tụ và

R
n
(f(x)+g(x))dx =

R
n
f(x)dx+

R
n
g(x)dx
b) Nếu tích phân

R
n
f(x)dx hội tụ và λ là một số thực thì:

R
n
λ f(x)dx
hội tụ và


R
n
λ f(x)dx = λ

R
n
f(x)dx
Định lí 1.1.4. Giả sử f là một hàm số xác định trên R
n
và khả tích trên
mọi tập bị chặn. Nếu f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ R
n
thì tích phân

R
n
f(x)dx
luôn luôn tồn tại (hữu hạn hoặc bằng +∞).
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử Ω là một tập bị chặn, x
0
∈ Ω và f(x) xác
định, liên tục trên Ω \{x
0
}. Khi đó nếu tồn tại:

Ω
f(x)dx = lim
→0


Ω\B

(x
0
)
f(x)dx
thì giới hạn đó được gọi là tích phân suy rộng loại 2 của hàm f trên Ω
Cũng giống như tích phân suy rộng loại 1 được định nghĩa như ở trên,
nếu tích phân I =

Ω
f(x)dx có giá trị hữu hạn thì ta nói tích phân hội
tụ và ngược lại ta nói tích phân phân kì.
8
Ví dụ 1.1.5. Trong R
1
xét tích phân trong R
n
:

0
−1
dx
√
1 −x
2
Ta có

0
−1

dx
√
1 −x
2
= lim
c→(−1)
+

0
c
dx
√
1 −x
2
và ta dễ dàng có kết quả

0
−1
dx
√
1 −x
2
=
π
2
như vậy tích phân là hội tụ.
Ví dụ 1.1.6. Trong trường hợp tổng quát, xét tích phân

|x|≤1
dx

|x|
k
Khi đó tích phân sẽ hội tụ nếu k < n và phân kì khi k ≥ n.
Nhận xét 1.1.7. Tích phân suy rộng loại 2 cũng có các tính chất và
kết quả giống với tích phân suy rộng loại 1.
1.1.2 Tích phân mặt loại hai
Định nghĩa 1.1.3. Xét mặt cong S là tập hợp các điểm M(x, y, z) thỏa
mãn phương trình
F (x, y, z) = 0
Mặt S gọi là trơn khi và chỉ khi hàm F (x, y, z) có các đạo hàm riêng
F

x
, F

y
, F

z
liên tục và không đồng thời bằng không, hay nói cách khác
vecto gradient:
F (x, y, z) = (F

x
, F

y
, F

z

)
9
liên tục và khác 0 trên mặt S.
Trường hợp mặt S có phương trình tham số:
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)
Giả sử vecto r = r(u, v) = ix + jy + kz. Khi đó mặt S gọi là trơn nếu
hàm r(u, v) khả vi, liên tục và:
rank

D(x, y, z)
D(u, v)

= 2
Định nghĩa 1.1.4. Mặt S gọi là mặt định hướng được (hay gọi là mặt
hai phía) nếu tại mỗi điểm M của S xác định được một vecto pháp tuyến
đơn vị
−−−→
n(M) và hàm vecto
−−−→
n(M) là liên tục trên S, đồng thời sau khi di
chuyển theo đường cong kín bất kỳ trên S và quay về vị trí ban đầu thì
vecto pháp tuyến này không đổi hướng.
Định nghĩa 1.1.5. Cho các hàm số P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) xác
định trên mặt định hướng S với vecto pháp tuyến đơn vị
−→
n (cosα, cosβ, cosγ).
Khi đó tích phân mặt loại hai của các hàm P, Q, R trên mặt định hướng
S được tính theo công thức:

S

(P cosα + Qcosβ + Rcosγ)dS
và ta thường kí hiệu là:
I =

S
P dydz + Qdzdx + Rdxdy
Để tính được tích phân trên, ta cần tính:

S
Rdxdy =

S
RcosγdS
10
Trong đó S là mặt cong có phương trình z = z(x, y)(trơn hoặc trơn từng
khúc) với vecto pháp tuyến định hướng phía trên (phía trên mặt cong
tạo với hướng dương trục Oz một góc nhọn).
Ta thấy cosγ
i
∆S
i
≈ ∆D
i
, trong đó:
∆S
i
: Diện tích mặt cong ∆S
i
∆D
i

: Diện tích hình chiếu mảnh cong ∆S
i
xuống mặt phẳng Oxy.
Khi đó vecto pháp tuyến
−→
n tạo với trục Oz một góc nhọn, nên cosγ
i
> 0
và ∆D
i
lấy dấu dương. Khi đó:

S
Rdxdy = +

D
1
R(x, y, z(x, y))dxdy
trong đó D
1
là hình chiếu của S xuống Oxy.
Nếu đổi hướng mặt S tức cosγ
i
< 0 và ∆D
i
lấy dấu âm. Khi đó:

S
Rdxdy = −


D
1
R(x, y, z(x, y))dxdy
Tương tự

S
Qdxdz = ±

D
2
Q(x, y(x, z), z)dxdz

S
P dydz = ±

D
3
P (x(y, z), y, z)dydz
Ví dụ 1.1.8. Tính tích phân

S
x
2
dydz + y
2
dxdz + z
2
dxdy
trong đó S là mặt phía ngoài của nửa mặt cầu x
2

+ y
2
+ z
2
= R
2
, z ≥ 0
Ta có:
I
3
=

S
z
2
dxdy
=

x
2
+y
2
≤R
2
(R
2
− x
2
− y
2

)dxdy
=
πR
4
2
11
I
2
=

S
y
2
dxdz
=

S
1
y
2
dxdz +

S
2
y
2
dxdz
trong đó
S = S
1

+ S
2
và nó ứng cho hai giá trị y dương và y âm. Khi đó:

S
1
(y
2
)dxdz
lấy dấu dương và:

S
2
(y
2
)dxdz
lấy dấu âm.
Do hàm y
2
là hàm chẵn, nên:

S
1
y
2
dxdz = −

S
2
y

2
dxdz
hay I
2
= 0. Một cách hoàn toàn tương tự, ta cũng có:

S
(x
2
)dydz = 0
Vậy I =
πR
4
2
.
1.1.3 Tích phân giá trị chính
Định nghĩa 1.1.6. Không gian S các hàm thử được định nghĩa bởi lớp
tất cả các C
∞
của hàm ϕ trong E
n
(đạo hàm riêng mọi cấp của ϕ tồn
tại và liên tục) thỏa mãn:
sup
x∈E
n


x
α

(D
β
ϕ)(x)


< ∞
12
với mọi đa chỉ số α = (α
1
, α
2
, , α
n
) và β = (β
1
, β
2
, , β
n
) của các
số nguyên không âm, trong đó x
α
= x
α
1
1
x
α
2
2

x
α
n
n
, D
β
= D
β
1
1
D
β
2
2
D
β
n
n
,
D
j
=
∂
∂x
j
.
Định nghĩa 1.1.7. Trong không gian E
n
thực, S - không gian các hàm
thử, ϕ ∈ S, với P(x) là đa thức điều hòa trong E

n
(thuần nhất bậc k).
Xét hạch K(x) =
P (x)
|x|
n+k
, k ≥ 1. Hàm K(x) không khả tích tại lân cận
của gốc tọa độ
Khi đó ta định nghĩa hàm suy rộng tăng chậm (phiếm hàm tuyến tính
trên không gian các hàm giảm nhanh ở vô cực):
L(ϕ) = lim
→0

0<≤|t|
K(t)ϕ(t)dt
với mỗi hàm thử ϕ.
Nếu giới hạn ở trên mà tồn tại thì ta gọi nó là tích phân giá trị chính.
Người ta thường dùng kí hiệu:
L(ϕ) = P.V

E
n
K(t)ϕ(t)dt
để chứng tỏ L là hàm tuyến tính với mọi ϕ ∈ S.
1.2 Tích chập
Định nghĩa 1.2.1. Nếu f và g thuộc L
1
(E
n
) thì tích chập của f và g

ký hiệu f ∗ g được xác định như sau:
(f ∗ g)(x) :=

E
n
f(y)g(x −y)dy :=

E
n
f(x −y)g(y)dy
13
trong đó tích phân trên là tồn tại hầu khắp nơi theo x ∈ E
n
và khi đó
f(x −y)g(y) là hàm đo được của hai biến x và y.
Định lí 1.2.1. Nếu tích chập f ∗ g tồn tại thì tích chập g ∗ f cũng tồn
tại và:
f ∗ g = g ∗ f.
Mệnh đề 1.2.2. Tích chập của mọi hàm suy rộng f với δ đều tồn tại và:
f ∗ δ = δ ∗ f = f.
Định lí 1.2.3. Nếu f ∈ L
p
(E
n
), 1 ≤ p ≤ ∞ và g ∈ L
1
(E
n
), thì:
h = f ∗ g được xác định và tích chập thuộc L

p
(E
n
). Hơn thế nữa:
f ∗ g
p
≤ f
p
g
1
.
Chứng minh. Định lí này là rất rõ ràng. Thật vậy, ta có:
|h(x)| ≤

E
n
|f(x −y)||g(y)|dy
Vì vậy ta có thể áp dụng bất đẳng thức tích phân Minkowski chỉ ra rằng:
|h(x)|
p
≤


E
n
|f(x −y)||g(y)|
1
p
|g(y)|
1

q
dy

p
dx,
hay

E
n
|h(x)|
p
dx ≤ (g
1
)
p
q

E
n


E
n
|f(x −y)|
p
|g(y)|dy

dx.
Mà


E
n
|g(y)|


E
n
|f(x −y)|
p
dx

dy = f
p
p
g
1
.
14
Do đó:
h
p
≤ f
p
g
1
.
Định lí 1.2.4. Nếu tích chập f ∗g tồn tại thì các tích chập D
α
f ∗g và
f ∗ D

α
g cũng tồn tại. Hơn thế nữa:
D
α
f ∗ g = D
α
(f ∗ g) = f ∗ D
α
g.
1.3 Biến đổi Fourier
1.3.1 Phép biến đổi Fourier trong không gian L
1
(E
n
)
Định nghĩa 1.3.1. Phép biến đổi Fourier của hàm f ∈ L
1
(E
n
) cho bởi
công thức:

f(x) :=

E
n
f(t)e
−2πix.t
dt
với x ∈ E

n
.
Định lí 1.3.1. Cho f ∈ L
1
(E
n
), ánh xạ:
f →

f
là tuyến tính, bị chặn biến đổi từ L
1
(E
n
) vào L
∞
(E
n
) và ta có:
a)




f



∞
≤ f

1
b)

f liên tục đều trên E
n
c) Nếu f ∈ L
1
(E
n
) thì

f hội tụ đều
d) Nếu đạo hàm f

tồn tại và thuộc L
1
(E
n
) thì:

f

(x) = −2πit

f(x)
15
e)

f(x) → 0 khi x → ±∞
Định lí 1.3.2. Nếu f, g ∈ L

1
(E
n
) thì biến đổi Fourier:

(f ∗ g) =

fg
Định lí 1.3.3. Nếu f và g ∈ L
1
(E
n
) thì:

E
n

f(x)g(x)dx =

E
n
f(x)g(x)dx
Chứng minh. Định lí này dễ dàng có được dựa vào định lí Fubini. Thật
vậy:

E
n

f(x)g(x)dx =


E
n


E
n
f(t)e
−2πit.x
dt

g(x)dx
=

E
n


E
n
g(x)e
−2πit.x
dx

f(t)dt
=

E
n
f(t)g(t)dt
Định lí 1.3.4. Giả sử α là một số phức thỏa mãn 0 < Re(α) < n và

P (x) là một đa thức điều hòa trên E
n
(thuần nhất có bậc k). Nếu:
K(x) =
P (x)
|x|
n+k−α
thì:
ˆ
K(t) =
γP (t)
|t|
k+α
ở đây γ = γ
k,α
=
i
−k
π
(
n
2
−α)
Γ(
(k+α)
2
)
Γ(
(n+k−α)
2

)
16
Trong trường hợp đặc biệt nếu α → 0 thì ta có định lí sau:
Định lí 1.3.5. Giả sử P(x) là một đa thức điều hòa trên E
n
(hàm thuần
nhất bậc k ≥ 1). Nếu:
K(x) =
P (x)
|x|
n+k
thì:
ˆ
K(t) =

i
−k
π
n
2
Γ(
k
2
)
Γ(
n+k
2
)

P (t)

|t|
k
=
γ
k,0
P (t)
|t|
k
.
Chứng minh. Đầu tiên ta phải chỉ ra:
γ
k,0

E
n

P (t)
|t|
k

ϕ(t)dt = P.V

E
n

P (t)
|t|
n+k

ˆϕ(t)dt (1.1)

với mọi hàm thử ϕ.
Theo định lí (1.3.4) ta có:
γ
k,α

E
n

P (t)
|t|
k+α

ϕ(t)dt =

E
n

P (t)
|t|
n+k−α

ˆϕ(t)dt, (1.2)
ở đây 0 < α < n. Như thế khi α → 0 thì vế trái của (1.2) dần tới vế trái
của (1.1). Suy ra ta có thể viết:
lim
α→0

E
n


P (t)
|t|
n+k−α

ˆϕ(t)dt = P.V

E
n

P (t)
|t|
n+k

ˆϕ(t)dt.
Vì các tích phân của P(t) trên mặt của tâm hình cầu tại gốc là bằng
không và như trên ta thấy:
K(t) [ ˆϕ(t) − ˆϕ(0)]
17
là khả tích địa phương.
Theo định lí về sự hội tụ trội, ta có:
lim
α→0

E
n

P (t)
|t|
n+k−α


ˆϕ(t)dt =
= lim
α→0

|t|≤1

P (t)
|t|
n+k−α

( ˆϕ(t) −
ˆ
ϕ(0)dt) +

|t|>1
K(t) ˆϕ(t)dt
=

|t|≤1
K(t) [ ˆϕ(t) − ˆϕ(0)] dt +

|t|>1
K(t) ˆϕ(t)dt
Nhưng biểu thức cuối cùng mà ta chỉ ra phải là giới hạn:
P.V

E
n

P (t)

|t|
n+k

ˆϕ(t)dt
và như vậy định lí được chứng minh.
Định lí 1.3.6. Giả sử Ω là một hàm trong L
2
(

n−1
) thỏa mãn


n−1
Ω(x

)dx

= 0.
Khi đó tồn tại duy nhất hàm điều hòa cầu Y
(k)
bậc k thỏa mãn:
Ω =
∞

k=1
Y
(k)
,
chuỗi hội tụ theo chuẩn của L

2
(

n−1
). Giá trị hàm đó nhận tại x = 0
là K(x) =
Ω(x

)
|x|
n
được định nghĩa một giá trị chính suy rộng biến đổi
Fourier
ˆ
K của nó là một hàm thuần nhất bậc 0. Vì vậy,
ˆ
K(x) = Ω
0
(
x
|x|
)
với x = 0. Hơn thế nữa, Ω
0
=

∞
k=1
Y
(k)

0
, ở đây Y
(k)
0
= γ
k,0
Y
(k)
và chuỗi
là hội tụ theo chuẩn L
2
(

n−1
). Hơn nữa:
18
∞

k=1
k
n



Y
(k)
0




2
=
∞

k=1
k
n


n−1



Y
(k)(x

)
0



2
dx

< ∞
Hệ quả 1.3.1. Nếu Ω ∈ L
2
(

n−1

) thì hàm Ω
0
là liên tục.
Định nghĩa 1.3.2. Với mỗi  > 0 ta định nghĩa trung bình Abel cho
bởi công thức:
A

(f) =

E
n
f(x)e
−|x|
dx
với f ∈ L
1
(E
n
). Khi đó:

E
n
f(x)dx = lim
→0
A

(f)
Khi f không khả tích thì ta có:
lim
→0

A

(f) = lim
→0

E
n
f(x)e
−|x|
dx (1.3)
Định nghĩa 1.3.3. Nếu lim
→0
A

(f) = lim
→0

E
n
f(x)e
−|x|
dx tồn tại và hữu
hạn thì ta gọi

E
n
f là Abel khả tổng.
Định nghĩa 1.3.4. Ta gọi G

(f) = G


=

E
n
f(x)e
−|x|
2
dx là Gauss khả
tổng và:
lim
→0
G

(f) = lim
→0

E
n
f(x)e
−|x|
2
dx (1.4)
Nhận xét 1.3.7. Ta thấy rằng cả (1.3) và (1.4) đều có dạng:
M
,φ
(f) = M

(f) =


E
n
φ(x)f(x)dx (1.5)
19
với φ ∈ C
0
và φ(0) = 1. Khi đó

E
n
f là khả tổng tới l nếu:
lim
→0
M

(f) = l
Ta sẽ gọi M

(f) là Φ− trung bình của tích phân (1.5).
Định lí 1.3.8. Với mọi α > 0 ta đều có:

E
n
e
−πα|y|
2
e
−2πity
dy = α
−

n
2
e
−
π|t|
2
α
Định lí 1.3.9. Với mọi α > 0 ta đều có:

E
n
e
−2πα|y|
e
−2πity
dy = C
n
α

α
2
+ |t|
2

n+1
2
ở đây C
n
=
Γ

[
n+1
2
]
π
n+1
2
Nhận xét 1.3.10. Giả sử rằng hàm φ trong Nhận xét 1.3.7 là khả tích
và biến đổi Fourier của nó là

φ = ϕ.
Nếu ta cho ϕ

(x) = 
−n
ϕ

x


, với  > 0 thì:


δ

φ

(x) = 
−n
ϕ


x


= ϕ

(x)
Theo Định lí 1.3.8 ta đã chỉ ra khi φ(x) = e
−4π
2
|x|
2
ta có:
ϕ

(x) = W (x, 
2
)
và theo Định lí 1.3.9 chỉ ra rằng:
ϕ

(x) = P (x, )
khi φ(x) = e
−2π|x|
.
20
Định lí 1.3.11. Nếu f và φ ∈ L
1
(E
n

) và ϕ =

φ thì:

E
n

f(x)e
2πitx
φ(x)dx =

E
n
f(x)ϕ

(x −t)dx
với mọi  > 0. Ngoài ra:

E
n

f(x)e
2πitx
e
−2π|x|
dx =

E
n
f(x)P (x −t, )dx

và

E
n

f(x)e
2πitx
e
−4π
2
α|x|
2
dx =

E
n
f(x)W (x −t, α)dx
với mọi α > 0
Bổ đề 1.3.1. Từ định lí trên, ta luôn có:

E
n
W (x, α)dx = 1, với mọi α > 0

E
n
P (x, )dx = 1, với mọi  > 0
Định lí 1.3.12. Giả sử ϕ ∈ L
1
(E

n
) với

E
n
ϕ(x)dx = 1 và với  > 0.
Cho:
ϕ

(x) = 
−n
ϕ

x


Nếu f ∈ L
p
(E
n
), 1 ≤ p < ∞ hoặc f ∈ C
0
⊂ L
∞
(E
n
) thì:
f ∗ ϕ

− f

p
→ 0
khi  → 0. Ngoài ra:
u(x, ) =

E
n
f(t)P (x −t, )dt
21
và
δ(x, ) =

E
n
f(t)W (x −t, )dt
hội tụ tới f trong chuẩn L
p
khi  → 0.
Hệ quả 1.3.2. Giả sử ϕ ∈ L
1
(E
n
) và

E
n
ϕ(t)dt = 0 thì:
f ∗ ϕ



p
→ 0
khi  → 0 với f ∈ L
p
(E
n
), 1 ≤ p < ∞ hoặc f ∈ C
0
⊂ L
∞
(E
n
).
Định lí 1.3.13. Nếu φ và biến đổi Fourier của nó ϕ =

φ là các hàm khả
tích và

E
n
ϕ(x)dx = 1 thì φ trung bình của tích phân

E
n

f(t)e
2πitx
dt hội
tụ tới f(x) trong chuẩn L
1

.
Ngoài ra trung bình Abel và Gauss của tích phân này hội tụ tới f(x)
trong chuẩn L
1
.
Hệ quả 1.3.3. Nếu cả f và

f là các hàm khả tích thì:
f(x) =

E
n

f(t)e
2πitx
dt
với hầu hết x.
Hệ quả 1.3.4. Nếu f
1
và f
2
thuộc L
1
(E
n
) và

f
1
(x) =


f
2
(x) với x ∈ E
n
thì f
1
(t) = f
2
(t) với hầu hết t ∈ E
n
.
Định lí 1.3.14. Giả sử rằng ϕ ∈ L
1
(E
n
). Cho ψ(x) = ess.sup
|t|≥|x|
|ϕ(t)| và
với  > 0 cho ϕ

(x) = 
−n
ϕ

x


.
22

Nếu ψ ∈ L
1
(E
n
) và f ∈ L
p
(E
n
), 1 ≤ p < ∞ thì:
lim
→0
(f ∗ ϕ

)(x) = f(x)

E
n
ϕ(t)dt
với x thuộc tập Lebesgue của f.
Ngoài ra tích phân Poisson và Gauss -Weierstrass của f lần lượt là

E
n
f(t)P (x − t, )dt và

E
n
f(t)W (x − t, )dt hội tụ tới f(x) khi  → 0
với hầu hết x ∈ E
n

.
Hệ quả 1.3.5. Giả sử f ∈ L
1
(E
n
) và

f ≥ 0. Nếu f là liên tục tại 0 thì

f ∈ L
1
(E
n
) và:
f(t) =

E
n

f(x)e
2πitx
dx
với hầu hết x. Ngoài ra:
f(0) =

E
n

f(x)dx
Hệ quả 1.3.6. Đối với các hàm W (x, α) và P(x, α) ta luôn có:


E
n
W (x, α)e
2πitx
dx = e
−4π
2
α|t|
2
và

E
n
P (x, α)e
2πitx
dx = e
−2πα|t|
Hệ quả 1.3.7. Nếu α
1
và α
2
là hai số thực dương, thì:
W (x, α
1
+ α
2
) =

E

n
W (x −t, α
1
)W (t, α
2
)dt