tích phân itô – wiener nhiều chiều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TH ÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHI ÊN

NGUYỄN VĂN CẦN
TÍCH PHÂN ITÔ – WIENER NHIỀU
CHIỀU
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS.DƯƠNG TÔN Đ ẢM
TP.HỒ CHÍ MINH – 2009
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TH ÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHI ÊN
NGUYỄN VĂN CẦN
TÍCH PHÂN ITÔ – WIENER NHIỀU
CHIỀU
Chuyên ngành: XÁC SU ẤT – THỐNG KÊ
Mã số: 60.46.15
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
TP.HỒ CHÍ MINH – 2009
1
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tôi xin dành cho b ậc sinh thành và gia đình, những người đã nuôi
dưỡng, giáo dục, động vi ên về tinh thần cũng nh ư vật chất trong suốt quá tr ình
học tập.
Tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy hướng dẫn –
Tiến Sĩ Dương Tôn Đảm đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo những khó khăn, trở ngại
trong quá trình thực hiện luận văn.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn đến Ban Giám hiệu cùng quý Thầy, Cô trong
Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên và đặc biệt là các Thầy:

TS Tô Anh Dũng, PGS.TS Nguyễn Bác Văn, GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến ,
GS.TSKH Nguyễn Văn Thu đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ, tạo điều kiện tốt nhất
cho tôi trong suốt thời gian theo học Cao học tại trường cũng như trong thời gian
thực hiện luận văn này. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy trong hội đồng
chấm luận văn và Thầy phản biện đã đọc và đóng góp cho tôi nh ững ý kiến quý
báu.
Tôi cũng không thể không kể đến sự giúp đỡ nh iệt tình của các bạn Cao học
chuyên ngành Xác Su ất Thống Kê khóa 16.
Tp.Hồ Chí Minh, tháng 03 năm 2009
Tác giả
Nguyễn Văn Cần
2
LỜI MỞ ĐẦU
Trong luận văn này, chúng ta chủ yếu nghiên cứu về tích phân ngẫu nhi ên Itô –
Wiener một chiều, tích phân ngẫu nhi ên Itô – Wiener nhiều chiều và lớp các tích
phân ngẫu nhiên theo quá trình Lévy . Trong đó tích phân ng ẫu nhiên Itô - Wiener
một chiều và tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener nhiều chiều được xây dựng dựa
trên các tính chất của quá trình Wiener (hay quá trình chuy ển động Brown).
Luận văn gồm 3 chương:
Chương I: Phần đầu trình bày về các kiến thức cơ sở để chuẩn bị cho việc sử
trong các phần tiếp theo của luận văn nh ư là: không gian xác su ất cơ sở, quá trình
ngẫu nhiên liên tục, quá trình ngẫu nhiên đo được, các định lý hội tụ trong xác
suất, vv… . Phần tiếp theo l à nội dung nghiên cứu của luận văn, trong phần n ày ta
đi xây dựng tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener một chiều của một hàm bất kỳ dựa
vào việc xấp xỉ hàm bất kỳ đó bởi dãy hàm sơ cấp (hay hàm bậc thang), và trình
bày một số tính chất cơ bản của tích phân ngẫu nhi ên Itô – Wiener một chiều. Tiếp
theo, ta đi nghiên c ứu một số tính chất của vi phân ngẫu nhi ên Itô, trong phần này
ta đưa ra một số công thức vi phân ngẫu nhi ên Itô đặc biệt, nó là công cụ tuyệt vời
cho việc tính các tích phân ng ẫu nhiên hay phương trình vi phân ngẫu nhiên
thường gặp trong toán t ài chính cũng như trong kĩ thuật bởi ngày nay lý thuyết giải

tích ngẫu nhiên đã xâm nhập vào tất cả các lĩnh vực.
Chương II: Phần đầu trình bày về việc xây dựng tích phân ngẫu nhi ên Itô –
Wiener nhiều chiều dựa vào công thức tích phân Itô lặp nghĩa là giữa tích phân Itô
– Wiener nhiều chiều và tích phân Itô lặp có mối liên hệ qua lại với nhau, nh ư vậy
để tính tích phân Itô – Wiener nhiều chiều thực chất là tính tích phân Itô lặp. Tiếp
theo, trình bày về cách xác định đa thức Hermite v à các tính chất quan trọng của
nó. Phần cuối là một kết quả rất đặc biệt, đó l à mối liên hệ giữa tích phân ngẫu
3
nhiên Itô – Wiener nhiều chiều và đa thức Hermite nghĩa là đa thức Hermite được
biểu diễn thành tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener nhiều chiều.
Chương III: Phần đầu trình bày về tích phân ngẫu nhiên theo quá trình Lévy, để
xây dựng tích phân này trước hết ta đưa ra các khái niệm, tính chất của quá tr ình
Lévy sau đó ta tiến hành xây dựng tích phân ngẫu nhi ên theo quá trình Lévy và
đưa ra các tính ch ất cơ bản của tích phân n ày. Tiếp theo là trình bày phần ứng
dụng của quá trình Lévy trong tài chính b ằng việc sử dụng biến đổi Esscher (biến
đổi Esscher là sự biến đổi từ độ đo xác suất c ơ sở
P
tương đương địa phương độ
đo
Q
theo quá trình mật độ
t
t
dQ
Z
dP

F
).
4

Mục luc Trang
Lời cảm ơn……………………………………………………………………… …1
Lời nói đầu………………………………………………………………… ………2
Mục lục…………………………………………………………………… ……….4
Bảng ký hiệu……………………………………………………………… ……….8
Chương I: Tích Phân Itô – Wiener Một Chiều……………………. …… 10
§1.1. Những khái niệm cơ bản……………………………………………… ……10
1.1.1. Định nghĩa
 
đại số………………………………………… … 10
1.1.2. Định nghĩa không gian xác suất……… …………………………… 10
1.1.3. Định nghĩa biến ngẫu nhiên…………………………………… … 11
1.1.4. Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên……………………………… …….11
1.1.5. Định nghĩa liên tục ngẫu nhiên………………………………… ……12
1.1.6. Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên đo được……………………… … 12
1.1.7. Định nghĩa bộ lọc……………………………………………… ……12
1.1.8. Định nghĩa matingale…………………………………………… … 13
1.1.9. Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên đo được dần…………………… …13
1.1.10.Định nghĩa hội tụ theo xác suất………………………………… … 14
1.1.11.Định nghĩa hội tụ hầu chắc chắn………………………………… ….14
1.1.12.Định lý hội tụ bị chặn (hội tụ bị trội)………………………… …… 14
§1.2. Tích phân Itô – Wiener một chiều………… ……………………… … 15
1.2.1. Định nghĩa lịch sử và tương lai của quá trình Wiener… ………… 15
1.2.2. Định nghĩa……………………………………………… ………… 16
1.2.3. Định nghĩa…………………………………………… …………… 16
1.2.4. Định nghĩa không gian hàm bình ph ương khả tích ……………… 16
1.2.5. Định nghĩa hàm sơ cấp.………………………… ………………… 17
1.2.6. Định nghĩa tích phân ngẫu nhi ên Itô của hàm sơ cấp……………… 17
5
1.2.7. Bổ đề xấp xỉ một hàm bất kỳ bằng hàm sơ cấp………………… 17

1.2.8. Định nghĩa tích phân ngẫu n hiên Itô của hàm bất kỳ……………… 18
1.2.9. Các tính chất của tích phân ngẫu nhiên Itô……………………… … 18
1.2.10.Ví dụ……………………………………………………… …………21
§1.3. Vi phân ngẫu nhiên Itô………………… ……………………………… … 23
1.3.1. Định nghĩa………………………………………………… ……… 23
1.3.2. Định lý công thức vi ph ân Itô một chiều………………………… ….24
1.3.3. Ví dụ…………………………………………………… ……………28
1.3.4. Tính chất công thức vi phân của tíc h hai quá trình ngẫu nhiên…… 28
1.3.5. Ví dụ………………………………………………………… ………30
1.3.6. Tính chất công thức vi phân ……………………………………… …31
1.3.7. Ví dụ…………………………………………………………… ……31
1.3.8. Tính chất công thức vi phân ……………………………………… …32
1.3.9. Ví dụ……………………………………………………………… …33
1.3.10.Tính chất công thức tích phân từng phần………………………… …34
1.3.11.Ví dụ………………………………………………………… ………34
1.3.12.Tính chất công thức vi phân vec tơ – Itô………………………… ….34
1.3.13.Tính chất công thức vi phân Itô nhiều chiều…………………… … 35
§1.4. Ứng dụng trong tài chính………………………………………………… 36
1.4.1. Đạo hàm bậc nhất của công thức Black – Scholes……………… 37
1.4.2. Ví dụ…………………………………………………………… ……39
1.4.3. Kỳ vọng và phương sai của quá trình Cox – Ingersoll – Ross………41
Chương II: Tích Phân Itô - Wiener Nhiều Chiều…………………… 44
§2.1. Tích phân ng ẫu nhiên Itô – Wiener nhiều chiều… …………………… 44
2.1.1. Định nghĩa hàm đối xứng…………… …………………………… …44
2.1.2. Định nghĩa………………………………………………………… 44
2.1.3. Ví dụ………………………………………………………… ………45
6
2.1.4. Định nghĩa tích phân Itô lặp……………………………………… …45
2.1.5. Định nghĩa tích phân Itô – Wiener nhiều chiều ……………………47
§2.2. Đa thức Hermite………………………………………………………… ….48

2.2.1. Tính chất công thức đa thức hermite……………………………… 48
2.2.2. Tính chất đệ qui…………………………………………………… 49
2.2.3. Tính chất………………………………………………………… 50
2.2.4. Tính chất trực giao………………………………………………… 52
2.2.5. Tính chất đa thức Hermite bi ểu diễn thành tích phân Itô – Wiener
nhiều chiều………………………………………………… …… 55
Chương III: Khái Niệm Mở Rộng Về Tích Phân Ngẫu Nhi ên…………58
§3.1. Quá trình Levy…………………………………………………………… 58
3.1.1. Định nghĩa quá trình Levy……………………………………… … 58
3.1.2. Định lý các tính chấ t của quá trình Levy………………………… ….58
3.1.3. Định lý biểu diễn Levy – Khintchine…………………………… … 60
§3.2. Tính chất Markov mạnh của quá trình Levy……………………………… 60
3.2.1. Định nghĩa thời điểm dừng………………………………………… 61
3.2.2. Bổ đề…………………………………………………………… ……61
3.2.3. Bổ đề……………………………………………………… …………62
3.2.4. Tính chất………………………………………………… ………… 63
3.2.5. Tính chất……………………………………………… …………… 64
3.2.6. Định lý……………………………………………… ……………….65
§3.3. Tích phân ng ẫu nhiên theo quá trình Levy………………………………… 66
3.3.1. Định nghĩa tích phâ n hàm bậc thang……………………………… 66
3.3.2. Tính chất……………………………………………… …………… 67
3.3.3. Định nghĩa tích phân ngẫu nhi ên theo quá trình Levy…………… …69
3.3.4. Tính chất……………………………………………………… …… 69
3.3.5. Tính chất công thức tích phân từng phần…………………………… 70
7
3.3.6. Ví dụ…………………………………………………………… ……71
§3.4. Ứng dụng trong tài chính………………………………………………… 71
3.4.1. Định nghĩa biến đổi Esscher………………………………………… 72
3.4.2. Tính chất…………………………………………………………… 73
3.4.3. Tính chất………………………………………………………… … 74

3.4.4. Tính chất……………………………………………………… …… 76
3.4.5. Tính chất…………………………………………………… ……… 78
Kết luận………………………………………………………………………… 80
Tài liệu tham khảo 81
8
BẢNG KÝ HIỆU
d

không gian Euclide
d 
chiều
 
d
B
Borel
 
đại số của
d

P

hội tụ theo xác suất
. .h c c
hầu chắc chắn
d

bằng nhau theo phân phối
 
exp x
x

e
 
1
A
x
hàm chỉ tiêu:
= 1 nếu
x A
= 0 nếu
x A
X
t
F
 
trường sinh bởi biến ngẫu nhiên
 
 
, ,0
X
t t s
X X s t    F

toán tử Laplace:
2
2
d
i
i
f
f

x

 



toán tử Gradient:
1
, ,
d
f f
f
x x
 
 
 
 
 
 

 
0
o t t
hàm vô cùng bé có b ậc cao hơn bậc
của
0
t t

B F
 

trường tích nhỏ nhất chứa các
tập có dạng
 
0,t A
với
,t A

  F

chuẩn trong không gian Banach
9
loc

tương đương địa phương
 
mgf 
hàm sinh moment
 
ˆ
z
hàm đặc trưng của phân phối

T
Thời điểm dừng:
 
 


: , 0, .
t

t t      FT

kết thúc một chứng minh
Chương I Luận văn thạc sĩ toán học



10
CHƯƠNG I

TÍCH PHÂN ITÔ - WIENER MỘT CHIỀU


§1.1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN


Trước khi đi vào nội dung chính của luận văn, ta nhắc lại những kiến thức cơ
bản dưới dạng kết quả mà không chứng minh. Đây là những kiến thức cần thiết sử
dụng cho các phần tiếp theo của luận văn này.

Định nghĩa 1.1.1
: σ− đại số

Giả sử
A
là lớp nào đấy các tập con của
Ω
, khi đó
A
được gọi là

σ−
đại số
(hay
σ− trường) nếu:

(i)
Ω∈A ;

(ii)
c
AA∈⇒ ∈AA;

(iii)
1
,1,2,
kk
k
Ak A
∞
=
∈=⇒∈∪AA
.

Định nghĩa 1.1.2: Không gian xác suất

Cho
Ω
là một tập hợp,
F
là một

σ
−
đại số của các tập con trong
Ω
, và
P

là một độ đo trên
F
. Khi đó bộ ba
(
)
,,
P
Ω
F
được gọi là một không gian đo. Nếu
(
)
1P Ω=
thì
(
)
,,
P
Ω F
được gọi là không gian xác suất.
Cho không gian xác suất
(
)

,,
P
Ω F
, bất kỳ tập
A
∈
F
được gọi là biến cố (hay
sự kiện) và
[
]
P
A
được gọi là xác suất của biến cố
A
. Tập hợp tất cả những tập
Borel trên
d
 , ký hiệu là
(
)
d
B được gọi là Borel
σ
− đại số của
d
 . Một hàm
Chương I Luận văn thạc sĩ toán học

11
thực
(
)
f
x
trên
d

được gọi là đo được nếu nó là
(
)
d
−
B
đo được. Ta nói
F
là
độ đo xác suất trên
d

nếu
F
là một độ đo xác suất trên
(
)
(
)
,.

dd
B

Định nghĩa 1.1.3: Biến ngẫu nhiên


Cho
(
)
,,
P
Ω F
là không gian xác suất, một ánh xạ
:
d
X Ω→
là một biến
ngẫu nhiên trên
d

nếu nó là
−
F
đo được, tức là
(
)
{
}
:
X

B
ω
ω∈ ∈F
cho mỗi
(
)
d
B ∈ B
, trong đó
(
)
d
B
là Borel
σ
− đại số của
d

.
Cho
(
)
d
B ∈ B , ta viết
(
)
:
P
XB⎡ω ω ∈ ⎤
⎣⎦

tương đương
(
)
P
XB∈
. Độ đo xác
suất trên
(
)
d
B
được gọi là phân phối trên
d
 . Nếu hai biến ngẫu nhiên ,
X
Y
trên
d
 có cùng phân phối, tức là
X
Y
P
P
=
thì ta viết
d
X
Y
=
.

Định nghĩa 1.1.4: Quá trình ngẫu nhiên


Họ các đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị trên
d

:
{
}
:0
t
Xt≥
xác định trên
cùng một không gian xác suất
(
)
,,
P
Ω
F
được gọi là một quá trình ngẫu nhiên. Để
đơn giản ta thường ký hiệu nó là
t
X
(hoặc bằng các ký hiệu sau:
(
)
(
)

(
)
,,,
t
X
tX Xt
ω
ω
).
• Nếu cố định các thời điểm
12
,0
m
ttt t
≤
<<<
khi đó:
(
)
(
)
11
, ,
mm
P
Xt B Xt B
⎡⎤
∈∈
⎣⎦
sẽ xác định một độ đo xác suất trên

(
)
(
)
m
d
B
.
• Họ của các độ đo xác suất trên với mọi cách chọn
1
, , ;
m
ttmN∈
, được gọi
là phân phối hữu hạn chiều của quá trình
t
X
. Ta ký hiệu nó là:

Chương I Luận văn thạc sĩ toán học



12

(
)
(
)
(

)
1
, , 1 1 1
, , , ,
m
tt m m m
F
xx PXtxXt x
⎡
⎤
=< <
⎣
⎦
. (1.1)

Định nghĩa 1.1.5: Liên tục ngẫu nhiên

Quá trình ngẫu nhiên
t
X
được gọi là liên tục ngẫu nhiên nếu:


(
)
[
)
lim 0; 0; 0,
st
st

PX X t
→
−>= ∀>∀∈∞
εε
(1.2)

Định nghĩa 1.1.6: Quá trình ngẫu nhiên đo được

Ta nói rằng quá trình
t
X
là đo được nếu ánh xạ:
(
)
(
)
:, ,
t
X
++
×Ω ⊗ →BF B là đo được đối với
−
σ
trường tích
+
⊗BF
.
Trong đó
+
⊗BF

là
−
σ
trường nhỏ nhất chứa các tập có dạng
[
]
0,tA×
với
,tA
+
∈∈ F
.
• Mọi quá trình
t
X
liên tục đều đo được.

Định nghĩa 1.1.7: Bộ lọc

(1) Họ các
−
σ
trường con
t
⊂FF
được gọi là bộ lọc nếu nó thỏa các điều
kiện sau:

i.
0

st
st⊂∀≤≤<∞FF
(họ luôn tăng) (1.3)

ii.
0
0
tt+
>
=∀>∩
ε
ε
ε
FF
(họ liên tục phải) (1.4)

Chương I Luận văn thạc sĩ toán học



13
iii. Nếu
A
∈F
và
(
)
0
0PA A=⇒∈F (1.5)
(2)

Khi bổ sung vào không gian xác suất bộ lọc
{
}
t
F
ta gọi đó là không gian
được lọc và ký hiệu là
(
)
(
)
,, ,
t
P
Ω FF .
(3)
Quá trình ngẫu nhiên
{
}
:0
t
Xt≥
được gọi là thích nghi với bộ lọc
{
}
:0
t
t ≥F
nếu với mỗi
0,

t
tX≥
là
t
−
F
đo được.

Định nghĩa 1.1.8
: Matingale


Cho quá trình ngẫu nhiên
{
}
,0
t
Mt≥
thích nghi với bộ lọc
{
}
:0
t
t ≥F
thỏa
các điều kiện sau:

0
t
E

Mt
<
∞∀≥
(1.6)


()
.
/0
hc
ts s
EM M s t
=
∀≤≤<∞F (1.7)

Khi đó
t
M
được gọi là Mactingale đối với bộ lọc
(
)
,0
M
ts t
Mst=σ ≤ ≤ =FF
.

Định nghĩa 1.1.9: Quá trình ngẫu nhiên đo được dần

(i) Ta nói rằng quá trình

t
X
là đo được dần nếu với mỗi
0t ≥
nó đo được với
−
σ
trường tích
[]
0,
X
t
t
⊗BF, trong đó:
[]
0,t
B là
−
σ
trường Borel trên đoạn
[
]
0,t
,
X
t
F
là −
σ
trường sinh bởi biến ngẫu nhiên

(
)
(
)
,,0
X
tt s
X
Xst
=
≤≤
ωσ
F
(1.8)




Chương I Luận văn thạc sĩ toán học



14
(ii) Họ −
σ
trường
{
}

:0
X
t
t ≥F
thường được gọi là bộ lọc tự nhiên của quá
trình
t
X
, hay là lịch sử của
t
X
.
• Về
−
σ
trường
X
t
F
ta có thể hiểu như tập hợp của tất cả các biến cố mà có
thể nhận biết được sự xuất hiện của chúng nhờ quan sát hàm ngẫu nhiên của ta
cho đến thời điểm
t
.

Định nghĩa 1.1.10
: Hội tụ theo xác suất


Một dãy các biến ngẫu nhiên

{
}
:1,2,
n
Xn= 
trên
d
 được gọi là hội tụ
ngẫu nhiên hay hội tụ theo xác suất đến
X
nếu cho mỗi

0, lim 0.
n
n
PX X
→∞
⎡⎤
ε> − >ε =
⎣⎦
(1.9)
Ký hiệu là:
P
n
X
X→
.

Định nghĩa 1.1.11: Hội tụ hầu chắc chắn

Một dãy biến ngẫu nhiên
{
}
n
X
được gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến
X
, ký
hiệu:


n
X
Xhcc→
nếu
() ()
lim 1
n
n
PX X
→∞
⎡
⎤
ω
=ω=
⎣
⎦
. (1.10)

Định lý 1.1.12: Hội tụ bị chặn (hội tụ bị trội)

Nếu tất cả
n
X
, với mọi
ω
, bị trội trong giá trị tuyệt đối bởi một biến ngẫu
nhiên dương
Y
có kỳ vọng hữu hạn:


(
)
,
n
XY nEY
≤
∀<∞
(1.11)
Chương I Luận văn thạc sĩ toán học



15

và

n
X

Zhcc→
thì
(
)
(
)
n
E
XEZ→
khi
n →∞
. (1.12)

§1.2 TÍCH PHÂN ITÔ – WIENER MỘT CHIỀU

Trong thực tế có rất nhiều bài toán dẫn đến nhu cầu phải tính toán một loại tích
phân có dạng tạm ký hiệu là
()
,
b
t
a
I
ft dW
ω
=
∫
, trong đó
(
)

,
f
t
ω
là một hàm ngẫu
nhiên (hay quá trình ngẫu nhiên), còn
t
W là một quá trình Wiener. Do nhu cầu đó
mà vào khoảng năm 1940 – 1941, nhà toán học K. Itô đã đưa ra một cách xây
dựng tích phân ngẫu nhiên dựa theo nguyên tắc “ ánh xạ đẳng cự “, và tích phân
này mang tên ông. Sau này tích phân ngẫu nhiên Itô đã được các nhà toán học trên
thế giới quan tâm, nghiên cứu về nó và đặc biệt là ứng dụng của nó trong lĩnh vực
tài chính, chứng khoán, vv… Năm 2006, K. Itô đã được hội toán học thế giới tặng
giải thưởng Gauss.
Để xây dựng tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener một chi
ều thì trước tiên ta định
nghĩa tích phân Itô cho một hàm sơ cấp trong
(
)
2
0,
L
T
, tiếp theo ta xấp xỉ một
hàm ngẫu nhiên bất kỳ trong
(
)
2
0,
L

T
bởi một dãy hàm sơ cấp trong
(
)
2
0,
L
T
, sau
đó qua phép toán lấy giới hạn ta sẽ định nghĩa tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener
một chiều của một hàm bất kỳ trong
(
)
2
0,
L
T
.
Cho
(
)
W •
là quá trình Wiener xác định trên không gian xác suất
(
)
,,
P
Ω F
.

Định nghĩa 1.2.1: Lịch sử và tương lai của quá trình Wiener


(i)
−
σ
đại số
(
)
(
)
(
)
:|0tWsst=≤≤WF
gọi là lịch sử của quá trình Wiener
theo thời gian t .
Chương I Luận văn thạc sĩ toán học



16
(ii) −
σ
đại số
(
)
(
)
(
)

(
)
:|tWsWtst
+
=−≥WF gọi là tương lai của quá trình
Wiener theo thời gian t .

Định nghĩa 1.2.2:


Họ
(
)
•F
của −
σ
đại số ⊆ F gọi là thích nghi (đối với
(
)
W
•
) nếu:
(i)
(
)
(
)
0ts ts⊇∀≥≥FF
(1.13)

(ii)
(
)
(
)
0tt t⊇∀≥FW
(1.14)

(iii)
(
)
tF
là độc lập của
(
)
0.tt
+
∀
≥W


Định nghĩa 1.2.3:


Quá trình ngẫu nhiên thực
(
)
G
•
gọi là thích nghi (đối với

(
)
•F
) nếu mỗi
0t ≥ ,
(
)
G •
là
(
)
tF
đo được.

Định nghĩa 1.2.4: Không gian hàm bình phương khả tích


(i) Ta ký hiệu
(
)
2
0,
L
T
là không gian tất cả các hàm ngẫu nhiên
(
)
G •
bình
phương khả tích nhận giá trị thực sao cho:

2
0
.
T
EGdt
⎡⎤
<
∞
⎢⎥
⎣⎦
∫

(ii) Ngược lại,
(
)
1
0,
L
T
là không gian tất cả các hàm
(
)
F
•
đo được liên tục nhận
giá trị thực sao cho:
0
.
T
EFdt

⎡⎤
<
∞
⎢⎥
⎣⎦
∫


Chương I Luận văn thạc sĩ toán học



17
Định nghĩa 1.2.5: Hàm sơ cấp

Hàm
(
)
2
0,GL T∈
gọi là hàm sơ cấp nếu tồn tại khoảng
{
}
01
0
m
tt tTΡ= = < < < =
sao cho
(
)

1
,
kk k
Gt G t t t
+
≡
≤<

(
)
0,1, , 1km
=
−
. Thì
mỗi
k
G
là biến ngẫu nhiên đo được
(
)
k
tF
bởi vì G là thích nghi.

Định nghĩa 1.2.6: Tích phân ngẫu nhiên Itô của hàm sơ cấp

Cho
(
)
2

0,GL T∈
là hàm sơ cấp như trên, thì ta định nghĩa tích phân ngẫu
nhiên Itô – Wiener một chiều như sau:

() ()
()
1
1
0
0
:
T
m
kk k
k
GdW G W t W t
−
+
=
=−
∑
∫
(1.15)
là tích phân ngẫu nhiên Itô của
G
trên khoảng
(
)
0,T
.

Bổ đề 1.2.7: Xấp xỉ một hàm bất kỳ bằng hàm sơ cấp

Nếu
(
)
2
0,GL T∈
thì tồn tại dãy hàm sơ cấp
(
)
2
0,
n
GLT∈
sao cho


2
0
0.
T
n
EGGdt
⎡⎤
−→
⎢⎥
⎣⎦
∫
(1.16)

Chứng minh

Nếu
(
)
,tGt
ω
là liên tục hầu hết với mọi
ω
thì ta đặt


()
[]
1
:, ,0, ,.
n
kk k
Gt G t k nT
nn n
+
⎛⎞
=≤<=
⎜⎟
⎝⎠
(1.17)
Chương I Luận văn thạc sĩ toán học

18

Tổng quát,
(
)
2
0,GL T∈
ta định nghĩa
()
()
()
0
:.
t
ms t
m
Gt me Gsds
−
=
∫
(1.18)

Thì
(
)
(
)
2
0, , ,
mm

GLTtGt∈ 
ω
là liên tục hầu hết với mọi
ω
và


2
0
0
T
m
GGdt−→
∫
hầu chắc chắn. 

Định nghĩa 1.2.8: Tích phân ngẫu nhiên Itô của hàm bất kỳ

Ta xét lớp các hàm ngẫu nhiên bình phương khả tích và
()
F
t
đo được. Đối với
một hàm bất kỳ trong lớp nêu trên sẽ tồn tại dãy hàm ngẫu nhiên cơ bản hội tụ về
nó, khi đó ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener một chiều bởi biểu
thức:

00
:lim
TT

n
n
GdW G dW
→∞
=
∫∫
tồn tại trong
(
)
2
0,
L
T
. (1.19)

Định lý 1.2.9: Các tính chất của tích phân Itô

Cho
,ab∈
và
[
]
2
,0,GH L T∈
ta có:
i. Tính chất tuyến tính của tích phân Itô:

()
000
TTT

aG b H dW a G dW b H dW+=+
∫∫∫
. (1.20)
ii. Tính chất kỳ vọng bằng không của tích phân Itô:

0
0
T
EGdW
⎡⎤
=
⎢⎥
⎣⎦
∫
. (1.21)
Chương I Luận văn thạc sĩ toán học



19
iii. Tính chất đẳng cự của tích phân Itô:

2
2
00
TT
E
GdW E G dt
⎡⎤
⎛⎞⎡⎤

⎢⎥
=
⎜⎟
⎢
⎥
⎢⎥
⎝⎠⎣⎦
⎣⎦
∫∫
. (1.22)
iv. Tính chất bảo toàn tích vô hướng của tích phân Itô:

00 0
.
TT T
E
GdW HdW E GHdt
⎡⎤⎡⎤
=
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
∫∫ ∫
. (1.23)

Chứng minh


i. Đặt
()
()

)
()
()
)
,1 ,1
11
00
1, 1
kk kk
mm
kk
tt tt
kk
Gt Gt Ht Ht
++
−−
⎡⎡
⎣⎣
==
==
∑∑


Ta có:
() ()
()
() ()
()
1
1

0
0
T
m
kkkk
k
aG bH dW aG t bH t W t W t
−
+
=
+= + −
∑
∫



() ( ) ()
()
() ( ) ()
()
11
11
00
mm
kk k kk k
kk
a Gt Wt Wt b Ht Wt Wt
−−
++
==

=−+−
∑∑



00
TT
aGdW bHdW=+
∫∫
. (1.24)

ii. Giả sử
(
)
k
Gt G≡
với
1kk
ttt
+
≤<
thì


() ()
()
1
1
0
0

T
m
kk k
k
E GdW EG Wt Wt
−
+
=
⎡⎤
⎡
⎤
=−
⎢⎥
⎣
⎦
⎣⎦
∑
∫
(1.25)

Ta thấy
k
G
là
(
)
k
tF
đo được và
(

)
k
tF
độc lập với
(
)
k
t
+
W
. Mặt khác,
Chương I Luận văn thạc sĩ toán học



20
(
)
(
)
1kk
Wt Wt
+
−
là
(
)
k
t
+

W
đo được và
k
G là độc lập với
(
)
(
)
1kk
Wt Wt
+
−


vậy
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
11
.0
kkk kkk

EG Wt Wt EG EWt Wt
++
⎡⎤
⎡⎤
−= −=
⎣⎦
⎣⎦
(1.26)

vì
(
)
(
)
1
0
kk
EWt Wt
+
⎡⎤
−=
⎣⎦
(1.27)

vậy
0
0
T
EGdW
⎡⎤

=
⎢⎥
⎣⎦
∫
(1.28)
iii. ta có:

() ()
()
() ()
()
2
1
11
,1
0
T
m
kj k k j j
kj
EGdW EGGWt WtWt Wt
−
++
=
⎡⎤
⎛⎞
⎡⎤
⎢⎥
=−−
⎜⎟

⎣⎦
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
∑
∫
(1.29)

• nếu jk< thì
(
)
(
)
1kk
Wt Wt
+
−
độc lập với
(
)
(
)
(
)
1kj j j
GG Wt Wt
+
−
. Vậy

() ()
(
)
(
)
(
)
(
)
11kj k k j j
EGG Wt Wt Wt Wt
++
⎡⎤
−−
⎣⎦



(
)
(
)
(
)
() ()
11kj j j k k
E
GG W t W t E W t W t
++

⎡⎤
⎡
⎤
=− −
⎣
⎦
⎣⎦


= 0 (1.30)
• Nếu
jk>
ta cũng có kết quả tương tự.
• Nếu jk= thì

Chương I Luận văn thạc sĩ toán học



21

() ()
()
() ()
()
()
()
2
1
2

2
1
0
0
11
2
222
11
00
0
1.31
T
m
kk k
k
T
mm
kkk kkk
kk
E GdW EG Wt Wt
EG E Wt Wt EG t t E Gdt
−
+
=
−−
++
==
⎡⎤
⎛⎞
⎡⎤

⎢⎥
=−
⎜⎟
⎣⎦
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
⎡⎤
⎡⎤
⎡⎤ ⎡⎤
=−=−=
⎢⎥
⎣⎦ ⎣⎦
⎣⎦
⎣⎦
∑
∫
∑∑
∫

iv. Ta có:

22
00 0 0 0 0
1
4
TT T T T T
GdW HdW GdW HdW GdW HdW
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞

⎢⎥
⋅= + − −
⎜⎟⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫


() () ()()
22 22
00 0 0
11
44
TT T T
G H dt G H dt G H G H dt G Hdt
⎡⎤
⎡⎤
=+−− =+−− =⋅
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
∫∫ ∫ ∫


Vậy
00 0
TT T
E
GdW HdW E G Hdt

⎡⎤⎡⎤
⋅=⋅
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
∫∫ ∫


. (1.32)
Ví dụ 1.2.10: Dùng định nghĩa để tính tích phân
() ()
0
T
WudWu
∫
trong đó
(
)
Wu
là
quá trình Wiener tiêu chuẩn với
(
)
00W
=
.
Giải:
Trên đoạn
[
]
0,T

ta xét:

()
(
)
()
() ()
00;
2;
11
.
n
WkhiuTn
WTn khi Tn u Tn
u
nT nT
WkhiuT
nn
⎧≤<
⎪
≤<
⎪
⎪
δ=
⎨
⎪
⎛− ⎞ −
⎪
≤<
⎜⎟

⎪
⎝⎠
⎩

(1.33)
Ta định nghĩa:
Chương I Luận văn thạc sĩ toán học



22

() ()
(
)
1
0
0
1
lim
T
n
n
k
kT
kT kT
WudWu W W W
nn n
−
→∞

=
⎡
⎤
⎛+ ⎞
⎛⎞ ⎛⎞
=−
⎢
⎥
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠
⎣
⎦
∑
∫
(1.34)

để đơn giản, ký hiệu
k
kT
WW
n
⎛⎞
≡
⎜⎟
⎝⎠
nên ta được:

() ()

()
1
1
0
0
lim .
T
n
kk k
n
k
WudWu W W W
−
+
→∞
=
=−
∑
∫
(1.35)
Ta có:

()
1111
2
22
111
0000
11 1
22 2

1
00 0
11 1
22 2
11 1
22 2
nnnn
kk k kk k
kkkk
nn n
njkk k
jk k
WW W WW W
WWWW W
−−−−
+++
====
−− −
+
== =
−= − +
=+ − +
∑∑∑∑
∑∑ ∑



11
22
1

00
1
2
nn
nkkk
kk
WWWW
−−
+
==
=+ −
∑∑
()
1
2
1
0
1
.
2
n
nkkk
k
WWWW
−
+
=
=− −
∑
(1.36)

() ()
11
2
2
11
00
11
22
nn
kk k n k k
kk
WW W W W W
−−
++
==
⇒−=−−
∑∑
(1.37)
hay

(
)
1
0
1
n
k
kT

kT kT
WW W
nn n
−
=
⎡
⎤
⎛+ ⎞
⎛⎞ ⎛⎞
−
⎢
⎥
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠
⎣
⎦
∑


()
()
2
1
2
0
1
11
.

22
n
k
kT
kT
WT W W
nn
−
=
⎡
⎤
⎛+ ⎞
⎛⎞
=− −
⎢
⎥
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
⎣
⎦
∑
(1.38)

Lấy giới hạn hai vế khi
n →∞
, ta được:

() () ()

2
0
11
.
22
T
WudWu W T T=−
∫
(1.39)
Chương I Luận văn thạc sĩ toán học



23
• Trong giải tích ngẫu nhiên ta sẽ có các đẳng thức sau:
i.
.
tt
dW dW dt=
với
t
W
là quá trình Wiener.
ii.

,,
.0,
it jt
dW dW i j
=

≠ với
,,
,
it jt
WW là độc lập.
iii.

.0
t
dW dt =
.
iv. .0dt dt = .

§1.3 VI PHÂN NGẪU NHIÊN ITÔ

Công thức Itô là chìa khóa để tính và ước lượng tích phân ngẫu nhiên, để thực
hiện các biến đổi ngẫu nhiên, để chứng minh và giải các phương trình vi phân
ngẫu nhiên, đặc biệt nó là công cụ rất mạnh để tính toán trong toán tài chính.

Định nghĩa 1.3.1:

Cho quá trình ngẫu nhiên
t
X
có vi phân ngẫu nhiên Itô:

(
)
(
)

,,
tt
dX t dt t dW
α
ωβω
=+
(1.40)
với
(
)
,t
α
ω
là tham số dịch chuyển,
(
)
,t
β
ω
là tham số tán xạ.
Trong đó:
(
)
(
)
(
)
h
X
tXthXtΔ=+−

với
h
là khoảng thời gian rất nhỏ thì:

() () ( )
0
1
lim | ,
h
h
E
Xt Xt t
h
ω
αω
→
⎡Δ = ⎤ =
⎣⎦
(1.41)

()
()
() ( )
2
2
0
1
lim | ,
h
h

EXtXt t
h
ω
βω
→
⎡⎤
Δ==
⎣⎦
(1.42)

() ()
0
1
lim | 0, 3,4,
r
h
h
EXtXt r
h
→
⎡⎤
Δ===
⎣⎦
ω
(1.43)
•
Khi có (1.40) thì ta suy ra một cách tương đương: