Phép biến đổi Laplace và ứng dụng (LV00258

phép biến đổi laplace và ứng dụng

Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích

0

bộ giáo dục và đào tạo
trờng đại học s phạm hà nội 2
****************




trần trung thành








phép biến đổi laplace
và ứng dụng

chuyên ngành
:
toán giải tích

Mã số: 60 46 01

Ngời hớng dẫn khoa học : pgs. Ts


nguyễn huy lợi












Hà Nội - 2008

phép biến đổi laplace và ứng dụng

Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích

1


Lời cảm ơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới pgs.ts nguyễn huy lợi,
đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn phòng sau đại học, các thầy, cô trong
tổ giải tích của khoa toán trờng đại học s phạm hà nội 2, các bạn học
viên lớp cao học giải tích khoá 9 và ban giám hiệu, các thầy, cô trong tổ
toán trờng trung học phổ thông hiệp hoà số 2- bắc giang đã tạo điều kiện
thuận lợi trong thời gian tác giả học tập và nghiên cứu tại trờng.
Trong quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn mặc dù tôi hết sức
nghiêm túc và cố gắng tìm tòi, song do còn hạn chế về thời gian và kiến thức,
nên không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong sự đóng góp của các
thầy, cô cùng các bạn nhận xét và đóng góp ý kiến để luận văn đợc hoàn
thiện hơn.


Hà Nội, tháng 09 năm 2008
Tác giả
Trần trung thành






phép biến đổi laplace và ứng dụng

Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích

2

Lời cam đoan

Trong suốt quá trình nghiên cứu luận văn: phép biến đổi laplace và
ứng dụng đã giúp tác giả tìm hiểu sâu về bộ môn giải tích phức đặc biệt là
những khái niệm quan trọng của phép biến đổi laplace. Qua đó cũng giúp tác
giả bớc đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học.
Tác giả xin cam đoan luận văn đợc hoàn thành do sự cố gắng nỗ lực
tìm tòi , nghiên cứu bản thân dói sự hớng dẫn chỉ bảo của pgs. Ts nguyễn
huy lợi cũng nh các thầy, cô phòng sau đại học, tổ giải tích của khoa
toán trờng đại học s phạm hà nội 2.
Rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô cùng các bạn
để luận văn đợc hoàn thiện hơn.


Hà Nội, tháng 09 năm 2008
Tác giả
Trần trung thành








phép biến đổi laplace và ứng dụng

Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích

3

Mục lục
Trang
Mở đầu 5
Chơng 1: một số kiến thức bổ trợ 7
1.1.hàm giải tích 7
1.1.1. đạo hàm 7
1.1.2. hàm giải tích 8
1.2. tích phân của hàm số biến số phức 8
1.2.1. các khái niệm cơ bản 8
1.2.2. các định lý Cauchy 11
1.2.3. công thức tích phân Cauchy 11
1.2.4. tích phân loại Cauchy 12
1.2.5. nguyên hàm của hàm số biến số phức 13
1.3. lý thuyết chuỗi 15
1.3.1. chuỗi Taylor 15
1.3.2. chuỗi Laurent 17
1.4. lý thuyết thặng d 21
1.4.1. định nghĩa 21
1.4.2. các định lý cơ bản về thặng d 23
Chơng 2: phép biến đổi laplace 25
2.1. mở đầu 25
2.2. các khái niệm cơ bản 25
2.2.1. hàm gốc 25
phép biến đổi laplace và ứng dụng

Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích

4
2.2.2. tính giải tích của phép biến đổi laplace 26
2.3. mối liên hệ của hàm gốc và hàm ảnh 28

2.4. các tính chất cơ bản của ảnh 36
2.5. Các định lý liên quan 41
2.6. Bảng đối chiếu các biến đổi laplace thông dụng 44
Chơng 3: một số ứng dụng của phép biến đổi laplace 46
3.1. ứng dụng phép biến đổi laplace về mặt lý thuyết 46
3.2. ứng dụng phép biến đổi laplace giải một số bài toán cụ thể 53
3.2.1. ứng dụng phép biến đổi laplace giải phơng trình vi phân thờng 53
3.2.2. ứng dụng phép biến đổi Laplace giải phơng trình vi phân có vế phải là

hàm bậc thang 60
3.2.3. ứng dụng phép biến đổi laplace giải hệ phơng trình vi phân 62
3.2.4. ứng dụng phép biến đổi laplace giải phơng trình đạo hàm riêng
đặc biệt 67
3.3. ứng dụng phép biến đổi laplace giải một số bài toán vật lý 72
Kết luận 76
Tài liệu tham khảo 77








phép biến đổi laplace và ứng dụng

Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích

5

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Phép biến đổi Laplace là một trong các phép biến đổi có một vai trò quan
trọng trong giải tích phức mà mục tiêu nghiên cứu là biến các phép tính giải
tích nh đạo hàm, tích phân thành phép tính đại số. Nh vậy qua phép biến
đổi Laplace ta có thể biết đợc cơ sở của phép tính toán tử và sử dụng phơng
pháp tính toán tử để giải các phơng trình vi phân, các phơng trình đạo hàm
riêng và phơng trình tích phân và nó cũng là một kỹ thuật đặc biệt để giải
phơng trình vi phân có vế phải là hàm bậc thang Heaviside. Những hàm này
thờng xuất hiện trong cơ học và các mạch điện tử.
Ngoài ra, phép biến đổi Laplace còn đợc nghiên cứu trong vật lý và nhiều
môn học khác mà còn là công cụ tính toán hữu ích cho việc tính toán.
Với mong muốn nh thế, nên tác giả đi sâu nghiên cứu và tìm hiểu sâu về
phép biến đổi Laplace và ứng dụng trong lý thuyết, trong thực tiễn, vì vậy mà
tác giả đã chọn đề tài "Phép biến đổi Laplace và ứng dụng".
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu hệ thống kiến thức cơ bản của phép biến đổi Laplace sau đó
nêu ra một số ứng dụng trong lý thuyết và thực tiễn của nó.
3. Đối tợng nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu chủ yếu phép biến đổi Laplace và ứng dụng,
để tiếp thu và thực hành đối với hàm một biến, phơng trình vi phân thờng,
phơng trình vi phân có vế phải là hàm bậc thang, hệ phơng trình vi phân hệ
số hằng, phơng trình đạo hàm riêng.
Luận văn gồm phần mở đầu, ba chơng, kết luận và tài liệu tham khảo.
Trong đó:
Chơng 1. một số kiến thức bổ trợ
phép biến đổi laplace và ứng dụng

Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích

6
chơng 2. Phép biến đổi Laplace
chơng 3. Một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace
4. ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Nghiên cứu sâu khái niệm phép biến đổi laplace đối với bộ môn giải
tích phức nâng nó thành đề tài nghiên cứu theo nghĩa nghiên cứu và đề xuất
các ứng dụng của nó để giải một số bài toán.
Luận văn là tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, học viên cao học
và ngời yêu thích toán, đặc biệt sinh viên ngành toán, vật lí lý thuyết, kĩ thuật
điện - điện tử về phép biến đổi laplace.


















phép biến đổi laplace và ứng dụng

Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích

7

Chơng 1: MộT Số KIếN thức Bổ TRợ
1.1. Hàm giải tích
1.1.1. Đạo hàm
Định nghĩa 1.1. Cho hàm số

f z
xác định trong miền D,

f z
đợc gọi là
khả vi tại
0
z

D, nếu tồn tại giới hạn


0 0
0
lim
z
f z z f z
z

(1.1)
và ta nói rằng hàm f có đạo hàm tại
0
z
.
Kí hiệu:


'
0
f z



0 0
0
lim
z
f z z f z
z



(1.2)
là đạo hàm của f tại điểm
0
z
.
Hàm f đợc gọi là khả vi trên miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm z

D.
Nhận xét : Mọi hàm khả vi tại điểm
0
z
thì liên tục tại điểm đó.
Do định nghĩa đạo hàm hoàn toàn tơng tự với hàm số biến số thực nên một
cách tơng tự ta cũng có các tính chất.
Định lý 1.2. Nếu các hàm số

f z
và

g z
khả vi theo nghĩa phức tại điểm z
thì các hàm





, . , , 0
f z
f z g z f z g z g z
g z

cũng khả vi tại z và

'
' '
'
' '
,
' '
2
.
. .
.
i f z g z f z g z
ii f z g z f z g z f z g z
f z f z g z f z g z
iii
g z
g z

Nếu hàm

f z
khả vi tại
0
z
và

g z
khả vi tại

0 0
v f z

thì hàm g(

f z
) khả
vi tại và
phép biến đổi laplace và ứng dụng

Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích

8
iiii. (g(


'

0
f z
) =


, ,
0
g f z
.

Ta đã biết rằng hàm số biến số phức số và hàm số biến số thực có liên
hệ với nhau. Tuy nhiên khi xét về tính khả vi thì sự liên hệ đó đợc hiểu nh,
thế nào? Định lý sau đây trả lời câu hỏi đó.
định lý 1.2. ( cauchy - riemann). Cho hàm số

, ,f z u x y iv x y

xác
định trong lân cận của điểm
0 0 0
z x iy
. Giả sử
,u v
khả vi theo nghĩa thực tại
điểm
0
z
, khi đó điều kiện cần và đủ để hàm
f
khả vi tại điểm

0
z
là
0
z
u v
x y
u v
y x













(Điều kiện khả vi phức )
1.1.2. Hàm giải tích
Định nghĩa 1.2. (Hàm giải tích ). Hàm
f
xác định trên miền D đợc gọi là
giả tích tại
0
z

D nếu tồn tại


lận cận của
0
z
chứa trong D sao cho
f
khả vi
trong lân cận đó.
Nhận xét:
1. Hàm

f z
giải tích tại điểm
0
z
thì khả vi tại điểm đó. Tuy nhiên điều
ngợc nói chung không đúng.
Ví dụ: Hàm

.f z z z

khả vi tại điểm
z
= 0 nhng giải tích tại điểm đó.
2. Trên miền D mở hàm

f z

giải tích trên D khi và chỉ khi
f
khả vi trên đó.
1.2. Tích phân của hàm số biến số phức
1.2.1. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.3. Cho

là đờng cong Jordan, trơn từng khúc và hai đầu mút a
và b. Trên

cho hàm số

f z
, chia

thành n phần bởi các điểm chia a =
phép biến đổi laplace và ứng dụng

Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích

9
1, 2 1
, ,
n
z z z

= b ( Các điểm chia đợc cho theo chiều tăng của tham số), trên
mỗi cung
1k k
z z

lấy điểm
k

bất kì (
k
= 1, 2, 3, ,n+1)
Lập tổng


1
1
n
n k k k
k
S f z z





(1.3)
n
S
gọi là tổng tích phân, tổng trên tồn tại khi
d
1
k n
max

1
k k
z z


dần đến 0,
không phụ thuộc vào cách chia đờng cong

và cách chọn
k

, thì giới hạn đó
đợc gọi tích phân của hàm

f z
dọc theo đờng cong

.
Kí hiệu:


1
0
1
lim
n
k k k
d
k
f z dz f z z

(1.4)
Sự tồn tại của tích phân trên tơng đơng với sự tồn tại của tích phân của hai
hàm số biến số thực.
Thật vậy, đặt

f z
( , ) ( , )u x y iv x y
;
k k
z x iy
;

;
k k k
z i


1k k k
z z z x i y


.

k k k
z i


;

;
k k k
u u


;

;
k k k
v v


.
Khi đó (1.3)có thể viết dới dạng:


1
n
n k k k k
k
S u iv x i y

1 1
n n
n k k k k k k k k
k k
S u x v y i u y v x



(1.5)
Vế trái của (1.5) là tổng các tích phân đờng loại hai tơng đơng với sự tồn
tại
0
lim
n
d
S

. kéo theo sự tồn tại tích phân ở vế phải và ta có:


( )f z dz udx vdy i udy vdz



(1.6)
Nếu xét đờng cong

cho dới dạng tham số, thì hàm

f z
đợc biểu diễn
dới dạng hàm số phức của biến số thực.
phép biến đổi laplace và ứng dụng

Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích

10




t f z t t i t


;

,
t


(1.7)


t dt t dt i t dt

(1.8)
hoặc

'
.
f z dz f z t z t dt






(1.9)
Trong đó:

( )
z t t


với

a


và

b

Ví dụ 1.1. Tính tích phân
z


dz
, trong đó

là đoạn thẳng nối
0
z

và
2z i
.
Giải:
áp dụng cộng thức (1.6) ta có
z


dz
=

( ).xdx ydy i xdy ydx

Phơng trình của

là y =
2
x
,

0,2
x
, suy ra
z


dz
=
2 2 2
0 0 0
5 5
2 2 2 2 4 2
x dx dx x
xdx i x dx xdx





.
Ví dụ 1.2. Tính tích phân
dz
z b

,

là dờng tròn tâm b bán kính
r
.
Giải: Phơng trình tham số của

là

,
it
z t b ze



0;2
t



áp dụng công thức (1.9), ta có

dz
z b

=
2
0


2
0


2
it
it
ire
dt i
re



Các tính chất cơ bản
* Giả sử


là đờng cong

với hớng dơng cho trớc (thờng lấy theo
chiều tăng của tham số ) còn


là hớng ngợc lại. Khi đó:

f z dz f z dz




(1.10)
phép biến đổi laplace và ứng dụng

Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích

11
*Nếu
f
và
g
là các hàm số liên tục trên đờng

và
,a b
là các hằng số phức
thì:





af z bg z dz a f z dz b g z dz

(1.11)
*Giả sử
1, 2

là hai đờng cong Jordan, sao cho

k
t

xác định trên

,
k k



1, 2,3
k
và
1 2


khi đó với
1 2


, ta có:

1 2
f z dz f z dz f z dz



. (1.12)
*Đối với hàm f bất kì liên tục trên

trơn, ta luôn có:

f z dz f z dz f z dz



trong đó
2 2
dz dx dy

(1.13)
là vi phân cung.
1.2.2. các định lý cauchy
Định lý 1.3. ( Tích phân Cauchy đối với miền đơn liên)
Nếu hàm số

f z
giải tích trên miền D đơn liên và là đờngcong đóng trơn
từng khúc nằm trong D thì

0

f z dz



.
Định lý 1.4.(Định lý cauchy đối với miền đa liên)
Nếu D là miền hữu hạn (k + 1) kín với biên

gồm một số hữu hạn các đờng
cong Jordan đóng, trơn từng khúc sao cho miền đóng hữu hạn giới hạn bởi
1, 2, 3
, ,
k

nằm hoàn toàn trong miền hữu hạn giới hạn bởi
0

và đôi một
không giao nhau, hàm

f z
giải tích trên miền đóng
D D


thế thì:

0 0
1
( ) 0

k
m
f z dz f z dz f z dz






1.2.3.Công thức tích phân Cauchy. Nếu D là một miền hữu hạn với biên


của nó gồm một số hữu hạn đờng cong Jordan đóng trơn từng khúc, hàm số
phép biến đổi laplace và ứng dụng

Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích

12

f z
giải tích trên miền đóng
D D


,
0
z
là điểm nào đó của mặt phức
không phụ thuộc vào

, khi đó:



0 0
0
0
1
2
0 \
f z khiz D
f z
dz
i z z
khiz C D













Định lý 1.5.( Nguyên lý mođun cực đại)
Nếu hàm số

f z
khác hằng số và giải tích trên miền
D

C
thì

f z
không
thể đạt giá trị cận trên đúng tại điểm bất kì nào thuộc miền
D
.

1.2.4. Tích phân loại Cauchy
Giả sử

là đờng cong Jordan trơn từng khúc (có thể kín hoặc không kín)

f t
là một hàm liên tục trên

,
z
là một điểm nào đó không thuộc

, khi đó
biểu thức

f z
t
t z



nh là một hàm số của biến phức t, liên tục trên

và do
đó tồn tại tích phân


1
2
f t
F z dt
i t z





là một hàm số đơn trị của
z
, đợc là
tích phân loại Cauchy.
Một số tính chất của tích phân loại Cauchy
Đối với một số điểm
z
mặt phẳng phức mà không thuộc

, tích phân loại
Cauchy là một hàm số giải tích và




'
2
1
.
2
f t
F z dt
i
t z






Hơn nữa

F z
có đạo hàm mọi cấp và

1
!
.
2
k
k
f t
k
F z dt
i
t z






.
Chú ý: Trong trờng hợp đờng cong

- đóng, hàm số

f z
giải tích trong
miền
D
hữu hạn giới hạn bởi

và liên tục trên

D D


thì tích phân loại
Cauchy trở thành tích phân Cauchy.
phép biến đổi laplace và ứng dụng

Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích

13
Nếu hàm số

f z
giải tích trên miền
D
thì nó có đạo hàm mọi cấp trên
miền đó.
Mọi đạo hàm của hàm giải tích trong miền
D
đều là hàm giải tích trên miền
đó.

1.2.5. Nguyên hàm của hàm số biến số phức
Dựa vào định lý Cauchy, ta có mệnh đề rất quan trọng của giải tích phức:
Mệnh đề: Tích phân của hàm giải tích

f z
dọc theo đờng cong Jordan
trơn từng khúc

không phụ thuộc vào hình dạng của đờng cong mà chỉ phụ
thuộc vào điểm đầu và điểm cuối của đờng cong đó.
Thật vậy, giả sử
1

và
2

là hai đờng cong Jordan trơn từng khúc bất kỳ
cùng có điểm đầu là
a
và điểm cuối là
b
. Ta chứng minh rằng:


1 2
f z dz f z dz



(1.14)
Đờng cong
1 2


hiển nhiên là một đờng cong Jordan trơn từng
khúc kín. Do đó theo định lý Cauchy

1 2
0
f z dz f z dz f z dz



(1.15)
Từ đẳng thức (1.15) ta suy ra ngay đẳng thức (1.14).
Từ mệnh đề trên, nếu hàm số

f z
là hàm giải tích,

là đờng cong
Jordan trơn từng khúc nối hai điểm
z
và
0
z
thì ta có thể dùng kí hiệu

0
z
z
f t dt

thay cho kí hiệu

f z dz

. Nếu
0
z
là điểm cố định và
z
có thể thay
đổi thì tích phân

0
z
z
f t dt

là một hàm số của
z
, ta viết


0
z
z
f t dt

=

F z
(1.16)
phép biến đổi laplace và ứng dụng

Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích

14
Định lý 1.6. Nếu hàm

f z
là một hàm số liên tục trong miền đơn liên

D
và tích phân

f z dz


dọc theo đờng cong Jordan trơn từng khúc
trơn từng khúc

chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối của

(không phụ
thuộc vào hình dạng của

) thì


0
z
z
F z f t dt

(1.17)
là một hàm giải tích trong
D
và


dF z
f z
dz

(1.18)
Chứng minh: Lấy một điểm
1
z
bất kì trong lân cận

,U z p
của
z
và gọi

là
đoạn thẳng nối với
z
và
1
z
. Ta lấy

đủ nhỏ để lân cận

,U z p
nằm trong
D
.
Theo điều kiện của định lý, Ta có:




2
,
.
F z f t dt
F z f t dt








Từ hai đẳng thức này ta suy ra


1
F z F z f t dt

và


1
1 1
1
F z F z
f t dt
z z z z










hay


1
1
1 1
1
F z F z
f z f t dt f z z z

z z z z









=


1
1
f t dt f z dz
z z








(1.19)
Vì hàm số

f z
liên tục đều trong tập hợp đóng

,U z p
, nên khi

đủ
nhỏ thì

f t f z



, với
0


tùy chọn. Do đó ta có bất đẳng thức



1
1
1 1 1
1
F z F z
f z f t f z dt z z
z z z z z z

.
phép biến đổi laplace và ứng dụng

Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích

15
Vì
0


bé tùy ý nên từ bất đẳng thức trên ta suy ra:



1
1
,
1
lim
z z
F z F z
F z
z z

(1.20)
Theo định nghĩa nguyên hàm của hàm

f z
là tập hợp các hàm giải tích

z

trong
D
thỏa mãn đẳng thức

,
z f z


(1.21)
Đặt



, ,z z F z u x y iv x y


(1.22)
Từ hai đẳng thức (1.20) và (1.21) ta suy ra:

,
0

z




nghĩa là :
0
u u v v
x y x y



(1.23)
Từ đó suy ra
1
2
( , )
( , )
u x y C
v x y C





, (
1 2
,C C
: const) và
1 2

( ) :z C iC C


const
Từ đẳng thức (1.22), ta có:


0
z
z
z F z C f t dt C



(1.24)
và C =

0
z

(1.25)
Từ hai đẳng thức đó ta suy ra công thức Newton- Lepnit


0
0
z
z
f t dt z z

(1.26)
1.3. Lý thuyết chuỗi
1.3.1. Chuỗi Taylor
Định lý 1.7. Hàm số

f z
giải tích trên miền
D
, thì tại lân cận
0
z

D

hàm số này có thể biểu diễn dới dạng lũy thừa


0
0
k
k
k
f z a z z




(1.27)

với bán kính hội tụ
r
không nhỏ hơn khoảng cách từ
0
z
đến biên

của
miền
D
.
phép biến đổi laplace và ứng dụng

Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích

16
Chứng minh:
Giả sử
r
> 0 và
r
<d (d - là khoảng cách từ
0
z
đến

) theo công thức tích phân
Cauchy với mọi điểm
z
trong hình tròn

0
.z z r


Ta có :




0 0
0
0
0
1 1
2 2
1
t z r t z r
f t f t
f z dt dt
i t z i
z z
t z
t z

(1.28)
Với
z
cố định tùy ý trong hình tròn
0
.z z r
, và với mọi t

r

(
r

là biên của
đờng tròn
0
z z r
), thì 0 <
0 0
0
1.
z z z z
q
t z r

Nên chuỗi

0
0
0
k
k
z z
t z








hội tụ đều trên
r

(1.29)
Do đó chuỗi





0

0
1
0 0
0
0 0
k
k
k
k k
f t f t
z z
z z
t z
t z t z











(1.30)
cũng hội tụ đều trên
r

.

Từ (1.28) và (1.30), ta có

f z
=


0
0
0 0
1
2
k
r
f t
z z
dt
i t z t z












= =

0
0
0
1
2
k
k
r
f t
dt z z
i t z










0
0
k
k
k
a z z

(1.31)

với


1
0
1
; 0,1, 2
2
r
k
k
f t
a dt k
i
t z

Theo công thức tích phân loại Cauchy thì




0
1
0
!
2
k
k
r
f t
k
f z dt
i
t z







nên

0
!
k
k
f z
a
k

với
1, 2,3
k

(1.32)
phép biến đổi laplace và ứng dụng

Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích

17
Nhận xét: Do chuỗi (1.29) hội tụ đều trên
r

với mọi
0
z z z r
và các hệ số
k
a
là nh nhau với mọi

0,r d

, nên bán kính hội tụ của chuỗi (1.27) không
nhỏ hơn
d
.

Định nghĩa 1.5. (Chuỗi Taylor)
Chuỗi lũy thừa có dạng (1.27) với các hệ số
k
a
xác định bằng công thức
(1.31) hay (1.32) đợc gọi là chuỗi Taylor của hàm

f z
tại điểm
0
z
.
Khai triển Taylor của một số hàm số sơ cấp thờng gặp

2
0
1
2! !
k
z
k
z z
e z
k

(1.33)



3 2 1
0
sin 1
3! 2 1 !
k
k
k
z z
z z
k






(1.34)



2 2
0

cos 1 1
2! 2 !
k
k
k
z z
z
k




(1.35)


3 2 1
0

3! 2 1 !
k
k
z z
shz z
k

(1.36)


2 2
0
1
2! 2 !
k
k
z z
chz
k




(1.37)
Các chuỗi trên hội tụ trong toàn mặt phẳng phức
1
1 z
=
0
k
k
z

1
Ln z
=
2

2
z
z

=

1
1
k
k
k
z
k






1.3.2. Chuỗi Laurent
Giả sử hàm giải tích

f z
giải tích trong hình vành khăn
0

: ,K r z z R
trong đó
0 ,r R

. Ta chọn hai số
1
r
và
1
R
sao cho:
1 1
r r R R
và một số q ( () < q < 1).
phép biến đổi laplace và ứng dụng

Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích

18
Xét hình vành khăn
1
0 1
: .
r
K z z q R
q



Lấy một điểm

z
tùy ý thuộc vành
.K


Theo tích phân Cauchy, ta có:


1 1
1 1
2 2
R r
f t f t
f z dt dt
i t z i t z





(1.38)
Trong đó
1
R

và
1
r

lần lợt là các đờng tròn

0 1
t z R
và
0 1
t z r

Với
t

1
R

thì ta có
0 1
0 1
1
z z
qR
q
t z R



và ta có :
0 0
0
0 0 0 0
0
1 1 1 1
1

1
k
z z z z
z z
t z t z t z t z t z
t z














Nhân cả hai vế của đẳng thức trên với

2
f t
i

rồi lấy tích phân dọc theo đờng
tròn
1
R

từng số hạng ta đợc




1
1 0
0
1
2
R
k
k
k
f t
f z dt a z z
i t z








(1.39)
Trong đó

1
1
0
1
2
R
k
k
f t
a dt
i
t z






( k = 0,1,2, ) (1.40)
Chú ý: Các tích phân ở vế phải của đẳng thức (1.40) không phải là

0
!
k
f z
k
vì

f z
nói chung không giải tích tại

0
z
. Vế trái của đẳng thức (1.39) không
phải là

f z
, vì giới hạn bởi đờng cong kín
1
R

, hàm

f z
không hoàn toàn
giải tích cụ thể là tại
0
z z
là tâm của miền đó,
ta không có giả thiết gì về hàm

f z
.
Tơng tự nh vậy, Với
t
1
r

thì ta có
0
1

0 1
1
z z qR
q
t z R



và ta có :
phép biến đổi laplace và ứng dụng

Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích

19
0 0
0
0 0 0 0
0
1 1 1 1
1
1
k
z z z z
z z
t z t z t z t z t z
t z

Lặp lại lý luận tơng tự



1
2 0
0
1
2
r
k
k
k
f t
f z dt a z z
i t z

(1.41)
Trong đó


1
1
0
1
2
r
k
k
f t
a dt
i
t z







( k = 1,2,3,) (1.42)

Hai đẳng thức trên còn có thể viết lại:





1
1
2 0
1
2
r
k
k
k
f t
f z dt a z z
i t z









(1.43)
Trong đó

1
1
0
1
2
r
k
k
f t
a dt
i
t z






(1.44)
Đa các giá trị của

1
f z
và

2
f z
vào đẳng thức (1.38) ta đợc:

f z
=

1
f z
+

2
f z
=

0
0
k
k
k
a z z




(1.45)
Trong đó


1
1
0
1

2
r
k
k
f t
a dt
i
t z






( k = -1,-2,-3,.)



1
1
0
1
2
r
k
k
f t
a dt
i
t z

( k = 1,2,3, )
tuy nhiên nếu ta lấy đờng tròn

bất kỳ
0
t z


với
1 1
r R



theo định lý 1.4 ( Định lý tích phân dối với miền đa liên) ta có ngay đẳng thức


1
1
0
1
2
r
k

k
f t
a dt
i
t z






,

0, 1, 2, 3,
k
(1.45)
Chuỗi hàm

0
0
k
k
k
a z z




gọi là chuỗi hàm Laurent và sự khai triển (1.44)
một hàm giải tích trong một lân cận thủng của điểm

0
z
gọi là khai triển
Laurent.
phép biến đổi laplace và ứng dụng

Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích

20
Chuỗi Laurent gồm hai bộ phân: Một bộ phận: Một bộ phận gồm các số
hang gồm các số mũ không âm (1.39) và một bộ phận gồm các số hạng âm
(1.41). Bộ phận đầu gọi là phần đều bộ phân sau gọi là phần chính.

Định lý 1.8. (Định lý Laurent - 1843)
Nếu hàm số

f z
giải tích trong một vành
K
:
0
( 0, )
r z z R r R

thì
trong vành ấy có thể khai triển chuỗi (1.42) và chuỗi này hội tụ trong mọi
miền đóng của vành
.K

Bất đẳng thức Cauchy

Hàm

f z
là một hàm giả tích trong vành
K
, nên bị chặn trên đờng tròn

:
0
t z


, do đó

k
a
=


1
1
0
1 1 2
. .
2 2
k
k k
f t
i M
dt M

i i
t z








(1.46)
với

0, 1, 2, 3,
k

Trong đó: M = max

f z
với
z


,
r R


.
Định lý 1.9. Nếu chuỗi hàm

0
k
k
k
a z z




(1.47)
hội tụ trong vành
0
( 0, )
r z z R r R

thì tổng của nó là một hàm giải tích

f z
trong vành đó và chuỗi (1.47) là khai triển của hàm

f z
.
Thật vậy: Do tính giải tích của hàm số

f z
=

0
k
k

k
a z z




(1.48)

Trong vành
K
:
0
( 0, )
r z z R r R

hiển nhiên dựa vào các định lý Abel
và Vayecxtrat. Ta chỉ cần chứng minh các hệ số
k
a
đợc tính theo công thức:



1
1
0
1
2
r
k

k
f t
a dt
i
t z






(1.49)
phép biến đổi laplace và ứng dụng

Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích

21
Trong đó đờng tròn

:
0
t z


(
r R


)
Trên đờng tròn

rõ ràng là chuỗi (1.48) hội tụ đều.
Chuỗi


1
0
n
f z
z z




0
k
k
k
a z z




(1.50)
Cũng hội tụ trên

. Ta lấy tích phân hai vế của đẳng thức trên theo đờng
tròn

1
0
n
f z
dz
z z






1
0
k n
k
a z z dz







(1.51)

Vì

z


nên
0
i
z z e





0 2



và ta có


2
1
0
0
0
2
k n
i k n
k n
khik n
z z dz i e d

ikhik n















(1.52)
Thay giá trị này vào đẳng thức (1.51) ta có


1
0
n
f z
dz
z z

2


Hay


1
1
0
1
2
r
k
n
f z
a dz
i
z z






(1.53)
Chú ý : Định lý này có ý nghĩa rất lớn nó khẳng định rằng với mọi khai triển
Laurent của một hàm số trong vành đều trùng nhau, và các hệ số đều đợc
tính theo công thức (1.53). Về mặt thực tiễn cho thấy có thể dùng bất kỳ thuật
tính nào khi tìm hệ số

k
a
vì việc tính bằng công thức (1.53) nói chung rất khó
khăn.
1.4. Lý thuyết thặng d
1.4.1.Định nghĩa
Định nghĩa 1.7. Giả sử hàm số

f z
giải tích tại một điểm
0
z
C
nào đó và

là một đờng cong Jordan kín, trơn từng khúc giới hạn một miền G sao cho
0
z
G
. Khi đó theo định lý Cauchy
phép biến đổi laplace và ứng dụng

Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích

22

0
f z dz

(1.54)
Nếu
0
z
là một điểm kì dị cô lập của

f z
thì giá trị của tích phân ở vế
trái của (1.54) nói chung lại khác 0.
Nhng ta biết giá trị đó không phụ thuộc vào hình dạng đờng cong

.
Ta hay tính giá trị đó.
Trớc hết, khai triển hàm

f z
thành chuỗi Laurent trong lân cận thủng
của
0
z
. Ta có

f z
=

0
k
k
k

a z z




(1.55)
và

f z dz




0
k
k
a z z dz






(1.56)

là một đờng cong Jordan kín, trơn từng khúc bất kỳ nằm trong một một lân
cận thủng của
0
z
. Trong đó hàm

f z
giải tích (
0
z
nằm trong miền bị giới hạn
bởi

).
Giá trị
1
a




1
2
f z dz
i



(1.57)
đợc gọi là thặng d của của hàm số

f z
tại
0
z

và ký hiệu:


0
,res f z z


=

1
2
f z dz
i



(1.58)
Nh vậy, nếu
0
z z
là điểm kỳ dị bỏ đợc hoặc điểm giải tích ( tức là
tại điểm đó hàm số giải tích ) của hàm số

f z
thì
1
a

=0 nên thặng d của

f z
tại
0
z z
triệt tiêu.
Từ (1.57) và (1.58) ta có


0
,res f z z


=
1
a

(1.59)
1
a

là hệ số của lũy thừa

1
0
z z


trong khai triển Laurent.
Định nghĩa 1.8.
phép biến đổi laplace và ứng dụng

Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích

23
Giả sử
z
là điểm kì dị cô lập của hàm

f z
và gọi

là đờng tròn
z R
với
R
khá lớn để đờng tròn

nằm hoàn toàn trong một lân cận thủng
U
của điểm vô cực, trong đó

f z
không có điểm kì dị.
Thặng d tại điểm vô cực của hàm

f z
đợc định nghĩa là:


,

res f z



=

1
2
f z dz
i




(1.60)
Tích phân ở vế phải của đẳng thức trên lấy dọc theo đờng tròn

nhng
hớng cũng chiều với kim đồng hồ, để miền chứa điểm vô cực nằm bên trái.
Theo qui ớc, đờng tròn

có hớng dơng ngợc chiều kim đồng hồ nên ở
đây đờng cong lấy tích phân là


.
1.4.2. Các định lý cơ bản về thặng d
Định lý 1.10.
i. Nếu
0

z
là điểm cực đơn (cấp 1) của hàm số

f z
thì :

0
,res f z z


=

0
0
lim
z z
z z f z




(1.61)
ii. Nếu
0
z
là điểm cực cấp n của hàm số

f z
thì :

0
,res f z z


=

0
1
lim
1 !
z z
n



1
0
1
n
n
d z z f z
dz





(1.62)
Hệ quả 1.1. Nếu hàm

f z
nhận
0
z
làm cực điểm đơn và có dạng:



z
f z
z



với

'
0 0 0
0; 0; 0
z z z




z

và

z

đều là hàm giải tích tại
0
z
thì ta có:

0
,res f z z


=

0
0
lim
z z
z z f z




=








0

0
'
0
0
0
0 0
lim lim
z z x
z z z
z z z
z
z z z z









Vậy

0
,res f z z


=

0
'
0
z
z


(1.63)
phép biến đổi laplace và ứng dụng

Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích

24
Định lý1.11. (Định lý cơ bản về thặng d). Nếu hàm số

f z
giải tích trong
miền
D
trừ một số hữu hạn điểm kỳ dị cô lập
j
a
( 1, 2, )j k

thì:

1
2
f z dz
i

=

1
,
k
j
j
res f z a




(1.64)

là một đờng cong Jordan kín, trơn từng khúc nằm hoàn toàn trong
D
và
giới hạn một miền
G
chứa tất cả các điểm

j
a
,
( 1, 2, )j k

Định lý 1.12. (Định lý thặng d toàn phần). Giả sử hàm

f z
giải tích khắp
nơi trong mặt phẳng C. Trừ ra một số hữu hạn các điểm kỳ dị

j
a
,
( 1, 2, )j k

khi đó tổng các thặng d của nó tại các điểm kỳ dị hữu hạn và
thặng d tại vô cực là bằng không.


1
,
k
j
j
res f z a




+

,
res f z

= 0 (1.65)
Chứng minh:
Ta vạch đờng tròn

:
z R
với
R
đủ lớn để mọi điểm

j
a

( 1, 2, )j k
đều nằm trtong hình tròn
z R
theo đẳng thức (1.64), ta có:

1
2
f z dz
i



=

1
,

k
j
j
res f z a





mặt khác theo thặng d tại điểm vô cực:

,
res f z



=

1
2
f z dz
i





cộng hai đẳng thức trên ta đợc:

1

,
k
j
j
res f z a




+

,
res f z



=

1
2
f z dz
i



+

1
2
f z dz

i




= 0.
Vậy

1
,
k
j
j
res f z a




+

,
res f z



= 0. Đẳng thức đợc gọi là tổng toàn phần
các thặng d của hàm

f z
trên mặt phẳng C và nh vậy chứng tỏ tổng toàn

phân của các thặng d của mọi hàm giải tích đều bằng 0.