Phương pháp monte carlo lượng tử nghiên cứu quá trình khuếch tán

( Word Reader - Unregistered )
www.word-reader.com
LờI CảM ƠN
Luận văn này đợc thực hiện và hoàn thành tại Trờng ĐHSP Hà Nội 2
dới sự hớng dẫn của Tiến sỹ Nguyễn Thế Lâm. Thầy đã tỉ mỉ hớng dẫn và
truyền cho tôi những kinh nghiệm quý báu trong học tập và trong nghiên cứu
khoa học để động viên, khích lệ tôi vơn lên trong học tập và vợt qua những
khó khăn. Tôi đã từng bớc tiến hành và hoàn thành luận văn với đề tài
Phơng pháp Monte Carlo lợng tử nghiên cứu quá trình khuếch tán
Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối
với thầy.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trờng ĐHSP Hà Nội 2, Khoa
Vật Lý, Phòng sau đại học trờng ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện thuận
lợi cho tôi hoàn thành chơng trình cao học và luận văn tốt nghiệp.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, các đồng chí đồng nghiệp và bạn bè
đã tạo điều kiện, động viên, đóng góp những ý kiến quý báu để tôi hoàn thành
luận văn này.
Hà nội, tháng 10 năm 2011
Tác giả
Vũ Ngọc Vỹ
LờI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của tôi, không sao
chép hoặc trùng với kết quả của bất kỳ tác giả nào đã đợc công bố. Nếu sai
tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà nội, tháng 09 năm 2011
Tác giả
Vũ Ngọc Vỹ
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
- Phơng pháp Montecarlo là phơng pháp sử dụng rất rộng rãi trên thế
giới. Trên cơ sở sử dụng con số ngẫu nhiên đã mở ra rất nhiều ứng dụng. Một

trong những ứng dụng là ngời ta có thể tính tích phân xác định, đặc biệt là
các tích phân nhiều chiều và các điều kiện biên phức tạp.
- Phơng pháp Monte Carlo thờng thực hiện lặp lại một số lợng rất
lớn các bớc đơn giản, song song với nhau, một phơng pháp phù hợp cho
máy tính. Kết quả của phơng pháp này càng chính xác (tiệm cận về kết quả
đúng) khi số lợng lặp các bớc tăng.
- Phơng pháp Montecarlo có thể cho phép nghiên cứu tính toán năng
lợng hàm sóng của các hệ lợng tử mà các phơng pháp khác không làm
đợc.
- Quá trình khuếch tán có phơng trình vi phân phụ thuộc vào thời gian
trên thực tế rất khó giải. Nếu thực hiện đợc thì số chiều rất thấp, nhng nếu
sử dụng phơng pháp
Montecarlo thì sẽ giải đợc trong không gian lớn hơn với số lợng hạt
lớn ( ngời ta có thể giải đến 1000 hạt)
Chính vì những lý do trên và những ứng dụng thiết thực của đề tài mà
tôi đã lựa chọn đề tài này để nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu các phơng pháp Montecarlo lợng tử đợc đề xuất trong
thời gian gần đây.
- Đề xuất mô hình khuếch tán và sẽ giải quyết bài toán này bằng
phơng pháp Montecarlo lợng tử.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu các mô hình mà có thể sử dụng phơng pháp Montecarlo
trong vật lý chất rắn.
- Xây dựng và giải bài toán bằng phơng pháp Montecarlo lợng tử.
4. Đối tợng nghiên cứu
- Là các hệ điện tử nhiều hạt
- Một số các bài toán khuếch tán trong trong các không gian 1, 2, 3
chiều
5. Phơng pháp nghiên cứu

Sử dụng phơng pháp mô hình hóa bằng máy tính
6. Dự kiến những đóng góp mới
Sẽ sử dụng đợc phơng pháp này cho nghiên cứu các tính chất của vật
liệu mà các phơng pháp khác không làm đợc khi mà số lợng hạt trở nên
lớn.
Danh môc c¸c tõ viÕt t¾t
Tõ viÕt t¾t TiÕng anh TiÕng viÖt
DMC
Diffusion Monte Carlo
Ph¬ng ph¸p Monte Carlo khuÕch
t¸n
GFQMC
Green's function quantum Monte
Carlo
Ph¬ng ph¸p hµm Green’s Monte
Carlo
PDF Probability distribution function Hµm ph©n bè x¸c suÊt
PIMC Path Integral Monte Carlo Ph¬ng ph¸p tÝch ph©n ®êng
QMC Quantum Monte Carlo Ph¬ng ph¸p Monte Carlo lîng tö
VMC Variational Monte Carlo Ph¬ng ph¸p Monte Carlo biÕn sè
Chơng 1
Tổng quan về phơng pháp Montecarlo
1.1. ý tởng về phơng pháp Monte Carlo lợng tử
Nói chung tất cả các phơng pháp Monte Carlo lợng tử đều có đặc
điểm chung là sử dụng mẫu thử ngẫu nhiên và chúng là cách hiệu quả nhất để
lấy tích phân các hàm số đa chiều.
Điểm bắt đầu cho việc lấy tích phân Monte Carlo là biểu thức cho giá trị
trung bình của hàm f trên đoạn
(1.1)
Dựa vào phơng này này ta sẽ đợc biểu thức cho giá trị của tích phân :

(1.2)
Có nghĩa là nếu ta có giá trị trung bình ta sẽ có giá trị của I. Mục tiêu
của phơng pháp Monte Carlo là ớc tính giá trị bằng việc lấy mẫu ngẫu
nhiên của hàm f trên đoạn . Giá trị của tích phân I có thể đợc ớc tính
bởi biểu thức:
(1.3)
Với x
i
là điểm ngẫu nhiên phân bố đồng đều trên và N
s
là số điểm
x
i
.
Phơng pháp lấy mẫu nh vậy khá hiệu quả vì trong nhiều ứng dụng
thực tiễn, việc lấy tích phân ở một số vùng phải đợc lấy mẫu với mật độ lớn
hơn để đạt đợc những kết quả chính xác hơn trong khoảng thời gian hợp lý.
Ta có thể làm đợc việc này bằng phơng pháp lấy mẫu điển hình. Việc lấy
mấu điển hình đó đợc ứng dụng bằng việc đa vào hàm mật độ (PDF):
trên , ngoài đoạn . Đó là điều thuận lợi khi chuẩn
hoá hàm sóng: . Khi đó chúng ta có thể viết:
(1.4)
Nếu đợc lấy mẫu theo thì biểu thức trên sẽ giảm xuống đến
con số ớc lợng cuối cùng của biểu thức:
(1.5)
Các điểm x
i
đợc phân bố theo . Thông thờng chúng ta thu đợc
một chuỗi Markow đợc tạo ra bởi thuật toán Metropolis
1.2. Phơng pháp Monte Carlo lợng tử

1.2.1. Một số các phơng pháp tính
Lu ý phơng pháp Monte Carlo lợng tử dùng để chỉ các kỹ thuật khác
nhau dựa trên việc lấy mẫu ngẫu nhiên. Kỹ thuật đơn giản nhất trong số đó là
Monte Carlo biến số (VMC), sử dụng phơng pháp lấy tích phân Monte Carlo
lấy mẫu điển hình để tính giá trị dự tính cho hàm sóng thử đã đợc lựa chọn.
Các phơng pháp khác, nh phơng pháp chiếu Monte Carlo sử dụng kỹ
thuật chiếu để đạt đợc thành phần trạng thái cơ bản của hàm sóng thử ban
đầu. Có một số phơng pháp chiếu Monte Carlo phụ thuộc vào yếu tố chiếu
mà ngời ta sử dụng, phổ biến nhất là phơng pháp Monte Carlo khuếch tán
(DMC), dựa trên phơng trình thời gian ảo Schorodinger. Cả VMC và DMC
đợc sử dụng để tính giá trị của năng lợng ở trạng thái cơ bản cho các hệ
lợng tử, chúng còn có thể đợc dùng cho các trạng thái kích thích. Với các hệ
kích thích ở nhiệt độ xác định thì phơng pháp PIMC đợc sử dụng, đây là
phơng pháp dựa trên dạng thức tích phân đờng cơ lợng tử do Feyman xây
dựng. Tiện ích của các phơng pháp DMC và PIMC trong ứng dụng cho các
hệ fermion giảm do vấn đề nảy sinh từ tích phân đối xứng hàm sóng của nhiều
fermion. Một trong các kỹ thuật đợc sử dụng rộng rãi để giải quyết vấn đề
này là phơng pháp xấp xỉ nút cố định. ứng dụng của DMC cho hệ thống
fermion và việc thử bỏ qua. Phơng pháp xấp xỉ nút cố định sẽ đợc thể hiện
chi tiết hơn.
Dù còn vấn đề về tính chính xác nhng các phơng pháp QMC vẫn là
một công cụ hữu hiệu để tính toán các tính chất điện tử của hệ electron tơng
tác trong nguyên tử, phân tử và chất rắn. Khả năng tính toán trong QMC tăng
lên lũy thừa ba về số hạt, vì vậy có thể nghiên cứu các hệ thống chứa hàng
trăm thậm chí nhiều nghìn electron. Điều này có thể giúp làm mô hình chất
ngng tụ thực sự với độ chính xác đáng kinh ngạc.
Công thức tổng quát của hàm Hamiltonian cho các electron trong thế
ngoài có thể đợc viết nh sau:
(1.6)
Thế năng V trong các hệ chất rắn miêu tả tơng tác Coulomb giữa các

hạt electron và ion.
1.2.2. Năng lợng trong các hệ lợng tử
Chúng ta sẽ nghiên cứu những ví dụ về việc ứng dụng phơng pháp
Monte Carlo lợng tử trong các hệ đơn giản ví dụ: dao động tử điều hòa, dao
động tử điều hoà thế Morse, nguyên tử hydro, phân tử hydro, ion . Khi
nguyên tử, phân tử, hạt nhân và trạng thái rắn của vật bao gồm nhiều các
electron và ion hoặc nucleon đang tơng tác. Tổng các hạt N thờng lớn và
ngời ta không thể tìm ra một con số chính xác. Trong cơ học lợng tử chúng
ta có thể biểu thị giá trị chờ đợi cho một toán tử Ô cho trớc cho một hệ thống
những hạt N nh sau:
(1.7)
Trong đó là hàm sóng mô tả một hệ nhiều vật. Mặc dù
chúng ta đã bỏ qua sự phụ thuộc về thời gian trong phơng trình này nhng
nhìn chung đây vẫn là một vấn đề khó khăn. Nh một ví dụ từ bài toán nhiều
hạt, chúng ta có thể viết đợc phơng trình Schrodingers nh một phơng
trình vi phân với toán tử Hamiltonian H đợc biểu diễn theo hàm sóng nh
sau:
(1.8)
Trong đó: là tọa độ, là những tập hợp những lợng tử số
liên quan nh spin và spin đồng vị cho một hệ các nucleon là A (A = N + Z, N
là số lợng các nơtron và Z là số lợng các proton). Ta có
những phơng trình vi phân cấp hai đợc xác định trong kích thớc 3A. Đối
với hạt nhân nh
10
Be thì con số này là 215040. Đây thực sự là một bài toán
đầy khó khăn.
Phơng trình (1.7) là một tích phân nhiều chiều. Nh vậy, phơng pháp
Monte Carlo là phơng pháp lý tởng để thu đợc những giá trị dự đoán của
các toán tử cơ lợng tử, tuy nhiên vấn đề khó khăn là chúng ta không biết
chính xác hàm sóng . Chúng ta có thể tránh đợc vấn đề này

bằng cách đa ra một hàm số phụ thuộc vào những tham số biến số đã chọn.
Hàm số này sẽ thu đợc những đặc tính quan trọng của hệ đang đợc xét. Với
việc thử một hàm sóng nh vậy chúng ta có thể thử thực hiện phép tính toán
biến số của các quan sát khác nhau, dùng phơng pháp Monte Carlo để giải
phơng trình (1.7). Do vậy mục tiêu của chúng ta là tiếp cận Monte Carlo biến
số tới cơ lợng tử nên chúng tôi chỉ giới hạn tới thuật toán Metropolis đơn
giản, không bao gồm sự lấy mẫu quan trọng. Những phơng pháp Monte Carlo
lấy mẫu và khuếch tán quan trọng đợc bàn luận sau.
Trớc hết chúng ta cần tóm tắt lại một số định lý cơ học lợng tử.
1.3. Nhắc lại một số định lý cơ học lợng tử
1.3.1. Những tính chất của hàm sóng.
Phơng trình Schrodingers cho bài toán một chiều
(1.9)
Trong đó, thế năng của hạt. Nghiệm phơng trình đạo hàm riêng
này là hàm sóng . Chính hàm sóng sẽ giúp ta xác định xác suất, những
xác suất này đợc sử dụng để tính toán những giá trị dự đoán của các toán tử
đã chọn, nh động năng hoặc năng lợng toàn phần. Xác suất cơ lợng tử
đợc định nghĩa
(1.10)
Mặt khác ta lại có
(1.11)
Do vậy
(1.12)
Cách tiếp cận Monte Carlo biến số sử dụng định nghĩa xác suất này, do
đó chỉ cho phép chúng ta xử lý những số lợng thực. Ngoài ra, nếu chúng ta
thực hiện biểu diễn trong mặt phẳng phức, sử dụng , thì phơng trình
Schrodinger phụ thuộc vào thời gian trở thành
(1.13)
Với , chúng ta có một phơng trình khuyếch tán vào thời gian phức
với hằng số khuyếch tán

(1.14)
Một số các điều kiện mà phải thỏa mãn là:
1. Tiêu chuẩn hóa
(1.15)
Có nghĩa là
(1.16)
2. và phải xác định
3. và phải liên tục
4. và phải đợc xác định giá trị đơn
1.3.2. Các định lý quan trọng
Định lý I
Bất kỳ lợng vật lý nào phụ thuộc vào vị trí và động lợng
đều có toán tử lợng tử tơng ứng bằng việc thay thế , tạo ra toán tử
lợng tử
(1.17)
Đại lợng Định nghĩa cổ điển Toán tử QM
Vị trí
Động lợng
Động lợng quỹ đạo
Động năng
Năng lợng toàn phần
Bảng 1.1. Một số toán tử lợng tử
Định lý II
Kết quả xảy ra của phép đo lý tởng đại lợng vật lý A là những giá trị
riêng của toán tử lợng tử tơng ứng của .
(1.18)
Tạo ra các giá trị riêng Các giá trị tơng ứng chứa
đựng tất cả những thông tin liên quan về hệ.
Định lý III
Giả thiết là một tổ hợp tuyến tính của những hàm đặc trng cho Â.

(1.19)
Những hàm đặc trng trực giao
(1.20)
Khi hàm đặc trng là , xác suất thu đợc giá trị khi kết quả của
phép đo lợng vật lý A đợc cho bởi và là hàm đặc trng của  với
giá trị riêng .
Kết quả có thể chỉ ra rằng khi một hệ lợng tử ở trạng thái , trị số
trung bình của lợng vật lý đợc xác định bởi
(1.21)
Chúng ta đã giả thiết rằng đã đợc chuẩn hóa
(1.22)
Ngoài ra
(1.23)
Định lý IV
Việc phụ thuộc vào thời gian của một hệ lợng tử đợc cho bởi công
thức:
(1.24)
Với là toán tử Hamiltonian của hệ.
Chơng 2
Các cơ sở lý thuyết và thuật toán
của phơng pháp Monte Carlo
2.1. Phơng pháp Monte Carlo biến số
2.1.1. Cơ sở lý thuyết
Các kỹ thuật Monte Carlo đợc thể hiện cho Monte Carlo biến số đơn
giản nhng những ứng dụng thực tiễn lại khá phức tạp dựa vào xuất phát điểm
tốt cho hàm sóng biến số. Vì chúng hình thành xuất phát điểm cho phép tính
toán biến số giá trị chờ đợi của Hamiltonian H. Với một hamiltonian H và hàm
sóng thử nghiệm đã cho, theo những nguyên lý biến số thì giá trị chờ đợi
của đợc xác định
(2.1)

Giá trị là cận trên của năng lợng trạng thái năng lợng nhỏ nhất
của Hamiltonian , ta có:
(2.2)
Hàm sóng thử nghiệm có thể đợc mở rộng trong trạng thái riêng của
hamiltonian H. Vì chúng tạo nên một tập hợp hoàn chỉnh
(2.3)
Và giả sử tập hợp những hàm đặc trng đợc chuẩn hóa. Thay vào
phơng trình (2.1) ta đợc
(2.4)
Ta có thể biến đổi phơng trình trên đợc
(2.5)
Nhìn chung, những tích phân liên quan đến việc tính toán các giá trị dự
đoán khác nhau là những tích phân nhiều chiều. Những phơng pháp tính tích
phân truyền thống nh Gauss-Legendre sẽ không thích hợp cho việc tính toán
năng lợng của hệ nhiều hạt. Thực tế chúng ta cần lấy mẫu trên một mật độ đa
chiều và mật độ xác suất đợc chuẩn hóa bởi nhóm tiêu chuẩn của hàm sóng
cho thấy rằng giải thuật Metropolis có thể là thích hợp.
Chúng ta tổng kết ngắn gọn tiến trình biến số theo ba bớc dới đây:
Bớc 1. Xây dựng ban đầu một hàm sóng thử nghiệm , để diễn
đạt một hệ nhiều vật bao gồm N các hạt xác định tại các vị trí .
Hàm sóng thử nghiệm phụ thuộc vào các tham số biến số với
.
Bớc 2. Chúng ta ớc tính giá trị chờ đợi của Hamiltonian H
(2.6)
Bớc 3. Thay đổi theo thuật toán cực tiểu hóa và trở lại bớc đầu tiên.
Vòng lặp ba bớc này dừng lại khi chúng ta đạt đến cực tiểu của năng
lợng.
Trong phép tính Monte Carlo biến số là việc tìm kiếm cực tiểu biến số.
Thờng thờng các phép tính Monte Carlo biến số giống nh là điểm xuất phát
cho phơng pháp Monte Carlo khuyếch tán. Phơng pháp Monte Carlo khuếch

tán là một cách giải chính xác phơng trình Schrodinger nhiều hạt bằng
phơng pháp ngẫu nhiên. Tuy nhiên, việc dự đoán năng lợng ở trạng thái liên
kết và hàm sóng là rất cần thiết. Một phép tính Monte Carlo biến số đợc thực
hiện có thể giúp ích trong trờng hợp này. Phép Monte Carlo lợng tử biến số
đã đợc ứng dụng rộng rãi trong các nghiên cứu cho hệ lợng tử.
Việc chọn lựa một hàm sóng thử nghiệm mà chúng ta giả thiết là
càng xác thực càng tốt. Biến đại diện cho tọa độ không gian, tổng ta có là
3N nếu chúng ta có N các hạt. Phân bố xác suất lợng tử đợc xác định
(2.7)
Đây là hàm phân bố xác suất (PDF)
Giá trị dự đoán của năng lợng Hamiltonian đợc cho bởi
(2.8)
Trong đó là hàm sóng chính xác. Sử dụng hàm sóng thử nghiệm,
chúng ta định nghĩa một toán tử mới, đợc gọi là năng lợng địa phơng
(2.9)
Cùng với hàm phân bố xác suất thử nghiệm PDF cho phép chúng ta tính
toán giá trị dự đoán của năng lợng địa phơng
(2.10)
Phơng trình này thể hiện cách tiếp cận Monte Carlo biến số. Chúng ta
tính toán tích phân này trong một tập hợp các giá trị và các hàm sóng thử
nghiệm hợp lý và tìm ra cực tiểu của hàm số . Nếu hàm sóng thử nghiệm
gần với hàm sóng chính xác, thì lúc đó sẽ tiến đến . Phơng trình
(2.10) đợc giải nhờ sử dụng kỹ thuật từ cách tính tích phân Monte Carlo. Ta
có:
(2.11)
Trong đó tổng lấy với tất cả các hạt N. Chúng ta đã tính đến thế năng
đơn thể V
onebody
(r
i

) - thế năng hoạt động dựa trên một hạt tại một thời điểm,
và một tơng tác - tơng tác hoạt động dựa trên hai hạt tại một thời
điểm. Rõ ràng chúng ta có thể mở rộng công thức này đến những lực tơng tác
ba hoặc nhiều hạt. Năng lợng của hệ phần lớn bị chi phối bởi lực tơng tác
đơn hạt và tơng tác lặp.
Lúc đó toán tử năng lợng địa phơng trở thành
(2.12)
Tạo ra
(2.13)
Trong phép tính toán Monte Carlo biến số là sự đánh giá của giới hạn
động năng, thế năng, miễn là nó có hệ số phụ thuộc tọa độ đơn, chỉ thêm một
số hạng đơn vào toán tử năng lợng địa phơng.
Trong thảo luận phía dới, chúng ta dựa trên thuật toán Metropolis để
tìm ra lời giải Monte Carlo bằng số. Việc thực hiện khá giống với mô hình
Ising, sự khác biệt chủ yếu tồn tại trong mô hình hàm phân bố mật độ PDF.
Phép thử chính đợc thực hiện là một tỉ số các xác suất. Giả sử ta đang thử di
chuyển từ vị trí R đến R. Khi đó ta sẽ thực hiện hai bớc thử sau:
1. Nếu
(2.14)
Trong đó R là vị trí mới, bớc mới đợc chấp nhận, hoặc
2. (2.15)
Trong đó r là số ngẫu nhiên phát sinh cho , bớc mới cũng đợc
chấp nhận.
Trong mô hình Ising, ta đang thực hiện đảo spin tại thời điểm đó. ở đây
ta đang thay đổi vị trí đã chọn của hạt đã cho tới vị trí thử R,và sau đó tính
toán tỉ số giữa hai xác suất. Ta cũng cần chú ý rằng không cần ớc lợng chỉ
tiêu
Khi viết một chơng trình Monte Carlo biến số, ngời ta luôn phải
chuẩn bị trớc các công thức đợc yêu cầu cho năng lợng địa phơng E
L

trong phơng trình (2.10) và chuẩn bị hàm sóng cần thiết để tính toán tỉ số các
xác suất trong thuật toán Metropolis. Hai nhiệm vụ này thờng gần nh đợc
gọi là một bộ tạo số ngẫu nhiên.
Nếu bây giờ ta tập trung vào thuật toán Metropolis và phép ớc lợng
Monte Carlo trong phơng trình (2.10), có một thuật toán chi tiết hơn dới
đây.
- Chuẩn bị: Cố định số bớc Monte Carlo và số các bớc nhiệt. Chọn ký
hiệu viết tắt R và tham số biến số và tính toán . Cũng cần xác định
giá trị độ lớn các bớc khi chuyển từ một giá trị R sang một giá trị mới.
- Đa vào năng lợng và biến số
- Bắt đầu phép tính Monte Carlo với một vòng qua một số các chu trình
Monte Carlo cho trớc.
1. Tính toán vị trí thử trong đó r là một biến ngẫu nhiên
với
2. Sau đó sử dụng thuật toán Metropolis để thừa nhận hoặc loại bỏ bằng
cách tính toán tỉ số
Nếu , trong đó s là số bất kỳ và , thì vị trí mới đợc chấp
nhận, hơn nữa ta đang ở cùng một vị trí.
3. Nếu bớc trên đợc chấp nhận thì ta sẽ thiết lập
4. Cập nhật năng lợng địa phơng và biến số
Khi việc lấy mẫu monte Carlo hoàn thành, ta tính toán năng lợng trung
bình và độ lệch chuẩn. Cuối cùng ta có thể in kết quả ra một file cụ thể.
Lu ý rằng cách ta chọn bớc tiếp theo không đợc xác
định bởi hàm sóng. Hàm sóng chỉ giúp xác định tỉ số xác suất, tơng tự nh
cách ta đã mô phỏng những hệ trong vật lý thống kê. Điều này có nghĩa là việc
lấy mẫu các điểm có thể không hiệu quả.
Tuy nhiên cách tốt nhất để hiểu thuật toán trên và một phơng pháp cụ
thể là phải nghiên cứu các mẫu đã chọn.
2.1.2. Một số ví dụ
2.1.2.1. Phơng pháp Monte Carlo biến số cho dao động tử điều hòa một

chiều.
Hamiltonian có dạng:
(2.16)
Trong đó m là khối lợng hạt và k là hằng số lực. Trong phơng trình
trên ta sẽ làm cho đơn giản hơn bằng cách chọn . Ta có thể viết lại
phơng trình trên nh sau:
(2.17)
Năng lợng của trạng thái năng lợng nhỏ nhất khi đó sẽ là . Hàm
sóng chính xác cho trạng thái năng lợng nhỏ nhất là
(2.18)
Nhng vì ta muốn minh họa việc sử dụng phơng pháp Monte Carlo, ta
phải chọn hàm thử nghiệm
(2.19)
Thay hàm này vào biểu thức năng lợng địa phơng trong phơng trình
(2.9), ta thu đợc biểu thức sau cho năng lợng địa phơng
(2.20)
Với giá trị dự đoán cho hamiltonian của phơng trình (2.10) đợc cho
bởi
(2.21)
Thay hàm sóng dùng thử (2.19) vào (2.21) ta đợc
(2.22)
Sử dụng
(2.23)
Ta thu đợc
(2.24)
Với phơng sai
(2.25)
Phép tính toán Monte Carlo này khá đơn giản, chúng ta tạo ra một số
lớn N của những số ngẫu nhiên tơng ứng với PDF và đối với mỗi số
ngẫu nhiên chúng ta ớc tính đợc năng lợng địa phơng.

(2.26)
Và năng lợng đợc đó đợc xác định
(2.27)
Chúng ta có thể tách việc tính toán giá trị mong đợi của năng lợng địa
phơng thành động năng và thế năng. Nếu chúng ta xét một hệ ba chiều, giá trị
mong đợi của động năng sẽ là
(2.28)
Và chúng ta có thể tính toán đợc nếu hàm sóng đối xứng cầu, phơng
trình vi phân bậc hai phụ thuộc vào một toạ độ và sau đó nhân lên gấp ba. Điều
này rất có khả năng làm tăng dao động cần phải đợc tránh, dù những giá trị
mong đợi cuối cùng thu đợc rất giống nhau. Một trong những mục tiêu của
cách tính toán Monte Carlo là làm giảm dao động. Chúng ta có thể thay đổi tử
số trong phơng trình trên nh sau
(2.29)
Sử dụng phép lấy tích phân từng phần ta đợc:
(2.30)
Chúng ta đã sử dụng lập luận rằng hàm sóng bằng không tại R = .
Mối liên hệ này có thể đợc thể hiện qua phép lấy tích phân từng phần thành
(2.31)
Nếu chúng ta sử dụng phép tích phân từng phần cho trờng hợp dao
động điều hòa, thì năng lợng địa phơng sẽ là
(2.32)
Và dao động sẽ đợc tính bằng
(2.33)
Dao động này lớn hơn dao động đợc thể hiện trong công thức (2.25)
2.1.2.2. Nguyên tử hydro
Biến thiên Monte Carlo với nguyên tử
Hàm Hamiltonian cho hệ N electron gồm có hai thành phần toán tử
động năng và thế năng
(2.34)

Với x = {x
1,
x
2,
x
n
} là biến độc lập spin và biến độc lập không gian có
liên quan tới những hạt khác nhau. Động năng cổ điển
(2.35)
Viết theo toán tử động năng và chú ý đến động lợng
(2.36)
ở đây thành phần đầu tiên là toán tử động năng hạt nhân, thành phần
thứ hai là toán tử thế năng hạt nhân, M là khối lợng hạt nhân và m là khối
lợng electron. Toán tử thế năng đợc xác định bởi công thức
(2.37)
Trong đó r
i
là khoảng cách giữa hạt nhân và electron, và r
ij
là khoảng
cách giữa các electron.
Chúng ta tìm ra những số gần đúng để giảm sự phức tạp của những
phơng trình trên. Phép tính xấp xỉ Born-Oppenheimer thờng đợc sử dụng,
trong cách tính này không tính đến sự chuyển động của hạt nhân.
Bài toán nguyên tử hydro
Phơng trình Schrodinger không gian cho nguyên tử hydro ba chiều có
thể đợc giải quyết bằng phép phân tích. Chúng ta viết lại phơng trình trong
hệ tọa độ hình cầu
(2.38)
Việc sử dụng hệ tọa độ cầu là do tính đối xứng cầu của điện thế

Coulomb
(2.39)
Trong đó . Ta có thể phân tích
(2.40)
Với tọa độ cầu chúng ta có thể tìm thấy một kết quả có dạng
(2.41)
Ba tọa độ này tạo ra lần lợt ba con số lợng tử xác định năng lợng của
hệ. Chúng ta thu đợc ba tập hợp của những phơng trình vi phân cấp hai bình
thờng mà có thể đợc giải quyết bằng phép phân tích