Tập hút lùi đối với một lớp phương trình Parabolic phi tuyến

LỜI CẢM ƠN
Qua bản luận văn này tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu
sắc tới thầy giáo-Tiến sĩ Cung Thế Anh, người thầy đã tận tình hướng
dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin chân thành
cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, phòng sau đại học cũng như các thầy
cô giáo trong khoa đã giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt những năm
học vừa qua. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong hội đồng
đồng bảo vệ đã giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Qua đây tôi cũng
xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới gia đình và bạn bè đã giúp đỡ, tạo điều
kiện, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Do thời gian và trình độ bản thân còn hạn chế nên bản luận văn không
tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong được sự giúp đỡ, góp
ý của các thầy cô và các bạn để bản luận văn của tôi được hoàn thiện hơn.
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của TS. Cung Thế Anh.
Hà Nội, tháng 10 năm 2010
Tác giả
Tạ Thị Hồng Yến
Mục lục
Lời cảm ơn i
Lời cam đoan i
Mục lục i
Danh mục các kí hiệu i
Mở đầu 1
1 Một số kiến thức chuẩn bị 5
1.1. Các không gian hàm và toán tử . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Sự tồn tại D− tập hút lùi. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Số chiều fractal của D− tập hút lùi . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Tính nửa liên tục trên của D−tập hút lùi . . . . . . . . . 13
2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu 14

2.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1. Phát biểu bài toán và các giả thiết . . . . . . . . 14
ii
iii
2.1.2. Định nghĩa nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu . . . . . . . . . . 17
3 Sự tồn tại, đánh giá số chiều và tính nửa liên tục trên
của D− tập hút lùi 22
3.1. Sự tồn tại D−tập hút lùi trong H
µ
(Ω) ∩ L
p
(Ω) . . . . . . 23
3.2. Đánh giá số chiều fractal của D− tập hút lùi . . . . . . . 34
3.3. Tính nửa liên tục trên của D−tập hút lùi tại µ = 0 . . . 41
Kết luận 45
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU
|.|
2
là chuẩn trong L
2
(Ω).
(., .) là tích vô hướng trong L
2
(Ω).
.
µ
là chuẩn trong H
µ
(Ω).

((., .))
µ
là tích vô hướng trong H
µ
(Ω).
|.|
p
là chuẩn trong L
p
(Ω).
Ω
M
= Ω(u(t) ≥ M) = {x ∈ Ω : u(x, t) ≥ M}.
H
−1
µ
(Ω) là không gian đối ngẫu của H
µ
(Ω).
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vấn đề nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm đối với các hệ động
lực vô hạn chiều là một trong những bài toán quan trọng nhất của vật
lý toán hiện đại. Một trong những cách tiếp cận bài toán này đối với các
hệ động lực vô hạn chiều là nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất của
tập hút toàn cục đối với hệ động lực vô hạn chiều đang xét. Sau gần ba
thập kỷ phát triển, sự tồn tại và tính chất của tập hút toàn cục đã được
nghiên cứu cho một lớp khá rộng các phương trình đạo hàm riêng mà
ôtônôm, tức là khi mà ngoại lực g, các hệ số của toán tử, số hạng phi
tuyến không phụ thuộc tường minh vào thời gian (xem [3],[4],[5]).

Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm
đối với các phương trình không ôtônôm đã thu hút được sự quan tâm
của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Khi nghiên cứu dáng điệu
tiệm cận nghiệm của các phương trình không ôtônôm thì khái niệm
tập hút toàn cục cổ điển không còn thích hợp (Vì lúc này tương ứng
u
0
→ u(t), u(t) là nghiệm của bài toán với điều kiện biên ban đầu u
0
,
không còn sinh ra nửa nhóm như trường hợp ôtônôm). Vì vậy các nhà
toán học đã đưa ra những khái niệm tập hút mới đặc trưng cho phương
trình không ôtônôm. Chẳng hạn tập hút đều (uniform attractors, xem
[6]), tập hút lùi (pullback attractors, xem [4]). Hiện nay việc nghiên cứu
sự tồn tại và các tính chất của tập hút lùi cho các phương trình đạo riêng
phi tuyến không ôtônôm đã và đang là một trong những vấn đề thời sự,
2
thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước.
Chính vì vậy chúng tôi đã chọn đề tài của luận văn là "Tập hút lùi
đối với một lớp phương trình parabolic phi tuyến".
Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu bài toán sau:
















u
t
− ∆u −
µ
|x|
2
u + f(u) = g(x, t), x ∈ Ω, t > τ,
u|
∂Ω
= 0, t > τ,
u (x, τ) = u
τ
(x) , x ∈ Ω,
(0.1)
trong đó u
τ
∈ L
2
(Ω) cho trước, 0 < µ ≤ µ
∗
là tham số, µ
∗
=


N−2
2

2
là hằng số tốt nhất trong bất đẳng thức Hardy, số hạng phi tuyến f và
ngoại lực g thoả mãn các điều kiện sau:
(F ) Hàm f ∈ C
1
(R) và thoả mãn
C
1
|u|
p
− k
1
≤ f(u)u ≤ C
2
|u|
p
+ k
2
, p ≥ 2,
f

(u) ≥ −, ∀u ∈ R;
(G) g ∈ W
1,2
loc
(R; L
2

(Ω)) được thoả mãn
0

−∞
e
λ
1,µ
s

|g(s)|
2
2
+ |g

(s)|
2
2

ds < ∞,
0

−∞
s

−∞
e
λ
1,µ
s
|g(r)|

2
2
drds < ∞,
trong đó λ
1,µ
là giá trị riêng của toán tử A
µ
= −∆ −
µ
|x|
2
trong Ω với
điều kiện biên Dirichlet thuần nhất.
2. Mục đích nghiên cứu
Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại, đánh giá số
chiều fractal và tính nửa liên tục trên của D−tập hút lùi đối với một lớp
phương trình parabolic phi tuyến không ôtônôm với thế vị kiểu Hardy.
3
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu tập sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán trên.
Nghiên cứu sự tồn tại D−tập hút lùi đối với quá trình sinh bởi bài
toán trên.
Nghiên cứu về số chiều fractal của D−tập hút lùi đối với quá trình
sinh bởi bài toán trên.
Nghiên cứu về tính nửa liên tục trên của D−tập hút lùi đối với quá
trình sinh bởi bài toán trên.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu của nghiệm của một lớp phương
trình parabolic phi tuyến không ôtônôm với thế vị kiểu Hardy.
5. Phương pháp nghiên cứu

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán trên ta dùng
phương pháp compact của Lions (xem [10]).
Để chứng minh sự tồn tại D−tập hút lùi, xét số chiều fractal của
D−tập hút lùi và chứng minh tính nửa liên tục trên của D− tập hút lùi
chúng tôi dùng phương pháp của lý thuyết hệ động lực tán xạ vô hạn
chiều.
6. Bố cục của luận văn
Luận văn được chia thành 3 chương:
Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho việc trình
bày các chương sau, các kết quả về không gian hàm và toán tử liên quan
đến phương trình, các khái niệm và định lý tổng quát về sự tồn tại, đánh
giá số chiều và tính nửa liên tục trên của D−tập hút lùi.
4
Chương 2 trình bày các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu
của bài toán trên.
Chương 3 trình bày các kết quả chính của luận văn. Trong chương
này, chứng minh sự tồn tại D−tập hút lùi đối với họ quá trình liên kết
với bài toán trên. Hơn nữa, chúng ta chứng minh D− tập hút lùi nhận
được có số chiều fractal hữu hạn và phụ thuộc nửa liên tục trên vào
tham số µ trong số hạng chứa thế vị. Nói riêng, khi µ → 0
+
thì D− tập
hút lùi của bài toán dẫn đến D− tập hút lùi của phương trình truyền
nhiệt cổ điển (tức là phương trình không có số hạng chứa thế vị −
µ
|x|
2
u).
7. Những đóng góp mới của đề tài
Đề tài chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài

toán trên.
Chứng minh được sự tồn tại của D− tập hút lùi đối với quá trình
sinh bởi bài toán trên.
Chứng minh được số chiều fractal của D− tập hút lùi là hữu hạn.
Chứng minh được tính nửa liên tục trên của D− tập hút lùi.
Các kết quả của luận văn là mới, có ý nghĩa khoa học và đang được
gửi đăng ở tạp chí chuyên nghành (xem [1]).
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị về
các không gian hàm và toán tử, các khái niệm và định lý tổng quát về
sự tồn tại, đánh giá số chiều và tính nửa liên tục trên của D−tập hút
lùi phục vụ cho việc chứng minh các chương sau.
1.1. Các không gian hàm và toán tử
Cho 0 ≤ µ ≤ µ
∗
, chúng ta định nghĩa không gian H
µ
(Ω) là bao đóng
của C
∞
0
(Ω) với chuẩn
u
2
µ
=

Ω


|∇u|
2
− µ
|u|
2
|x|
2

dx.
Khi đó H
µ
(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng tương ứng
u, v
µ
=

Ω

∇u∇v − µ
uv
|x|
2

dx, với mọi u, v ∈ H
µ
(Ω).
Chúng ta biết (xem [14]) rằng nếu 0 ≤ µ < µ
∗
thì H
µ

(Ω) ≡ H
1
0
(Ω).
Trong trường hợp tới hạn, nghĩa là khi µ = µ
∗
, chúng ta nhắc lại bất
5
6
đẳng thức Hardy-Poincare trong [14]

Ω

|∇u|
2
− µ
∗
|u|
2
|x|
2

dx ≥ C(q, Ω)u
2
W
1,q
(Ω)
, 1 ≤ q < 2, (1.1)
và cho 0 ≤ s < 1, 1 ≤ r < r
∗

=
2N
N−2(1−s)
,

Ω

|∇u|
2
− µ
∗
|u|
2
|x|
2

dx ≥ C(s, r, Ω)u
2
W
s,r
(Ω)
(1.2)
với mọi u ∈ C
∞
0
(Ω). Điều này suy ra phép nhúng liên tục thoả mãn với
1 ≤ q < 2 và 0 ≤ s < 1,
H
µ
(Ω) → W

1,q
0
(Ω), H
µ
(Ω) → H
s
0
(Ω). (1.3)
Hơn nữa, từ W
1,q
0
(Ω) nhúng compact trong H
s
0
(Ω) với q = q(s) gần
2 và H
s
0
(Ω) nhúng compact trong L
2
(Ω), chúng ta suy ra các phép nhúng
H
1
µ
(Ω) → L
2
(Ω), H
µ
(Ω) → H
s

0
(Ω), 0 ≤ s < 1, (1.4)
là compact.
Nhắc lại rằng phép nhúng W
1,q
→ L
q
(Ω) liên tục với 1 ≤ p ≤
Nq
N−q
và
q < N. Khi đó ký hiệu p
∗
=
Nq
N−q
với 1 ≤ q < 2, từ (1.3) suy ra là phép
nhúng liên tục H
µ
(Ω) → L
p
(Ω) thoả mãn với bất kỳ 1 ≤ p ≤ p
∗
.
Bây giờ chúng ta xét bài toán biên








−∆u −
µ
|x|
2
u = λu với x ∈ Ω,
u = 0 với x ∈ ∂Ω.
(1.5)
Để áp dụng mở rộng Friedrichs của các toán tử đối xứng (xem [17])
7
chúng ta nhắc lại bất đẳng thức Hardy mở rộng trong [14]

Ω
|∇u|
2
dx ≥

N − 2
2

2

Ω
|u|
2
|x|
2
dx + λ
Ω


Ω
|u|
2
dx, (1.6)
trong đó λ
Ω
là hằng số dương phụ thuộc vào Ω, tập X = L
2
(Ω), D(

A) =
C
∞
0
(Ω),

Au = −∆u −
µ
|x|
2
u. Từ đó suy ra

A là toán tử dương và tự liên
hợp. Không gian năng lượng X
E
bằng H
µ
(Ω) vì X
E

là không gian đủ
của D(

A) = C
∞
0
(Ω) với tích vô hướng tương ứng
u, v
µ
=

Ω

∇u∇v − µ
uv
|x|
2

dx.
Hơn nữa,

A ⊂ A ⊂ A
E
,
ở đây A
E
: H
µ
(Ω) → H
−1

µ
(Ω) là mở rộng năng lượng (H
−1
µ
(Ω) là không
gian đối ngẫu của H
µ
(Ω)) và A = −∆ −
µ
|x|
2
là mở rộng Friedrichs của

A với miền xác định
D(A) = {u ∈ H
µ
(Ω) : A(u) ∈ X}.
Chúng ta có bộ ba tiến hoá H
µ
(Ω) →→ L
2
(Ω) →→ H
−1
µ
(Ω) với các
phép nhúng là compact và trù mật. Do đó, với mỗi 0 < µ ≤ µ
∗
, ở đó tồn
tại một hệ trực chuẩn các vectơ riêng (e
j,µ

, λ
j,µ
) phụ thuộc vào µ sao cho
(e
j,µ
, e
k,µ
) = δ
j,k
và − ∆e
j,µ
−
µ
|x|
2
e
j,µ
= λ
j,µ
e
j,µ
, j, k = 1, 2,
0 < λ
1,µ
≤ λ
2,µ
≤ λ
3,µ
≤ , λ
j,µ

→ +∞ khi j → +∞.
Cuối cùng chúng ta chú ý rằng với mọi u ∈ H
µ
(Ω),
u
2
µ
≥ λ
1,µ
|u|
2
2
. (1.7)
8
1.2. Sự tồn tại D− tập hút lùi.
Cho (X, d) là không gian mêtric. Với A, B ⊂ X, ta định nghĩa nửa
khoảng cách Hausdorff giữa 2 tập A và B là
dist(A, B) = sup
x∈A
inf
x∈B
d(x, y).
Cho {U(t, τ ) : t ≥ τ, τ ∈ R} là một quá trình trong X, nghĩa là một
họ ánh xạ gồm hai tham số U(t, τ ) : X → X sao cho U(τ, τ ) = Id và
U(t, s)U(s, τ ) = U(t, τ) với mọi t ≥ s ≥ τ, τ ∈ R. Quá trình {U(t, τ)}
được gọi là liên tục norm-to-weak (norm-to-weak continuous) trên X
nếu U(t, τ )x
n
hội tụ yếu tới U(t, τ )x khi x
n

hội tụ mạnh tới x trong X,
với mọi t ≥ τ, τ ∈ R. Giờ, chúng ta nhắc lại một phương pháp hữu ích
để chỉ ra quá trình trên là liên tục norm-to-weak.
Bổ đề 1.1. [16] Cho X và Y là hai không gian Banach , X
∗
, Y
∗
là hai
không gian đối ngẫu tương ứng. Giả thiết rằng X là trù mật trong Y ,
phép chiếu i : X → Y là liên tục, ánh xạ liên hợp i
∗
: Y
∗
→ X
∗
là trù
mật, và {U(t, τ )} là quá trình liên tục hoặc liên tục yếu trên Y . Khi đó
{U(t, τ )} là liên tục norm-to-weak trên X nếu với t ≥ τ, τ ∈ R, {U(t, τ)}
biến một tập compact của X thành một tập bị chặn của X.
Cho B(X) là họ tất cả các tập con bị chặn khác rỗng của X và D là
một lớp khác rỗng các tập tham số hoá
ˆ
D = {D(t) : t ∈ R} ⊂ B(X).
Định nghĩa 1.2.1. Một quá trình {U(t, τ)} được gọi là D−compact
tiệm cận lùi nếu với mọi t ∈ R, mọi
ˆ
D ∈ D, mọi τ
n
→ −∞ và mọi dãy
x

n
∈ D(τ
n
), dãy {U(t, τ
n
)x
n
} là compact tương đối trong X.
9
Định nghĩa 1.2.2. Một quá trình {U(t, τ)} được gọi là ω − D− giới
hạn compact hấp thụ lùi nếu và chỉ nếu  > 0, bất kỳ t ∈ R và
ˆ
D ∈ D
tồn tại τ
0
(D, , t) ≤ t sao cho
α (∪
τ≤τ
0
U(t, τ )D(τ )) ≤ 
trong đó α là độ đo tính không compact Kuratowski của tập B ∈ B(X),
được định nghĩa bởi
α(B) = inf{δ > 0 : B có một phủ mở hữu hạn các tập có bán kính nhỏ hơn δ}.
Bổ đề 1.2. [11] Quá trình {U (t, τ)} là D−compact tiệm cận lùi nếu nó
là ω − D−compact giới hạn lùi.
Định nghĩa 1.2.3. Một họ các tập bị chặn của
ˆ
B ∈ D được gọi là D−hấp
thụ lùi đối với quá trình {U(t, τ )} nếu với mọi t ∈ R, mọi
ˆ

D ∈ D tồn
tại τ
0
= τ
0
(
ˆ
D, t) sao cho

τ≤τ
0
U(t, τ )D(τ ) ⊂ B(t).
Định nghĩa 1.2.4. Một họ
ˆ
A = {A(t) : t ∈ R} ⊂ B(X) gọi là D−tập
hút lùi với quá trình {U (t, τ)} nếu nó thoả mãn tất cả các điều kiện sau:
1. A(t) là compact với mọi t ∈ R;
2.
ˆ
A là bất biến; tức là
U(t, τ )A(τ ) = A(t)
với mọi t ≥ τ;
3.
ˆ
A là D−hút lùi; nghĩa là
lim
τ→−∞
dist(U(t, τ )D(τ ), A(t)) = 0
với mọi
ˆ

D ∈ D và mọi t ∈ R;
10
4. Nếu {C(t) : t ∈ R} là họ khác rỗng các tập hút đóng thì A(t) ⊂ C(t)
với mọi t ∈ R.
Định lý 1.2.1. [11] Cho {U(t, τ )} là quá trình liên tục norm-to-weak
sao cho {U(t, τ)} là D−compact tiệm cận lùi. Nếu tồn tại một họ các
tập D−hấp thụ lùi
ˆ
B = {B(t) : t ∈ R} ∈ D, thì {U(t, τ )} có một D−tập
hút lùi duy nhất
ˆ
A = {A(t) : t ∈ R} và
A(t) =

s≤t

τ≤s
U(t, τ )B(τ ).
1.3. Số chiều fractal của D− tập hút lùi
Cho H là không gian Hilbert tách được, với tích vô hướng (., .) và
chuẩn |.|. Cho trước tập compact K ⊂ H và  > 0, ký hiệu bởi N

(K)
số nhỏ nhất các hình cầu mở trong H với bán kính <  cần thiết để phủ
K.
Định nghĩa 1.3.1. Cho tập compact khác rỗng K ⊂ H, số chiều fractal
của K được định nghĩa bởi
d
F
(K) = lim

→0
sup
log(N

(K))
log(
1

)
. (1.8)
Xét V ⊂ H là không gian Hilbert thực tách được sao cho phép chiếu
từ V vào H là liên tục và V là trù mật trong H.
Ta đồng nhất H với đối ngẫu tô pô H

của nó và đồng nhất v ∈ V với
phần tử f
v
∈ H

định nghĩa bởi
f
v
(h) = (v, h), h ∈ H.
Cho F : V × R → V

(V

là đối ngẫu của V ) là một họ các toán tử
không tuyến tính sao cho với mọi τ ∈ R và bất kỳ u
0

∈ H tồn tại duy
11
nhất một hàm u(t) = u(t; τ, u
0
) thoả mãn













u ∈ L
2
(τ, T ; V ) ∩ C([τ, T]; H), F (u(t), t) ∈ L
1
(τ, T ; V

), với mọi T > τ.
du
dt
= F (u(t), t), t > τ,
u(τ) = u
0

.
(1.9)
Ta định nghĩa
U(t, τ )u
0
= u(t, τ ; u
0
), τ ≤ t, u
0
∈ H. (1.10)
Cho T
∗
∈ R cố định. Ta giả thiết có một họ {K(t) : t ≤ T
∗
} các tập
con compact khác rỗng của H thoả mãn tính chất bất biến
U(t, τ )K(τ ) = K(t), với mọi τ ≤ t ≤ T
∗
(1.11)
và với mọi τ ≤ t ≤ T
∗
, mọi u
0
∈ K(τ) tồn tại một toán tử tuyến tính
liên tục L(t, τ, u
0
) ∈ L(H) sao cho:
|U(t, τ )u
0
− U(t, τ )u

0
− L(t, τ, u
0
)(u
0
− u
0
)| ≤ γ(t − τ, |u
0
− u
0
|)|u
0
− u
0
|,
(1.12)
với mọi u
0
∈ K(τ ), ở đó γ : R
+
× R
+
→ R
+
là một hàm sao cho γ(s, .)
không tăng với mọi s ≥ 0 và
lim
r→0
γ(s, r) = 0, với bất kỳ s ≥ 0. (1.13)

Chúng ta giả sử với mọi t ≤ T
∗
, ánh xạ F (., t) là khả vi Gateaux trên
V , nghĩa là với bất kỳ u ∈ V tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục
F

(u, t) ∈ L(V, V

) sao cho:
lim
→0
1

(F (u + v, t) − F(u, t) − F

(u, t)v) = 0 ∈ V

.
12
Hơn nữa, chúng ta giả sử rằng ánh xạ F

: (u, t) ∈ V × (−∞, T
∗
] →
F

(u, t) ∈ L(V ; V

) là liên tục (do đó, trong trường hợp đặc biệt, với mỗi
t ≤ T

∗
, ánh xạ F (., t) là khả vi Frechet liên tục trên V ).
Do đó với mỗi τ ≤ T
∗
và bất kỳ u
0
, v
0
∈ H tồn tại duy nhất v(t) =
v(t; τ, u
0
, v
0
) là nghiệm của bài toán













v ∈ L
2
(τ, T ; V ) ∩ C([τ, T]; H), với mọi τ < T ≤ T

∗
,
dv
dt
= F

(U(t, τ )u
0
, t)v, τ < t < T
∗
,
v(τ ) = v
0
.
(1.14)
Chúng ta giả thiết rằng
v(t; τ, u
0
, v
0
) = L(t, τ, u
0
)v
0
, với mọi τ ≤ t ≤ T
∗
, u
0
, v
0

∈ K(τ). (1.15)
Ta viết với j = 1, 2, ,
˜q
j
= lim sup
T →+∞
sup
τ≤T
∗
sup
u
0
∈K(τ−T)


1
T
τ

τ−T
T r
j
(F

(U(s, τ − T )u
0
, s))ds


,

(1.16)
trong đó
T r
j
(F

(U(s, τ )u
0
, s)) = sup
v
i
0
∈H,|v
i
0
|≤1,i≤j

j

i=1
(F

(U(s, τ )u
0
, s)e
i
, e
i
)


,
e
1
, , e
j
là cơ sở trực chuẩn trong H với không gian con sinh bởi
v(s; τ, u
0
, v
1
0
), , v(s; τ, u
0
, v
j
0
).
Định lý 1.3.1. [9] Với giả thiết phía trên và nói riêng là (1.11)-(1.13),
(1.15) và giả sử rằng

τ≤T
∗
K(τ) là compact tương đối trong H, (1.17)
13
và tồn tại q
j
, j = 1, 2, sao cho
˜q
j
≤ q

j
, với mỗi j ≥ 1, (1.18)
q
n
0
≥ 0, q
n
0
+1
< 0, với n
0
≥ 1 nào đó (1.19)
và
q
j
≤ q
n
0
+ (q
n
0
− q
n
0
+1
)(n
0
− j), với mọi j = 1, 2, (1.20)
Khi đó
d

F
(K(τ)) ≤ d
0
:= n
0
+
q
n
0
q
n
0
− q
n
0
+1
, với mọi τ ≤ T
∗
. (1.21)
1.4. Tính nửa liên tục trên của D−tập hút lùi
Định nghĩa 1.4.1. Cho {U

(t, τ) :  ∈ [0, 1]} là một họ quá trình trong
không gian Banach X với D−tập hút lùi tương ứng
ˆ
A

= {A

(t) : t ∈

R,  ∈ [0, 1]}. Với bất kỳ đoạn bị chặn I ⊂ R ta nói {
ˆ
A

(.)} là nửa liên
tục trên tại  = 0 với t ∈ I nếu
lim
→0
sup
t∈I
dist(A

(t), A
0
(t)) = 0.
Định lý 1.4.1. [5] Cho {U

(t, τ) :  ∈ [0, 1]} là một họ quá trình với
D−tập hút lùi tương ứng {A

(t) : t ∈ R,  ∈ [0, 1]}. Khi đó, với bất kỳ
I ⊂ R bị chặn, {U

(t, τ) :  ∈ [0, 1]} là nửa liên tục trên tại 0 với t ∈ I
nếu với mỗi t ∈ R, mỗi tập con compact K và mỗi T > 0, các điều kiện
sau được thoả mãn:
1. sup
τ∈[t−T,t]
sup
χ∈K

d(U

(t, τ)χ, U
0
(t, τ)χ) → 0 khi  → 0;
2.

∈[0,1]

t≤t
0
A

(t) là bị chặn với t
0
cho trước;
3.

0<≤1
A

(t) là compact với mỗi t ∈ R.
Chương 2
Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm
yếu
Trong chương này chúng tôi phát biểu bài toán và các điều kiện của
bài toán, chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán.
2.1. Phát biểu bài toán
2.1.1. Phát biểu bài toán và các giả thiết
Cho Ω là miền bị chặn trong R

N
(N ≥ 3) chứa gốc toạ độ. Trong luận
văn này ta xét bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với phương trình
parabolic không ôtônôm với thế vị kiểu Hardy có dạng:















u
t
− ∆u −
µ
|x|
2
u + f(u) = g(x, t), x ∈ Ω, t > τ,
u|
∂Ω
= 0, t > τ,
u (x, τ) = u

τ
(x) , x ∈ Ω,
(2.1)
14
15
trong đó u
τ
∈ L
2
(Ω) cho trước, 0 < µ ≤ µ
∗
là tham số, µ
∗
=

N−2
2

2
là
hằng số tốt nhất trong bất đẳng thức Hardy
µ
∗

Ω
|u|
2
|x|
2
dx ≤


Ω
|∇u|
2
dx, ∀u ∈ C
∞
0
(Ω), (2.2)
số hạng phi tuyến f và ngoại lực g thoả mãn các điều kiện sau:
(F ) Hàm f ∈ C
1
(R) và thoả mãn
C
1
|u|
p
− k
1
≤ f(u)u ≤ C
2
|u|
p
+ k
2
, p ≥ 2,
f

(u) ≥ −, ∀u ∈ R;
(G) g ∈ W
1,2

loc
(R; L
2
(Ω)) được thoả mãn
0

−∞
e
λ
1,µ
s

|g(s)|
2
2
+ |g

(s)|
2
2

ds < ∞,
0

−∞
s

−∞
e
λ

1,µ
s
|g(r)|
2
2
drds < ∞,
trong đó λ
1,µ
là giá trị riêng đầu tiên của toán tử A
µ
= −∆ −
µ
|x|
2
trong
Ω với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất.
Ta ký hiệu
X = L
2
(τ, T ; H
µ
(Ω)) ∩ L
p
(τ, T ; L
p
(Ω)),
X
∗
= L
2

(τ, T ; H
−1
µ
(Ω)) ∩ L
p

(τ, T ; L
p

(Ω)),
ở đó p

là liên hợp p và µ ∈ [0, µ
∗
].
2.1.2. Định nghĩa nghiệm yếu
Định nghĩa 2.1.1. Một hàm u(x, t) được gọi là nghiệm yếu của bài toán
(2.1) trên khoảng (τ, T) nếu u ∈ X,
∂u
∂t
∈ X
∗
, u|
t=τ
= u
τ
hầu khắp x ∈ Ω
16
và
T


τ

Ω

∂u
∂t
ϕ + ∇u∇ϕ −
µ
|x|
2
uϕ + f(u)ϕ

dxdt =
T

τ

Ω
g(t)ϕdxdt
với mọi hàm thử ϕ ∈ X.
Trước tiên, ta chứng minh bổ đề sau.
Bổ đề 2.1. Nếu u ∈ X và
∂u
∂t
∈ X
∗
thì u ∈ C([τ, T]; L
2
(Ω)).

Chứng minh. Chúng ta chọn một dãy {u
n
} ⊂ C
1
([τ, T ]; H
µ
∩ L
p
(Ω)) sao
cho:





u
n
→ u thuộc X,
∂u
n
∂t
→
∂u
∂t
trong X
∗
.
Khi đó với mỗi t, t
0
∈ [τ, T ] ta có

|u
n
(t) − u
m
(t)|
2
2
=|u
n
(t
0
) − u
m
(t
0
)|
2
2
+ 2
t

t
0
< u

n
(s) − u

m
(s), u

n
(s) − u
m
(s) > ds.
Ta có thể chọn t
0
sao cho:
|u
n
(t
0
) − u
m
(t
0
)|
2
2
=
1
T − τ
T

τ
|u
n
(t) − u
m
(t)|
2

2
dt.
Từ đó suy ra

Ω
|u
n
(t) − u
m
(t)|
2
2
dx =
1
T − τ

Ω
T

τ
|u
n
(t) − u
m
(t)|
2
2
dtdx
+ 2


Ω
t

t
0
< u

n
(s) − u

m
(s), u
n
(s) − u
m
(s) > dsdx
≤
1
T − τ

Ω
T

τ
|u
n
(t) − u
m
(t)|
2

2
dtdx + 2u

n
− u

m

X
∗
.u
n
− u
m

µ
.
17
Do đó {u
n
} là dãy Cauchy trong C([τ, T ]; L
2
(Ω)). Từ đó suy ra dãy {u
n
}
hội tụ trong C([τ, T ]; L
2
(Ω)) tới hàm v ∈ C([τ, T]; L
2
(Ω)). Từ u

n
(t) →
u(t) ∈ L
2
(Ω) hầu khắp nơi t ∈ [τ, T ], ta thu được u = v hầu khắp nơi
t ∈ [τ, T ]. Cuối cùng sau khi sửa lại trên một tập có độ đo không (nếu
cần) ta thu được u ∈ C([τ, T]; L
2
(Ω)).
2.2. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu
Định lý 2.2.1. Giả sử các điều kiện (F) − (G) được thoả mãn. Khi đó
với mỗi τ, T ∈ R và u
τ
∈ L
2
(Ω) cho trước, bài toán (2.1) có duy nhất
nghiệm yếu u trên (τ, T ). Hơn nữa u thoả mãn bất đẳng thức
|u(t)|
2
2
≤ e
−λ
1,µ
(t−τ)
|u
τ
|
2
2
+

2k
1
λ
1,µ
|Ω| +
e
−λ
1,µ
t
λ
1,µ
t

−∞
e
−λ
1,µ
s
|g(s)|
2
2
ds. (2.3)
Từ đó suy ra u có thể thác triển trên [0, +∞).
Chứng minh. Ta tìm nghiệm xấp xỉ u
n
(t) dưới dạng
u
n
(t) =
n


k=1
u
nk
(t)e
k
,
ở đó {e
j
}
j∈N
là các vectơ riêng của toán tử A = −∆ −
µ
|x|
2
, u
n
là nghiệm
của bài toán:





<
du
n
dt
, e
k

> + < Au
n
, e
k
> + < f(u
n
), e
k
>=< g, e
k
>,
< u
n
(τ), e
k
>=< u
τ
, e
k
>, k = 1, 2, , n.
Sử dụng định lý Peano, ta có sự tồn tại địa phương của u
n
. Tiếp theo
ta thiết lập một vài đánh giá tiên nghiệm đối với u
n
. Ta có
1
2
d
dt

|u
n
|
2
2
+ u
n

2
µ
+

Ω
f(u
n
)u
n
dx =

Ω
g(t)u
n
dx.
18
Từ giả thiết (F ), bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức u
2
µ
≥ λ
1,µ
|u|

2
2
ta thu được
1
2
d
dt
|u
n
|
2
2
+ u
n

2
µ
+ C
1
|u
n
|
p
p
− k
1
|Ω| ≤
1
2λ
1,µ

|g(t)|
2
2
+
λ
1,µ
2
|u|
2
2
≤
1
2λ
1,µ
|g(t)|
2
2
+
1
2
u
n

2
µ
,
hay là
d
dt
|u

n
|
2
2
+ u
n

2
µ
+ 2C
1
|u
n
|
p
p
≤
1
λ
1,µ
|g(t)|
2
2
+ 2k
1
|Ω|. (2.4)
Từ đó bằng cách lấy tích phân (2.4) trên [τ, t] với 0 < t ≤ T ta được
|u
n
(t)|

2
2
+
t

τ
u
n

2
µ
ds+2C
1
t

τ
|u
n
|
p
p
ds
≤ |u
τ
|
2
2
+
1
λ

1,µ
t

τ
|g(s)|
2
2
ds + 2k
1
|Ω|(t − τ ).
Từ đó suy ra
{u
n
} là bị chặn trong L
∞
(τ, T ; L
2
(Ω)), (2.5)
{u
n
} bị chặn trong L
2
(τ, T ; H
1
µ
(Ω)), (2.6)
{u
n
} là bị chặn trong L
p

(τ, T ; L
p
(Ω)). (2.7)
Mặt khác, từ (F ) ta thu được
T

τ
f(u
n
)
p

L
p

(Ω)
dt ≤
T

τ

Ω
C(1 + |u
n
|
p−1
)
p

dxdt

≤
T

τ

Ω
C(1 + |u
n
|
p
)dxdt,
trong đó C là hằng số dương. Do đó {f(u
n
)} bị chặn trong L
p

(τ, T ; L
p

(Ω)).
Kết hợp điều trên với (2.5), (2.6) và (2.7) ta suy ra:
{u
n
} hội tụ yếu tới u trong L
∞
(τ, T ; L
2
(Ω)), (2.8)
19
{f(u

n
)} hội tụ yếu tới η trong L
p

(τ, T ; L
p

(Ω)), (2.9)
{Au
n
} hội tụ yếu tới Au trong L
2
(τ, T ; H
−1
µ
(Ω)). (2.10)
Ta viết lại phương trình đầu trong (2.1) là
du
n
dt
= −Au
n
− P
n
f(u
n
) + P
n
g, (2.11)
ta thấy rằng dãy {

du
n
dt
} bị chặn trong X
∗
, do đó nó bị chặn trong
L
p

(τ, T ; H
−1
µ
(Ω) + L
p

(Ω)).
Ta chú ý rằng
H
1
µ
(Ω) →→ L
2
(Ω) → H
−1
µ
(Ω) + L
p

(Ω)
là bộ ba tiến hoá. Khi đó áp dụng Bổ đề tính Compact trong [10] ta giả

sử rằng dãy {u
n
} hội tụ mạnh tới u trong L
2
(τ, T ; L
2
(Ω)) và do đó {u
n
}
hội tụ tới u hầu khắp nơi (x, t) ∈ Ω× [τ, T]. Khi đó theo 2.9 và Bổ đề 1.3
trong [13] rằng dãy {f(u
n
)} hội tụ yếu tới f(u) trong L
p

(τ, T ; L
p

(Ω)).
Kết hợp điều này với (2.11) suy ra
u

= −Au − f (u) + g trong X
∗
. (2.12)
Theo Bổ đề 2.1 ta có u ∈ C([τ, T]; L
2
(Ω)). Để chứng minh rằng u là
nghiệm yếu của bài toán (2.1)ta còn phải chứng minh u(τ) = u
τ

.
Thực vậy, chọn một hàm thử ϕ ∈ C
1
([τ, T ]; H
1
µ
(Ω)∩L
p
(Ω)) với ϕ(T ) = 0
và nhận xét rằng ϕ ∈ L
p
(τ, T ; L
p
(Ω)) ∩ L
2
(τ, T ; H
1
µ
(Ω)), bằng cách lấy
tích phân từng phần ta thu được
−
T

τ
(u, ϕ

)dt +
T

τ


Ω

uϕ −
µ
|x|
2
uϕ

dxdt+
T

τ

Ω
(f(u) − g)ϕdxdt
= (u(τ ), ϕ(τ)).
20
Mặt khác, làm như vậy đối với dãy xấp xỉ Galerkin dẫn tới
−
T

τ
(u
n
, ϕ

)dt +
T


τ

Ω

u
n
ϕ −
µ
|x|
2
u
n
ϕ

dxdt+
T

τ

Ω
(f(u
n
) − g)ϕdxdt
= (u
n
(τ), ϕ(τ )).
Vì u
n
(τ) → u
τ

khi n → ∞, lấy giới hạn đẳng thức trên ta thu được
−
T

τ
(u, ϕ

)dt +
T

τ

Ω

uϕ −
µ
|x|
2
uϕ

dxdt+
T

τ

Ω
(f(u) − g)ϕdxdt
= (u
τ
, ϕ(τ)).

Kết hợp các điều trên ta thu được rằng (u(τ ), ϕ(τ )) = (u
τ
, ϕ(τ)), với
mọi ϕ. Từ đó suy ra u(τ ) = u
τ
.
Tiếp theo, ta chứng minh tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của
nghiệm vào điều kiện ban đầu của bài toán (2.1). Cho u
1
, u
2
là hai nghiệm
của bài toán (2.1) với điều kiện ban đầu tương ứng là u
1
(τ), u
2
(τ). Khi
đó ta có
∂u
1
∂t
− ∆u
1
−
µ
|x|
2
u
1
+ f(u

1
) = g(t)
và
∂u
2
∂t
− ∆u
2
−
µ
|x|
2
u
2
+ f(u
2
) = g(t).
Từ đó suy ra
d
dt
(u
1
− u
2
) − ∆(u
1
− u
2
) −
µ

|x|
2
(u
1
− u
2
) + (f(u
1
) − f(u
2
)) = 0.