Vectơ riêng dương của toán tử lõm chính quy đều
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (361.55 KB, 80 trang )
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Phụ Hy người
thầy đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn
chỉnh đề tài.
Tôi xin chân thành cảm ơn các GS, TS giảng dạy chuyên ngành Toán
Giải tích Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các bạn học viên cao học
Toán Giải tích K13 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực
hiện đề tài.
Tôi xin chân thành cảm ơn Trường THPT Tự Lập đã tạo điều kiện
về thời gian cho tôi trong quá trình hoàn chỉnh và bảo vệ đề tài.
Hà Nội, ngày 15 tháng 5 năm 2011
Tác giả
Trần Ngọc Hiếu
2
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Nguyễn Phụ Hy.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, ngày 15 tháng 5 năm 2011
Tác giả
Trần Ngọc Hiếu
Mục lục
Mở đầu 6
1 Kiến thức chuẩn bị 8
1.1. Không gian định chuẩn thực . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2. Một số không gian định chuẩn thực . . . . . . . . 9
1.2. Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự . . . . . . . . . 19
1.2.1. Nón trong không gian Banach . . . . . . . . . . . 19
1.2.2. Quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach . . 29
1.2.3. Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự . . . . . 34
1.3. Không gian E
u
o
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.3.1. Các định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . 41
1.3.2. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2 Toán tử lõm chính quy đều 49
3
4
2.1. Toán tử u
o
− lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1.2. Một số tính chất đơn giản về toán tử u
o
− lõm . . 54
2.1.3. Ví dụ về toán tử u
o
− lõm . . . . . . . . . . . . . 57
2.2. Toán tử lõm chính quy đều . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.2.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.2.2. Một số tính chất đơn giản về toán tử lõm chính
quy đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2.3. Ví dụ về toán tử lõm chính quy đều . . . . . . . . 65
3 Sự tồn tại vectơ riêng dương của toán tử lõm chính quy
đều 68
3.1. Một số định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2. Một số định lý về sự tồn tại vectơ riêng dương . . . . . . 75
Kết luận 79
Tài liệu tham khảo 80
BẢNG KÍ HIỆU
R tập số thực (R = R
1
)
R
∗
tập số thực khác 0
R
∗
+
tập số thực dương khác 0
N
∗
tập số tự nhiên khác 0
θ phần tử không
K
∗
tập các phần tử khác không (θ) thuộc K
K (u
o
) tập các phần tử thuộc K
∗
thông ước với u
o
E
u
o
tập các phần tử thuộc E có tính chất u
o
− đo được
h.k.n hầu khắp nơi
kết thúc chứng minh
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán tử lõm là lớp toán tử quan trọng trong giải tích hàm phi tuyến.
Năm 1956 nhà toán học người Nga nổi tiếng M.A.Kraxnôxelxki đã nghiên
cứu lớp toán tử này. M.A.Kraxnôxelxki đã đưa ra các kết quả quan trọng
về vectơ riêng của toán tử lõm trong không gian Banach thực nửa sắp
thứ tự. Sau đó giáo sư tiến sĩ khoa học I.A.Bakhtin đã mở rộng các kết
quả đó cho lớp toán tử phi tuyến u
o
− lõm (1958) và u
o
− lõm đều trong
luận án tiến sĩ khoa học của mình (1959, 1963).
Các toán tử trên đều có chung tính chất u
o
− đo được. Điều kiện u
o
−
đo được trong định nghĩa toán tử lõm làm cho việc ứng dụng các kết
quả đã đạt được gặp khó khăn. Tồn tại những lớp toán tử không thỏa
mãn điều kiện u
o
− đo được, nhưng lại có những tính chất phổ dụng như
toán tử lõm. Một trong những lớp toán tử như thế gọi là toán tử lõm
chính quy. Ở nước ta vào những năm 1987 PGS.TS Nguyễn Phụ Hy đã
đưa ra và đạt được một số kết quả bước đầu cho lớp toán tử này, trong
đó không yêu cầu toán tử có tính chất u
o
− đo được.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, nhờ sự giúp đỡ, hướng
dẫn tận tình của PGS.TS Nguyễn Phụ Hy tôi đã mạnh dạn nghiên cứu
đề tài:
“Vectơ riêng dương của toán tử lõm chính quy đều”.
7
2. Mục đích nghiên cứu
Dựa trên những kết quả đã đạt được về toán tử lõm chính quy, luận
văn nghiên cứu một cách có hệ thống về vectơ riêng dương của lớp toán
tử lõm chính quy đều.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
a) Nghiên cứu, hệ thống hóa các tính chất về vectơ riêng dương của
toán tử lõm chính quy.
b) Trên cơ sở các kết quả ở mục 3.a), nghiên cứu một số tính chất về
vectơ riêng dương và sự tồn tại vectơ riêng dương của lớp toán tử lõm
chính quy đều.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Toán tử lõm chính quy đều, vectơ riêng dương của toán tử lõm chính
quy đều.
- Sự tồn tại vectơ riêng dương của toán tử lõm chính quy đều.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc tài liệu, nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo.
- Phân tích, tổng hợp kiến thức.
6. Những đóng góp mới của đề tài
Trình bày một cách có hệ thống các tính chất về vectơ riêng dương
và sự tồn tại vectơ riêng dương của lớp toán tử phi tuyến lõm chính quy
và mở rộng các kết quả đó cho lớp toán tử phi tuyến lõm chính quy đều.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian định chuẩn thực
1.1.1. Các định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1. Cho không gian tuyến tính thực E. Một chuẩn trên
E là một ánh xạ từ E vào R , kí hiệu là . (đọc là chuẩn), thỏa mãn
các tiên đề sau:
(C1) ∀x ∈ E, x 0, x = 0 ⇔ x = θ (kí hiệu phần tử không);
(C2) ∀x ∈ E, ∀α ∈ R, α.x = |α|. x;
(C3) ∀x, y ∈ E, x + y ≤ x + y.
Không gian tuyến tính thực E cùng với một chuẩn trên nó được gọi
là một không gian định chuẩn thực, kí hiệu (E, . ) hay đơn giản là E.
Số x được gọi là chuẩn của x.
Định nghĩa 1.1.2. Cho không gian định chuẩn E. Dãy điểm (x
n
)
∞
n=1
⊂
E gọi là hội tụ tới x ∈ E, nếu lim
n→∞
x
n
− x = 0. Kí hiệu: lim
n→∞
x
n
= x
hay x
n
→ x (n → ∞).
8
9
Dựa vào định nghĩa trên dễ dàng chứng minh một số tính chất đơn
giản sau đây:
Mệnh đề 1.1.1.
(1) Nếu (x
n
) hội tụ đến x thì dãy chuẩn (x
n
) hội tụ tới x, nói
cách khác, chuẩn . là một hàm giá trị thực liên tục theo biến x.
(2) Nếu dãy điểm (x
n
) hội tụ trong không gian định chuẩn E thì dãy
chuẩn tương ứng (x
n
) bị chặn.
(3) Nếu dãy điểm (x
n
) hội tụ tới x, dãy điểm (y
n
) hội tụ tới y trong
không gian định chuẩn E, dãy số (α
n
) hội tụ tới số α thì
x
n
+ y
n
−→ x + y (n → ∞),
α
n
.x
n
−→ α.x (n → ∞).
Định nghĩa 1.1.3. Cho không gian định chuẩn E. Dãy điểm (x
n
)
∞
n=1
⊂
E được gọi là dãy cơ bản trong không gian E, nếu
lim
n, m →∞
x
n
− x
m
= 0,
hay (∀ε > 0) (∃n
o
∈ N
∗
) sao cho (∀n, m n
o
) ta có x
n
− x
m
< ε.
Định nghĩa 1.1.4. Không gian định chuẩn E được gọi là không gian
Banach nếu mọi dãy cơ bản trong không gian E đều hội tụ.
1.1.2. Một số không gian định chuẩn thực
1.1.2.1. Không gian m
Kí hiệu m là không gian tất cả dãy số thực bị chặn
m = {x = (x
1
, x
2
, ); x
n
∈ R, |x
n
| D
x
, ∀ n ∈ N
∗
, D
x
> 0},
với x = (x
1
, x
2
, ), y = (y
1
, y
2
, ) ∈ m thì x = y ⇔ x
n
= y
n
, ∀n ∈ N
∗
.
10
m là không gian vectơ thực đối với phép toán cộng hai dãy số và phép
nhân một số thực với một dãy số như thông thường:
x + y = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, ),
α.x = (α.x
1
, α.x
2
, ),
∀x = (x
n
) ∈ m, ∀y = (y
n
) ∈ m, ∀α ∈ R.
1) m là không gian định chuẩn với chuẩn của phần tử x = (x
n
) ∈ m cho
bởi
x = sup
1≤n<∞
|x
n
|. (1.1)
Thật vậy, vì dãy (x
n
) bị chặn trên nên tồn tại x = sup
1≤n<∞
|x
n
|.
Ta đi kiểm tra (1.1) thỏa mãn 3 tiên đề về chuẩn.
(C1) ∀x ∈ m ta đều có |x
n
| 0 nên x = sup
1≤n<∞
|x
n
| ≥ 0;
hơn nữa x = 0 ⇔ |x
n
| = 0, ∀n ∈ N
∗
⇔ x = θ,
trong đó θ = (0, 0, ) là phần tử không trong m.
(C2) ∀x ∈ m, ∀α ∈ R ta có
α.x = sup
1n<∞
{|α.x
n
|} = sup
1n<∞
{|α|. |x
n
|} = |α|. sup
1n<∞
{|x
n
|}
= |α|. x.
(C3) ∀x, y ∈ m ta có
x + y = sup
1n<∞
{|x
n
+ y
n
|} sup
1n<∞
{|x
n
| + |y
n
|}
sup
1n<∞
{|x
n
|} + sup
1n<∞
{|y
n
|}
= x + y.
Vậy m là một không gian định chuẩn.
2) Sự hội tụ trong không gian m tương đương với sự hội tụ đều của dãy
số thực.
11
Thậtvậy, giả sử (x
(s)
)
∞
s=1
hội tụ tới x trong không gian m, kí hiệu
x
(s)
=
x
(s)
n
, x = (x
n
) ta có lim
s →∞
x
(s)
− x
= 0,
hay (∀ε > 0)(∃s
o
∈ N
∗
)(∀s s
o
) ta có
x
(s)
− x
< ε
⇒ sup
1n<∞
x
(s)
n
− x
n
< ε, ∀s s
o
⇒
x
(s)
n
− x
n
< ε, ∀s s
o
, ∀n ∈ N
∗
.
Chứng tỏ dãy
x
(s)
n
hội tụ đều tới x
n
khi s → ∞, ∀n ∈ N
∗
.
Ngược lại, giả sử có dãy
y
(s)
∈ m hội tụ đều tới y.
Ta có
y
(s)
∈ m ⇒
y
(s)
n
< D ⇒ |y
n
| < D hay y ∈ m.
Hơn nữa, theo sự hội tụ đều của dãy số ta có
(∀ε > 0) (∃s
o
∈ N
∗
) (∀s s
o
) ,
y
(s)
n
− y
n
< ε, ∀n ∈ N
∗
⇒ sup
1n<∞
y
(s)
n
− y
n
< ε, ∀s s
o
⇒
y
(s)
− y
< ε, ∀s s
o
.
Chứng tỏ y
(s)
hội tụ về y trong không gian m.
3) m là không gian Banach.
Thật vậy, giả sử {x
(s)
}
∞
s=1
= {x
(s)
1
, x
(s)
2
, ···}
∞
s=1
là một dãy cơ bản tùy
ý trong không gian m. Theo định nghĩa dãy cơ bản:
(∀ε > 0) (∃s
o
∈ N
∗
) (∀s, p s
o
),
x
(s)
− x
(p)
< ε,
hay
sup
1n<∞
x
(s)
n
− x
(p)
n
< ε.
Từ đây suy ra
x
(s)
n
− x
(p)
n
< ε, ∀s, p s
o
; ∀n ∈ N
∗
. (1.2)
Hệ thức (1.2) chứng tỏ với mỗi n = 1, 2, ··· cố định tùy ý, dãy {x
(s)
n
} là
dãy số thực cơ bản nên phải tồn tại giới hạn
12
lim
s →∞
x
(s)
n
= x
n
, (n = 1, 2, ).
Do (1.2) không phụ thuộc vào n nên cho p → ∞ trong (1.2) ta có
x
(s)
n
− x
n
ε, ∀s s
o
; ∀n ∈ N
∗
. (1.3)
Từ (1.3) (khi s = s
o
, ε = 1) ta có
x
(s
o
)
n
− x
n
< 1
⇒ |x
n
| −
x
(s
o
)
n
<
x
n
− x
(s
o
)
n
=
x
(s
o
)
n
− x
n
< 1
⇒ |x
n
| <
x
(s
o
)
n
+ 1 <
x
(s
o
)
+ 1 , ∀n ∈ N
∗
.
Từ đó x ∈ m và x = sup
1n<∞
|x
n
|
x
(s
o
)
+ 1 < ∞.
Hơn nữa từ (1.3) ta có
x
(s)
− x
= sup
1n<∞
x
(s)
n
− x
n
ε, ∀s s
o
,
nghĩa là x
(s)
→ x trong không gian m khi s → ∞.
Vậy m là không gian Banach.
1.1.2.2. Không gian C
[a;b]
Xét không gian tuyến tính thực
C
[a,b]
= {x = x(t) : x(t) là hàm số liên tục trên [a; b] }
với hai phép toán thông thường:
(x + y)(t) = x(t) + y(t), t ∈ [a; b],
(α.x)(t) = α.x(t), t ∈ [a, b],
trong đó α ∈ R; x = x(t), y = y(t) ∈ C
[a;b]
.
1) C
[a;b]
là một không gian định chuẩn với chuẩn của phần tử x = x(t)
cho bởi
x = max
atb
|x(t)|. (1.4)
13
Thật vậy, vì x(t) là hàm số liên tục trên [a; b] nên hàm số |x(t)| cũng
liên tục trên [a; b]. Do đó |x(t)| đạt giá trị lớn nhất trên [a; b].
Vì thế vế phải của (1.4) xác định. Ta đi kiểm tra 3 tiên đề về chuẩn đối
với (1.4).
(C1) ∀x = x(t) ∈ C
[a,b]
ta đều có x = max
atb
|x(t)| 0
(vì |x(t)| 0, ∀t ∈ [a; b] ⇒ max
atb
|x(t)| 0),
hơn nữa x = 0 ⇔ max
atb
|x(t)| = 0 ⇔ x(t) = 0, ∀t ∈ [a; b] ⇔ x = θ
(trong đó θ là phần tử không trong C
[a;b]
).
(C2) ∀x = x(t) ∈ C
[a,b]
, ∀α ∈ R ta có
α.x = max
atb
|α.x(t)| = |α|. max
atb
|x(t)| = |α|. x.
(C3) ∀x = x(t), y = y(t) ∈ C
[a;b]
ta có
x + y = max
atb
|x(t) + y(t)|
max
atb
(|x(t)| + |y(t)|)
max
atb
|x(t)| + max
atb
|y(t)|
= x + y.
Vậy C
[a;b]
là một không gian định chuẩn.
2) Sự hội tụ trong không gian C
[a;b]
đối với chuẩn (1.4) tương đương với
sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên [a; b].
Thật vậy, giả sử dãy hàm (x
n
)
∞
n=1
⊂ C
[a;b]
hội tụ tới hàm x trong
không gian C
[a;b]
.
Theo định nghĩa, ta có lim
n→∞
x
n
− x = 0,
hay (∀ε > 0) (∃n
o
∈ N
∗
) (∀n n
o
) , x
n
− x < ε
14
⇒ max
atb
|x
n
(t) − x(t)| < ε.
Từ đó suy ra
|x
n
(t) − x(t)| < ε, ∀n n
o
, ∀t ∈ [a; b]. (1.5)
Các bất đẳng thức (1.5) chứng tỏ dãy hàm (x
n
(t)) hội tụ đều tới hàm
số x(t) trên [a; b].
Ngược lại, giả sử dãy hàm số (x
n
(t)) ∈ C
[a;b]
hội tụ đều tới hàm số
x(t) trên [a; b]. Khi đó x(t) liên tục trên [a; b] ⇒ x(t) ∈ C
[a;b]
.
Theo định nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm,
(∀ε > 0) (∃n
o
∈ N
∗
) (∀t ∈ [a; b]) (∀n n
o
) , |x
n
(t) − x (t)| < ε
⇒ max
atb
|x
n
(t) − x(t)| < ε (∀n n
o
),
hay
x
n
(t) − x(t) < ε (∀n n
o
) .
Do đó dãy hàm số (x
n
(t)) hội tụ tới hàm số x(t) trong không gian C
[a;b]
.
3) C
[a;b]
là một không gian Banach đối với chuẩn (1.4).
Thật vậy, giả sử (x
n
) = (x
n
(t)) là một dãy cơ bản tùy ý trong không
gian C
[a;b]
. Theo định nghĩa dãy cơ bản:
(∀ε > 0) (∃n
o
∈ N
∗
) (∀n, m n
o
) , x
n
− x
m
<
ε
2
,
hay
max
atb
|x
n
(t) − x
m
(t)| <
ε
2
.
Từ đây suy ra
|x
n
(t) − x
m
(t)| <
ε
2
(∀n, m n
o
) (∀t ∈ [a; b]) . (1.6)
15
Điều này chứng tỏ với mỗi t ∈ [a; b] cố định tùy ý, dãy (x
n
(t))
∞
n=1
là dãy
số thực cơ bản, nên phải tồn tại giới hạn lim
n→∞
x
n
(t) = x(t), t ∈ [a; b].
Ta nhận được hàm x(t) xác định trên [a; b].
Vì bất đẳng thức (1.6) không phụ thuộc t ∈ [a; b] nên cho qua giới
hạn trong các bất đẳng thức đó khi m → ∞ ta nhận được
|x
n
(t) − x(t)|
ε
2
< ε, ∀n n
o
, ∀t ∈ [a; b].
Do đó dãy hàm số (x
n
(t))
∞
n=1
hội tụ đều tới hàm số x(t) trên [a; b].
Nhưng sự hội tụ trong không gian C
[a;b]
tương đương với sự hội tụ
đều của dãy hàm liên tục trên [a; b]. Do vậy, dãy cơ bản (x
n
)
∞
n=1
⊂ C
[a;b]
hội tụ tới hàm số x ∈ C
[a;b]
trong không gian C
[a;b]
.
Vậy C
[a;b]
là không gian Banach.
1.1.2.3. Không gian L
[a;b]
Xét không gian tuyến tính thực
L
[a;b]
=
x = x(t) :
b
a
|x(t)|dt < +∞
với hai phép toán thông thường:
(x + y)(t) = x(t) + y(t), t ∈ [a; b],
(α.x)(t) = α.x(t), t ∈ [a; b],
trong đó α ∈ R ; x, y ∈ L
[a;b]
.
1) L
[a;b]
là một không gian định chuẩn với chuẩn của phần tử x = x(t)
cho bởi
x = (L)
b
a
|x(t)|dt. (1.7)
16
Thật vậy, vì hàm |x(t)| khả tích trên [a; b] nên vế phải của (1.7) xác
định. Ta đi kiểm tra 3 tiên đề về chuẩn đối với (1.7).
(C1) ∀x ∈ L
[a,b]
ta có |x(t)| 0, ∀t ∈ [a; b]
⇒ x =
b
a
|x(t)|dt 0.
Hơn nữa
x = 0 ⇔
b
a
|x(t)|dt = 0
⇔ x(t) = 0 h.k.n trên [a; b]
⇔ x = θ h.k.n trên [a; b],
trong đó θ là phần tử không trong L
[a;b]
.
(C2) ∀x = x(t) ∈ L
[a,b]
, ∀α ∈ R ta có
α.x =
b
a
|α.x(t)|dt = |α|.
b
a
|x(t)|dt = |α|. x.
(C3) ∀x = x(t), y = y(t) ∈ L
[a;b]
ta có
x + y =
b
a
|x(t) + y(t)|dt
b
a
[|x(t)| + |y(t)|] dt
=
b
a
|x(t)|dt +
b
a
|y(t)|dt
= x + y.
Vậy L
[a;b]
là một không gian định chuẩn.
2) L
[a;b]
là một không gian Banach đối với chuẩn (1.7).
Thật vậy, giả sử (x
n
(t))
∞
n=1
là một dãy cơ bản bất kì trong L
[a;b]
.
17
Theo định nghĩa dãy cơ bản:
Với ∀ε > 0, ∃ n
o
∈ N
∗
sao cho ∀n, m n
o
ta có x
n
− x
m
< ε.
Khi đó:
Với ε =
1
2
(⇒ ∃ n
1
∈ N
∗
: ∀m, n n
1
) x
n
− x
m
<
1
2
⇒ x
n
− x
n
1
<
1
2
,
Với ε =
1
2
2
(⇒ ∃ n
2
∈ N
∗
: n
2
> n
1
, ∀n n
2
) x
n
− x
n
2
<
1
2
2
⇒ x
n
2
− x
n
1
<
1
2
,
Với ε =
1
2
3
(⇒ ∃ n
3
∈ N
∗
: n
3
> n
2
, ∀n n
3
) x
n
− x
n
3
<
1
2
3
⇒ x
n
3
− x
n
2
<
1
2
2
,
Quá trình trên tiếp tục mãi mãi. Do đó ∃ (x
n
k
) ⊂ (x
n
) sao cho
x
n
k+1
− x
n
k
<
1
2
k
, k = 1, 2,
Xét dãy hàm số: y
s
(t) = |x
n
1
(t)| +
s
k=1
x
n
k+1
(t) − x
n
k
(t)
, s = 2, 3,
Ta có: y
s
(t) ∈ L
[a;b]
, y
s
(t) 0, t ∈ [a; b] , s = 2, 3, và dãy (y
s
(t))
∞
s=1
không giảm. Do đó tồn tại lim
s→∞
y
s
(t), ∀t ∈ [a; b]
⇒ ∃ lim
s→∞
b
a
y
s
(t)dt.
Theo bổ đề Fatou
b
a
lim
s→∞
y
s
(t)dt lim
s→∞
b
a
y
s
(t)dt = lim
s→∞
y
s
.
Mặt khác: y
s
x
n
1
+
s
k=1
x
n
k+1
− x
n
k
x
n
1
+
s
k=1
1
2
k
< x
n
1
+1
⇒ lim
s→∞
y
s
< +∞ ⇒
b
a
lim
s→∞
y
s
(t)dt < +∞
18
⇒ lim
s→∞
y
s
(t) hữu hạn h.k.n trên [a; b].
Vì vậy, chuỗi
x
n
1
(t) +
∞
k=1
x
n
k+1
(t) − x
n
k
(t)
hội tụ tuyệt đối h.k.n trên [a; b]. Từ đó suy ra dãy hàm
x
n
s+1
= x
n
1
(t) +
s
k=1
x
n
k+1
(t) − x
n
k
(t)
hội tụ h.k.n tới hàm y(t), tức là y(t) = lim
s→∞
x
n
s+1
(t).
Hiển nhiên
x
n
s+1
(t)
lim
s→∞
y
s
(t) h.k.n trên [a; b].
Theo định lí hội tụ chặn, ta có
b
a
|y(t)|dt =
b
a
lim
s→∞
x
n
s+1
(t)
dt
b
a
lim
s→∞
y
s
(t)
dt < +∞
⇒ y(t) ∈ L
[a;b]
.
Áp dụng bổ đề Fatou, ta có
y − x
n
k
=
b
a
lim
s→∞
x
n
s+1
(t) − x
n
k
(t)
dt lim
s→∞
b
a
x
n
s+1
(t) − x
n
k
(t)
dt
= lim
s→∞
b
a
s
j=k
x
n
j+1
− x
n
j
dt = lim
s→∞
s
j=k
x
n
j+1
− x
n
j
lim
s→∞
s
j=k
x
n
j+1
− x
n
j
lim
s→∞
s
j=k
1
2
j
=
1
2
k
.
Cho k → ∞, ta được lim
k→∞
y − x
n
k
= 0.
Ta lại có y − x
n
y − x
n
k
+ x
n
k
− x
n
⇒ lim
n→∞
y − x
n
= 0,
hay x
n
(t) hội tụ h.k.n trên [a; b] tới y(t) ∈ L
[a;b]
.
Vậy L
[a;b]
là một không gian Banach.
19
1.2. Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự
1.2.1. Nón trong không gian Banach
1.2.1.1. Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 1.2.1. Cho không gian Banach thực E, tập K ⊂ E, K = ∅.
Tập K được gọi là nón trong không gian E, nếu K thỏa mãn các điều
kiện sau:
(N1) K là tập đóng trong không gian E;
(N2) (∀x, y ∈ K) x + y ∈ K;
(N3) (∀x ∈ K) (∀t ∈ R, t 0) t.x ∈ K;
(N4) (∀x ∈ K, x = θ) −x /∈ K.
Như vậy, theo định nghĩa thì nón K là một tập lồi trong E.
Định lý 1.2.1. Trong không gian Banach thực E, cho F ⊂ E, F = ∅ là
tập lồi, đóng, bị chặn và không chứa phần tử không (θ). Khi đó tập
K(F ) = {x ∈ E : x = t.z, t ∈ R, t 0, z ∈ F }
là một nón trong không gian E.
Chứng minh.
Ta có: K(F ) ⊂ E, K(F ) = ∅ (vì F = ∅, F ⊂ K(F ) ).
Ta sẽ chứng minh K(F ) thỏa mãn 4 tiên đề về nón.
(N1) Chứng minh K(F ) là tập đóng trong E.
* Trước hết ta chứng minh: ∃ m, M > 0 sao cho ∀z ∈ F ta có
m z M. (1.8)
20
Thật vậy, nếu inf
z∈F
z = 0 thì tồn tại một dãy (z
n
)
∞
n=1
trong F sao cho
lim
n→∞
z
n
= 0 hay lim
n→∞
z
n
= θ trong E.
Do F đóng nên θ ∈ F , trái với giả thiết θ /∈ F . Do vậy
z inf
z∈F
z = m > 0, ∀z ∈ F.
Mặt khác F bị chặn ⇒ ∃ M > 0 sao cho z M, ∀z ∈ F .
Vậy (∃ m, M > 0) (∀z ∈ F ) , m z M.
* Tiếp theo ta chứng tỏ K(F ) là một tập đóng.
Lấy một dãy bất kì (u
n
)
∞
n=1
⊂ K(F ) sao cho lim
n→∞
u
n
= u trong E.
• Hiển nhiên nếu u = θ ⇒ u ∈ K(F ).
• Nếu u = θ ⇒ u > 0. Ta sẽ chỉ ra u ∈ K(F ).
Thật vậy, do lim
n→∞
u
n
= u nên với
ε =
1
2
u > 0
, (∃ n
o
∈ N
∗
) sao cho
với ∀n n
o
, ta có
u
n
− u <
1
2
u ⇒ |u
n
− u| u
n
− u <
1
2
u
nên
1
2
u < u
n
<
3
2
u, ∀n n
o
. (1.9)
Mặt khác, do u
n
∈ K(F ) nên u
n
= t
n
.z
n
, t
n
0; z
n
∈ F (n = 1, 2, ).
Theo (1.9) ta có
1
2
u < t
n
.z
n
= |t
n
|. z
n
<
3
2
u
⇒
1
2 z
n
u < |t
n
| <
3
2 z
n
u.
Từ (1.8) ta có m z
n
M, ∀z
n
∈ F
⇒
1
2M
u < |t
n
| <
3
2m
u, ∀n n
o
.
Do đó tồn tại một dãy con (t
n
i
)
∞
i=1
⊂ (t
n
)
∞
n=1
sao cho lim
i→∞
t
n
i
= t
o
⇒
1
2M
u t
o
3
2m
u ⇒ t
o
> 0.
21
Xét dãy con (u
n
i
)
∞
i=1
⊂ (u
n
)
∞
n=1
với u
n
i
= t
n
i
.z
n
i
, ta có
z
n
i
−
1
t
o
u
=
z
n
i
−
t
n
i
t
o
z
n
i
+
t
n
i
t
o
z
n
i
−
1
t
o
u
z
n
i
1 −
t
n
i
t
o
+
1
t
o
u
n
i
−
1
t
o
u
=
1
t
o
. |t
n
i
− t
o
|. z
n
i
+
1
t
o
. u
n
i
− u
M
t
o
. |t
n
i
− t
o
| +
1
t
o
. u
n
i
− u → 0 (i → ∞).
Do đó lim
i→∞
z
n
i
−
1
t
o
u
= 0 hay lim
i→∞
z
n
i
=
1
t
o
u.
Do F đóng nên
1
t
o
.u ∈ F ⇒ u = t
o
(
1
t
o
.u) ∈ K(F ).
Vì vậy K(F ) là tập đóng.
(N2) ∀x, y ∈ K(F ) ta chứng minh x + y ∈ K(F ).
Thật vậy: ∀x, y ∈ K(F )
⇒
x = t
1
.z
1
, t
1
0, z
1
∈ F
y = t
2
.z
2
, t
2
0, z
2
∈ F
⇒ x + y = t
1
.z
1
+ t
2
.z
2
.
• Nếu t
1
+ t
2
= 0 ⇒ t
1
= t
2
= 0. Khi đó ta có:
x + y = 0.z
1
+ 0.z
2
∈ K(F );
• Nếu t
1
+ t
2
> 0 ta có:
x + y = (t
1
+ t
2
) .
t
1
t
1
+ t
2
.z
1
+
t
2
t
1
+ t
2
.z
2
.
Do F là tập lồi nên
t
1
t
1
+ t
2
.z
1
+
t
2
t
1
+ t
2
.z
2
∈ F ,
mà t
1
+ t
2
> 0 ⇒ x + y ∈ K(F ).
(N3) ∀x ∈ K(F ); ∀α ∈ R, α 0 ta chứng minh α.x ∈ K(F ).
Thật vậy: ∀x ∈ K(F ) ⇒ x = t.z; t 0, z ∈ F
⇒ α.x = α.tz = (α.t).z ∈ K(F ) (do α.t 0, z ∈ F ).
22
(N4) Ta chứng minh K(F ) thỏa mãn tiên đề 4 về nón bằng phương pháp
phản chứng.
Giả sử ∃ u
o
∈ K(F ) sao cho u
o
= θ và −u
o
∈ K(F ).
Khi đó:
u
o
= t
1
z
1
, trong đó t
1
0, z
1
∈ F , −u
o
= t
2
.z
2
với t
2
0, z
2
∈ F .
• Với t
1
+ t
2
= 0 hay t
1
= t
2
= 0 ta có: u
o
= −u
o
= θ.
Điều này vô lí vì u
o
= θ.
• Với t
1
+ t
2
> 0 ta có
θ = u
o
+ (−u
o
) = t
1
z
1
+ t
2
z
2
= (t
1
+ t
2
) .
t
1
t
1
+ t
2
.z
1
+
t
2
t
1
+ t
2
.z
2
∈ K(F ).
⇒
t
1
t
1
+ t
2
.z
1
+
t
2
t
1
+ t
2
.z
2
= θ ⇒ θ ∈ F.
Điều này trái với giả thiết F không chứa phần tử không.
Do đó K(F ) thỏa mãn tiên đề 4 về nón.
Vậy K(F ) là một nón trong không gian E.
1.2.1.2. Một số ví dụ
(1). Không gian m
a) Tập hợp K tất cả dãy số thực không âm
K = {x = ( x
1
, x
2
, ) ∈ m : x
n
0, ∀n ∈ N
∗
}
là một nón trong m.
Thật vậy: Rõ ràng K ⊂ m và K = ∅ (vì θ ∈ K).
Ta đi chứng minh K thỏa mãn 4 tiên đề về nón.
(N1) K là tập đóng trong không gian m.
23
Thật vậy, giả sử {x
(s)
}
∞
s=1
⊂ K là dãy hội tụ và lim
s→∞
x
(s)
= x.
Kí hiệu x
(s)
=
x
(s)
n
, x = (x
n
) ta có
lim
s→∞
x
(s)
n
= x
n
, ∀n = 1, 2,
⇒ x
(s)
n
hội tụ đều về x
n
.
Với mỗi n, vì x
(s)
n
0, với ∀s nên x
n
0, nên x ∈ K.
Vậy K là tập đóng.
(N2) ∀x, y ∈ K ta có
x = (x
1
, , x
n
, ) với x
n
0, ∀n ∈ N
∗
;
y = (y
1
, , y
n
, ) với y
n
0, ∀n ∈ N
∗
.
Do đó x + y = (x
1
+ y
1
, , x
n
+ y
n
, ) với x
n
+ y
n
0, ∀n ∈ N
∗
⇒ x + y ∈ K.
(N3) (∀x ∈ K) (∀α ∈ R, α 0) ta có
x = (x
1
, , x
n
, ) với x
n
0, ∀n ∈ N
∗
.
Do đó α.x = (αx
1
, , αx
n
, ) với α.x
n
0, ∀n ∈ N
∗
⇒ α.x ∈ K.
(N4) Giả sử x ∈ K, x = θ ta có
x = (x
1
, , x
n
, ) với x
n
0, ∀n ∈ N
∗
.
Vì x = θ nên ∃ n
o
∈ N
∗
sao cho x
n
o
> 0. Suy ra −x
n
o
< 0.
Do đó −x = ( −x
1
, , −x
n
o
, ) /∈ K.
Vậy K là một nón trong không gian m.
b) Nếu F = {x ∈ m : 1 x
n
2, ∀n ∈ N
∗
}
thì K(F ) = {x ∈ m : x = t.z, t ∈ R , t 0, z ∈ F } là một nón.
Thật vậy, ta có: F ⊂ m và F = ∅ (vì x = ( 1, 1, , 1, ) ∈ F ).
* F là tập lồi.
24
∀x, y ∈ F, ∀λ ∈ [0; 1] ta sẽ chứng minh λx + (1 −λ)y ∈ F .
Thật vậy: ∀x = ( x
1
, x
2
, ), y = ( y
1
, y
2
, ) ∈ F
⇒ 1 x
n
2; 1 y
n
2, ∀n ∈ N
∗
.
Ta có
λx = ( λx
1
, λx
2
, ); (1 − λ)y = ( (1 − λ)y
1
, (1 − λ)y
2
, ).
Rõ ràng
λ λx
n
2λ
1 − λ (1 −λ)y
n
2(1 − λ)
∀n ∈ N
∗
⇒ 1 λx
n
+ (1 − λ)y
n
2 , ∀n ∈ N
∗
⇒ λx + (1 −λ)y ∈ F.
Do đó F là tập lồi.
* F là tập đóng.
Lấy tùy ý trong F dãy x
(k)
=
x
(k)
n
, n ∈ N
∗
và lim
k→∞
x
(k)
= x, x = (x
n
).
Do x
(k)
∈ F ⇒ 1 x
(k)
n
2 , ∀n ∈ N
∗
, ∀k = 1, 2,
Vì sự hội tụ trong m tương đương với sự hội tụ đều của dãy số thực
nên ta có 1 x
n
2, ∀n ∈ N
∗
.
Từ đó suy ra x ∈ F .
Do đó F là tập đóng.
* F không chứa phần tử không, F là tập bị chặn.
Thật vậy: ∀x = ( x
1
, x
2
, ) ∈ F ⇒ 1 x
n
2 , ∀n ∈ N
∗
.
Do đó: θ /∈ F và 1 |x
n
| 2, ∀n ∈ N
∗
⇒ 1 sup
1n<∞
|x
n
| 2 hay 1 x 2, ∀x ∈ F .
Do đó F bị chặn.
Vậy K(F ) là một nón.
25
(2). Không gian C
[a;b]
a) Tập K = {x ∈ C
[a;b]
: x(t) 0, ∀t ∈ [a; b] } là một nón trong C
[a;b]
.
Thật vậy, ta có: K ⊂ C
[a;b]
và K = ∅ (vì θ ∈ K).
Ta đi chứng minh K thỏa mãn 4 tiên đề về nón.
(N1) K là tập đóng trong không gian C
[a;b]
.
Thật vậy, giả sử (x
n
)
∞
n=1
⊂ K hội tụ tới x trong không gian C
[a;b]
.
Với mỗi t ∈ [a; b] cố định ta có x
n
(t) 0, ∀n ∈ N
∗
.
Vì sự hội tụ trong C
[a;b]
là sự hội tụ đều của dãy hàm trên [a; b] nên
dãy hàm x
n
(t) cũng hội tụ về hàm x(t) trên [a; b] khi n → ∞.
Từ đó suy ra x(t) 0, ∀t ∈ [a; b] hay x = x(t) ∈ K.
Do đó K là tập đóng.
(N2) (∀x, y ∈ K) ta chứng minh x + y ∈ K.
Thật vậy, với x = x(t), y = y(t) ∈ K ta có
x(t) 0, y(t) 0, ∀t ∈ [a; b].
Từ đó suy ra x(t) + y(t) 0, ∀t ∈ [a; b]. Do đó x + y ∈ K.
(N3) (∀x ∈ K) (∀α ∈ R, α 0) ta chứng minh α.x ∈ K.
Thật vậy, với x = x(t) ∈ K ta có x(t) 0, ∀t ∈ [a; b]
⇒ α.x = α.x(t) 0, ∀α ∈ R, α 0; ∀t ∈ [a; b] .
Do đó α.x ∈ K.
(N4) (∀x ∈ K, x = θ) ta chứng minh −x /∈ K.
Thật vậy, với x = x(t) ∈ K ⇒ x(t) 0, ∀t ∈ [a; b].
Vì x = θ nên ∃ t
o
∈ [a; b] sao cho x(t
o
) > 0.
Từ đó suy ra (−x)(t
o
) = −x(t
o
) < 0. Do đó −x /∈ K.
Vậy K là một nón trong C
[a;b]
.
