Tính chất quang trong chấm lượng tử hai chiều có thể có giam cầm Parabol

1



MỤC LỤC

Trang
Lời cảm ơn…………………………………………………………………….i
Lời cam đoan…………………………………………………………………ii
Mục lục…………………………………………………………………… 1
Danh mục các bảng………………………………………………………… 4
Danh mục các hình vẽ, đồ thị 4
MỞ ĐẦU…………………………………………………………………… 5
NỘI DUNG………………………………………………………………… 7
Chương 1. Phương pháp Hartree - Fock cho hệ nhiều hạt……………….7
1.1. Chấm lượng tử và bài toán hệ nhiều điện tử trong chấm lượng tử…… .7
1.1.1. Giới thiệu về chấm lượng tử………………………………………… 7
1.1.2. Nội dung nghiên cứu về chấm lượng tử……………………………… 8
1.2. Mô hình………………………………………………………………… 8
1.2.1.Bài toán………………………………………………………………….8
1.2.2. Gần đúng Hartree…………………………………………………… 10
1.2.3. Gần đúng Hartree - Fock…………………………………………… 11
1.3. Áp dụng phương pháp Hartree - Fock………………………………… 17
1.3.1. Áp dụng gần đúng cho hệ nhiều điện tử………………………………17
1.3.2. Hình thức luận Hartree- Fock- Roothaan…………………………… 22
1.3.3. Tính yếu tố ma trận cho tương tác Coulomb trong chấm lượng tử… 24
1.3.4. Năng lượng cơ bản của hệ…………………………………………….28
Chương 2. Tìm cấu trúc điện tử, năng lượng và hàm sóng của cả hệ và

của từng điện tử. Năng lượng và hàm sóng tự hợp của từng điện tử… 30
2.1. Bài toán đơn hạt…………………………………………………………30



2



2.1.1. Giới thiệu chung về chấm lượng tử hai chiều với thế giam
cầm parabol…………………………………………………………… 30
2.1.2. Hàm sóng và năng lương của điện tử và lỗ trống trong chấm lượng tử
hai chiều với thế giam cầm parabol………………………………………….33
2.1.2.1. Hàm sóng và năng lương của điện tử……………………………….33
2.1.2.2. Hàm sóng và năng lượng của lỗ trống………………………… ….37
2.1.3. Một số trạng thái của điện tử trong chấm lượng tử………………… 38
2.1.3.1. Năng lượng………………………………………………………….38
2.1.3.2. Hàm sóng……………………………………………………………38
2.2. Áp dụng phương pháp Hartree-Fock cho hệ nhiều điện tử trong chấm
lượng tử hai chiều có thế giam cầm parabol…………………………………39
2.2.1. Hàm sóng và năng lượng của hệ …………………………………… 39
2.2.2. Cấu trúc năng lượng của hệ nhiều hạt……………………………… 41
Chương 3. Tính tương tác điện tử - photon, hệ số hấp thụ phụ thuộc vào
kích thước của hệ, phụ thuộc vào số điện tử thêm vào chấm lượng tử…44
3.1. Toán tử tương tác điện tử - photon…………………………………… 44
3.2. Hệ số hấp thụ ánh sáng………………………………………………….44
3.2.1. Xây dựng yếu tố ma trận của bước chuyển vùng điện tử - photon… 44
3.2.2. Hệ số hấp thụ ánh sáng của chấm lượng tử………………………… 49
3.3. Hấp thụ ánh sáng của charged excitons trong cấu trúc một lớp……… 50
3.3.1. Hệ số hấp thụ………………………………………………………….50

3.3.2. Phổ hấp thụ ánh sáng………………………………………………….51
3.4. Hấp thụ của excitons trong cấu trúc hai lớp…………………………….55
3.4.1. Mô hình……………………………………………………………….54
3.4.2. Kết quả tính số cho phổ hấp thụ của excitons trong chấm lượng tử hai
lớp…………………….…………………………………………………… 59



3



3.4.3. Phổ năng lượng……………………………………………………….63
3.4.4. Sự dịch chuyển phổ hấp thụ theo khoảng cách ………………………64
KẾT LUẬN………………………………………………………………….65
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ……………………… 66
TÀI LIỆU THAM KHẢO 67
PHỤ LỤC ………………………………………………………………… 68

4



DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1:

Năng lượng của hệ trong trạng thái cơ bản

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 2.1: Chấm lượng tử tự sắp xếp hai chiều
Hình 2.2: Điện tử trong chấm lượng tử
Hình 2.3: Một số mức năng lượng ban đầu của điện tử
Hình 2.4: Trạng thái ss
Hình 2.5: Trạng thái sp
-
Hình 2.6: Cấu trúc năng lượng của hệ
Hình 3.1: Phổ hấp thụ ánh sáng khi không có điện tử
Hình 3.2: So sánh phổ hấp thụ khi không có điện tử và khi có điện tử
Hình 3.3: Đồ thị vẽ khi dịch hệ số hấp thụ khi có điện tử và không có điện tử
Hình 3.4: Mô hình excitons trong chấm lượng tử hai lớp
Hình 3.5: So sánh phổ hấp thụ khi không có điện tử cho cấu trúc hai lớp với

trường hợp không có điện tử cho cấu trúc một lớp
Hình 3.6: So sánh phổ hấp thụ khi có 1 điện tử cho cấu trúc hai lớp với trường
hợp có 1 điện tử cho cấu trúc một lớp
Hình 3.7: So sánh phổ hấp thụ khi có 2 điện tử cho cấu trúc hai lớp với trường
hợp có 2 điện tử cấu trúc một lớp
Hình 3.8: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng ở trạng thái cơ bản
vào khoảng cách giữa 2 lớp
Hình 3.9: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của độ dịch chuyển phổ hấp thụ vào
khoảng cách giữa 2 lớp




5



MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Với sự ra đời của công nghệ nano, đánh dấu một bước tiến nhảy vọt
trong khoa học và kỹ thuật. Hiện nay lĩnh vực vật lí nói chung và vật lí hệ
thấp chiều nói riêng đã có những bước tiến vượt bậc. Đầu tiên là sự giam giữ
các electron trong hàng rào thế giữa các lớp bán dẫn mỏng dẫn đến sự ra đời
của Quantum Wells (giếng lượng tử) . Tiếp theo là kỹ thuật khắc kết hợp với
nuôi cấy tinh thể trong bán dẫn nên người ta đã giam giữ được các electron
trong cấu trúc giả một chiều và dẫn đến sự ra đời của Quantum Wires (sợi
lượng tử) . Tiếp tục lượng tử hóa chuyển động của các electron bằng cách bẫy
nó trong hệ giả không chiều người ta chế tạo ra được Quantum Dots (chấm
lượng tử)[9].
Các nghiên cứu lí thuyết và thực nghiệm cũng chỉ ra rằng khi các điện

tử bị giam giữ trong các cấu trúc thấp chiều đã làm thay đổi tính chất chuyển
động và kéo theo một loạt các hiệu ứng mới như hiệu ứng Hall lượng tử, hiệu
ứng khóa Coulomb, các hiệu ứng liên quan tới giao thoa của các sóng
electron, các tính chất từ , tính chất quang vv…Với những tính chất khác biệt
mới như vậy người ta kì vọng trong tương lai sẽ giúp chúng ta tạo ra các linh
kiện, thiết bị điện tử có kích thước nhỏ, tốc độ tính toán siêu nhanh và bộ nhớ
rất lớn.
Các nhà vật lí lí thuyết trong và ngoài nước cũng đang nỗ lực nghiên
cứu tính toán để xây dựng các cơ sở lí thuyết cho các vật liệu mới này.
Phương pháp Hartree-Fock[6] đã được áp dụng thành công để tính toán cấu
trúc điện tử trong chấm lượng tử giả hai chiều với thế giam cầm parabol và
nghiên cứu các tính chất quang của exciton tích điện (charged excitons) trong
loại chấm lượng tử đó dưới tác dụng của từ trường ngoài



6



Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu tính chất quang của
excitons trong chấm lượng tử hai chiều với thế giam cầm parabol bằng
phương pháp Hartree- Fock.
2. Mục đích nghiên cứu
- Khảo sát tính chất quang của charged excitons.
- Khảo sát tính chất quang của excitons trong cấu trúc hai lớp
- Mô phỏng phổ hấp thụ và phổ năng lượng bằng Fortran
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Xây dựng cơ sở lí thuyết cho excitons trong cấu trúc hai lớp
- Tính toán bằng số liệu cụ thể.

4. Đối tượng nghiên cứu
- Chất bán dẫn khối
- Cấu trúc nano của chất bán dẫn
- Chất bán dẫn InAs
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phân tích hiện tượng, đề xuất bài toán.
- Xây dựng cơ sở lý thuyết tổng quát với bài toán đặt ra
- Tính toán với số liệu và mô phỏng .
6. Những đóng góp mới của đề tài
- Mở rộng phạm vi nghiên cứu cho excitons trong cấu trúc hai lớp, đã
xây dựng thành công lý thuyết và thu được phổ hấp thụ ánh sánh thông
qua tính số, kết quả thu được rất có ý nghĩa vật lý.







7



NỘI DUNG
CHƯƠNG 1

PHƯƠNG PHÁP HARTREE-FOCK CHO HỆ NHIỀU HẠT

1.1. Chấm lượng tử và bài toán hệ nhiều điện tử trong chấm lượng tử.
1.1.1. Giới thiệu về chấm lượng tử.

Chấm lượng tử nói chung và tinh thể bán dẫn nói chung (còn gọi là các
nano tinh thể bán dẫn), thông thường có kích thước vào khoảng từ vài nano
mét đến vài chục nano mét, có các hình dạng khác nhau tùy theo phương pháp
nuôi cấy và chế tạo. Một số dạng thường gặp như dạng hình cầu, bán cầu,
dạng đĩa (2D), chóp cụt vv… Bên cạnh những tính chất của vật liệu khối, các
chấm lượng tử còn thể hiện những đặc tính rất mới và ưu việt mà bán dẫn
khối không có do hiệu ứng giam cầm lượng tử mạnh gây ra [3], mà biểu hiện
rõ nhất của hiệu ứng này là các vùng năng lượng liên tục sẽ trở thành các mức
gián đoạn. Khi kích thước của chấm lượng tử thay đổi sẽ kéo theo cấu trúc
năng lượng thay đổi và khoảng cách giữa các mức năng lượng cũng thay đổi
theo. Mặc dù cấu trúc tinh thể và thành phần cấu tạo nên chúng vẫn được giữ
nguyên, nhưng mật độ trạng thái điện tử và các mức năng lượng là gián đoạn,
giống như nguyên tử nên người ta coi chấm lượng tử như là nguyên tử nhân
tạo, và bằng cách điều khiển hình dạng, số chiều, số điện tử bị giam cầm ta sẽ
điều khiển được tính chất vật lí theo yêu cầu [10].






8



1.1.2. Nội dung nghiên cứu về chấm lượng tử hai chiều.
Nội dung cơ bản của bài toán hệ nhiều điện tử trong chấm lượng tử hai
chiều là xét đến cấu trúc năng lượng điện tử của hệ. Cấu trúc năng lượng của
hệ điện tử trong trong chấm lượng tử phụ thuộc rất nhiều vào dạng thế giam
cầm và hình dạng của trong chấm lượng tử. Khi người ta giả định thế giam

cầm có dạng xác định nào đó thì ta sẽ dự đoán được cấu trúc vùng năng lượng
và những đặc trưng tương ứng của hệ. Muốn xét cấu trúc năng lượng của hệ
nhiều điện tử thì ta cần biết trước dạng thế giam cầm [15]. Có nhiều cách tiếp
cận vấn đề nhưng một cách đơn giản và thường được áp dụng đó là xét cấu
trúc năng lượng của hệ dựa trên phương pháp gần đúng một hạt. Trong
phương pháp này người ta đưa bài toán hệ nhiều hạt trở về bài toán một hạt
với sự thay thế tất cả các tác động của các hạt còn lại bằng trường tự hợp nào
đó.
Nghĩa là trường tương tác của một hạt với tất cả các hạt còn lại trong hệ
đã được trung bình hóa theo chuyển động. Bài toán hệ nhiều điện tử được quy
về bài toán một điện tử với việc tìm hàm sóng tự hợp mô tả trạng thái của
điện tử trong trường hiệu dụng gây ra bởi tất cả các điện tử còn lại trong hệ.
Sử dụng phương pháp Hartree-Fock với hình thức luận Hatree-Fock-
Roothaan, chúng tôi thay thế việc giải phương trình Schrodinger bằng việc
tính các yếu tố ma trận.

1.2. Mô hình
1.2.1. Bài toán
Xét hệ lượng tử gồm N điện tử trong chấm lượng tử với thế giam cầm
( )

V r
. Hamiltonian của hệ phụ thuộc vào tọa độ của N hạt mà mỗi hạt có ba



9

thành phần theo ba phương khác nhau nên Hamiltonian của hệ phụ thuộc vào
3N tọa độ và có thể viết dưới dạng:
1
ˆ ˆ
( , , ).
N
H H r r
=
 
(1.1)
Phương trình schrodinger của hệ có dạng
ˆ
H E
ψ ψ
=
(1.2)
Thực tế thì phương trình trên không phải là một phương trình mà là
một hệ 3N phương trình vi phân, mỗi phương trình cũng không thể giải được
giải tích chính xác, nên hệ phương trình trên không cũng không giải chính xác
được mà phải giải gần đúng. Một trong các phương pháp gần đúng thông
dụng là gần đúng Hartree-Fock. Nội dung của phương pháp này là chuyển
việc nghiên cứu giải phương trình Schrodinger của hệ nhiều điện tử (hệ
phương trình nhiều biến) [2] về việc nghiên cứu phương trình Schrodinger
đơn điện tử (phương trình một biến).
Phương trình Schrodinger của hệ N điện tử ở trạng thái dừng có dạng
1 1
ˆ
( , , ) ( , , ),
N N
H r r E r r

ψ ψ
=
   
(1.3)
Với Hamiltonian của hệ có dạng:
2
1 1
ij
1
ˆ ˆ
.
2
N N
i
i i j
e
H H
r
ε
= ≠ =
= +
∑ ∑
(1.4)
Trong đó
ˆ
i
H
=
2
2

( )
2 *
i
i
V r
m
∇
− +

ℏ
là Hamiltonian đơn điện tử trong hố thế V(
r

).
Số hạng thứ hai của Hamiltonian (1.4) mô tả tương tác Coulomb giữa
tất cả các điện tử,
ε
là hằng số điện môi,
ij
i j
r r r
= −
 
là khoảng cách giữa 2
điện tử i và j, m* là khối lượng hiệu dụng của điện tử.
Để đưa phương trình Schrodinger của hệ
N điện tử về phương trình của
một điện tử ta đưa vào khái niệm trường trung bình và xét một điện tử thứ
i
nào đó ở trong trường của tất cả các điện tử còn lại.

10



Hãy đơn cử điện tử thứ i ở vị trí
i
r

nào đó, điện tử này tương tác với tất
cả
N-1 điện tử còn lại, và do đó có thể mô tả điện tử đó bằng cách xét chuyển
động của nó trong trường được tạo thành bởi tất cả các điện tử còn lại. Kí hiệu
trường của các điện tử còn lại là
eff
( )

i
U r
. Do đó
eff
( )

i
U r
sẽ phải mô tả gần đúng
nhất tác dụng trung bình tất cả các điện tử lên một điện tử thứ
i nào đó.

1.2.2. Gần đúng Hartree[4]
Giả sử ta đã biết được trường thế trung bình là
eff
( )

i
U r
. Khi đó toán tử
Hamiltonian của hệ
N điện tử được viết dưới dạng:
1
ˆ ˆ
' ,
N
i
i
H H
=
=
∑
(1.5)
Với
( )
2 2
eff
ˆ
' ( )
2
i

i i i
H V r U r
m
∇
= + +
ℏ  
là Hamiltonian của một điện tử thứ i.
Hamiltonian của hệ được viết thành tổng của N Hamiltonian với
Hamiltonian thứ i chỉ phụ thuộc vào tọa độ
i
r

của hệ, do đó hàm sóng của hệ
có thể tìm được bằng tích trực tiếp của N hàm sóng
1 1 2
( , , ) ( ) ( ) ( ),
N N
r r r r r
ψ ψ ψ ψ
=
    
(1.6)
Với
( )
ni i
r
ψ

là hàm riêng của toán tử Hamiltonian
'

ˆ
i
H
với trị riêng
ni
ε
, ta có
'
ˆ
( ) ( )
i ni i ni ni i
H r r
ψ ε ψ
=
 
, (1.7)
Với năng lượng của hệ
1
.
N
ni
i
E
ε
=
=
∑
(1.8)
Mật độ xác suất tìm thấy điện tử thứ nhất ở vị trí
1

r

, điện tử thứ hai ở vị
trí
2
r

, điện tử thứ N ở vị trí
N
r

bằng
2 2 2 2
1 1 2
( , , ) ( ) ( ) ( ) .
N N
r r r r r
ψ ψ ψ ψ
=
    
(1.9)



11



Mật độ xác suất tìm thấy điện tử thứ
k

ở vị trí
k
r

bằng
2
( )
nk k
r
ψ

. Mật độ
điện tích của điện tử thứ
k
ở vị trí
k
r

bằng
2
( )
nk k
e r
ψ

với
1, ,
k N
=
.

Thế năng tương tác Coulomb giữa điện tử thứ
i
ở vị trí
i
r

với điện tử
thứ
k
ở vị trí
k
r

là.
2
( )
,
i k nk k
ik k
ik
e e r
V dr
r
ψ
=
∫


(1.10)
Với

k k k k
dr dx dy dz
=

;
ik i k
r r r
= −
 
;
i i
e e e
= =

Thế năng tương tác giữa điện tử thứ
i
với tất cả các điện tử thứ
k
còn
lại (
k i
≠
) bằng
2
2
( )
( ) .
nk k
eff i ik k
k i k i

ik
e r
U r V dr
r
ψ
≠ ≠
= =
∑ ∑
∫

 
(1.11)
(1.11) là biểu thức thế năng hiệu dụng của phương pháp trường trung bình
trong gần đúng Hartree đưa ra năm 1928

1.2.3. Gần đúng Hartree - Fock
Trong phép gần đúng Hartree ở trên chúng ta chưa tính đến nguyên lý
hệ các hạt đồng nhất. Các điện tử có spin bán nguyên
1/ 2
s
=
nên nó tuân
theo thống kê Fermi-Dirac và chúng thỏa mãn nguyên lí loại trừ Pauli. Trạng
thái của điện tử thứ i được đặc trưng bởi 3 tọa độ
, ,
i i i
x y z

và thành phần nữa
là hình chiếu của spin

i
σ
lên phương
OZ
. Đối với điện tử
z
σ
có trị riêng là
s
m
ℏ
với m
s
=
±
1/2. Hàm sóng của điện tử
i
là hàm của các biến số tọa độ
, ,
i i i
x y z

và
i
σ
. Kí hiệu các biến số này là
( 1,2, , )
i
i N
ξ

=
.
Để mô tả trạng thái của điện tử có tính đến spin ta đưa vào hàm
σ
như
sau:



12



( ) ( )
( )
( ) ( )
γ
σ τ
σ τ
β τ

↑

=

↓


(1.12)
Và giá trị hàm Spin được xác định :

1
2
1
2
( ) 0
2
( ) 1
2
σ
σ
−
=
=
ℏ
ℏ



1
2
1
2
( ) 1,
2
( ) 0.
2
σ
σ
−

=
=
ℏ
ℏ


Khi đó ta có:

*( ) ( ) .
α β αβ
σ
σ σ σ σ δ
=
∑
(1.13)
Nếu bỏ qua tương tác giữa momen từ của điện tử với từ trường do điện
tử chuyển động theo quỹ đạo gây nên thì ta có thể biểu diễn hàm sóng của
điện tử
i
dưới dạng:

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ,
( ) ( ) ( )
k
k i nk i i
k
r
r
r

α
γ
β
ϕ σ τ
ψ ξ ϕ σ τ
ϕ β τ

↑

= =

↓





(1.14)
chỉ số k ở hàm
( )
k i
ψ ξ
kí hiệu trạng thái lượng tử (
,
k
n
α
).
Điều kiện trực giao và chuẩn hóa của hàm
( )

k i
ψ ξ
ta có.
* *
*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i
k i k i i nk i nl i i i i
d r r d
α β
σ
ψ ξ ψ ξ ξ ψ ϕ σ σ σ σ ξ
=
∑
∫ ∫
 


n
= ≡
k l k nl
αβ
δ δ δ δ
(1.15)
Phương trình Schrodinger của toàn bộ hệ có dạng.

1 1
ˆ
( , , ) ( , , )
N N
H E

ψ ξ ξ ψ ξ ξ
=
(1.16)
Để phù hợp với nguyên lí loại trừ Pauli, hàm
1
( , , )
N
ψ ξ ξ
phải là hàm
phản đối xứng và nó có dạng là định thức Slater.



13



1
, , 1 1 1
1
( , , ) ( 1) [ ( ) ( )]
!
N N
v
k k N v k k N
v
P
N
ψ ξ ξ ψ ξ ψ ξ
= −

∑

=
1
1 1
1
( ) ( )
1
,
!
( ) ( )
k k N
kN kN N
N
ψ ξ ψ ξ
ψ ξ ψ ξ
(1.17)
Trong đó kí hiệu
1
1
[ ( ) ( )]
N
v k k N
P
ψ ξ ψ ξ
là hàm nhận được từ hàm
1
1
( ) ( )
N

k k N
ψ ξ ψ ξ
bằng cách hoán vị
v
cặp biến số
1
k
ξ ξ
↔
hay một cặp trạng
thái
i j
k k
↔
bất kì cho nhau. Khi hoán vị bất kì một cặp chỉ số
i k
ξ ξ
↔
hay
một cặp trạng thái
i j
k k
↔
cho nhau thì định thức đổi dấu. Khi
i k
ξ ξ
=
hay
i j
k k

=
thì định thức bằng
0
( Không tồn tại hàm sóng ) điều này thỏa mãn
nguyên lí loại trừ Pauli ( không tồn tại hơn một hạt trên một trạng thái lượng
tử ). Nói ngắn gọn, hàm sóng của electron trong hệ phải là hàm phản đối
xứng:
1 2 1 2
, , 1 , , 1
( , , ) ( , , ),
i j N j i N
k k k k k N k k k k k N
ψ ξ ξ ψ ξ ξ
= −
(1.18)
1 1
, , 1 , , 1
( , ) ( , ).
N N
k k i k N k k k i N
ψ ξ ξ ξ ξ ψ ξ ξ ξ ξ
= −
(1.19)
Thực tế thì thế
eff
( )

i
U r
trong

'
ˆ
i
H
còn chưa biết nên hàm
( )
i
n i
ψ ξ
là hàm
riêng của
'
ˆ
i
H
vẫn còn chưa xác định. Ta dùng nguyên lí biến phân để xác định
eff
( ).
i
U r

Gọi
(
)
0
r
ψ

và
0

E
là hàm sóng và năng lượng của hệ ở trạng thái cơ
bản.Hamiltonian
ˆ
H
và
(
)
0
r
ψ

;
0
E
thỏa mãn phương trình Schrodinger

(
)
(
)
0 0 0
ˆ
,
H r E r
ψ ψ
=
 
(1.20)
Năng lượng trung bình của hệ lượng tử ở trạng thái

ψ
là

(
)
ˆ
*( ) ,
E r H r dr
ψ ψ
=
∫
  
(1.21)

(
)
r
ψ

là hàm sóng không phải ở trạng thái cơ bản (ở trạng thái kích thích).



14



còn
0
E

là năng lượng ở trạng thái cơ bản ( là nhỏ nhất) nên
0
E E
≥
. Nghĩa là:

(
)
0
≥
∫
  
ˆ
* (r )H r dr E .
ψ ψ
(1.22)

Ta thấy các hàm
(
)
r
ψ

càng gần với hàm riêng
(
)
0
r
ψ


bao nhiêu thì
E
càng gần
0
E
bấy nhiêu. Ta chọn trước một lớp hàm
(
)
r
ψ

nào đó có dạng
thích hợp rồi trong lớp hàm này chọn một hàm
(
)
r
ψ

sao cho giá trị
E
là nhỏ
nhất (gần
0
E
nhất), nghĩa là lời giải gần đúng nhất của bài toán. Vì
E
ứng với
hàm
(
)

r
ψ

đã cho là nhỏ nhất nên
0
0
E E E
δ
= − →
.
Vậy nghiệm gần đúng
(
)
0
r
ψ

nhất phải thỏa mãn điều kiện:

(
)
ˆ
*( ) 0.
E r H r dr
δ δ ψ ψ
= =
∫
  
(1.23)
Đó là nội dung của nguyên lí biến phân.

Dùng nguyên lí biến phân ta tính được năng lượng trung bình của hệ N
điện tử:

1 1
ˆ
*( , , ) ( , , ) .
N N
E H d
ψ ξ ξ ψ ξ ξ
= Γ
∫
(1.24)
Với
1 2
.
N
d d d d
ξ ξ ξ
Γ =

Thay hàm sóng trong vào biểu thức (1.24) ta có năng lượng trung bình
của của hệ N điện tử:

0
1
'
, 1
'
, 1
ˆ

*( ) ( ) ( )
1
*( ) *( ) ( , ) ( ) ( )
2
1
*( ) *( ) ( , ) ( ) ( ) ,
2
N
k i i k i i
k
N
k i l j i j k i l j i j
k l
N
k i l j i j k j l i i j
k l
E H d
U d d
U d d
ψ ξ ξ ψ ξ ξ
ψ ξ ψ ξ ξ ξ ψ ξ ψ ξ ξ ξ
ψ ξ ψ ξ ξ ξ ψ ξ ψ ξ ξ ξ
=
=
=
=
+
−
∑
∫

∑
∫
∑
∫

Thay
( ) ( ) ( )
k i nk i i
r
γ
ψ ξ ϕ σ τ
=

và chú ý tới (1.13)
ta có :



15




0
1
'
, 1
'
, 1
ˆ

*( ) ( ) ( )
1
*( ) *( ) ( , ) ( ) ( )
2
1
*( ) *( ) ( , ) ( ) ( ) ,
2
N
nk i i nk i i
k
N
nk i nl j i j nk i nl j i j
k l
N
nk i nl j i j nk j nl i i j
k l
E r H r r dr
r r U r r r r drdr
r r U r r r r drdr
ψ ψ
ψ ψ ψ ψ
ψ ψ ψ ψ
=
=
= ↑↑
=
+
−
∑
∫

∑
∫
∑
∫
   
       
       
(1.25)
Trong đó số hạng cuối chỉ lấy tổng ứng với các cặp điện tử có Spin định
hướng song song cùng chiều (
,
↑↑ ↓↓
).
Ta sẽ tính
E
δ
rồi cho
0
E
δ
=


0
1
ˆ
*( ) ( ) ( )
N
nk i i nk i i
k

E r H r r dr
δ δψ ψ
=
=
∑
∫
   


'
, 1
*( ) *( ) ( , ) ( ) ( )
N
nk i nl j i j nk i nl j i j
k l
r r U r r r r drdr
δψ ψ ψ ψ
=
+
∑
∫
       


'
, 1
*( ) *( ) ( , ) ( ) ( ) .
N
nk i nl j i j nk j nl i i j
k l

r r U r r r r drdr
δψ ψ ψ ψ
= ↑↑
−
∑
∫
       
(1.26)
Thừa số
1 2
/
trong hai tổng cuối của
E
sẽ mất đi vì khi lấy biến phân theo
*
nk
δψ
ta gặp hai lần lấy tổng : một lấy tổng theo
k
, một lấy tổng theo
l
. Các
biến phân
*
nk
δψ
trong biểu thức của
E
δ
là không độc lập. Từ điều kiện chuẩn

hóa hàm sóng :

nk i nl i i nk ,nl
* (r ) ( r )dr ,
ψ ψ δ
=
∫
  


nk i nl i i
* ( r ) ( r )dr 0.
δψ ψ
→ =
∫
  
với mọi
,
k l
n n
.
Nhân biểu thức này với
−
k
L
(Thừa số Lagrange), ta có.

*( ) ( ) 0.
k nk i nl i i
L r r dr

δψ ψ
− =
∫
  
(1.27)

Và cộng với
E
δ
ta có đẳng thức :



16



*
k 0
2
'
1
'
1
ˆ
( )[-L ( ) ( ) ( )
( ) ( , ) ( )
*( ) ( ) ( , ) ( ) ] = 0.
nk
i i nk i i nk i

N
nl j i j nk i j
l
N
nl j nl i i j nk j j
l
dr r r H r r
r U r r r dr
r r U r r r dr
δψ ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ ψ
=
= ↑↑
+
+
−
∫
∑
∫
∑
∫
    
    
     
(1.28)
Vì biến phân
*
nk
δψ

là tùy ý nên ta có thể chọn
k
L
một cách thích hợp sao cho
biểu thức trong [ ] của 1.28 luôn bằng 0. Muốn vậy ta đặt
1, 2,
= = =
k k
i j L
ε

và ta thu được phương trình đối với hàm sóng
nk
ψ
có dạng sau :

(
)
(
)
(
)
(
)
0 1 eff 1 1 1
ˆ
nk k nk
H r U r r r
ψ ε ψ
 

+ =
 
   
(1.29)

Biểu thức của
(
)
eff 1
U r

cần tìm có dạng :

( )
2
'
eff 1 2 1 2 2
1
( ) ( , )
N
nl
l
U r r U r r dr
ψ
=
=
∑
∫
    

' *
1
2 2 1 2 2
1
1
( )
( ) ( ) ( , ) ] .
( )
nl
N
nl
nk
l
nk
r
r r U r r dr
r
ψ
ψ ψ
ψ
= ↑↑
−
∑
∫

    

(1.30)
Với

( )
1 2
1 2
1 1
,
4
U r r
r r
π
=
−
 
 

Phương trình (1.29) là phương trình Hartree-Fock cho phép ta xác định
hàm sóng tự hợp ở trạng thái
k
n
trong đó
(
)
eff 1
U r

là trường hiệu dụng được
xác định bởi (1.30). Để giải (1.29) ta chọn nghiệm
nk
ψ
gần đúng nào đó đã
biết (chẳng hạn hàm sóng của một electron tự do hay hàm sóng của electron

trong nguyên tử, hàm sóng này có thể giải chính xác được) thì ta tính được
eff
U
. Giải phương trình (1.29) để tìm hàm sóng mới gần đúng với thức tế hơn.
Tiếp theo
(
)
1
nk
r
ψ

để tính được
eff
U
rồi lại đặt
eff
U
vào phương trình (1.29) rồi
giải Cứ thế tiếp tục cho đến khi ta tìm được nghiệm gần đúng tốt nhất [7]
(tức là giá trị của hai nghiệm liên tiếp liền nhau không khác nhau là bao



17



nhiêu). Trường
eff

U
được tính như trên được gọi là trường tự hợp và phương
pháp nêu trên được gọi là phương pháp gần đúng Hartree-Fock. Đấy là về mặt
lý thuyết, trên thực tế người ta có nhiều cách khác nhau để giải phương trình
tự hợp Hartree- Fock. Một trong số đó là dùng hình thức luận Roothaan sẽ
được trình bày ở mục 1.3.2.

1.3. Áp dụng phương pháp Hartree - Fock
1.3.1. Áp dụng gần đúng cho hệ nhiều điện tử.
Khi áp dụng cho hệ nhiều electron thì biểu thức năng lượng của hệ có
dạng:

(
)
(
)
1 1
ˆ
* ,
N N
e e e e
E H
ψ ξ ξ ψ ξ ξ
=
∫
(1.31)
Các hàm
(
)
ψ ξ

thỏa mãn điều kiện trực giao, chuẩn hóa:

(
)
(
)
1
*
ij
ˆ
,
j i j i j
i e j e e e e e
H d d
ψ ξ ψ ξ ξ ξ δ δ
= ≡
∫
(1.32)
Thay
ˆ
H
từ (1.4) và
ψ
từ (1.17) vào biểu thức của
E
, tiến hành tính toán ta
được:

*
1 1 1 1

1
2 2
1 2 1 2
, 1
12
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
2
N
j i
i
N
i j
i j
E r H r r d r
r r d r d r
r
ϕ ϕ
ϕ ϕ
=
=
=
+
∑
∫
∑
∫
   
   

* *
1 1 2 2 2
, 1
12
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
2
N
i j j
i j
r r r r d r
r
ϕ ϕ ϕ ϕ
= ↑↑
−
∑
∫
    
(1.33)
Bây giờ ta sử dụng kí hiệu của Dirac và viết biểu thức trên dưới dạng
khai triển theo
,
N
α
N
β
với
N

α
,
N
β
là số điện tử có spin hướng lên
(
)
↑
và spin
hướng xuống
(
)
↓
. Chú ý rằng
N
α
+ N
β
= N
ta có :



18



( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )

1
, 1
12
1
1 1 1
1 1
1 2 1 2
2
1 1 1
N
i i
i
N
i j i j
i j
N
i i
i
E h
r
h
α
α
β
α α
α α α α
β β
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ

=
=
=
=
+
+
∑
∑
∑


( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
, 1
12
1 1
12
1 1
12
1 1
12
1 1
12
1 1
1 2 1 2
2
1 1

1 2 1 2
2
1 1
1 2 1 2
2
1 1
1 2 1 2
2
1 1
1 2 1 2
2
N
i j i j
i j
N
N
i j i j
i j
N
N
i j i j
i j
N N
i j j i
i j
N N
i j j i
i j
r
r

r
r
r
β
β
α
β
α
α α
β β
β β β β
α β α β
β α β α
α α α α
β β β β
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
=
= =
= =
= =
= =
+
+
+
−
−

∑
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑

Từ đó ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1
12
12
1
12
1
1 1 1
1 1
1 2 1 2
2
ˆ
1
1
1 2 2 1
2
1 1 1

N
i i
i
N
i j i j
j
N
i j j i
j
N
i i
i
E h
r
P
r
h
α
β
α
β
α α
α β α β
α α α α
β β
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
=

=
=
=
=
+
−
+
+
∑
∑
∑
∑




19



( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
1
12
12
1
12
1 1

1 2 1 2
2
ˆ
1
1
1 2 2 1
2
N
i j i j
j
N
i j j i
j
r
P
r
α
β
β α β α
β β β β
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
=
=
+
−
+
∑
∑

(1.34)
Trong đó
12
ˆ
P
là toán tử trao đổi biến
12
ˆ
(1) (2) (2) (1)
P
α α
µ µ
χ ϕ χ ϕ
= được đưa
vào cho tiện tính toán.
Biểu thức năng lượng của hệ có dạng :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1 1
1
1 1 1 1 1 1
2
1 1 1 1 1 1
N N
i i i i
i i
N N
i i i i

i i
E h F
h F
α α
β β
α α α α α
β β β β β
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
= =
= =

= +



+ +


∑ ∑
∑ ∑
(1.35)
Trong biểu thức này ta đã đưa vào toán tử Fock
F h J K
= + −
với:
( ) ( ) ( )
(
)
( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
12
1 1
12 12
12
1 1
12 12
ˆ
1
1
1 1 2 2 2 2 (1.36)
ˆ
1
1
1 1 2 2 2 2 (1.37)
N
N
j j j j
j j
N
N
j j j j
j j
P
F h
r r
P
F h

r r
β
α
β
α
α α α β β
β β β α α
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
= =
= =
−
= + +
−
= + +
∑ ∑
∑ ∑

Còn J và K tương ứng là toán tử tương tác Coulomb trực tiếp và tương tác
trao đổi, với kí hiệu (1) thay cho
1
r

, (2) thay cho
2
r

:

, ,

1
, ,
2
(1) ( ),
(2) ( ),
, ' , .
i i
i i
r
r
α β α β
α β α β
ϕ ϕ
ϕ ϕ
γ γ α β
≡
≡
=



Lấy biến phân
E
δ
theo
(
)
*
1
i

α
ϕ
với chỉ số α, sau đó cho
0
E
δ
=
, ta được:



20




( )
( ) ( )
(
)
( )
( ) ( )
( )
12
1
12
1
12
ˆ
1

1 2 2
1 1 0
1
2 2
N
j j
j
i i
N
j j
j
P
h
r
E
r
α
β
α α
α α
β β
ϕ ϕ
δ δϕ ϕ
ϕ ϕ
=
=

−

+




= =


+



∑
∑
(1.38)
Từ điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng

(
)
(
)
ij
1 1 ,
i j
α α
ϕ ϕ δ
= (1.39)
Ta có
(
)
(
)

1 1 0
i j
α α
δϕ ϕ
=
với mọi
,
i j

Nhân thừa số
ij
L
α
−
vào rồi lấy tổng theo
j
ta có:
(
)
(
)
ij
1 1 0
i j
j
L
α α α
δϕ ϕ
− =
∑

. (1.40)
Cộng biểu thức (1.40) với (1.38) ta được:
( )
( ) ( )
(
)
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
12
1
12
ij
1
12
ˆ
1
1 2 2
1 1 1 1 0
1
2 2
N
j j
j
i i i j
j
N
j j
j
P

h
r
L
r
α
β
α α
α α α α α
β β
ϕ ϕ
δϕ ϕ δϕ ϕ
ϕ ϕ
=
=

−

+



− =


+



∑
∑

∑

(1.41)
Vì ta có thể chọn ma trận
ij
L
là chéo, kí hiệu
ii i
L
α α
ε
=

(
)
(
)
(
)
ij ij
1 1 1
j i j i j
j j
L
α α α α α α
ϕ ε δ ϕ ε ϕ
= =
∑ ∑
(1.42)
Nên ta có

( ) ( ) ( )
(
)
( )
( ) ( ) ( )
12
1
12
1
12
ˆ
1
1 1 2 2
1
2 2 1 0,
N
i j j
j
N
j j i i
j
P
h
r
r
α
β
α α α
β β α α
δϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ε ϕ
=
=

−

+





+ − =



∑
∑
(1.43)



21



Bằng cách tương tự, lấy biến phân
E
δ
theo

(
)
*
1
i
β
ϕ
với chỉ số
β
, sau đó cho
0
E
δ
=
, ta được:

( ) ( ) ( )
(
)
( )
( ) ( ) ( )
12
1
12
1
12
ˆ
1
1 1 2 2
1

2 2 1 0,
N
i j j
j
N
j j i i
j
P
h
r
r
β
α
β β β
α α β β
δϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ε ϕ
=
=

−

+





+ − =




∑
∑
(1.44)
Cuối cùng ta nhận được phương trình Hartree-Fock là hàm sóng tự hợp
của hệ electron cho cả hai trường hợp Spin lên và Spin xuống:

1 1
(1) ( ) (1) (1),
N
N
j j j i i i
j j
h J K J
β
α
α α β α α α
ϕ ε ϕ
= =
 
+ − + =
 
 
∑ ∑


1 1
(1) ( ) (1) (1),
N

N
j j j i i i
j j
h J K J
β
α
β β α α β β
ϕ ε ϕ
= =
 
+ − + =
 
 
∑ ∑
(1.45)

Trong đó

*
2
12
(1) (2) (2) (1),
j i j i i
dr
J
r
γ γ γ γ γ
ϕ ϕ ϕ ϕ
=
∫



Là thừa số biểu diễn tương tác coulomb trực tiếp

* *
2 2
12
12 12
ˆ
(1) (2) (2) (1) (2) (2) (1),
j i j k i j i k
dr dr
K P
r r
γ γ γ γ γ γ γ γ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= =
∫ ∫
 

Là thừa số biểu diễn tương tác coulomb tráo đổi.
Chúng ta có thể viết lại phương trình dưới dạng phương trình ma trận:

(1) (1) (1), 1, ,
(1) (1) (1), 1, ,
i i i
i i i
F i N
F i N
α α α α

α
β β β β
β
ϕ ε ϕ
ϕ ε ϕ
= =
= =
(1.46)
Năng lượng của hệ:



22




( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
*
1 1 1 1
1
2
2
1 2 1 2
, 1
12
* *
1 1 2 2 1 2

, 1
12
1 1
2
1 1
.
2
N
i i
i
N
i j
i j
N
i j j i
i j
E r h r r d r
r r d r d r
r
r r r r d r d r
r
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
=
=
= ↑↑
=
+
−

∑
∫
∑
∫
∑
   
   
     
(1.47)

1.3.2. Hình thức luận Hartree- Fock- Roothaan
Trong việc giải phương trình tự hợp nói trên ta sẽ gặp phải vấn đề khó
khăn khi áp dụng cho nhiều electron vì số phương trình sẽ rất lớn.
Để giải quyết vấn đề này ta dùng hình thức luận Hartree- Fock- Roothaan
bằng cách khai triển
i
ϕ
dưới dạng tổ hợp tuyến tính của một hệ hàm cơ sở
v
χ

ta có:

(1) (1),
(1) (1),
i vi v
v
i vi v
v
C

C
α α
β β
ϕ χ
ϕ χ
=
=
∑
∑
(1.48)
Trong trường hợp tổng quát, nếu hệ cơ sở không trực giao thì ta phải đưa vào
tích phân phủ:
(1) (1)
v v
S
µ µ
χ χ
= . (1.49)
Vì hệ hàm đủ
ν
χ
đã được chọn trước là một lớp hàm cơ sở nào đó nên ta
muốn tìm
i
ϕ
ta chỉ việc tìm hệ số khai triển
i
C
α
ν

.
Thay (1.48) vào (1.46) và chú ý tới (1.49) ta có
vi v i v vi
v v
vi v i v vi
v v
C F S C
C F S C
α α α α
µ µ
β β β β
µ µ
ε
ε
=
=
∑ ∑
∑ ∑
(1.50)
Hay viết trong dạng phương trình ma trận



23




F C S C
F C S C

α α α α α
β β β β β
ε
ε
=
=
(1.51)
Hệ phương trình trên cho phép ta xác định các hệ số khai triển
i
C
α
ν
, Giải
hệ phương trình này bằng phương pháp chéo hóa ma trận ta tính được các hệ
số
i
C
α
ν
. Khi biết các hệ số này thì có nghĩa là ta đã tìm được hàm sóng của hệ.
Các yếu tố ma trận xác định hàm sóng tự hợp là:

,
12
,
12
(1) (1) (1) (1) (1) (1)
1
(1) (2) (1) (2)
1

(1) (2) (1) (2)
v v v
T
v
v
F F h
P
r
P
r
α α
µ µ µ
λσ µ σ λ
λ σ
α
λσ µ σ λ
λ σ
χ χ χ χ
χ χ χ χ
χ χ χ χ
= =
+
−
∑
∑
(1.52)

,
12
,

12
(1) (1) (1) (1) (1) (1)
1
(1) (2) (1) (2)
1
(1) (2) (1) (2)
v v v
T
v
v
F F h
P
r
P
r
β β
µ µ µ
λσ µ σ λ
λ σ
β
λσ µ σ λ
λ σ
χ χ χ χ
χ χ χ χ
χ χ χ χ
= =
+
−
∑
∑

(1.53)

với các ma trận mật độ :

*
1
*
1
,
,
,
T
N
i i
i
N
i i
i
P P P
P P C C
P P C C
α
β
α α
λσ λσ λσ
α α α α
λσ σλ λ σ
β β β β
λσ σλ λ σ
=

=
= +
= =
= =
∑
∑
(1.54)
Với các yếu tố ma trận trong 1.52 được xây dựng trong mục 1.3.3





24



1.3.3. Tính yếu tố ma trận cho tương tác Coulomb trong chấm lượng tử

Vì tương tác điện tử - điện tử sẽ thu được từ biểu thức của tương tác
điện tử - lỗ trống bằng cách đổi dấu biểu thức và cho
* *
h e
m m
=
, nên ta sẽ trình
bày tính toán chi tiết cho yếu tố ma trận của tương tác Culomb điện tử - lỗ
trống.

'

2
' ' ' '
, ,
eh e e h h e e h h
e h
e
e
M n m n m n m n m
r r
ε
−
=< >
−
 

1
2
' '
2
2 2
2
' ' ' '
! ! ! !
.
( )!( )!( )!( )!
e e h h
e h
e e h h e e h h
n n n n
e

n m n m n m n m
α α
π
 
 
=
 
ε
+ + + +
 
 


2
' '
'
'
1
( )
2 2
2
. . ( ) ( )
e e
e e
e e
e
r
m m
im
e h e e e e

n
dr dr e r e L r
α
α
−
− ϕ
ϕ
∫∫
 


2
' '
'
'
1
( )
2 2
2
1
. ( ) ( ).
h h
h h
h h
h
r
m m
im
h h h h
n

e h
e r e L r
r r
α
α α
−
− ϕ
−
 


2
1
( )
2 2
2
. ( ) ( )
e e
e e
e e
e
r
m m
im
e e e e
n
e r e L r
α
α α
−

− ϕ


2
1
( )
2 2
2
. ( ) ( )
h h
h h
h h
h
r
m m
im
h h h h
n
e r e L r
α
α α
−
− ϕ
(1.55)
Đưa vào đại lượng không thứ nguyên
'
'
.
.
e e e e

h h h h
r r r
r r r
α
α
= →
= →

 

 

Khi đó ta có
' ' ' '
1 1
.
e
e h
e h e h
e h
r r
r r r r
α
γ
α α
= =
−
−
−
     

Với
e
h
α
γ
α
=

Viết dưới hệ tọa độ trụ ta được



25



' '
2
1
e e e e e e e
e
dr r dr d r dr d
α
= ϕ = ϕ
∫ ∫ ∫ ∫ ∫


' '
2

1
h h h h h h h
h
dr r dr d r dr d
α
= ϕ = ϕ
∫ ∫ ∫ ∫ ∫


1
2
2 ' '
2
' ' ' '
! ! ! !
( )!( )!( )!( )!
e e h e h
eh
e e h h e e h h
e n n n n
M
n m n m n m n m
α
π
 
 
=
 
ε
+ + + +

 
 


2 2
'
1 1
2 2
2 2
. ( ). ( )
e h
e e h h
e e h h
e h
r r
m m m m
im im
e e h h
n n
e r e L r e r e L r
− −
− ϕ − ϕ


Dùng biến đổi Fourier ta có
2
( )
0 0
1 1 1
. . ,

2 2
e h e h
ik r r ik r ik r
e h
dk
e dk d e e
k
r r
π
γ γ
θ
π π
∞
− −
= =
−
∫ ∫ ∫
      

 

Do vậy ta được

2
1
0 0
. {
eh
M A dk d
π

θ
∞
=
∫ ∫


' '
' 2
' '
2 2
. ( )( ) ( ) ( )
e e e e
e e e e e e
e e
m m m m
ik r im im r
e e e e e
n n
dr e e r e r e L r L r
− ϕ ϕ −
∫
 



' '
' 2
' '
2 2
. . ( )( ) ( ) ( )},

h h h h
h h h h h h
h h
m m m m
i k r im im r
h h h h h
n n
dr e e r e r e L r L r
γ
− ϕ ϕ −
∫
 


Trong đó
1
2
2 ' '
1
3
' ' ' '
! ! ! !
.
( )!( )!( )!( )!
e e h e h
e e h h e e h h
e n n n n
A
n m n m n m n m
α

π
 
 
= −
 
ε2
+ + + +
 
 

Sử dụng công thức của đa thức Laguerre
( )
0
( 1)
( )
!
l
n
m n m
l
n n l
t
L x x
l
+
−
=
−
=
∑

Ta có
( )
(
)
'
' '
'
1
0 0
( 1)
! !
e e e e
e e
e e
e e
e e
e e
n n i j
n m
n m
eh n i
n j
i j
e e
M A
i j
+
+
+

−
−
= =
−
=
∑∑