Nguyên lý không chắc chắn, tính dương và bị chặn trong Lp của ảnh phổ tổng quát

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường,
người thầy đã hướng dẫn và truyền đạt cho tác giả những kinh nghiệm
quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và
khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn
trong quá trình nghiên cứu và viết luận văn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết
ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và các quý thầy cô đã
tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình
Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Yên Bái,
trường Cao đẳng Sư phạm Yên Bái, khoa Tự Nhiên. Tác giả cũng xin
được cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã tạo mọi điều kiện cho
giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn tốt nghiệp
của mình.
Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2011
Tác giả
Phạm Thị Hằng Thu
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng
tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2011
Tác giả
Phạm Thị Hằng Thu.
iii
Mục lục
Bảng kí hiệu và viết tắt v

Mở đầu ix
1 Kiến thức chuẩn bị 1
1.1 Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Không gian L
p
, các bất đẳng thức trong không
gian L
p
, công thức tích chập . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Không gian hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Không gian hàm suy rộng D

(Ω) . . . . . . . . . . 3
1.1.4 Không gian các hàm giảm nhanh S (R
n
) . . . . . 6
1.1.5 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S

(R
n
) 7
1.1.6 Các toán tử cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Biến đổi Fourier của các hàm thuộc L
p
(R
n
) và
S (R
n

) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng . . . . . . . . 15
1.3 Giải tích thời gian-tần số . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1 Giải tích thời gian-tần số . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 Nguyên lý không chắc chắn . . . . . . . . . . . . 18
1.3.3 Biến đổi Fourier thời gian ngắn . . . . . . . . . . 24
1.3.4 Ảnh phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
iv
1.3.5 Một số phân bố thời gian-tần số quan trọng . . . 30
1.3.6 Lớp phân bố Cohen . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4 Toán tử giả vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.4.1 Một số định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . 39
1.4.2 Tính bị chặn của toán tử giả vi phân . . . . . . . 42
2 Nguyên lý không chắc chắn, tính dương và bị chặn trong
L
p
của ảnh phổ tổng quát 51
2.1 Toán tử địa phương hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.1.1 Toán tử địa phương hoá với biểu trưng thuộc S

R
2n

51
2.1.2 Toán tử địa phương hoá với biểu trưng thuộc L
p

R
2n


,
với p ∈ [1, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2 Dạng và toán tử của ảnh phổ tổng quát . . . . . . . . . . 55
2.2.1 Ảnh phổ tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2.2 Toán tử của ảnh phổ tổng quát . . . . . . . . . . 58
2.3 Công thức tích chập của ảnh phổ tổng quát và tính dương
của toán tử địa phương hóa . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.4 Ảnh phổ tổng quát và nguyên lý không chắc chắn . . . . 67
2.5 Tính liên tục và không liên tục của toán tử địa phương hóa 74
Kết luận 82
Tài liệu tham khảo 84
v
Bảng kí hiệu và viết tắt
N : Tập hợp các số tự nhiên.
N
∗
: Tập hợp các số nguyên dương.
|α| : Bậc của đa chỉ số α,
|α| =
n

i=1
α
i
, α = (α
1
, , α
n
) ∈ N
∗

.
R : Tập hợp các số thực.
R
n
: Không gian Ơclit n chiều.
C : Tập hợp các số phức.
z, |z| : Số phức liên hợp, mô đun của số phức z.
D
α
f : Đạo hàm cấp α của f, D
α
f = (−1)
|α|
∂
α
f.
∂
α
u : Đạo hàm riêng cấp α của u,
(∂
α
u)(ϕ) = (−1)
|α|
u(∂
α
ϕ).
C
∞
: Không gian các hàm khả vi vô hạn.
C

∞
0
(Ω) : Tập hợp các hàm khả vi vô hạn giá compact.
C
0
(R
n
) : Không gian các hàm liên tục có giá compact.
D(Ω) : Không gian các hàm cơ bản.
S (R
n
) : Không gian các hàm giảm nhanh.
vi
S

(R
n
) : Không gian các hàm tăng chậm.
T
x
f : Phép tịnh tiến theo x của hàm f,
T
x
f (t) = f (t − x) .
M
ω
f : Sự điều biến theo ω của hàm f,
M
ω
f (t) = e

2πit·ω
f (t) .
f
∗
: Phép đối hợp của f, f
∗
(x) = f(−x).

f : Phép đối xứng của f, f(x) = f(−x).
f ∗g : Tích chập của f và g,
(f ∗g)(x) =

R
n
f(y)g(y − x)dy.

f, F (f) : Biến đổi Fourier của hàm f.
F
−1
(f) ,
ˇ
f : Biến đổi Fourier ngược của hàm f.
F,
ˆ
f : Liên hợp của biến đổi Fourier f.
X
α
f(x) : Toán tử nhân, X
α
f (x) = x

α
f (x) .
span{A} : Bao tuyến tính của tập A.
A
p
: Hằng số Babenko-Beckner,
A
p
=

p
1/p
(p

)
1/p


1/2
.
V
g
f : Biến đổi Fourier thời gian ngắn của hàm f đối với
hàm cửa sổ g,
V
g
f (x, ω) =

R
n

f (t)
g (t − x)e
−2πit·ω
dt.
F
2
: Biến đổi Fourier của hàm F theo biến thứ 2,
F
2
F (x, ω) =

R
n
F (x, t)e
−2πit·ω
dt.
vii
L
p
: Không gian các hàm đo được Lebesgue,
có chuẩn L
p
hữu hạn.
f
L
p
(Ω)
=




Ω
|f(x)|
p
dx


1
p
.
H
s
(R
n
) : Không gian Sobolev cấp s,
H
s
(R
n
) = {u ∈ S

(R
n
)|ξ
s
Fu(ξ) ∈ L
2
(R
n
)}.

T
σ
: Toán tử giả vi phân với biểu trưng σ,
T
σ
ϕ(x) = (2π)
−n/2

R
n
e
ix·ξ
σ(x, ξ) ˆϕ(ξ)dξ, ϕ ∈ S(R
n
).
T
∗
σ
: Liên hợp hình thức của toán tử T
σ
.
W ig (f) : Phân bố Wigner của hàm f.
W ig (f, g) : Phân bố Wigner chéo của hàm f và g.
Q
σ
f : Lớp phân bố Cohen.
R (f) : Biểu diễn Rihaczek của hàm f
R (f, g) : Biểu diễn Rihaczek của hai hàm f, g.
R
∗

(f, g) : Biểu diễn Rihaczek liên hợp của hai hàm f, g.
SP EC
g
f, Sp
g
f : Ảnh phổ của hàm f đối với hàm cửa sổ g.
q
φ,ψ
(f, g) : Ảnh phổ tổng quát của hàm f, g đối với hàm cửa sổ φ, ψ.
T
σ
: Toán tử giả vi phân với biểu trưng σ.
A
F
: Toán tử giả vi phân Kohn-Nirenberg với biểu trưng F.
W
F
: Toán tử Weyl với biểu trưng F.
L
F
φ,ψ
: Toán tử địa phương hoá với biểu trưng F,
L
F
φ,ψ
f(x) =

R
n
F (z) (f, φ

z
)
L
2
ψ
z
(x) dz, f ∈ S(R
n
).
viii
X
[a,b]
: Hàm đặc trưng trên [a, b].
ϕ
a
(x) : Là hàm Gauss với ϕ
a
(x) = e
−
πx
2
a
.
T
a
: Phép biến đổi tọa độ không đối xứng
với T
a
f (x, t) = f (t, t − x).
T

s
: Phép biến đổi tọa độ đối xứng
với T
s
f (x, t) = f

x +
t
2
, x −
t
2

.
f ⊗g : Tích ten sơ của hàm f và g,
(f ⊗g) (x, t) = f (x) g (t).
B(L
2
(R
n
)) : Là C
∗
− đại số của tất cả những
toán tử bị chặn từ L
2
(R
n
) vào L
2
(R

n
).
.
∗
: Chuẩn trong B(L
2
(R
n
)).
S
h
f : Toán tử Hilbert-Schmidt trên L
2
(R
n
),
(S
h
f)(x) =

R
n
h(x, y)f(y)dy, x ∈ R
n
, f ∈ L
2
(R
n
).
L

p
∗
(R
2n
) : với L
p
∗
(R
2n
) = {σ ∈ L
p
(R
2n
)ˆσ ∈ L
p

(R
2n
)}.
ix
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Phép biểu diễn thời gian-tần số là một dạng toàn phương, trong
đó ứng với mỗi tín hiệu f trên R
n
là một hàm hoặc một phân bố Qf
trên mặt phẳng thời gian-tần số R
n
x
× R

n
w
. Hàm Qf(x, w) biểu diễn cho
phân bố năng lượng của tín hiệu đối với biến thời gian x và biến tần số
w, điều đó nói lên rằng tần số w nào có mặt trong tín hiệu f quanh thời
điểm x. Trong trường hợp này chúng ta sẽ sử dụng các thuật ngữ khác
nhau là "phép biểu diễn" hoặc là "dạng". Hàm Qf thường đòi hỏi phải
được thỏa mãn vài điều kiện, cụ thể là:(thoả mãn tính dương) Qf  0
với mọi x, w; (thoả mãn tính không tràn) nếu supp f ⊆ I với khoảng
I ⊆ R thì π
x
supp f ⊆ I (π
x
là phép chiếu trực giao trên mặt phẳng thời
gian-tần số R
n
x
×R
n
w
) và tương tự supp
ˆ
f ⊂ J kéo theo π
w
supp Qf ⊂ J;
(thoả mãn điều kiện lề của hàm phân phối)

R
n
Qf(x, w)dx =




ˆ
f(w)



2
và

R
n
Qf(x, w)dw =



ˆ
f(x)



2
.
Ý nghĩa của những yêu cầu này có thể tìm thấy trong cuốn
"Giải tích thời gian-tần số" của L. Cohen (xem [10]). Tuy nhiên, theo
nguyên lý không chắc chắn, điều kiện này là không tương thích và do
đó chúng chỉ có thể được thỏa mãn với một độ gần đúng nào đó. Vì thế
nhiều phép biểu diễn khác nhau được định nghĩa trong lý thuyết giải
tích thời gian-tần số với sự cố gắng để chúng càng gần càng tốt phép

x
biểu diễn lý tưởng.
Ba trong số nhiều phép biểu diễn thời gian-tần số được sử dụng
nhiều là ảnh phổ, phép biểu diễn Rihaczek và biểu diễn Wigner. Việc
nghiên cứu các tính chất của các biểu diễn này đã được trình bày trong
[9]. Tuy nhiên, dưới góc độ của những phép biến đổi, thì những tính chất
của ánh xạ, chẳng hạn tính bị chặn, là chưa được đề cập tới.
Mặt khác giải tích thời gian-tần số có nhiều mối liên hệ với lý
thuyết toán tử giả vi phân. Ví dụ như: phép biểu diễn Wigner liên hệ
với toán tử Weyl, trong khi đó toán tử địa phương hóa lại được quan
tâm đến như là bộ lọc của tín hiệu.
Trong các bài báo [6], [7], các tác giả đã nghiên cứu và công bố
những kết quả về tính dương, tính bị chặn và tính compact của một số
lớp biểu diễn thời gian tần số. Đồng thời liên hệ với các toán tử giả vi
phân tương ứng để thu được các kết quả về tính bị chặn, tính compact
của một số lớp toán tử giả vi phân trong L
p
. Trong luận văn này, tôi sẽ
tập trung chủ yếu vào việc nghiên cứu các kết quả đã được công bố trong
các tài liệu nêu trên. Có thể khái quát sơ lược những vấn đề nghiên cứu
như sau:
+ Đầu tiên, các tác giả xây dựng ảnh phổ tổng quát dựa trên
hai-cửa sổ φ, ψ và chỉ ra rằng, theo cách tương tự như phép biểu diễn
của Wigner cho lớp các toán tử Weyl, ảnh phổ tổng quát tương ứng lớp
các toán tử địa phương hóa.
+ Tiếp theo, các tác giả chứng minh rằng, cũng tương tự như
đối với ảnh phổ, ảnh phổ tổng quát là tích chập của các biểu diễn Wigner
và do đó lớp ảnh phổ tổng quát là một lớp con của lớp Cohen, chứng
minh được rằng phép biểu diễn Rihaczek có thể vẫn được xem như một
ảnh phổ tổng quát với hàm cửa sổ phù hợp, trong khi đó phép biểu diễn

Wigner không thuộc lớp ảnh phổ tổng quát.
xi
+ Các tác giả đã mở rộng đánh giá của Lieb với ảnh phổ tổng
quát và chứng minh được sự mở rộng tự nhiên của nguyên lý không chắc
chắn Lieb cho ảnh phổ tổng quát trong không gian L
p
.
+ Tập trung vào các toán tử tương ứng, như một hệ quả khác
của công thức tích chập, các tác giả thu được biểu trưng dương F và
cho kết quả là các toán tử địa phương hóa L
F
φ,ψ
dương nếu và chỉ nếu
φ = Cψ.
+ Cuối cùng, xét tính bị chặn trong L
p
của toán tử địa phương
hóa bằng việc sử dụng ảnh phổ tổng quát tương ứng, đồng thời chỉ ra
tính không bị chặn của toán tử địa phương hóa trong một số trường hợp
đối với p.
Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về giải tích thời gian-tần số,
các vấn đề liên quan đến ảnh phổ tổng quát và được sự hướng dẫn của
TS Bùi Kiên Cường nên trong luận văn tốt nghiệp của mình tôi lựa chọn
đề tài:
"Nguyên lý không chắc chắn, tính dương và bị chặn trong L
p
của ảnh phổ tổng quát"
2. Mục đích nghiên cứu
Dạng và toán tử của ảnh phổ tổng quát.
Nguyên lý không chắc chắn của ảnh phổ tổng quát.

Xét tính dương của toán tử địa phương hoá bằng việc sử dụng
ảnh phổ tổng quát tương ứng.
Toán tử địa phương hóa. Tính liên tục và không liên tục của
toán tử địa phương hóa trong không gian L
p
.
xii
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích đã nêu ở trên, những nhiệm vụ nghiên cứu của
luận văn là:
+ Nghiên cứu dạng, toán tử, nguyên lý không chắc chắn của
ảnh phổ tổng quát, tính dương của toán tử địa phương hoá.
+ Nghiên cứu về toán tử địa phương hóa. Tính liên tục và
không liên tục của một số lớp toán tử địa phương hóa trong không gian
L
p
.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Nguyên lý không chắc chắn, tính dương
và bị chặn trong L
p
của ảnh phổ tổng quát.
Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoài
nước liên quan đến nguyên lý không chắc chắn của ảnh phổ tổng quát,
tính dương và bị chặn trong L
p
của toán tử địa phương hoá.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý thuyết.
Phương pháp phân tích, tổng hợp.

6. Dự kiến kết quả nghiên cứu
Giới thiệu tổng quan về giải tích thời gian-tần số và các dạng
biểu diễn của các lớp thời gian-tần số.
Đi sâu nghiên cứu về một số vấn đề liên quan đến ảnh phổ tổng
quát.
1
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Một số không gian hàm
Nội dung của phần này được tham khảo ở [1], [2], [3], [4].
1.1.1 Không gian L
p
, các bất đẳng thức trong không gian L
p
,
công thức tích chập
Định nghĩa 1.1.1. Cho không gian E và một độ đo µ trên một σ-đại số
F các tập con của E. Họ tất cả các hàm f có lũy thừa bậc p (1 ≤ p < ∞)
của modun khả tích trên E, có nghĩa là:

E
|f|
p
dµ < ∞,
được gọi là không gian L
p
(E, µ).
Định lí 1.1.1. L
p
(E, µ) là không gian Banach có chuẩn được xác định

bởi:
f
L
p
=



E
|f(x)|
p
dx


1
p
.
Hệ quả 1.1.1. Nếu một dãy {f
n
} hội tụ trong L
p
(E, µ) thì nó chứa một
dãy con {f
n
k
} hội tụ hầu khắp nơi.
2
Định lí 1.1.2. Nếu µ(E) < ∞ và 1 ≤ p ≤ q < ∞ thì
f
p

≤ f
q
(µ(E))
1
p
−
1
q
và L
q
(E, µ) ⊂ L
p
(E, µ) ⊂ L
1
(E, µ).
Hệ quả 1.1.2. Không gian L
p
(E, µ) tách được.
Định lí 1.1.3 (Bất đẳng thức H¨older). Giả sử (E, F, µ) là một không
gian độ đo. Nếu f, g là những hàm đo được xác định trên E và p, q là
hai số thực sao cho 1 < p < ∞ và
1
p
+
1
q
= 1 thì:

E
|fg|dµ ≤




E
|f|
p
dµ


1
p



E
|g|
q
dµ


1
q
. (1.1)
Định lí 1.1.4 (Bất đẳng thức Minkowski). Nếu f, g là những hàm đo
được xác định trên E và p là số thực sao cho 1 ≤ p < ∞ thì:



E
|f + g|

p
dµ


1
q
≤



E
|f|
p
dµ


1
p
+



E
|g|
p
dµ


1
p

. (1.2)
Định lí 1.1.5 (Bất đẳng thức Young). Giả sử f ∈ L
1
(R
n
) và g ∈ L
p
(R
n
)
thì tích phân

R
n
f(x −y)g(y)dy là tồn tại hầu khắp nơi theo x ∈ R
n
. Nếu
giá trị của tích phân này được ký hiệu bởi (f ∗ g) (x) thì f ∗ g ∈ L
p
(R
n
)
và
||f ∗g||
p
≤ f
1
· g
p
. (1.3)

Định nghĩa 1.1.2. Cho f ∈ L
1
(R
n
), g ∈ L
p
(R
n
) với 1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó
ta gọi hàm số (f ∗ g) (x) =

R
n
f(x − y)g(y)dy là tích chập của hai hàm
f và g.
1.1.2 Không gian hàm cơ bản
Với Ω là một tập con mở của R
n
chúng ta có:
3
Định nghĩa 1.1.3. Không gian các hàm cơ bản được kí hiệu là D(Ω),
là không gian gồm tất cả các hàm ϕ ∈ C
∞
0
(Ω). Vậy D(Ω) = C
∞
0
(Ω). Các
hàm thuộc D(Ω) được gọi là hàm thử (hay hàm cơ bản).
Định nghĩa 1.1.4. Dãy {ϕ

j
}
∞
j=1
các hàm trong D(Ω) được gọi là hội tụ
đến hàm ϕ ∈ D(Ω) nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
1. Có một tập compact K ⊂ Ω mà supp ϕ
j
⊂ K, j = 0, 1, 2,
2. lim
j→∞
sup |D
α
ϕ
j
(x) −D
α
ϕ(x)| = 0, với mọi α ∈ N
n
0
.
Khi đó ta viết là ϕ
j
→ ϕ khi j → ∞ trong D(Ω).
Ở đây với mọi đa chỉ số α = (α
1
, α
2
, , α
n

) ∈ N
n
0
ta có:
D
α
ϕ = D
α
1
1
D
α
2
2
D
α
n
n
ϕ = (−i)
|α|
∂
α
1
∂x
α
1
1
∂
α
2

∂x
α
2
2

∂
α
n
∂x
α
n
n
ϕ.
Định lí 1.1.6. Không gian D(Ω) là đầy đủ.
1.1.3 Không gian hàm suy rộng D

(Ω)
Định nghĩa 1.1.5. Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Ω) được
gọi là một hàm suy rộng trong Ω. Không gian tất cả các hàm suy rộng
trong Ω, được kí hiệu là D

(Ω). Hàm suy rộng còn được gọi là phân bố.
Hàm suy rộng f ∈ D

(Ω) tác động lên mỗi ϕ ∈ D(Ω) được viết là f, ϕ.
Nhận xét 1.1.7. Tính liên tục và tuyến tính của hàm suy rộng
f ∈ D

(Ω) được hiểu như sau:
1. Tính tuyến tính: với mọi ϕ, ψ ∈ D(Ω), với mọi λ, µ ∈ C ta có:

f(λϕ + µψ) = λf(ϕ) + µf(ψ).
2. f liên tục khi và chỉ khi với mỗi tập compact K ⊂ Ω, tồn tại C
j
> 0
và N ∈ Z
+
sao cho: |f(ϕ)| ≤ C sup
K,α
|D
α
ϕ(x)|, |α| ≤ N.
Chúng ta xét các ví dụ sau:
4
Ví dụ 1.1.8. Cho f ∈ L
1
loc
(Ω) sao cho:
f : ϕ → f, ϕ =

Ω
f (x) ϕ (x)dx, ϕ ∈ D(Ω).
Khi đó f là hàm suy rộng.
Chứng minh.
+ Ta thấy ngay f là tuyến tính.
+ Ta có f liên tục, vì ϕ ∈ D(Ω) do đó ϕ có giá là tập compact nằm trong
Ω khi đó tồn tại K
j
trong hệ thống các tập compact sao cho supp ϕ ⊂ K
j
,

tồn tại C
j
> 0 và N = 0 sao cho:
|f(ϕ)| =







Ω
f(x)ϕ(x)dx






≤

K
j
|f(x)||ϕ(x)|dx
≤

K
j
|f(x)|dx ·sup
K

j
|ϕ(x)|
= C
j
sup
K
j
{|D
α
ϕ(x)|||α| = 0}.
Từ đây ta suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.1.9. Chứng minh rằng hàm Dirac
δ : ϕ → δ, ϕ = ϕ (0), ϕ ∈ D(Ω)
là hàm suy rộng.
Chứng minh.
+ Ta có δ là tuyến tính. Do:
δ, ϕ
1
+ ϕ
2
 = (ϕ
1
+ ϕ
2
)(0) = ϕ
1
(0) + ϕ
2
(0) = δ, ϕ
1

 + δ, ϕ
2
.
δ, λϕ = (λϕ)(0) = λ ϕ(0) = λ δ, ϕ.
5
+ Ta có δ liên tục, vì ϕ ∈ D(Ω) do đó ϕ có giá là tập compact nằm trong
Ω khi đó tồn tại K
j
trong hệ thống các tập compact sao cho supp ϕ ⊂ K
j
,
tồn tại C
j
= 1 và N = 0 sao cho:
|δ(ϕ)| = |ϕ(0)| ≤ sup
K
j
|ϕ(x)|
= sup
K
j
,α
{|D
α
ϕ(x)||α| = 0}.
Từ đây suy ra ta có δ là hàm suy rộng.
Định nghĩa 1.1.6 (Đạo hàm của hàm suy rộng). Cho f ∈ D

(Ω),
α = (α

1
, α
2
, , α
n
) ∈ N
n
. Đạo hàm cấp α của hàm suy rộng f trong Ω
kí hiệu bởi D
α
f, là ánh xạ từ D(Ω) vào C được xác định như sau:
D
α
f : ϕ → (−1)
|α|
f, D
α
ϕ, ϕ ∈ D(Ω), |α| = α
1
+ α
2
+ + α
n
.
Định lí 1.1.10 (Công thức Leibniz). Cho u ∈ D

(Ω), f ∈ C
∞
(Ω) và
α ∈ Z

n
+
thì:
D
α
(fu) =

β≤α

α
β

D
β
fD
α−β
u.
Trong đó

α
β

=

α
1
β
1

α

2
β
2



α
n
β
n

=
n!
β!(α − β)!
, khi β ≤ α.
Định nghĩa 1.1.7. Cho f
k
, f ∈ D

(Ω), k = 1, 2, Ta nói rằng, dãy
{f
k
}
∞
k=1
hội tụ đến f trong D

(Ω) khi k tiến ra vô cùng nếu:
lim
k→∞

f
k
, ϕ = f, ϕ, với mọi ϕ ∈ D(Ω) .
Kí hiệu D

_ lim
k→∞
f
k
= f.
Định lí 1.1.11. Không gian các hàm suy rộng D

(Ω) là đầy đủ.
6
1.1.4 Không gian các hàm giảm nhanh S (R
n
)
Định nghĩa 1.1.8. Không gian các hàm giảm nhanh, được kí hiệu
S (R
n
) là tập hợp được xác định bởi:
S (R
n
) =

ϕ ∈ C
∞
(R
n
)





x
α
D
β
ϕ (x)


≤ c
α,β
, ∀x ∈ R
n
, ∀α, β ∈ Z
n
+

cùng với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau:
Dãy {ϕ
k
}
∞
k=1
trong S (R
n
) được gọi là hội tụ đến ϕ ∈ S (R
n
) nếu:

lim
k→∞
sup
x∈R
n


x
α
D
β
ϕ
k
(x) −x
α
D
β
ϕ (x)


= 0, ∀α, β ∈ Z
n
+
.
Kí hiệu S_ lim
k→∞
ϕ
k
= ϕ.
Chú ý 1.1.12.

1. Hàm ϕ ∈ C
∞
(R
n
) là giảm nhanh, nghĩa là với mọi α, β ∈ Z
n
+
có


x
α
D
β
ϕ (x)


≤ c
α,β
, với mọi x ∈ R
n
khi và chỉ khi một trong hai điều
kiện sau được thỏa mãn:
a) Với mỗi m ∈ Z
+
, β ∈ Z
n
+
có


1 + |x|
2

m


D
β
ϕ (x)


≤ c
m,β
, ∀x ∈ R
n
Hay
b) Với mỗi m ∈ Z
+

1 + |x|
2

m

|β|≤m


D
β
ϕ (x)



≤ c
m
, với mọi x ∈ R
n
.
2. Với mỗi α ∈ Z
n
+
, phép toán đạo hàm D
α
là ánh xạ tuyến tính liên tục
từ S (R
n
) vào S (R
n
).
3. Với mỗi λ, µ ∈ C, ϕ
k
, ψ
k
, ϕ, ψ ∈ S (R
n
) , k = 1, 2, . . .
Nếu S_ lim
k→∞
ϕ
k
= ϕ và lim

k→∞
ψ
k
= ψ thì
S_ lim
k→∞
(λϕ
k
+ µψ
k
) = λϕ + µψ.
4. Tập C
∞
0
(R
n
) trù mật trong không gian S (R
n
).
Định lí 1.1.13. Không gian S (R
n
) là đầy đủ.
7
1.1.5 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S

(R
n
)
Định nghĩa 1.1.9. Cho hàm suy rộng f ∈ D


(R
n
). Hàm suy rộng f
được gọi là hàm suy rộng tăng chậm nếu tồn tại một số tự nhiên m và
một số dương C sao cho:
|f, ϕ| ≤ C sup
x∈R
n

1 + |x|
2

m

|α|≤m
|D
α
ϕ (x)|, với mọi ϕ ∈ D(R
n
) .
Không gian các hàm suy rộng tăng chậm là không gian véctơ gồm tất
cả các hàm suy rộng tăng chậm, được kí hiệu là S

(R
n
).
Nhận xét 1.1.14. Không gian hàm suy rộng tăng chậm S

(R
n

) là không
gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S (R
n
).
Định nghĩa 1.1.10. Cho f
k
, f ∈ S

(R
n
) , k = 1, 2, Dãy {f
k
}
∞
k=1
được
gọi là hội tụ trong S

(R
n
) đến hàm f ∈ S

(R
n
), kí hiệu S

_ lim
k→∞
f
k

= f,
nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
1. Có một số tự nhiên m và một số dương C sao cho:
|f
k
, ϕ| ≤ C sup
x∈R
n

1 + |x|
2

m

|α|≤m
|D
α
ϕ (x)|, ϕ ∈ C
∞
0
(R
n
) , k = 1, 2,
2. Dãy {f
k
}
∞
k=1
là hội tụ trong D


(R
n
) đến f.
Chúng ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1.1.15. Cho v ∈ L
1,loc
và |v(x)| ≤ Cx
N
với N ∈ N
∗
nào đó, ta
có v ∈ S

(R
n
). Ở đây x =

1 +


x
2



1
2
.
Chứng minh. Thật vậy:
|v, ϕ| =








N
vϕdx






≤

N
|v(x)||ϕ(x)|dx
≤ Csup

x
N+n+1
|ϕ(x)||x ∈ R
n


N
x
−n−1

dx
≤ C

p
N+n+1
(ϕ), với mọi ϕ ∈ S. (1.4)
8
Trong đó p
N
(ϕ) = sup
R
n

1 + |x|
2

N
2

|α|≤N
|D
α
ϕ (x)|.
Từ đó suy ra v liên tục và ta có v là tuyến tính. Do đó v ∈ S

(R
n
).
Ví dụ 1.1.16. Chứng minh rằng hàm Dirac
δ : ϕ → δ, ϕ = ϕ (0), ϕ ∈ D(Ω)

và đạo hàm của nó D
α
δ là một hàm suy rộng tăng chậm trong S

.
Chứng minh.
1. Với mỗi α ∈ N
n
ta có |D
α
δ, ϕ| =



D
α
ϕ(0)



≤ p
|α|
(ϕ), ∀ϕ ∈ S. Từ đó
suy ra D
α
δ liên tục.
2. Mặt khác ta dễ chứng minh được D
α
δ là tuyến tính.
Do đó ta suy ra điều phải chứng minh.

Định nghĩa 1.1.11. Cho u là một hàm suy rộng tăng chậm, với mọi
đa chỉ số α đạo hàm của u ký hiệu ∂
α
u được xác định bởi:
(∂
α
u)(ϕ) = (−1)
|α|
u(∂
α
ϕ), ϕ ∈ S(R
n
).
Nhận xét 1.1.17. Đạo hàm ∂
α
u cũng là một hàm suy rộng tăng chậm.
Nếu ϕ
k
⊂ S(R
n
) sao cho ϕ
k
→ 0 trong S(R
n
) thì
∂
α
ϕ
k
→ 0 trong S(R

n
) khi k → ∞.
Do đó (∂
α
u)(ϕ
k
) → 0 khi k → ∞.
Vậy ∂
α
u : S

(R
n
) → S

(R
n
) là ánh xạ tuyến tính liên tục.
Định lí 1.1.18. Không gian S

(R
n
) là đầy đủ.
Nhận xét 1.1.19. Chúng ta có
S(R
n
) ⊂ L
p
(R
n

) ⊂ S

(R
n
), với 1 ≤ p ≤ ∞.
9
1.1.6 Các toán tử cơ bản
Định nghĩa 1.1.12. Với x, ω, y, t ∈ R
n
và f ∈ S (R
n
) ta định nghĩa các
toán tử sau đây:
1. Phép tịnh tiến theo x của f, kí hiệu T
x
f là một "sự dịch chuyển thời
gian" được xác định bởi:
T
x
f (t) = f (t − x) .
2. Sự điều biến theo ω của f, kí hiệu M
ω
f được xác định bởi:
M
ω
f (t) = e
2πit·ω
f (t) .
3. Phép đối hợp của f, kí hiệu f
∗

được định nghĩa bởi:
f
∗
(x) = f (−x).
4. Toán tử đối xứng của f, kí hiệu

f được xác định bởi:

f (x) = f (−x) .
Tính chất: Với x, ω ∈ R
n
và f ∈ S (R
n
) ta có các tính chất sau:
1. T
x
M
ω
= e
−2πix·ω
M
ω
T
x
.
2. T
x
M
ω
f

L
p
= f
L
p
.
3. (f ∗ g)(x) = f, T
x
g
∗
.
1.2 Biến đổi Fourier
Nội dung phần này chủ yếu được tham khảo từ [3], [9], [12].
1.2.1 Biến đổi Fourier của các hàm thuộc L
p
(R
n
) và S (R
n
)
Định nghĩa 1.2.1. Biến đổi Fourier của hàm f ∈ L
1
(R
n
), kí hiệu là

f
hoặc Ff, là một hàm được xác định bởi

f (ω) =


R
n
f (x) e
−2πix·ω
dx , ω ∈ R
n
. (1.5)
10
Nhận xét 1.2.1.
1. Từ (1.5) ta suy ra




f



∞
≤ f
1
.
2. Ta dùng kí hiệu F(f) để nhấn mạnh rằng phép biến đổi Fourier là
một toán tử tuyến tính tác động trên một không gian hàm f ∈ L
1
(R
n
).
3. Ngoài định nghĩa biến đổi Fourier như trên ta còn có thể định nghĩa

biến đổi Fourier theo một cách khác như sau:
Ff(x) =

f (ω) = (2π)
−
n
2

R
n
f (x) e
−ix·ω
dx. (1.6)
4. Nếu f là một tín hiệu, thì ω là một tần số và

f (ω) được hiểu là biên
độ của tần số ω của tín hiệu f. Trong vật lý, ω được gọi là biến động
lượng. Do đó




f



−2
2

I





f (ω)



2
dω là xác suất của chất điểm trong trạng
thái f có động lượng của nó trong miền I ⊂ R
n
.
Định nghĩa 1.2.2. Cho f ∈ L
1
(R
n
). Biến đổi Fourier ngược của hàm
f, kí hiệu F
−1
f hoặc
ˇ
fđược định nghĩa bởi
ˇ
f(x) =

R
n
f (ω) e
2πix·ω

dω , x ∈ R
n
, (1.7)
và theo (1.6) ta có
F
−1
f(x) = (2π)
−
n
2

R
n
f (ω) e
ix·ω
dω , x ∈ R
n
. (1.8)
Từ định nghĩa trên ta có F
−1
f =


f.
Định lí 1.2.2. Nếu f ∈ L
1
(R
n
) và


f ∈ L
1
(R
n
) thì nếu theo (1.5) ta có
f (x) =

R
n

f (ω) e
2πix·ω
dω , x ∈ R
n
và theo (1.6) ta có
f (x) = (2π)
−
n
2

R
n
Ff (ω) e
ix·ω
dω , x ∈ R
n
11
nghĩa là F
−1
và F là các toán tử ngược của nhau.

Bổ đề 1.2.1 (Bổ đề Riemann-Lebesgue). Nếu f ∈ L
1
(R
n
) thì

f liên tục
đều và lim
|ω|→∞




f (ω)



= 0.
Nhận xét 1.2.3. Với C
0
(R
n
) là không gian Banach của các hàm liên
tục triệt tiêu tại vô cực, khi đó từ Bổ đề 1.2.1 chúng ta có phép biến đổi
Fourier:
F : L
1
(R
n
) → C

0
(R
n
) ,
là một ánh xạ liên tục.
Với ϕ ∈ S(R
n
) ta cũng ký hiệu biến đổi Fourier của ϕ là ϕ hoặc Fϕ
và được xác định bởi
ˆϕ(ξ) = (2π)
−
n
2

R
n
e
−ix.ξ
ϕ(x)dx.
Biến đổi Fourier liên hợp của ϕ kí hiệu Fϕ là hàm xác định bởi:
Fϕ(ξ) = ϕ(−ξ) = (2π)
−
n
2

R
n
e
ix·ξ
ϕ(x)dx.

Khi đó F và F là các tự đẳng cấu trên S(R
n
) và
F(Fϕ) = F(Fϕ) = ϕ.
Định lí 1.2.4. [12] Biến đổi Fourier là một ánh xạ tuyến tính liên tục
từ S(R
n
) → S(R
n
) và xác định với mỗi f ∈ S(R
n
), ξ ∈ R
n
với mọi đa
chỉ số α, β ∈ N
n
.
F[x
α
D
β
x
f(x)](ξ) = (−D
ξ
)
α
(ξ
β
Ff(ξ)).
Cho một đa chỉ số α = (α

1
, α
2
, . . . , α
n
) ∈ N
n
.
Ta kí hiệu:
X
α
f (x) = x
α
f (x) là toán tử nhân.
12
Khi đó, ta có thể viết cụ thể hơn đẳng thức trên bởi:

D
α
f

(ω) = (2πω)
α

f(ω), (1.9)
và

(−2πx)
α
f


ˆ(ω) = D
α

f(ω). (1.10)
Hoặc viết dưới dạng toán tử
FD
α
= (2π)
|α|
X
α
F và FX
α
=

−1
2π

|α|
D
α
F.
Định nghĩa 1.2.3. Hàm Gauss chưa được chuẩn hóa với độ rộng a > 0
trên R
n
, kí hiệu là ϕ
a
(x) được xác định bởi:
ϕ

a
(x) = e
−
πx
2
a
. (1.11)
Bổ đề 1.2.2 (Biến đổi Fourier của hàm Gauss). Với mọi a > 0
ϕ
a
(ω) = a
n
2
ϕ
1
a
(ω) . (1.12)
Đặc biệt là, với a = 1 thì

e
−πx
2

ˆ(ω) = e
−πω
2
.
Bổ đề 1.2.3 (Tính trù mật). Với mọi a > 0, bao tuyến tính của tập
{T
x

M
ω
ϕ
a
: x, ω ∈ R
n
} sinh ra một không gian con trù mật của L
2
(R
n
),
nói cách khác
span {T
x
M
ω
ϕ
a
: x, ω ∈ R
n
} = L
2
(R
n
) .
Áp dụng các bổ đề trên, sau đây ta đi chứng minh Định lý (1.2.5).
Chứng minh. Giả sử X = span {T
x
M
ω

ϕ
1
: x, ω ∈ R
n
}.
Theo (1.15) chúng ta có:
(T
x
M
ω
ϕ
1
)= M
−x
T
ω
ϕ
1
= e
−2πix·ω
T
ω
M
−x
ϕ
1
.
Đẳng thức trên chứng tỏ F : X → X. Do đó theo Bổ đề 1.2.3 thì
span {T
x

M
ω
ϕ
1
: x, ω ∈ R
n
} = L
2
(R
n
) .
13
Áp dụng Bổ đề 1.2.3 với a = 1 thì
T
x
M
ω
ϕ
1
, T
u
M
η
ϕ
1
 = 2
−
n
2
e

πi(u−x)(η+ω)
ϕ
2
(u −x) ϕ
2
(η − ω) .
Mặt khác từ (1.15) và Bổ đề 1.2.4 chúng ta có
F (T
x
M
ω
ϕ
1
) , F (T
u
M
η
ϕ
1
)
= e
−2πi(xω−uη)
T
ω
M
−x
ϕ
1
, T
η

M
−u
ϕ
1

= 2
−
n
2
e
−2πi(xω−uη)
e
πi(η−ω)(−x−u)
ϕ
2
(η − ω) ϕ
2
(−u + x)
= T
x
M
ω
ϕ
1
, T
u
M
η
ϕ
1

.
Từ đó suy ra
T
x
M
ω
ϕ
1
, T
u
M
η
ϕ
1
 = F (T
x
M
ω
ϕ
1
) , F (T
u
M
η
ϕ
1
),
và bởi tính chất tuyến tính hệ thức trên đã mở rộng lên toàn bộ X. Do
đó F là một phép đẳng cự trong X với miền X trù mật trong L
2

(R
n
),
và vì thế nó được mở rộng tới một toán tử unita trên L
2
(R
n
).
Giả sử f =
m

k=1
c
k
T
x
k
M
ω
k
ϕ
1
là một phần tử bất kì trong X, khi đó:
f
2
L
2
=
m


k,l=1
c
k
c
l
T
x
k
M
ω
k
ϕ
1
, T
x
l
M
ω
l
ϕ
1

=
m

k,l=1
c
k
c
l

F (T
x
k
M
ω
k
ϕ
1
) , F (T
x
l
M
ω
l
ϕ
1
)
=


f,

f

=
ˆ
f
2
L
2

.
Định lí được chứng minh.
Bổ đề 1.2.4. Với x, ω ∈ R
n
và f ∈ S (R
n
) ta có các tính chất sau:
1) (T
x
f)ˆ= M
−x

f. (1.13)
2) (M
ω
f)ˆ= T
ω

f. (1.14)
3) (T
x
M
ω
f)ˆ= M
−x
T
ω

f = e
−2πix·ω

T
ω
M
−x

f. (1.15)
4) f ∗g
L
1
≤ f
L
1
g
L
1
, (f ∗g)ˆ=

f.g,

f
∗
=

f,


f =


f. (1.16)