Nón tiệm cận, Hàm tiệm cận và ứng dụng

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm người đã định
hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa
luận này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học,
các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm
luận văn.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè, đồng nghiệp đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi
hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, tháng 11 năm 2011
Trần Thị Thu Hiền
LỜI CAM ĐOAN
Dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm luận văn
Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Nón tiệm cận, hàm tiệm
cận và ứng dụng” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân,
không trùng với bất cứ luận văn nào khác.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựa
của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2011
Trần Thị Thu Hiền
Mục lục
Bảng kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Mở đầu 6
Chương 1. Tập lồi và hàm lồi 8
1.1 Tập lồi và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Chương 2. Hàm tiệm cận và nón tiệm cận 21
2.1 Định nghĩa nón tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Tính đối ngẫu của nón tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Tiêu chuẩn về tính đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Hàm tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5 Phép tính vi phân ở vô cực . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Chương 3. Sự tồn tại nghiệm và tính ổn định trong bài toán
tối ưu 57
3.1 Các bài toán bức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Hàm bức yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3 Sự tồn tại nghiệm tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4 Tính ổn định cho các bài toán có ràng buộc . . . . . . . 75
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
BẢNG KÍ HIỆU
R đường thẳng thực
R đường thẳng thực mở rộng
R
n
không gian Euclid n - chiều
x, y tích vô hướng của x và y
x chuẩn của x
conv C bao lồi của tập C
aff C bao affine của tập C
pos C bao dương của tập C
intC phần trong của tập C
C bao đóng của tập C
ri C phần trong tương đối của tập C
ext C tập các điểm biên của tập C
extray C tập các tia cực biên của tập C
σ
C

hàm giá của tập C
δ
C
hàm chỉ của tập C
γ
C
hàm cỡ của tập C
K
∗
nón cực của K
M
⊥
phần bù trực giao của M
5
f
∗
, f
∗∗
liên hợp, liên hợp bậc hai của f
lev(f, λ) tập mức của hàm f
inf f cận dưới đúng của hàm f
sup f cận trên đúng của hàm f
min f giá trị nhỏ nhất của hàm f
max f giá trị lớn nhất của hàm f
Ker f hạt nhân, hạch của hàm f
rge f ảnh của hàm f
dom f miền hữu hiệu của hàm f
epi f trên đồ thị của hàm f
∂f
∂x

i
đạo hàm riêng của hàm f theo biến x
i
∇f(x) gradient của f
C
∞
nón tiệm cận của tập C
f
∞
hàm tiệm cận của hàm f
C
f
không gian hằng của f
K
f
nón tiệm cận của f
L
f
không gian tuyến tính của f
adc hằng số theo phương tiệm cận
als hàm ổn định mức tiệm cận.
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Giải tích lồi đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết
các bài toán cực trị và các ngành toán học ứng dụng có sử dụng công
cụ giải tích và không gian tuyến tính. Sự tách tập lồi và biến đổi liên
hợp Legendre-Fenchel là những khái niệm cơ bản có tính cơ sở dẫn tới
sự thành công của giải tích lồi. Hai khái niệm cơ bản khác góp phần làm
cho giải tích lồi trở thành công cụ giải tích tuyệt vời là khái niệm của
nón tiệm cận và hàm tiệm cận.

Do đó, được sự gợi ý của các thầy giảng dạy chuyên ngành Toán
giải tích cùng với sự giúp đỡ của thầy Nguyễn Năng Tâm, tôi chọn đề
tài “Nón tiệm cận, hàm tiệm cận và ứng dụng” để nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
Nắm được các khái niệm và ứng dụng của nón tiệm cận và hàm
tiệm cận để bổ sung kiến thức, củng cố và hiểu biết sâu hơn về Toán
giải tích và ứng dụng của nó.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về nón tiệm cận, hàm tiệm cận và ứng dụng.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nón tiệm cận, hàm tiệm cận và một số ứng dụng.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Tìm hiểu các thông tin trong sách báo liên quan đến nội dung
nghiên cứu.
- Sử dụng các phương pháp của giải tích và đại số tuyến tính.
- Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
7
6. Những đóng góp mới của đề tài
Trình bày được một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về nón
tiệm cận, hàm tiệm cận và một số tính chất. Nghiên cứu được một số
ứng dụng của nón tiệm cận và hàm tiệm cận trong giải tích biến phân
và tối ưu hóa.
Chương 1
Tập lồi và hàm lồi
Tính lồi đóng một vai trò cơ bản trong các bài toán tối ưu. Chương
này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về tập lồi, hàm lồi.
1.1 Tập lồi và các tính chất
Định nghĩa 1.1.1. Tập C ⊂ R
n
lồi nếu ∀x, y ∈ C, ∀t ∈ [0, 1] thì

tx + (1 − t)y ∈ C.
Định nghĩa 1.1.2. Giao của tất cả các tập lồi chứa tập C ⊂ R
n
được
gọi là bao lồi của C, kí hiệu conv C.
Định nghĩa 1.1.3. Tập C ⊂ R
n
được gọi là đa tạp affine nếu
∀x, y ∈ C, ∀t ∈ R ⇒ tx + (1 − t)y ∈ C.
Từ định nghĩa ta có R
n
, các điểm, các đường thẳng và các siêu phẳng
trong R
n
là các đa tạp affine. Đa tạp affine đóng và lồi.
Mệnh đề 1.1.1. (Xem [4])
Cho C là tập con khác rỗng trong R
n
. Các mệnh đề sau tương đương
(a) C là đa tạp affine.
(b) C = x + M = {y | y − x ∈ M}, M là không gian con.
(c) C = {x | Ax = b}, A ∈ R
m×n
, b ∈ R
n
.
Định nghĩa 1.1.4. Giao của tất cả các tập affine chứa tập C ⊂ R
n
được gọi là bao affine của C, kí hiệu aff A.
9

Nhận xét 1.1.1. aff A là tập affine nhỏ nhất chứa A.
Mệnh đề 1.1.2. (Xem [4]) Giả sử C ⊂ R
n
khi đó,
(a) conv C là tổ hợp lồi của các phần tử thuộc C, tức là,
conv C = {
m

i=1
t
i
x
i
| x
i
∈ C, t
i
≥ 0,
m

i=1
t
i
= 1}.
(b) aff C là một đa tạp affine và conv C ⊂ aff C.
(c) aff C = aff(conv C).
Mệnh đề 1.1.3. (Xem [4])
Cho {C
i
| i ∈ I} là họ các tập lồi C

i
⊂ R
n
i
ta có:
(a) C
1
× · · · × C
m
lồi trong R
n
1
× · · · × R
n
m
.
(b)

i∈I
C
i
lồi với n
i
= n, ∀i.
(c)
m

i=1
C
i

lồi với n
i
= n, ∀i.
(d) Ảnh của tập lồi qua ánh xạ tuyến tính là một tập lồi.
Định lý 1.1.1. (Định lý Caratheodory) (Xem [2])
Cho C ⊂ R
n
, khi đó ∀x ∈ conv C là tổ hợp lồi của không quá n +1 điểm
khác nhau của C, tức là ∃a
0
, , a
m
∈ C và λ
0
, , λ
m
≥ 0 với m ≤ n sao
cho
m

i=1
λ
i
= 1 và x =
m

i=1
λ
i
a

i
.
Định nghĩa 1.1.5. Cho C ⊂ R
n
là tập lồi, các tập
int C = {x ∈ R
n
| ∃ε > 0, x + εB ⊂ C}
C =

ε>0
(C + εB)
lần lượt được gọi là phần trong và bao đóng của C.
Định nghĩa 1.1.6. Phần trong tương đối của C ⊂ R
n
là phần trong
của C trong aff C, kí hiệu ri C
ri C = {x ∈ aff C | ∃ε > 0, (x + εB) ∩ aff C ⊂ C}.
10
Nhận xét 1.1.2. x ∈ ri A ⇔ tồn tại lân cận mở V của x trong R
n
sao
cho V ∩ aff A ⊂ A.
Ví dụ 1.1.1. Trong R
2
, A = [a, b], khi đó ri A = (a, b).
Mệnh đề 1.1.4. (Xem [4])
Cho C là tập lồi khác rỗng trong R
n
. Khi đó

(a) ri C = ∅ và aff C = C.
(b) Nếu x ∈ C và y ∈ C thì
tx + (1 − t)y ∈ ri C, ∀t ∈ [0, 1]
và do đó ri C lồi.
(c) C = ri C, ri C = ri C.
Mệnh đề 1.1.5. (Xem [4])
Cho C, D là hai tập lồi trong R
n
. Khi đó, với α, β ∈ R
ri(αC + βD) = α ri C + β ri D.
Vì vậy, với α = −β = 1, ta có
0 ∈ ri(C − D) ⇔ ri C ∩ ri D = ∅.
Mệnh đề 1.1.6. (Xem [4])
Cho C là tập lồi khác rỗng trong R
n
. Khi đó
(a) ri C ⊂ C ⊂ C.
(b) C = C; ri(ri C) = ri C.
(c) A(C) ⊂ A(C) và ri A(C) = A(ri C)
trong đó A : R
n
→ R
n
là ánh xạ tuyến tính.
Hơn nữa, A
−1
(S) = {x ∈ R
n
| A(x) ∈ S} là nghịch ảnh của A với S ⊂ R
n

.
Khi đó, nếu A
−1
(ri C) = ∅ thì
ri(A
−1
C) = A
−1
(ri C); A
−1
(C) = A
−1
(C).
11
Định nghĩa 1.1.7. Tập K ⊂ R
n
được gọi là nón nếu
∀x ∈ K, ∀t ≥ 0 ⇒ tx ∈ K.
Nếu K là nón và là tập lồi thì ta nói K là nón lồi.
Ví dụ 1.1.2. Các tập sau đây trong R
n
{x ∈ R
n
| x
i
≥ 0, i = 1, , n}
{x ∈ R
n
| x
i

> 0, i = 1, , n}
là các nón lồi.
Mệnh đề 1.1.7. (Xem [4])
Giả sử K ⊂ R
n
, các mệnh đề sau tương đương
(a) K là nón lồi;
(b) K là nón thỏa mãn K + K ⊂ K.
Định nghĩa 1.1.8. Cho K ⊂ R
n
, nón cực của K là một nón được xác
định
K
∗
= {y ∈ R
n
| y, x ≤ 0, ∀x ∈ K}.
Lưỡng cực (hay là song cực) của K là nón K
∗∗
= (K
∗
)
∗
.
Tính trực giao của các không gian con là một trường hợp đặc biệt
của cực của nón. Cho M là không gian con của R
n
M
∗
= M

⊥
= {y ∈ R
n
| y, x = 0, ∀x ∈ M}.
Mệnh đề 1.1.8. (Xem [4])
Cho K ⊂ R
n
, nón cực K
∗
đóng, lồi và K
∗∗
= conv K. Nếu K đóng và
lồi thì K
∗∗
= K.
Mệnh đề 1.1.9. (Xem [4])
Cho K ⊂ R
n
là nón lồi. Khi đó
int K = ∅ ⇔ K
∗
là nón nhọn .
12
Định nghĩa 1.1.9. Cho C ⊂ R
n
là tập lồi khác rỗng, nón pháp tuyến
của C tại x, kí hiệu N
C
(x) được định nghĩa
N

C
(x) =



{v ∈ R
n
| v, x − x ≤ 0 ∀x ∈ C} nếu x ∈ C
∅ nếu x /∈ C
.
Định nghĩa 1.1.10. Cho C ⊂ R
n
là tập lồi khác rỗng, nón tiếp tuyến
của C tại x, kí hiệu T
C
(x) được định nghĩa
T
C
(x) = {d ∈ R
n
| ∃ t > 0, x + td ∈ C}.
Với x ∈ C, nón N
C
(x) và T
C
(x) là cực của nhau.
Mệnh đề 1.1.10. (Xem [4])
Nón K
i
⊂ R

n
, i = 1, , n. Khi đó
(a) K
1
⊂ K
2
⇒ K
∗
2
⊂ K
∗
1
và K
∗∗
1
⊂ K
∗∗
2
.
(b) K = K
1
+ K
2
⇒ K
∗
= K
∗
1
∩ K
∗

2
.
(c) K = K
1
∩ K
2
với K
1
, K
2
đóng ⇒ K
∗
= K
∗
1
+ K
∗
2
.
Nếu 0 ∈ int (K
1
− K
2
) thì K
∗
= K
∗
1
+ K
∗

2
(d) Với họ nón {K
i
| i ∈ I} trong R
n
K =

i∈I
K
i
⇒ K
∗
=

i∈I
K
∗
i
.
(e) Cho A : R
n
→ R
n
là ánh xạ tuyến tính và K là nón lồi đóng của R
n
.
Khi đó
{x|Ax ∈ K}
∗
= {A

T
y | y ∈ K}.
Nếu 0 ∈ int (K − rge A) trong đó rge A = {Ax | x ∈ R
n
} thì
{x | Ax ∈ K}
∗
= {A
T
y | y ∈ K}.
Định nghĩa 1.1.11. Nón K ⊂ R
n
được gọi là sinh hữu hạn nếu nó viết
được dưới dạng
K = {
p

i=1
t
p
a
p
| a
i
∈ R
n
, t
i
≥ 0, i = 1, , p}.
13

Định nghĩa 1.1.12. Cho C là tập lồi khác rỗng trong R
n
. Ta nói véc
tơ d là một phương lùi xa của C nếu
x + λd ∈ C; ∀x ∈ C, ∀λ > 0.
Tập tất cả các phương lùi xa của C được gọi là nón lùi xa của C và được
ký hiệu là o
+
(C). Vậy
o
+
(C) = {d ∈ R
n
| x + λd ∈ C; ∀x ∈ C, ∀λ > 0}.
Ví dụ 1.1.3. Xét tập C = {(x
1
, x
2
) | x
1
> 0, x
2
> 0} ∪ {(0, 0)}.
Khi đó, d = (d
1
, d
2
) ∈ o
+
(C) ⇔ x + λd ∈ C, ∀λ > 0, ∀x = (x

1
, x
2
) ∈ C.
⇔











x
1
+ λd
1
> 0
x
2
+ λd
2
> 0



x

1
+ λd
1
= 0
x
2
+ λd
2
= 0
⇔











d
1
> 0
d
2
> 0




d
1
= 0
d
2
= 0
⇒ o
+
(C) = C
Mệnh đề 1.1.11. (Xem [2])
Cho C là tập lồi đóng khác rỗng. Lúc đó, o
+
(C) là nón lồi đóng và
(a) d ∈ o
+
(C) ⇔ ∃x
0
∈ C, ∀λ > 0 : x
0
+ λd ∈ C.
(b) o
+
(C) =

λ>0
λ(C − x
0
); với mọi x
0
∈ C.

Định nghĩa 1.1.13. Cho C ⊂ R
n
là tập khác rỗng, nón nhỏ nhất chứa
C được gọi là bao dương (hay bao conic) của C, kí hiệu pos C
pos C = {λx | x ∈ C, λ > 0} ∪ {0}.
Bao dương pos C cũng được gọi là nón sinh bởi C.
Định nghĩa 1.1.14. Tập P ⊂ R
n
được gọi là tập đa diện nếu nó có
dạng
P = {x ∈ R
n
| a
i
, x ≤ b
i
, i = 1, , p}
trong đó a
i
∈ R
n
, b
i
∈ R, i = 1, , p.
Khi b
i
= 0, ∀i = 1, , p thì P được gọi là nón đa diện.
14
Định nghĩa 1.1.15. Cho C ⊂ R
n

là tập lồi khác rỗng. Tập F ⊂ C được
gọi là mặt (hay diện, bề mặt) của C nếu
∀x, y ∈ C, F ∩ [x, y] = ∅ thì [x, y] ⊂ F.
Định nghĩa 1.1.16. Điểm z ∈ C được gọi là biên của C nếu {z} là
mặt, tức z không thể viết được dưới dạng
z = λx + (1 − λ)y, x, y ∈ C, x = y, λ ∈ (0, 1).
Tập các điểm biên của C, kí hiệu ext C.
Định nghĩa 1.1.17. Tia cực biên của C là hướng của nửa đường thẳng
là mặt của C.
Tập các tia cực biên của C kí hiệu là extray C.
Định lý 1.1.2. (Định lý Krein - Milman) (Xem [4])
Cho C là tập lồi đóng khác rỗng không chứa đường thẳng nào. Khi đó
C = conv(ext C ∪ extray C).
Định lý 1.1.3. (Định lý Minkowski) (Xem [4]) Cho C là tập lồi compact
khác rỗng trong R
n
. Khi đó
C = conv(ext C).
1.2 Hàm lồi
Định nghĩa 1.2.1. Cho f : R
n
→ R, các tập
dom f = {x ∈ R
n
| f(x) < ∞}
epi f = {(x, α) ∈ R
n
× R | f(x) ≤ α}
được gọi lần lượt là miền hữu hiệu và trên đồ thị của f.
15

Định nghĩa 1.2.2. Hàm f được gọi là chính thường nếu dom f = ∅ và
f(x) > −∞, ∀x ∈ R
n
.
Trái lại, f được gọi là phi chính.
Định nghĩa 1.2.3. Với mỗi α ∈ R ta gọi tập hợp sau là tập mức của f
lev(f, α) = {x ∈ R
n
| f(x) ≤ α}.
Cho f : R
n
→
R, kí hiệu
inf f = inf{f(x) | x ∈ R
n
}
argmin f = argmin{f(x) | x ∈ R
n
}
= {x ∈ R
n
| f(x) = inf f}.
Định lý 1.2.1. (Xem [4])
Cho f : R
n
→ R, các mệnh đề sau tương đương:
(a) f nửa liên tục dưới trên R
n
;
(b) epi f là tập đóng trong R

n
× R;
(c) Tập mức lev(f, α) đóng trong R
n
, ∀α ∈ R.
Định nghĩa 1.2.4. Bao đóng của hàm f, kí hiệu là f, được xác định
sao cho
epi(f) = epi f.
Định nghĩa 1.2.5. Hàm f : R
n
→ R được gọi là lồi nếu epi f là tập lồi
khác rỗng trong R
n
× R.
Hàm f được gọi là lõm nếu −f lồi.
Định lý 1.2.2. (Xem [2])
Hàm f : R
n
→ R được gọi là lồi khi và chỉ khi
∀x, y ∈ R
n
, ∀t ∈ (0, 1) ⇒ f(tx + (1 − t)y) ≤ tf(x) + (1 − t)f(y).
16
Định lý 1.2.3. (Bất đẳng thức Jensen) (Xem [2])
Cho f : R
n
→ R. Khi đó f là hàm lồi khi và chỉ khi ∀λ
i
≥ 0,
i = 1, , m,

m

i=1
λ
i
= 1, ∀x
i
∈ R
n
f(λ
1
x
1
+ · · · + λ
m
x
m
) ≤ λ
1
f(x
1
) + · · · + λ
m
f(x
m
).
Ví dụ 1.2.1. Hàm chỉ δ
C
(.) của tập lồi C ⊂ R
n

là hàm lồi
δ
C
(x) =



0 nếu x ∈ C
+∞ nếu x /∈ C
Thật vậy, với ∀x, y ∈ R
n
, ∀t ∈ (0, 1) ta có
δ
C
(tx + (1 − t)y) =



0 nếu tx + (1 − t)y ∈ C
+∞ nếu tx + (1 − t)y /∈ C
- Nếu x, y ∈ C thì δ
C
(x) = δ
C
(y) = 0.
Vì C lồi nên tx + (1 − t)y ∈ C ⇒ δ
C
(tx + (1 − t)y) = 0.
Do đó, δ
C

(tx + (1 − t)y) = tδ
C
(x) + (1 − t)δ
C
(y).
- Nếu





x, y /∈ C
x ∈ C, y /∈ C
x /∈ C, y ∈ C
thì
δ
C
(tx + (1 − t)y) = +∞ và tδ
C
(x) + (1 − t)δ
C
(y) = +∞
Vậy
δ
C
(tx + (1 − t)y) = tδ
C
(x) + (1 − t)δ
C
(y) với ∀x, y ∈ R

n
, ∀t ∈ (0, 1)
Suy ra, hàm chỉ δ
C
(.) là hàm lồi.
Định nghĩa 1.2.6. Hàm f : R
n
→ R được gọi là nửa liên tục dưới (lsc)
tại x nếu
f(x) ≤ lim
y→x
inf f(y).
f được gọi là nửa liên tục dưới nếu nó nửa liên tục dưới tại mọi x ∈ R
n
.
17
Mệnh đề 1.2.1. (Xem [4])
Hàm lồi f : R
n
→ R ∪ {+∞} nửa liên tục dưới tại x mà f(x) < ∞ khi
và chỉ khi f(x) = f(x).
Mệnh đề 1.2.2. (Xem [4])
Cho f
i
: R
n
→ R ∪ {+∞}, i = 1, , p là một dãy các hàm lồi chính
thường. Nếu
p


i=1
ri(domf
i
) = ∅ thì
f
1
+ · · · + f
p
= f
1
+ · · · + f
p
.
Định nghĩa 1.2.7. Cho f : R
n
→ R, bao lồi của f kí hiệu là conv f
được xác định như sau
conv f(x) = inf{r ∈ R | (x, r) ∈ conv(epi f)}
= inf{
n+1

i=1
t
i
f(x
i
) |
n+1

i=1

t
i
x
i
= x, x
i
∈ dom f,
n+1

i=1
t
i
= 1}.
Định nghĩa 1.2.8. Cho f : R
n
→ R ∪{+∞}, hàm f
∗
: R
n
→ R ∪{+∞}
được xác định
f
∗
(y) = sup
x
{x, y − f(x)}
được gọi là hàm liên hợp của f.
Hàm liên hợp bậc hai của f được xác định
f
∗∗

(x) = sup
y
{x, y − f
∗
(y)}.
Nhận xét 1.2.1. (Xem [4]) Từ định nghĩa ta có
x, y ≤ f(x) + f
∗
(y) ∀x ∈ dom f, y ∈ dom f
∗
Bất đẳng thức trên gọi là bất đẳng thức Fenchel.
Khi conv f chính thường, luôn có f
∗
và f
∗∗
chính thường, nửa liên tục
dưới, lồi và có quan hệ sau
f
∗∗
(x) = conv f; f
∗∗
≤ f.
18
Định lý 1.2.4. (Fenchel-Moreau) (Xem [4])
Cho f : R
n
→ R ∪ {+∞} là hàm lồi. Khi đó hàm liên hợp f
∗
chính
thường, nửa liên tục dưới và lồi khi và chỉ khi f chính thường.

Hơn nữa,
(f)
∗
= f
∗
và f
∗∗
= f.
Định nghĩa 1.2.9. Giả sử f
i
: R
n
→ R ∪ {+∞}, i = 1, , m là các hàm
chính thường, tổng chập infimal của f
1
, , f
m
là hàm h được xác định
h(x) = (f
1
⊕· · ·⊕f
m
)(x) = inf{f
1
(x
1
)+· · ·+f
m
(x
m

) |
m

i=1
x
i
= x} ∀x ∈ R
n
.
Định nghĩa 1.2.10. Cho hàm f : R
n
→ R khả vi, gradient của f tại x
kí hiệu ∇f(x) được xác định
∇f(x) = (
∂f(x)
∂x
1
, · · · ,
∂f(x)
∂x
n
).
Định nghĩa 1.2.11. Cho hàm f : R
n
→ R là hàm lồi, x ∈ R
n
, f(x) < ∞,
dưới gradient của hàm f tại x là véc tơ g ∈ R
n
sao cho

f(y) − f(x) ≥ g, y − x ∀y ∈ R
n
.
Định nghĩa 1.2.12. Tập tất cả dưới gradient của f tại x được gọi là
dưới vi phân của f tại x ∈ R
n
, kí hiệu ∂f(x). Tức là,
∂f(x) = {g ∈ R
n
| f(y) − f(x) ≥ g, y − x ∀y ∈ R
n
}.
Định nghĩa 1.2.13. Hàm f được gọi là khả dưới vi phân nếu ∂f(x) = ∅.
Mệnh đề 1.2.3. (Xem [4])
Cho hàm f : R
n
→ R là hàm lồi, chính thường. Khi đó
∂f(x) = ∅, bị chặn ⇔ x ∈ int (dom f).
Định nghĩa 1.2.14. Cho C là tập khác rỗng trong R
n
định nghĩa hàm
σ
C
: R
n
→ R ∪ {+∞} như sau:
σ
C
(d) = sup{x, d | x ∈ C}
19

được gọi là hàm giá của C.
Định nghĩa 1.2.15. Miền xác định của σ
C
được định nghĩa bởi
dom σ
C
= {x ∈ R
n
| σ
C
(x) < ∞}
được gọi là nón chắn của C, kí hiệu là b(C).
Định nghĩa 1.2.16. Hàm π : R
n
→ R ∪ {+∞} thuần nhất dương nếu
0 ∈ dom π và π(λx) = λπ(x), ∀x, ∀λ > 0.
Mệnh đề 1.2.4. (Xem [4]) Cho C là tập khác rỗng trong R
n
, hàm tựa
σ
C
có các tính chất sau:
(a) σ
C
là hàm lồi, thuần nhất dương và nửa liên tục dưới.
(b) Nón chắn dom σ
C
là nón lồi.
(c) σ
C

= σ
C
= σ
conv C
= σ
conv C
.
(d) σ
C
< +∞ ⇔ C bị chặn.
(e) Nếu C lồi thì σ
C
= σ
ri C
.
Định lý 1.2.5. (Xem [4])
Cho C là tập lồi khác rỗng trong R
n
và
B(d) = σ
C
(d) + σ
C
(−d), d ∈ R
n
Khi đó, B(d) ≥ 0 và
(a) x ∈ affC ⇔ x, d = σ
C
(d), ∀d với B(d) = 0.
(b) x ∈ ri C ⇔ x, d < σ

C
(d), ∀d với B(d) > 0.
(c) x ∈ int C ⇔ x, d > σ
C
(d), ∀d = 0.
(d) x ∈ C ⇔ x, d ≤ σ
C
(d), ∀d.
Nhận xét 1.2.2. (Xem [4])
Giả sử C ⊂ R
n
, δ(., C) là hàm chỉ của tập C. Khi đó
δ
∗
C
(x) = sup
y
{y, x − δ
C
(y)}
= sup
y∈C
y, x = σ
C
(x).
20
Do đó, σ
∗
C
(.) = (δ

∗
C
)(.))
∗
= δ
C
(.) = δ
C
(.).
Nếu C là tập lồi đóng thì
σ
∗
C
(.) = δ
C
(.).
Giải tích lồi xuất hiện như một công cụ có sự ảnh hưởng mạnh mẽ
tới sự phát triển của tối ưu hóa và giải tích biến phân. Các kết quả được
đưa ra một cách tổng quát trong chương này nhằm mục đích giới thiệu
các kiến thức cần thiết của giải tích lồi sẽ được sử dụng trong luận văn
này. Phần chi tiết và chứng minh cho các kết quả trong chương này có
thể tham khảo thêm trong tài liệu số [1], [2] và [3].
Chương 2
Hàm tiệm cận và nón tiệm cận
Cho một tập con của R
n
chúng ta quan tâm tới việc nghiên cứu
dáng điệu của nó ở vô tận. Điều này dẫn tới khái niệm của nón tiệm
cận, hàm tiệm cận thông qua trên đồ thị của nó. Sử dụng giải tích thực
cơ bản và các khái niệm hình học chúng ta phát triển một công cụ toán

học đầy đủ để xử lý dáng điệu tiệm cận của tập, hàm và các phép toán
hàm cảm sinh.
2.1 Định nghĩa nón tiệm cận
Trước tiên ta nhắc lại một số khái niệm sau:
Dãy x
k
trong R
n
được gọi là hội tụ tới x nếu
x
k
− x → 0 khi k → ∞
Kí hiệu: x
k
→ x hoặc lim
k→∞
x
k
= x.
Điểm x được gọi là điểm tụ của dãy {x
k
} nếu tồn tại dãy con của
dãy {x
k
} hội tụ tới x.
Một dãy trong R
n
hội tụ tới x khi và chỉ khi dãy đó bị chặn và x
là điểm tụ duy nhất của nó.
Cho {x

k
} là một dãy trong R
n
. Chúng ta quan tâm tới việc làm
thế nào để giải quyết các trường hợp khi dãy {x
k
} không bị chặn. Để
dẫn tới một vài tính chất hội tụ chúng ta xét phương d
k
= x
k
x
k

−1
.
Từ định lý Bolzano-Weierstrass trong giải tích cổ điển suy ra tồn
22
tại dãy con hội tụ
d = lim
k→∞
d
k
, K ⊂ N, d = 0.
Giả sử dãy {x
k
} thỏa mãn x
k
 → +∞.
Khi đó, ∃t

k
= x
k
 , k ∈ K ⊂ N sao cho
lim
k→∞
t
k
= +∞ và lim
k→∞
x
k
t
k
= d.
Điều này dẫn chúng ta tới khái niệm sau.
Định nghĩa 2.1.1. Dãy {x
k
} ⊂ R
n
được gọi là hội tụ tới phương d ∈ R
n
nếu
∃{t
k
}, t
k
→ +∞ sao cho lim
k→∞
x

k
t
k
= d.
Định nghĩa 2.1.2. Cho C là tập khác rỗng trong R
n
. Khi đó nón tiệm
cận của tập C, kí hiệu C
∞
, là tập hợp các véc tơ d ∈ R
n
là giới hạn theo
phương của dãy {x
k
} ⊂ C. Tức là,
C
∞
= {d ∈ R
n
| ∃t
k
→ +∞, ∃x
k
∈ C với lim
k→∞
x
k
t
k
= d}.

Ví dụ 2.1.1. Cho C là tập lồi đa diện, C = {x ∈ R
n
| Ax ≤ b}, trong
đó A là ma trận cấp (m × n) và b ∈ R
n
. Ta có
d ∈ C
∞
⇔ ∃t
k
→ +∞, ∃x
k
∈ C với lim
k→∞
x
k
t
k
= d.
Lấy x
k
∈ C, khi đó với ∀k ∈ N : t
k
→ +∞, ta có
x
k
∈ C ⇔ Ax
k
≤ b ⇔ A(t
−1

k
x
k
) ≤ t
−1
k
b.
Chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức trên ta có Ad ≤ 0.
Vậy C
∞
= {d ∈ R
n
| Ad ≤ 0}.
Từ định nghĩa ta suy ra các kết quả sau.
23
Mệnh đề 2.1.1. Cho C ⊂ R
n
, C = ∅. Khi đó,
(a) C
∞
là nón đóng.
(b) (
¯
C)
∞
= C
∞
.
(c) Nếu C là nón thì C
∞

= C.
Mệnh đề 2.1.2. Tập C ⊂ R
n
bị chặn khi và chỉ khi C
∞
= {0}.
Chứng minh. Nếu C bị chặn thì hiển nhiên C
∞
= {0}.
Ngược lại, nếu C
∞
= {0}.
Giả sử C không bị chặn, khi đó ∃{x
k
} ⊂ C, x
k
= 0
∀k ∈ N : t
k
= x
k
 → +∞.
Do đó,
d
k
= x
k
x
k


−1
∈ {d | d = 1}.
Suy ra, tồn tại dãy con của {d
k
} sao cho
lim
k∈K
d
k
= d, K ⊂ N và d = 1.
Theo định nghĩa d
k
∈ C
∞
và d
k
= 0 ⇒ trái giả thiết C
∞
= {0}.
Vậy C bị chặn.
Khái niệm sau sẽ giúp chúng ta đơn giản hóa định nghĩa của C
∞
trong trường hợp đặc biệt C ⊂ R
n
lồi.
Định nghĩa 2.1.3. Cho C ⊂ R
n
, C = ∅ và định nghĩa
C
1

∞
= {d ∈ R
n
| ∀t
k
→ +∞, ∃x
k
∈ C với lim
k→∞
x
k
t
k
= d}
C tiệm cận đều nếu C
∞
= C
1
∞
.
Mệnh đề 2.1.3. Cho C là tập lồi khác rỗng trong R
n
. Khi đó, C tiệm
cận đều tức C
∞
= C
1
∞
.
Chứng minh. Từ định nghĩa của C

∞
, C
1
∞
ta có C
1
∞
⊂ C
∞
.
Lấy bất kỳ d ∈ C
∞
⇒ ∃{x
k
} ∈ C, ∃s
k
→ ∞ sao cho
d = lim
k→∞
s
k
−1
x
k
.
24
Lấy x ∈ C và đặt d
k
= s
k

−1
(x
k
− x). Khi đó, ta có
lim
k→∞
d
k
= d; x + s
k
d
k
∈ C.
Lấy {t
k
} là một dãy bất kì sao cho lim
k∈K
t
k
= +∞.
Với m cố định m ∈ N, ∃k(m) với lim
m→∞
k(m) = +∞,
sao cho t
m
≤ s
k
(m).
Vì C lồi nên x


m
= x + t
m
d
k(m)
.
Do đó,
lim
m→∞
t
−1
m
x

m
= lim
m→∞
t
−1
m
(x + t
m
d
k(m)
) = d.
Suy ra d ∈ C
1
∞
. Vậy C
1

∞
= C
∞
.
Nhận xét 2.1.1. Chú ý, điều ngược lại chưa chắc đúng tức nếu C tiệm
cận đều thì chưa chắc C lồi. Ví dụ C = {(x, y) ∈ R
2
| 1 ≤ x
2
+ y
2
≤ 4}.
Ta có C bị chặn nên theo mệnh đề 2.1.2 C
∞
= C
1
∞
= {0}, nhưng
C không phải là tập lồi.
Mệnh đề 2.1.4. Cho C ⊂ R
n
, C = ∅ và tập chuẩn hóa, kí hiệu C
N
được
xác định
C
N
= {d ∈ R
n
| ∃{x

k
} ∈ C, x
k
 → +∞ với lim
k→∞
x
k
x
k

= 1}.
Khi đó, C
∞
= pos C
N
.
Chứng minh. Ta luôn có pos C
N
⊂ C
∞
.
Ngược lại, lấy bất kì d = 0, d ∈ C
∞
⇒ ∃t
k
→ +∞, ∃x
k
∈ C sao cho
d = lim
k→∞

t
−1
k
x
k
= lim
k→∞
t
−1
k
x
k

x
x
k

,
với x
k
 → ∞.
Vì vậy dãy {t
−1
k
x
k
} là dãy bị chặn không âm.
Do đó, từ định lý Bozano-Weierstrass suy ra tồn tại dãy con
25
{t

−1
k
x
k
}, K ⊂ N sao cho lim
k→∞
t
−1
k
x
k
 = λ ≥ 0.
Suy ra, d = λd
N
, d
N
∈ C
N
⇒ d ∈ pos C
N
⇒ C
∞
⊂ pos C
N
.
Vậy C
∞
= pos C
N
.

Mệnh đề 2.1.5. Cho C là tập lồi khác rỗng trong R
n
. Khi đó, nón tiệm
cận C
∞
là tập lồi đóng. Hơn nữa, định nghĩa các tập sau
D(x) = {d ∈ R
n
| x + td ∈ C, ∀t > 0}, ∀x ∈ C
E = {d ∈ R
n
| ∃x ∈ C; x + td ∈ C, ∀t > 0}
F = {d ∈ R
n
| d + C ⊂ C}.
Khi đó, D(x) không phụ thuộc vào x (độc lập với x) vì vậy kí hiệu
D = D(x) và ta có
C
∞
= D = E = F.
Chứng minh. Theo mệnh đề 2.1.1, C
∞
là nón đóng, và do mệnh đề 2.1.3
C
∞
= C
1
∞
nên C
∞

lồi.
Bây giờ ta chứng minh ba công thức tương đương.
Lấy bất kỳ d ∈ C
∞
, x ∈ C, t > 0. Từ định nghĩa 2.1.2,
∃t
k
→ +∞, ∃d
k
→ d, với x + t
k
d
k
∈ C.
Lấy k đủ lớn sao cho t ≥ 0, khi đó vì C lồi nên
x + td
k
= (1 − t
−1
k
t)x + t
−1
k
t(x + t
k
d
k
) ∈ C.
Chuyển qua giới hạn ta có: x + td ∈ C ∀t > 0
suy ra, d ∈ D(x). Vậy C

∞
⊂ D(x).
Ta có D(x) ⊂ E ∀x ∈ C. Bây giờ ta chứng minh E ⊂ C
∞
.
Lấy d ∈ E, x ∈ C sao cho x(t) = x + td ∈ C, ∀t > 0
Khi đó, vì lim
t→∞
t
−1
x(t) = d và x(t) ∈ C nên d ∈ (C)
∞
= C
∞
và D(x) không phụ thuộc vào x. Vậy ta có D(x) = D = C
∞
= E.
Cuối cùng ta chứng minh F = C
∞
.