Một lớp bài toán biên elliptic cấp 2m trong nửa không gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II
NGUYỄN THỊ TÍNH
MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN ELLIPTIC CẤP 2m
TRONG NỬA KHÔNG GIAN
Ngành: Toán - Giải tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn: TS. Trần Văn Bằng
Hà Nội - 2011
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo, tiến sĩ Trần
Văn Bằng, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo giảng dạy
chuyên ngành Toán Giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học
tập và làm luận văn.
Cuối cùng, tác giả xin được cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp
đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành bản
luận văn này.
Hà Nội, tháng 11 năm 2011
Tác giả
2
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan :
Khóa luận ”Một lớp bài toán biên elliptic cấp 2m trong nửa không gian”
là kết quả nghiên cứu của riêng tôi, có tham khảo ý kiến của những người
đi trước, tham khảo tài liệu có liên quan, dưới sự hướng dẫn khoa học của
TS. Trần Văn Bằng.
Khóa luận không sao chép từ một tài liệu, một công trình nào sẵn có.
Kết quả khóa luận ít nhiều có đóng góp vào việc tìm hiểu, nghiên cứu

về bài toán biên.
Hà Nội, tháng 11 năm 2011
Tác giả
Nguyễn Thị Tính
Mục lục
Mở đầu 5
Chương 1. Bài toán biên đối với PTVP thường trên nửa trục 8
1.1 Bài toán biên và bài toán liên hợp hình thức . . . . . . . . 8
1.1.1 Thiết lập bài toán biên. . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Bài toán liên hợp hình thức (trường hợp µ
k
< 2m). 9
1.1.3 Bài toán liên hợp hình thức (trường hợp có µ
k
≥ 2m). 12
1.2 Tính giải được của bài toán biên trên nửa trục . . . . . . . 13
1.2.1 Không gian Sobolev trên nửa trục . . . . . . . . . . 14
1.2.2 Tính chính quy của bài toán biên trên nửa trục . . 15
1.2.3 Các phát biểu tương đương của tính chính quy . . . 16
1.2.4 Tính giải được của bài toán biên chính quy . . . . . 19
1.2.5 Tính giải được của bài toán liên hợp hình thức . . . 22
1.3 Bài toán biên chính quy trong không gian Sobolev với cấp âm 23
1.3.1 Không gian Sobolev với cấp âm . . . . . . . . . . . 24
1.3.2 Thác triển của toán tử A . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.3 Tính song ánh của toán tử A . . . . . . . . . . . . 28
1.4 Tính chất của toán tử liên hợp A
∗
. . . . . . . . . . . . . . 32
1.4.1 Mối quan hệ giữa toán tử liên hợp và toán tử liên
hợp hình thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.4.2 Tính song ánh của toán tử liên hợp . . . . . . . . . 34
1.4.3 Tính chính quy của nghiệm của bài toán liên hợp . 36
Chương 2. Bài toán biên elliptic trong nửa không gian 38
2.1 Nghiệm tuần hoàn của phương trình đạo hàm riêng . . . . 38
4
2.1.1 Không gian Sobolev của các hàm tuần hoàn . . . . 38
2.1.2 Tính giải được của phương trình đạo hàm riêng el-
liptic với hệ số hằng số . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.3 Tính chính qui của nghiệm tuần hoàn . . . . . . . . 41
2.2 Tính giải được của bài toán biên elliptic trong nửa không gian 44
2.2.1 Không gian Sobolev các hàm tuần hoàn . . . . . . 44
2.2.2 Toán tử vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.3 Tính elliptic của bài toán biên . . . . . . . . . . . . 46
2.2.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . 50
2.3 Tính giải được của bài toán biên elliptic trong không gian
Sobolev cấp nguyên tùy ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.1 Không gian Sobolev cấp âm . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.2 Công thức Green trong nửa không gian . . . . . . . 52
2.3.3 Thác triển của toán tử A trong bài toán biên . . . 56
2.3.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong trường hợp hệ
số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3.5 Tính chính qui của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3.6 Sự cần thiết của tính elliptic . . . . . . . . . . . . . 60
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình đạo hàm riêng là một bộ môn toán học cơ bản vừa mang
tính chất lý thuyết cao vừa mang tính ứng dụng rộng. Rất nhiều ngành
khoa học (kể cả xã hội), công nghệ đều phải sử dụng nó. Nó có mặt và góp

phần nâng cao tính hấp dẫn lý thú, tính đầy đủ sâu sắc, tính hiệu quả giá
trị của nhiều ngành như tối ưu, điều khiển tối ưu, trò chơi vi phân, giải tích
số, tính toán khoa học, kể cả các lý thuyết như lý thuyết kỳ dị, tai biến,
rẽ nhánh, hỗn loạn Lí thuyết phương trình vi phân và lí thuyết phương
trình đạo hàm riêng được rất nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu.
Đặc biệt, lớp bài toán biên elliptic có nhiều ứng dụng quan trọng. Trong
chương trình học, chúng ta đã nghiên cứu các khái niệm cơ bản, một số kết
quả điển hình về lớp phương trình elliptic đều (bài toán biên thứ nhất, thứ
hai, thứ ba). Tuy nhiên, nghiên cứu mới tập trung chủ yếu ở các phương
trình elliptic cấp 2. Qua tìm hiểu chúng tôi nhận thấy rằng, các phương
trình elliptic cấp 2m, với những điều kiện biên tổng quát đòi hỏi rất nhiều
vấn đề về kỹ thuật, cùng những các kiến thức cơ bản khác. Đặc biệt là các
vấn đề liên quan tới việc lựa chọn các không gian nghiệm, thường là các
không gian Sobolev, hoặc không gian H¨older.
Với mong muốn hiểu sâu hơn về lớp phương trình này, tôi đã chọn đề
tài:
”Một lớp bài toán biên elliptic cấp 2m trong nửa không gian”.
Nội dung của Luận văn bao gồm hai chương:
Chương 1: Trình bày lớp bài toán biên trong không gian một chiều.
Trong trường hợp này các vấn đề kỹ thuật đơn giản hơn trường hợp nhiều
chiều nên các ý tưởng được mô tả rõ ràng, các kết quả được chứng minh
chi tiết.
6
Chương 2: Khái quát hóa các khái niệm và các kết quả đã đạt được
trong Chương 1 cho trường hợp nhiều chiều. Trong trình huống này các
khái niệm, ý tưởng cơ bản được nêu rõ, tuy nhiên do khối lượng kiến thức
khá nhiều nên một số kết quả không được chứng minh chi tiết.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn tập trung nghiên cứu tính giải được và duy nhất nghiệm của
bài toán biên elliptic trong nửa không gian và tính chất của nghiệm.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên nhiệm vụ nghiên cứu của luận
văn là:
Nghiên cứu cách thiết lập bài toán với điều kiện biên tổng quát, khái
niệm chính qui hóa.
Nghiên cứu tính giải được và duy nhất nghiệm của bài toán trên nửa
trục trong không gian Sobolev với cấp nguyên tùy ý, nghiên cứu sự liên hệ
giữa bài toán biên liên hợp hình thức với bài toán liên hợp.
Nghiên cứu bài toán trong nửa không gian, tính giải được và duy nhất
nghiệm của bài toán trong không gian Sobolev của các hàm tuần hoàn.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
1) Không gian Sobolev
2) Tính chất định tính của một lớp bài toán biên elliptic cấp 2m trong
nửa không gian.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp của Giải tích hàm, các phương pháp đã biết trong
phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng cổ điển.
7
6. Những đóng góp của Luận văn
Trình bày một cách có hệ thống, rõ ràng một số kết quả cơ bản về tính
giải được và duy nhất nghiệm của một lớp bài toán biên elliptic cấp 2m
trên nửa trục, trên nửa không gian trong các không gian Sobolev thích
hợp.
Chương 1
Bài toán biên đối với phương trình
vi phân thường trên nửa trục
Chương này đề cập đến các bài toán biên cho phương trình vi phân
thường, tuyến tính, cấp 2m, với hệ số hằng trên khoảng (0, +∞). Đặc biệt
là khái niệm về tính chính quy của bài toán biên - đó là điều kiện cần và đủ
để bài toán biên có duy nhất nghiệm trong không gian Sobolev cấp nguyên

bất kỳ. Hơn nữa, chương này còn nghiên cứu mối liên hệ giữa bài toán liên
hợp hình thức (theo công thức "kiểu" Green) và bài toán liên hợp (theo
nghĩa của Giải tích hàm) của bài toán biên chính quy.
1.1 Bài toán biên và bài toán liên hợp hình thức
Trong mục này chúng tôi mô tả một lớp các bài toán biên trên R
+
=
(0, +∞). Theo nghĩa cổ điển, trong bài toán biên ta chỉ phải tìm một ẩn
hàm trên nửa trục, còn ở đây ngoài ẩn hàm u ta phải tìm thêm một vectơ
u ∈ C
J
, J ∈ N
∗
. Hơn nữa, chúng tôi còn trình bày một công thức kiểu
Green cho những bài toán này, từ đó dẫn tới bài toán liên hợp hình thức
cũng có cùng dạng với bài toán xuất phát.
1.1.1 Thiết lập bài toán biên.
Trong luận văn này, cho m, J ∈ Z, m > 0, J ≥ 0,
L(D
t
) =
2m

j=0
a
j
D
j
t
(1.1.1)

là toán tử vi phân tuyến tính cấp 2m với hệ số không đổi a
j
, trong đó
a
2m
= 0 và D
t
= −i∂
t
= −i.d/d
t
.
Cho µ
k
là các số nguyên,
B
k
(D
t
) =
µ
k

j=0
b
k,j
D
j
t
9

(k = 1, 2 · · · , m + J) là các toán tử vi phân tuyến tính cấp µ
k
với quy ước
là khi µ
k
âm thì toán tử B
k
được giả thiết là đồng nhất bằng 0, B(D
t
) là
vectơ các toán tử B
1
(D
t
), . . . , B
m+J
(D
t
).
Hơn nữa,
C = (c
k,j
)
1km+J,1jJ
là một ma trận hằng cấp (m + J) × J.
Với hàm f đã cho trên R
+
và véc tơ g ∈ C
m+J
, xét bài toán

L(D
t
)u(t) = f(t), t > 0, (1.1.2)
B(D
t
)u(t)|
t=0
+ Cu = g. (1.1.3)
Trong bài toán này chúng ta tìm một hàm u trên R
+
và một vectơ u =
(u
1
, . . . , u
J
) sao cho u là một nghiệm của phương trình vi phân (1.1.2), và
cặp (u, u) thoả mãn điều kiện biên (1.1.3), tức là
B
k
(D
t
)u(t)|
t=0
+
J

j=1
c
k,j
u

j
= g
k
, k = 1, . . . , m + J.
Chú ý 1.1.1. Nói chung, các véc tơ phải được hiểu là cột hay hàng một
cách thích hợp, chẳng hạn trong (1.1.3), u và g là các vectơ cột.
1.1.2 Bài toán liên hợp hình thức (trường hợp µ
k
< 2m).
Giả sử µ
k
< 2m, ∀k = 1, 2, · · · , m + J. Để xác định bài toán liên hợp
hình thức của bài toán (1.1.2), (1.1.3), ta cần một dạng điều chỉnh của
công thức Green cổ điển. Gọi
L
+
(D
t
) =
2m

j=0
a
j
D
j
t
là toán tử liên hợp hình thức của L. Hơn nữa, gọi D là vectơ
D = (1, D
t

, . . . , D
2m−1
t
). (1.1.4)
Khi đó, toán tử B(D
t
) có thể được viết dưới dạng
B(D
t
) = Q.D (1.1.5)
10
với D được xem như một vectơ cột, ma trận cấp (m + J) × 2m :
Q = (q
k,j
)
1≤k≤m+J,1≤j≤2m
có các phần tử xác định bởi:
q
k,j
=

b
k,j−1
với j = 1, . . . , µ
k
+ 1,
0 với j > µ
k
+ 1.
Định lý 1.1.2. [Công thức Green] Với mọi hàm u, v khả vi vô hạn, có giá

compact trên R
+
và với mọi vectơ u ∈ C
J
, v ∈ C
m+J
ta có công thức Green
sau:
∞

0
Lu.vdt +

B(D
t
)u|
t=0
+ Cu, v

C
m+J
(1.1.6)
=
∞

0
u.L
+
vdt +


(Du)(0), P (D
t
)v|
t=0
+ Q
∗
v

C
2m
+ (u, C
∗
v)
C
J
.
Ở đây P (D
t
) là vectơ với các thành phần:
P
j
(D
t
) = −i
2m−j

s=0
a
j+s
D

s
t
, j = 1, . . . , 2m, (1.1.7)
và Q
∗
, C
∗
tương ứng là các ma trận liên hợp của Q và C.
Chứng minh. Gọi L
j
là toán tử vi phân:
L
j
=
j−1

s=0
a
s
D
s
t
với j = 1, . . . , 2m, L
0
= 0. (1.1.8)
Ta chứng minh bằng quy nạp rằng:
∞

0
uL

+
vdt =
∞

0
(L
j
u.v − iD
j
t
u.P
j
v)dt −
j

s=1
(D
s−1
t
u)(0).(P
s
v)(0) (1.1.9)
với mọi hàm trơn u, v có giá compact. Rõ ràng, (1.1.9) thoả mãn với j = 0.
Giả sử (1.1.9) là đúng với một số nguyên không âm j = j
0
< 2m. Sử dụng
các phương trình:
L
j
u = −a

j
D
j
t
u + L
j+1
u,
11
P
j
v = −a
j
v + D
t
P
j+1
v
và lấy tích phân từng phần ta được:
∞

0
(L
j
u.v − iD
j
t
u.P
j
v)dt
=

∞

0
(L
j+1
u.v − iD
j+1
t
u.P
j+1
v)dt − (D
j
t
u)(0).(P
j+1
v)(0).
(1.1.10)
Vậy (1.1.9) thoả mãn với j = j
0
+ 1 và do đó thoả mãn với mọi số nguyên
không âm j ≤ 2m. Đặc biệt, khi j = 2m ta có:
∞

0
u.L
+
vdt =
∞

0

Lu.vdt −
2m

s=1
(D
s−1
t
u)(0).(P
s
v)(0). (1.1.11)
Hơn nữa,

B(D
t
)u|
t=0
, v

C
m+J
=

Q.(Du)(0), v

C
m+J
=

(Du)(0), Q
∗

v

C
2m
(1.1.12)
và
(Cu, v)
C
m+J
= (u, C
∗
v)
C
J
. (1.1.13)
Từ (1.1.11)-(1.1.13) ta suy ra (1.1.6). 
Cho P (D
t
) là toán tử trong công thức Green (1.1.6). Theo (1.1.7), ta
có biểu diễn
P = T.D
với T là ma trận tam giác:
T = −i





a
1

· · · a
2m−1
a
2m
a
2
· · · a
2m
0
.
.
.
a
2m
· · · 0 0





. (1.1.14)
Một cách tự nhiên ta định nghĩa bài toán liên hợp hình thức của bài toán
(1.1.2)-(1.1.3) là bài toán với các toán tử ở vế phải của công thức (1.1.6).
12
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử có công thức Green (1.1.6). Khi đó bài toán :
L
+
(D
t
)v(t) = f(t) với t > 0 (1.1.15)

P (D
t
)v(t)|
t=0
+ Q
∗
v = g, C
∗
v = h (1.1.16)
được gọi là bài toán liên hợp hình thức của bài toán (1.1.2), (1.1.3).
Theo biểu diễn của các phần tử q
k,j
của ma trận Q, các điều kiện biên
(1.1.16) của bài toán liên hợp hình thức có dạng sau:
P
j
(D
t
)v(t)|
t=0
+
m+J

k=1
µ
k
≥j−1
b
k,j−1
v

k
= g
j
, j = 1, . . . , 2m,
m+J

k=1
c
k,j
v
k
= h
j
, j = 1, . . . , J.
Vậy bài toán liên hợp hình thức có cùng cấu trúc như bài toán ban đầu.Tuy
nhiên, nó có số các điều kiện biên và số ẩn lớn hơn bài toán ban đầu.
1.1.3 Bài toán liên hợp hình thức (trường hợp có µ
k
≥ 2m).
Xét bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) mà không có sự hạn chế về cấp của
các toán tử biên B
k
: µ
k
< 2m. Gọi γ là một số nguyên sao cho
γ ≥ 2m, γ > max µ
k
với k = 1, . . . , m + J
và gọi D
(γ)

là các vectơ cột với các thành phần 1, D
t
, . . . , D
γ−1
t
. Khi đó
vectơ B(D
t
) có dạng:
B(D
t
) = Q
(γ)
.D
(γ)
, (1.1.17)
trong đó Q
(γ)
là một ma trận phức cấp (m+J)×γ. Hơn nữa, theo (1.1.11),
chúng ta có:
∞

0
Lu.vdx =
∞

0
u.L
+
vdx +


(D
(γ)
u)(0), (P
(γ)
v)(0)

C
γ
, (1.1.18)
13
trong đó P
(γ)
là vectơ với các thành phần P
1
(D
t
), . . . , P
2m
(D
t
), 0, . . . , 0.
Đặt R
(γ)
và ma trận cấp (γ − 2m) × γ :
R
(γ)
=






a
0
a
1
· · · a
2m
0 0
0 a
0
· · · a
2m−1
a
2m
0
.
.
.
.
.
.
0 0 · · · a
0
a
1
· · · a
2m






.
Khi đó, vectơ D
(γ−2m)
L(D
t
) có biểu diễn:
D
(γ−2m)
L(D
t
) = R
(γ)
.D
(γ)
. (1.1.19)
Do đó, với mọi hàm u, v khả vi vô hạn, có giá compact trên R
+
, với mọi
véc tơ u ∈ C
J
, v ∈ C
m+J
, ω ∈ C
γ−2m
chúng ta có công thức Green:
∞


0
Lu.vdt +

(D
(γ−2m)
Lu)(0), ω

C
γ−2m
+

(Bu)(0) + Cu, v

C
m+J
=
∞

0
u.L
+
udt +

(D
(γ)
u)(0), (P
(γ)
v)(0) + (R
(γ)

)
∗
ω + (Q
(γ)
)
∗
v

C
γ
+ (u, C
∗
v)
C
J
.
(1.1.20)
Hơn nữa, bài toán biên:
L
+
(D
t
)v(t) = f(t) với t > 0, (1.1.21)
P
(γ)
(D
t
)v(t)|
t=0
+ (R

(γ)
)
∗
ω + (Q
(γ)
)
∗
v = g C
∗
v = h (1.1.22)
được gọi là bài toán liên hợp hình thức của bài toán (1.1.2), (1.1.3) theo
công thức Green (1.1.20). Khi γ = 2m, bài toán này trùng với bài toán
(1.1.15),(1.1.16).
Lưu ý rằng các điều kiện biên (1.1.22) của bài toán liên hợp hình thức
chỉ chứa các đạo hàm đến cấp 2m − 1.
1.2 Tính giải được của bài toán biên trên nửa trục
Mục này chứng tỏ rằng: tính chính quy của bài toán biên (1.1.2), (1.1.3)
là cần và đủ để bài toán đó có duy nhất nghiệm trong không gian tích
14
W
l
2
(R
+
) × C
J
. Bên cạnh đó còn chỉ ra một số định nghĩa tương đương của
tính chính quy. Đặc biệt, ta chứng minh được rằng: bài toán biên chính
quy khi và chỉ khi bài toán liên hợp hình thức của nó chính quy.
1.2.1 Không gian Sobolev trên nửa trục

Cho C
∞
0
(R
+
), C
∞
0
(R
+
) là tập hợp tất cả các hàm khả vi vô hạn trên
R
+
= [0, +∞) tương ứng có giá compact trên R
+
và R
+
. Các không
gian Sobolev
o
W
l
2
(R
+
) và W
l
2
(R
+

) (l ∈ N), tương ứng là bao đóng của
C
∞
0
(R
+
), C
∞
0
(
R
+
) theo chuẩn :
u
W
l
2
(R
+
)
=

∞

0
l

j=0
|D
j

t
u(t)|
2
dt

1
2
.
Theo bổ đề của Sobolev, không gian W
l
2
(R
+
) được nhúng liên tục vào
C
l−1
(R
+
). Do đó, các đạo hàm (D
j
t
u)(0) (j = 0, 1, . . . , l − 1) tại điểm t = 0
tồn tại với mọi hàm thuộc W
l
2
(R
+
). Không gian con
o
W

l
2
(R
+
) có thể được
đồng nhất với tập hợp tất cả các hàm u ∈ W
l
2
(R
+
) sao cho (D
j
t
u)(0) = 0
với mọi j = 0, . . . , l − 1.
Tương tự với W
l
2
(R
+
), ta có định nghĩa của không gian W
l
2
(R). Lưu ý
rằng mọi hàm u ∈ W
l
2
(R
+
) đều có thể thác triển liên tục thành một hàm

v ∈ W
l
2
(R), chẳng hạn là hàm:
v =

u(t) với t > 0,
χ(t)

l−1
j=0
1
j!
(D
j
t
u)(0)(it)
j
với t ≤ 0,
(1.2.1)
trong đó χ là một hàm trơn tuỳ ý có giá compact, χ(t) = 1, ∀t ∈ (−1, +1).
Thác triển này thoả mãn bất đẳng thức
v
W
l
2
(R)
≤ cu
W
l

2
(R
+
)
,
với c là một hằng số độc lập với u. Một chuẩn tương đương trong W
l
2
(R)
là:
u
H
l
(R)
=

+∞

−∞
(1 + τ
2
)
l
|(F
t→τ
u)(τ)|
2
dτ

1/2

,
15
trong đó F
t→τ
là biến đổi Fourier
(F
t→τ
u)(τ) = (2π)
−1/2
+∞

−∞
e
−itτ
u(t)dt. (1.2.2)
1.2.2 Tính chính quy của bài toán biên trên nửa trục
Mục này nghiên cứu tính giải được của bài toán biên (1.1.2), (1.1.3)
trong không gian W
l
2
(R
+
) × C
J
. Ở đây, khái niệm tính chính quy của bài
toán biên đóng một vai trò quan trọng. Để đưa ra khái niệm này, ta kí hiệu
M
+
là tập tất cả các nghiệm ổn định u của phương trình vi phân thuần
nhất L(D

t
)u(t) = 0, u(t) → 0 khi t → +∞. Rõ ràng M
+
là bao tuyến tính
của các hàm
t
s
e
iτ
j
t
, s = 0, . . . , r
j
− 1, (1.2.3)
trong đó τ
1
, . . . , τ
µ
là các không điểm của đa thức
L(τ) =
2m

j=0
a
j
τ
j
trong nửa mặt phẳng trên Imτ > 0 và r
j
là bội của τ

j
. Không gian M
+
cũng có thể được mô tả là tập hợp tất cả các W
l
2
(R
+
)−nghiệm của phương
trình L(D
t
)u(t) = 0.
Định nghĩa 1.2.1. Bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) gọi là chính quy, nếu:
(i) Các đa thức L(τ) không có các không điểm thực và có đúng m
không điểm (tính số lần bằng bội) của L(τ) nằm trong nửa mặt phẳng
trên Imτ > 0.
(ii) Hệ thống các điều kiện biên thuần nhất (1.1.3)
B(D
t
)u(t)|
t=0
+ Cu = 0
chỉ có nghiệm tầm thường (u, u) = 0 trong M
+
× C
J
.
Chú ý 1.2.2. Nói riêng, từ điều kiện (ii) ta suy ra phương trình Cu = 0
chỉ có nghiệm tầm thường (hay hạng của ma trận C bằng J).
16

1.2.3 Các phát biểu tương đương của tính chính quy
Bổ đề 1.2.3. Giả sử có điều kiện (i) trong Định nghĩa 1.2.1. Kí hiệu
τ
1
, . . . , τ
µ
là các không điểm của L(τ) nằm trong nửa mặt phẳng trên Imτ >
0 và r
1
, . . . , r
µ
tương ứng là bội của chúng. Khi đó các khẳng định sau là
tương đương:
1, Bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) là chính quy.
2, Với mỗi g ∈ C
m+J
có đúng một hàm u ∈ M
+
và một vectơ u ∈ C
J
thoả mãn điều kiện biên (1.1.3).
3, Các vectơ đa thức τ →

B
k
(τ), c
k,1
, . . . , c
k,J


, k = 1, . . . , m + J là độc
lập tuyến tính với mođun là vectơ đa thức τ →

L
+
(τ), 0, . . . , 0

, trong đó
L
+
(τ) = (τ − τ
1
)
τ
1
. . . (τ − τ
µ
)
τ
µ
.
Điều này có nghĩa là, nếu
m+J

k=1
β
k

B
k

(τ), c
k,1
, . . . , c
k,J

= P (τ)

L
+
(τ), 0, . . . , 0

với một đa thức P nào đó thì β
1
= . . . = β
m+J
= 0.
Chứng minh. Từ (i) ta suy ra τ
1
+ . . . + τ
µ
= m. Tập M
+
bao gồm tất cả
các hàm có dạng :
u(t) =
µ

j=1
τ
j

−1

s=0
α
j,s
∂
s
τ
e
itτ
|
τ=τ
j
.
Thế hàm này và một vectơ u tuỳ ý vào điều kiện biên (1.1.3) chúng ta
nhận được hệ đại số:
µ

j=1
τ
j
−1

s=0
α
j,s
∂
s
τ
B(τ)|

τ=τ
j
+ Cu = g (1.2.4)
với các ẩn α
j,s
(j = 1, . . . , µ, s = 0, . . . , r
j
− 1) và u. Trong đó ta đã sử dụng
đẳng thức B(D
t
)∂
s
τ
e
itτ
|
t=0
= ∂
s
τ
B(τ). Hệ đại số (1.2.4) có nghiệm duy nhất
với mọi g khi và chỉ khi hệ thuần nhất tương ứng
µ

j=1
τ
j
−1

s=0

α
j,s
∂
s
τ
B(τ)|
τ=τ
j
+ Cu = 0.
17
chỉ có nghiệm tầm thường α
j,s
= 0(j = 1, . . . , µ, s = 0, . . . , r
j
−1) và u = 0.
Do đó 1) và 2) tương đương.
Hơn nữa, hệ đại số (1.2.4) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hệ đại số
thuần nhất với ma trận các hệ số ma trận đã chuyển vị
m+J

k=1
β
k
∂
s
τ
B
k
(τ)|
τ=τ

j
= 0, j = 1, . . . , µ; s = 0, . . . , r
j
− 1, (1.2.5)
m+J

k=1
β
k
c
k,j
= 0, j = 1, . . . , J. (1.2.6)
Chỉ có nghiệm tầm thường β
1
= . . . = β
m+J
= 0. Ở đây hệ (1.2.5) được
thoả mãn khi và chỉ khi các số τ
j
, j = 1, . . . , µ, là các không điểm của đa
thức

m+J
k=1
β
k
B
k
(τ) với các bội r
j

, nói cách khác là nếu:
m+J

k=1
β
k
B
k
(τ) = P (τ)L
+
(τ).
Điều này chứng tỏ sự tương đương của 2) và 3).
Lưu ý rằng các hệ số của đa thức L
+
phụ thuộc một cách giải tích và
các hệ số của L.
Chúng tôi đưa ra hai ví dụ về bài toán biên chính quy trên nửa trục
Ví dụ 1.2.4. Bài toán biên
−u

(t) + η
2
u(t) = f(t) với t > 0
au

(0) + bu(0) + Cu = g
với η > 0, a = (a
1
, . . . , a
J+1

), b = (b
1
, . . . , b
J+1
) ∈ C
J+1
là chính quy nếu và
chỉ nếu ma trận
(aη − b, C) =





a
1
η − b
1
c
1,1
· · · c
1,J
a
2
η − b
2
c
2,1
· · · c
2,J

.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
J+1
η − b
J+1
c
J+1,1
· · · c
J+1,J





không suy biến.
18
Ví dụ 1.2.5. Cho L(D
t
) là một toán tử vi phân cấp 2m thoả mãn điều
kiện (i) và cho B
k
(τ), k = 1, . . . , m, là các đa thức có dạng :

B
k
(τ) = p(τ)p
k

q(τ)

, (1.2.7)
trong đó p, p
k
và q là đa thức và bậc của p
k
bằng k − 1. Chúng ta giả sử
rằng:
p(τ
j
) = 0 với j = 1, . . . , µ, (1.2.8)
trong đó τ
1
, . . . , τ
µ
là các không điểm của L(τ ) trong nửa mặt phẳng trên
và
q(τ
j
) = q(τ
k
) nếu τ
j
= τ

k
, j, k = 1, . . . , µ,
q

(τ
j
) = 0 nếu τ
j
là không điểm của L(τ) có bội r
j
> 1, j = 1, . . . , µ.
Khi đó bài toán biên :
L(D
t
)u(t) = f(t) với t > 0,
B
k
(D
t
)u(t)|
t=0
= g
k
, (k = 1, . . . , m)
là chính quy.
Chứng minh. Giả sử tồn tại một đa thức P (τ) sao cho :
m

k=1
β

k
B
k
(τ) = p(τ)
m

k=1
β
k
p
k

q(τ)

= P (τ)L
+
(τ).
Theo (1.2.8), đa thức :
m

k=1
β
k
p
k

q(τ)

(1.2.9)
chia hết cho L

+
(τ). Do (1.2.9) là một đa thức bậc ≤ m − 1 của q(τ), nên
ta có thể viết biểu thức đó thành tích của ít nhất m − 1 nhân tử có dạng
q(τ)−c. Do đó đa thức (1.2.9) hoặc bằng không hoặc tồn tại một hằng số c
sao cho q(τ)−c là ước của một tích (τ − τ
j
)(τ −τ
k
). Khả năng thứ hai mâu
thuẫn với giả thiết về q. Do đó, chúng ta nhận được β
1
= . . . = β
m+J
= 0.
Chứng tỏ bài toán biên này chính quy.
19
Trong trường hợp đặc biệt p(τ) = 1, q(τ ) = τ, p
k
(τ) = τ
k−1
, chúng ta
nhận được tính chính quy của các điều kiện biên Dirichlet
D
k−1
t
u(t)|
t=0
= g
k
, k = 1, . . . , m.

1.2.4 Tính giải được của bài toán biên chính quy
Cho l là số nguyên tuỳ ý, l ≥ 2m, l ≥ maxµ
k
+ 1. Rõ ràng toán tử
(u, u) → (f, g) của bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) xác định một ánh xạ
tuyến tính liên tục
A : W
l
2
(R
+
) × C
J
→ W
l−2m
2
(R
+
) × C
m+J
. (1.2.10)
Nếu bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) là chính quy, thì toán tử (1.2.10) là một
đơn ánh. Định lý sau đây cho thấy, toán tử A của bài toán biên chính quy
là một đẳng cấu.
Định lý 1.2.6. Các khẳng định sau đây là tương đương:
1, Bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) là chính quy.
2, Cho mỗi f ∈ W
l−2m
2
(R

+
), g ∈ C
m+J
, l ≥ max(2m, µ
1
+ 1, . . . , µ
k+J
+ 1)
tồn tại duy nhất một nghiệm (u, u) ∈ W
l
2
(R
+
) × C
J
của bài toán (1.1.2),
(1.1.3). Nói cách khác toán tử (1.2.10) là một đẳng cấu.
Chứng minh. Ta chứng minh 1) ⇒ 2). Với f ∈ W
l−2m
2
(R
+
), gọi f
1
∈
W
l−2m
2
(R) là một thác triển của f lên toàn bộ trục t. Khi đó
v

1
= F
−1
τ→t

L(τ)
−1
F
t→τ
f
1

là một nghiệm của phương trình L(D
t
)v
1
= f
1
trên R. Do L(τ) = 0 với τ
thực nên tồn tại sup:
c
0
= sup
τ
|(1 + τ
2
)
m
L(τ)
−1

|.
Do đó, v
1
∈ W
l
2
(R) và thu hẹp v của v
1
trên nửa trục R
+
thuộc W
l
2
(R
+
).
Theo Bổ đề 1.2.7, tồn tại một nghiệm (ω, u) ∈ W
l
2
(R
+
) × C
J
của bài toán:
L(D
t
)ω(t) = 0, t > 0,
20
B(D
t

)ω(t) + Cu = g − B(D
t
)v(t)|
t=0
.
Do đó (u, u) với u = v +ω là một nghiệm của bài toán (1.1.2),(1.1.3). Tính
duy nhất nghiệm được suy ra từ Định nghĩa 1.1.3.
Tiếp đến ta chứng minh 2) ⇒ 1). Từ 2), ta suy ra
u
W
l
2
(R
+
)
≤ cLu
W
l−2m
2
(R
+
)
(1.2.11)
với mọi u ∈ W
l
2
(R
+
) triệt tiêu gần t = 0, với hằng số c độc lập với u. Giả
sử đa thức L(τ) có một không điểm thực τ

0
. Đặt
u(t) = u
ε
(t)
def
= e
iτ
0
t
ζ
ε
(t)
trong đó ζ
ε
(t) = ζ(εt), ζ là một hàm thuộc C
∞
0
(R
+
), và ε là một số thực
dương nhỏ hơn 1. Ta chứng minh rằng:
c
1
ε
−1
≤ u
ε

2

W
l
2
(R
+
)
≤ c
2
ε
−1
(1.2.12)
với hằng số dương c
1
, c
2
chỉ phụ thuộc vào l, τ
0
và ζ. Rõ ràng:
u
ε
W
l
2
(R
+
)

2
≥ u
ε


2
L
2
(R
+
)
= ζ
ε

2
L
2
(R
+
)
= ε
−1
ζ
2
L
2
(R
+
)
.
Hơn nữa
u
ε


2
W
l
2
(R
+
)
≤
l

j=0
∞

0
|D
j
t

ζ(εt)e
iτ
0
t

|
2
dt ≤
1
ε
l


j=0
∞

0
|ε
j
D
j
t

ζ(t)e
iτ
0
t/ε

|
2
dt
≤
1
ε
c
2
(1 + τ
2l
0
)ζ
2
W
l

2
(R
+
)
.
Vậy ta có (1.2.12).
Vì L(D
t
)e
iτ
0
t
= 0, nên hàm Lu
ε
có dạng:
Lu
ε
= e
iτ
0
t
2m

j=1
c
j
D
j
t
ζ

ε
= e
iτ
0
t
2m

j=1
c
j
(−iε)
j
ζ
(j)
(εt) (1.2.13)
với hệ số c
j
chỉ phụ thuộc vào τ
0
và các hệ số của toán tử vi phân L. Từ
biểu diễn này suy ra chuẩn của Lu
ε
trong W
l−2m
2
(R
+
) có cận trên độc lập
với ε. Điều này mâu thuẫn với (1.2.11) và (1.2.12). Do đó đa thức L(τ)
21

không có không điểm thực.
Hơn nữa, từ 2) ta có bài toán:
Lu = 0 trên R
+
,
Bu|
t=0
+ Cu = g
có một nghiệm duy nhất trong W
l
2
(R
+
) × C
J
với mọi g ∈ C
m+J
. Do tập
nghiệm của phương trình Lu = 0 trong W
l
2
(R
+
) trùng với M
+
, nên chúng
ta có:
u =
µ


j=1
r
j
−1

s=0
α
j,s
∂
s
τ
e
iτt
|
τ=τ
j
,
trong đó τ
1
, . . . , τ
µ
là các không điểm khác nhau của đa thức L(τ) trong
nửa mặt phẳng trên Imτ > 0 và r
1
, . . . , r
j
là bội của chúng. Thế hàm này
vào (1.1.3), chúng ta có hệ đại số tuyến tính (1.2.4). Hệ này chỉ có nghiệm
duy nhất khi số ẩn bằng số phương trình, tức là khi r
1

+ . . . + r
µ
= m. Do
đó điều kiện (i) trong Định nghĩa 1.2.1 thoả mãn. Điều kiện (ii) rõ ràng
cũng thoả mãn. 
Bổ đề 1.2.7. Giả sử bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) là chính quy. Khi đó với
mọi u ∈ W
l
2
(R
+
), l ≥ 2m, l ≥ maxµ
k
+ 1, u ∈ C
J
ta có bất đẳng thức sau
với hằng số c độc lập với u và u:
u
W
l
2
(R
+
)
+ |u|
C
J
≤ c

L(D

t
)u
W
l−2m
2
(R
+
)
+ |B(D
t
)u|
t=0
+ Cu|
C
m+J

.
(1.2.14)
Nếu c là hằng số tốt nhất trong (1.2.14) thì 1/c là một hàm liên tục Lips-
chitz của các hệ số của các toán tử L, B và C.
Chứng minh. Đánh giá (1.2.14) được suy ra từ Định lí 1.2.6 và từ định lí
đồ thị đóng.
Giả sử các hiệu giữa các hệ số của toán tử A và các hệ số tương ứng
của toán tử A

nhỏ hơn ε. Khi đó bất đẳng thức:


A − A



(u, u)
W
l−2m
2
(R
+
)×C
m+J
≤ c
1
ε(u
W
l
2
(R
+
)
+ |u|
C
J
) (1.2.15)
22
đúng với mọi u ∈ W
l
2
(R
+
), u ∈ C
J

. Ở đây hằng số c
1
chỉ phụ thuộc vào
l, m, µ
k
và J. Giả sử c là hằng số của toán tử A và c

là hằng số tốt nhất
của toán tử A

. Từ (1.2.15), chúng ta nhận được:
u
W
l
2
(R
+
)
+ |u|
C
J
≤ cA(u, u)
W
l−2m
2
(R
+
)×C
m+J
≤ c


A

(u, u)
W
l−2m
2
(R
+
)×C
m+J
+ (A − A

)(u, u)
W
l−2m
2
(R
+
)×C
m+J

≤ c(1 + c
1
c

ε)A

(u, u)
W

l−2m
2
(R
+
)×C
m+J
.
Do đó c

≤ c(1 + c
1
c

ε) và tương tự c ≤ c

(1 + c
1
c

ε). Từ đó c và c

thoả
mãn
|
1
c
−
1
c


| ≤ c
1
ε.
Vậy bổ đề được chứng minh. 
1.2.5 Tính giải được của bài toán liên hợp hình thức
Như đã thấy, tính chính quy của bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) là cần và
đủ để bài toán đó có nghiệm duy nhất trong W
l
2
(R
+
) × C
J
. Mục này sẽ
cho thấy, tính chính quy cũng là cần và đủ để bài toán liên hợp hình thức
có nghiệm duy nhất.
Định lý 1.2.8. Bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) là chính quy nếu và chỉ nếu
bài toán liên hợp hình thức (1.1.21), (1.1.22) theo công thức Green (1.1.20)
là chính quy. Đặc biệt trong trường hợp maxµ
k
< 2m các bài toán biên
(1.1.2), (1.1.3) và (1.1.15), (1.1.16) đồng thời chính quy.
Chứng minh. Vì L
+
(τ) = L(τ), nên điều kiện (i) trong Định nghĩa 1.2.1
được thoả mãn đồng thời bởi L và L
+
. Ta sẽ chứng minh rằng nếu (ii) đúng
đối với bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) thì cũng đúng đối với bài toán liên
hợp hình thức (1.1.21), (1.1.22). Giả sử (v, ω

, v) ∈ M
+
× C
γ−2m
× C
m+J
là
một nghiệm của bài toán thuần nhất (1.1.21), (1.1.22). Khi đó công thức
Green cho ta
∞

0
L(D
t
)u.vdt +


D
(γ−2m)
Lu

(0), ω

C
γ−2m
+


B(D
t

)u|
t=0
+ Cu

, v

C
m+J
(1.2.16)
23
với mọi u ∈ W
γ
2
(R
+
), u ∈ C
J
. Theo Bổ đề 1.2.3, tồn tại một hàm u ∈ M
+
và một vectơ u ∈ C
J
sao cho B(D
t
)u|
t=0
+ Cu = v. Do đó (1.2.16) kéo
theo v = 0. Do γ − 2m thành phần cuối cùng của vectơ P
(γ)
bằng không
và γ − 2m hàng cuối cùng của ma trận


R
(γ)

∗
lập thành một ma trận tam
giác với các số trên đường chéo a
2m
= 0, nên từ phương trình:
P
(γ)
v|
t=0
+

R
(γ)

∗
ω +

Q
(γ)

∗
v = 0
ta có ω = 0. Hơn nữa, theo Định lí 1.2.6, chúng ta có thể chọn hàm u và
vectơ u trong (1.2.16) sao cho L(D
t
)u(t) = v khi t > 0 và B(D

t
)u|
t=0
+Cu =
0. Khi đó chúng ta nhận được v = 0.
Do đó, bài toán thuần nhất (1.1.21), (1.1.22) chỉ có nghiệm tầm thường.
Tương tự, nếu điều kiện (ii) đúng đối với bài toán liên hợp hình thức thì
cũng đúng đối với bài toán (1.1.2), (1.1.3). 
Hệ quả 1.2.9. Giả sử bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) là chính quy. Khi đó
bài toán liên hợp hình thức (1.1.21), (1.1.22) có nghiệm duy nhất trong
W
l
2
(R
+
) × C
m+J
× C
γ−2m
với mọi f ∈ W
l−2m
2
(R
+
), g ∈ C
γ
, h ∈ C
J
, l ≥ 2m
và nghiệm (v, ω, v) thoả mãn các đánh giá:

v
W
l
2
(R
+
)
+ |ω|
C
γ−2m
+ |v|
C
m+J
≤ c

f
W
l−2m
2
(R
+
)
+ |g|
C
γ
+ |h|
C
J

với một hằng số c độc lập với f, g và h.

1.3 Bài toán biên chính quy trong không gian Sobolev
với cấp âm
Trong mục này, chúng ta hạn chế xét bài toán biên với cấp của toán tử
trong điều kiện biên nhỏ hơn 2m.
Trong mục vừa rồi ta đã chỉ ra toán tử A là một đẳng cấu từ : W
l
2
(R
+
)×
C
J
→ W
l−2m
2
(R
+
) × C
m+J
, với mọi số nguyên l ≥ 2m. Điều này nói chung
không còn đúng nếu l < 2m, vì giá trị của các hàm u, D
t
u, . . . , D
2m−1
t
u và
do đó giá trị của B
k
u tại điểm t = 0 có thể không tồn tại. Để khắc phục
điều này, ta xét không gian của các cặp (u, φ), trong đó u thuộc một không

24
gian Sobolev tương ứng và φ ∈ C
2m
. Khi đó, các thành phần của vectơ φ
sẽ thay thế cho các giá trị của các đạo hàm của u tại t = 0. Theo cách đó,
ta cần thác triển toán tử A lên tích Descartes (hoặc không gian con của
tích Descartes) của không gian Sobolev đó với C
2m
× C
J
và chứng minh
rằng thác triển đó là một đẳng cấu khi và chỉ khi bài toán biên đã cho là
chính quy.
1.3.1 Không gian Sobolev với cấp âm
Ký hiệu W
−l
2
(R
+
) là không gian đối ngẫu của
o
W
l
2
(R
+
) với chuẩn
u
W
−l

2
(R
+
)
= sup



(u, v)
R
+


: v ∈
o
W
l
2
(R
+
), v
W
l
2
(R
+
)
= 1

,

với l ∈ N, (·, ·)
R
+
là mở rộng của tích vô hướng trong L
2
(R
+
) cho các cặp
(u, v) ∈ W
−l
2
(R
+
) ×
o
W
l
2
(R
+
) và W
l
2
(R
+
)
∗
là không gian đối ngẫu của không
gian W
l

2
(R
+
).
Cho l ∈ Z, k ∈ N. Ta xây dựng không gian
˜
W
l,k
2
(R
+
) như sau:
Nếu l ≥ 0, thì
˜
W
l,k
2
(R
+
) là tập hợp tất cả các cặp
(u, φ) = (u, φ
1
, . . . , φ
k
),
trong đó u ∈ W
l
2
(R
+

) và φ = (φ
1
, . . . , φ
k
) ∈ C
k
thoả mãn điều kiện
φ
j
= (D
j−1
t
u)(0) với j ≤ min(k, l).
Chuẩn ở trong
˜
W
l,k
2
(R
+
) được xác định bởi:
(u, φ)
˜
W
l,k
2
(R
+
)
= u

W
l
2
(R
+
)
+ |φ|
C
k
. (1.3.1)
Do chỉ có các thành phần φ
j
với j > l là có thể được chọn độc lập với u,
nên chúng ta có thể đồng nhất không gian
˜
W
l,k
2
(R
+
) với W
l
2
(R
+
) nếu l ≥ k
và đồng nhất với W
l
2
(R

+
) × C
k−l
nếu 0 ≤ l < k.
Nếu l < 0 thì ta đặt
˜
W
l,k
2
(R
+
) = W
−l
2
(R
+
)
∗
× C
k
và
(u, φ)
˜
W
l
1
,k
2
(R
+

)
= u
W
−l
2
(R
+
)∗
+ |φ|
C
k
(1.3.2)