Định lý Lax-Milgram và ứng dụng

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm người đã định hướng
chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa luận
này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học,
các thầy cô giáo trong Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho
tôi trong quá trình học tập và hoàn thành khoá luận.
Hà Nội, ngày 12 tháng 12 năm 2011
Lê Thu Phương
LỜI CAM ĐOAN
Dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm luận văn thạc
sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Định lý Lax-Milgram và ứng
dụng” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân, không
trùng với bất cứ luận văn nào khác.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những thành tựu của các nhà khoa học với lòng trân trọng và biết ơn.
Một số kết quả tác giả đã đưa ra dựa trên những thành tựu khoa học
này.
Hà Nội, ngày 12 tháng 12 năm 2011
Lê Thu Phương
Mục lục
Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Lời mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Không gian Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Chương 2. Định lý Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1. Bài toán biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.1. Bài toán biến phân đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2. Bài toán biến phân không đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2. Định lý Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3. Định lý Lax-Milgram mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.1. Định lý Lax-Milgram trên không gian Banach phản xạ . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.2. Định lý Lax-Milgram trên không gian Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Chương 3. Một số ứng dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1. Ứng dụng trong phương trình vi phân thường 37
3.2. Ứng dụng trong phương trình đạo hàm riêng . 42
iii
iv
3.3. Ứng dụng trong bất đẳng thức biến phân và bài toán
tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
v
BẢNG KÝ HIỆU
R đường thẳng thực
R
n
không gian Euclid n - chiều
∇ toán tử gradient
f : X → Y ánh xạ từ X vào Y
.
V
chuẩn trong không gian V
inf f cận dưới đúng của ánh xạ f
sup f cận trên đúng của ánh xạ f

min f giá trị nhỏ nhất của ánh xạ f
max f giá trị lớn nhất của ánh xạ f
ker f hạt nhân, hạch của ánh xạ f
cl Ω bao đóng của tập Ω
cl
yếu
∗
Ω bao đóng yếu
∗
của tập Ω
div F divergence, phân tán của hàm vector F
ν vector chỉ phương ngoài
x
∗
, x ảnh của toán tử x
∗
tại điểm x
∂u
∂x
i
đạo hàm riêng của hàm u theo biến x
i
(x, y) gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y
 chứng minh hoàn thành
LỜI MỞ ĐẦU
Các bài toán biến phân đã xuất hiện từ rất lâu, thu hút được sự quan
tâm của nhiều nhà toán học nổi tiếng của các thế kỷ XVII – XIX và có
ảnh hưởng rất lớn đối với sự phát triển của Giải tích toán học. Nhưng
phải đến thế kỷ XX bài toán biến phân mới được hình thành với tư cách
là một lý thuyết toán học độc lập, với nhiều hướng nghiên cứu khác

nhau. Cho tới ngày nay nghiên cứu các bài toán biến phân chủ yếu được
tập trung vào ba vấn đề chính:
- Nghiên cứu định tính (điều kiện cần và đủ để có nghiệm, các định lý
đối ngẫu, sự tồn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm, tính ổn định nghiệm,
độ nhạy nghiệm, . . . );
- Nghiên cứu định lượng (xây dựng các thuật toán tìm nghiệm thỏa
mãn các tiêu chuẩn cho trước, xác định tập nghiệm, . . . );
- Ứng dụng (giải quyết các bài toán về kinh tế, bất đẳng thức biến
phân, bài toán cân bằng, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm
riêng,. . . ).
Một trong những vấn đề quan trọng của bài toán biến phân là nghiên
cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm. Đã có rất nhiều các công trình toán
học nghiên cứu về vấn đề này, trong đó phải kể đến hai nhà toán học Peter
D. Lax và Arthur Milgram với định lý Lax-Milgram, cho ta một điều kiện
6
7
để xác định bài toán biến phân có nghiệm duy nhất (xem [7], [13], [14]).
Từ định lý Lax-Milgram đã đặt ra rất nhiều câu hỏi và hướng mở rộng
khác nhau. Trong không gian Hilbert bài toán biến phân có nghiệm duy
nhất. Liệu điều này còn đúng trong không gian Banach? Đã có nhiều nhà
khoa học quan tâm nghiên cứu về câu hỏi này và đã chứng minh được
tính duy nhất nghiệm trong không gian Banach (xem [8], [13], [14]).
Khi mở rộng không gian cho định lý Lax-Milgram tính chất tuyến
tính của ánh xạ a(·, ·) (xem 2.2) được giữ nguyên. E. Zeidler đã đi đầu
trong việc nghiên cứu mở rộng trong trường hợp a(·, ·) là phi tuyến (xem
mục 2.15 trong [19]).
Ta thấy, định lý Lax-Milgram cho chúng ta một kết quả rất đẹp trong
bài toán biến phân, cũng như trong phương trình toán học. Như vậy, một
câu hỏi đặt ra rất tự nhiên là:
Liệu có tồn tại những lớp hàm đủ rộng thỏa mãn định lý Lax-Milgram

hay không?
Hay có tồn tại những lớp hàm không thỏa mãn điều kiện của định lý
Lax-Milgram nhưng vẫn có kết luận như thế không (chính là một cách
mở rộng định lý Lax-Milgram theo hướng làm yếu điều kiện của toán tử
a(·, ·))?
Người đầu tiên đi theo hướng này là B. Ricceri (xem [16]), sau đó
là J. Saint Raymond (xem [15]) và Nguyễn Đông Yên, Bùi Trọng Kim
(xem [18]).
Kết quả đạt được từ định lý Lax-Milgram và các dạng mở rộng có
ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực toán học khác nhau như tối ưu
8
hóa, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng (xem [5], [6],
[7], [8], [10]).
Đề tài “Định lý Lax-Milgram và ứng dụng” nhằm nghiên cứu hướng
mở rộng định lý Lax-Milgram từ không gian Hilbert sang không gian
Banach và các ứng dụng của định lý Lax-Milgram trong phương trình
vi phân, phương trình đạo hàm riêng, tối ưu hóa.
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này, ta trình bày một số kiến thức cơ bản về: không gian định
chuẩn, không gian Hilbert, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm
riêng sẽ được sử dụng trong các phần sau. Ngoài ra, trong phần này còn
chứng minh một số bất đẳng thức trong không gian Sobolev nhằm giải
quyết các bài toán về ứng dụng của định lý Lax-Milgram.
1.1. Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.1. Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính
định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường R cùng với một ánh
xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu là · và đọc là chuẩn, thỏa mãn các
tiên đề sau đây:
1) (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ (ký hiệu phần tử không là θ);

2) (∀x ∈ X)(∀α ∈ R) αx = |α|x;
3) (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y.
Số x gọi là chuẩn của vector x. Ta ký hiệu không gian định chuẩn
là (X, ·). Nếu trên X chỉ trang bị một chuẩn ta có thể ký hiệu là X
9
10
Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Định nghĩa 1.2. Dãy điểm (x
n
) trong không gian định chuẩn X gọi là
dãy cơ bản, nếu
lim
m,n→∞
x
n
− x
m
 = 0.
Định nghĩa 1.3. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach,
nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Định lý 1.1 (Nguyên lý ánh xạ co). Cho không gian Banach V , một ánh
xạ co T đi từ V vào chính nó, nghĩa là tồn tại một hằng số, 0  M < 1
thỏa mãn
T v
1
− T v
2
  M v
1
− v

2
, ∀v
1
, v
2
∈ V.
Khi đó, tồn tại duy nhất điểm u thuộc V sao cho u = T u.
Định nghĩa 1.4. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường số
thực R. Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính
nếu ánh xạ A thỏa mãn các điều kiện:
1) (∀x, x

∈ X)A(x + x

) = Ax + Ax

;
2) (∀x ∈ X)(∀α ∈ R)A(αx) = αAx.
Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi toán tử A
chỉ thỏa mãn điều kiện 1) thì toán tử A gọi là cộng tính, còn khi toán tử
A chỉ thỏa mãn điều kiện 2) thì A gọi là toán tử thuần nhất. Khi Y = R
thì toán tử tuyến tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.5. Cho không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến
tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại
hằng số C > 0 sao cho
11
Ax ≤ C x, ∀x ∈ X.
Định nghĩa 1.6. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian
định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Chuẩn của toán tử A, kí
kiệu là A, được xác định bởi

A = inf

C > 0


Ax ≤ C x, ∀x ∈ X

.
Định lý 1.2 (Tính chuẩn của toán tử). Cho toán tử tuyến tính A từ
không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Nếu toán tử A
bị chặn thì:
A = sup
x≤1
Ax
hay
Ax = sup
x=1
Ax.
Định lý 1.3 (Tính liên tục của toán tử ngược). Toán tử tuyến tính A
ánh xạ không gian định chuẩn X lên không gian định chuẩn Y có toán
tử ngược A
−1
liên tục khi và chỉ khi tồn tại hằng số α > 0 sao cho
Ax ≥ α x(∀x ∈ X).
Khi đó


A
−1



≤
1
α
.
Định nghĩa 1.7. Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Ký hiệu
L(X, Y ) là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian
X vào không gian Y .
Ta đưa vào L(X, Y ) hai phép toán: Tổng của hai toán tử A, B thuộc
L(X, Y ) là toán tử, ký hiệu A + B, xác định bằng hệ thức:
(A + B)(x) = Ax + Bx, ∀x ∈ X.
12
Tích của vô hướng α ∈ R với toán tử A ∈ L(X, Y ) là toán tử, ký hiệu
là αA, xác định bằng hệ thức:
(αA)(x) = α(Ax).
Dễ dàng kiểm tra A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) và hai phép toán
tổng và tích trên đây thỏa mãn hệ tiên đề tuyến tính.
Tập L(X, Y ) trở thành một không gian tuyến tính trên trường R.
Định lý 1.4. Nếu Y là không gian Banach, thì L(X, Y ) là không gian
Banach.
Định lý 1.5 (Nguyên lý thác triển Hahn-Banach). Mọi phiếm hàm tuyến
tính liên tục f xác định trên không gian tuyến tính con X
0
của không
gian định chuẩn X(X
0
= X), đều có thể thác triển lên toàn không gian
X với chuẩn không tăng, nghĩa là có thể xây dựng được phiếm hàm tuyến
tính liên tục F xác định trên toàn không gian X sao cho:
1) F (x) = f(x)(∀x ∈ X

0
);
2) F 
X
= f
X
0
.
Hệ quả 1.1 (xem [2]). Cho Y là không gian tuyến tính con của không
gian định chuẩn X và x
0
∈ X là một phần tử thỏa mãn điều kiện
d(x
0
, Y ) = inf
y∈Y
x
0
− y = d > 0.
Khi đó, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên không
gian X sao cho:
1) f(y) = 0, (∀y ∈ Y );
2) f =
1
d
;
3) f(x
0
) = 1.
13

Định nghĩa 1.8 (xem [2]). Cho không gian định chuẩn X trên trường
số thực R. Ta gọi không gian L(X, R) các phiếm hàm tuyến tính liên
tục trên không gian X, là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu)
của không gian X và ký hiệu X
∗
(thay cho ký hiệu L(X, R)).
Định nghĩa 1.9. Không gian định chuẩn X gọi là không gian phản xạ,
nếu X = X
∗∗
.
Hệ quả 1.2. Không gian phản xạ là không gian Banach.
Định lý 1.6. Không gian con đóng của một không gian phản xạ là không
gian phản xạ.
Định nghĩa 1.10 (xem [2]). Cho không gian định chuẩn X, X
∗
là không
gian liên hợp của không gian X. Với mỗi x ∈ X ta xét họ γ
x
tất cả các
tập con của không gian X có dạng:
V
x
= V (x; f
1
, f
2
, , f
n
) =


y ∈ X


|f
j
(y) − f
j
(x)| < , j = 1, 2, , n

,
trong đó n là số nguyên dương tuỳ ý, f
1
, f
2
, , f
n
là n phần tử tuỳ ý của
không gian X
∗
,  là số dương tuỳ ý.
Dễ dàng kiểm tra họ γ
x
có các tính chất:
1) (∀ ∈ X)γ
x
= ∅, ∀V
x
∈ γ
x
=⇒ x ∈ V

x
;
2) V
1
∈ γ
x
, V
2
⊃ V
1
=⇒ V
2
∈ γ
x
;
3) ∀V
1
∈ γ
x
, ∀V
2
∈ γ
x
=⇒ V
1
∩ V
2
∈ γ
x
;

4) ∀V
x
∈ γ
x
=⇒ ∃W
x
∈ γ
x
sao cho (∀y ∈ W
x
)V
x
∈ γ
y
.
Do đó, tồn tại một tôpô duy nhất trên không gian X sao cho tại mỗi
điểm x ∈ X họ γ
x
là một cơ sở lân cận của điểm x. Tôpô này gọi là tôpô
yếu trên không gian X. Ký hiệu tôpô đó là τ (X, X
∗
).
14
Định nghĩa 1.11. Tương tự, ta có khái niệm của tôpô yếu
∗
trên không
gian X
∗
, kí hiệu là τ
∗

(X
∗
, X
∗∗
).
Định nghĩa 1.12. Cho không gian định chuẩn X. Dãy (x
n
) ⊂ X gọi
là hội tụ yếu tới phần tử x ∈ X, nếu với mọi lân cận yếu U của x, tìm
được số nguyên dương n
0
sao cho với mọi n ≥ n
0
thì x
n
∈ U, ký hiệu:
x
n
yếu
−−→ x(n → ∞).
Định lý 1.7. Cho không gian định chuẩn X. Dãy điểm (x
n
) ⊂ X hội
tụ yếu tới điểm x ∈ X khi và chỉ khi f(x
n
) → f(x) với mọi f ∈ X
∗
.
Định lý 1.8. Cho không gian định chuẩn X. Nếu dãy điểm (x
n

) ⊂ X
hội tụ yếu thì dãy đó bị chặn.
Định lý 1.9. Dãy (f
n
) ⊂ X
∗
hội tụ yếu tới f ∈ X
∗
khi và chỉ khi
f(x
n
) → f(x) với mọi f ∈ X
∗
.
Định lý 1.10 (xem [2]). Dãy (f
n
) ⊂ X
∗
hội tụ yếu và X là không gian
Banach, thì dãy f
n
 bị chặn.
1.2. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.13. Cho không gian tuyến tính X trên trường số thực R.
Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes
X ×X vào R, ký hiệu (·, ·), thoả mãn các tiên đề:
1) (∀x, y ∈ X)(y, x) = (x, y);
2) (∀x, y, z ∈ X)(x + y, z) = (x, z) + (y, z);
3) (∀x, y ∈ X)(∀α ∈ R)(αx, y) = α(x, y);
15

4) (∀x ∈ X)(x, x) > 0, nếu x = θ (θ là ký hiệu phần tử không),
(x, x) = 0, nếu x = θ.
Các phần tử x, y, z, gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số (x, y)
gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y, các tiên đề 1), 2), 3), 4)
gọi là hệ tiên đề tích vô hướng.
Định lý 1.11 (Bất đẳng thức Schwarz). Đối với mỗi x ∈ X ta đặt
x =

(x, x).
Khi đó ∀x, y ∈ X ta có bất đẳng thức Schwarz
|(x, y)| ≤ xy.
Hệ quả 1.3. Công thức x =

(x, x) xác định một chuẩn trên không
gian X.
Định nghĩa 1.14. Không gian tuyến tính trên trường số thực R cùng
với một tích vô hướng gọi là không gian tiền Hilbert.
Định lý 1.12. Tích vô hướng (x, y) là một hàm liên tục của hai biến x
và y theo chuẩn x =

(x, x).
Định nghĩa 1.15. Tập H = ∅ là không gian Hilbert nếu tập H thỏa
mãn:
1) H là không gian tiền Hilbert;
2) H là không gian Banach với chuẩn x =

(x, x), x ∈ H.
Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H
là không gian Hilbert con của không gian H.
16

Định lý 1.13 (F.Riesz). Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không
gian Hilbert đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng
f(x) = (x, a), x ∈ H
trong đó, phần tử a ∈ H được xác định duy nhất bởi phiếm hàm f và
f = a.
Nhận xét 1.1. Từ định lý Riesz ta có mỗi phiếm hàm tuyến tính liên
tục f trên không gian Hilbert H tương ứng một đối một với phần tử
a ∈ H. Tương ứng này vừa tuyến tính, vừa đẳng cự. Vì vậy, ta có thể
đồng nhất mỗi phiếm hàm f ∈ H
∗
với phần tử a ∈ H, nghĩa là H
∗
= H,
nói một cách khác, không gian Hilbert H là tự liên hợp.
Định nghĩa 1.16 (xem [7], [15]). Một dạng song tuyến tính a(·, ·) trên
một không gian tuyến tính định chuẩn H là bị chặn hoặc liên tục, nếu
∃C < ∞ sao cho
|a(u, v)|  C u
H
v
H
, ∀u, v ∈ H,
và bức trên V ⊂ H, nếu
∃α > 0 sao cho a(v, v)  α v
2
H
, ∀v ∈ V.
Nhận xét 1.2. Hằng số C được gọi là hằng số liên tục, hằng số α được
gọi là hằng số bức. Trong luận văn, khi ta nhắc đến dạng song tuyến
tính, liên tục (bị chặn), bức thì ta mặc định hằng số liên tục C và hằng

số bức α.
17
Định lý 1.14. Cho H là không gian Hilbert, và giả sử rằng a(·, ·) là một
dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục trên H và bức trên V ⊂ H. Khi
đó, (V, a(·, ·)) là một không gian Hilbert.
Chứng minh. Vì a(·, ·) là bức nên a(·, ·) xác định trên V .
Đặt v
V
=

a(v, v), ∀v ∈ V thì ·
V
xác định một chuẩn trên V .
Để chứng minh định lý 1.14 ta chỉ cần chứng minh (V, ·
V
) đầy. Giả sử
rằng dãy {v
n
} là dãy Cauchy trên (V, ·
V
).
Theo giả thiết, a bức nên {v
n
} cũng là dãy Cauchy trên (H, ·
H
).
Vì H là không gian đầy nên tồn tại v ∈ H sao cho v
n
→ v trên chuẩn
·

H
. Mặt khác, V đóng trong H nên v ∈ V .
Do a(·, ·) bị chặn nên tồn tại c
1
> 0 sao cho
v −v
n

V

√
c
1
v −v
n

H
.
Do đó, v
n
→ v trong chuẩn ·
V
và (V, ·
V
) là không gian đầy.
Định nghĩa 1.17. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không
gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y . Toán tử A
∗
ánh xạ không gian
Y vào không gian X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A, nếu

(Ax, y) = (x, A
∗
y), ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y.
Định lý 1.15. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian
Hilbert X vào không gian Hilbert Y . Khi đó, tồn tại toán tử A
∗
liên hợp
với toán tử A ánh xạ không gian Y vào không gian X.
Định lý 1.16. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian
Hilbert X vào không gian Hilbert Y . Khi đó, toán tử liên hợp A
∗
với toán
tử A cũng là toán tử tuyến tính bị chặn và A
∗
 = A.
18
Định nghĩa 1.18. Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian
Hilbert H vào chính nó gọi là tự liên hợp, nếu
(Ax, y) = (x, Ay), ∀x, y ∈ H.
Toán tử tự liên hợp còn được gọi là toán tử đối xứng.
Định lý 1.17. Nếu A là toán tử tự liên hợp ánh xạ không gian Hilbert
H vào chính nó, thì
A = sup
x=1
|(Ax, x)|.
Định nghĩa 1.19. Cho không gian Hilbert H. Tập K ⊂ H gọi là tập
compak yếu trong không gian H, nếu mọi dãy vô hạn (x
n
) ⊂ K đều chứa
dãy con hội tụ yếu trong không gian H.

Định lý 1.18. Nếu tập K bị chặn trong không gian Hilbert H, thì K là
tập compak yếu trong không gian H.
Định lý 1.19 (Stampacchia, xem [18]). Cho H là không gian Hilbert,
K là tập con, lồi, đóng khác rỗng của H, a(·, ·) : H × H −→ R là một
dạng song tuyến tính sao cho tồn tại hằng số C > 0 và α > 0 thỏa mãn:
|a(u, v)|  C uv ∀u, v ∈ H,
|a(u, u)|  α u
2
∀u ∈ H.
Khi đó, với mọi y ∈ H, tồn tại duy nhất vector x ∈ K sao cho
a(x, x

− x)  (y, x

− x) ∀x

∈ K.
19
1.3. Không gian Sobolev
Định nghĩa 1.20 (Đạo hàm suy rộng, xem [1], [7]). α = (α
1
, , α
n
) là
kí hiệu đa chỉ số với α
i
là các số nguyên không âm, |α| = α
1
+ + α
n

.
Giả sử ξ = (ξ
1
, , ξ
n
) ∈ R
n
, khi đó ξ
α
= ξ
α
1
1
ξ
α
n
n
. Đạo hàm (suy rộng)
cấp α được kí hiệu là
D
α
= D
α
x
=
∂
|α|
∂x
α
1

1
∂x
α
n
n
.
Đặc biệt,
∇ =

∂
∂x
1
, ,
∂
∂x
n

.
Định nghĩa 1.21 (xem [1]). Kí hiệu L
p
(Ω), 1  p < ∞, là không gian
định chuẩn bao gồm tất cả các hàm u(x) khả tổng cấp p theo Lebesgue
trong Ω với chuẩn
u
L
p
(Ω)
=




Ω
|u|
p
dx


1
p
.
Đặc biệt, với p = 2 thì L
2
(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng,
(u, v) =

Ω
uv dx
và chuẩn tự nhiên,
u =



Ω
u
2
dx


1
2

.
Định lý 1.20 (Bất đẳng thức H¨older, xem [3]). Giả sử u, v là hai hàm
trong không gian L
2
(Ω), p và q là hai số thực sao cho p > 1,
1
p
+
1
q
= 1.
20
Khi đó ta nhận được bất đẳng thức tích phân H¨older

Ω
|uv|dx 



Ω
|u|
p
dx


1
p




Ω
|v|
q
dx


1
q
.
Định nghĩa 1.22 (Không gian Sobolev, xem [7]). Không gian W
m
p
(Ω)
với 1  p < ∞ là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x) ∈ L
p
(Ω),
sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp α, |α|  m, thuộc L
p
(Ω).
Trong W
m
p
(Ω), 1  p < ∞ ta trang bị chuẩn
u
W
m
p
(Ω)
=




|α|m

Ω
|D
α
u(x)|
p
dx


1
p
.
Đặc biệt, với p = 2 thì không gian W
m
2
(Ω) là không gian Hilbert. Khi
m = 1 ta ký hiệu lại W
1
2
(Ω) = H
1
(Ω) hay
H
1
(Ω) =




v ∈ L
2
(Ω)



Ω
(|∇v|
2
+ v
2
) dx < ∞)



.
Có
H
1
0
(Ω) =



v ∈ L
2
(Ω)




Ω
(|∇v|
2
+ v
2
) dx < ∞), v


∂Ω
= 0



là không gian con đóng của không gian H
1
(Ω). Tích vô hướng và chuẩn
trong không gian H
1
(Ω) được cho tương ứng là:
(u, v)
H
1
(Ω)
=

Ω
(∇u∇v + uv)dx; (1.1)
v
H

1
(Ω)
=



Ω
(|∇v|
2
+ v
2
)dx


1
2
. (1.2)
21
Định lý 1.21 (Bất đẳng thức Poincaré, xem [1]). Giả sử Ω = {x ∈ R
n
:
a
i
< x
i
< b
i
, i = 1, , n}. Nếu

Ω

u(x)dx = 0, thì

Ω
|u(x)|
p
dx  M

Ω
|∇u|
p
dx,
ở đây p  1, còn M là hằng số không phụ thuộc vào u(x).
Nhận xét 1.3. Nếu Ω ⊂ R
n
bị chặn thì ∀v ∈ H
1
(Ω)
v
L
2
(Ω)
 v
H
1
(Ω)
, (1.3)
∇v
L
2
(Ω)

 v
H
1
(Ω)
. (1.4)
Chứng minh. Thật vậy, ∀v ∈ H
1
(Ω) ta có
v
L
2
(Ω)
=



Ω
v
2
dx


1
2




Ω
(v

2
+ |∇v|
2
)dx


1
2
= v
H
1
(Ω)
, (1.5)
và
∇v
L
2
(Ω)
=



Ω
∇v
2
dx


1
2





Ω
(v
2
+ |∇v|
2
)dx


1
2
= v
H
1
(Ω)
. (1.6)
Chương 2
Định lý Lax-Milgram
Trong phần đầu của chương này trình bày bài toán biến phân đối xứng
và nghiên cứu về sự duy nhất nghiệm của bài toán biến phân đối xứng.
Tuy nhiên, trong thực tế bên cạnh các bài toán biến phân đối xứng thì
có một lượng lớn các bài toán, ứng dụng với điều kiện là không đối xứng.
Phần chính trong chương này tập trung nghiên cứu định lý Lax-Milgram
cho bài toán biến phân đối xứng, bài toán biến phân không đối xứng
trong không gian Hilbert và một số hướng mở rộng trong không gian
Banach.
2.1. Bài toán biến phân

Cho (H, (·, ·)) là không gian Hilbert trên trường số thực. Ta biết rằng,
rất nhiều bài toán trong thực tế cũng như trong lý thuyết sẽ dẫn đến
bài toán quen thuộc: cho A là toán tử tuyến tính từ H vào chính nó, với
mỗi điểm y thuộc H tìm x thuộc H sao cho
Ax = y. (2.1)
22
23
Về mặt tổng quát, việc giải phương trình (2.1) là không hề đơn giản và
không phải lúc nào phương trình cũng có nghiệm. Nên ta thường chuyển
phương trình (2.1) về dạng yếu hơn để nghiên cứu, cụ thể, ta nhân vô
hướng cả hai vế của phương trình (2.1) với mọi v thuộc H. Khi đó, ta
nhận được bài toán yếu hơn, tìm x thuộc H sao cho
(Ax, v) = (y, v), ∀v ∈ H. (2.2)
Định nghĩa 2.1. Bài toán tìm x thuộc H thoả mãn (2.2) được gọi là
bài toán biến phân.
Bằng cách tổng quát hoá, ta định nghĩa bài toán biến phân đối xứng
và bài toán biến phân không đối xứng một cách cụ thể trong mục 2.1.1
và mục 2.1.2.
2.1.1. Bài toán biến phân đối xứng
Cho (H, (·, ·)) là không gian Hilbert trên trường số thực, V là không gian
con đóng của H, V
∗
là không gian đối ngẫu của V và a(·, ·) là dạng song
tuyến tính đối xứng, bị chặn, bức trên V . Bài toán biến phân đối xứng
là bài toán 2.1
Bài toán 2.1 (Bài toán biến phân đối xứng). Cho F ∈ V
∗
, tìm u ∈ V
sao cho a(u, v) = F (v), ∀v ∈ V .
Ví dụ 2.1. Cho H = R

2
, V = R với tích vô hướng và chuẩn Euclide,
với mọi x = (x
1
, x
2
), y = (y
1
, y
2
) ∈ R
2
ta đặt
a(x, y) = x
1
y
1
+ 2x
1
y
2
+ 2x
2
y
1
+ x
2
y
2
, (2.3)

24
dễ thấy, a(·, ·) là dạng song tuyến tính đối xứng, bị chặn và bức trên
V . Khi đó, với mọi F ∈ V
∗
= R ta tìm u ∈ V = R sao cho a(u, v) =
F (v), ∀v ∈ V = R tương đương với uv = F v, ∀v ∈ R suy ra u = F. Vậy
u = F chính là nghiệm của bài toán biến phân đối xứng trên.
Ví dụ 2.2. Vẫn với các giả thiết như trong ví dụ 2.1, ta thay V =
{(x, 2x)|x ∈ R} ⊂ R
2
. Khi đó, với mọi F = (f
1
, f
2
) ∈ V
∗
ta tìm u =
(u
1
, 2u
1
) ∈ V sao cho a(u, v) = F (v), ∀v = (v
1
, 2v
1
) ∈ V tương đương
với 13u
1
v
1

= v
1
(f
1
+ 2f
2
), ∀v ∈ R suy ra u
1
=
f
1
+ 2f
2
13
. Vậy u =

f
1
+f
2
13
,
2(f
1
+f
2
)
13

chính là nghiệm của bài toán biến phân đối xứng trên.

Khi V là không gian con vô hạn chiều, thì việc giải bài toán 2.1 không
phải lúc nào cũng làm được. Cho nên, việc giải xấp xỉ bài toán 2.1 cũng là
một vấn đề thời sự trong toán học hiện nay, ta có thể tìm thấy trong [10],
[17]. Ở đây, ta chỉ nêu một số kết quả của phương pháp xấp xỉ Ritz-
Galerkin cho bài toán 2.1.
Nếu V
h
là không gian con hữu hạn chiều của V , thì bài toán xấp xỉ
Ritz-Galerkin là bài toán 2.2
Bài toán 2.2 (Bài toán xấp xỉ Ritz-Galerkin). Cho F ∈ V
∗
, tìm u
h
∈ V
h
sao cho a(u
h
, v) = F (v), ∀v ∈ V
h
.
Định lý 2.1 cho ta kết quả về tính tồn tại và duy nhất nghiệm của
bài toán 2.2.
Định lý 2.1. Bài toán xấp xỉ Ritz - Galerkin 2.2 có nghiệm duy nhất,
có nghĩa là tồn tại duy nhất u
h
∈ V
h
sao cho a(u
h
, v) = F (v), ∀v ∈ V

h
.
25
Chứng minh. Theo giả thiết, V
h
là không gian con hữu hạn chiều của
V nên V
h
là không gian con đóng của V . Theo chứng minh của định
lý 1.14 ta có (V, a(·, ·)) là không gian Hilbert. Áp dụng định lý 1.14, suy
ra (V
h
, a(·, ·)) lập thành một không gian Hilbert con của V . Theo định lý
Riesz thì tồn tại duy nhất u
h
∈ V
h
sao cho a(u
h
, v) = F (v), ∀v ∈ V
h
.
Nhận xét 2.1. Giả sử u, u
h
lần lượt là nghiệm của bài toán 2.1 và bài
toán 2.2 thì với ∀v ∈ V
h
ta có a(u, v) − a(u
h
, v) = F (v) − F (v) suy ra

a(u − u
h
, v) = 0, hay u − u
h
trực giao với V
h
theo a(·, ·).
2.1.2. Bài toán biến phân không đối xứng
Cho (H, (·, ·)) là không gian Hilbert trên trường số thực, V là không gian
con đóng của H, V
∗
là không gian đối ngẫu của V , V
h
là không gian con
hữu hạn chiều của V và a(·, ·) là dạng song tuyến tính không đối xứng,
bị chặn, bức trên V . Bài toán biến phân không đối xứng là bài toán 2.3
Bài toán 2.3 (Bài toán biến phân không đối xứng). Cho F ∈ V
∗
, tìm
u ∈ V sao cho a(u, v) = F (v), ∀v ∈ V .
Khi đó, ta có bài toán xấp xỉ Galerkin tương ứng bài toán biến phân
hữu hạn chiều là bài toán 2.4
Bài toán 2.4 (Bài toán xấp xỉ Galerkin). Cho F ∈ V
∗
, tìm u
h
∈ V
h
sao
cho a(u

h
, v) = F (v), ∀v ∈ V
h
.
Ta thấy, bài toán xấp xỉ Ritz-Galerkin 2.2 có nghiệm duy nhất. Liệu
điều này còn đúng trong bài toán biến phân đối xứng và bài toán biến
phân không đối xứng nữa hay không? Ta sẽ giải quyết vấn đề này trong
mục 2.2.