Định lý Lagrange và ứng dụng (Tĩnh Gia 1)

Lê Thanh Bình - Giáo viên Trờng THPT Tĩnh Gia 1
định lý lagrange và ứng dụng
A.Định lý Lagrange
1.Định lý Weierstrass
Nếu hàm số f(x) liên tục trên
[ ]
ba;
thì nó đạt đợc giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn
nhất và mọi giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên
[ ]
ba;
.
(SGK ĐS&GT 11)
2.Định lý Fermat
Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại
0
x
và đạt cực trị tại điểm đó thì
( )
0'
0
=
xf
.
(SGK Giải tích 12)
3.Định lý Rolle
Giả sử f(x) liên tục trên
[ ]
ba;
và có đạo hàm trên
);( ba

. Nếu
)()( bfaf
=

thì tồn tại ít nhất một điểm
);( bac

sao cho
0)('
=
cf
.
Chứng minh
Vì f(x) liên tục trên
[ ]
ba;
nên f(x) đạt giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất
M trên
[ ]
ba;
.
+ Nếu m=M thì f(x)=m=M
[ ]
bax ;

suy ra
);(0)(' baxxf
=
.
Do đó

);( bac

ta có
0)('
=
cf
.
+ Nếu m<M thì
maf

)(
hoặc
Maf

)(
.
Giả sử
mbfaf
=
)()(
. Vì f(x) liên tục trên
[ ]
ba;
nên theo định lý Weierstrass tồn
tại ít nhất một điểm
];[ bac

sao cho
mcf
=

)(
. Hiển nhiên
ac

và
bc

suy ra
);( bac

. Vì
);()()( baxcfxf

nên f(x) đạt cực tiểu tại c.
Theo định lý Fermat ta có
0)('
=
cf
.
( Chứng minh tơng tự cho TH
Mbfaf
=
)()(
)
4.Định lý Lagrange
Nếu hàm số f(x) liên tục trên
[ ]
ba;
và có đạo hàm trên
);( ba

thì tồn tại ít
nhất một điểm
);( bac

sao cho
( )
abcfafbf
=
).(')()(
.
Chứng minh
Xét hàm số
)(
)()(
)()()( ax
ab
afbf
afxfxg



=
với
];[ bax

.
Ta có g(x) liên tục trên
[ ]
ba;
và có đạo hàm trên

);( ba
:

ab
afbf
xfxg


=
)()(
)(')('
.
Mặt khác
0)()(
==
bgag
nên theo định lý Rolle tồn tại
);( bac

sao cho
0)('
=
cg
.
Do đó
=


=
0

)()(
)(')('
ab
afbf
cfcg
( )
abcfafbf
=
).(')()(
(Đpcm)
5.ý nghĩa hình học của định lý Lagrange
Do f(x) liên tục trên
[ ]
ba;
nên đồ
thị của f(x) trên
[ ]
ba;
là một cung liền AB
với A(a;f(a)), B(b;f(b)).
Giới thiệu Định lý Lagrange và một số ứng dụng của nó !
1
Lê Thanh Bình - Giáo viên Trờng THPT Tĩnh Gia 1
Cát tuyến AB có hệ số góc
ab
afbf


)()(
.

Định lý Lagrange khẳng định
);( bac

sao cho
ab
afbf
cf


=
)()(
)('
nghĩa là hệ số góc của tiếp tuyến của cung AB tại
C(c;f(c)) bằng hệ số góc của cát tuyến AB. Nói cách khác, trên cung AB tồn tại ít
nhất một điểm C sao cho tiếp tuyến tại C song song với AB.
B.Một số ứng dụng của định lý Lagrange
I.Một số tính chất của hàm số và đồ thị
1.Định lý Nếu
);(0)(' baxxf
=
thì
);()( baxconstxf
=
.
Chứng minh
Xét
0
x
cố định ,
);(

0
bax

.
);( bax

ta có
+ Nếu
0
xx
=
thì
)()(
0
xfxf
=
.
+ Nếu
0
xx

thì theo định lý Lagrange
c

nằm giữa
0
x
và
x
sao cho

))((')()(
00
xxcfxfxf
=
. Vì
);( bac

nên
0)('
=
cf
suy ra
)()(
0
xfxf
=
.
Vậy
);()()(
0
baxconstxfxf
==
.
2.Điều kiện đủ để hàm số đồng biến ,nghịch biến
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên
);( ba
.
a. Nếu
);(0)(' baxxf
>

thì f(x) đồng biến trên
);( ba
.
b. Nếu
);(0)(' baxxf
<
thì f(x) nghịch biến trên
);( ba
.
Chứng minh
2121
);;(, xxbaxx
<
ta có f(x) liên tục và có đạo hàm trên
[ ]
21
; xx
.
Theo định lý Lagrange
);(
21
xxc

sao cho
))((')()(
1212
xxcfxfxf
=
.
a. Nếu

);(0)(' baxxf
>
thì
0)('
>
cf
do đó
)()(
12
xfxf
>
suy ra f(x) đồng
biến trên
);( ba
.
b. Nếu
);(0)(' baxxf
<
thì
0)('
<
cf
do đó
)()(
12
xfxf
<
suy ra f(x)
nghịch biến trên
);( ba

.
3.Điều kiện đủ để đồ thị hàm số lồi, lõm
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên
);( ba
. Đồ thị hàm số f(x) trên
);( ba
là
cung (C).Với
);(
0
bax

, tiếp tuyến của (C) tại
( )
)(;
00
xfxM
có phơng trình là
))((')(
000
xxxfxfy
+=
Định nghĩa: Cung (C) đợc gọi là lồi nếu mọi điểm của cung này đều nằm dới
tiếp tuyến bất kỳ của cung ( trừ tiếp điểm ).
Tức là : Nếu
);(
0
bax

ta luôn có

0000
);;())((')()( xxbaxxxxfxfyxf
+=<
thì cung (C) đợc gọi là lồi.
Tơng tự Cung (C) đợc gọi là lõm nếu mọi điểm của cung này đều nằm trên tiếp
tuyến bất kỳ của cung ( trừ tiếp điểm ).
Tức là : Nếu
);(
0
bax

ta luôn có
Giới thiệu Định lý Lagrange và một số ứng dụng của nó !
2
Lê Thanh Bình - Giáo viên Trờng THPT Tĩnh Gia 1

0000
);;())((')()( xxbaxxxxfxfyxf
+=>
thì cung (C) đợc gọi là lõm.
Định lý: Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp 2 trên
);( ba
.
a. Nếu
);(0)(" baxxf
>
thì đờng cong y=f(x) lõm trên
);( ba
.

b. Nếu
);(0)(" baxxf
<
thì đờng cong y=f(x) lồi trên
);( ba
.
Chứng minh
a. Giả sử
);(0)(" baxxf
>
.
);(
0
bax

Tiếp tuyến của đờng cong y=f(x) tại
( )
)(;
00
xfxM
có phơng
trình là
))((')(
000
xxxfxfy
+=
.
áp dụng định lý Lagrange cho f(x) trên
);( ba
, ta có:

tồn tại c nằm giữa
0
x
và
x
sao cho
( )
00
).(')()( xxcfxfxf
=
Suy ra
))(('))(('))((')()()(
000000
xxxfxxcfxxxfxfxfyxf
==

[ ]
)()(')('
00
xxxfcf
=
(*)
Vì
);(0)(" baxxf
>
nên
)(' xf
đồng biến trên
);( ba
. Do đó

+ Nếu
0
xx
>
thì
xcx
<<
0
suy ra
)(')('
0
cfxf
<
.
Khi đó (*)
yxfyxf
>>
)(0)(
+ Nếu
0
xx
<
thì
0
xcx
<<
suy ra
)(')('
0
xfcf

<
.
Khi đó (*)
yxfyxf
>>
)(0)(
Vậy
0000
);;())((')()( xxbaxxxxfxfyxf
+=>

Đờng cong y=f(x) lõm trên
);( ba
.
b. Chứng minh tơng tự.
Giới thiệu Định lý Lagrange và một số ứng dụng của nó !
3
Lê Thanh Bình - Giáo viên Trờng THPT Tĩnh Gia 1
II.ứng dụng của định lý Lagrange
trong chứng minh Bất đẳng thức
Bài 1: CMR a)






<
2
;0sin

xxx
b)
Rxxx

sin
Bài 2: CMR
Ryx

,
Ta có
a)
yxyx

sinsin
b)
yxyx

coscos
Bài 3: CMR







2
;0,

yx
Ta có
a)
yxtgytgx

b)
yxgygx

cotcot
Bài 4: CMR







2
;0,

ba
Ta có
a)
b
ab
tgatgb
a
ab
22
coscos

<<

b)
a
ab
gbga
b
ab
22
sin
cotcot
sin

<<

Bài 5: Cho 0<a<b CMR
a
ab
a
b
b
ab

<<

ln
Bài 6: Cho x>y>0 CMR

( ) ( )

yxxyxyxy
<<
2005200620062005
20062006
Bài 7: CMR
0)1ln(
1
><+<
+
xxx
x
x
Bài 8: Cho
*
Nn

Tìm GTLN của hàm số






+=

n
x
exf
x
1)(

trên
[
)
+
;0
.
Bài 9: Cho a<b<c. CMR
a)
cabcabcba
++>++
222
b)
<++++<
cabcabcbacbaa
222
3

ccabcabcbacba 3
222
<+++++<
Bài 10: Cho 0<a<b<c<d
CMR
64
3
cdbdbcadacabbcdacdabdabc
+++++
<
+++
Bài 11: Cho

>
<<
0
10
x

CMR
( )
xx


+<+
11
Bài 12: Cho
Zn

3
CMR
( )
n
n
nn 1
1
+>
+
Bài 13: Cho a<b ;
0

k
. CMR
a)
ba
k
kbka


sinsin
Giới thiệu Định lý Lagrange và một số ứng dụng của nó !
4
Lê Thanh Bình - Giáo viên Trờng THPT Tĩnh Gia 1
a)
ba
k
kbka


coscos
Bài 14: CMR
baabeeeabe
baba
<<<
)()(
Bài 15: CMR
0,
1
.
><

<


xaa
x
e
ea
ax
ax
Bài 16: CMR
0
1
1
1
1
1
1
>






+>

+
+
+
x
xx
xx
Bài 17: CMR
0
1
1
1
1
1
>






+<<






+
+

x
x
e
x
xx
Bài 18: Cho
*
,)1;0( Nnx

.CMR
ne
xx
n
2
1
1
<
Bài 19: Tìm GTNN của hàm số







+
++
=
2
;0voi,

12
1sin
)(

x
x
tgxx
xf
Bài 20: Cho
2
0

+<
yxx
. CMR
xyxyx cossin)sin(
+<+
Bài 21: Cho
Rbaf

);(:
có đạo hàm cấp 2 trên
);( ba
.
CMR a) Nếu
);(0)(" baxxf
>
thì
);(,
2

)()(
2
bayx
yfxfyx
f

+







+
b) Nếu
);(0)(" baxxf
<
thì

);(,
2
)()(
2
bayx
yfxfyx
f

+

+
Bài 22: Cho
Rbaf

);(:
có đạo hàm cấp 2 trên
);( ba
.
CMR a) Nếu
);(0)(" baxxf
>
thì
( )
1,0,);(,)()(
=+>++

bayxyfxfyxf
b) Nếu
);(0)(" baxxf
<
thì

( )
1,0,);(,)()(

=+>++

bayxyfxfyxf
Bài 23: Cho
[
)
Raf
+
;:
thoả mãn 2 điều kiện sau:
a)
0)(
<
af
b)
[
)
+>
;1)(' axxf
CMR
[ ]
0)(
>
afaf
Bài 24: CMR a)
0)1ln(
><+
xxx
b)

>
2
;0

xxtgx
c)
01
>+>
xxe
x
d)
0
2
2
)1ln(

+
+
x
x
x
x
Bài 25: CMR
21cos
1

cos)1(
>>
+
+
x
x
x
x
x

Bài 26: Cho
[
)
Rf
+
;0:
thoả mãn 3 điều kiện sau:
a) f liên tục trên
[
)
+
;0
b) f' tăng trên
( )
+
;0
c) f(0) =0
CMR
x
xf

xgx
Rg
)(
)(
);0(:
=
+

tăng trên
( )
+
;0
.
Bài 27: (Định lý Cauchy)
Giới thiệu Định lý Lagrange và một số ứng dụng của nó !
5