Bài toán về zero mode của toán tử Weyl-Dirac

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học sư
phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Tạ Ngọc Trí,
người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý
báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích
lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong
chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc
nhất đối với thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường
và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ,
tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin chân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo,
bạn bè đồng nghiệp trường Dự bị đại học dân tộc Trung Ương Việt Trì,
Phú Thọ đã quan tâm, động viên và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành
khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, ngày 20 tháng 6 năm 2011
Tác giả
Lê Thị Ngọc Phượng
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, ngày 20 tháng 6 năm 2011
Tác giả
Lê Thị Ngọc Phượng
ii
Mục lục
Mở đầu 1

1 Kiến thức chuẩn bị 4
1.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3. Lớp Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4. Trường vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Toán tử tuyến tính bị chặn. Phổ của toán tử tuyến tính
bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1. Toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . 13
1.3. Toán tử tuyến tính không bị chặn. Phổ của toán tử tuyến
tính không bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1. Toán tử tuyến tính không bị chặn . . . . . . . . . 19
1.3.2. Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn . . . . 22
1.4. Định lý Kato - Rellic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Ví dụ về zero mode bằng phương pháp thứ nhất của M.
Loss và H. T. Yau 24
iii
2.1. Ma trận Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2. Toán tử Weyl - Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3. Zero mode của toán tử Weyl-Dirac . . . . . . . . . . . . 33
2.4. Bài toán về zero mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5. Phương pháp thứ nhất xây dựng zero mode của M. Loss
và H.T. Yau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.6. Ví dụ về zero mode của M. Loss và H. T. Yau . . . . . . 36
2.7. Một số kết quả của C. Adam, B. Muratori và C. Nash . . 38
2.8. Tư tưởng của L. Erd¨os, J. P. Solovej khi nghiên cứu về
zero mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.8.1. Lớp các từ trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.8.2. Cách xây dựng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.9. Một số kết quả khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Ví dụ về zero mode bằng phương pháp thứ hai của M.
Loss và H. T. Yau 52
3.1. Phương pháp thứ hai xây dựng zero mode của M. Loss và
H.T. Yau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2. Các ví dụ của D. M. Elton . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Kết luận 78
Tài liệu tham khảo 78
iv
BẢNG KÍ HIỆU
R
3
không gian Euclid 3-chiều
C Tập các số phức
i đơn vị ảo
C
∞
0
tập các hàm trơn có giá compact
C
∞
tập các hàm trơn
L
2
(R
3
) không gian các hàm bình phương khả tích trên R
3
H
2

(R) không gian Sobolev
x chuẩn của véc tơ x
S
2
hình cầu đơn vị trong R
3
S
3
hình cầu đơn vị trong R
4
kerA nhân của toán tử A
DimX số chiều của không gian vec tơ X
SpecA phổ của toán tử A
DomA Miền xác định của toán tử A
RanA Miền giá trị của toán tử A
p = −i toán tử momen động lượng
p
2
= − toán tử Laplace
x = (x
1
, x
2
, x
3
) điểm trong R
3
u ×v tích có hướng của hai vector u, v
 kết thúc chứng minh
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Khái niệm “zero mode của toán tử Weyl-Dirac” thực tế được
xuất phát từ Vật lý. Nó xuất hiện đầu tiên vào năm 1986 khi một nhóm
các nhà Vật lý lý thuyết đứng đầu là Fr¨ohlich đã xét sự ổn định của
nguyên tử Hydro trong môi trường từ tính. Họ xét đến phương trình
Hamilton:
H = (p − A)
2
− σ.B −
z
|x|
(0.1)
có trạng thái năng lượng ban đầu được ký hiệu là E
0
(B, z). H tác động
lên hai thành phần spinor ψ. Nhìn chung các nhà nghiên cứu đã chỉ ra
rằng tồn tại một số tới hạn z
c
> 0 sao cho
E(z) = inf
B
(E
0
(B, z) + ε

B
2
) (0.2)
là hữu hạn với z < z
c

và E(z) = −∞ khi z > z
c
với ε = (8πα
2
)
−1
và c
là hằng số cấu trúc  (137.04)
−1
. Họ đã chỉ ra rằng điều kiện cần và đủ
để có hữu hạn z
c
là phương trình
σ · (p −A)ψ = 0 (0.3)
có nghiệm với A, ψ thỏa mãn: ψ ∈ H
1
(R
3
), nghĩa là ψ, ∇ψ ∈ L
2
(R
3
)(a), A ∈
L
6
(R
3
), divA = 0, B = CurlA ∈ L
2
(R

3
)(b). Hàm ψ được gọi là zero mode
của toán tử Weyl-Dirac σ ·(p − A).
Ta có (0.3) là phương trình đo sự bất biến. Giả sử (0.3) có nghiệm,
B có thể được biểu diễn hoàn toàn trong điều kiện của trường vector
U = ψ, σψ (0.4)
và đạo hàm của nó.
Một câu hỏi được đặt ra là: giả sử trường U thỏa mãn U ∈ L
1
, U
2
trơn và divU = 0 thì ta có thể tìm được bao nhiêu ψ và A thỏa mãn
(0.3), (0.4), (a), (b).
Năm 1986, Loss-Yau đã đưa ra được hai phương pháp về mặt lý
thuyết để tìm zero mode của toán tử Weyl - Dirac và một số ví dụ cụ
thể về bài toán này dựa trên phương pháp thứ nhất. Sau đó các ví dụ
này được C. Adam, B. Muratori, C. Nash, Y. Aharonov, A. Casher, L.
Erd¨os, J. P. Solovej liên tiếp phát triển nhưng chủ yếu dựa trên phương
pháp thứ nhất. Năm 2000, D. M. Elton nghiên cứu và đưa ra ví dụ cụ
thể cho phương pháp thứ hai.
Với mong muốn hiểu biết sâu sắc hơn về bài toán tìm zero modes
của toán tử Weyl-Dirac với sự hướng dẫn tận tình của T.S Tạ Ngọc Trí
tôi đã chọn đề tài "Bài toán về zero mode của toán tử Weyl-
Dirac".
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về bài toán zero mode của toán tử Weyl-Dirac, các ví dụ
cụ thể của zero mode và một số kết quả liên quan đến sự phát triển của
bài toán trong những năm gần đây.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Trình bày các ví dụ cụ thể về zero mode của toán tử Weyl-

Dirac bằng hai phương pháp của Loss và Yau. Đặc biệt ví dụ của D. M.
Elton thông qua bài báo New Examples of Zero Modes, J. Phys.
A, 33(2000), 7297-7303.
+ Nghiên cứu cách phát triển các kết quả đã có.
3
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng: Toán tử Weyl-Dirac, zero mode của toán tử Weyl-
Dirac.
+ Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo liên quan đến bài
toán zero mode của toán tử Weyl-Dirac.
5. Phương pháp nghiên cứu
+ Sử dụng các kỹ thuật của giải tích hàm.
+ Lý thuyết toán tử, lý thuyết toán tử không bị chặn, lý thuyết
phổ.
+ Thu thập và nghiên cứu các tài liệu liên quan, đặc biệt là những
bài báo mới về bài toán zero mode của toán tử Weyl-Dirac.
6.Dự kiến đóng góp mới
+ Nghiên cứu và làm rõ được các bước chứng minh tìm ra zero
mode của toán tử Weyl-Dirac bằng phương pháp thứ hai.
+ Tổng hợp, hệ thống một số kết quả mà các nhà khoa học đã đạt
được khi nghiên cứu bài toán về zero mode của toán tử Weyl-Dirac.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi đề cập đến một số kiến thức cơ bản
nhất về không gian Hilbert, không gian Sobolev, lớp Schwartz, trường
vector, toán tử tuyến tính bị chặn và phổ của toán tử tuyến tính bị chặn,
toán tử tuyến tính không bị chặn và phổ của chúng. Những kiến thức
đó được viết chi tiết trong [1], [2], [13], [14], [15], [16].
1.1. Các khái niệm cơ bản
1.1.1. Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.1 (Không gian tuyến tính). Cho không gian tuyến tính
X (trên trường số thực hoặc phức). Giả sử ứng với mỗi cặp phần tử xác
định một số thực (hoặc phức) thỏa mãn các điều kiện sau đây:
i) (∀x, y ∈ X), x, y = y, x;
(trong trường số phức thì x, y = y, x);
ii) (∀x, y, z ∈ X), x + y, z = x, z + y, z;
iii) (∀x, y ∈ X, λ ∈ R(C))λx, y = λx, y;
iv) (∀x ∈ X), x, x ≥ 0, trong đó x, x = 0 khi và chỉ khi x = θ
(kí hiệu phần tử không).
Số x, y như vậy được gọi là tích vô hướng của hai phần tử x, y.
5
Định nghĩa 1.1.2 (Không gian Ơclit). Không gian tuyến tính mà trong
đó có xác định tích vô hướng được gọi là không gian Ơclit.
Trong không gian Ơclit ta có thể đưa vào chuẩn
x =

x, x.
Định nghĩa 1.1.3 (Không gian Hilbert). Không gian Ơclit đủ được gọi
là không gian Hilbert. Ta thường ký hiệu H không gian Hilbert.
Ví dụ 1.1.1. Không gian L
2
(R
3
) là không gian các các hàm số với bình
phương khả tích trên R
3
.
∀f(x), g(x) ∈ L
2
(R

3
) ta đặt: f, g =

R
3
f(x)g(x) dx.
Chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng trên là:
f =

f, f = (

R
3
f
2
(x)dx)
1
2
.
Khi đó không gian L
2
(R
3
) cùng với tích vô hướng trên là một không gian
Hilbert.
Định nghĩa 1.1.4 (Giá của một hàm). Giá của hàm f (thực hay phức)
trên không gian topo X là bao đóng của tập:
L = {x ∈ X|f(x) = 0}.
1.1.2. Không gian Sobolev
Định nghĩa 1.1.5. Cho Ω là một tập mở trong R

n
, 1 ≤ p ≤ ∞, m ∈ Z
+
.
Không gian Sobolev W
m,p
(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm
u ∈ L
p
(Ω), sao cho với mọi đa chỉ số α, |α| ≤ m, đạo hàm suy rộng
D
α
u ∈ L
p
(Ω). Nghĩa là:
W
m,p
(Ω) = {u ∈ L
p
(Ω) : D
α
u ∈ L
p
(Ω) ∀|α| ≤ m}.
m được gọi là bậc của không gian Sobolev W
m,p
(Ω). W
m,p
(Ω) có chuẩn
được xác định bởi công thức

6
u
W
m,p
(Ω)
:=





|α|≤m
D
α
u
p
L
p
(Ω)

1
p
, 1 ≤ p < +∞

|α|≤m
D
α
u
L
∞

(Ω)
, p = +∞
Với chuẩn đó, W
m,p
(Ω) là không gian Banach. Với p hữu hạn,
W
m,p
(Ω) là không gian tách được. Ta có thể viết W
m,2
(Ω) là H
m
(Ω) khi
nó là không gia Hilbert với chuẩn:
.
W
m,2
(Ω)
=


m

|α|=0

Ω
|D
α
u (x)|
2
dx



1
2
.
1.1.3. Lớp Schwartz
Định nghĩa 1.1.6 (Hàm giảm nhanh). Hàm f được gọi là hàm giảm
nhanh nếu với mỗi số nguyên N ≥ 0 tồn tại hằng số C
N
sao cho:
|x|
N
|f(x)| ≤ C
N
, ∀x ∈ R
n
.
Định nghĩa 1.1.7 (Lớp Schwartz). Lớp Schwartz là tập tất cả các hàm
f ∈ C
∞
(R
n
) sao cho f và đạo hàm của nó là các hàm giảm nhanh.
Ví dụ 1.1.2. Cho a > 0, thì f(x) = e
−ax
2
là hàm giảm nhanh.
Định nghĩa 1.1.8 (Đa tạp Rieman). Cho T
p
M là không gian vector

tiếp xúc tại điểm p trên đa tạp khả vi n chiều M. Metric g là một phép
gán của tích vô hướng g
p
tới không gian vector T
p
M với mỗi p ∈ M. Khi
đó cặp (M, g) được gọi là đa tạp Rieman.
1.1.4. Trường vector
Định nghĩa 1.1.9 (Trường vector). Theo giải tích vector, trường vector
là một phép gán của một vector với mỗi điểm trong một tập con của
không gian Euclide.
7
Trường vector thường được sử dụng để mô tả: tốc độ và hướng của
một chất lỏng di chuyển trong không gian hoặc các lực từ tính hoặc lực
hấp dẫn,
Các phép tính vi phân, tích phân của các phần tử có thể được mở
rộng đối với trường vector một cách tự nhiên.
Trường vector thường được thảo luận trên các tập con mở của
không gian Euclide.
Định nghĩa 1.1.10 (Trường vector trong tập con của không gian Eu-
clide). Cho tập S ⊂ R
n
. Hàm giá trị vector U : S → R
n
trong hệ tọa độ
Descartes tiêu chuẩn (x
1
, x
2
, ··· , x

n
) được gọi là một trường vector.
Nếu mỗi thành phần của U là liên tục thì U là hàm liên tục. Nói
chung, U là một trường vector C
k
nếu mỗi thành phần của U là khả vi
liên tục cấp k.
Một trường vector có thể hình dung như một không gian n-chiều
với mỗi vector n-chiều gắn liền với mỗi điểm.
Trường được xem như dạng đặc biệt của vật chất có nhiệm vụ thực
hiện các tương tác, trường tồn tại liên tục ở khắp mọi nơi.
Định nghĩa 1.1.11 (Thế vector). Thế vector là trường vector ba chiều.
Cho trường vector v, một thế vector là một trường vector A sao
cho: v = ∇ ×A.
Định nghĩa 1.1.12 (Curl của thế vector). Trong giải tích vector, các
curl (hoặc rotor) là một toán tử vector mô tả sự quay cực của một trường
vectơ 3-chiều. Tại mỗi điểm trong trường này, curl được biểu thị bằng
một vectơ. Các thuộc tính của vector (chiều dài và chiều) đặc trưng cho
vòng quay tại điểm đó.
Curl là một hình thức của sự khác biệt cho các trường vector.
Định nghĩa 1.1.13 (Spin). Spin là mômen cơ (mômen xung lượng)
riêng của hạt và là một thuộc tính cơ bản của hạt. Sự nghiên cứu của
8
cơ học lượng tử tính chất spin của các hạt cơ bản cho ta: Spin là một
đại lượng vector (giả vector).
Spin của các hạt thông thường được xác định qua thực nghiệm,
xong đối với electron thì spin của nó có thể suy ra trực tiếp từ phương
trình Dirac. Từ phương trình Dirac chúng ta đã chứng minh được sự tồn
tại spin của hạt, sự tồn tại momen từ, sự tồn tại phản hạt.
Các gradient (hoặc trường vector gradient) của một hàm vô hướng

f(x
1
, x
2
, x
3
, ··· , x
n
) là ∇f hoặc

∇f với ∇ biểu thị toán tử vi phân vector.
Các ký hiệu grad(f) cũng được sử dụng cho gradient. Các gradient của
f được định nghĩa là trường vector có thành phần là các đạo hàm từng
phần của f. Đó là: ∇f = (
∂f
∂x
1
, ··· ,
∂f
∂x
n
).
Trong giải tích vector, gradient của một trường vô hướng là một
trường vectơ mà điểm theo hướng tỷ lệ tăng lớn nhất của các trường vô
hướng, và có độ lớn là tỷ lệ lớn nhất của sự thay đổi.
1.2. Toán tử tuyến tính bị chặn. Phổ của toán tử
tuyến tính bị chặn
1.2.1. Toán tử tuyến tính bị chặn
Định nghĩa 1.2.1 (Toán tử tuyến tính). Cho hai không gian vectơ bất
kỳ X và Y. Một ánh xạ A : X → Y gọi là một ánh xạ tuyến tính hay

toán tử tuyến tính nếu:
i) (∀x, x

∈ X) A(x + x

) = Ax + Ax

;
ii) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) Aαx = αAx.
Ở đây để cho gọn ta viết Ax thay cho A(x). Nếu X ≡ Y ta nói A
là toán tử trong X.
Ví dụ 1.2.1. X ≡ Y ≡ C
k
[a;b]
(Không gian các hàm số có đạo hàm liên
9
tục đến cấp k trên [a; b])
Ax (t) = a
0
x (t) + a
1
x

(t) + + a
k
x
(k)
(t)
trong đó a
0

, a
1
, , a
k
là những hằng số (hoặc những hàm số cho trước
của t thuộc C
k
[a;b]
) là toán tử tuyến tính. A gọi là toán tử vi phân.
Định nghĩa 1.2.2 (Toán tử tuyến tính liên tục). Cho X,Y là hai không
gian định chuẩn. Toán tử tuyến tính A : X → Y gọi là liên tục tại
x
0
∈ X nếu:
∀{x
n
} ⊂ X, x
n
→ x
0
(n → ∞) thì Ax
n
→ Ax
0
(n → ∞).
Toán tử A gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc X.
Định nghĩa 1.2.3 (Toán tử tuyến tính bị chặn). Cho X,Y là hai không
gian định chuẩn. Toán tử tuyến tính
A : X → Y gọi là bị chặn (giới nội) nếu có một hằng số k > 0 sao cho:
(∀x ∈ X) , Ax ≤ k x.

Định nghĩa 1.2.4 (Chuẩn của toán tử). Số k > 0 nhỏ nhất trong định
nghĩa (1.3.3) gọi là chuẩn của toán tử A và ký hiệu là A.
Định lý 1.2.1 (Ba mệnh đề tương đương về toán tử tuyến tính liên tục).
Cho X, Y là hai không gian định chuẩn. Toán tử tuyến tính A : X → Y .
Khi đó các mệnh đề sau tương đương:
1) A liên tục.
2) A liên tục tại x
0
∈ X.
3) A bị chặn.
Chứng minh.
1) ⇒ 2) Giả sử toán tử A liên tục. Theo định nghĩa, toán tử A liên tục
tại mỗi điểm x ∈ X, do đó A liên tục tại điểm x
0
∈ X.
2) ⇒ 3) Giả sử toán tử A liên tục tại điểm x
0
∈ X, nhưng toán tử
10
A không bị chặn. Khi đó (∀n ∈ N
∗
) (∃x
n
∈ X) Ax
n
 > n x
n
. Hiển
nhiên x
n

= θ, đặt y
n
=
x
n
n x
n

, thì y
n
 =
1
n
→ 0 (n → ∞), nghĩa là
y
n
→ θ khi n → ∞ suy ra y
n
+ x
0
→ x
0
(n → ∞). Theo giả thiết, ta có
A (y
n
+ x
0
) − Ax
0
 → 0 (n → ∞) ⇒ Ay

n
 → 0 (n → ∞) .
Nhưng Ay
n
 =




A

x
n
n x
n






=
1
n x
n

Ax
n
 > 1. Điều này
mâu thuẫn với chứng minh trên.

Vì vậy toán tử A liên tục tại x
0
thì A bị chặn.
3) ⇒ 1) Giả sử toán tử A bị chặn. Theo định nghĩa ∃ K > 0 sao cho
Ax ≤ K x, ∀x ∈ X.
Lấy một điểm bất kỳ x ∈ X và dãy điểm tùy ý {x
n
} ⊂ X hội tụ
tới x. Ta có:
Ax
n
− Ax = A (x
n
− x) ≤ K x
n
− x → 0 (n → ∞).
Do đó A liên tục tại điểm x. Do tính chất bất kỳ của x ∈ X nên A liên
tục trên X.
Định nghĩa 1.2.5 (Toán tử ngược). Cho X,Y là hai không gian định
chuẩn. Toán tử tuyến tính A : X → Y gọi là có toán tử ngược (hay toán
tử khả nghịch) khi và chỉ khi KerA = {θ}, tức là phương trình Ax = 0
chỉ có một nghiệm duy nhất x = 0. Ký hiệu A
−1
.
Định lý 1.2.2 (Tính liên tục của toán tử ngược). Cho X,Y là hai không
gian định chuẩn. Toán tử tuyến tính A : X → Y có toán tử ngược A
−1
liên tục khi và chỉ khi tồn tại hằng số α > 0 sao cho:
Ax ≥ α x, (∀x ∈ X) . (1.1)
Khi đó



A
−1


≤
1
α
.
11
Chứng minh. Trước hết, ta chứng minh toán tử ngược A
−1
của toán tử
tuyến tính A là toán tử tuyến tính. Thật vậy, lấy hai phần tử y
1
, y
2
∈ Y
và hai số tùy ý a, b. Khi đó ∃x
1
, x
2
∈ X sao cho y
1
= Ax
1
, y
2
= Ax

2
. Do
đó
[A(ax
1
+ bx
2
) = aAx
1
+ bAx
2
= ay
1
+ by
2
].
Suy ra
A
−1
(ay
1
+ by
2
) = ax
1
+ bx
2
= aA
−1
y

1
+ bA
−1
y
2
.
Điều kiện cần
Giả sử toán tử tuyến tính A có toán tử ngược A
−1
liên tục. Theo
chứng minh trên, A
−1
là toán tử tuyến tính. Do đó theo Định lý 1.2.1,
A
−1
bị chặn. Suy ra tồn tại hằng số C > 0 sao cho
|A
−1
y| ≤ C|y|, (∀y ∈ Y ),
nên
C Ax ≥


A
−1
(Ax)


= x ⇒ Ax ≥
1

C
x, (∀x ∈ X) .
Đặt α =
1
C
ta nhận được (1.4).
Điều kiện đủ
Giả sử toán tử tuyến tính A thỏa mãn điều kiện (1.4). Khi đó
∀x
1
, x
2
∈ X; x
1
= x
2
ta có:
α|x
1
− x
2
| ≤ |A(x
1
− x
2
)| = |Ax
1
− Ax
2
| ⇒ Ax

1
= Ax
2
.
Do đó A có toán tử ngược A
−1
. Theo chứng minh trên, toán tử
A
−1
tuyến tính nên (∀y ∈ Y ) ta có:
y =


A

A
−1
y



≥ α


A
−1
y


⇒



A
−1
y


≤
1
α
y.
Suy ra, A
−1
là toán tử tuyến tính bị chặn. Vậy A
−1
liên tục và


A
−1


≤
1
α
.
12
Định nghĩa 1.2.6 (Toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp). Cho A là toán
tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert H. Toán tử A
∗

: H → H
gọi là toán tử liên hợp của A, nếu (Ax, y) = (x, A
∗
y) , ∀x, y ∈ H.
Khi A = A
∗
thì toán tử A gọi là toán tử tự liên hợp hay toán tử
đối xứng. Nói cách khác, nếu A là toán tử tự liên hợp thì
(Ax, y) = (x, Ay) , ∀x, y ∈ H.
Định lý 1.2.3. Nếu A là toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert H
thì
A = sup
x=1
|(Ax, x)|.
Định lý 1.2.4. Nếu A, B là toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert
H thì
1) A
∗∗
= A.
2) (λA + µB)
∗
= λA
∗
+ µB
∗
, với λ, µ ∈ C
3) (AB)
∗
= B
∗

A
∗
.
4) A
∗
A = A
2
.
Định nghĩa 1.2.7. Toán tử A trong không gian Hilbert H được gọi là
chuẩn tắc nếu A
∗
A = AA
∗
.
Định nghĩa 1.2.8 (Toán tử dương). Toán tử tuyến tính A gọi là toán
tử dương trên không gian Hilbert H nếu (Ax, x) ≥ 0, ∀x ∈ H.
Định nghĩa 1.2.9 (Toán tử xác định dương). Toán tử tuyến tính A gọi
là toán tử xác định dương trên không gian Hilbert H nếu tồn tại hằng
số γ > 0 sao cho (Ax, x) ≥ γ x, ∀x ∈ H.
Định nghĩa 1.2.10 (Toán tử compact). Toán tử tuyến tính A trên
không gian Hilbert H gọi là toán tử compact (hay toán tử hoàn toàn bị
chặn) nếu, với mỗi dãy bị chặn (x
n
) trong H, dãy (Ax
n
) chứa một dãy
con hội tụ.
13
Định lý 1.2.5 (Các tính chất của toán tử compact).
1. Toán tử compact là hoàn toàn bị chặn.

2. Cho A là toán tử compact trong không gian Hilbert H và B là toán
tử bị chặn trong H thì AB và BA là toán tử compact.
3. Toán tử A là toán tử com pact trong không gian Hilbert H khi và chỉ
khi A biến một dãy hội tụ yếu thành dãy hội tụ mạnh. Nghĩa là:
A compact ⇔ x
n
w
−→ x ⇒ Ax
n
→ Ax, ∀x
n
, x ∈ H.
4. Toán tử compact biến một dãy trực chuẩn thành một dãy hội tụ
mạnh.
Định nghĩa 1.2.11. Cho toán tử tuyến tính A trong không gian Hilbert
H. A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại toán tử tuyến tính B sao cho
AB = BA = I.
Nhận xét 1.1. Cho C là tập lồi đóng trong không gian Hilbert H thì có
duy nhất một phần tử x ∈ C sao cho x = inf{y : y ∈ C}.
Định lý 1.2.6. Nếu A có một khả nghịch bị chặn, A
−1
, thì A
∗
có một
khả nghịch bị chặn và (T
∗
)
−1
= (T
−1

)
∗
.
1.2.2. Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn
Định nghĩa 1.2.12 (Phổ của toán tử tuyến tính). Cho A là toán tử
tuyến tính trong không gian Hilbert H. Phổ của toán tử A, kí hiệu là
Spec(A), là tập hợp tất cả các số phức λ sao cho A − λI là không khả
nghịch.
Định nghĩa 1.2.13 (Tập giải được). Tập (A) = C \Spec(A) được gọi
là tập giải được của A.
14
Định nghĩa 1.2.14. Cho A là toán tử tuyến tính trong không gian
Hilbert H.
Vector x ∈ H, x = 0 thỏa mãn Ax = λx, x được gọi là vector riêng
của A, λ ∈ C được gọi là giá trị riêng của A ứng với vector riêng x.
Nếu λ là giá trị riêng của toán tử A thì ta có (A −λI)x = 0, x = 0,
với I là đơn vị của A, suy ra A −λI không khả nghịch, vậy λ ∈ Spec(A).
Và khi đó λ được gọi là điểm phổ của A.
Chú ý:
+ Mỗi vector riêng tương ứng với một giá trị riêng. Ngược lại, một
vector riêng tương ứng với vô số vector riêng.
+ Trong không gian hàm, vector riêng thường được gọi là hàm
riêng.
Định nghĩa 1.2.15. Tập hợp tất cả các vectơ riêng tương ứng với giá
trị riêng λ được gọi là không gian riêng của λ. Chiều của không gian này
được gọi là bội số (multiplicity) của λ.
Định nghĩa 1.2.16. Tập các giá trị riêng của A được gọi là phổ điểm
của A.
Kí hiệu là: Spec
p

(A).
Chú ý: Mọi giá trị riêng của A đều thuộc phổ của A. Phổ của A
có thể chứa nhiều những giá trị mà không phải là giá trị riêng của A.
Ví dụ 1.2.2. Cho toán tử A tác dụng trong không gian Euclide n chiều
R
n
xác định bởi ma trận:
A =




λ
1
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 ··· λ
n





trong đó λ
j
∈ R{0} với mọi j = 1, 2, , n. Ta kiểm tra được A là toán
tử tuyến tính bị chặn, tất cả các số λ
j
(j = 1, 2, , n) đều là giá trị riêng
15
của toán tử A và tất cả các số λ = λ
j
(j = 1, 2, , n) đếu là giá trị chính
quy của toán tử A. Vì vậy toán tử A chỉ có phổ điểm.
Định lý 1.2.7. Mọi giá trị riêng của toán tử tuyến tính tự liên hợp trên
không gian Hilbert H đều là số thực.
Chứng minh. Giả sử x ∈ H, x = θ là vectơ riêng của toán tử A tương
ứng với giá trị riêng λ. Ta có:
λ (x, x) = (λx, x) = (Ax, x) = (x, Ax) = (x, λx) =
¯
λ (x, x).
Vì (x, x) = 0 nên λ =
¯
λ. Vậy λ là số thực.
Nhận xét 1.2.
+ Toán tử tự liên hợp có phổ nằm trên đường thẳng thực.
+ Toán tử tự liên hợp với phổ không âm là toán tử dương.
Định lý 1.2.8. Cho A là toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert H.
Số λ là giá trị chính quy của A khi và chỉ khi tồn tại hằng số dương α
sao cho A − λI ≥ α x, ∀x ∈ H.
Hệ quả 1.2.1. Số λ thuộc phổ của toán tử tự liên hợp trên không gian
Hilbert H khi và chỉ khi tồn tại dãy x
n

⊂ H, |x
n
| = 1(n = 1, 2, ) sao
cho lim
n→∞
|A
λ
x
n
| = 0.
Định lý 1.2.9. Mọi số phức λ = a + ib, b = 0 đều là giá trị chính quy
của toán tử tự liên hợp A trên không gian Hilbert H.
Chứng minh.
Với ∀x ∈ H ta có:
(A
λ
x, x) = (Ax, x) −λ (x, x)
(x, A
λ
x) = (A
λ
x, x) = (Ax, x) −
¯
λ (x, x) .
16
Suy ra
(x, A
λ
x) − (A
λ

x, x) =

λ −
¯
λ

(x, x) = 2bi x
⇒ 2 |b|x
2
= |(x, A
λ
x) − (A
λ
x, x)|
≤ |(x, A
λ
x)| + |(A
λ
x, x)| ≤ 2 xA
λ
x
⇒ A
λ
x ≥ |b|x, ∀x ∈ H.
Theo định lý ta có λ = a + ib(b = 0) là giá trị chính quy của toán
tử A.
Định lý 1.2.10. Phổ của toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert H
là khác rỗng.
Chứng minh.
Theo Định lý 1.2.7 phổ của toán tử tự liên hợp chỉ có thể nằm trên

trục thực.
Đặt m = inf
x=1
(Ax, x) , M = sup
x=1
(Ax, x).
Vì A là toán tử tự liên hợp nên A = sup
x=1
|(Ax, x)| = max (|m|, |M|).
Ta có nhận xét với số thực t tùy ý phổ của toán tử A
t
= A − tI
nhận được từ phổ của toán tử A bằng cách tịnh tiến dọc theo trục thực
phổ của toán tử A một đoạn bằng t, các số m, M được thay bằng các số
m − t, M − t.
Thật vậy: Giả sử λ
0
là một giá trị phổ của toán tử A. Theo Hệ
quả 1.2.1, tồn tại dãy {x
n
} ⊂ H, x
n
 = 1 sao cho
lim
n→∞
Ax
n
− λ
0
x

n
 = 0.
Do đó:
lim
n→∞
A
t
x
n
− (λ
0
− t)x
n
 = lim
n→∞
(A − tI)x
n
− (λ
0
− t)x
n

= lim
n→∞
Ax
n
− λ
0
x
n

 = 0.
Suy ra số λ
0
− t là giá trị phổ của toán tử A
t
.
Dựa vào định nghĩa cận trên đúng và cận dưới đúng kiểm tra được
sup
|x|=1
[(Ax, x) − t] = M − t
17
inf
|x|=1
[(Ax, x) − t] = m −t.
Từ đó không mất tính tổng quát, có thể coi 0 ≤ m ≤ M. Khi
đó |A| = m. Theo định nghĩa cận trên đúng, tồn tại dãy {x
n
} ⊂ H,
x
n
 = 1 sao cho lim
n→∞
(Ax
n
, x
n
) = M.
Đặt d
n
= M − (Ax

n
, x
n
) thì d
n
> 0 (n = 1, 2, ) và lim
x→∞
d
n
= 0.
Do đó
Ax
n
− Mx
n

2
= (Ax
n
− Mx
n
, Ax
n
− Mx
n
)
= Ax
n

2

− 2M (Ax
n
, x
n
) + M
2
≤ 2M
2
− 2M (Ax
n
, x
n
) = 2Md
n
, ∀n = 1, 2,
Nên lim
n→∞
Ax
n
− Mx
n
 = 0, nghĩa là số M thuộc phổ của toán tử
A.
Bằng cách tương tự ta chứng minh được số m thuộc phổ của toán
tử A.
Định lý 1.2.11 (Cấu trúc phổ của toán tử tự liên hợp). Phổ của toán
tử tự liên hợp A trên không gian Hilbert H nằm trong đoạn [m, M] của
trục thực, trong đó
m = inf
x=1

(Ax, x) , M = sup
x=1
(Ax, x) .
Chứng minh.
Theo Định lý 1.2.7 ta chỉ cần chứng minh mọi số thực λ không
thuộc đoạn [m, M] đều là giá trị chính quy.
Giả sử λ < m. Đặt d = m − λ thì d > 0 và ∀x ∈ H, x = 1 ta có
d = m − λ ≤ (Ax, x) − (λx, x) = (A
λ
x, x) ≤ A
λ
xx
⇒ A
λ
x ≥ d x.
∀x ∈ H, x = θ, ta đặt y =
x
x
thì ||y|| = 1, theo chứng minh trên
18
A
λ
y ≥ d y ⇒




A
λ
x

x




≥ d




x
x




⇒ A
λ
x ≥ d x.
Hiển nhiên, bất đẳng thức nhận được đúng với cả x = θ. Vì vậy
A
λ
x ≥ d x, ∀x ∈ H.
Suy ra, λ là giá trị chính quy của toán tử A.
Trường hợp λ > M thì λ là giá trị chính quy được chứng minh
tương tự.
Định lý 1.2.12 (Cấu trúc phổ của toán tử compact tự liên hợp). Phổ
của toán tử compact tự liên hợp A trên không gian Hilbert H là phổ điểm.
Chứng minh.
Ta chỉ cần chứng minh mỗi giá trị phổ λ = 0 của toán tử compact

tự liên hợp A trên không gian Hilbert H là một giá trị riêng.
Theo Hệ quả 1.2.1 tồn tại dãy {x
n
} ⊂ H, x
n
 = 1 sao cho
lim
n→∞
Ax
n
− λx
n
 = 0 .
Đặt y
n
= Ax
n
− λx
n
thì x
n
=
1
λ
(Ax
n
− y
n
) (n = 1, 2, ).
Nhờ tính compact của toán tử A, dãy {Ax

n
} chứa dãy con {Ax
n
k
}
hội tụ trong không gian H.
Do dãy {y
n
} hội tụ tới θ, nên dãy x
n
k
=
1
λ
(Ax
n
k
−y
n
k
) (k = 1, 2, )
hội tụ, đặt x = lim
n→∞
x
n
k
.
Hiển nhiên, ||x|| = 1 và
x = lim
n→∞

x
n
k
= lim
n→∞
1
λ
(Ax
n
k
− y
n
k
) =
1
λ
Ax ⇒ Ax = λx.
Vì vậy, λ là giá trị riêng của toán tử A. Định lý được chứng minh.
Hệ quả 1.2.2. Nếu toán tử compact tự liên hợp A trên không gian Hilbert
H có vô số giá trị riêng thì tập các giá trị riêng là đếm được và số 0 là
điểm giới hạn duy nhất của các giá trị riêng đó.
Định lý 1.2.13.
1) Mọi giá trị riêng của một toán tử dương trên không gian Hilbert
19
H là không âm.
2) Mọi giá trị riêng của một toán tử xác định dương trên không
gian Hilbert H là dương.
Chứng minh. 1)Giả sử A là toán tử dương và Ax = λx với x = θ. Vì A
là tự liên hợp nên ta có:
0 ≤ (Ax, x) = (λx, x) = λ (x, x) = λ x. (1.2)

Do đó λ ≥ 0.
2) Bằng cách thay

≤

bởi

<

trong (1.2) ta suy ra điều phải
chứng minh.
1.3. Toán tử tuyến tính không bị chặn. Phổ của
toán tử tuyến tính không bị chặn
1.3.1. Toán tử tuyến tính không bị chặn
Cho H là không gian Hilbert, DomA là miền xác định của toán tử
A, DomA ⊆ H.
Định nghĩa 1.3.1 (Toán tử tuyến tính không bị chặn). Toán tử tuyến
tính A : DomA → H gọi là toán tử không bị chặn nếu tồn tại dãy số
{x
n
}, x
n
∈ DomA, x
n
 = 1, n = 1, 2, ··· và Ax
n
 → ∞khi n → ∞.
Thông thường ta xét trường hợp DomA là không gian con tuyến
tính trù mật trong không gian Hilbert H.
Ví dụ 1.3.1. Cho A là toán tử compact trong không gian Hilbert vô

hạn chiều H. Nếu A khả nghịch thì A
−1
không bị chặn.
Thật vậy, Giả sử {v
n
} ⊂ H, n = 1, 2, là dãy trực chuẩn và
z
n
= Av
n
. Khi đó z
n
→ 0 (khi n → ∞) nhưng A
−1
z
n
→ 0 (khi n → ∞).
20
Ví dụ 1.3.2. Cho T là toán tử xác định trong không gian con S của
không gian L
2
(R) sao cho T f (x) = −f

(x) + x
2
f (x) , ∀f ∈ S.
Nếu f
j
=


2
j
j!

−
1
2
(−1)
j
π
−
1
4
e
1
2
x
2
d
j
dx
j

e
−x
2

thì f
j
∈ S, f

j
 = 1 và T f
j
= 2j + 1, j = 1, 2,
Do đó T f
j
 = 2j + 1 → ∞khi j → ∞ ({f
j
} là cơ sở trực chuẩn của
không gian L
2
(R)).
Vậy T là toán tử không bị chặn.
Định nghĩa 1.3.2. Cho toán tử không bị chặn A : DomA → H.
Toán tử A gọi là toán tử đóng nếu với mỗi dãy {x
j
} ⊂ DomA,
x
j
→ x và Ax
j
→ y thì x ∈ DomA và Ax = y.
Toán tử A

gọi là toán tử mở rộng của toán tử A nếu DomA ⊆
Dom
A

và Ax = A


x, ∀x ∈ DomA.
Toán tử A gọi là đóng được nếu A là mở rộng đóng.
Mở rộng đóng nhỏ nhất của toán tử đóng A gọi là bao đóng. Ký
hiệu là
¯
A.
Lõi (core) đóng của A là tập con của DomA sao cho bao đóng của
A bị thu hẹp trên tập hợp này trùng với A.
Định nghĩa 1.3.3 (Toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính không bị
chặn). Cho toán tử không bị chặn A : DomA → H. Ký hiệu DomA
∗
là
tập hợp các phần tử y ∈ H, với mỗi z ∈ H ta có
(Ax, y) = (x, z) , ∀x ∈ DomA.
Với mỗi y ∈ DomA
∗
ta đặt A
∗
y = z và gọi A
∗
là toán tử liên hợp của A.
Định nghĩa 1.3.4. Cho toán tử không bị chặn A : DomA → H.
Toán tử A gọi là toán tử đối xứng nếu toán tử liên hợp A
∗
là mở
rộng của toán tử A.
Toán tử A gọi là toán tử tự liên hợp nếu A đối xứng và DomA
∗
=
DomA.