Phổ năng lượng giao động mạch tinh thể biến dạng (q, R) cho chuỗi nguyên tử cùng loại

1



Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới PGS-TS Nguyễn
Thị Hà Loan, người đã giảng dạy, tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình học
tập và hoàn thiện luận văn này. Cô đã cung cấp tài liệu và truyền thụ cho tôi
những kiến thức và phương pháp nghiên cứu khoa học. Sự quan tâm bồi
dưỡng của cô đã giúp tôi hoàn thành luận văn cũng như trong quá trình học
tập và nghiên cứu.
Nhân dịp này cho phép tôi bày tỏ lòng cảm ơn tới các thầy cô giáo
trong khoa Vật lý – Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các thầy cô các
trường như: Đại học sư phạm Hà Nội, Đại học Quốc gia, Đại học Bách
khoa,…đã nhiệt tình giảng dạy và tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình
học tập và hoàn thiện luận văn này.












2

Lêi Cam §oan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số
liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng
tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công
trình nào khác.



Tác giả




ĐINH VĂN TÌNH










3


MỤC LỤC

Lời cảm ơn
Lời cam đoan…………………………………………………………………
MỞ ĐẦU 4
NỘI DUNG 6
Chương 1 DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG 6
1.1.Dao động tử Boson biến dạng q: 6
1.1.1.Dao động tử Boson: 6
1.1.2.Dao động tử Boson biến dạng q:………… ………………….…………. 8
1.2. Dao động tử có thống kê vô hạn 11
1.3.Dao động tử Fermion biến dạng q: 13
1.3.1.Dao động tử Fecmion: 13
1.3.2. Dao động tử Fermion biến dạng q: 14
1.4. Dao động tử biến dạng q tổng quát: 15
1.5. Dao động biến dạng q- R: 19
1.5.1. Dao động tử biến dạng q- R: 19
1.5.2. Thống kê của dao động tử biến dạng q – R: 23
Chương 2 PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ BIẾN DẠNG (q,
R) CHO CHUỖI NGUYÊN TỬ CÙNG LOẠI 25
2.1. Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa: 25
2.2. Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử cùng loại: 34
2.3. Phổ năng lượng của dao động biến dạng q-R: 45
2.4. Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể biến dạng q-R cho chuỗi nguyên tử cùng
loại: 49
KẾT LUẬN 56

TÀI LIỆU THAM KHẢO 57


4

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vài chục năm gần đây đại số lượng tử được rất nhiều nhà Vật lý trong
nước và quốc tế quan tâm nghiên cứu bởi những ứng dụng của nó trong
nghiên cứu Vật lý lý thuyết. Ví dụ như: nghiên cứu nghiệm phương trình
Yâng – Bascter lượng tử, bài toán tán xạ ngược lượng tử, mẫu hoà tan chính
xác trong cơ học thống kê, lý thuyết trường hai chiều với thống kê phân số.
Đặc biệt gần đây áp dụng hình thức luận dao động tử lượng tử rất có
hiệu quả trong nghiên cứu quang lượng tử, sự quay và sự rung động của các
hạt nhân, chất rắn, vật chất đông đặc, dao động mạng tinh thể…
Cùng với những lý do trên ở luận văn này chúng tôi áp dụng hình thức
luận dao động biến dạng để nghiên cứu “Phổ năng lượng của dao động
mạng tinh thể biến dạng (q, R) cho chuỗi nguyên tử cùng loại”.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu “Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể biến
dạng (q, R) cho chuỗi nguyên tử cùng loại”.
3. Đối tượng nghiên cứu
- Nghiên cứu dao động biến dạng mạng tinh thể.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Các phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết.
- Các phương pháp nghiên cứu của vật lý chất rắn.
- Dùng biểu diễn số hạt của dao động biến dạng để nghiên cứu dao
động mạng tinh thể.
5



5. Những vấn đề chính được nghiên cứu

- Nghiên cứu dao động mạng tinh thể.
- Nghiên cứu dao động biến dạng.
- Nghiên cứu dao động biến dạng của mạng tinh thể.
6. Cấu trúc luận văn
Chương 1: Dao động lượng tử biến dạng
- Tìm hiểu hình thức luận dao động tử lượng tử.
- Tính thống kê cho các dao động biến dạng.
Chương 2: Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể biến dạng (q, R)
cho chuỗi nguyên tử cùng loại
- Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa
-Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử cùng
loại
- Phổ năng lượng của dao động biến dạng q-R
- Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể biến dạng q-R cho chuỗi
nguyên tử cùng loại.









6


NỘI DUNG
Chương 1
DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG

1.1. Dao động tử Boson biến dạng q:
1.1.1. Dao động tử Boson:
Dao động tử Boson đơn mode được đặc trưng bởi hệ thức giao hoán:
ˆ ˆ
, 1
a a

 

 
(1.1)
Toán tử số dao động tử có dạng:
ˆ
ˆ ˆ
N a a


(1.2)
Kết hợp (1.1) và (1.2) ta có:
(1.3)

Xét trong không gian Fock trạng thái chân không
0
được định nghĩa là
trạng thái có số hạt bằng 0, thỏa mãn điều kiện:
ˆ
0 0
a


(1.4)
Kí hiệu
n
là trạng thái số hạt n có thể thực hiện trong không gian Fock
với có sở là trạng thái riêng đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử N:
 
ˆ
( )
0
!
n
a
n
n


, n= 0, 1, 2,…. (1.5)
Ta có toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng P liên hệ với các toán tử
sinh dao động
ˆ
a

và toán tử hủy dao động
ˆ
a
như sau:
ˆ
ˆ ˆ
,
ˆ

ˆ ˆ
,
N a a
N a a
 
 

 
 
 
 
7


 
1
2
ˆ ˆ
2
Q a a
m


 
 
 
 


 

1
2
ˆ ˆ
2
m
P a a


 
 
 
 


Trong đó m,

lần lượt là khối lượng và tần số góc của dao động tử. Khi
ấy ta có hệ thức giao hoán giữa toán tử Q và toán tử P như sau:
 
   
 
ˆ ˆ ˆ ˆ
, ,
2
ˆ ˆ ˆ ˆ
2
ˆ ˆ
i
Q P a a a a
i

aa a a
i aa
 
 

 
  
 
   
 
   
 

 



(1.6)
Thay (1.1) vào (1.6) ta được
 
,
Q P i 
(1.7)
Toán tử Hamintonian của dao động tử điều hòa được biểu diễn:
   
 
 
 
2 2
2

2 2
ˆ
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
4 4
ˆ ˆ ˆ ˆ
2
ˆ ˆ ˆ ˆ
2 ,
2
2 1
2
1
2
P m
H Q
m
a a a a
a a aa
a a a a
N
N

 




 
 

 
 
    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 




(1.8)

8


Phổ năng lượng của dao động điều hòa được xác định bởi phương trình
hàm riêng và trị riêng:
ˆ
1
2
1
2
1

; 0,1,2
2
n
n
n
n
H n E n
N n E n
n n E n
E n




 
  
 
 
 
  
 
 
 
   
 
 



(1.9)

1.1.2. Dao động tử Boson biến dạng q:
Dao động tử Boson đơn mode biến dạng q được mô tả bởi các toán tử
hủy và toán tử sinh dao động tử
ˆ ˆ
,a a

theo hệ thức sau:
ˆ ˆ ˆ ˆ
N
aa qa a q
  
 

(1.10)
Với q là thông số biến dạng.
Toán tử số dao động biến dạng q thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị
riêng:
ˆ
q q
N n n n

(1.11)
Toán tử hủy, sinh
ˆ ˆ
,a a

và toán tử số dao động
ˆ
N
thỏa mãn hệ thức:

ˆ
ˆ ˆ
,
ˆ
ˆ ˆ
,
N a a
N a a
 
 

 
 
 
 
(1.12)
Chúng ta đưa vào không gian cơ bản Fock:
9


 
ˆ
( )
0
!
n
q
q
a
n

n


(1.13)
Ở đây
0
là trạng thái nền và dùng kí hiệu:
 
         
1
! . 1 . 2 1
n n
q
q q q q q
q q
n
q q
n n n n





  
(1.14)
Tác dụng
ˆ ˆ ˆ ˆ
,
a a aa
 

lên trạng thái riêng
q
n
ta được:

 
ˆ
( )
ˆ ˆ ˆ ˆ
0
!
n
q
q
a
a a n a a
n

 


 
 
 
 
1
1 1
1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) 0 ( ) 0

ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) 0
n N n
N n n
N n N n
a a qa a q a
q a qa a a
q a qa qa a q a
    
     
       
 
 
  


 
 
   
 
   
 
2
1 2 1 2 2
2 2 2 1
1
1 3 2 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

( ) ( ) ( ) 0

ˆ ˆ ˆ
( ) 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) 0 ( ) 0
N n N n n
n
N N N n n n
n
n N N N n n n
q a q a q a a a
q q q a q a a
a a a q q q a q a a
         
        

          
  
    
     

Vậy

 
1 3 1
ˆ ˆ

n n n
q q

a a n q q q n
     
   


 
1
n n
q
q
q
q q
n
q q
n n







10



 
 
 
ˆ ˆ

( ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
0 0
! !
n n
N
q
q q
a a
a a n aa qa a q
n n
 
   
  


   
 
1
1 1 1 1
1
1 1
1
ˆ ˆ
( ) ( )
ˆ ˆ
0 0
! !
ˆ ˆ
1

n n
N
q q
N
q q
n n
n
q q
n n n n
q
n n
q
q
q
a a
qa a q
n n
qa a n q n
q q
q n q n
q q
q q q q
n
q q
q q
n
q q
n n
 
 

 



      

  

 
 

 

  





 

Vậy
 
 
ˆ ˆ
ˆ ˆ
1
q q
q
q q

q
a a n n n
a a n n n



 
(1.15)
Hamiltonian được biểu diễn qua toán tử tọa độ
ˆ
x
và toán tử xung lượng
ˆ
p
có dạng:
2
2 2
ˆ
1
ˆ
ˆ
2 2
p
H m x
m

 
(1.16)
Toán tử hủy và sinh dao động tử
ˆ ˆ

,a a

của dao động biến dạng q:
ˆ ˆ ˆ
2
ˆ ˆ ˆ
2
m i
a x p
m
m i
a x p
m





 
 
 
 
 
 
 
 



(1.17)

Các toán tử tọa độ và xung lượng có thể biểu diễn ngược lại qua các toán
tử hủy và sinh dao động tử
ˆ ˆ
,a a

:
11


 
 
ˆ ˆ ˆ
2
ˆ ˆ ˆ
2
x a a
m
m
p i a a




 
  


(1.18)
Thay (1.18) vào (1.16) ta được:


  
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2
m
p a a a a

 
   


 
2
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2
m
a aa a a a

  
 
    
 
 



  
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

2
x a a a a
m

 
  



 
2
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2
a aa a a a
m

  
 
   
 
 


   
2 2
2 2
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
4 4

H a aa a a a a aa a a a
 
     

   
       
   
   
 

 
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
2
H aa a a

 
 

(1.19)
Phổ năng lượng của dao động biến dạng q:

ˆ
n
q q
H n E n


 
   

 
ˆ ˆ ˆ ˆ
2
1
2
n
q q
n
q q
q q
aa a a n E n
n n n E n


 
 
  



Vậy
   
 
1
2
n
q q
E n n

  


(1.20)
1.2. Dao động tử có thống kê vô hạn
12


Khái niệm thống kê vô hạn được Greenberg định nghĩa (năm 1990) là
biểu diễn qua những số hạng của toán tử sinh
ˆ
a

, toán tử hủy
ˆ
a
trong khuôn
khổ lý thuyết trường:
ˆ ˆ
1
aa


(1.21)
Toán tử số dao động tử
ˆ
N
thỏa mãn:
ˆ
ˆ ˆ
,
N a a

 
 
 

 
1
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

k
k
k
N a a a a aa a a

   

   

(1.22)
Trạng thái riêng chuẩn hóa của toán tử
ˆ
N
:
ˆ
( ) 0
n
n a


(1.23)

Khi đó
ˆ
N n n n

(1.24)
 
 
 
1
1
1
1
ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
( ) 0
ˆ ˆ
( ) 0
ˆ
( ) 0
k
k
k
k
k n
k
k
n k
k
n

n
k
N n a a n
a a a
a a
a
n n




 


  













Và ta cũng có:
ˆ ˆ

( 0)
a a n n n

 
(1.25)
Thật vậy:
13


1
1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) 0
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) 0
ˆ ˆ
( ) 0
ˆ
( ) 0
n
n
n
n
a a n a a a
a aa a
a a
a
n
  
   

  






(1.26)
Vậy trạng thái
 
0
n n

là trạng thái riêng của
ˆ ˆ
a a

với trị riêng tương
ứng bằng 1.
Đặc biệt khi
0
n

thì
ˆ ˆ
0 0
a a



1.3. Dao động tử Fermion biến dạng q:
1.3.1. Dao động tử Fecmion:
Dao động tử Fermion đơn mode được đặc trưng bởi hệ thức phản giao
hoán:
 
 
2
2
ˆ ˆ
, 1
ˆ ˆ
0
b b
b b







 

(1.27)
Toán tử số dao động tử
ˆ
N
được biểu diễn theo các toán tử sinh dao động tử
ˆ
b


và toán tử hủy
ˆ
b
như sau:
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
1
N b b
N bb






 


(1.28)
Đại số (1.19) có thể thực hiện trong không gian Fock với cơ sở là các véc tơ
riêng đã chuẩn hóa của toán tử số do động tử
ˆ
N
:
 
ˆ
0 , 0,1

n
n b n

 
(1.29)
14


n
là trạng thái
n
hạt thỏa mãn điều kiện trực chuẩn
,
,
m n
m n


, với
, 0,1
m n


Tác dụng của toán tử
ˆ
b
,
ˆ
b


lên trạng thái
n
:
ˆ ˆ
0 0, 1 0
ˆ ˆ
0 1, 0 0
b b
b b
 

 


 


(1.30)
1.3.2. Dao động tử Fermion biến dạng q:
Dao động tử Fermion biến dạng q được biểu diễn thông qua các toán tử sinh
dao động tử
ˆ
b

và toán tử hủy dao động tử
ˆ
b
như sau:
 
2

2
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
0
N
bb qb b q
b b
  


 


 


(1.31)
Trong phương trình (1.31) nếu
1
q

thì trở về hệ thức dao động điều hòa
(1.27)
Toán tử số dao động tử điều hòa
ˆ
N
thỏa mãn:
ˆ ˆ
ˆ
,

ˆ ˆ
ˆ
,
N b b
N b b
 

 
 
  

 


 

(1.32)
Và
ˆ
N
cũng thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng như sau:
ˆ
q q
N n n n

(1.33)
Với trạng thái riêng đã chuẩn hóa
ˆ
N
được viết dưới dạng:

 
 
ˆ
0
!
n
q
q
b
n
n


(1.34)
15


ở đây:
 
1
1
n
n n
q
q q
n
q q


 



(1.35)
Trong không gian Fock với các véctơ cơ sở là véctơ trạng thái
q
n
thì:
 
 
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
1
q
q
b b N
bb N






 


(1.36)
Khi
1

q

ta có dao động tử Fermion điều hòa (1.27)
1.4. Dao động tử biến dạng q tổng quát:
Gần đây trong công trình nghiên cứu của GS.TSKH Đào Vọng Đức đã
đề nghị một dạng biến dạng q tổng quát bao gồm các dao động tử biến dạng q
thông thường và cả các dao động tử có thống kê vô hạn.
Hệ dao động tử Boson thỏa mãn:
ˆ ˆ ˆ ˆ
cN
aa qa a q
 
 
(1.37)
Trong đó q, c là các tham số.
Với c = - 1 thì (1.37) trở về (1.10), đó chính là biến dạng q thông
thường; với c → 0, q → 0 thì (1.37) trở về (1.21), đó chính là dao động tử có
thống kê vô hạn.
Từ (1.37) suy ra:
   
 
 
 
1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
n n n
c
n cN
q
a a q a a n a q


  
 
(1.38)
Với
 
 
n cn
c
c
q
q q
n
q q




16


Toán tử số dao động tử
ˆ
N
được thực hiện trong không gian Fock với cơ
sở là các vecto riêng đã chuẩn hóa
n
:
 
 

 
ˆ
( )
0
!
n
c
q
c
q
a
n
n


(1.39)
Với
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
! 1 2 1
c c c c c
q q q q q

n n n n  

Và
ˆ
N
thỏa mãn các hệ thức:
 
 
 
 
ˆ ˆ
ˆ ˆ
1
c
q
c
q
a a N
aa N



 
(1.40)
Thật vậy, ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp hệ thức như sau:
 
 
ˆ ˆ
c
q

a a n n n



Với n = 0
 
 
ˆ ˆ
0 0 0 0 0
c
q
a a

 

Với n = 1
 
 
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
1 0
1
c
q
a
a a a a

 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
ˆ
ˆ ˆ
0
1
ˆ
ˆ ˆ
0
1
ˆ
0
1
1 1 1 1
c
q
cN
c
q
c
q
c

q
a
aa
a
q qa a
a
q






 

 

17


Với n = 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2
2
2
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
2 1
2
ˆ
ˆ ˆ
1
2
ˆ ˆ
ˆ

1 1
2 2
ˆ
ˆ ˆ
2 0
2 1
ˆ
ˆ ˆ
2 0
2 !
ˆ
2 0
2 !
2 2 2
c
q
cN
c
q
c
c c
q q
c
c c
q q
c cN
c
q
c
c

q
c
c
q
a
a a a a
a
q qa a
q a a
a
q
q a
q aa
q a
q q qa a
q a
q
q q

 











 
 
 
  
 
  

Như vậy:
 
 
ˆ ˆ
c
q
a a n n n


đúng với n = 0, 1, 2.
Giả thiết nó vẫn đúng với n = k, tức là
 
 
ˆ ˆ
c
q
a a k k k



Bây giờ ta sẽ chứng minh nó đúng với n = k + 1, nghĩa là:
 
 

ˆ ˆ
1 1 1
c
q
a a k k k

   

Ta có:
18


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
1
1
ˆ
ˆ ˆ
1
ˆ
ˆ ˆ
1
ˆ ˆ
ˆ ˆ
1 1
ˆ
1
1
1
1
1 1
c
q
c
q
cN
c
q
ck
c c

q q
c
q
ck
c
q
c
ck
q
k ck
ck
c
c
q
a a
a a k a k
k
a
aa k
k
a
q qa a k
k
a qa
q k a a k
k k
qa k
q k k
k
q q k k

q q
q q k
q q
k k

 




 


 



 

 
 
  

  
 

  
 

 

  

Suy ra điều cần chứng minh.
Vì vậy:
 
 
ˆ ˆ
c
q
a a N



Ta chứng minh:
 
 
ˆ ˆ
1
c
q
aa N

 

Từ (1.37) ta có:
 
 
 
 
1 1 1

1
ˆ ˆ ˆ ˆ
1
c
cN cN
q
N cN N cN cN cN c
cN
c c
N cN c
c
c
q
aa qa a q q N q
q q q q q q
q q
q q q q
q q
N
q q
 
   
 
   
   
  
 

  


Vậy (1.40) được chứng minh.
Hệ thức giao hoán giữa
ˆ
x
và
ˆ
p
:
19


 
 
 
 
 
 
 
ˆ ˆ ˆ ˆ
, ,
ˆ ˆ ˆ ˆ
1
c c
q q
x p i a a
i aa a a
i N N

 

 

 
 
  



(1.41)
1.5. Dao động biến dạng q- R:
1.5.1. Dao động tử biến dạng q- R:
Đại số Heiseinberg biến dạng q – R được tổng quát từ đại số biến dạng q
và đại số biến dạng R. Đại số biến dạng q – R được xây dựng dựa trên các
toán tử sinh, huỷ dao động tử
ˆ ˆ
,a a

toán tử phản xạ R theo các hệ thức.
2
ˆ ˆ ˆ ˆ
1
ˆ ˆ ˆ ˆ
0
N
aa qa a q R
R
Ra a R Ra aR

  
 


  




   

(1.42)
trong đó

, q là các thông số biến dạng thực.
Toán tử phản xạ R và toán tử số hạt
ˆ
N
thoả mãn các điều kiện:
ˆ
ˆ ˆ
,
ˆ
ˆ ˆ
,
R R
N a a
N a a

 





 
 

 

 


 

(1.43)
Ta xây dựng không gian Fock có cơ sở là các vectơ trạng thái
 
0
ˆ
n
n
n C a


với C
n
là hệ số chuẩn hoá,
0
là trạng thái chân không. Trạng
thái
0
thoả mãn các điều kiện sau:
ˆ

0a
= 0
ˆ
0
N
= 0
00
= 1
0R
= r
0
(r = 1) (1.44)
20


Tác dụng toán tử
ˆ ˆ
a a

lên các trạng thái
n
, ta có:
 
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
0
n
n
a a n c a a a
  


=
q
n

 
 
n

(

n = 0, 1, 2…) (Xét với r = 1) (1.45)
 
( 1)
1
n n
q
q
q
n n
q


 
 
 
 


 

1
n n
q
q q
n
q q





(1.46)
Từ các hệ thức (1.32), (1.34) ta có hệ thức sau:
   
0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ
,
n n
a a a a
 
 
 
 


=
 
   
1
0

1
( 1)
ˆ ˆ
1
n n
n
q
n
q
n a v a R
q

 
 
 
 

 


(1.47)
Với r = 1 và
1

 
không gian biểu diễn đại số biến dạng q – R là vô hạn
và được xây dựng từ các vectơ đã chuẩn hoá sau:
 
 
'

,
ˆ
0
!
'
n
q
n n
a
n
n
n n






Tác dụng toán tử số hạt N lên trạng thái
n
, cho ta:
 
 
0
ˆ
ˆ ˆ
!
n
q
a

N n N
n




21


 
 
 


 
 
 


 
 
     
 
 
1
1
2
2 2
0 0
0 0

0
ˆ ˆ
ˆ
0
!
1
ˆ
ˆ ˆ ˆ
0
!
1
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
!
1
ˆ
ˆ ˆ ˆ
2
!

1
ˆ
!
q
q
n
q
n
q
n n

q
n n
n
a a
N
n
a a N a
n
a a a a N a
n
a a N a
n
n a n n
n






 

  

    

  
 
 
 

 
 
 

 
  
 

 

Vậy ta có
ˆ
N n n n

(1.48)
Trong không gian Fock với cơ sở là các véctơ
n
, các toán tử được viết
như sau:
R = (-1)
N
 
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
1
q
q
a N
aa

a
N







 

 


 

Ta xây dựng dao động tử điều hoà biến dạng q – R trong trường hợp đơn
giản nhất – trường hợp một chiều, rồi tổng quát hoá kết quả thu được cho
trương hợp N chiều.
Toán tử toạ độ và xung lượng được xác định từ biểu thức:
 
 
ˆ
1
ˆ ˆ ˆ
2
ˆ ˆ
2
q
p

x a a
i
a a



 
 
(1.49)
22


Hệ thức giao hoán giữa toán tử toạ độ và xung lượng:
ˆ
ˆ ˆ ˆ
, ,
q
p
x i a a

 
 
 
 



Toán tử Hamilton của dao động tử điều hoà biến dạng q – R được biểu
diễn như sau:
 

2
2 2
1
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
,
2 2 2
q
q
m
H P x a a
m


 

  


Phổ năng lượng của toán tử Hamilton được xác định từ phương trình:
 
ˆ
q
q
H n E n n




 

 
ˆ ˆ ˆ ˆ
2
q
a a aa n E n n


 
  


 


 
 


 
1
2
1
2
q
q
q
q
q
q
N N n E n n

n n n E n n








 
 
 
 
   
   



 
 


 
 
 
 
 
1
2
1 1

2
q
q
q
q
n
n
q
E n n n
E n q n q v






 
 
   
     


(1.50)
Hàm Hamiltonian của dao động tử điều hoà trong trường hợp N chiều
được xác định như sau:


ˆ ˆ
1
q q

m
H H
m
 




(1.51)
và phổ năng lượng cho trường hợp N chiều được tính là:
23


1 2 1 2
( , , ) ( ) ( ) ( )
q N q q q N
E m m m E m E m E m
   
  

   
1 1
2
q
N N N
mi
mi
q m q v
i
i l i l i l



 
   
 
 
   
 
   
 
   
 

    
  
  

(1.52)
Với trạng thái




 
     
1
1
1 2
1 2
1 2

ˆ ˆ ˆ

1 2
, , 0,0 ,0
! ! !
m
m
N
m
N
N
N
q q q
m m m
a a a
m m m
  
  

(1.53).
1.5.2. Thống kê của dao động tử biến dạng q – R:
Hàm Green của dao động tử điều hoà biến dạng q – R được xác định
như là hàm phân bố thống kê của a
+
a:
 
1
ˆ ˆ ˆ ˆ
N
a a Tr e a a

Z
 
  


0
1
ˆ ˆ
N
n
n e a a n
Z
 

 




Z =
 

N
eTr


=
nen
N
n






0

Từ hệ thức (1.38), (1.39) ta có:
 
0
1
ˆ ˆ
N
qv
n
a a n e N n
Z
 

 




=
 
nv
q
q
qq

qq
en
Z
N
NNN
n
N



















1
11
1
0



=
 



















v
q
q
qq
qq
e
Z

n
nnn
n
N
1
11
1
0


24


Tính toán với từng số hạng ta thu được kết quả như sau:
























eqqeqq
e
qq
qq
n
n
n
nn
1
0
1
1
1
1
11

 
 


























e
Z
eqeq
v
v
qq
eq
n
n
n

n
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1

Như vậy ta có:
 
 
  
1
1
1
1
ˆ ˆ
1
1 1
e q q
a a e
q q
qe q e


 

 
 

  

  

 

 
 
  










eqe
qe
q
v
e
11
1
1

1

  
 
  
1
1
ˆ ˆ
1
v e i
e
a a
e q e q e q e


   



  
   

     















1
11
1


e
v
qeqe
e
(1.54)
Trong các trường hợp đặc biệt ta có:
 Khi q1 và

 0
1
ˆ ˆ
1
a a
e





ta thu được phân bố thống kê Bose –
Einstein.
 Khi q1 và

 1:
2
ˆ ˆ
a a
e e
 





 Khi q1 và

 -1:
2
2
ˆ ˆ
1
a a
e





25

Chương 2
PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ
BIẾN DẠNG (Q, R) CHO CHUỖI NGUYÊN TỬ CÙNG LOẠI


2.1. Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa:
Hamiltonian của dao động tử điều hòa có dạng:
2 2
2
2
1
ˆ
2 2
d
H kx
m dx
  

(2.1)
Để thuận tiện khi viết các công thức, thay cho các toán tử tọa độ x và
xung lượng
d
i
dx


ta dùng các toán tử tọa độ và xung lượng chính tắc mới
ˆ

ˆ
x q mx
d d
i p i
dx dx
m
 
   



Hệ thức giao hoán giữa
ˆ
p
và
ˆ
q

 
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ
,
p q pq qp 

Xét
 
ˆ ˆ
i d d
pq mx i x
dx dx
m


  
 
    
 
 




ˆˆ
i d d
qp mx i x
dx dx
m

 
 
   
 
 



 
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ
pq qp pq qp i
   
     


Do đó
 
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ
,
p q pq qp i    

Hamiltonian (2.1) có thể biểu diễn qua
ˆ
p
và
ˆ
q