Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (631.29 KB, 86 trang )
0
Tóm tắt LV
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Việc giải bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính có ý nghĩa to lớn trong việc
nghiên cứu khoa học cũng như trong thực tế.
Để tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính bằng lý thuyết của đại số tuyến tính phải
thực hiện rất nhiều các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng, cột của ma trận. Điều này làm tăng khối
lượng tính toán, hơn nữa lại gặp khó khăn về vấn đề logic trong trình bày. Mặt khác khi xây dựng
chương trình trên máy tốn nhiều thời gian và mất nhiều bộ nhớ. Vì vậy trong thời gian sử lý số liệu
không tránh khỏi sai số dù là rất nhỏ nhưng cũng ảnh hưởng trực tiếp đến quá trình tính toán.
Chính vì vậy phải sử dụng các thuật toán sao cho khi xây dựng trên máy tính tiết kiệm thời
gian và bộ nhớ nhất, đồng thời giảm thiểu sai số một cách tối đa.
Các nhà toán học đã tìm ra nhiều phương pháp để giải gần đúng hệ phương trình tuyến
tính. Mỗi phương pháp có những ưu điểm, nhược điểm nhất định. Vì vậy đối với một hệ phương
trình tuyến tính bất kì, việc áp dụng phương pháp nào sẽ cho kết quả tốt nhất cho việc nghiên cứu
là rất quan trọng, nó mang đến lợi ích rất lớn trong ứng dụng vào khoa học và thực tiễn.
Chính vì vậy cùng với sự hướng dẫn tận tình của TS Nguyễn Văn Hùng, tôi đã chọn nghiên
cứu đề tài:
“ Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính”.
Tuy nhiên đề tài chỉ tập trung vào nghiên cứu 3 phương pháp trực tiếp là phương pháp
Gauss, Gauss-joocdan và phương pháp Cholesky, 2 phương pháp lặp là phương pháp lặp đơn và
phương pháp trực giao hoá
2. Mục đích nghiên cứu.
-Đề tài nghiên cứu một số phương pháp số giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính.
- Nghiên cứu ứng dụng bài toán về nhiệt động lực học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
-Luận văn tập trung nghiên cứu và hệ thống hoá các phương pháp giải gần đúng hệ phương
trình tuyến tính. Phân tích các ưu điểm, nhược điểm của từng phương pháp.
-Ứng dụng tìm hàm biểu thị phụ thuộc của nhiệt dung phân tử các chất, hằng số cân bằng các
chất vào nhiệt độ.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
- Phương pháp Gauss, phương pháp Gauss-Joocdan, phương pháp Cholesky, phương pháp lặp
đơn và phương pháp trực giao giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính.
-Các bài toán hoá lý
5. Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp nghiên cứu của giải tích số và đại số tuyến tính
6. Dự kiến đóng góp mới.
1
Luận văn trình bày một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản và các ví dụ đối với mỗi
phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính trong phạm vi luận văn nghiên cứu.
CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian định chuẩn
1.1.1. Một số định nghĩa
Định nghĩa 1: Giả sử X là một không gian vecto trên trường K (K=R hoặc K=C). Một
ánh xạ kí hiệu là
.
.
:
RX
xx
Được gọi là chuẩn trên X nếu nó thoả mãn các tiên đề sau:
1.
00;0, xxxXx
2.
xxKXx
,,
3.
yxyxXyx ,,
Số
x
được gọi là chuẩn của vecto x.
Định nghĩa 2: Giả sử X là không gian vecto trên trường K,
x
là một chuẩn trên X, Khi đó
cặp
.,X
được gọi là không gian định chuẩn.
Định nghĩa 3: (Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn)
A được gọi là toán tử tuyến tính bị chặn nếu
0
M
sao cho :
xMAxXx .,
(*). M là
một cận trên của toán tử A.
Số M nhỏ nhất thoả mãn (*) gọi là chuẩn của toán tử A. Kí hiệu
A
.
Khi đó
XxxMAxMA ,./0inf
Định nghĩa 4: Dãy điểm
n
x
trong không gian định chuẩn X hội tụ đến điểm
Xx
nếu
0lim
xx
n
n
. Kí hiệu
xx
n
n
lim
hay
)(
nxx
n
Định nghĩa 5: Dãy điểm
n
x
trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy cơ bản (hay
dãy Cauchy) nếu
0lim
,
mn
mn
xx
.
1.2. Sai số
1.2.1. Sai số, số xấp xỉ
1.2.1.1. Sai số tuyệt đối:
1.2.1.2. Sai số tương đối
1.2.2. Chữ số có nghĩa, chữ số chắc
1.2.2.1. Chữ số có nghĩa
1.2.2.2. Chữ số chắc.
Xét số a=
qp
qp
p
p
p
p
10 10.10
1
1
. Chữ
j
được gọi là chữ số chắc nếu
i
a
10.
. Với
là số cho trước.
2
1.2.3. Sai số quy tròn và quy tròn số.
1.2.4. Cách viết số xấp xỉ
1.2.5. Các phép tính về sai số
1.2.5.1. Các phép tính: Giả sử đại lượng f có sai số tuyệt đối giới hạn là
f
và sai số tương đối là
f
. Mà
f
f
;
f
là số gia của đại lượng f: 1. Nếu u=x+y+z thì
zyxu
, (x, y,
z>0)
2. u=x-y thì
yx
yx
u
, (x,y >0)
3. u=xyz thì
zyxu
, (x, y, z >0)
4.
y
x
u
thì
yxu
, (x,y>0)
1.2.5.2. Công thức tổng quát về sai số
Nếu f là hàm số khả vi liên tục và
n
xxxfu , ,,
21
, f>0
thì:
i
x
n
i
i
u
x
f
1
,
i
x
n
i
i
u
x
f
1
ln
.
1.2.6. Sai số phương pháp, sai số tính toán và sự ổn định tính
1.2.6.1. Sai số tính toán và sai số phương pháp
1.2.6.2. Sự ổn định của quá trình tính
1.3. Hệ phương trình đại số tuyến tính
1.3.1. Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính
1.3.2. Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình tuyến tính khi m=n.
1.3.2.1. Định lý Cramer:
1.3.2.2. Biện luận về số nghiệm của hệ phương trình
1.3.3. Phân tích sai số
1.3.3.1. Số điều kiện của ma trận
1.3.3.2. Phân tích sai số
Giả sử x là nghiệm của phương trình Ax=b (1).
xxx
'
là nghiệm của phương trình Ax’=b’ với b’=b+
b
Khi đó :
)(
1
.
)(
1
.
)(
inf
1
0
xA
m
x
x
xA
m
x
x
xA
m
x
x
Suy ra
xA
m
x
1
. Do đó
b
m
x
1
.
M
b
Ax
M
xM
M
x
11
. Vậy
b
b
Acond
bm
bM
x
x
)(
1.4. Các định nghĩa trong hoá lý
1.4.1. Nhiệt dung.
Định nghĩa: Nhiệt dung là nhiệt lượng cần để làm nóng hệ thêm 1
0
C.
3
1.4.2. Hằng số cân bằng của phản ứng
khi một phản ứng đạt trạng thái cân bằng thì tỉ số giữa tích các hoạt độ của các sản phẩm
phản ứng (được nâng luỹ thừa với số mũ bằng hệ số tỉ lượng trong phương trình phản ứng) và tích
tương ứng của các chất phản ứng là một hằng số (ở nhiệt độ cho sẵn).
CHƯƠNG 2:MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2.1. Hệ phương trình tuyến tính
2.2. Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính
2.2.1. Phương pháp Gauss
Xét hệ phương trình
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
(2.2.1.1)
Trong đó
ji
a
,
,
njmi ,1;,1
là hệ số của hệ
n
xxx , ,
2,1
là ẩn cần tìm;
i
b
với
mi ,1
là vế phải của hệ.
2.2.1.1. Nội dung phương pháp Gauss.
Quá trình thuận:
+Giả thiết
0
11
a
. Loại trừ ẩn
1
x
ra khỏi hệ kể từ phương trình thứ 2 trở đi. Khi này trừ
phương trình đầu , ta còn n-1 phương trình n-1 ẩn là
n
xxx , ,,
32
.
+ Lặp lại quá trình trên đối với hệ mới này, ta sẽ loại trừ ẩn
2
x
kể từ phương trình thứ 3 trở
đi. Ta nhận được hệ gồm n-2 phương trình n-2 ẩn là
n
xxx , ,,
43
.
+ Quá trình trên lặp đi lặp lại, cuối cùng ta nhận được hệ có dạng tam giác
mnmn
nn
nn
bxa
bxaxa
bxaxaxa
1
2
1
22
1
22
11212111
(2.2.1.2)
Quá trình ngịch:
+ Từ hệ (2.2.1.2) giải ra được
n
x
. Bằng cách thế dần ta nhận được
n
xxx , ,,
21
và đó
chính là nghiệm của hệ phương trình.
2.2.1.2. Đánh giá phương pháp Gauss
+ Ưu điểm: Khối lượng tính toán ít hơn ct Cramer.
+ Nhược điểm: Khi tìm nghiệm của hệ phương trình ta phải chia cho hệ số
0
)(
k
ii
a
, thì
nghiệm sẽ gặp sai số lớn.
2.2.1.3. Một số ví dụ
4
Ví dụ : Giải hệ phương trình:
125,03
5,12
22
63,0
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
17524,1
5,10334,0
8223,2
63,0
432
432
432
4321
xxx
xxx
xxx
xxxx
6,16513,53
35,277,77,7
8223,2
63,0
4
43
432
4321
x
xx
xxx
xxxx
116,3
435,0
3896,0
3321.2
4
3
2
1
x
x
x
x
2.2.2. Phương pháp Gauss-Joocdan
2.2.2.1. Nội dung phương pháp:
Bước 1: Xét ma trận mở rộng
BAA
0
của hệ (2.2.1.1).
p
i
a
a
a
a
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
nn
np
ni
n
nnnqnjn
pnpqpjp
iniqiji
nqj
1,
1,
1,
1,1
1
1
1
11111
0
(2.2.2.1)
(j) (q)
. Chọn phần tử
pq
a
của ma trận A sao cho
ijpq
aa max
, với
nji
,1
.
Ta sẽ loại ẩn
q
x
ra khỏi phương trình thứ
pi
.
. Các bước loại ẩn
q
x
ra khỏi phương trình thứ
pi
.
Đặt
),,1( pini
a
a
m
pq
iq
i
. Lấy hàng p nhân với
i
m
rồi lần lượt lấy các hàng i trừ đi hàng p ta
được:
(j) (q)
1
1
1
( )
( )
i pj i ij pj j ij pj j
p pq
a a m a a m a a m
i
A
a a
p
, 1 , 1 2
, 1
i n p n
p n
a a m
a
5
Đặt
pq
iqpj
ijipjijij
a
aa
amaaa .
1
qj
nnj
pi
nni
1,, ,2,1
1,, ,2,1
(2.2.2.2)
Khi i=p thì
pjpj
aa
1
;
1,1 nj
;
Khi j=q thì
0
1
pq
iqpq
iqiq
a
aa
aa
;
pi
.
Kết quả ma trận
)1(
A
có các phần tử
1
ij
a
như sau:
. Các phần tử thuộc hàng giải thứ p thì
pjpj
aa
1
;
1,1 nj
được giữ nguyên.
. Các phần tử thuộc cột giải thứ q đều bằng 0 trừ phần tử
pq
a
.Các phần tử khác đều tính theo công thức:
qjpi
a
aa
aa
pq
iqpj
ijij
;;
1
(2.2.2.3)
.
1
A
có dạng:
1
1,
1
1,
1
1,
1
1,1
111
1
1111
1
111
1
1
1
1
1
1
11
1
0
0
0
0
0
0
nn
np
ni
n
nnnj
n
pnpqpjp
inij
i
nj
a
a
a
a
aaa
aaaa
aaa
aaa
A
(2.2.2.4) Bước 2: Lặp lại
quá trình như bước 1 đối với ma trận (2.2.2.4) để có ma trận
2
A
. Cứ tiếp tục như vậy sau n bước
ta sẽ thu được ma trận
n
A
mà mỗi hàng chỉ còn một phần tử ứng với ẩn
k
x
và cột ở vế phải. Từ
đó ta có nghiệm của hệ.
2.2.2.2. Đánh giá thuật toán.
a, Ưu điểm: Số lượng phép tính giảm đáng kể, có thể tìm được nghiệm ngay khi thuật toán
kết thúc.Tránh được sai số lớn trong quá trình tính toán.
b, Nhược điểm: Đối với hệ phương trình có hệ số không nguyên, số lượng ẩn lớn thì công
thức (2.2.2.3) được thực hiện nhiều lần sẽ cho kết quả không chính xác.
2.2.2.3. Một số ví dụ
Ví dụ : Giải hệ phương trình sau:
361226
33114
20238
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Ta lập ma trận để tính theo công thức (2.2.2.3).
6
36
33
20
1226
1114
238
0
A
36
36
14
1226
0
4
45
2
9
0
2
7
7
~
1
A
36
144
28
1226
04518
0714
1
A
5
132
144
45
1267
120
5
24
04518
00
5
84
~
2
A
33
48
181
1506
0156
00108
2
A
18
413
18
683
181
1500
0150
00108
3
A
Hệ tương đương
18
413
15
18
683
15
181108
3
2
1
x
x
x
270
413
270
683
108
181
3
2
1
x
x
x
Vậy hệ có nghiệm là:
108
181
1
x
;
270
683
2
x
;
270
413
3
x
.
2.2.3. Phương pháp Cholesky
2.2.3.1. Nội dung phương pháp:
Xét phương trình AX=B (2.2.3.1)
Trong đó A là ma trận vuông cấp n; B=
t
n
bbb ; ;;
21
Ta biết ma trận vuông A (detA
0) luôn phân tích được thành tích của 2 ma trận tam giác trên và
ma trận tam giác dưới.: A=P.Q
Trong đó: P=
nnnn
ppp
pp
p
00
000
21
2221
11
; Q=
nn
n
n
q
qqq
000
0
222
11211
Từ A=P.Q ta được hệ gồm n
2
phương trình, n
2
+n ẩn là p
ij
(i
j); q
ij
(i
j).Đó là hệ vô định.
Thông thường trong trường hợp này ta chọn p
ii
=1,
i=
n,1
(hoặc q
ii
=1), ta được hệ n
2
phương trình, n
2
ẩn.
Từ (2.2.3.1) và (2.2.3.2) ta được: B=AX=PQX.
7
Đặt QX=Y(2.2.2.3 Suy ra PY=B (2.2.3.4)
Hệ (2.2.3.3) và (2.2.3.4) có dạng tam giác. Giải (2.2.3.4) được Y, Giải tiếp (2.2.3.3) ta
được X là nghiệm của hệ (2.2.3.1).
Trong trường hợp A=
nji
ij
a
,1,
là ma trận đối xứng (
;
ij ji
a a i j
), thì A có thể phân tích
thành tích của ma trận tam giác trên, dưới, có đặc điểm P=Q
t
(Q
t
là ma trận chuyển vị của Q).
Gọi Q=S=[S
ij
]; S
ij
=0 i<j. S=
nn
n
n
s
sss
ssss
000
0
22322
1131211
Thì P=Q
t
=S
t
và phương trình (8) được viết lại: AX=S
t
.S.X=B
Đặt SX=Y (2.2.3.5); S
t
Y=B (2.2.3.6)
Giải hệ (2.2.3.6) ta được Y, giải tiếp hệ (2.2.3.5) được X là nghiệm của hệ (2.2.3.1).
Mô tả cụ thể cách tìm ma trận S và công thức tìm nghiệm của hệ (2.2.3.5) và (2.2.3.6).
1111
as
;
;
11
1
1
s
a
s
j
j
nj ,2
;
1
1
2
i
k
kiiiii
sas
;
ni ,2
.
ii
i
k
kjkiij
ij
s
ssa
s
1
1
.
;
ji
;
0
ij
s
;
ji
;
Giải hệ S
t
Y=B để tìm Y, ta có:
11
1
1
s
b
y
;
)1(
1
1
i
s
ysb
y
ii
i
k
kkii
i
Sau đó giải tiếp hệ SX=Y để tìm X, ta có :
nn
n
n
s
y
x
;
)(
1
ni
s
xsy
x
ii
n
ik
kiki
i
(2.2.3.8)
2.2.3.2. Đánh giá thuật toán.
Ưu điểm: Thuật toán áp dụng cho cả trường hợp
ij
b
là những số thuần ảo.
Nhược điểm: Khối lượng tính toán lớn, Quá trình thực hiện phức tạp.
2.2.3.3. Ví dụ
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:
8
343232
1,8352
4,622352
6,53543
5,1223
54321
5432
54321
54321
5321
xxxxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
xxxx
Giải:
Ma trận hệ số:
43232
35210
22352
31543
20231
A
Là ma trận đối xứng. A=S
t
.S
Ta tìm ma trận S như sau:
1
1111
as
;
2;0;2;3
15141312
11
1
1
ssss
s
a
s
j
j
.
isssas
i
k
kiiiii
2361,24
2
1222
1
1
2
(i là đơn vị ảo).
;8221,0;0414,3;8944,0
554433
issis
Tương tự ta có:
;4472,0
2423
iss
is 3416,1
25
;
is 0125,0
34
;
is 5653,1
35
;
2194,2
45
s
.
Theo công thức (S
t
Y=B) ta được:
5,1
1
5,0
11
1
1
s
b
y
;
iy 492,0
2
;
iy 7558,10
3
;
6351,2
4
y
;
iy 166,18
5
;
Theo công thức (2.2.3.5) SX=Y ta có:
097,22
55
5
5
s
y
x
;
2584,15
4
x
;
4847,50
3
x
;
11045,0
2
x
;
944,54
1
x
2.2.4. Phương pháp lặp đơn.
2.2.4.1. Cơ sở lý thuyết:
Định nghĩa ánh xạ co:
Nguyên lý ánh xạ co:
Định lý: Nếu
1B
. Khi đó mọi dãy lặp
gBxx
kk
1
; k=0,1,2,…;
0
x
bất kì cho trước,
đều hội tụ đến nghiệm duy nhất x* của hệ (2.2.4.1) và
1
1
*
kkk
xx
B
B
xx
; k=1,2,…
2.2.4.2. Thuật toán
Cho hệ phương trình tuyến tính: Ax=C (1)
B1: Ấn định sai số cho phép
,
)0(
9
B2: Đưa hệ AX=B về hệ tương đương x=Bx+g (2.2.4.1)
B3: Kiểm tra điều kiện
B
<1
B4: Chọn
0
x
tuỳ ý.
B5: Tính
gBxx
kk
1
; k=0,1,2, cho tới khi
1kk
xx
thì dừng quá trình tính toán.
B6: Kết luận nghiệm x*=x
k
với sai số
B
B
xx
k
1
*
.
2.2.4.3. Đánh giá thuật toán
2.2.4.4. Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn:
4,18,522,03,1
7,95,492,2
7,13,25,16,5
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Giải:
14,042,022,013,0
97,045,01,022,0
17,023,015,044,0
3213
3212
3211
xxxx
xxxx
xxxx
Ta có:
3
1
1
j
j
b
=0,44+0,15+0,23=0,82;
3
1
2
j
j
b
=0,22+0,1+0,45=0,77
3
1
3
j
j
b
=0,13+0,022+0,42=0,
182,0572,0;77,0;82,0max
B
Theo định lý 2.4 ta có phép lặp đơn:
1k k
x Bx g
.
Chọn
)0,0,0(
0
x
Ta thu được kết quả thể hiện ở bảng sau:
k
1
x
2
x
3
x
0 0,17 0,97 -0,14
1 0,1315 1,0926 -0,3901
2 0,153693 1,225875 -0,527119
3 0,174981 1,295979 -0,6111
4 0,19315 1,3361 -0,65903
5 0,20615 1,35768 -0,68563
6 0,21475 1,3689 -0,69985
7 0,22012 1,3746 -0,7072
8 0,2233 1,3773 -0,7108
Kết luận: nghiệm xấp xỉ của hệ: x=(0,2233; 1,3773; -0,7108).
2.2.5. Phương pháp trực giao
2.2.5.1. Cơ sở lý thuyết
10
Giải hệ AX=B với ma trận A không suy biến. Ta viết lại hệ trên dưới dạng toạ độ như sau:
ni
bxa
n
j
ijij
,1
0
1
(2.2.5.1)
Xét quá trình trực giao hoá Hilbert-Schmidt cho hệ
1
1
n
i
i
a
ta được:
1
1
1
1
111
1, ,3,2,,,
k
i
k
k
kiikkk
nk
u
u
vvvaau
u
u
vau
(2.2.5.2)
Xét
), ,,(
1211
nn
tttu
Giả sử
0
1
n
t
, theo tính chất dãy
1
1
n
i
i
u
rút ra
1n
u
trực giao với mọi vecto
i
a
(
ni ,1
).Vậy:
ni
ta
n
j
jij
,1
0
1
Vì
1n
u
trực giao với mọi
i
a
(
ni ,1
) nên ta có:
niau
in
,1;0,
1
ni
tba
n
j
niij
,1
0
1
1
ni
b
t
t
a
n
j
i
n
j
ij
,1
0
1
1
Chứng tỏ
nj
t
t
xxx
n
j
j
n
j
j
,1,;
1
1
là nghiệm của hệ.
2.2.5.2. Sơ đồ tính toán:Cho hệ AX=B (2.2.5.1)
B1: Viết hệ (2.2.2.1) dưới dạng:
ni
ba
n
j
iij
,1
0
1
(2.2.5.2)
B2: Đặt
niaaaa
iniii
,1;, ,,
21
;
1, ,0,0
1
n
a
với
1
1
n
i
Ra
.
B3: Trực giao hoá Hilbert_Schmidt
1
1
1
1
111
1, ,3,2,,,
k
i
k
k
kiikkk
nk
u
u
vvvaau
u
u
vau
(2.2.5.3)
Tìm được hệ vecto
1
1
n
i
i
u
. Đặt
1211
, ,,
nn
tttu
. Suy ra
0
1
n
t
.
B4: Kết luận nghiệm
n
j
j
xx
1
;
1
n
j
j
t
t
x
;
nj ,1
(2.2.5.4)
11
2.2.5.3. Ví dụ: Giải hệ phương trình bằng phương pháp trực giao:
13
152
12
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Giải: Viết hệ trên về dạng:
013
0152
012
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Đặt
1;1;2;1
1
a
;
1;1;5;2
2
a
;
1;3;1;1
3
a
.
Tính các
11
;vu
theo công thức (2.2.5.3) ta được:
1;1;2;1
1
u
;
7
1
;
7
1
;
7
2
;
7
1
1
v
;
1;1;1;0
2
u
;
3
1
;
3
1
;
3
1
;0
2
v
;
1;1;0;0
3
u
;
2
1
;
2
1
;0;0
3
v
;
42
1
;
42
1
;
21
1
;
7
1
4
u
.
Tính
j
x
theo công thức (5.2.3) ta được:
6
42
1
:
7
1
1
x
;
2
42
1
:
21
1
2
x
;
1
42
1
:
42
1
3
x
2.2.5.4. Đánh giá thuật toán
Ưu điểm: - Phương pháp này tương đối đơn giản, dễ lập trình trên máy.
- Khối lượng tính toán ít (cỡ
3
n
phép tính).
Nhược điểm: Tuy nhiên không ổn định và kém chính xác so với phương pháp Gauss. Do quá
trình trực giao hoá Hilber_Schmidt theo công thức (2.2.5.3) không ổn định. Sai số nhỏ có thể làm
hệ vecto
n
i
i
v
1
không còn trực giao nữa.
CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
3.1. Tìm hàm biểu thị sự phụ thuộc nhiệt dung phân tử của các chất vào nhiệt độ.
Bài toán 1:
Tìm hàm phụ thuộc của nhiệt dung phân tử axetilen vào nhiệt độ. Biết sự phụ thuộc được
biểu thị bằng các số liệu thực nghiệm sau:
T 300 400 500 600 700 800 900 1000
C
p
9,91 11,07 12,13 13,04 13,82 14,51 15,10 15,63
Cho sự phụ thuộc C
p
vào nhiệt độ T là hàm có dạng: C
p
=a+bT+cT
2
.
12
Giải : Việc tính toán các hệ số a, b, c được đưa về giải hệ phương trình tuyến tính sau:
i
i
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
ii
xcxbxayx
xcxbxayx
xcxbnay
4322
32
1
2
(3.1.1)
Trong đó các biến
100
300
i
i
T
x
được đưa vào nhằm tránh sử dụng các số quá lớn.
Ta có:
cba
cba
cba
467678414029,2070
7841402829,402
14028821,105
(3.1.2)
Sử dụng pp Gauss giải hệ phương trình trên ta được kết quả
a
9,928; b
1,197; c
-0,0552.
Vậy
263
10.52,510.28,1584,5 TTC
p
Kiểm tra kết quả đạt được:
T 300 400 500 600
C
p
9,9271 11,069 12,129 13,0217
T 700 800 900 1000
C
p
13,832 14,533 15,123 15,57
Bài toán 2: Tìm hàm biểu thị sự phụ thuộc của nhiệt dung phân tử graphit vào nhiệt độ.
Biết sự phụ thuộc được biểu thị bằng các số liệu thực nghiệm sau:
T
i
400 500 600 700 800 900 1000
(C
p
)
i
2,9 3,5 4,0 4,47 4,75 4,96 5,14
T
i
1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700
(C
p
)
i
5,29 5,4 5,54 5,66 5,70 5,83 5,89
T
i
1800 1900 2000 2100 2200 2300
(C
p
)
i
5,95 6,00 6,05 6,09 6,13 6,17
Cho Sự phụ thuộc C
p
vào nhiệt độ T là hàm có dạng:
2
cTbTaC
p
Giải: a,b,c là nghiệm của hệ phương trình sau:
Việc giải hệ phương trình này với các ẩn a, b, c cho chúng ta kết quả.
Tacó
11 3
20 27000 0,0002413 105,42
27000 43.100.000 0,003383 151.835
0,0002413 0,003383 7,452.10 0,101.10
a b c
a b c
a b c
(3.1.7)
13
Sử dụng phương pháp Gauss giải hệ phương trình trên ta nhận được kết quả:
Vậy C
p
=4,84664+0,000655T+(-380801,837570)T
-2
Kiểm tra kết quả đạt được
T
i
400 500 600 700 800 900 1000
(C
p
)
i
2,8285
3,6507
4,1816
4,502 4,775 4,9657
5,1205
T
i
1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700
(C
p
)
i
5,252 5,3678
5,5407
5,66 5,6593
5,7543
5,8277
T
i
1800 1900 2000 2100 2200 2300
(C
p
)
i
5,9074
5,9850
6,0607
6,1350
6,2082
6,2083
Vậy sai số của C
p
tính bằng hàm vừa tìm được so với kết quả đo thực nghiệm là không
đáng kể.
3.2. Tìm hàm biểu thị sự phụ thuộc hằng số cân bằng của các chất vào nhiệt độ.
Phương trình biểu thị sự phụ thuộc của hằng số cân bằng vào nhiệt độ có dạng:
).
6
1
.
2
1
ln (
.576,4
1
)(
320
0
ITTcTbTTaH
T
TF
Bài toán 3: Ta có phản ứng MoO
3
=Mo+3O.
Xác định hằng số cân bằng của các quá trình phân li này ở các nhiệt độ khác nhau.
Biết các giá trị thực nghiệm lgK
p
ở nhiều nhiệt độ khác nhau như sau:
T
i
1000 1075 1500 1873 2000
lgK
p
-71,721 -65,244 -40,767 -28,431 -25,28
T
i
2500 2896 4000
lgK
p
-15,983 -10,894 -1,999
ta có hệ phương trình tuyến tính sau:
6 0 3
0
3
3 0
0
0 7
0
0,694.10 . 7,442.10 0,8741. 613,49.
1,011.10 . 0,19806517
7,442.10 . 100 14261,05. 12264115,01.
13,205. 1883,832
1,7483. 28522.106 4649319,274. 452.10 .
3680.94. 38
H a b c
I
H a b c
I
H a b c
I
0 10 11
0
8
0
0
6322,59
3680,94. 73584870. 1,356.10 146,1.10 .
9298638,549. 6,62947.10
0,001011. 13,205 1840,47. 1549773,091.
1,74825. 260,319
H a b c
I
H a b c
I
Sử dụng phương pháp Gauss và phần mềm pascal ta có kết quả sau:
50
0
10.227821699,4H
;
2794064602,3
a
;
3
10.1697759471,3
b
;
14
7
10.6761150243,8
c
;
374435355,73
I
.
3 2 7 3
1
( ) (422782,1699 3,2794604602 .ln
4,576.
1 1
.3,1697759471.10 . .8,6761150243.10 . 73,374
435355 )
2 6
F T T T
T
T T T
Kiểm tra kết quả đạt được
T
i
1000 1075 1500 1873
lgK
p
-71,7209 -65,2442 -40,7668 -28,4309
Ti 2000 2500 2896 4000
lgKp -25,2800 -15,9831 -10,8939 -1,999
Vậy sai số của lgK
p
tính bằng hàm vừa tìm được so với kết quả đo thực nghiệm là không
đáng kể.
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày hai nhóm phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính đó
là nhóm phương pháp trực tiếp và nhóm phương pháp lặp. Luận văn nêu được phương pháp giải,
các ví dụ cụ thể và đánh giá thuật toán. Luận văn đã chỉ ra những ưu điểm, nhược điểm của từng
phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính đã được trình bày.
Ngoài ra luận văn đã trình bày một số ứng dụng việc giải hệ phương trình tuyến tính trong
các bài toán hoá lý. Đó là bài toán tìm hàm biểu thị sự phụ thuộc nhiệt dung phân tử của các chất
vào nhiệt độ và hàm biểu thị sự phụ thuộc hằng số cân bằng của các chất vào nhiệt độ.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong tìm tòi và nghiên cứu, song do bản thân em chưa tiếp
cận nhiều với công việc nghiên cứu nên chưa có nhiều sáng tạo trong quá trình nghiên cứu. Vì vậy
15
luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Em rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp của các thầy cô
để đề tài thực sự là đóng góp có ích.
MỞ ĐẦU
4. Lý do chọn đề tài.
Việc giải bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính có ý nghĩa to lớn trong việc
nghiên cứu khoa học cũng như trong thực tế.
Để tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính bằng lý thuyết của đại số tuyến tính phải
thực hiện rất nhiều các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng, cột của ma trận. Điều này làm tăng khối
lượng tính toán, hơn nữa lại gặp khó khăn về vấn đề logic trong trình bày. Mặt khác khi xây dựng
chương trình trên máy tốn nhiều thời gian và mất nhiều bộ nhớ. Vì vậy trong thời gian sử lý số liệu
không tránh khỏi sai số dù là rất nhỏ nhưng cũng ảnh hưởng trực tiếp đến quá trình tính toán.
Chính vì vậy phải sử dụng các thuật toán sao cho khi xây dựng trên máy tính tiết kiệm thời
gian và bộ nhớ nhất, đồng thời giảm thiểu sai số một cách tối đa.
Các nhà toán học đã tìm ra nhiều phương pháp để giải gần đúng hệ phương trình tuyến
tính. Mỗi phương pháp có những ưu điểm, nhược điểm nhất định. Vì vậy đối với một hệ phương
trình tuyến tính bất kì, việc áp dụng phương pháp nào sẽ cho kết quả tốt nhất cho việc nghiên cứu
là rất quan trọng, nó mang đến lợi ích rất lớn trong ứng dụng vào khoa học và thực tiễn.
Chính vì vậy cùng với sự hướng dẫn tận tình của TS Nguyễn Văn Hùng, tôi đã chọn nghiên
cứu đề tài:
“ Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính”.
Tuy nhiên đề tài chỉ tập trung vào nghiên cứu 3 phương pháp trực tiếp là phương pháp
Gauss, Gauss-joocdan và phương pháp Cholesky, 2 phương pháp lặp là phương pháp lặp đơn và
phương pháp trực giao hoá
5. Mục đích nghiên cứu.
-Đề tài nghiên cứu một số phương pháp số giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính.
- Nghiên cứu ứng dụng bài toán về nhiệt động lực học.
6. Nhiệm vụ nghiên cứu.
16
-Luận văn tập trung nghiên cứu và hệ thống hoá các phương pháp giải gần đúng hệ phương
trình tuyến tính. Phân tích các ưu điểm, nhược điểm của từng phương pháp.
-Ứng dụng tìm hàm biểu thị phụ thuộc của nhiệt dung phân tử các chất, hằng số cân bằng các
chất vào nhiệt độ.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
- Phương pháp Gauss, phương pháp Gauss-Joocdan, phương pháp Cholesky, phương pháp lặp
đơn và phương pháp trực giao giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính.
-Các bài toán hoá lý
5. Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp nghiên cứu của giải tích số và đại số tuyến tính
6. Dự kiến đóng góp mới.
Luận văn trình bày một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản và các ví dụ đối với mỗi
phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính trong phạm vi luận văn nghiên cứu.
CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian định chuẩn
1.1.1. Một số định nghĩa
Định nghĩa 1: Giả sử X là một không gian vecto trên trường K (K=R hoặc K=C). Một
ánh xạ kí hiệu là
.
.
:
RX
xx
Được gọi là chuẩn trên X nếu nó thoả mãn các tiên đề sau:
1.
00;0, xxxXx
2.
xxKXx
,,
3.
yxyxXyx ,,
Số
x
được gọi là chuẩn của vecto x.
Định nghĩa 2: Giả sử X là không gian vecto trên trường K,
x
là một chuẩn trên X, Khi đó
cặp
.,X
được gọi là không gian định chuẩn.
Định nghĩa 3: (Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn)
A được gọi là toán tử tuyến tính bị chặn nếu
0
M
sao cho :
xMAxXx .,
(*). M là
một cận trên của toán tử A.
Số M nhỏ nhất thoả mãn (*) gọi là chuẩn của toán tử A. Kí hiệu
A
.
Khi đó
XxxMAxMA ,./0inf
Định nghĩa 4: Dãy điểm
n
x
trong không gian định chuẩn X hội tụ đến điểm
Xx
nếu
0lim
xx
n
n
. Kí hiệu
xx
n
n
lim
hay
)(
nxx
n
17
Định nghĩa 5: Dãy điểm
n
x
trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy cơ bản (hay
dãy Cauchy) nếu
0lim
,
mn
mn
xx
.
1.2. Sai số
1.2.1. Sai số, số xấp xỉ
1.2.1.1. Sai số tuyệt đối:
1.2.1.2. Sai số tương đối
1.2.2. Chữ số có nghĩa, chữ số chắc
1.2.2.1. Chữ số có nghĩa
1.2.2.2. Chữ số chắc.
Xét số a=
qp
qp
p
p
p
p
10 10.10
1
1
. Chữ
j
được gọi là chữ số chắc nếu
i
a
10.
. Với
là số cho trước.
1.2.3. Sai số quy tròn và quy tròn số.
1.2.4. Cách viết số xấp xỉ
1.2.5. Các phép tính về sai số
1.2.5.1. Các phép tính: Giả sử đại lượng f có sai số tuyệt đối giới hạn là
f
và sai số tương đối là
f
. Mà
f
f
;
f
là số gia của đại lượng f: 1. Nếu u=x+y+z thì
zyxu
, (x, y,
z>0)
2. u=x-y thì
yx
yx
u
, (x,y >0)
3. u=xyz thì
zyxu
, (x, y, z >0)
4.
y
x
u
thì
yxu
, (x,y>0)
1.2.5.2. Công thức tổng quát về sai số
Nếu f là hàm số khả vi liên tục và
n
xxxfu , ,,
21
, f>0
thì:
i
x
n
i
i
u
x
f
1
,
i
x
n
i
i
u
x
f
1
ln
.
1.2.6. Sai số phương pháp, sai số tính toán và sự ổn định tính
1.2.6.1. Sai số tính toán và sai số phương pháp
1.2.6.2. Sự ổn định của quá trình tính
1.3. Hệ phương trình đại số tuyến tính
1.3.1. Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính
1.3.2. Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình tuyến tính khi m=n.
1.3.2.1. Định lý Cramer:
1.3.2.2. Biện luận về số nghiệm của hệ phương trình
1.3.3. Phân tích sai số
1.3.3.1. Số điều kiện của ma trận
1.3.3.2. Phân tích sai số
18
Giả sử x là nghiệm của phương trình Ax=b (1).
xxx
'
là nghiệm của phương trình Ax’=b’ với b’=b+
b
Khi đó :
)(
1
.
)(
1
.
)(
inf
1
0
xA
m
x
x
xA
m
x
x
xA
m
x
x
Suy ra
xA
m
x
1
. Do đó
b
m
x
1
.
M
b
Ax
M
xM
M
x
11
. Vậy
b
b
Acond
bm
bM
x
x
)(
1.4. Các định nghĩa trong hoá lý
1.4.1. Nhiệt dung.
Định nghĩa: Nhiệt dung là nhiệt lượng cần để làm nóng hệ thêm 1
0
C.
1.4.2. Hằng số cân bằng của phản ứng
khi một phản ứng đạt trạng thái cân bằng thì tỉ số giữa tích các hoạt độ của các sản phẩm
phản ứng (được nâng luỹ thừa với số mũ bằng hệ số tỉ lượng trong phương trình phản ứng) và tích
tương ứng của các chất phản ứng là một hằng số (ở nhiệt độ cho sẵn).
CHƯƠNG 2:MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2.1. Hệ phương trình tuyến tính
2.2. Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính
2.2.1. Phương pháp Gauss
Xét hệ phương trình
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
(2.2.1.1)
Trong đó
ji
a
,
,
njmi ,1;,1
là hệ số của hệ
n
xxx , ,
2,1
là ẩn cần tìm;
i
b
với
mi ,1
là vế phải của hệ.
2.2.1.4. Nội dung phương pháp Gauss.
Quá trình thuận:
+Giả thiết
0
11
a
. Loại trừ ẩn
1
x
ra khỏi hệ kể từ phương trình thứ 2 trở đi. Khi này trừ
phương trình đầu , ta còn n-1 phương trình n-1 ẩn là
n
xxx , ,,
32
.
+ Lặp lại quá trình trên đối với hệ mới này, ta sẽ loại trừ ẩn
2
x
kể từ phương trình thứ 3 trở
đi. Ta nhận được hệ gồm n-2 phương trình n-2 ẩn là
n
xxx , ,,
43
.
+ Quá trình trên lặp đi lặp lại, cuối cùng ta nhận được hệ có dạng tam giác
mnmn
nn
nn
bxa
bxaxa
bxaxaxa
1
2
1
22
1
22
11212111
(2.2.1.2)
19
Quá trình ngịch:
+ Từ hệ (2.2.1.2) giải ra được
n
x
. Bằng cách thế dần ta nhận được
n
xxx , ,,
21
và đó
chính là nghiệm của hệ phương trình.
2.2.1.5. Đánh giá phương pháp Gauss
+ Ưu điểm: Khối lượng tính toán ít hơn ct Cramer.
+ Nhược điểm: Khi tìm nghiệm của hệ phương trình ta phải chia cho hệ số
0
)(
k
ii
a
, thì
nghiệm sẽ gặp sai số lớn.
2.2.1.6. Một số ví dụ
Ví dụ : Giải hệ phương trình:
125,03
5,12
22
63,0
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
17524,1
5,10334,0
8223,2
63,0
432
432
432
4321
xxx
xxx
xxx
xxxx
6,16513,53
35,277,77,7
8223,2
63,0
4
43
432
4321
x
xx
xxx
xxxx
116,3
435,0
3896,0
3321.2
4
3
2
1
x
x
x
x
2.2.2. Phương pháp Gauss-Joocdan
2.2.2.1. Nội dung phương pháp:
Bước 1: Xét ma trận mở rộng
BAA
0
của hệ (2.2.1.1).
p
i
a
a
a
a
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
nn
np
ni
n
nnnqnjn
pnpqpjp
iniqiji
nqj
1,
1,
1,
1,1
1
1
1
11111
0
(2.2.2.1)
(j) (q)
. Chọn phần tử
pq
a
của ma trận A sao cho
ijpq
aa max
, với
nji
,1
.
Ta sẽ loại ẩn
q
x
ra khỏi phương trình thứ
pi
.
. Các bước loại ẩn
q
x
ra khỏi phương trình thứ
pi
.
20
Đặt
),,1( pini
a
a
m
pq
iq
i
. Lấy hàng p nhân với
i
m
rồi lần lượt lấy các hàng i trừ đi hàng p ta
được:
(j) (q)
1
1
1
( )
( )
i pj i ij pj j ij pj j
p pq
a a m a a m a a m
i
A
a a
p
, 1 , 1 2
, 1
i n p n
p n
a a m
a
Đặt
pq
iqpj
ijipjijij
a
aa
amaaa .
1
qj
nnj
pi
nni
1,, ,2,1
1,, ,2,1
(2.2.2.2)
Khi i=p thì
pjpj
aa
1
;
1,1 nj
;
Khi j=q thì
0
1
pq
iqpq
iqiq
a
aa
aa
;
pi
.
Kết quả ma trận
)1(
A
có các phần tử
1
ij
a
như sau:
. Các phần tử thuộc hàng giải thứ p thì
pjpj
aa
1
;
1,1 nj
được giữ nguyên.
. Các phần tử thuộc cột giải thứ q đều bằng 0 trừ phần tử
pq
a
.Các phần tử khác đều tính theo công thức:
qjpi
a
aa
aa
pq
iqpj
ijij
;;
1
(2.2.2.3)
.
1
A
có dạng:
1
1,
1
1,
1
1,
1
1,1
111
1
1111
1
111
1
1
1
1
1
1
11
1
0
0
0
0
0
0
nn
np
ni
n
nnnj
n
pnpqpjp
inij
i
nj
a
a
a
a
aaa
aaaa
aaa
aaa
A
(2.2.2.4) Bước 2: Lặp lại
quá trình như bước 1 đối với ma trận (2.2.2.4) để có ma trận
2
A
. Cứ tiếp tục như vậy sau n bước
ta sẽ thu được ma trận
n
A
mà mỗi hàng chỉ còn một phần tử ứng với ẩn
k
x
và cột ở vế phải. Từ
đó ta có nghiệm của hệ.
2.2.2.2. Đánh giá thuật toán.
21
a, Ưu điểm: Số lượng phép tính giảm đáng kể, có thể tìm được nghiệm ngay khi thuật toán
kết thúc.Tránh được sai số lớn trong quá trình tính toán.
b, Nhược điểm: Đối với hệ phương trình có hệ số không nguyên, số lượng ẩn lớn thì công
thức (2.2.2.3) được thực hiện nhiều lần sẽ cho kết quả không chính xác.
2.2.2.4. Một số ví dụ
Ví dụ : Giải hệ phương trình sau:
361226
33114
20238
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Ta lập ma trận để tính theo công thức (2.2.2.3).
36
33
20
1226
1114
238
0
A
36
36
14
1226
0
4
45
2
9
0
2
7
7
~
1
A
36
144
28
1226
04518
0714
1
A
5
132
144
45
1267
120
5
24
04518
00
5
84
~
2
A
33
48
181
1506
0156
00108
2
A
18
413
18
683
181
1500
0150
00108
3
A
Hệ tương đương
18
413
15
18
683
15
181108
3
2
1
x
x
x
270
413
270
683
108
181
3
2
1
x
x
x
Vậy hệ có nghiệm là:
108
181
1
x
;
270
683
2
x
;
270
413
3
x
.
2.2.3. Phương pháp Cholesky
2.2.3.1. Nội dung phương pháp:
Xét phương trình AX=B (2.2.3.1)
Trong đó A là ma trận vuông cấp n; B=
t
n
bbb ; ;;
21
22
Ta biết ma trận vuông A (detA
0) luôn phân tích được thành tích của 2 ma trận tam giác trên và
ma trận tam giác dưới.: A=P.Q
Trong đó: P=
nnnn
ppp
pp
p
00
000
21
2221
11
; Q=
nn
n
n
q
qqq
000
0
222
11211
Từ A=P.Q ta được hệ gồm n
2
phương trình, n
2
+n ẩn là p
ij
(i
j); q
ij
(i
j).Đó là hệ vô định.
Thông thường trong trường hợp này ta chọn p
ii
=1,
i=
n,1
(hoặc q
ii
=1), ta được hệ n
2
phương trình, n
2
ẩn.
Từ (2.2.3.1) và (2.2.3.2) ta được: B=AX=PQX.
Đặt QX=Y(2.2.2.3 Suy ra PY=B (2.2.3.4)
Hệ (2.2.3.3) và (2.2.3.4) có dạng tam giác. Giải (2.2.3.4) được Y, Giải tiếp (2.2.3.3) ta
được X là nghiệm của hệ (2.2.3.1).
Trong trường hợp A=
nji
ij
a
,1,
là ma trận đối xứng (
;
ij ji
a a i j
), thì A có thể phân tích
thành tích của ma trận tam giác trên, dưới, có đặc điểm P=Q
t
(Q
t
là ma trận chuyển vị của Q).
Gọi Q=S=[S
ij
]; S
ij
=0 i<j. S=
nn
n
n
s
sss
ssss
000
0
22322
1131211
Thì P=Q
t
=S
t
và phương trình (8) được viết lại: AX=S
t
.S.X=B
Đặt SX=Y (2.2.3.5); S
t
Y=B (2.2.3.6)
Giải hệ (2.2.3.6) ta được Y, giải tiếp hệ (2.2.3.5) được X là nghiệm của hệ (2.2.3.1).
Mô tả cụ thể cách tìm ma trận S và công thức tìm nghiệm của hệ (2.2.3.5) và (2.2.3.6).
1111
as
;
;
11
1
1
s
a
s
j
j
nj ,2
;
1
1
2
i
k
kiiiii
sas
;
ni ,2
.
ii
i
k
kjkiij
ij
s
ssa
s
1
1
.
;
ji
;
0
ij
s
;
ji
;
Giải hệ S
t
Y=B để tìm Y, ta có:
11
1
1
s
b
y
;
)1(
1
1
i
s
ysb
y
ii
i
k
kkii
i
Sau đó giải tiếp hệ SX=Y để tìm X, ta có :
nn
n
n
s
y
x
;
23
)(
1
ni
s
xsy
x
ii
n
ik
kiki
i
(2.2.3.8)
2.2.3.2. Đánh giá thuật toán.
Ưu điểm: Thuật toán áp dụng cho cả trường hợp
ij
b
là những số thuần ảo.
Nhược điểm: Khối lượng tính toán lớn, Quá trình thực hiện phức tạp.
2.2.3.3. Ví dụ
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:
343232
1,8352
4,622352
6,53543
5,1223
54321
5432
54321
54321
5321
xxxxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
xxxx
Giải:
Ma trận hệ số:
43232
35210
22352
31543
20231
A
Là ma trận đối xứng. A=S
t
.S
Ta tìm ma trận S như sau:
1
1111
as
;
2;0;2;3
15141312
11
1
1
ssss
s
a
s
j
j
.
isssas
i
k
kiiiii
2361,24
2
1222
1
1
2
(i là đơn vị ảo).
;8221,0;0414,3;8944,0
554433
issis
Tương tự ta có:
;4472,0
2423
iss
is 3416,1
25
;
is 0125,0
34
;
is 5653,1
35
;
2194,2
45
s
.
Theo công thức (S
t
Y=B) ta được:
5,1
1
5,0
11
1
1
s
b
y
;
iy 492,0
2
;
iy 7558,10
3
;
6351,2
4
y
;
iy 166,18
5
;
Theo công thức (2.2.3.5) SX=Y ta có:
097,22
55
5
5
s
y
x
;
2584,15
4
x
;
4847,50
3
x
;
11045,0
2
x
;
944,54
1
x
2.2.4. Phương pháp lặp đơn.
2.2.4.1. Cơ sở lý thuyết:
Định nghĩa ánh xạ co:
24
Nguyên lý ánh xạ co:
Định lý: Nếu
1B
. Khi đó mọi dãy lặp
gBxx
kk
1
; k=0,1,2,…;
0
x
bất kì cho trước,
đều hội tụ đến nghiệm duy nhất x* của hệ (2.2.4.1) và
1
1
*
kkk
xx
B
B
xx
; k=1,2,…
2.2.4.2. Thuật toán
Cho hệ phương trình tuyến tính: Ax=C (1)
B1: Ấn định sai số cho phép
,
)0(
B2: Đưa hệ AX=B về hệ tương đương x=Bx+g (2.2.4.1)
B3: Kiểm tra điều kiện
B
<1
B4: Chọn
0
x
tuỳ ý.
B5: Tính
gBxx
kk
1
; k=0,1,2, cho tới khi
1kk
xx
thì dừng quá trình tính toán.
B6: Kết luận nghiệm x*=x
k
với sai số
B
B
xx
k
1
*
.
2.2.4.3. Đánh giá thuật toán
2.2.4.4. Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn:
4,18,522,03,1
7,95,492,2
7,13,25,16,5
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Giải:
14,042,022,013,0
97,045,01,022,0
17,023,015,044,0
3213
3212
3211
xxxx
xxxx
xxxx
Ta có:
3
1
1
j
j
b
=0,44+0,15+0,23=0,82;
3
1
2
j
j
b
=0,22+0,1+0,45=0,77
3
1
3
j
j
b
=0,13+0,022+0,42=0,
182,0572,0;77,0;82,0max
B
Theo định lý 2.4 ta có phép lặp đơn:
1k k
x Bx g
.
Chọn
)0,0,0(
0
x
Ta thu được kết quả thể hiện ở bảng sau:
k
1
x
2
x
3
x
0 0,17 0,97 -0,14
1 0,1315 1,0926 -0,3901
2 0,153693 1,225875 -0,527119
3 0,174981 1,295979 -0,6111
4 0,19315 1,3361 -0,65903
5 0,20615 1,35768 -0,68563
6 0,21475 1,3689 -0,69985
