rèn luyện một số kỹ năng giải hệ phương trình cho học sinh thpt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC




BÙI THỊ NHẦN





RÈN LUYỆN MỘT SỐ KỸ NĂNG
GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG




KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC






SƠN LA, NĂM 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

BÙI THỊ NHẦN





RÈN LUYỆN MỘT SỐ KỸ NĂNG
GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG




Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Toán

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn: ThS. Nguyễn Hải Lý




SƠN LA, NĂM 2014
LỜI CẢM ƠN

Khóa luận này của em hoàn thành với sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của

thạc sĩ Nguyễn Hải Lý - Giảng viên khoa Toán - Lý - Tin, Trường Đại học Tây
Bắc. Đồng thời em cũng nhận được sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo,
Ban chủ nhiệm khoa Toán - Lý - Tin. Phòng KH&QHQT, Trung tâm thư viện
trường Đại học Tây Bắc, các thầy cô giáo trong trường THPT Đông Thụy Anh
(Thái Thụy - Thái Bình), các em học sinh lớp 12A1, 12A2 (Trường THPT Đông
Thụy Anh) cùng các bạn sinh viên K51 ĐHSP Toán.
Nhân dịp này em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy cô giáo,
các em học sinh đã nhiệt tình giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận.
Với khóa luận này em mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô
giáo và các bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện hơn.
Em chân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 05 năm 2014
Sinh viên
Bùi Thị Nhần

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT


THPT : Trung học phổ thông
GV : Giáo viên
HS : Học sinh
MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn khóa luận 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1
2.1. Mục đích nghiên cứu 1
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu 1
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 2
3.1. Đối tượng nghiên cứu 2

3.2. Phạm vi nghiên cứu 2
4. Phương pháp nghiên cứu 2
4.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận 2
4.2. Phương pháp điều tra, quan sát 2
4.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm 2
5. Cấu trúc của đề tài 2
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 3
1.1. Phương pháp dạy học 3
1.2. Kỹ năng - kỹ năng giải bài tập toán 3
1.2.1. Đặc điểm của kỹ năng 3
1.2.2. Các mức độ của kỹ năng 4
1.2.3. Sự hình thành kỹ năng 4
1.3. Mục đích, vai trò, ý nghĩa của bài tập toán trong trường phổ thông 5
1.4. Nội dung hệ phương trình trong chương trình toán THPT 6
1.4.1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 6
1.4.2. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn 8
1.4.3. Hệ phương trình đối xứng loại 1 10
1.4.4. Hệ phương trình đối xứng loại 2 10
1.4.5. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai 11
1.4.6. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai 11
1.4.7. Hệ phương trình mũ, lôgarit, và hệ phương trình chứa căn thức 11
1.5. Thực trạng việc dạy và học hệ phương trình ở một số trường THPT 12
1.5.1. Điều tra đối với giáo viên 12
1.5.2. Điều tra đối với học sinh 13
CHƢƠNG 2: RÈN LUYỆN MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI HỆ PHƢƠNG
TRÌNH CHO HỌC SINH THPT 14
2.1. Giải pháp rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình 14
2.2. Rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình cơ bản 14
2.2.1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 14
2.2.2. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn 19

2.2.3. Hệ phương trình đối xứng loại 1 : 22
2.2.4. Hệ phương trình đối xứng loại 2 26
2.2.5. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai 30
2.2.6. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai 34
2.2.7. Hệ phương trình mũ 37
2.2.8. Hệ phương trình lôgarit 40
2.2.9. Hệ phương trình mũ và lôgarit 42
2.2.10. Hệ phương trình chứa căn thức 45
CHƢƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 48
3.1. Mục đích thực nghiệm 48
3.2. Phương pháp thực nghiệm 48
3.3. Nội dung thực nghiệm 48
3.4. Đối tượng thực nghiệm 48
3.5. Tổ chức thực nghiệm 48
3.6. Kết quả thực nghiệm 48
3.7. Kết quả rút ra từ thực nghiệm 49
KẾT LUẬN 50
TÀI LIỆU THAM KHẢO 51

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn khóa luận
Trong giai đoạn hiện nay khi khoa học công nghệ có những bước tiến nhảy
vọt, việc đào tạo con người không chỉ nắm vững kiến thức mà còn có năng lực sáng
tạo, có ý nghĩa quan trọng đối với tiềm lực khoa học kỹ thuật của đất nước.
Toán học - một khoa học có nhiều ứng dụng trong thực tiễn cũng như đối
với các ngành khoa học khác. Nó ra đời và ngày càng phát triển thâm nhập vào
hầu hết các lĩnh vực khoa học và đời sống.
Hệ phương trình là một trong những nội dung của chương trình toán phổ
thông, nó rất đa dạng và phong phú, để giải được chúng đòi hỏi học sinh phải

nắm được các dạng, các hệ phương trình cơ bản và điều quan trọng nhất là phải
có kỹ năng giải hệ phương trình.
Rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình vừa là mục đích, vừa là phương
tiện cho học sinh nắm được kiến thức cơ bản và có kỹ năng giải tốt các dạng toán
liên quan đến hệ phương trình đồng thời rèn luyện kỹ năng phán đoán, lập luận,
suy luận toán học và rèn luyện các phẩm chất: Tư duy linh hoạt, độc lập sáng tạo,
tính cẩn thận, chính xác góp phần phát triển năng lực toán cho học sinh.
Từ những lý do trên tôi lựa chọn nghiên cứu khóa luận: “Rèn luyện một
số kỹ năng giải hệ phƣơng trình cho học sinh THPT”.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu việc rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình cho học sinh
THPT góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học giải hệ phương trình.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn liên quan đến khóa luận.
- Tìm hiểu về thực trạng việc dạy học rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình cho
học sinh THPT.
- Đề xuất giải pháp sư phạm góp phần rèn luyện kỹ năng giải hệ phương
trình cho học sinh THPT.

2
- Thực nghiệm sư phạm nhằm bước đầu đánh giá tính khả thi của biện
pháp đã đề xuất.
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu việc rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình trong chương trình
toán THPT.
3.2. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu kỹ năng giải hệ phương trình cho học sinh lớp 10, lớp 12
THPT.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu
4.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu, tìm hiểu và phân tích tài liệu có liên quan.
4.2. Phương pháp điều tra, quan sát
Nghiên cứu, tìm hiểu việc rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình cho học
sinh ở một số trường THPT.
4.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Đánh giá tính khả thi của biện pháp đã đề xuất.
5. Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần mở đầu, mục lục, danh mục các tài liệu tham khảo, kết luận
thì khóa luận gồm có ba chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Rèn luyện một số kỹ năng giải hệ phương trình cho học sinh
THPT.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.




3
CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Phƣơng pháp dạy học
Phương pháp là con đường, là cách thức để chủ thể thực hiện một hoạt
động nào đó nhằm đạt được mục tiêu nhất định.
Phương pháp dạy học là cách thức hoạt động của thầy và trò trong mối
liên hệ qua lại, thầy giữ vai trò chủ đạo, điều khiển, chỉ đạo, hướng dẫn, tổ chức
các hoạt động học tập của trò một cách tự giác, tích cực, độc lập, chủ động, sáng
tạo nhằm đạt các mục tiêu dạy học đề ra.

1.2. Kỹ năng - kỹ năng giải bài tập toán
Kỹ năng là khả năng của chủ thể thực hiện thuần thục một hay một chuỗi
hành động trên cơ sở hiểu biết (kiến thức hoặc kinh nghiệm) nhằm tạo ra kết quả
mong đợi.
Trong toán học: “Kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng
minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được”.
Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải các
bài tập toán (bằng suy luận, chứng minh).
1.2.1. Đặc điểm của kỹ năng
Khái niệm kỹ năng trình bày ở trên chứa đựng những đặc điểm sau:
- Bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết đó là kiến thức.
Bởi vì, cấu trúc của kỹ năng là: Hiểu mục đích - biết cách đi đến kết quả - hiểu
những điều kiện để triển khai kiến thức đó.
- Kiến thức là cơ sở của kỹ năng, khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các
thuộc tính bản chất của đối tượng, được thực nghiệm trong thực tiễn và tồn tại
trong ý thức với tư cách là công cụ của hành động.
Vì vậy, cần hướng vào việc vận dụng những tri thức và rèn luyện kỹ năng,
vì kỹ năng chỉ có thể được hình thành và phát triển trong hoạt động.
- Kỹ năng giải toán phải dựa trên cơ sở tri thức toán học, bao gồm: Kiến
thức, kỹ năng, phương pháp.

4
1.2.2. Các mức độ của kỹ năng
Trong toán học có thể chia làm hai nhóm kỹ năng giải bài tập toán:
- Kỹ năng giải bài tập toán học cơ bản.
- Kỹ năng giải bài tập toán học tổng hợp.
Trong mỗi nhóm lại có ba mức độ khác nhau:
+ Mức độ biết làm: Nắm được quy trình giải một loại bài tập toán cơ bản
nào đó tương tự như bài tập mẫu nhưng chưa nhanh.
+ Mức độ thành thạo: Giải nhanh, thành thạo, chính xác theo cách giải

như bài tập mẫu.
+ Mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Đưa ra được cách giải ngắn gọn,
độc đáo khác lời giải mẫu do biết vận dụng vốn kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo
không chỉ với những bài toán cơ bản mà với cả bài toán mới.
1.2.3. Sự hình thành kỹ năng
Sự hình thành kỹ năng là làm cho học sinh nắm vững một hệ thống phức
tạp các thao tác nhằm biến đổi và làm sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong
các bài tập.
Việc truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng là nhiệm vụ quan trọng hàng
đầu của bộ môn toán trong nhà trường phổ thông.
Rèn luyện kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực tiễn
mà trước tiên là kỹ năng giải toán cần đạt được các yêu cầu sau:
1) Giúp học sinh hình thành nắm vững những mạch kiến thức cơ bản
xuyên suốt chương trình phổ thông.
2) Giúp học sinh phát triển các kỹ năng trí tuệ, cụ thể là:
- Tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác, trong đó có tư duy thuật toán.
- Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian.
- Những thao tác tư duy như: Phân tích, tổng hợp, khái quát hóa.
- Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo.
3) Coi trọng việc rèn luyện kỹ năng tính toán trong tất cả giờ học toán,
gắn với việc rèn luyện các kỹ năng thực hành như: Tính toán, biến đổi, vẽ hình,
vẽ đồ thị.

5
4) Giúp học sinh rèn luyện phẩm chất của người lao động mới như: Tính
cẩn thận, chính xác, kiên trì, thói quen tự kiểm tra những sai lầm có thể gặp.
1.2.3.1. Hình thành kỹ năng cơ bản qua hướng dẫn giải bài tập mẫu
Để có được những kỹ năng, điều quan trọng là thực hiện các thao tác, đã
là thao tác phải tập dượt theo một mẫu nào đó. Do vậy việc hướng dẫn học sinh
làm một dạng bài tập nào đó theo mẫu ban đầu là rất cần thiết.

Việc luyện tập theo mẫu giúp học sinh rèn luyện một số kỹ năng cơ bản
để giải được một số loại bài tập cơ bản, từ bài tập mẫu này làm cơ sở để học sinh
phát triển khả năng sáng tạo của mình.
Sau khi học sinh đã được giáo viên hướng dẫn giải bài tập mẫu, giáo viên
cho học sinh một vài bài tập khác tương tự như bài tập mẫu. Lúc này học sinh sẽ
dựa vào bài tập mẫu để giải bài tập mà giáo viên đưa ra.
Trong bước này giáo viên cần phải hệ thống lại một cách rõ ràng các bước
giải cơ bản của mỗi loại bài tập để trên cơ sở đó học sinh có định hướng giải cho
từng loại.
1.2.3.2. Phát triển kỹ năng qua luyện tập theo mẫu có biến đổi
Khi học sinh đã nắm được các bước giải một dạng bài tập nào đó, giáo
viên sẽ cho học sinh làm dạng bài tập khác dạng bài tập mẫu ở một vài điều kiện
nào đó. Mức độ sai khác bài tập mẫu phải từ dễ đến khó để đa số học sinh có thể
giải được. Không nên cho bài tập khó ngay, sẽ dẫn đến tình trạng học sinh
vướng mắc không làm được, từ đó tạo nên tâm lý chán nản, không còn hứng thú
để suy nghĩ và làm bài tập.
1.2.3.3. Phát triển kỹ năng qua luyện tập để phối hợp các kỹ năng đã có
Ở bước này giáo viên đưa ra dạng bài tập tổng hợp, để giải được bài tập
này yêu cầu học sinh phải phối hợp nhiều kỹ năng đơn lẻ. Vì vậy việc thành thạo
các kỹ năng cơ bản sẽ giúp học sinh hình thành được các kỹ năng tổng hợp, trên
cơ sở nắm vững các kỹ năng cơ bản.
1.3. Mục đích, vai trò, ý nghĩa của bài tập toán trong trƣờng phổ thông
a. Mục đích
Một trong những mục đích dạy toán ở trường phổ thông là:

6
- Rèn luyện ở học sinh những năng lực và phẩm chất trí tuệ
- Làm cho học sinh nắm được một cách chính xác, vững chắc và có hệ
thống những kiến thức và kỹ năng toán học phổ thông cơ bản, hiện đại phù hợp
với thực tiễn và có năng lực vận dụng tri thức đó vào những tình huống cụ thể,

vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập các bộ môn khoa học khác.
b. Vai trò
Toán học có vai trò lớn trong đời sống, trong khoa học và công nghệ hiện
đại, kiến thức toán học là công cụ để học sinh học tốt các môn học khác, giúp
học sinh hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực.
Các - Mác nói: “Một khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó có thể sử
dụng được phương pháp của toán học”.
Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ
như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa
Rèn luyện những phẩm chất, đức tính của người lao động mới như: Tính
cẩn thận, chính xác, tính kỷ luật, khoa học, sáng tạo
c. Ý nghĩa
Ở trường phổ thông giải bài tập toán là hình thức tốt nhất để củng cố, hệ
thống hóa kiến thức và rèn luyện kỹ năng. Là một hình thức vận dụng kiến thức
đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào những vấn đề mới. Là hình
thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và khả năng
vận dụng kiến thức đã học.
Việc giải bài tập toán có tác dụng lớn trong việc gây hứng thú học tập cho
học sinh nhằm phát triển trí tuệ và góp phần giáo dục, rèn luyện con người học
sinh về nhiều mặt.
1.4. Nội dung hệ phƣơng trình trong chƣơng trình toán THPT
1.4.1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
a. Dạng tổng quát:
1 1 1
ax by c
a x b y c






trong đó:
22
22
11
a b 0
a b 0









7
b. Cách giải:
Cách 1: Sử dụng phƣơng pháp thế
+ Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho ta biểu diễn x theo y, hoặc
y theo x rồi thế vào phương trình còn lại để được phương trình bậc nhất một ẩn.
+ Bước 2: Giải phương trình bậc nhất một ẩn vừa có.
+ Bước 3: Kết luận nghiệm của hệ đã cho.
Cách 2: Sử dụng phƣơng pháp cộng đại số
+ Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu
cần) sao cho các hệ số của một ẩn x hoặc y trong hai phương trình của hệ bằng
nhau hoặc đối nhau.
+ Bước 2: Cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình của hệ đã cho để được
một phương trình bậc nhất một ẩn.
+ Bước 3: Giải phương trình bậc nhất một ẩn vừa thu được.

+ Bước 4: Kết luận nghiệm của hệ đã cho.
Cách 3: Sử dụng phƣơng pháp tính định thức
+ Bước 1: Tính
11
11
ab
D ab a b
ab
  


x 1 1
11
cb
D cb c b
cb
  


y 1 1
11
ac
D ac a c
ac
  

+ Bước 2: Xét các trường hợp:
 Nếu
D0
thì hệ đã cho có nghiệm (x,y) duy nhất với:

x
y
D
x
D
D
y
D










 Nếu
D0
thì ta xét các trường hợp của
xy
D , D

+ Nếu
x
y
D0
D0






thì hệ đã cho vô nghiệm.

8
+ Nếu
xy
D D 0
thì hệ đã cho có vô số nghiệm (x,y) với:

x
c ax
y
b








hoặc
y
c by
x
a










Cách 4: Sử dụng máy tính CASIO fx - 500 MS
Ta ấn liên tiếp các phím:
MODE

MODE

1

2

a


=

b


=

c

=

1
a


=

1
b


=

1
c


=

Thì trên màn hình hiện ra:
x 

Ấn tiếp phím “=” ta thấy màn hình hiện ra:
y 

Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai ta được nghiệm gần đúng
của hệ phương trình là:
x

y






1.4.2. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn
a. Dạng tổng quát:
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
  


  


  

trong đó:
2 2 2
1 1 1
2 2 2
2 2 2
2 2 2
3 3 3

a b c 0
a b c 0
a b c 0

  

  


  


b. Cách giải:
Cách 1: Sử dụng phƣơng pháp Gau - Xơ
Dùng phương pháp Gau - Xơ khử dần số ẩn của hệ phương trình đưa hệ
phương trình về dạng tam giác:
1 1 1 1
2 2 2
33
a x b y c z d
b y c z d
c z d
  








(II)
Từ đó giải hệ (II) tìm nghiệm
 
x;y;z
là nghiệm của hệ đã cho.
Để đưa hệ đã cho về hệ tam giác ta có thể thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với một số khác 0, sao
cho sau khi nhân thì một trong ba hệ số của phương trình thứ nhất phải bằng

9
hoặc đối với các hệ số của phương trình thứ hai.
+ Bước 2: Cộng hoặc trừ từng vế của phương trình thứ nhất và phương
trình thứ hai ta được một phương trình mới chỉ còn hai ẩn hoặc một ẩn: y, z hoặc
y hoặc z.
+ Bước 3: Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với một số khác 0, sao
cho sau khi nhân thì một trong ba hệ số của phương trình thứ nhất phải bằng
hoặc đối với các hệ số của phương trình thứ ba.
+ Bước 4: Cộng hoặc trừ từng vế của phương trình thứ nhất và phương
trình thứ ba ta được một phương trình mới chỉ còn hai ẩn hoặc một ẩn: y, z hoặc
y hoặc z.
+ Bước 5: Khi đó ta được một hệ phương trình mới dạng tam giác, chẳng hạn:

1 1 1 1
2 2 2
33
a x b y c z d
b y c z d
c z d
  









+ Bước 6: Giải hệ tam giác vừa tìm được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx - 500 MS
Ta ấn liên tiếp các phím:
MODE

MODE

1

2

1
a


=

1
b


=

1
c


=

1
d


=

2
a


=

2
b


=

2
c


=

2
d


=

3
a


=

3
b


=

3
c


=

3
d


=

Thì trên màn hình hiện ra:
x 

Ấn tiếp phím “=” ta thấy màn hình hiện ra:
y 

Ấn tiếp phím “=” ta thấy màn hình hiện ra:
z 


10
Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai ta được nghiệm gần đúng
của hệ phương trình là:
x
y
z









1.4.3. Hệ phương trình đối xứng loại 1
Hệ phương trình đối xứng loại 1 với x và y là hệ mà khi ta thay x bởi y và
thay y bởi x thì từng phương trình của hệ không thay đổi.
a. Dạng tổng quát:
f(x,y) 0

g(x,y) 0





(I) trong đó:
f(x,y) f(y,x)
g(x,y) g(y,x)






b. Cách giải:
Đặt:
S x y
P xy





khi đó ta đưa hệ (I) về hệ ẩn (S,P) tức là:
f(S,P) 0
g(S,P) 0






(II)
Giải hệ (II) tìm được S, P từ đó ta tìm được x, y với x, y là nghiệm của
phương trình:
2
X SX P 0  
(1). Phương trình (1) có nghiệm nếu:
2
S 4P 0

c. Chú ý:
+ Hệ (I) có nghiệm (x, y) khi và chỉ khi hệ (II) có nghiệm (S, P) thỏa mãn
điều kiện:
2
S 4P 0

+ Nếu
 
00
x ,y
là nghiệm của hệ thì
 
00
y ,x
cũng là nghiệm của hệ đã
cho.
1.4.4. Hệ phương trình đối xứng loại 2
Hệ phương trình gọi là đối xứng loại 2 đối với x, y nếu khi ta thay x bởi y
và thay y bởi x thì phương trình thứ nhất trở thành phương trình thứ hai và

ngược lại.
a. Dạng tổng quát:
f(x,y) 0
f(y,x) 0






b. Cách giải:
+ Bước 1: Cộng hoặc trừ từng vế tương ứng hai phương trình của hệ cho
nhau ta được một phương trình bậc nhất một ẩn.
+ Bước 2: Giải phương trình bậc nhất một ẩn vừa có.

11
+ Bước 3: Kết luận nghiệm của hệ đã cho.
1.4.5. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai
a. Dạng tổng quát:
22
1 1 1 1
22
2 2 2 2
a x b xy c y d
a x b xy c y d

  

  


b. Cách giải:
+ Bước 1: Thay
x0
hoặc
y0
vào hệ phương trình đã cho xem có
thỏa mãn không.
+ Bước 2: Với
x0
đặt
y tx
(hoặc
x ty
) ta được hệ phương trình:

2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
2 2 2 2
a x b tx c t x d
a x b tx c t x d

  

  

 
 
 

 
22
1 1 1 1
22
2 2 2 2
x a b t c t d 1
x a b t c t d 2

  



  



Khử x bằng cách chia tương ứng từng vế của phương trình (1) cho
phương trình (2) ta được một phương trình mới chỉ còn ẩn t, giải phương trình
tìm t từ đó tìm được x và y.
+ Bước 3: Kết luận nghiệm của hệ đã cho.
c. Chú ý: Đối với hệ mà vế trái là các biểu thức đồng bậc đối với x và y, vế phải
cũng là các biểu thức đồng bậc đối với x và y mà bậc của vế trái và vế phải khác
nhau thì ta vẫn giải theo các bước trên.
1.4.6. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai
a.Dạng tổng quát:
22
1 1 1 1
ax by c
a x b xy c y d




  


b.Cách giải: Dùng phƣơng pháp thế
+ Bước 1: Từ phương trình bậc nhất rút x theo y hoặc y theo x rồi thế vào
phương trình bậc hai khi đó phương trình bậc hai chỉ còn một ẩn.
+ Bước 2: Giải phương trình bậc hai một ẩn.
+ Bước 3: Kết luận nghiệm của hệ đã cho.
1.4.7. Hệ phương trình mũ, lôgarit, và hệ phương trình chứa căn thức.
Đối với các hệ phương trình này thường không có dạng tổng quát mà nó
có rất nhiều dạng nên đòi hỏi người học phải làm nhiều bài tập để có kỹ năng
lựa chọn phương pháp giải cho từng bài toán cụ thể sao cho phù hợp.

12
Sau đây là một số phương pháp:
+ Phương pháp biến đổi tương đương
+ Phương pháp đặt ẩn phụ
+ Phương pháp lôgarit hóa
+ Phương pháp hàm số
+ Phương pháp đồ thị
+ Phương pháp đánh giá
1.5. Thực trạng việc dạy và học hệ phƣơng trình ở một số trƣờng THPT
Tìm hiểu thực trạng việc dạy và học hệ phương trình ở một số trường
THPT, tôi đã tiến hành điều tra hai đối tượng giáo viên và học sinh của trường
THPT Đông Thụy Anh như sau:
- Giáo viên: Trường THPT Đông Thụy Anh
- Học sinh: Hai lớp 12
1

A
và 12
2
A

1.5.1. Điều tra đối với giáo viên
- Mục đích điều tra: Bước đầu tìm hiểu việc rèn luyện kỹ năng cho học
sinh thông qua việc dạy học các bài toán về hệ phương trình.
- Đối tƣợng điều tra: Giáo viên đang trực tiếp giảng dạy môn toán ở
trường THPT Đông Thụy Anh gồm 12 giáo viên.
Nhận xét: Qua bảng điều tra trên, nhìn chung tuổi nghề của các thầy cô
còn trẻ, thiếu nhiều kinh nghiệm giảng dạy mặc dù có trình độ đào tạo cao và
chất lượng giảng dạy đa số đạt loại khá giỏi, có những giáo viên đạt chất lượng
loại giỏi và danh hiệu giáo viên dạy giỏi các cấp. Tuy nhiên do phần lớn giáo
Tên
trường

Số
lượng
GV
Tuổi nghề
Hệ đào tạo
Trình độ chuyên môn
Dưới
14
năm
Từ 5
đến 10
năm
Trên

20
năm
Đại
học
Cao
đẳng
Giỏi
khá
Trung
bình
THPT
Đông
Thụy
Anh
12
5
5
2
12
0
6
6
0

13
viên mới ra trường tuổi nghề còn rất trẻ nên việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho
học sinh còn gặp nhiều hạn chế mặc dù những giáo viên trẻ đã tích cực giới
thiệu, khuyến khích học sinh giải hệ phương trình theo mức độ mềm dẻo, linh
hoạt, sáng tạo.
1.5.2. Điều tra đối với học sinh

- Mục đích điều tra: Bước đầu tìm hiểu thực trạng việc rèn luyện kỹ
năng giải toán của học sinh thông qua một số bài toán về hệ phương trình ở
trường THPT.
- Đối tƣợng điều tra: Học sinh lớp 12 ở hai lớp 12
1
A
(33 HS),
12
2
A
(35HS) thuộc trường THPT Đông Thụy Anh.
- Nội dung điều tra:
Qua bảng điều tra trên ta thấy đa số các em học sinh của trường có
phương pháp học tập truyền thống ít mang lại hứng thú học tập cho học sinh,
phần lớn các em đều biết làm và cũng có kỹ năng mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo.
Do đó giáo viên cần nắm bắt tình hình học sinh để có thể hướng dẫn kỹ hơn một
số kỹ năng giải hệ phương trình cho học sinh THPT để các em biết và vận dụng
giải các bài toán cụ thể.





Lớp
Mức độ
12
1
A

2

12A

Biết làm
18
20
thành thạo
10
9
Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo
5
6

14
CHƢƠNG 2
RÈN LUYỆN MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH CHO
HỌC SINH THPT
2.1. Giải pháp rèn luyện kỹ năng giải hệ phƣơng trình
Để rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình cần dựa vào mức độ và trình
độ kỹ năng giải bài tập toán học. Cụ thể là:
- Cần rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình ở các nội dung: Hệ phương
trình cơ bản, hệ phương trình tổng hợp có thuật giải và các cách biến đổi hệ
phương trình để đưa về các hệ phương trình quen thuộc có thuật giải.
- Mỗi loại trên cần rèn luyện ở ba mức độ:
+ Mức độ biết làm: Nắm được quy trình giải hệ phương trình cơ bản nào
đó tương tự như bài tập mẫu nhưng chưa nhanh.
+ Mức độ thành thạo: Giải nhanh, ngắn gọn, chính xác theo cách giải như
bài tập mẫu.
+ Mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Đưa ra được cách giải ngắn gọn,
độc đáo, khác lời giải mẫu do biết vận dụng vốn kiến thức kỹ năng, kỹ xảo
không chỉ với những bài toán cơ bản mà với cả bài toán mới.

2.2. Rèn luyện kỹ năng giải hệ phƣơng trình cơ bản
2.2.1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
a. Mức độ biết làm:
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:
x y 3 (1)
3x 4y 2 (2)






Hướng dẫn giải: Đây là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nên có thể sử
dụng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp tính định
thức để giải.
Giải
Cách 1: Dùng phương pháp thế
Từ phương trình (1) rút
x 3 y
thế vào phương trình (2) ta được:
3(3 y) 4y 2  


15

9 3y 4y 2   


y7

Khi đó ta được hệ phương trình:
x 3 y x 10
y 7 y 7
  






Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: (10; 7)
Cách 2: Dùng phương pháp cộng đại số
Nhân hai vế của phương trình (1) với 3 khi đó ta được hệ phương trình
sau:
3x 3y 9
3x 4y 2










y7

Thay
y7

vào phương trình (1) ta được:
x 7 3 x 10   

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: (10; 7)
Cách 3: Dùng định thức
Ta có:
11
D1
34

  

;
x
31
D 10
24

  

;
y
13
D7
32
  

Ta thấy
D 1 0   
Hệ đã cho có nghiệm duy nhất:

x
D
x 10
D

;
y
D
y7
D


Vậy nghiệm của hệ đã cho là: (10; 7)
b) Mức độ thành thạo
Ví dụ: Cho hệ phương trình:
2
x 2ay b (1)
ax (1 a)y b (2)



  

, (a, b là tham số)
Tìm b để hệ có nghiệm với mọi a thuộc .
Hướng dẫn giải: Để giải ví dụ trên, có thể sử dụng phương pháp thế,
phương pháp cộng đại số, phương pháp tính định thức.
Giải
Cách 1: Dùng phương pháp thế

Từ phương trình (1) rút
x b 2ay
thế vào phương trình (2) ta được :

16

2
a(b 2ay) (1 a)y b   


22
ab 2a y y ay b    


22
(1 a 2a )y b ab    


2
(1 a 2a )y b(b a)    
(*)
+ Nếu
2
1 a 2a 0  
a1
1
a
2









thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất
2
b(b a)
y
1 a 2a



thay vào biểu thức
x b 2ay
ta được:
2
b(1 a 2ab)
x
1 a 2a





Hệ đã cho có nghiệm duy nhất với
b

+ Nếu

2
a1
1 a 2a 0
1
a
2



   




thì phương trình (*) có dạng :

0y b(b 1)
và
1
0y b b
2





Khi đó để hệ có nghiệm thì:
b(b 1) 0
1
b b 0

2










b0
b1
b0
1
b
2





















b0

Vậy với
b0
thì hệ đã cho có nghiệm với
a

Cách 2 : Dùng định thức
Ta tính:

22
1 2a
D (1 a) 2a 2a a 1
a (1 a)
       



22
x
2
b 2a
D b(1 a) 2ab 2ab ab b

b (1 a)
       



2
y
2
1b
D b ab
ab
  


17
+ Nếu
2
a1
2a a 1 0
1
a
2



    





thì
D0
với
b


Hệ có nghiệm duy nhất với
b

+ Nếu
2
a1
2a a 1 0
1
a
2



    




thì
D0

 Với
a1
ta có:

2
x
2
y
D 2b 2b
D b b








Khi đó để hệ có nghiệm thì:
2
x
2
y
D0
2b(b 1) 0 b 0
2b 2b 0
D0
b(b 1) 0 b 1
b b 0

  





  
  


   





 Với
1
a
2

ta có:
2
x
2
y
1
D b b
2
1
D b b
2

  









Khi đó để hệ có nghiệm thì:
2
x
2
y
1
1
b b 0
b0
b b 0
D0
2
2
1
D0
1
b
1
b b 0
b b 0
2
2
2






  






   

  
  

















Kết hợp lại: Vậy với
b0
thì hệ đã cho có nghiệm với
a

c) Mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
   
2
2
P x my 2 4x 2 m 2 y 1      


, với m là tham số.
Hướng dẫn giải : Ta thấy
 
 
2
2
x my 2 0
4x 2 m 2 y 1 0

  


   





với
x,y
. Do
đó
P0
với
x,y
, từ đó ta giải ví dụ trên như sau:


18
Giải
Ta có:
 
 
2
2
x my 2 0
4x 2 m 2 y 1 0

  


   






P0
với
x,y

+
x my 2 0 x my 2 (1)
P0
4x 2(m 2)y 1 0 4x 2(m 2)y 1 (2)
    

  

      


Đây là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nên có thể sử dụng phương pháp
thế để giải như sau:
Từ phương trình (1) rút
x 2 my
thế vào phương trình (2) ta được:

4(2 my) 2(m 2)y 1   


8 4my 2my 4y 1 0     


2my 4y 7 0    

(2m 4)y 7  
(*)
+ Nếu
2m 4 0 m 2    
thì phương trình (*)
7
y
2m 4



Thay
7
y
2m 4


vào biểu thức
x 2 my
ta được:
3m 8
x
2m 4




Khi đó: min P = 0 tại (x, y)

+ Nếu
2m 4 0 m 2    
thì phương trình (*)
0y 7
(vô nghiệm)

Hệ đã cho vô nghiệm
Khi đó:
2 2 2 2
P (x 2y 2) (4x 8y 1) [(x 2y) 2] [4(x 2y) 1]           

Đặt
t x 2y
ta được:
22
P (t 2) (4t 1)   


22
t 4t 4 16t 8t 1     


2
17t 12t 5  


2
2
2
6 6 36

17 t 2. 5
17 17 17

    




2
6 49 49
17 t , t
17 17 17

    




19
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi:
6 6 6
t 0 t x 2y
17 17 17
      

Suy ra:
49
minP
17


tại (x, y) thỏa mãn:
6
x 2y
17


Vậy:
+ Nếu
m2
thì
minP 0

+ Nếu
m2
thì
49
minP
17


2.2.2. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn
a) Mức độ biết làm
Ví dụ: Giải hệ phương trình:
x 3y 2z 8
2x 2y z 6
3x y z 6
  


  



  


Hướng dẫn giải : Đối với các hệ phương trình ở dạng này học sinh thường
sử dụng máy tính CASIO để giải, tuy nhiên đối với các hệ mà hệ số của x, y có
chứa tham số thì không thể áp dụng phương pháp trên được. Vì vậy để không
làm mất tính tổng quát ta giải ví dụ trên bằng phương pháp Gau - Xơ đưa hệ đã
cho về hệ tam giác như sau :
Giải
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2 rồi trừ phương trình thứ hai
theo từng vế tương ứng ta được:

2x 6y 4z 16
2x 2y z 6
  



  





4y 3z 10

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3 rồi trừ phương trình thứ hai
theo từng vế tương ứng ta được:

3x 9y 6z 24
3x y z 6
  



  





8y 5z 18

Khi đó ta được hệ phương trình đã khử x ở hai phương trình cuối là: