Các thuật toán cơ bản trong thông tin lượng tử

1


LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Thái Hoa,
người đã tận tình chỉ dạy, cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng, trực tiếp
để tôi hoàn thành bài luận văn này. Thầy cũng là người đã giúp tôi ngày càng
tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng
thầy.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô ở phòng Sau Đại Học,
trong Khoa Vật Lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư, Tiến sĩ
đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quí báu về chuyên
môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua.
Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân
trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi
trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này.
Hà Nội, tháng 10 năm 2010


Nguyễn Minh Vương








2

LỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là : Nguyễn Minh Vương, học viên cao học khóa 2008 – 2010,
chuyên nghành Vật lý lý thuyết và vật lý toán – Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2.
Tôi xin cam đoan đề tài: “Các thuật toán cơ bản trong thông tin lượng tử
”, là kết quả nghiên cứu, thu thập của riêng tôi. Các luận cứ, kết quả thu được
trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giả khác. Nếu có gì không
trung thực trong luận văn tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng
khoa học.

















Hà Nội, tháng 10 năm 2010
Tác giả

Nguyễn Minh Vương
3

MỤC LỤC Trang
Lời cảm ơn 1
Lời cam đoan 2
Mục lục 3
Mở đầu 5
Nội dung 7
Chương 1: Giới thiệu và các khái niệm cơ bản về thông tin lượng tử 7
1.1. Giới thiệu 7
1.2. Các khái niệm cơ bản 13
1.2.1. Bit lượng tử 13
1.2.2. Rối lượng tử 19
1.2.3 Trạng thái kết hợp 21
1.2.4. Qubit dưới dạng chồng chập của hai trạng thái kết hợp 26
Chương 2. Các thuật toán cơ bản trong thông tin lượng tử 31
2.1. Giới thiệu 31
2.2. Tiền đề 34
2.2.1. Thuật toán Deutsch 34
2.2.2. Thuật toán Deutsch-Josza 36
2.2.3. Thuật toán Simon 39
2.3. Thuật toán phân tích thành thừa số Shor 41
2.3.1. Rút gọn từ phân tích thành việc tính toán thời gian 41
2.3.2. Thực thi QFT 43
2.3.3. Thuật toán Shor cho việc tính toán thời gian 44
2.4. Thuật toán Grover 46
2.5. Những thuật toán khác 48

2.5.1 Vấn đề nhóm phụ ẩn 48
2.5.2 Thuật toán nghiên cứu 50
4

2.5.3 Những thuật toán khác 51
2.6. Những phát triển gần đây 52
2.6.1. Bước lượng tử 52
2.6.2. Thuật toán lượng tử đoạn nhiệt 54
Chương 3. Một số vấn đề và các giải pháp về thuật toán trong
thông tin lượng tử 57
3.1. Vấn đề 1 57
3.2. Vấn đề 2 58
3.3. Vấn đề 3 60
3.4. Vấn đề 4 62
3.5. Vấn đề 5 64
3.6. Vấn đề 6 66
Kết luận 69
Tài liệu tham khảo 70

5

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong hơn hai thập kỉ qua, khoa học thông tin lượng tử đã trở thành một
trong những lĩnh vực thu hút được nhiều sự quan tâm nhất của các nhà khoa
học. Nó được xem là một lĩnh vực mới có khả năng tạo ra sự đột phá mạnh
mẽ trong lĩnh vực khoa học và kỹ thuật có liên quan đến sự tính toán, thông
tin liên lạc, phép đo chính xác và khoa học lượng tử cơ bản.
Lý thuyết thông tin cổ điển do Claude Shanon phát minh ra cách đây
hơn 50 năm đã phát triển và trở thành một trong những nhánh sai quả và đẹp
nhất của ngành toán học. Hiện nay, nó thật sự là một lý thuyết không thể thiếu
trong lĩnh vực công nghệ thông tin, bất cứ ở đâu mà thông tin được lưu trữ và
xử lý.
Mặc dù đã có những thành công không thể nào phủ nhận được song
thông tin cổ điển vẫn còn tồn tại rất nhiều hạn chế do nó chỉ bám rễ trong
phạm vi của vật lý cổ điển. Chính vì vậy, việc nghiên cứu và áp dụng lý
thuyết lượng tử vào việc xử lý thông tin luôn thôi thúc các nhà khoa học,và
gần đây, nó đã mang lại nhiều thành công đáng kinh ngạc.
Vì thế, việc tìm hiểu và nghiên cứu về khoa học thông tin lượng tử là
một việc làm rất hợp thời đại. Đó cũng là lý do để tôi chọn đề tài “Các thuật
toán cơ bản trong thông tin lượng tử”. Nó sẽ giúp bản thân tôi có cái nhìn
sâu sắc hơn về thông tin lượng tử.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về các thuật toán cơ bản trong thông tin lượng tử.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Các khái niệm cơ bản, các thuật toán thông dụng dùng trong thông tin
lượng tử. Các vấn đề và giải pháp.

6

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Các thuật toán trong thông tin lượng tử.
5. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp nghiên cứu của Vật lý lý thuyết và vật lý toán.
6. Cấu trúc luận văn
Chương 1. Giới thiệu và các khái niệm cơ bản về thông tin lượng tử
Chương 2. Các thuật toán cơ bản trong thông tin lượng tử
Chương 3. Một số vấn đề và các giải pháp về thuật toán trong thông
tin lượng tử


















7

NỘI DUNG
CHƯƠNG 1.
GIỚI THIỆU VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THÔNG TIN
LƯỢNG TỬ
1.1 Giới thiệu
Trong hơn hai thập kỉ qua, khoa học thông tin lượng tử đã trở thành
một trong những lĩnh vực thu hút được nhiều sự quan tâm nhất của các nhà
khoa học. Nó được xem là một lĩnh vực mới có khả năng tạo ra sự đột phá
mạnh mẽ trong lĩnh vực khoa học và kỹ thuật có liên quan đến sự tính toán,
thông tin liên lạc, phép đo chính xác và khoa học lượng tử cơ bản. Lĩnh vực
này xuất hiện kể từ lúc một số nhà khoa học tiên phong như Charles Bennett,
Paul Benioff, Richard Feynman và những người khác bắt đầu nghĩ đến việc
áp dụng trực tiếp cơ học lượng tử trong các tính toán và xử lý thông tin.
Lý thuyết thông tin cổ điển do Claude Shanon phát minh ra cách đây
hơn 50 năm đã phát triển và trở thành một trong những nhánh sai quả và đẹp
nhất của ngành toán học. Hiện nay, nó thật sự là một lý thuyết không thể thiếu
trong lĩnh vực công nghệ thông tin, bất cứ ở đâu mà thông tin được lưu trữ và
xử lý. Mặc dù đã có những thành công không thể nào phủ nhận được song
thông tin cổ điển vẫn còn tồn tại rất nhiều hạn chế do nó chỉ bám rễ trong
phạm vi của vật lý cổ điển. Chính vì vậy, việc nghiên cứu và áp dụng lý
thuyết lượng tử vào việc xử lý thông tin luôn thôi thúc các nhà khoa học,và
gần đây, nó đã mang lại nhiều thành công đáng kinh ngạc. Kể từ năm 1990,
Khi Max Planck đề xuất giả thuyết về tính gián đoạn của bức xạ điện từ phát
ra từ các vật - giả thuyết lượng tử - để giải thích những kết quả thực nghiệm
về bức xạ nhiệt của vật đen thì vật lý học lượng tử đã ra đời. Sự xuất hiện của
vật lý lượng tử và thuyết tương đối lả cuộc cách mạng của ngành vật lý học
vào cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20 và là cơ sở khoa học của nhiều ngành
8

công nghệ cao như công nghệ cao như công nghệ điện tử và vi điện tử, công
nghệ viễn thông, công nghệ quang tử, công nghệ tự động hoá, công nghệ
thông tin…. Có thể nói rằng, cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết
thành công nhất của thế kỷ 20. Theo cơ học lượng tử, những hệ vi mô có các
tính chất khác hẳn so với các hệ vĩ mô. Ví dụ, các đối tượng lượng tử có thể ở
nhiều trạng thái cùng một lúc. Hai đối tượng tách biệt nhau hoàn toàn vẫn có
thể bị rối với nhau, có nghĩa là chúng phản ứng đồng thời với các thí nghiệm
riêng biệt dù chúng có ở xa nhau thế nào đi nữa. Ngoài ra, cơ học lượng tử
cũng đã được xác minh bằng thực nghiệm: những tiên đoán của nó chưa bao
giờ sai dù nó có kỳ lạ như thế nào đi chăng nữa. Thật ra, trong thời kỳ đầu đã
có rất nhiều nhà tiên phong của cơ học lượng tử cho rằng nó là một lý thuyết
không đầy đủ. Đại diện cho số đó chính là Albert Einstein, người đã không
đồng ý về tính xác suất trong cơ học lượng với câu nói: “Chúa không chơi xúc
xắc”. Đặc biệt, năm 1935 Einstein, Podolsky và Rosen đã nêu ra nghịch lý
EPR [22], cho rằng cơ học lượng tử là không đầy đủ. Phải đợi tới 30 năm sau,
năm 1964, Bell mới đưa ra được một bất đẳng thức (sau này gọi là bất đẳng
thức Bell) cho phép kiểm tra bằng thực nghiệm nghịch lý này [13].
Những nghiên cứu mới về cơ học lượng tử trong thời gian gần đây đã
và đang hướng đến một lĩnh vực mới. Khoa học thông tin lượng tử. Việc áp
dụng vật lý lượng tử và công nghệ thông tin có thể làm thay đổi hẳn cách
chúng ta giao tiếp và xử lý thông tin. Điều mấu chốt khi tìm hiểu lĩnh vực này
là sự tách biệt rõ ràng giữa dấu hiệu hàng ngày của thông tin cổ điển và bản
đối ứng lượng tử kém trực giác của nó. Thông tin cổ điển có thể bị đọc và sao
chép lại y nguyên mà không hề để lại một dấu vết nào về sự đọc trộm và sao
chép đó. Trong khi đó, thông tin lượng tử không thể nào sao chép được
nguyên vẹn và bất cứ một sự đọc trộm nào đều có thể bị phát hiện. Đây là một
đặc điểm rất quan trọng của cơ học lượng tử mà có thể được tận dụng để trao
9

đổi thông tin một cách hoàn toàn tuyệt mật. Các trạng thái rối lượng tử còn có

thể tạo ra một mức độ song song trong tính toán cao hơn hẳn một máy tính có
kích thước bằng cả vũ trụ. Đó là các tính toán được thực hiện một cách hoàn
toàn mới, gọi là tính toán lượng tử.
Trong lý thuyết thông tin cổ điển, đại lượng cơ bản của thông tin là bit,
còn trong thông tin lượng tử thì đại lượng cơ bản của nó là bit lượng tử, còn
được gọi qubit, thuật ngữ này đã được Ben Schuhmacher đưa ra năm 1995.
Nói chung, thông tin lượng tử được xem như là sự tổng quát hoá hay sự mở
rộng của thông tin cổ điển. Bất kỳ một hệ lượng tử nào cũng có thể được xem
như là một qubit nếu nó được xác định bởi hai trạng thái độc lập tuyến tính
với nhau. Các photon phân cực, các hạt có spin 1/2, các nguyên tử hai mức,
các cấu trúc chấm lượng tử kép,…đều có thể sử dụng như các qubit. Ngoài ra
còn có thể sử dụng cả các đặc trưng ngoại như hai hướng truyền khác nhau
của một hạt như là các qubit.
Năm 1985 David Deutsch đã giới thiệu về máy tính lượng tử và cho
thấy rằng lý thuyết lượng tử có thể giúp các máy tính thực hiện công việc
nhanh hơn rất nhiều. Trong khi các máy tính số ngày nay xử lý thông tin cổ
điển được mã hoá theo các bit thì máy tính lượng tử lại xử lý thông tin lượng
tử theo các qubit. Máy tính lượng tử có thể được sử dụng để thực thi những
nhiệm vụ rất khó thực hiện đối với máy tính số thông thường. Ví dụ, các siêu
máy tính số ngày nay phải mất một thời gian dài hơn cả tuổi thọ của vũ trụ để
có thể tìm ra được các thừa số nguyên tố của một số nguyên lớn có khoảng
vài trăm chữ số, trong khí đó các máy tính lượng tử có thể thực hiện nhiệm vụ
này trong khoảng chưa đầy một giây.
Những phát triển gần đây của lý thuyết thông tin lượng tử đã đem lại
rất nhiều sự tiến bộ trong sự hiểu biết cơ học lượng tử và khả năng ứng dụng
rộng rãi vào công nghệ tương lai. Những hứa hẹn về các ngành công nghệ
10
mới như: Tính toán lượng tử [27,41,31], Viễn chuyển lượng tử [13], Mật mã
lượng tử [40], Hội thoại lượng tử [37], Kiểm tra lượng tử [38], Viễn tác các
toán tử [39],….đã thu hút được rất nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học.

Những nhà phát minh ra cơ học lượng tử chắc không thể ngờ rằng các trạng
thái rối lượng tử lại có thể có những công dụng to lớn đến như thế. Vậy mục
đích quan trọng trong lý thuyết thông tin lượng tử là làm thế nào để tạo ra,
định lượng và sử dụng rối lượng tử, đó không chỉ là bản chất của cơ học
lượng tử mà còn là nguồn tài nguyên không thể thay thế được cho việc xử lý
thông tin lượng tử.
Những công nghệ thông tin lượng tử được mong đợi là có thể khắc
phục được những hạn chế còn tồn tại của công nghệ thông tin cổ điển. Những
ý tưởng tính toán lượng tử xuất phát từ việc cho rằng các máy tính thực chất
là các hệ vật lý và các quá trình tính toán là các quá trình vật lý. Việc tăng gấp
đôi lượng tranzito trên một mạch tích hợp cứ sau mỗi 18 tháng trong suốt 30
năm qua đã khẳng định dự đoán của Moore [44]. Đến một thời điểm nào đó
thì việc áp dụng các quy luật cơ học lượng tử để xử lý thông tin trong tính
toán là không thể tránh khỏi. Năm 1980, lần đầu tiên Feynman nhận thấy rằng
các hiệu ứng cơ học lượng tử bất kỳ không thể nào mô phỏng được một cách
hiệu quả bởi một máy tính cổ điển [27]. Năm 1990, người ta thấy rằng sự
song song lượng tử dựa trên đặc trưng của quá trình tiến hoá Unita (quá trình
U) có thể làm tăng tốc độ tính toán một cách đáng kể trong các bài toán như
phân tích một số nguyên lớn ra thừa số nguyên tố [41] hay dò tìm dữ liệu
[31],… Các công nghệ thông tin liên lạc và mật mã cũng đã được khám phá
dựa trên cơ học lượng tử. Sự phân bố khoá lượng tử cho phép sự liên lạc tuyệt
mật mà điều này không bao giờ có thể thực hiện được theo các giao thức cổ
điển như hiện nay. Tính chất không định xứ của cơ học lượng tử dẫn đến một
hiện tượng vô cùng kỳ lạ đó là “Viễn thông lượng tử”. Bằng viễn chuyển
11
lượng tử, một trạng thái lượng tử chưa biết bất kỳ bị phá huỷ ở một nơi và
một bản sao hoàn hảo của nó lại xuất hiện một nơi rất xa khác. Dù đã có rất
nhiều thành công đáng kinh ngạc về lĩnh vực này trong thời gian qua nhưng
vẫn còn quá xa trước khi hiện thực hoá việc xử lý thông tin lượng tử trong các
ứng dụng thực tiễn. Đối với tính toán lượng tử, các nhà nghiên cứu phải tìm

một hệ qubit vật lý có thể đo được, một tập hợp các hoạt động cổng và các
phương pháp xuất/ nhập qubit. Hơn thế nữa, các lỗi không thể tránh khỏi xảy
ra sự phá vỡ kết hợp dòi hỏi các phương pháp sửa lỗi [12] là rất cần thiết. Đến
nay, cũng đã có nhiều nghiên cứu khác nhau về sự thực thi của một máy tính
lượng tử dựa vào cộng hưởng từ nhật nhân (NMR), bẫy ion, hệ các trạng thái
rắn và quang. Những minh hoạ gần đây nhất về tính toán lượng tử chỉ mới
giới hạn 7 qubit, có nghĩa là chúng vẫn đang ở một mức độ cơ bản. Năm
1998, Chuang đã báo cáo về sự hiện thực hoá 2 qubit của một thuật toán
lượng tử cơ bản (thuật toán Deustch - Jozsa), ông đã thu được bằng cách sử
dụng công nghệ khối NMR. Trong cùng năm đó và năm tiếp theo, cũng đã có
một số minh hoạ thực nghiệm tương tự, ví dụ như Jones và Mosca đã tạo
được một thiết bị 2 qubit dựa trên chất lỏng, trong đó 2 qubit được tích trữ
trong các spin hạt nhân của các nguyên tử Hydro; Vandersypen cùng các cộng
sự đã phát triển một số thiết bị 7 qubit bằng cách sử dụng NMR để minh hoạ
thuật toán thừa số hoá Shor trong năm 2000. Năm 2003, đã có một số nhà
nghiên cứu lạc quan như Stonechm tin rằng ông có thể tạo ra một chiếc máy
tính lượng tử dựa trên nghiên cứu vật liệu silic đến năm 2010. Trong hơn 20
năm qua, nhiều thí nghiệm quang học cũng đã chứng tỏ các hiệu ứng không
định xứ trong phòng thí nghiệm và gần đây là trong sợi quang dài 10km. Gần
đây nhất, Aspelmayer cùng các cộng sự đã chứng minh rằng rối của sự phân
cực photon có thể thu được trong không gian tự do trên khoảng 600m. Mật
mã lượng tử được xem như là một trong những ứng dụng thông tin lượng tử
12
đầy hứa hẹn cho sự thương mại hoá thành công trong tương lai không xa. Tuy
vẫn còn nhiều hạn chế của các thiết bị vật lý và bao gồm cả các nguồn nhiễu
nữa nhưng các tiến bộ về mặt thực nghiệm đáng chú ý đã được tạo ra kể từ
khi mật mã lưộng tử ban đầu hơn 32 cm được thực hiện . Trong năm 2003,
Shields và các cộng sự đã có thể minh họa mật mã lượng tử trên các sợi quang
học dài hơn 100km đủ để có thể bao phủ cả một vùng dân cư. Theo các
phương tiện thông tin đại chúng thì chúng ta có thể tìm thấy được các sản

phẩm mật mã lượng tử thương mại trên thị trường trong thời gian không xa
nữa.
Xử lý thông tin lượng tử là một lĩnh vực mới, rộng lớn và có tính bao
quát. Trong luận văn này chúng tôi sẽ nghiên cứu một khía cạnh của nó là
“Các thuật toán cơ bản trong thông tin lương tử”. Như chúng ta đã biết, thông
tin lượng tử được mã hoá trong các photon đơn có thể truyền đi rất nhanh do
các photon chuyển động với tốc độ rất cao và có khả năng chống lại sự phá vỡ
kết hợp. Tuy nhiên, các cổng hai photon hầu như rất khó thực thi được do sự
tương tác vô cùng yếu giữa các photon riêng biệt. Thêm vào đó, các nguồn
photon đơn hiện nay vẫn chưa có thể tạo ra được. Cách đơn giản nhất để khắc
phục hạn chế này là mã hoá thông tin lượng tử theo các trạng thái của trường
đa photon bởi vì các trường như thế này tương tác với nhau mạnh hơn rất
nhiều. Do đầu ra của các laser ổn định được mô tả rất tốt bởi các trạng thái kết
hợp nên việc mã hoá thông tin theo sự chồng chập của các trạng thái kết hợp
là rất thuận tiện. Thay vì các qubit người ta đưa vào khái niệm qubit logic
được định nghĩa như sau

x y
    
(1.1)
Trong đó
2
/2
n
n 0
e ( ) n / n!

 

  


là hai trạng thái kết hợp cùng biên
độ phức

nhưng có pha ngược nhau và x, y là các hệ số chuẩn hoá. Khi
13
thông tin lượng tử được mã hoá theo các trạng thái biến liên tục được mô tả
bởi một không gian Hilbert có số chiều xác định thì một qubit logic (1.1) là
một vector trong khôn gigan Hilbert hai chiều nhận vector trạng thái độc lập
tuyến tính {
,
 
}làm hệ vector cơ sở. Chú ý rằng, mặc dù

và

không trực giao nhau nhưng tích phân xen phủ của chúng là
2
exp( 2 ) 

lại bị triệt tiêu nhanh khi tăng

.
Đã có rất nhều giao thức dựa trên trạng thái kết hợp về chiết rối lượng
tử. tạo rối đối xứng từ xa, tính toán lượng tử, sửa lỗi lượng tử, kiểm tra tính
lượng xứ lượng tử,…Enk và Hirota là những người đầu tiên đề xuất ra sơ đồ
để viễn chuyển một qubit logic có dạng (1.1) với các hệ số x,y bất kỳ chưa
biết bằng cách sử dụng các thiết bị quang học tuyến tính như các bộ tách
chùm, các bộ dịch pha, các máy đếm photon chính xác. Gần đây cũng đã có
các sơ đồ khác được thiết kế có sử dụng các thiết bị quang phi tuyến [39,40].

Những sơ đồ này không cần các máy đếm photon chính xác nhưng lại cần
một yếu tố khác như bộ điều chế pha chéo, là một môi trường phi tuyến Kerr
[41]. Khi hai mode truyền qua môi trường này sẽ có một sự dịch pha giữa
chúng, tuy nhiên số photon của chúng thì lại không thay đổi.
Các trạng thái kết hợp mai mode có dạng tổng quát là

 
1 2 3 4
12
12
N a , a , a , a ,            

trong đó

   
2 2
4
2
2 4
2 * * * * * *
1 1 3 2 4 1 2 3 4 1 4 2 3
i 1
N a 2e RE a a a a a a a a 2e RE a a a a .
   


      


1.2 Các khái niệm cơ bản

1.2.1. Bit lượng tử
Đơn vị cơ bản của thông tin cổ điển là bit. Một bit có thể nhận hai giá
trị hoặc là 0 hoặc 1 và chứa lượng thông tin nhỏ nhất. Một bit có thể được
14
hiện thực hoá trong một hệ vật lý đơn giản ví dụ như một tín hiệu điện “tắt’
hoặc “mở”. Quá trình sử lý thông tin cổ điển liên quan đến việc làm thế nào
để lập mã, giải mã, lưu trữ, truyền và bảo mật thông tin cổ điển mà trong đó
nó được mô tả bởi các bit theo những cách có hiệu quả. Shannon, trong công
trình đầu tiên của mình, đã giải quyết vấn đề làm sao để giải nén và truyền
một cách đáng tin cậy thông tin cổ điển [46]. Về nguyên tắc, thông tin mã hoá
bởi các bit có thể đọc trộm mà không ai biết hoặc sao chép ra bao nhiêu bản
cũng được mà không hề để lại dấu vết gì trên nguyên bản.
Cơ học lượng tử sử dụng hai công cụ chủ yếu để mô tả tự nhiên: các đại
lượng vật lý quan sát được và các véctơ trạng thái. Mỗi đại lượng vật lý ứng
với một toán tử Hermitic. Giá trị đo được của đại lượng vật lý tuỳ thuộc vào
việc nó được đo trong véctơ trạng thái nào. Khác với vật lý cổ điển, vật lý
lượng tử cho phép một sự chồng chập tuyến tính ( hay tổ hợp tuyến tính) của
nhiều trạng thái khả dĩ khác nhau. Chúng ta hãy xét một hạt lượng tử A và giả
sử rằng
1
x
biểu diễn trạng thái của hạt ở xung quanh vị trí x
1
,
2
x
biểu diễn
trạng thái của hạt ở xung quanh vị trí x
2
. Ví dụ, chúng ta có thể giả sử hai

giếng thế hệ riêng biệt như hình được vẽ ở hình 1.1. Trong đó, các trạng thái
1
x
và
2
x
có thể được xem là các bó sóng Gauss.
Trong khi một hạt cổ điển chỉ có thể ở trong giếng thế này hoặc giếng thế
kia thì một hạt lượng tử có thể ở trong trạng thái chồng chập của hai trạng thái
cho đến lúc một phép đo được thực hiện để tìm ra vị trí của nó. Một trong các
trạng thái chồng chập tuyến tính nơi mà hạt A có thể ở đó là
i
1 2
1
( x e x ,
2


(1.2)
trong đó
1/ 2
là thừa số chuẩn hoá và

là thừa số pha. Mỗi lần chúng ta đo
toạ độ của hạt A thì xem thật sự nó ở đâu thì trạng thái (1.2) sẽ xẹp xuống và
15
hạt A sẽ được tìm thấy xung quanh x
1
hoặc x
2

với xác suất bằn nhau và bằng
1/2.


Hình 1.1: Sơ đồ về sự chồng chập tuyến tính của hai bó sóng Gauss trong
một giếng thế kép. Một hạt cổ điển phải ở một trong hai giếng thế vào một
thời điểm nào đó nhưng một hạt lượng tử thì có thể ở trong một sự chồng
chập của hai trạng thái khác nhau giống như (c).

Một trong những điểm đáng chú ý của trạng thái chồng chập (1.2) là sự giao
thoa giữa các trạng thái
1
x
và
2
x
có thể ảnh hưởng đến sự phân bố xác
suất của phép đo toạ độ lên trạng thái (1.2). Mức độ giao thoa thay đổi tuỳ
theo giá trị của

. Biểu thức (1.2) không có nghĩa rằng hạt A hoặc là ở xung
quanh x
1
hoặc là ở xung quanh x
2
và xác suất của chúng là bằng nhau như
một trường hợp của hỗn hợp thống kê: Một trạng thái tương ứng với một
16
trạng thái trộn của
1

x
và
2
x
với các xác suất bằng nhau được mô tả bởi
một toán tử mật độ 1/2
 
1 1 2 2
x x x x

, hạt A cũng không ở một nơi nào
đó giữa x
1
và x
2
. Cũng thật nguy hiểm khi nói rằng hạt A đồng thời ở cả xung
quanh x
1
và x
2
tại cùng một thời điểm. Nó thật rộng bởi vì chẳng ai có thể xác
minh được nó nếu không tiến hành một phép đo trực tiếp. Đã có một số ví dụ
nghịch lý để minh hoạ tính chất kỳ lạ này. Nghịch lý con mèo của
Schrödinger cho thấy sự mô tả của cơ học lượng tử về tự nhiên kỳ lạ như thế
nào khi nó được áp dụng vào các hệ vât lý vĩ mô. Thí nghiệm hai khe hẹp giải
thích hiệu ứng giao thoa của một hạt lượng tử đơn trong một trạng thái chồng
chập. Nghịch lý của Hardy minh hoạ cách mà một sự chồng chập lượng tử tạo
ra một kết quả vô nghĩa khi kể đến sự tương tác giữa vật chất và phản vật
chất. Những ví dụ này đều cho thấy làm thế nào mà một sự chồng chập lượng
tử của hai trạng thái

A
và
B
có thể dẫn đến một kết quả thực nghiệm thứ
ba do sự giao thoa lượng tử mà không bao giowd thu được từ
A
,
B
giống
như từ hỗn hợp cổ điển của
A
và
B
. Những hiệu ứng này (ví dụ như vân
giao thoa trong thí nghiệm hai khe hẹp) biến mất khi bất kỳ một phép đo nào
được thực hiện để theo dõi tiến trình của một hiện tượng lượng tử. Vẫn còn
rất nhiều tranh luận về nguồn gốc của sự kỳ lạ này bao gồm cả những nỗ lực
thực nghiệm để chấm dứt những tranh luận này.
Nguyên tắc chủ yếu của vật lý lượng tử gợi mở việc đưa ra một khái
niệm mới về đơn vị của thông tin lượng tử, gọi là bit lượng tử (tức “quantum
bit” hay viết tắt là qubit). Một qubit được định nghĩa như là một chồng chập
của hai trạng thái giá trị, một cho giá trị 0 và một cho giá trị 1. Nó không phải
là một trường hợp của một hỗn hợp thống kê của 0 và 1, cũng không phải là
một giá trị trung gian của cả hai trạng thái này. Qubit được định nghĩa trong
một không gian Hilbert hai chiều H có véctơ cơ sở trực chuẩn:
17

 
0 , 1
,

ij
i j
 
. (1.3)
Một trạng thái qubit được biểu diễn như sau
a 0 b 1  
(1.4)
là sự chồng chập tuyến tính của hai trạng thái cơ bản với các số phức a và b
bất kỳ.

Hình 1.2: Sơ đồ về các bit và bit lượng tử. Trong khi một bit chỉ chiếm
một trong hai cực tương ứng với 0 hoặc 1 thì một bit lượng tử lại có thể ở bất
kỳ điểm nào trên bề mặt quả cầu Bloch vì nó có thể ở trong trạng thái chồng
chập khác nhau. Nói chung, một bit lượng tử có thể được đặt bất cứ một điểm
nào ở bên trong quả cầu nếu như nó ở trong một trạng thái hỗn hợp.
Thoả mãn điều kiện chuẩn hoá,
2 2
a b 1 
, trong đó
2
a
2
( b )
tươgn ứng
với xác suất mà qubit đo được có giá trị “0” (“1”). Chú ý rằng các trạng thái cơ sở
có thể được chọn một cách tuỳ ý. Ví dụ như
 
0 1 / 2

và

 
0 1 / 2

cũng
có thể là một hệ cơ sở trực chuẩn khác. Dạng tổng quát của một ma trận mật độ
của một qubit là
18
qubit
1
(I r )
2
    
 
(1.5)
trong đó
r

là vectơ thực,
x y z
( , , )    

là các toán tử Pauli là ma trận đơn vị.
Điều kiện dương của toán tử mật độ
qubit
0 
dẫn đến bất đẳng thức
r 1

.
Một qubit có thể được biểu diễn bởi

r

trong một quả cầu tưởng tượng với bán
kính đơn vị (xem hình 1.2), gọi là quả cầu Bloch. Nếu một qubit ở trong một
trạng thái sạch thì điểm tương ứng của nó luôn luôn nằm trên mặt cầu.
Người ta có thể nghĩ rằng người này hay người kia nhận được nhiều
thông tin từ một bit lượng tử hơn là một bit bởi vì một qubit có thể tồn tại như
là một số vô hạn trong các trạng thái chồng chập khác nhau. Nhưng thật ra,
không có nhiều thông tin hơn có thể thu được từ một qubit bởi vì kết quả đọc
ra của một qubit là một quá trình đo cơ học lượng tử. Nói chung, cơ học
lượng tử không cho phép người ta đo một trạng thái lượng tử mà không phá
huỷ nó. Vì vậy, nói chung, một qubit không thể bị đọc mà không biến mất
trong khi một bit thì lại có thể. Một quá trình đọc ra của một qubit

sẽ làm
cho trạng thái qubit xẹp xuống là
0
hoặc
1
tuỳ thuộc vào kết quả đo. Cùng
lý do đó mà một qubit bất kỳ không thể được nhân bản một cách hoàn hảo, đó
là nội dung của định lý “không nhân bản” được tìm ra năm 1982 [52] và là
một định lý đóng vai trò quan trọng trong xử lý thông tin lượng tử.
Đã có một số đề xuất hiện thực hoá các qubit đối với quá trình xử lý
thông tin lượng tử trong các hệ vật lý như nguyên tử, các hệ vật chất ngưng tụ
và quang học. Theo nguyên tắc, bất kỳ một hệ lượng tử hai chiều nào đều có
thể được xem như là một hệ qubit. Một hạt Spin -1/2, một nguyên tử hai mức,
một trạng thái photon phân cực… là những ví dụ quen thuộc. Tuy nhiên, để
tìm ra một hệ qubit thích hợp cho quá trình xử lý thông tin lượng tử lại là một
chuyện khác, hệ qubit đó phải có thể nhập vào, kiểm soát, đo đạt và có thể

19
đọc được trước khi nó bị phá vỡ bởi tương tác với môi trường xung quanh. Có
hai loại qubit đó là: qubit quang học (không có khối lượng) rất tốt cho truyền
tin và qubit vật thật (có khối lượng) rất tốt cho tính toán lượng tử. Việc
chuyển hoá thông tin lượng tử từ các qubit quang học sang các qubit vật chất
và ngược lại là cần thiết và đã được nghiên cứu khá kỹ càng trong [53] và
xem các tài liệu tham khảo trong đó.

1.2.2. Rối lượng tử
Rối lượng tử là một trong những điều thú vị nhất của cơ học lượng tử.
Cái tên rối lần đầu tiên được đưa ra bởi Shrödinger bằng tiếng Đức là
“verschrankung” (tiếng Anh là “entanglement”). Khi hai hệ tương tác với
nhau và sau khoảng thời gian ảnh hưởng lẫn nhau các hệ tách riêng ra trở lại
thì lúc đó chúng không còn được mô tả theo cách như trước đây nữa. Đây là
nét đặc trưng của cơ học lượng tử. Do đã tương tác với nhau mà hai hệ trở nên
rối với nhau, dù sau đó chúng có ở cách xa nhau bao nhiêu cũng được (hình
2.3).
Gần đây, các nghịch lý đã được thảo luận trong chương trước lại xuất
hiện và đóng góp vào rối của các hệ vật lý hơn là giải thích cũ dựa trên
nguyên lý bất định Heisenberg. Như đã được giải thích bởi Shrödinger, các
trạng thái rối có thể sinh ra do tương tác giữa các hệ lượng tử, ví dụ như khi
hai hạt được tạo ra một cách đồng thời với một số yêu cầu là spin hay xung
lượng phải được bảo toàn. Tuy nhiên, một trạng thái rối có thể mất rối do
tương tác với môi trường. Rối đóng vai trò không thể thay thế như là nguồn
tài nguyên trong các quá tình xử lý thông tin lượng tử bao gồm viễn chuyển
lượng tử, mật mã lượng tử và tính toán lượng tử. Giả sử một trạng thái hai hệ
1 và 2 được định nghĩa trong một không gian Hilbert H
1



H
2
như sau:
2 2
12 1 2 1 2
(a 0 1 b 1 0 , a b 1    
(1.6)
20
Có thể thấy rằng trạng thái này không thể được biểu diễn như là một
tích hợp trực tiếp của hai trạng thái bất kỳ
'
1
2
  
. Khi đó (1.6) được gọi
là một trạng thái rối. Khi
a b
ta có trạng thái rối một phần. Trạng thái rối
cực đại ứng với trường hợp
a b
. Bốn trạng thái rối cực đại trong không
gian H
1


H
2
tạo thành một hệ đủ trực chuẩn là
1
( 0 0 1 1 ),

2

  
(1.7)
1
( 0 1 1 0 )
2

  
(1.8)
được gọi là các trạng thái Bell hay các cặp EPR. Một cách tổng quát, chúng ta
nói rằng trạng thái
12

là rối trong H
1


H
2
khi nó không thể được biểu
diễn như là một tích trực tiếp của hai trạng thái bất kỳ
'
12 1
2
    
(1.9)
với
'
1

2
 
là vectơ trạng thái của hệ 1 (2).
Sự rối không phải chỉ xảy ra giữa hai hệ lượng tử mà cũng có thể xảy ra
giữa nhiều hệ lượng tử khác nhau. Khi đó ta có rối đa hệ [59, 60, 61, 62]. Rối
đa hệ rất quan trọng đối với các giao thức lượng tử đa nhân trong một mạng
lưới lượng tử. Các trạng thái rối cực đại là những kênh lượng tử rất tốt trong
xử lý thông tin lượng tử. Ví dụ, trong viễn chuyển nếu một kênh lượng tử sử
dụng không phải là rối cực đại thì xác suất thành công sẽ luôn bé hơn xác suất
thành công của việc sử dụng rối cực đại. Để tạo được một trạng thái lượng tử
rối cực đại là một việc làm không dễ. Tuy nhiên, các giao thức cũng đã phát
triển để chắt lọc ra một số ít các trạng thái rối cực đại từ một số lớn các trạng
thải rối không cực đại bằng cách sử dụng các tác dụng định xứ và các giao
tiếp cổ điển [13]. Những sơ đồ này được gọi là chiết hay sự chắt lọc rối.
21














Hình 1.3. (a) hai hệ vật lý tách riêng A và B không rối với nhau; (b) A và

B tương tác với nhau; (c) A và B trở nên rối; (d) A và B tương tác với môi
trường C và giảm độ rối hoặc mất rối hoàn toàn.

1.2.3 Trạng thái kết hợp
Trạng thái kết hợp được định nghĩa như là một trạng thái của trường
bức xạ được tạo ra bởi một phân bố dòng dao động cổ điển hay nói cách khác
nó là trạng thái ánh sáng được phát ra từ một nguồn laser, ký hiệu là

với

là một số phức. Trong biểu diễn Fock
n
của trường điện từ thì trạng thái
kết hợp có dạng tường minh như sau:

n
2
n 0
1
exp( ) n
2
n!



   

(1.10)

22

Trạng thái kết hợp có một tính chất rất đặc biệt. Tính chất đó thể hiện ở
chỗ nó là một trạng thái riêng của toán tử huỷ photon a, tức là

a
   
(1.11)
Khác hẳn với trạng thái Fock là trạng thái chứa một số photon xác định,
trạng thái kết hợp chứa một số photon không xác định và toán tử huỷ không
thể làm thay đổi trạng thái này. Xét cho trường hợp tổng quát, hai toán tử
Hermitc

A
và

B
theo thứ tự biểu diễn cho hai đại lượng vật lý A và B. Nếu
hai đại lượng vật lý này không đo được đồng thời thì theo cơ học lượng tử

A
và

B
không giao hoán với nhau, nghĩa là



[A ,B ] iC
(1.12)
với


C
là một toán tử khác không. Theo hệ thức bất định Heisenberg thì
   

2 2
1
| A | | B | | (C) |
4
  
(1.13)
trong đó các thăng giáng của một toán tử bất kỳ
  
Y Y Y    
với

Y 
là trị
trung bình của toán tử

Y
. Để xem xét một số tính chất của trạng thái kết hợp,
chúng ta đưa ra hai toán tử “tọa độ”

x
và toán tử “xung lượng”

p
như sau



1 1
x (a a), p (a a)
2 2
 
   
(1.14)
với hệ thức giao hoán


1
[x,p]
2

. Các thăng giáng của chúng lần lượt là
  
x x x    
,
  
p p p    
và do đó thăng giáng trung bình của chúng bị triệt
tiêu, nghĩa là


x p 0     
. Tuy nhiên, các giá trị trung bình lượng tử của
bình phương của chúng, hay còn gọi là phương sai hoặc thăng giáng lượng tử
mà cụ thể là
  
2
2 2

( x) x x        
và
  
2
2 2
( p) p p        
lại khác không.
Khi tính trung bình trong các trạng thái Fock
n
thì
23

 
 
n n
n | x | n x n | p | n p 0           
và


2 2
n n
1
( x) ( p) (1 2n)
4
        
(1.15)
Từ đó chúng ta có thể xác định






2 2 2 2
n n n
1 1 1
( x) ( p) (1 2n) | [x,y] |
16 4 16
           
(1.16)
thoả mãn hệ thức bất định Heisenberg. Trong các trạng thái Fock thì trị riêng
n là nguyên, không âm. Vì thế, nhìn vào phương trình (1.15) ta thấy rằng chỉ
khi trị riêng n = 0 là nhỏ nhất tương ứng với trạng thái chân không
0
của
trường điện từ thì tích của các thăng giáng lượng tử mới đúng bằng giá trị bất
định tối thiểu đưa ra bởi hệ thức bất định là
1
16
còn trong các trường hợp khác
ứng với trị riêng n > 0 thì tích trên luôn lớn hơn giá trị bất định tối thiểu này.
Bây giờ chúng ta xét trạng thái kết hợp, khi tính phương sai trong trạng thái
kết hợp thì


2 2
1
( x) ( p)
4
 
       

(1.17)
và lúc đó




2 2 2
1 1
( x) ( p) | [x,p] |
4 16
  
         
(1.18)
luôn đúng bằng độ bất định tối thiểu suy ra từ hệ thức bất định. Từ các biểu
thức (1.16) và (1.18) chúng ta thấy trạng thái kết hợp luôn ứng với độ bất định
tối thiểu suy ra từ hệ thức bất định. Một tính chất nữa mà chúng ta có thể thấy
rõ đó là khi tính phương sai số hạt trong các trạng thái Fock
 
2
2 2
n
( n) n | n | n | n | 0         
(1.19)
còn trong các trạng thái kết hợp lại là
 
2
2 2 2
( n) | n | | n | | | 0

           

(1.20)
24
Từ phương trình (1.19) chúng ta thấy rằng trạng thái Fock là trạng thái
có số hạt xác định và vì thế theo hệ thức bất định về số hạt và pha thì pha là
bất định. Điều đó giải thích vì sao trạng thái Fock còn được gọi là trạng thái
số hạt. Từ phương trình (1.20) chúng ta thấy rằng đối với chùm sáng laser có
cường độ cao và độ đơn sắc lớn thì

2
| | n

   
là một số rất lớn. Điều đó có
nghĩa với trạng thái kết hợp thì số hạt là bất định và vì thế theo hệ thức bất
định giữa số hạt và pha ta có pha là xác định. Nói một cách khác, trạng thái
kết hợp chính là sự kết hợp rất tốt về pha. Các chùm sáng laser là các chùm
sáng có pha kết hợp do đó trạng thái kết hợp là một trạng thái mô tả rất tốt các
tính chất của chùm sáng laser.











Hình 1.4. Sự phân bố số photon

P (n)

của một trạng thái kết hợp:
2 2 2 2
(a) | | 0.1;(b) | | 1,(c) | | 5,(d) | | 10       

Một tính chất cơ bản nữa của trạng thái kết hợp là xác suất tìm thấy
n
hạt trong trạng thái kết hợp
2
2 2
| |
P (n) | n | | exp( | | )
n!


     
(1.21)
25
là hàm phân bổ Poisson. Các trạng thái có hàm phân bố Poisson là các trạng
thái cổ điển [88]. Vì vậy, trạng thái kết hợp là một trạng thái cổ điển. Hình 1.4
vẽ hàm phân bố
P (n)

với các giá trị khác nhau của
2
| |
. Chúng ta thấy rằng
với
2

| | 1 
thì
P (n)

đạt giá trị cực đại tại n = 0, trong đó với
2
| | 1 
thì
P (n)


đạt cực đại tại
2
n | | 
. Bây giờ, chúng ta hãy xét tích phân sau (với
i
| | e

  
)
2 2
2
* n m | | 2 n m 1 | | i(n m)
0 0
( ) e d | | e d | | e d
 
       
      
  

nm
n! 
(1.22)
được lấy trên toàn mặt phẳng phức. Thay bỉểu thức của trạng thái kết hợp
| |
vào tích phân trên ta được
2
n
| | d | n n |    


(1.23)
Tập hợp các trạng thái Fock
| n |
lập nên một hệ đủ trực chuẩn,
n
| n n | I 

,
do đó

2
1
| | d I   


(1.24)
Đây là biểu thức phân giải đơn vị đối với trạng thái kết hợp. Hai trạng thái kết
hợp tương ứng với hai trị riêng khác nhau


và
'

là không trực giao với nhau
' 2 ' * ' 2
1 1
| exp( | | | |
2 2
         
(1.25)
và
' 2 ' 2
| | | exp( | | )
       
(1.26)