Áp dụng thống kê Fermi - Dirac biến dạng -q nghiên cứu nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (566.74 KB, 63 trang )
1
Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học s phạm hà nội 2
Phạm thị toản
áp dụng thống kê fermi - dirac
biến dạng -
q
nghiên cứu nhiệt dung
của khí điện tử tự do trong kim loại
LUậN VĂN THạC Sĩ VậT Lý
Hà Nội 2009
2
Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học s phạm hà nội 2
Phạm thị toản
áp dụng thống kê fermi - dirac
biến dạng -q nghiên cứu nhiệt dung
của khí điện tử tự do trong kim loại
Chuyên ngành: Vật lý chất rắn
Mã số: 60 44 07
Luận văn thạc sĩ vật lý
Ngời hớng dẫn khoa học: TS. Lu Thị Kim Thanh
Hà Nội 2009
3
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh, người đã
tận tình hướng dẫn và truyền cho tôi nhiều kinh nghiệm quí báu trong học tập
và nghiên cứu khoa học. Cô luôn động viên, khích lệ để tôi vươn lên trong
học tập và vượt qua những khó khăn trong công tác nghiên cứu chuyên môn.
Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối với cô.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2, Phòng Sau đại học và Khoa Vật lý đã tạo mọi điều kiện thuận lợi
cho tôi hoàn thành chương trình học và luận văn tốt nghiệp này.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện, đóng góp
những ý kiến, kinh nghiệm quí báu giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Hà nội, tháng 09 năm 2009
Tác giả
Phạm Thị Toản
4
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của Tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh. Luận văn này không hề trùng lặp
với những đề tài nghiên cứu khác.
Hà Nội, tháng 09 năm 2009
Tác giả
Phạm Thị Toản
5
MỤC LỤC
Mục lục
Mở đầu
Nội dung
Chương 1. Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung của khí điện tử tự do
trong kim loại.
1.1. Lý thuyết Drude.
1.2. Lý thuyết Lorentz.
1.3. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại.
Chương 2. Lý thuyết lượng tử về nhiệt dung của khí điện tử tự
do trong kim loại.
2.1. Hình thức luận dao động tử điều hoà.
2.2. Dao động tử Fermion, thống kê Fermi – Dirac.
2.3. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại.
Chương 3. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại khi
áp dụng lý thuyết biến dạng q.
3.1. Lý thuyết q - số.
3.2. Dao động tử điều hoà biến dạng –q .
3.3. Dao động tử Fermion biến dạng –q, thống kê Fermi – Dirac biến
dạng –q.
3.4. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại khi áp dụng lý
thuyết biến dạng -q.
Kết luận
Các công trình đã công bố
Tài liệu tham khảo
Trang
3
4
7
8
8
8
9
12
13
22
29
38
38
39
42
45
55
56
57
6
Phụ lục
60
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Khi nghiên cứu nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại, người
ta thấy rằng các kết quả thực nghiệm không trùng với các tính toán lý thuyết.
Có điều này là do trong tinh thể kim loại có thể có lẫn tạp chất, hoặc có sự sai
hỏng mạng tinh thể do khuyết tật, lệch mạng… Mặt khác, các tính toán lý
thuyết được xây dựng đối với các mô hình lí tưởng, do đó gây ra sự sai khác
giữa các kết quả lí thuyết và thực nghiệm thu được.
Trong Cơ học lượng tử cũng như trong Vật lý chất rắn, khi có sự sai
khác giữa một lý thuyết chính tắc và kết quả thực nghiệm, người ta thường
dùng các phương pháp gần đúng để giải quyết. Tuy nhiên, nhiều hiện tượng
Vật lý lại không dễ dàng thấy được trong phương pháp nhiễu loạn, chẳng hạn
như sự phá vỡ đối xứng tự phát, sự chuyển pha các trạng thái… Điều đó đòi
hỏi phải có những phương pháp mới không nhiễu loạn mà vẫn bao gồm tất cả
các bậc khai triển của lý thuyết nhiễu loạn, và vẫn giữ được các yếu tố phi
tuyến của lý thuyết như phương pháp tác dụng hiệu dụng, phương pháp gần
đúng, phương pháp nhóm lượng tử mà cấu trúc của nó là đại số biến dạng.
Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số
biến dạng đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà Vật lý lý thuyết, vì các
cấu trúc toán học mới này phù hợp với nhiều vấn đề của Vật lý lý thuyết như
Thống kê lượng tử, Quang học phi tuyến, Vật lý chất rắn…
Trong lĩnh vực Vật lý chất rắn, tôi thấy rằng lý thuyết này đã đạt được
khá nhiều thành công trong việc nghiên cứu và giải thích các vấn đề liên quan
đến các hạt Boson. Do đó, tôi quyết định chọn lý thuyết đại số biến dạng để
7
áp dụng nghiên cứu hệ các hạt Fermion, từ đó đi xây dựng hàm thống kê
Fermi – Dirac biến dạng –q và áp dụng hàm thống kê này đi nghiên cứu nhiệt
dung của khí điện tử tự do trong kim loại
2. Mục đích nghiên cứu:
- Xây dựng hàm phân bố thống kê Fermi – Dirac trong trường hợp có
biến dạng.
- Xác định nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại trong trường
hợp có biến dạng.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
a) Đối tượng:
- Hệ khí Fermion và thống kê Fermi – Dirac.
- Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại
b) Phạm vi nghiên cứu: Khí điện tử tự do trong kim loại.
4. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp Vật lý lý thuyết.
- Phương pháp đại số biến dạng.
- Phương pháp toán giải tích.
5. Nội dung:
Chương 1. Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung của khí điện tử tự do trong
kim loại.
1.1. Lý thuyết Drude.
1.2. Lý thuyết Lorentz.
1.3. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại.
Chương 2. Lý thuyết lượng tử về nhiệt dung của khí điện tử tự do trong
kim loại.
2.1. Hình thức luận dao động tử điều hoà.
2.2. Dao động tử Fermion, thống kê Fermi – Dirac.
8
2.3. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại.
Chương 3. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại khi áp dụng lý
thuyết biến dạng -q.
3.1. Lý thuyết q - số.
3.2. Dao động tử điều hoà biến dạng -q .
3.3. Dao động tử Fermion biến dạng -q, thống kê Fermi – Dirac biến dạng -q.
3.4. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại khi áp dụng lý thuyết biến
dạng -q.
6. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài:
Đề tài sau khi hoàn thành sẽ:
- Xây dựng lý thuyết biến dạng -q của khí Fermion và thống kê
Fermi –Dirac.
- Xác định nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại trong
trường hợp có biến dạng.
9
NỘI DUNG
Kim loại là một loại vật rắn có tính dẫn điện tốt, độ dẫn điện vào
khoảng từ 10
6
đến 10
8
1 1
m
. Đó là vì trong kim loại có chứa rất nhiều
electron có thể chuyển động tự do khắp tinh thể kim loại. Nếu mỗi nguyên tử
cho một electron thì trong 1 cm
3
đã có khoảng 10
22
electron hoá trị, liên kết
rất yếu với các lõi nguyên tử. Chúng có thể chuyển động tự do trong tinh thể
trở thành các hạt tải điện, quyết định tính dẫn điện của kim loại, nên được gọi
là các electron dẫn [4], [5], [10], [11].
Nếu coi một cách đơn giản rằng các điện tử tự do này không tương tác
với nhau (nói chính xác hơn là coi rằng chúng chỉ tương tác với nhau theo
một cách duy nhất là va chạm), thì khi đó các điện tử này tạo thành một chất
khí (còn nếu coi các điện tử này có tương tác với nhau thì chúng tạo thành
một chất lỏng).
Tuỳ vào việc dùng hàm phân bố nào để xét khí điện tử tự do này mà ta
sẽ có các lý thuyết khác nhau [2]:
(1). Nếu coi các điện tử tự do đều cùng có một giá trị năng lượng
Khí cổ điển đơn giản nhất
Lý thuyết Drude.
(2). Nếu dùng phân bố Maxwell - Boltzmann cổ điển
Khí cổ điển
Lý thuyết Lorentz.
(3.) Nếu dùng phân bố Fermi – Dirac lượng tử
Khí lượng tử ( hay
còn gọi là khí Fermi)
Lý thuyết Sommerfeld.
Sau đây, ta sẽ dùng các lý thuyết này để nghiên cứu nhiệt dung của khí
điện tử tự do trong kim loại. Ngoài ra, tôi xin đề xuất thêm một phương án
nữa đó là áp dụng phân bố Fermi – Dirac biến dạng –q để nghiên cứu các giá
trị này.
10
Chương 1
LÝ THUYẾT CỔ ĐIỂN VỀ NHIỆT DUNG CỦA KHÍ
ĐIỆN TỬ TỰ DO TRONG KIM LOẠI.
Lý thuyết cổ điển về điện tử tự do đã được Drude và Lorentz xây dựng
vào khoảng đầu thế kỉ XX. Theo lý thuyết này, lực tương tác giữa các
electron hoá trị với các lõi nguyên tử được giả thiết là yếu, không đáng kể.
Các electron dẫn được coi như một chất khí lí tưởng tự do, không tương tác.
Khi chuyển động, các electron dẫn có thể va chạm với lõi nguyên tử, giữa hai
lần va chạm liên tiếp electron chuyển động hoàn toàn tự do [2], [13], [10].
1.1. Lý thuyết Drude.
Các giả thuyết chính của Drude bao gồm:
- Các điện tử tạo thành khí, chuyển động nhiệt hỗn loạn vô hướng.
- Tại cùng một nhiệt độ, tất cả các điện tử đều có năng lượng như
nhau:
2
3
2 2
T
mv
kT
(với
3
T
kT
v
m
) (1.1)
- Khi có điện trường tác dụng lên hệ thì có thêm thành phần chuyển
động có hướng, gọi là cuốn theo hướng của điện trường với tốc độ
cuốn là
d
v
, tuy vậy:
d T
v v
(1.2)
Sau mỗi lần va chạm, điện tử mất hoàn toàn chuyển động có hướng mà
nó thu thập được trước đó.
1.2. Lý thuyết Lorentz.
11
Theo thuyết electron cổ điển, các electron dẫn trong kim loại được xem
như chất khí electron lý tưởng. Các electron tự do tham gia vào chuyển động
nhiệt hỗn độn, va chạm với các ion của mạng tinh thể và trao đổi năng lượng
với chúng. Lực tương tác giữa các electron này với các lõi nguyên tử được giả
thiết là yếu, không đáng kể. Khi đó, năng lượng toàn phần của các electron
chỉ bao gồm động năng, bỏ qua thế năng. Các electron tự do này tuân theo
định luật phân bố vận tốc Maxwell – Boltzmann.
2
3
2
2
( ) 4 . .
2
mv
kT
m
f v v e
kT
(1.3)
Từ hàm phân bố này ta sẽ đi xác định giá trị của vận tốc
T
v
.
2
3
2 2 2 2
2
0 0
. ( ) 4 . .
2
mv
kT
T
m
v v f v dv v v e dv
kT
3
5
3
4 . 3
2 8
2
m kT
kT m
m
kT
3
T
kT
v
m
(1.4)
Động năng trung bình của một phân tử khí:
2 2
3
2 2 2
T T
d
mv mv
E kT
Vì động năng trung bình của chuyển động nhiệt của các electron có thể
coi là bằng động năng trung bình của các ion trong mạng, nên ta nói mỗi
electron có năng lượng là:
3
2
d
kT
(1.5)
1.3. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại.
12
Giả sử có N nguyên tử kim loại, mỗi một ion dao động của mạng tinh
thể ứng với một điện tử tự do. Khi đó năng lượng trung bình của các điện tử
tự do trong kim loại bằng [2], [9], [8]:
3 3
.
2 2
d
E N NkT RT
(1.6)
Ở đây N: là hằng số Avôgađrô.
k: là hằng số Boltzmann.
R: là hằng số khí,
1,99
R
Kcall/độ.
Vậy nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại là:
3
2
el
d E
C R
dT
(1.7)
Mặt khác, như ta đã biết đóng góp của dao động mạng tinh thể vào
nhiệt dung tại các nhiệt độ cao (từ nhiệt độ phòng trở lên) là:
3 3
ion
NkT RT
(1.8)
3
ion
ion
d
C R
dT
(1.9)
Khi đó, nhiệt dung của toàn bộ kim loại bao gồm nhiệt dung của ion và
nhiệt dung của điện tử:
3 9
2 2
V el ion
C C C R R R
(1.10)
Nhưng trên thực tế chỉ quan sát thấy
3
V
C R
đối với mọi chất rắn
(định luật Duylong – Petit). Vậy tại các nhiệt độ cao (từ nhiệt độ phòng trở
lên) chuyển động của các electron chỉ đóng góp một phần rất nhỏ vào nhiệt
dung của kim loại (chỉ vào khoảng 1/100 giá trị trên).
Vậy nhiệt dung của kim loại tính theo thuyết electron cổ điển là không
phù hợp với thực nghiệm.
Kết luận:
13
Trong chương 1, ta đã sử dụng lý thuyết cổ điển để nghiên cứu về nhiệt
dung của khí điện tử tự do trong kim loại, và thấy rằng lý thuyết này cho kết
quả không đúng về nhiệt dung. Lý thuyết này đã không chỉ ra được sự phụ
thuộc vào nhiệt độ của nhiệt dung. Do vậy, ta cần sử dụng lý thuyết khác để
đi nghiên cứu giá trị nhiệt dung này.
14
Chương 2
LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ NHIỆT DUNG CỦA KHÍ
ĐIỆN TỬ TỰ DO TRONG KIM LOẠI.
Lý thuyết cổ điển khi áp dụng để giải thích các tính chất của các hạt
hoặc hệ hạt vi mô, mà điển hình là điện tử đã vấp phải rất nhiều mâu thuẫn
với thực nghiệm mà không thể giải thích nổi. Chính vì vậy mà các nhà Vật lý
vào đầu thế kỉ XX đã phải sáng tạo ra thuyết lượng tử [1], [6], [9], [12].
Năm 1927, sử dụng các khái niệm Cơ học lượng tử cho hệ vĩ mô,
Sommerfeld là người đầu tiên đưa ra mô hình khí điện tử tự do đối với kim
loại, trong đó sử dụng thống kê Fermi – Dirac thay cho thống kê cổ điển
Maxwell – Boltzmann, nhờ đó đã khắc phục được nhiều thiếu sót của mô
hình cổ điển của Drude và Lorentz.
Hệ các hạt đồng nhất là hệ các hạt có đặc trưng vật lý giống hệt nhau
như có cùng khối lượng, điện tích, mômen từ, spin… được coi là các hạt
đồng nhất.
Trong Cơ học lượng tử, khái niệm quĩ đạo của các hạt mất hết ý nghĩa.
Thực ra, chỉ có thể biết mật độ xác suất để ở một vị trí đã cho có hạt thuộc hệ
đồng nhất là bao nhiêu. Hơn nữa, ta không thể phân biệt được các hạt dù đã
đánh dấu chúng trong một hệ hạt đồng nhất. đó chính là nội dung nguyên lí
không thể phân biệt được các hạt đồng nhất.
Theo thuyết lượng tử:
- Đối với tất cả các hạt có spin nguyên (gọi chung là các Boson)
như photon,
- meson, K – meson thì không bị hạn chế về số hạt cùng nằm
trên một mức năng lượng, hàm sóng của hệ là đối xứng, nghĩa là không thay
đổi khi hoán vị các hạt. Các hạt Boson tuân theo thống kê Bose – Einstein.
15
- Đối với các hạt có spin bán nguyên (gọi là các hạt Fermion) như
electron, proton, neuton, positron… thì chỉ có 0 hoặc 1 hạt cùng nằm trên một
mức năng lượng (nói cách khác là tất cả các Fermion đều phải có năng lượng
khác nhau). Hạn chế này gọi là nguyên lý loại trừ Pauli. Hàm sóng của hệ
Fermion là phản đối xứng, nghĩa là khi hoán vị hai hạt bất kì cho nhau thì
hàm sóng của hệ đổi dấu. Các hạt Fermion tuân theo thống kê Fermi – Dirac.
2.1. Hình thức luận dao động tử điều hoà.
Dao động tử điều hoà một chiều là một chất điểm có khối lượng m,
chuyển động dọc theo một trục 0x nào đó dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi
F = - kx. [1], [4], [9], [12].
Toán tử Hamiltonian của dao động tử điều hoà một chiều có dạng:
2
2
ˆ
1
ˆ
ˆ
2 2
x
p
H kx
m
(2.1)
Với
ˆ
x x
là toán tử mật độ.
ˆ
x
d
p i
dx
là toán tử xung lượng.
k
m
là tần số góc của dao động.
Thay toán tử toạ độ
ˆ
x
và toán tử xung lượng
ˆ
x
p
bằng toán tử toạ độ và
xung lượng chính tắc mới
ˆ ˆ
,q p
. [1], [6], [7], [12].
ˆ ˆ
ˆ ˆ
x
x q mx
i d
p p
dx
m
(2.2)
Hệ thức giao hoán giữa
ˆ
p
và
ˆ
q
:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ
, ( )
i d i d
p q pq qp mx mx
dx dx
m m
16
. . .
i i d i d
m mx mx
dx dx
m m m
=
i
(2.3)
Từ (2.2) suy ra:
2 2 2
2 2
2 2 2
ˆ
ˆ ˆ
q
x
m
d d m
p p
m dx dx
(2.4)
Thay (2.4) vào (2.1) ta được:
2 2 2
1
ˆ
ˆ ˆ
2
H p q
(2.5)
Đặt:
ˆ ˆ ˆ
( )
2
q a a
ˆ ˆ ˆ
( )
2
p i a a
(2.6)
Khi đó:
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ). ( )
2 2
p i a a i a a
2
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( )
2
a a a aa a
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ). ( )
2 2
q a a a a
2
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( )
2
a a a aa a
Thay
2 2
ˆ ˆ
,p q
vào (2.5) ta được:
2 2
2 2 2
1 1
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) . ( )
2 2 2 2
H a a a aa a a a a aa a
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
(2 2 ) ( )
4 2
H a a aa a a aa
17
Dựa vào (2.4) ta xét:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ
,
p q pq qp
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
. ( ).( ) .( ).( )
2 2 2 2
i a a a a i a a a a
2 2
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( )
2
i
a a a aa a a a a aa a
Vậy:
ˆ ˆ ˆ ˆ
1
a a aa
ˆ ˆ ˆ ˆ
1
aa a a
Hay
ˆ ˆ
, 1
a a
(2.7)
Ta cũng có:
1
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( 1 ) ( )
2 2 2
H a a aa a a a a a a
(2.8)
Đặt
ˆ
ˆ ˆ
N a a
Xét hệ thức giao hoán giữa toán tử
ˆ
N
với các toán tử
ˆ ˆ
,a a
.
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
, ( )
N a Na aN a aa aa a a a aa a a
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
, ( )
N a Na a N a aa a a a a aa a a a
Vậy
ˆ
ˆ ˆ
,
ˆ
ˆ ˆ
,
N a a
N a a
(2.9)
Kí hiệu
n
là vectơ riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng n, ta có
phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử
ˆ
N
như sau:
ˆ
N n n n
(2.10)
18
Từ (2.10) ta có:
ˆ
ˆ ˆ
0
n N n n a a n
n
n n n n
(2.11)
Vì
2
( ) 0
n
n n r dr
Mà
ˆ
N
,
ˆ ˆ
,a a
là các toán tử Hermite nên ta có:
2
ˆ
ˆ ˆ ˆ
( ) 0
n
n N n n a a n a r dr
(2.12)
* Kết luận 1:
0
n
nghĩa là các trị riêng của toán tử
ˆ
N
là các số không âm.
* Kết luận 2: Nếu
n
là hàm riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng n,
thì
ˆ
a n
cũng là hàm riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng (n – 1).
2
ˆ
a n
cũng là hàm riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng (n – 2),
…
ˆ
p
a n
cũng là hàm riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng (n – p)…
Và
ˆ
a n
là hàm riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng (n + 1),
2
ˆ
a n
là hàm riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng (n + 2),
…
ˆ
P
a n
là hàm riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng (n + p)…
Ta dễ dàng chứng minh được kết luận này như sau:
ˆ
N n n n
Mà
ˆ
ˆ ˆ
,
N a a
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( 1)
Na a aN
Na n a n aN n
Na n aN n a n an n a n n a n
Vậy
ˆ
a n
là hàm riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng (n – 1).
19
Ta có:
2
ˆ
ˆ ˆ ˆ
,
N a a a
2 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
Na aNa a
2 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
Na n aNa n a n
2
2 2 2
ˆ ˆ ˆ
( 1)
ˆ ˆ ˆ
( 1) ( 2)
a n a n a n
n a n a n n a n
Vậy
2
ˆ
a n
là hàm riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng (n – 2).
Chứng minh tương tự ta được
ˆ
p
a n
là hàm riêng của toán tử
ˆ
N
ứng
với trị riêng (n – p)…
Đối với vectơ trạng thái
ˆ
a n
, ta cũng tác dụng lên vectơ trạng thái
này toán tử
ˆ
N
và sử dụng công thức (2.9) ta có:
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
( 1)
Na n a N n a n
Na n a n n a n n a n
Vậy
ˆ
a n
là hàm riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng (n + 1).
Ta có:
2
ˆ
ˆ ˆ ˆ
,
N a a a
2 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
Na a a Na
Xét
2 2 2 2
2 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( 1)
ˆ
ˆ ˆ
( 2)
Na n a n a Na n a n n a n
Na n n a n
Điều này chứng tỏ
2
ˆ
a n
là hàm riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng
(n + 2).
…Tương tự ta cũng chứng minh được
ˆ
P
a n
là hàm riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng (n + p)…
20
* Kết luận 3: Trị riêng nhỏ nhất của toán tử
ˆ
N
là n
min
= 0.
Vì
0
n
n
min
= 0.
Trạng thái ứng với giá trị riêng nhỏ nhất này là trạng thái chân không:
0
n
Trạng thái chân không được xác định bởi phương trình:
ˆ
0 0
a
Vì từ kết luận 2 ta thấy, n là trị riêng của toán tử
ˆ
N
thì chuỗi các số
không âm (n – 1), (n – 2), (n – 3)… cũng là trị riêng của toán tử
ˆ
N
. Chuỗi
này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất để
min
ˆ
0
a n
.
Nếu
min
ˆ
0
a n
thì đó là vectơ trạng thái ứng với trị riêng
min min
1
n n
, điều này trái với giả thiết n
min
là nhỏ nhất.
Vậy
min
ˆ
0
a n
hay
ˆ
0 0
a
.
Trong trạng thái chân không này ta cũng có:
ˆ
0a
tỉ lệ với vectơ riêng
1
của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng n = 1.
2
ˆ
0
a
tỉ lệ với vectơ riêng
2
của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng n = 2.
…
ˆ
0
n
a
tỉ lệ với vectơ riêng
n
của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng n.
Từ công thức (2.8) ta có:
1
ˆ ˆ
( )
2
H N
(2.13)
Phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử năng lượng:
ˆ
H n E n
(2.14)
Từ (2.13) ta cũng có:
1 1
ˆ ˆ
2 2
H n N n n n
(2.15)
Từ (2.14) và (2.15) suy ra:
1
2
n
E n
(2.16)
21
Nên:
0
là vectơ riêng của toán tử
ˆ
H
ứng với trị riêng
0
1
2
E
.
1
là vectơ riêng của toán tử
ˆ
H
ứng với trị riêng
1
1
1
2
E
.
…
n
là vectơ riêng của toán tử
ˆ
H
ứng với trị riêng
1
2
n
E n
.
Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hoà có năng lượng gián
đoạn với các giá trị cách đều nhau. Hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề
nhau luôn luôn bằng một lượng tử năng lượng
.
Trạng thái
0
ứng với mức năng lượng thấp nhất là E
0
.
Trạng thái
1
ứng với mức năng lượng là E
1
= E
0
+
, có thể được xem là
kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng
vào trạng thái
0
.
Trạng thái
2
ứng với mức năng lượng là E
2
= E
1
+
, có thể được xem là
kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng
vào trạng thái
1
, hay
thêm hai lượng tử năng lượng
vào trạng thái
0
…
Nếu lấy gốc năng lượng là E
0
=
2
thì
n
E n
.
Ta có thể coi
0
là trạng thái không chứa lượng tử năng lượng nào.
1
là trạng thái chứa một lượng tử năng lượng.
…
n
là trạng thái chứa n lượng tử năng lượng.
Toán tử
ˆ
N
có các trị riêng không âm, cách nhau một đơn vị được đoán
nhận là toán tử số lượng tử năng lượng nên gọi
ˆ
N
là toán tử số “hạt”.
Toán tử
ˆ
a
khi tác dụng lên trạng thái
n
cho trạng thái
1
n
, do đó
ˆ
a
được đoán nhận là toán tử “huỷ” lượng tử năng lượng, hay
ˆ
a
gọi là toán tử
22
huỷ “hạt”.
Toán tử
ˆ
a
khi tác dụng lên trạng thái
n
cho trạng thái
1
n
, do đó
ˆ
a
được đoán nhận là toán tử “sinh” lượng tử năng lượng, hay
ˆ
a
gọi là toán
tử sinh “hạt”.
Trong Cơ học lượng tử trạng thái dừng của một dao động tử điều hoà
có thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng
.
Cuối cùng, ta đi tính các hệ số
ˆ
n N n
trong các hệ thức:
ˆ
1
ˆ
1
ˆ
0
n
n
n
n
a n n
a n n
n a
(2.17)
Để cho các vectơ trạng thái là trực giao, chuẩn hoá:
,m n
m n
(2.18)
Từ (2.11) và (2.18) có:
ˆ
ˆ
n N n
n n N n
n n
(2.19)
Vì
ˆ ˆ
,a a
là các toán tử Hermite nên:
*
*
ˆ
1
ˆ
1
n
n
n a n
n a n
ˆ
ˆ ˆ
n n N n n a a n
2
*
2
1 1 1 1
n
n n
n
n n n n
Coi
n
là số thực nên
n
n
.
Mặt khác ta lại có:
ˆ
ˆ ˆ
1n n N n n aa n
23
ˆ ˆ
n aa n n n
*
2
1 1 1
1
n n
n
n n
Coi
n
là số thực nên:
1
n
n
.
1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
0 0 1 1
n n n
a a a a
2 2
ˆ ˆ ˆ
1 1 1 2 2
n n
a a a
ˆ
1.2
n n
na n
!n n
1
!
n
n
Vậy ta có các công thức sau:
ˆ
1
ˆ
1 1
1
ˆ
!
n
a n n n
a n n n
n a n
n
(2.20)
Yếu tố ma trận của
ˆ
ˆ ˆ
, ,a a N
trong
n
biểu diễn có thể tính nhờ các
biẻu thức sau:
', 1
', 1
',
ˆ
' ' 1
ˆ
' 1 ' 1 1
ˆ
' '
n n
n n
n n
n a n n n n n
n a n n n n n
n N n n n n n
Dạng ma trận của các toán tử
ˆ
ˆ ˆ
, ,a a N
là:
24
0 1 0 0
0 0 2 0
ˆ
0 0 0 3
0 0 0 0 1
a
n
0 0 0
1 0 0
0 2 0
ˆ
0 0 3
0 0 0 1
a
n
1 0 0 0
0 2 0 0
ˆ
0 0 3 0
0 0 0
N
n
(2.21)
2.2. Dao động tử Fermion, thống kê Fermi – Dirac.
2.2.1. Dao động tử Fermion.
Các hạt Fermion được đặc trưng bởi các toán tử sinh hạt, huỷ hạt
Fermion
ˆ ˆ
,b b
và toán tử số hạt
ˆ ˆ
ˆ
N b b
. [1], [6], [7], [12].
Hàm sóng của hệ N hạt Fermion đồng nhất
1 2
, 1 2
( , , )
N
k k k N
x x x
có thể
lựa chọn là tổ hợp tuyến tính của tích các hàm sóng
( )
k i
x
của từng hạt
Fermion:
1 2 1 2
, 1 2 1 2
1
( , , ) ( 1) ( ) ( ) ( )
!
N N
k k k N k k k N
x x x P x x x
N
1 1 1
2 2 2
1 2
1 2
1 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
!
( ) ( ) ( )
N N N
k k k N
k k k N
k k k N
x x x
x x x
N
x x x
(2.22)
Xét trạng thái được mô tả bởi hàm sóng
(0)
.
ˆ
(0) ( )
k k
b x
(2.23)
25
Tác dụng liên tiếp các toán tử sinh hạt Fermion lên trạng thái
(0)
ta
được :
1 2 1 2
1 2
1
ˆ ˆ
(0) ( 1) ( ) ( )
2!
k k k k
b b P x x
1 2 1 2
1 2 2 1
1
( ) ( ) ( ) ( )
2!
k k k k
x x x x
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1
ˆ ˆ ˆ
(0) ( 1) ( ) ( ) ( )
3!
k k k k k k
b b b P x x x
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 3 2
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3!
k k k k k k
x x x x x x
1 2 3 1 2 3
2 1 3 3 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k k k k k k
x x x x x x
1 2 3 1 2 3
2 3 1 3 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k k k k k k
x x x x x x
…
1 2 1 2
1 2
1
ˆ ˆ ˆ
(0) ( 1) ( ) ( ) ( )
!
N N
k k k k k k N
b b b P x x x
N
(2.24)
Khi hoán vị k
i
, k
j
thì tổng (2.24) đổi dấu, do đó hàm sóng đổi dấu. Ta
có:
1 2 1 2
' '
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
(0) (0)
N N
k k k k k k k k k k
b b b b b b b b b b
' ' '
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
, 0
k k k k k k
b b b b b b
(tính chất phản giao hoán) (2.25)
Vì toán tử
ˆ
k
b
liên hiệp với toán tử
ˆ
k
b
nên:
'
ˆ ˆ
, 0
k k
b b
(2.26)
Khi k = k’ ta thấy:
ˆ ˆ ˆ ˆ
0
k k k k
b b b b
Giả sử trạng thái hệ N hạt Fermion có n
1
hạt ở trạng thái k
1
, n
2
hạt ở
trạng thái k
2
, … n
s
hạt ở trạng thái k
s
. Hàm sóng mô tả trạng thái của hệ N hạt
