Áp dụng thống kê Bose - Einstein biến dạng q nghiên cứu trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein

Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR
1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2


BÙI VĂN THIỆN

ÁP DỤNG THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN
BIẾN DẠNG q NGHIÊN CỨU TRẠNG
THÁI NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ











HÀ NỘI, 2009
Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR

2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2


BÙI VĂN THIỆN

ÁP DỤNG THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN
BIẾN DẠNG q NGHIÊN CỨU TRẠNG
THÁI NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN

Chuyên ngành: Vật lý chất rắn
Mã số: 60 44 07

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ



Người hướng dẫn khoa học: TS. LƯU THỊ KIM THANH






HÀ NỘI, 2009

Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR
3

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện tại trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh. Người đã đặt nền móng
cho bản luận văn và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành bản luận văn này, cô
luôn động viên tôi trong học tập và trong công tác nghiên cứu khoa học.
Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối với cô.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại Học Sư Phạm
Hà Nội 2, Phòng Sau Đại Học và Khoa Vật Lý đã tạo mọi điều kiện thuận lợi
cho tôi hoàn thành chương trình học cao học và hoàn thành luận văn tốt
nghiệp này.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện, đóng góp
những ý kiến, kinh nghiệm quý báu giúp tôi hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, tháng 09 năm 2009
Tác giả


Bùi Văn Thiện






LỜI CAM ĐOAN

Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR
4

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của Tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh. Luận văn này không trùng lặp với
những đề tài nghiên cứu khác.


Hà Nội, tháng 09 năm 2009
Tác giả


Bùi Văn Thiện














MỤC LỤC

Trang
Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR
5

Mở đầu 1
Nội dung
3

Chương 1: Xây dựng thống kê

Bose – Einstein bằng
phương pháp lý thuyết trường.
3

1.1. Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính. 3
1.2. Các toán tử sinh hủy Boson . 10
1.3. Xây dựng Thống kê Bose – Einstein bằng phương
pháp lý thuyết trường lượng tử. 13
Kết luận chương 1 16
Chương 2: Các áp dụng Thống kê Bose – Einstein.
17

2.1. Khí Boson lý tưởng.

17

2.2. Hiện tượng ngưng tụ Bose – Einstein. 18

2.2.1. Ứng dụng trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein
giải thích các hiện tượng vật lý. 24
2.2.2. Trạng thái kết hợp. 27
2.3. Phương trình trạng thái. 28
Kết luận chương 2 31
Chương 3. Áp dụng thống kê Bose – Einstein biến dạng
q

nghiên cứu trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein.
32
3.1. Lý thuyết q- số. 32
3.2. Thống kê Bose – Einstein biến dạng q. 36
3.3. Áp dụng thống kê Bose – Einstein biến dạng q
nghiên cứu trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein. 38
3.4. Áp dụng thống kê Bose – Einstein biến dạng q
vào phương trình trạng thái. 44
Kết luận chương 3 57
Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR
6

Kết luận chung 58
Danh mục các công trình đã được công bố 59
Tài liệu tham khảo 60

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Căn cứ vào số lượng tử spin, các hạt vi mô được chia thành hai loại:
Các Boson có Spin nguyên và các Fermion có Spin bán nguyên. Điều khác
Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR
7

biệt giữa các Boson và Fermion là ở chỗ: Các Fermion tuân theo nguyên lý
loại trừ Pauli, nghĩa là trong hệ nhiều Fermion đồng nhất không thể có quá
một hạt ở trong cùng một trạng thái, hay nói cách khác mỗi trạng thái của hệ
chỉ có thể bị bỏ trống hoặc bị chiếm bởi một Fermion mà thôi. Còn đối với hệ
nhiều Boson đồng nhất, mỗi trạng thái của hệ có thể bị chiếm bởi bao nhiêu
Boson cũng được.
Đầu thế kỉ XX, Einstein sau khi xây dựng xong thống kê Bose –
Einstein trên cơ sở đặc điểm của hệ Boson là số các hạt đồng nhất ở trong
cùng một trạng thái có thể tùy ý. Ông đã tiên đoán có tồn tại một trạng thái

vật chất đặc biệt đó là trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein. Kể từ đó tiên đoán
của Einstein đã được ứng dụng giải thích các hiện tượng vật lý như hiện
tượng siêu dẫn, siêu chảy…và thu hút được rất nhiều nhà vật lý trên thế giới
quan tâm. Năm 2001 ba nhà vật lý người Mỹ đã bằng thực nghiệm tạo ra
được trạng thái ngưng tụ với kim loại kiềm, cả ba nhà vật lý đã được trao giải
Nobel. Phát minh này đã mở ra các công nghệ mới cho khoa học. Với sự hấp
dẫn của vấn đề này cho nên tôi chọn đề tài “Áp dụng thống kê Bose –
Einstein biến dạng q nghiên cứu Trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein”.
Trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein thường xảy ra ở nhiệt độ thấp khi
đó các hạt Boson đã bị biến dạng, vì vậy tôi muốn áp dụng quan điểm của dao
động tử điều hòa biến dạng để nghiên cứu trạng thái ngưng tụ.



2. Mục đích nghiên cứu.
- Xây dựng hàm phân bố Bose – Einstein trong trường hợp biến dạng.
Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR
8

- Áp dụng hàm phân bố Bose – Einstein để nghiên cứu trạng thái ngưng
tụ Bose – Einstein, tìm được biểu thức nhiệt độ ngưng tụ phụ thuộc
vào thông số biến dạng q.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Chương 1. Xây dựng thống kê Bose – Einstein bằng
phương pháp lý thuyết trường lượng tử.
Chương 2. Các áp dụng Thống kê Bose – Einstein.
Chương 3. Áp dụng thống kê Bose – Einstein biến dạng q
nghiên cứu trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Các hạt có Spin nguyên – các hạt Boson.
5. Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp của vật lý lý thuyết.
Phương pháp toán giải tích.
Phương pháp của lý thuyết trường lượng tử.
6. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài:
Đề tài sau khi hoàn thành sẽ:
- Xây dựng được lý thuyết hàm phân bố thống kê Bose – Einstein
trong trường hợp biến dạng.
- Áp dụng thống kê Bose – Einstein biến dạng để nghiên cứu trạng
thái ngưng tụ Bose – Einstein, tìm được biểu thức giải tích của nhiệt
độ ngưng tụ phụ thuộc vào thông số biến dạng, góp phần định
hướng cho thực nghiệm nghiên cứu thêm sự ảnh hưởng của thông
số dạng q lên các đặc tính của các hạt Boson.

NỘI DUNG
Chương 1
Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR
9


XÂY DỰNG THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN BẰNG
PHƯƠNG PHÁP LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

1.1. Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính.
Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m,
chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi

f kx 
dọc theo một
đường thẳng nào đó.
Ta có biểu thức toán tử Hamiltonian của dao động tử điều hòa một
chiều [1], [6]:



2
2
2
ˆ
2 2
x
p
m
H x
m

 
(1.1)
Trong đó:
ˆ ˆ
x q x 
là toán tử tọa độ.

ˆ ˆ
x
d
p p i

dx
  

là toán tử xung lượng.
Hệ thức giao hoán giữa
ˆ
p
và
ˆ
q
:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ
[ , ]
p q pq qp 
( )
d d
i x x i
dx dx
    
d d
i x i x
dx dx
   


ˆ ˆ
[ , ] ( )
d d
p q i x i x

dx dx
  
   
i

  


ˆ ˆ
[ , ]
p q i   
. (1.2)
Do đó ta có thể biểu diễn toán tử Hamiltonian theo
ˆ
p
và
ˆ
q
như sau:



2
2
2
ˆ
2 2
p m
H q
m


 
. (1.3)
Ta đặt:
ˆ ˆ ˆ
( )
2
m
p i a a


 



ˆ ˆ ˆ
( )
2
q a a
m


 


Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR
10

Khi đó ta biểu diễn
ˆ
H
theo
ˆ
a
và
ˆ
a

như sau:



2
2 2
2
2 2 2
1
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
p m m m
H q i a a a a
m m m
  

 
          

 


2 2
1
ˆ ˆ ˆ ˆ
[( ) ( ) ]
2 2
a a a a

 
    



1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
[( )( ) ( )( )]
2 2
a a a a a a a a

   
      



1
ˆ ˆ ˆ ˆ
(2 2 )
2 2

aa a a

 
  



ˆ ˆ ˆ ˆ
( )
2
aa a a

 
 

. (1.4)
Ta biểu diễn các toán
ˆ
a
và
ˆ
a

ngược lại qua
ˆ
p
và
ˆ
q
:

ˆ
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( )
2
2
m p
p i a a a a ip
m
m
i



 
      





ˆ
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( )
2
2
q m
q a a a a q

m
m



 
     




Từ đó ta thu được:

ˆ
ˆ ˆ
( )
2
m p
a q i
m


 

(1.5)

ˆ
ˆ ˆ
( )
2

m p
a q i
m



 

. (1.6)
Dễ dàng chứng minh được các toán tử
ˆ
a
và
ˆ
a

thỏa mãn hệ thức
giao hoán:

ˆ ˆ
[ , ] 1
a a


(1.7)


Thật vậy:
Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR
11


ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
[ , ] ( ) ( )
2 2
m p m p
a a aa a a q i q i
m m
 
 
  
    
 


ˆ ˆ
ˆ ˆ
( ) ( )
2 2
m p m p
q i q i
m m
 
 
  
 

1
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ
(2 2 ) ( ) 1
2
i
i pq i qp pq qp
 

    
 
.
Vậy ta thu được toán tử Hamiltonian có dạng:

1
ˆ
ˆ ˆ
( )
2
H a a


 

(1.8)
Ta đưa vào toán tử mới
ˆ
ˆ ˆ
N a a



[1], [5]. (1.9)
Hệ thức giao hoán giữa toán tử
ˆ
N
với các toán tử
ˆ
a
và
ˆ
a

là:
+
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
[ , ]
N a Na aN a aa aa a
 
   
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) 1.
a a aa a a a
 
     

Hay
ˆ ˆ
ˆ ˆ
( 1)

Na a N
 
. (1.10)
+
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
[ , ]
N a Na a N a aa a a a
      
   
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( )a aa a a
  
 
ˆ
.1a



Hay
ˆ ˆ
ˆ ˆ
( 1)
Na a N
 
 
. (1.11)
Ta kí hiệu
| n
là véc tơ riêng của toán tử

ˆ
N
ứng với trị riêng
n
.
Khi đó ta có phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử
ˆ
N

như sau:

ˆ
| |N n n n  
(1.12)


ˆ
| | | |n N n n n n    
|n n n  


ˆ
| |
|
n N n
n
n n
 
 
 

ˆ ˆ
| |
|
n a a n
n n

 

 
0
. (1.13)
Vì :
2
| | ( ) | 0
n
n n r dr

   

 


2
ˆ ˆ ˆ
| | | ( ) | 0
n
n a a n a r dr


   


 
.


Kết luận 1:
Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR
12

Các trị riêng của toán tử
ˆ
N
là các số không âm.
Xét véc tơ trạng thái thu được
ˆ
|a n
bằng cách tác dụng toán tử
ˆ
a
lên
véc tơ trạng thái
| n
. Tác dụng lên véc tơ trạng thái này toán tử
ˆ
N
và sử dụng
công thức (1.10) ta có:

ˆ ˆ
ˆ ˆ
| ( 1) |Na n a N n   

ˆ
ˆ ˆ
| |aN n a n  


ˆ ˆ
( 1) | ( 1) |a n n n a n     
. (1.14)
Hệ thức trên có ý nghĩa là:
Véc tơ trạng thái
ˆ
|a n
cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử

ˆ
N
ứng với trị riêng
( 1)
n

.
Tương tự như vậy
2
ˆ
| ;a n
3

ˆ
|a n
…cũng là véc tơ trạng thái của
toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng
( 2),( 3)
n n
 
…
Ta tiếp tục xét véc tơ trạng thái
ˆ
|a n


, tác dụng lên véc tơ trạng thái
này toán tử
ˆ
N
, sử dụng công thức (1.11) ta có:

ˆ ˆ
ˆ ˆ
| ( 1) |Na n a N n
 
   
ˆ
ˆ ˆ
| |a N n a n

 
   


ˆ ˆ
( 1)| ( 1) |a n n n a n
 
     
. (1.15)
Hệ thức trên có ý nghĩa là: Véc tơ trạng thái
ˆ
a

cũng là véc tơ
trạng thái riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng
( 1)
n

.
Tương tự như vậy
2 3
ˆ ˆ
| ; |a n a n
 
 
cũng là véc tơ trạng thái riêng
của toán tử

ˆ
N
ứng với trị riêng
( 2),( 3)
n n
 
…
Kết luận 2:
Nếu
| n
là một véc tơ riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng
n
thì
ˆ
|
p
a n

cũng là một véc tơ riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng
n p
( 1,2,3 )
p

.

Kết hợp kết luận 1 và kết luận 2 ta thấy
n
là một trị riêng của toán tử
ˆ
N
thì chuỗi các số không âm
1, 2, 3,
n n n
  
cũng là trị riêng của toán tử
ˆ
N
.
Vì chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ thì:
Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR
13

min
ˆ
|a n

0
(1.16)
Vì nếu
min
ˆ
| 0
a n

 
thì đó là véc tơ trạng thái ứng với trị riêng
min min
1
n n 

trái với giả thiết
min
n
là trị riêng nhỏ nhất.
Từ (1.16) ta có:
min min
ˆ
ˆ ˆ
| | 0
a a n N n

   
(1.17)
Mặt khác theo định nghĩa
min
ˆ
|N n

min min
|n n
 
(1.18)
So sánh hai phương trình (1.17) và (1.18) ta đi đến kết luận như sau:
Kết luận 3:

Trị riêng nhỏ nhất của toán tử
ˆ
N
là
min
n
có giá trị bằng 0. Véc tơ trạng
thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của
ˆ
N
được kí hiệu
| 0
. Véc tơ trạng thái này
thỏa mãn điều kiện
ˆ
| 0 0
a
 
.
Ta có:
+
ˆ
| 0
a


tỉ lệ với véc tơ riêng
|1
của
ˆ

N
ứng với trị riêng
1
n

.
Thật vậy ta có:
ˆ
|1 1|1
N
  
. (*)
Mà
ˆ
| 0
a


là một véc tơ riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng
0+1=1, tức là
ˆ
ˆ ˆ
| 0 1. | 0
Na a
 
  
.(**)

Từ (*) và (**) ta thấy:
|1
là véc tơ riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng là 1.
ˆ
| 0
a


là véc tơ riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng là 1.
Vì vậy
ˆ
| 0
a


phải tỉ lệ với véc tơ riêng
|1
của toán tử
ˆ
N
ứng với
trị riêng
1
n


.
+ Tương tự
2
ˆ
| 0
a


tỉ lệ với véc tơ riêng
| 2
của toán tử
ˆ
N
ứng với trị
riêng
2
n

,…,
ˆ
| 0
n
a


tỉ lệ với véc tơ riêng
| n
của toán tử
ˆ

N
ứng với trị riêng
n
.
Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR
14

Từ biểu thức:
1
ˆ
ˆ ˆ
( )
2
H a a


 

1
ˆ
( )
2
N

 

ˆ
2

N


 





ˆ ˆ
| 0 | 0 | 0
2
H N


    


Vì:
ˆ
| 0 0 | 0 0
N
   


ˆ
| 0 | 0 | 0
2
o
H E


     

.
Nên:
| 0
là véc tơ riêng của
ˆ
H
ứng với trị riêng
1
2
o
E





|1
là véc tơ riêng của
ˆ
H
ứng với trị riêng
1
1
(1 )
2
E


 


. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

| n
là véc tơ riêng của
ˆ
H
ứng với trị riêng
1
( )
2
n
E n

 

.
Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián
đoạn với các giá trị cách đều nhau, hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề
nhau luôn luôn bằng một lượng tử năng lượng


.

2
1 5
(2 )
2 2

E
 
  
 


1
1 3
(1 )
2 2
E
 
  
 


12 2 1
E E E

     

Trạng thái
| 0
có năng lượng thấp nhất là
o
E
, trạng thái tiếp theo
|1

với năng lượng

o
E

 
có thể được xem như là kết quả của việc thêm một
lượng tử năng lượng


vào trạng thái
| 0
. Trạng thái tiếp theo
| 2
ứng với
năng lượng
1
2
o
E E
 
   
có thể được xem như là kết quả của việc thêm
một lượng tử năng lượng


vào trạng thái
|1
, cũng có nghĩa là thêm hai
lượng tử năng lượng



vào trạng thái
| 0
. Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là
o
E
thì có thể coi trạng thái
| 0
là trạng thái không chứa lượng tử nào. Vì vậy
| 0
được gọi là trạng thái chân không,
|1
là trạng thái chứa một lượng tử,
| 2

Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR
15

là trạng thái chứa hai lượng tử . . .
| n
là trạng thái chứa
n
lượng tử. Toán tử
ˆ
N
có các giá trị nguyên không âm, cách nhau một đơn vị được đoán nhận là
toán tử số năng lượng. Toán tử
ˆ
a

khi tác dụng lên
| n
cho một trạng thái tỉ lệ
với
| 1
n
 
do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng. Toán tử
ˆ
a

khi tác dụng lên
| n
cho một trạng thái tỉ lệ với
| 1
n
 
do đó được đoán
nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng. Nếu ta tưởng tượng rằng lượng tử
năng lượng là một hạt thì toán tử
ˆ
N
sẽ là toán tử số hạt,
ˆ
a
sẽ là toán tử hủy
hạt,
ˆ
a


sẽ là toán tử sinh hạt, khi đó trạng thái
| n
với năng lượng
n
E

 
sẽ
là trạng thái chứa
n
hạt, đó là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa.
Trong cơ học lượng tử trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa có
thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng


[1], [3], [5].
Như ta đã lập luận ở trên khi toán tử
ˆ
a
tác dụng lên
| n
cho một trạng
thái tỉ lệ với
| 1
n
 
và toán tử
ˆ
a


khi tác dụng lên
| n
cho một trạng thái tỉ lệ
với
| 1
n
 
. Do đó, chúng ta sẽ tính các hệ số tỉ lệ
n

,
n

,
n

trong các hệ thức:

ˆ
| | 1
n
a n n

   


ˆ
| | 1
n
a n n



   


ˆ
| | 0
n
n
n a


  

Để cho các véc tơ là trực giao và chuẩn hóa thì:
,
1
,
0
m n
khi m n
m n
khi m n



   




+ Tìm
n

: Chúng ta có
ˆ
| |
|
n N n
n
n n
 

 
,
ˆ
| |
m n
n N n

 


Vì:
m n
nên
,
1
m n






n 
ˆ
| |n N n 

ˆ ˆ
| |n a a n

 

Mặt khác
*
ˆ
| 1|
n
n a n


   

Do đó
n 
*
1| | 1
n n
n n
 

   
2 2
| | 1| 1 | |
n n
n n
 
     

Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR
16

Coi
n

là thực nên
n
n


.
+ Tìm
n

: Ta có
n 
ˆ
| |n N n 


ˆ ˆ
| |n a a n

 
ˆ ˆ
| 1|n aa n

   

Mặt khác
*
ˆ
| 1|
n
n a n

   

Do đó:
n 
ˆ
| |n N n 

ˆ ˆ
| |n a a n

 
ˆ ˆ
| 1|n aa n


   


* 2
1| | 1 1 | | 1
n n n
n n
  
       

Coi
n

là số thực nên
2
n

1n 

n

1n 
.
+ Tìm
n

: Ta có
ˆ
| | 0
n

n
n a


  
1
ˆ ˆ
( ) | 0
n
n
a a

  
 



1
0
ˆ
| ( ) |1
n
n
n a
 
 
  
2
0
ˆ ˆ

( ) |1
n
n
a a
 
  
 
2
0 1
ˆ
( ) | 2
n
n
a
  
 
 




| n
2
0 1
ˆ
( ) | 2
n
n
a
  

 
 
. . …



| n
0 1 3 1
|
n n
n
    

 




| n
1.2.3 |
n
n n

 
!|
n
n n

 



n



1
!n
.
Vậy ta thiết lập được các công thức sau:

ˆ
| |N n n n  


ˆ
| | 1
a n n n
   
(1.19)

ˆ
| 1 | 1
a n n n

    
(1.20)

1

ˆ
| | 0
!
n
n a
n

  
(1.21)
1.2. Các toán tử sinh, hủy Boson.
Ta đã tìm được các hệ thức giao hoán của toán tử sinh hạt và toán tử
hủy hạt [1], [2], [5]:
ˆ ˆ
[ , ]a a

=1


ˆ ˆ ˆ ˆ
[ , ] [ , ] 0
a a a a
 
 
(1.22)
Mở rộng các hệ thức này cho hệ nhiều hạt ở nhiều trạng thái khác nhau
như sau:
Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR
17

ˆ ˆ
[ , ]=
a a
  


(1.23)

ˆ ˆ ˆ ˆ
[ , ]=[ , ]=0
a a a a
   
 
. (1.24)
Hệ thức giao hoán trên được thực hiện trong không gian Fock với véc
tơ cơ sở riêng đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử
ˆ
N
.

1
ˆ
| | 0
!
n
n a
n


  

Tác dụng toán tử
ˆ
a
,
ˆ
a

lên các véc tơ trạng thái
| n
ta được:

ˆ
| | 1
a n n n
   


ˆ
| 1 | 1
a n n n

    

Với toán tử số hạt
ˆ
N
được biểu diễn theo các toán tử sinh hạt và hủy
hạt:

ˆ
ˆ ˆ
N a a


.
Ta sẽ xem xét xem là đối với các hạt Boson là các hạt có Spin nguyên
thì nó có tuân theo các hệ thức giao hoán hay không?
Để trả lời câu hỏi này ta xây dựng véc tơ trạng thái của hệ hai hạt ở hai
trạng thái khác nhau

và

:

|

 
ˆ ˆ
| 0
a a
 
 

(1.25)

ˆ ˆ
| | 0
a a

 

 
  
. (1.26)
Trong đó
| 0
là trạng thái chân không không chứa hạt nào.
Từ biểu thức (1.22) ta có:
ˆ ˆ
a a
 
 
ˆ ˆ
a a
 
 

do đó ta suy ra
|

 
|


.
Như vậy véc tơ trạng thái của hệ hai hạt đồng nhất có tính chất đối
xứng với phép hoán vị hai hạt.
Và ta biết rằng những hạt được mô tả bởi hàm sóng đối xứng là
những hạt có Spin nguyên, tức là các hạt Boson.

Kết luận 4:
Các toán tử sinh hạt, hủy hạt Boson phải tuân theo hệ thức giao hoán:
Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR
18


ˆ ˆ
[ , ]a a

=1


ˆ ˆ
[ , ]=
a a
  




ˆ ˆ ˆ ˆ
[ , ] [ , ]=0
a a a a
   
 


Ta đi tìm biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson

ˆ
a

, huỷ Boson
ˆ
a
và toán tử số hạt
ˆ
N
:
Bằng cách áp dụng liên tiếp (1.19) và (1.20) ta có các đẳng thức sau:

ˆ ˆ
| ( 1) |aa n n n

   


ˆ ˆ
| |a a n n n

  

Như vậy các trị riêng của các tích những toán tử
ˆ ˆ
aa

và
ˆ ˆ
a a


lần lượt
bằng
1n 
và
n
. Do đó ma trận của những toán tử này trong biểu diễn
riêng của chúng là những ma trận chéo.

ˆ ˆ
( ) ( 1)
mn mn
aa n


 
và
ˆ ˆ
( )
mn mn
a a n




Giả sử biễu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson
ˆ
a

, huỷ

Boson
ˆ
a
là:
00 01 02
10 11 12
20 21 22
00 01 02
10 11 12
20 21 22


ˆ




ˆ


a a a
a a a
a
a a a
a a a
a a a
a
a a a
  
  


  
 
 
 

 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
(1.27)


Ta có:
' '
ˆ
| | | 1| 1
n a n n n n

      
'
1 | 1
n n n

    

Mà
'
'
'
, 1
'
1 1
| 1
0 1
n n
khi n n
n n
khi n n



 

    

 



Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR
19

Do đó
'
1 | 1
n n n
   
'
'
1 1
0 1
n khi n n
khi n n

  



 



Tương tự ta cũng có:
' '
ˆ
| | | | 1
n a n n n n
     
'
| 1
n n n

   

Mà
'
'
'
, 1
'
1 1
| 1
0 1
n n
khi n n
n n
khi n n



 

    

 



Do đó:
'
| 1
n n n

  
'
'
1
0 1
n khi n n
khi n n

 



 



Vậy biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson
ˆ
a

, huỷ Boson
ˆ
a
và
toán tử số hạt
ˆ
N
có dạng:

0 1 0

0 0 2
ˆ
0 0 0 3

0 0 0
1 0 0
ˆ
0 2 0

0 0 0
0 1 0
ˆ
ˆ ˆ
0 0 2

a
a
N a a


 
 
 

 
 
 
 
 
 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(1.28)
1.3. Xây dựng Thống kê Bose – Einstein bằng phương
pháp lý thuyết trường lượng tử.
Để xây dựng thống kê Bose – Einstein ta xuất phát từ biểu thức tính giá
trị trung bình của đại lượng vật lý
F
[1], [2], [5]:

ˆ ˆ
( )
ˆ
( )
H N
Tr e F
F
Z
 

 

(1.29)
Trong đó
Z
là tổng trạng thái, xác định tính chất nhiệt động của hệ
và có dạng:
Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR
20


ˆ ˆ
( )
( )
H N
Z Tr e
 
 


ˆ ˆ
( )
0
| |
H N
n
n e n
 


 

  

(1.30)
Với:
1
k T





k

: Là hằng số Boltzman

T
: Là nhiệt độ của hệ

H
: Là Hamiltonian của hệ
Ở trên ta đã chọn mốc tính năng lượng
0
2
E




.
Khi đó
|N n n

  
,
ˆ ˆ
H N


.
Với

là năng lượng của một dao động tử.
Mặt khác ta lại có
ˆ
| |N n n n  
và điều kiện trực chuẩn:

,
|
m n
m n

  

Sử dụng các biểu thức trên ta được:

Z
ˆ ˆ

( )
0
| |
H N
n
n e n
 

 

  

ˆ
( )
0
| |
N
n
n e n
  

 

  

( )
0
| |
n
n

n e n
  

 

  



( )
0
|
n
n
e n n
  

 

  


( )
0
n
n
e
  

 




, vì
| 1
n n
  
.
Ta thấy
( )
0
n
n
e
  

 


là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với
công bội là
( )
e
  
 
và số hạng đầu tiên ứng với
0
n

có giá trị bằng 1.

Vậy:
Z
( )
1
1 e
  
 


( )
( )
1
e
e
  
  




. (1.31)
Thay toán tử
ˆ
F
bằng toán tử số dao động
ˆ
N
vào công thức (1.29).
Ta có:
ˆ

N 
ˆ ˆ
a a

  

ˆ ˆ
( )
ˆ
( )
H N
Tr e N
Z
 
 
. (1.32)
Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR
21

Trong đó
ˆ ˆ
( )
ˆ
( )
H N
Tr e N
 
 


ˆ ˆ
( )
0
ˆ
| |
H N
n
n e N n
 

 

 

ˆ
( )
0
ˆ
| |
N
n
n e N n
  

 

  


( )
0
| |
n
n
n e n n
  

 

  

( )
0
|
n
n
e n n n
  

 

  



( )
0
n

n
e n
  

 





( ) ( ).2
0 2e e
     
   
   
. . . .
Đặt
( )
x
  
  

Ta có: I
( )
0
n
n
e n
  


 



.
0
( ).
n x
n
e n




2 3
0 2. 3.
x x x
e e e
    

nx
ne


2 3
2. 3.
x x x
e e e
  
….

nx
ne

2 3 '
( )
x x x nx
e e e e
   


2 ( 1) '
[ (1 )]
x x x n x
e e e e

   

Mà
2 ( 1)
1
1
1
x x n x
x
e e e
e

   


Do đó I
'
( )
1
x
x
e
e


2
(1 ) .
(1 )
x x x x
x
e e e e
e
 


2
(1 )
x
x
e
e




ˆ ˆ
( )
ˆ
( )
H N
Tr e N
 
 
( )
( ) 2
[1 ]
e
e
  
  
 
 


. (1.33)
Thay (1.31) và (1.33) vào (1.32) ta có:

ˆ
N 
( )
( ) 2
( )
( )
[1 ]

[ -1]
e
e
e
e
  
  
  
  
 
 




( )
( ) 2
( )
( )
[ -1]
[ -1]
e
e
e
e
  
  
  
  






( )
1
-1e
  


.
Vậy:
ˆ
N 
( )
1
-1e
  


1
-1
k T
e

 


. (1.34)
Đây là biểu thức tính số hạt trung bình ở trên cùng một mức năng

lượng

được gọi là phân bố thống kê Bose – Einstein cho hệ đồng nhất các
hạt Boson.
Kết luận chương 1:
Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR
22

Như vậy trong chương 1 chúng ta đã tính toán được các toán tử sinh hạt
và hủy hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính và của các Boson tạo cơ sở
tính toán cho các chương sau.
Xây dựng được hàm phân bố thống kê Bose – Einstein bằng phương
pháp lý thuyết trường lượng tử, với hàm phân bố đã xây dựng được ta áp
dụng vào nghiên cứu một số hiện tượng vật lý sẽ được trình bày trong chương
2.

Chương 2
Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR
23

CÁC ÁP DỤNG THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN

2.1. Khí Boson lý tưởng.
Khí Boson lý tưởng giống như chất khí lý tưởng do đó khí
Boson – Einstein lý tưởng có các tính chất sau đây:
Khối khí Boson gồm vô số các phân tử khí, các phân tử khí có kích
thước rất nhỏ so với khoảng cách giữa chúng. Các phân tử khí chuyển động
hỗn loạn không ngừng và chỉ tương tác với nhau khi va chạm và sự va chạm
này là hoàn toàn đàn hồi. Sự va chạm của các phân tử khí lên thành bình gây
lên áp suất. Do đó, áp suất chất khí bằng áp suất va chạm các phân tử khí với
thành bình.
Các định luật đối với khí Boson lý tưởng chỉ đúng trong điều kiện nhiệt
độ và áp suất thường (trong phòng thí nghiệm) đối với chất khí có áp suất cao
thì không hoàn toàn đúng.
Khí Boson lý tưởng tuân theo các định luật thực nghiệm của khí lý
tưởng. Vì các phân tử khí có kích thước rất nhỏ so với khoảng cách giữa
chúng nên chúng có thể được coi như những chất điểm, khi đó thể tích bình
chứa chính là thể tích dành cho chuyển động của các phân tử.

Nhiệt độ và áp suất là các đại lượng đặc trưng cho chuyển động nhiệt
của các phân tử và của các va chạm các phân tử khí với thành bình.
Lực liên kết giữa các phân tử khí và các lực tương tác hoàn toàn bằng
không [1], [6].



2.2. Hiện tượng ngưng tụ Bose – Einstein.
Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR
24

Ở nhiệt độ thấp khí Boson có tính chất khác hẳn khí Fecmi, vì các hạt
Boson không chịu sự chi phối của nguyên lý cấm Paoli nên ở nhiệt độ không
tuyệt đối tất cả các hạt đều có năng lượng
0


, do đó trạng thái cơ bản của
tất cả chất khí là trạng thái có năng lượng E
0
. Còn đối với khí Fecmi, chẳng
hạn như khí điện tử tự do trong kim loại thì ở nhiệt độ
0T K
các hạt lần lượt
chiếm các trạng thái có năng lượng từ 0 tới mức Fecmi, do đó năng lượng của
cả hệ khác 0 [2], [6].
Khí Boson tuân theo quy luật phân bố thống kê Bose – Einstein, vì vậy
số hạt trong khoảng năng lượng

d

là:

. ( )dn N f d
 

(2.1)
Trong đó:
( )f d
 
là số các mức năng lượng trong khoảng

đến
d
 

.

( )
N

là số hạt trung bình ở trên cùng một mức năng lượng

tức hàm phân bố Bose – Einstein:
( )
( )
1
g
N

exp
k T



 

 

 

 
 
 
. (2.2)
Với
k

là hằng số Boltzmann,

là thế hoá học,
( )g

là
bội suy biến của các trạng thái lượng tử.
Theo quan điểm lượng tử các hạt Boson chứa trong thể tích
V
có thể
xem như các sóng đứng De Broglie.
Ta có số sóng đứng có chiều dài (modun) của véc tơ sóng

k

từ
k
đến
k dk
:

2
2
( )
2
k dk
f k dk V


(2.3)
Theo giả thiết De Broglie ta có hệ thức giữa xung lượng
p

và véc tơ
sóng
k

là:
Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR
25

p k



, do đó (2.3) được viết lại như sau:
2
2 3
( ) .
2
p
f p dp V dp



(2.4)
Mặt khác với các hạt phi tương đối tính (tức là các hạt có vận tốc

v c
) thì ta lại có:

2
2
p
m






2
2p m



2
2
m
dp d





2
2
2
2
m
p dp m d
 

 
3
2
m


d


Nên (2.4) được viết lại như sau:
3
2 3
2
( )
2
m V
f d d
   



(2.5)
Bởi vì các hạt có thể có các định hướng Spin khác nhau nên số trạng
thái khả dĩ ứng với cùng một giá trị của Spin s của hạt là
2 1g s 
. Bội suy
biến
( )g

phụ thuộc vào Spin của hạt, nếu Spin của hạt bằng 0 chẳng hạn như
phân tử
4
2
He
thì bội suy biến
( ) 1
g



.
Thay (2.2 và (2.5) vào (2.1) ta thu được số hạt trung bình có năng
lượng trong khoảng

đến
d
 

bằng:

3 1
2 2
2 3
(2 )
( )
4
1
k T
g m V
dn d
e

 

 


 



. (2.6)
Lấy tích phân trong khoảng năng lượng từ 0 đến

, ta được tổng số hạt
của chất khí:

0
( ). ( ). ( )
N N f d
  



3 1
2 2
2 3
0
(2 )
4
1
k T
g m V
d
e

 










. (2.7)
Số hạt
( )dn

trong khoảng năng lượng từ

đến
d
 

phải là số dương,
vì vậy thế hóa học

phải thỏa mãn điều kiện

0
.