Ánh xạ giả đơn điệu và ánh xạ liên tục yếu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
VŨ THỊ BÍCH THỦY
ÁNH XẠ GIẢ ĐƠN ĐIỆU
VÀ ÁNH XẠ LIÊN TỤC YẾU
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01
Hà Nội-2012
2
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
VŨ THỊ BÍCH THỦY
ÁNH XẠ GIẢ ĐƠN ĐIỆU
VÀ ÁNH XẠ LIÊN TỤC YẾU
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01
Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĂN BẰNG
Hà Nội-2012
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học sư
phạm Hà Nội 2. Trước hết, tác giả xin bày tỏ sự kính trọng, lòng biết
ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Trần Văn Bằng đã luôn hướng dẫn và chỉ
bảo chu đáo, tận tình, nghiêm khắc trong suốt quá trình tác giả học tập
và nghiên cứu luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Sau đại học,
trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 cũng như toàn thể các thầy cô giáo
trong trường đã quan tâm và dành cho tác giả những điều kiện tốt nhất
trong thời gian học tập và nghiên cứu tại đây.

Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ, tạo điều kiện của Ban
Giám Hiệu Trường THPT Phúc Yên.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp xác đáng của các
thầy giáo phản biện để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên
và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2012
Tác giả
Vũ Thị Bích Thủy
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi,
được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học
của các nhà khoa học nghiên cứu với sự trân trọng biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2012
Tác giả
Vũ Thị Bích Thủy
Mục lục
Mở đầu vi
1 Một số kiến thức chuẩn bị 1
1.1 Giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Không gian Banach, không gian lồi địa phương . 1
1.1.2 Hàm và ánh xạ trên không gian Banach và không
gian đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4 Tính compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.5 Các định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Hàm liên tục và trơn . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Hàm khả tích Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.3 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Ánh xạ Nemytskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Công thức Green và một vài bất đẳng thức . . . . . . . . 24
2 Ánh xạ giả đơn điệu và ánh xạ liên tục yếu 26
2.1 Các khái niệm cơ bản, phương pháp Galerkin . . . . . . 26
2.2 Một số tính chất của ánh xạ giả đơn điệu . . . . . . . . . 31
2.3 Phương trình với ánh xạ đơn điệu . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Phương trình elliptic tựa tuyến tính . . . . . . . . . . . . 40
iii
iv
2.4.1 Bài toán biên đối với phương trình cấp hai . . . . 41
2.4.2 Công thức nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4.3 Tính giả đơn điệu, tính bức và sự tồn tại nghiệm 49
2.4.4 Phương trình cấp cao hơn . . . . . . . . . . . . . 58
2.5 Ánh xạ liên tục yếu, phương trình nửa tuyến tính . . . . 61
Kết luận 65
Tài liệu tham khảo 66
BẢNG KÍ HIỆU
A Một ánh xạ,
C(Ω) Không gian các hàm liên tục trên Ω,
C
0,1
(Ω) Không gian các hàm liên tục Lipschitz trên Ω,
C(Ω; R
n
) Không gian các hàm liên tục với giá trị trong R
n
trên Ω,
cl(·) Bao đóng của một tập hợp,
div Divergence của trường vectơ,

L(V
1
, V
2
) Không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục A : V
1
→ V
2
,
L
p
(Ω) Không gian các hàm lũy thừa bậc p khả tích Lebesgue trên Ω,
L
p
(Ω; R
n
) Không gian các hàm lũy thừa bậc p khả tích Lebesgue trên Ω
lấy giá trị trong R
n
,
meas
n
(·) Độ đo Lebesgue n chiều của một tập hợp,
N
a
Ánh xạ Nemytskii cảm sinh bởi a,
∇ Gradient (= grad =

i
∂

∂x
+

j
∂
∂y
+

k
∂
∂z
),
∇
2
Laplace, =
∂
2
∂x
2
+
∂
2
∂y
2
+
∂
2
∂z
2
,

p Số mũ liên quan đến tính bức của giới hạn cấp cao nhất
của toán tử vi phân,
p

=
p
p−1
Số mũ liên hợp của p ∈ [1, +∞],
p
∗
Số mũ trong phép nhúng W
1,p
(Ω) ⊂ L
p
∗
(Ω),
p
∗∗
Số mũ trong phép nhúng W
2,p
(Ω) ⊂ L
p
∗
(Ω),
p
#
Số mũ của toán tử vết u → u|
Γ
,
W

k,p
(Ω) Không gian Sobolev các hàm có đạo hàm suy rộng đến
cấp k thuộc L
p
(Ω),
 Kết thúc chứng minh.
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng đã và đang ngày càng phát
triển mạnh mẽ, đem lại những ứng dụng thiết thực trong các lĩnh vực
khoa học và đời sống. Có được sự phát triển đó là nhờ những tiến bộ
quan trọng trong nghiên cứu các môn cơ bản như giải tích hàm, lý thuyết
độ đo, các không gian hàm,. . ., đặc biệt là nhờ những tiến bộ vượt bậc
của khoa học máy tính. Cho đến nay ngày càng có nhiều bài toán đối
với các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến phức tạp được giải quyết
như các phương trình Schr¨odinger trong cơ học lượng tử, phương trình
Navier-Stokes trong thủy động học,. . . .
Một trong những phương pháp quan trọng và hiệu quả để nghiên cứu
bài toán biên là phương pháp năng lượng. Phương pháp này dựa trên
các đánh giá tiên nghiệm (trong vật lý gọi là các cận của năng lượng).
Để có các đánh giá đó, nói chung ta phải dựa trên tính compact yếu
của tập bị chặn trong các không gian Banach phản xạ, và tính giả đơn
điệu hay tính liên tục yếu của các toán tử vi phân (thực chất là tính bị
chặn của các toán tử vi phân từ không gian Banach này vào không gian
Banach khác).
Với lý do đó và được sự hướng dẫn của thầy giáo tiến sỹ Trần Văn
Bằng em chọn đề tài:
Ánh xạ giả đơn điệu và ánh xạ liên tục yếu,
đặt vấn đề nghiên cứu một cách có hệ thống về hai loại ánh xạ này cùng
với những ứng dụng của chúng đối với bài toán biên của phương trình

đạo hàm riêng phi tuyến.
vii
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu ánh xạ giả đơn điệu và ánh xạ liên tục yếu và
các ứng dụng trong giải phương trình đạo hàm riêng phi tuyến.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn trình bày các tính chất của ánh xạ giả đơn điệu và ánh
xạ liên tục yếu từ đó ứng dụng để giải một số phương trình elliptic tựa
tuyến tính, phương trình nửa tuyến tính.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu ánh xạ giả đơn điệu và ánh xạ liên tục yếu, các ứng
dụng trong giải phương trình đạo hàm riêng phi tuyến.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc sách, nghiên cứu tài liệu.
- Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
6. Những đóng góp mới của đề tài
- Trình bày một cách hệ thống về ánh xạ giả đơn điệu, ánh xạ liên
tục yếu.
- Nghiên cứu những ứng dụng của ánh xạ đó đối với việc giải các
phương trình đạo hàm riêng tựa tuyến tính, nửa tuyến tính.
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Giải tích hàm
1.1.1 Không gian Banach, không gian lồi địa phương
Xét không gian tuyến tính (thực) V . Một phiếm hàm không âm, thuần
nhất bậc-1, cộng tính dưới ·
V
: V → R được gọi là một chuẩn nếu
nó chỉ triệt tiêu tại 0. Thông thường, ta sẽ kí hiệu ngắn gọn · thay vì
·

V
nếu V đã xác định rõ. Một không gian tuyến tính được trang bị
một chuẩn được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn. Nếu tính chất
cuối cùng (tức là u
V
= 0 ⇒ u = 0) được bỏ qua thì ta gọi phiếm hàm
trên là nửa chuẩn; tức là một phiếm hàm |·|
ξ
: V → R là nửa chuẩn nếu
nó thỏa mãn
∀u, v ∈ V, ∀a ∈ R : 0  |u + v|
ξ
 |u|
ξ
+ |v|
ξ
và |au|
ξ
= |a||u|
ξ
.
(1.1.1)
Nếu V được trang bị một họ

|·|
ξ

ξ∈Ξ
các nửa chuẩn |·|
ξ

, với tập chỉ
số Ξ tùy ý thì ta gọi V là một không gian lồi địa phương. Khi đó một
dãy {u
k
}
k∈N
trong V được gọi là dãy Cauchy nếu
∀ξ ∈ Ξ, ∀ε > 0, ∃k
0
∈ N, ∀k
1
, k
2
 k
0
: |u
k
1
− u
k
2
|
ξ
 ε. (1.1.2)
2
Hơn nữa, dãy {u
k
}
k∈N
được gọi là hội tụ tới u ∈ V nếu

∀ξ ∈ Ξ, ∀ε > 0, ∃k
0
∈ N, ∀k  k
0
: |u
k
− u|
ξ
 ε. (1.1.3)
Khi đó u được gọi là giới hạn của dãy, và ta viết u = lim
k→∞
u
k
hoặc
u
k
→ u (hoặc với một họ nửa chuẩn đặc biệt, u
k
 u). Một tập con A
của không gian lồi địa phương V được gọi là đóng nếu giới hạn của mọi
dãy hội tụ chứa trong A đều thuộc vào A. Hơn nữa, A được gọi là mở
nếu V \A là đóng. Bao đóng của A kí hiệu bởi cl (A), là tập đóng nhỏ
nhất B ⊃ A, trong khi int (A) := A\cl (V \A) được gọi là phần trong của
A. Các họ nửa chuẩn cụ thể sẽ được định rõ bởi các tính từ khác nhau
như “mạnh” hoặc “yếu” hoặc “yếu*”. Nếu |u|
ξ
= 0 với mọi ξ ∈ Ξ dẫn đến
u = 0, thì V được gọi là không gian lồi địa phương Hausdorff. Khi đó mọi
dãy hội tụ đều có giới hạn duy nhất. Không gian tuyến tính định chuẩn
là một không gian lồi địa phương Hausdoff với họ các nửa chuẩn của nó

chỉ có một phần tử là chuẩn. Một tập con A ⊂ V được gọi là bị chặn
nếu sup
x∈A
x < +∞ và gọi là trù mật (trong V ) nếu cl (A) = V . Nếu
tồn tại tập con trù mật, đếm được trong V thì ta nói V là tách được.
Nếu mọi dãy Cauchy trong không gian tuyến tính định chuẩn V hội tụ
thì V được gọi là đầy, và không gian này gọi là không gian Banach. Một
ví dụ của không gian Banach là không gian R
n
được trang bị bởi chuẩn,
thường kí hiệu bởi |·| thay vì ·, xác định bởi |s| =


n
i=1
s
i
2

1/2
. Không
gian Banach đó thường được gọi là không gian Euclide n-chiều.
Nếu V là một không gian Banach sao cho, với mọi v ∈ V, V → R :
u → u + v
2
− u −v
2
là tuyến tính, thì V được gọi là không gian
Hilbert. Trong trường hợp này, ta định nghĩa tích trong (hay còn gọi là
tích vô hướng) bởi

(u, v) :=
1
4
u + v
2
−
1
4
u − v
2
. (1.1.4)
Theo giả thiết (·, ·) : V × V → R là một dạng song tuyến tính, đối
3
xứng và thỏa mãn (u, u) = u
2
. Ví dụ, không gian Euclide R
n
là một
không gian Hilbert.
Ta gọi không gian Banach V là lồi ngặt nếu mọi mặt cầu trong V
đều không chứa bất kì một đoạn thẳng nào. Không gian V được gọi là
lồi đều nếu
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀u, v ∈ V :
u = v = 1
u − v  ε



⇒





1
2
u +
1
2
v




 1 −δ.
(1.1.5)
Mọi không gian Banach lồi đều thì lồi ngặt, ngược lại không đúng.
1.1.2 Hàm và ánh xạ trên không gian Banach và không gian
đối ngẫu
Nhớ lại rằng, một hàm f : V → R ∪{±∞} được gọi là nửa liên tục
dưới (hay nửa liên tục trên) nếu
∀u ∈ V, u
k
→ u :f (u)  lim inf
k→∞
f (u
k
)
(tương ứng f (u)  lim sup
k→∞
f (u

k
) ).
(1.1.6)
Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn V
1
, V
2
và ánh xạ A : V
1
→ V
2
.
Ta nói rằng A là liên tục nếu nó ánh xạ dãy hội tụ trong V
1
thành
dãy hội tụ trong V
2
, và gọi là toán tử tuyến tính nếu nó thỏa mãn
A (a
1
v
1
+ a
2
v
2
) = a
1
A(v
1

) + a
2
A(v
2
) với mọi a
1
, a
2
∈ R và v
1
, v
2
∈ V
1
.
Thông thường ta sẽ viết ngắn gọn Av thay vì A (v). Nếu V
1
= V
2
thì
toán tử tuyến tính, liên tục A được gọi là toán tử chiếu nếu A ◦A = A.
Tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ V
1
→ V
2
được kí hiệu bởi
L(V
1
, V
2

), bản thân L(V
1
, V
2
) là một không gian tuyến tính định chuẩn
đối với phép cộng, phép nhân với vô hướng và chuẩn tương ứng là:
Phép cộng (A
1
+ A
2
) v = A
1
v + A
2
v ;
Phép nhân (aA) v = a (Av) ;
4
Chuẩn
A
L(V
1
,V
2
)
:= sup
v
V
1
1
Av

V
2
= sup
v=0
Av
V
2
v
V
1
. (1.1.7)
Một ánh xạ liên tục (có thể không tuyến tính) A : V
1
→ V
2
được gọi
là một phép đồng phôi (hay biến đổi tôpô) nếu nghịch đảo A
−1
: V
2
→ V
1
tồn tại và liên tục. Hơn nữa, A : V
1
→ V
2
được gọi là một phép nhúng
đồng phôi nếu A : V
1
→ A(V

1
) là đồng phôi và A (V
1
) trù mật trong V
2
.
Bản thân R là một không gian tôpô, tuyến tính nên ta có thể xét
không gian tuyến tính L(V ; R) cũng được kí hiệu bởi V
∗
và được gọi là
không gian đối ngẫu của V . Không gian ban đầu V gọi là tiền đối ngẫu
của V
∗
. Với một toán tử (là một phiếm hàm) f ∈ V
∗
, ta sẽ viết f, v
thay vì fv. Dạng song tuyến tính ·, ·
V
∗
×V
: V
∗
×V → R đó được gọi là
cặp đối ngẫu chính tắc. Thay vì ·, ·
V
∗
×V
thông thường ta viết ngắn gọn
·, ·. Ta luôn có, V
∗

là không gian Banach đối với chuẩn (1.1.7), kí hiệu
ngắn gọn ·
∗
thay vì ·
V
∗
, tức là f
∗
= sup
v1
f, v. Hiển nhiên
f, u = u

f,
u
u

 u sup
v1
f, v = f
∗
u. (1.1.8)
Nếu V là không gian Hilbert, thì ánh xạ (u → f, u) ∈ V
∗
với mọi
f ∈ V , và ánh xạ f → (u → f, u) đồng nhất V với V
∗
. Khi đó (1.1.8)
trở thành f, u ≤ fu và gọi là bất đẳng thức Cauchy-Buniakowski.
Cho hai không gian Banach V

1
, V
2
, ta có
(V
1
∩ V
2
)
∗
∼
=
V
∗
1
+ V
∗
2
:= {f = f
1
+ f
2
; f
1
∈ V
∗
1
, f
2
∈ V

∗
2
} (1.1.9)
nếu cặp đối ngẫu được định nghĩa bởi f, v = f
1
, v
V
∗
1
×V
1
+ f
2
, v
V
∗
2
×V
2
với f = f
1
+ f
2
và nếu chuẩn trên V
1
∩ V
2
được cho bởi v
V
1

∩V
2
:=
max

v
V
1
, v
V
2

trong đó f
V
∗
1
+V
∗
2
:= inf
f=f
1
+f
2

f
1

V
∗

1
+ f
2

V
∗
2

.
Định lí 1.1.1. (Nguyên lý Banach-Steinhaus) Cho {A
α
}
α∈S
là một họ
trong L(V
1
, V
2
), V
1
là không gian Banach, V
2
là không gian tuyến tính
5
định chuẩn. Khi đó tính bị chặn của {A
α
(v)}
α∈S
⊂ V
2

với mọi v ∈ V
1
kéo theo tính bị chặn của {A
α
}
α∈S
⊂ L(V
1
, V
2
).
Ta xét không gian tuyến tính định chuẩn V trang bị bởi họ các nửa
chuẩn {v → |f, v|}
f∈V ∗
, tức là nó là một không gian lồi địa phương. Các
dãy hội tụ trong không gian lồi địa phương này được gọi là hội tụ yếu. Mọi
dãy {u
k
}
k∈N
hội tụ theo chuẩn ban đầu, tức là lim
k→∞
u
k
− u
V
= 0, sẽ
được gọi là hội tụ theo chuẩn hay hội tụ mạnh. Dễ thấy, các dãy hội tụ
mạnh là hội tụ yếu.
Nếu sự hội tụ trong (1.1.6) là sự hội tụ yếu, thì hàm f : V → R sẽ

được gọi là nửa liên tục dưới (tương ứng: trên) yếu.
Định lí 1.1.2. Nếu V là lồi đều, u
k
 u và u
k
 → u thì u
k
→ u.
Tương tự, không gian Banach V
∗
có thể được trang bị với họ các nửa
chuẩn {f → |f, v|}
v∈V
, thành một không gian lồi địa phương. Dãy hội
tụ trong không gian này gọi là hội tụ yếu*. Mọi dãy {f
k
}
k∈N
hội tụ theo
chuẩn ban đầu, tức là lim
k→∞
f
k
− f
∗
= 0 đều là hội tụ yếu*. Cặp đối
ngẫu là liên tục nếu V
∗
× V được trang bị với tôpô yếu*×chuẩn hoặc
chuẩn×yếu và là (yếu*,yếu)-liên tục theo từng biến.

Mệnh đề 1.1.3. Nếu V
∗
là tách được thì V cũng tách được.
Hệ quả 1.1.1. Mọi dãy hội tụ yếu* trong V
∗
đều bị chặn nếu V là không
gian Banach. Đặc biệt mọi dãy hội tụ yếu trong không gian Banach phản
xạ V đều bị chặn.
Cho hai không gian lồi địa phương V
1
, V
2
và toán tử A ∈ L(V
1
, V
2
). Ta
định nghĩa toán tử liên hợp A
∗
∈ L(V
∗
2
, V
∗
1
) bởi A
∗
f, v = f, Av với
mọi v ∈ V
1

và f ∈ V
∗
2
. Nếu V
1
, V
2
là không gian tuyến tính định chuẩn
thì A → A
∗
là một phép đẳng cấu đẳng cự (tức là bảo toàn chuẩn) giữa
L(V
1
, V
2
) và L(V
∗
2
, V
∗
1
).
6
Bên cạnh đó, bỏ qua V
∗
là đối ngẫu của V , ta có thể nghĩ về hội
tụ yếu trên V
∗
, cảm sinh bởi họ các nửa chuẩn {f → |φ, f|}
φ∈(V

∗
)
∗
.
Không gian V
∗∗
:= (V
∗
)
∗
gọi là song đối ngẫu của V và bản thân V
được nhúng vào V
∗∗
bởi phép nhúng chính tắc i : V → V
∗∗
xác định bởi
i (v) , f = f, v. Ta sẽ thường đồng nhất V với ảnh i (V ) trong V
∗∗
vì vậy luôn có V ⊂ V
∗∗
, và bởi vậy mọi dãy hội tụ yếu trong V
∗
cũng
hội tụ yếu* tới cùng một giới hạn. Điều ngược lại đúng khi và chỉ khi
V ≡ i (V ) = V
∗∗
, trong trường hợp này không gian Banach V được gọi
là phản xạ.
Một ánh xạ A : V
1

→ V
2
gọi là bị chặn nếu nó ánh xạ tập bị chặn trong
V
1
thành tập bị chặn trong V
2
. Cấu trúc chuẩn trong V
1
, V
2
cho phép ta
định nghĩa ánh xạ A : V
1
→ V
2
là liên tục Lipschitz nếu: tồn tại  ∈ R,
và mọi u, v ∈ V
1
, ta có A (u) − A (v)
V
2
 u −v
V
1
, trong trường hợp
này  được gọi là hằng số Lipschitz. Hiển nhiên ánh xạ liên tục Lipschitz
thì bị chặn và liên tục đều theo nghĩa A (u) − A (v)
V
2

 ς

u − v
V
1

với ς là hàm tăng, ς (0) = 0. Nếu   1 (tương ứng  < 1) thì A được
gọi là ánh xạ không giãn (tương ứng ánh xạ co).
Cấu trúc tuyến tính trên V
1
, V
2
cho phép ta nghiên cứu tính trơn của
A. Ta nói rằng ánh xạ A : V
1
→ V
2
có đạo hàm tại u ∈ V theo hướng
h ∈ V , kí hiệu bởi DA (u, h) nếu tồn tại giới hạn
lim
ε0
A (u + εh) −A (u)
ε
=: DA (u, h) . (1.1.10)
Nếu ánh xạ h → DA (u, h) là tuyến tính và liên tục thì ta nói A có đạo
hàm Gâuteaux tại u ∈ V , kí hiệu bởi A

(u) ∈ L(V
1
, V

2
). Nếu tồn tại
đạo hàm Gâuteaux tại mọi điểm thì A được gọi là khả vi Gâuteaux và
A

: V
1
→ L(V
1
, V
2
). Trường hợp đặc biệt V
2
= R, phiếm hàm khả vi
Gâuteaux Φ : V
1
→ R có đạo hàm Φ

: V
1
→ V
1
∗
.
7
1.1.3 Tập lồi
Một tập A trong không gian tuyến tính được gọi là lồi nếu λu +
(1 − λ) v ∈ A với mọi u, v ∈ A; λ ∈ [0, 1]. A được gọi là một nón (với
đỉnh tại gốc O) nếu λv ∈ A với mọi v ∈ A; λ  0.
Một hàm f : V → R được gọi là hàm lồi nếu f (λu + (1 −λ) v) 

λf (u)+(1 − λ) f (v), với mọi u, v ∈ V ; λ ∈ [0, 1]. Nếu u = v và λ ∈ (0, 1)
ta đều có bất đẳng thức ngặt thì f gọi là lồi ngặt. Một hàm f : V → R
là lồi (tương ứng: nửa liên tục dưới) khi và chỉ khi trên đồ thị của nó
epi (f) := {(x, a) ∈ V × R; a  f (x)} là tập con lồi (tương ứng: đóng)
của V ×R.
Định lí 1.1.4. (Hahn-Banach) Cho K là tập con lồi, mở, khác rỗng của
không gian lồi địa phương V và L là đa tạp tuyến tính, không giao nhau
với K. Khi đó tồn tại siêu phẳng đóng L sao cho L ⊂ L và K ∩L = ∅.
Nói cách khác, tồn tại f ∈ V
∗
sao cho f, u > f, v với mọi u ∈ K và
v ∈ L.
Mệnh đề 1.1.5. Tập đóng A là lồi khi và chỉ khi
1
2
u +
1
2
v ∈ A với mọi
u, v ∈ A. Mọi tập lồi, đóng đều là đóng yếu.
Điều này suy ra rằng: phiếm hàm nửa liên tục dưới f là lồi khi và chỉ
khi
1
2
f (u) +
1
2
f (v)  f

u + v

2

. (1.1.11)
Cho tập con K lồi của không gian lồi địa phương V và u ∈ K, ta
định nghĩa nón tiếp xúc T
K
(u) ⊂ V bởi
T
K
(u) := cl


a>0
a (K − u)

. (1.1.12)
Hiển nhiên, T
K
(u) là nón lồi, đóng và v ∈ T
K
(u) nghĩa là u + a
k
v
k
∈ K
với mọi dãy {a
k
}
k∈N
⊂ R và {v

k
}
k∈N
⊂ V sao cho lim
k→∞
v
k
= v. Bên
8
cạnh đó ta định nghĩa nón pháp N
K
(u) như sau:
N
K
(u) := {f ∈ V
∗
: ∀v ∈ T
K
(u) : f, v  0}. (1.1.13)
Ta cũng có, nón pháp luôn luôn là nón lồi, đóng trong V
∗
.
1.1.4 Tính compact
Một khái niệm quan trọng và có nhiều công cụ mạnh dựa vào nó là
tính compact. Để đơn giản ta nói tập A trong không gian lồi địa phương
V là compact nếu mọi dãy trong A đều chứa một dãy con hội tụ tới
giới hạn nằm trong A. Nhớ lại rằng với không gian Banach V (có thể
có tiền đối ngẫu) có cấu trúc lồi địa phương, định chuẩn (tương ứng:
yếu hoặc có thể là yếu*) ta sẽ nói rõ tính compact theo chuẩn (tương
ứng: yếu hoặc yếu*). Nếu không có tính từ nào được đề cập đến thì đơn

giản ta hiểu là compact theo “chuẩn”. Một khái niệm yếu hơn khái niệm
compact là tiền compact: ta nói tập con A là tiền compact nếu mọi dãy
trong A đều chứa một dãy con Cauchy. Một cách phát biểu khác: tập
A là compact tương đối nếu bao đóng của nó là compact. Ta có thể dễ
dàng xây dựng khái niệm liên quan, chẳng hạn “compact yếu* tương
đối”, hoặc “compact chuẩn tương đối”. Nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ
(chẳng hạn trong không gian Banach) thì các khái niệm “tiền compact”
và “compact tương đối” đồng nhất với nhau. Vì vậy, trong không gian
Banach, compact theo chuẩn, tương đối và tiền compact theo chuẩn là
như nhau.
Ánh xạ A : V
1
→ V
2
, V
1
, V
2
là các không gian Banach, được gọi là
hoàn toàn liên tục nếu nó (yếu, chuẩn)-liên tục, tức là nó ánh xạ các
dãy hội tụ yếu thành các dãy hội tụ mạnh. Ánh xạ A được gọi là ánh
xạ compact nếu nó ánh xạ các tập bị chặn trong V
1
thành các tập tiền
compact trong V
2
. Nếu V
1
là phản xạ thì mọi ánh xạ hoàn toàn liên tục
là compact, điều ngược lại nói chung không đúng.

9
Định lí 1.1.6. (Nguyên lý chọn – Banach) Trong không gian Banach
với tiền đối ngẫu tách được, mọi dãy bị chặn đều chứa một dãy con hội
tụ yếu*.
Định lí 1.1.7. (Bolzano-Weierstrass) Mọi hàm nửa liên tục dưới (tương
ứng: nửa liên tục trên) X → R trên tập compact đều có giá trị nhỏ nhất
(tương ứng giá trị lớn nhất) trên tập đó.
1.1.5 Các định lý điểm bất động
Một điểm u ∈ V được gọi là điểm bất động của ánh xạ M : V → V
nếu M (u) = u.
Định lí 1.1.8. (Shauder) Mọi ánh xạ compact, liên tục trên tập lồi,
đóng, bị chặn trong không gian Banach đều có một điểm bất động. Mọi
ánh xạ liên tục trên tập lồi, compact trong không gian Banach đều có
một điểm bất động.
Khi V = R
n
thì ta nhận được:
Định lí 1.1.9. (Brouwer) Mọi ánh xạ liên tục trên tập lồi, compact trong
R
n
đều có một điểm bất động.
Một định lý tổng quát hơn Định lý 1.1.8 và có nhiều ứng dụng là định
lý Kakutani. Một ánh xạ đa trị M : V ⇒ V nghĩa là M : V → 2
V
- họ
tất cả các tập con của V . Ánh xạ M như thế được gọi là nửa liên tục
trên nếu nó có đồ thị đóng, tức là ∀u
k
→ u, ∀f
k

→ f với f
k
∈ M (u
k
) ta
đều có f ∈ M (u).
Định lí 1.1.10. (Kakutani) Cho ánh xạ đa trị nửa liên tục trên M :
V ⇒ V với tập giá trị lồi, đóng, khác rỗng. Nếu M ánh xạ một tập lồi,
compact, khác rỗng K trong không gian lồi địa phương vào chính nó thì
M có một điểm bất động, tức là ∃u ∈ K : u ∈ M (u).
10
Định lí 1.1.11. (Banach) Mọi ánh xạ co trong không gian Banach đều
có một điểm bất động duy nhất.
1.2 Không gian hàm
Ta xét không gian Euclide R
n
, n  1, được trang bị tôpô Euclide.
Với Ω ⊂ R
n
ta sẽ định nghĩa các không gian hàm khác nhau Ω → R
m
.
Nếu trang bị phép cộng từng điểm và phép nhân vô hướng tại từng
điểm thì các không gian đó sẽ là không gian tuyến tính do R
m
là không
gian tuyến tính. Bên cạnh đó ta sẽ trang bị cho chúng chuẩn để trở
thành không gian tuyến tính định chuẩn (hoặc hơn nữa là không gian
Banach). Với hai không gian như vậy U ⊂ V , ta sẽ nói rằng ánh xạ
I : U → V : u → u là phép nhúng liên tục (hoặc U được nhúng liên tục

vào V) nếu toán tử tuyến tính I là liên tục (do đó bị chặn). Điều này
có nghĩa là u
V
 Nu
U
, chẳng hạn N là chuẩn I
L(U,V )
. Nếu I là
compact thì ta sẽ nói là phép nhúng compact và sử dụng ký hiệu U  V .
Nếu U là tập con trù mật trong V , ta sẽ nói là phép nhúng trù mật;
tính chất này hiển nhiên phụ thuộc vào chuẩn trên V nhưng không phụ
thuộc vào U. Theo Giải tích hàm, ánh xạ liên hợp I
∗
: V
∗
→ U
∗
liên tục
và đơn ánh nếu U nhúng trong V liên tục và trù mật. Khi đó ta có đồng
nhất V
∗
với một tập con của U
∗
.
1.2.1 Hàm liên tục và trơn
Kí hiệu C (·) , C
0
(·) và C
0,1
(·) tương ứng là tập tất cả các hàm

liên tục, liên tục bị chặn, liên tục Lipschitz. Ví dụ C
0
(Ω; R
m
) là tập
tất cả các hàm liên tục bị chặn Ω → R
m
. Ta kí hiệu Ω là bao đóng
của Ω trong không gian Euclide R
n
. Theo Định lý Bolzano-Weierstrass
1.1.7, C
0
(Ω; R
m
) = C

Ω; R
m

nếu Ω bị chặn. Tương tự, ta có thể hiểu
11
C

Ω; R
m

là tập các hàm Ω → R
m
có mở rộng liên tục trên bao đóng Ω.

Khi m = 1, ta sẽ viết ngắn gọn C
0

Ω

(tương ứng C
0,1

Ω

). Nếu được
trang bị phép cộng, phép nhân từng điểm và chuẩn
u
C
0
(
Ω;R
m
)
:= max
x∈Ω
|u (x)|, u
C
0,1
(
Ω;R
m
)
:= sup
x,ξ∈

Ω
x=ξ

|u (x)| +
|u(x)−u(ξ)|
|x−ξ|

,
trong đó |·| là chuẩn Euclide trong các không gian tương ứng thì cả hai
C
0

Ω; R
m

và C
0,1

Ω; R
m

trở thành không gian Banach.
Hơn nữa, với k  1, ta định nghĩa không gian các hàm trơn, có đạo
hàm tới cấp k liên tục ra đến biên, tức là
C
k

Ω; R
m


:=

u ∈ C
0

Ω; R
m

; ∀(i
1
, , i
n
) ∈ (N ∪ {0})
n
,
n

α=1
i
α
 k :
∂
i
1
+ +i
n
u
∂x
1
i

1
∂x
n
i
n
∈ C
0

Ω; R
m


.
(1.2.1)
Nếu trang bị cấu trúc tuyến tính trên C
0

Ω; R
m

và chuẩn
u
C
k
(
Ω;R
m
)
:= u
C

0
(
Ω;R
m
)
+

i
1
+ +i
n
k



∂
i
1
+ +i
n
∂
i
1
x
1
∂
i
n
x
n

u



C
0
(
Ω;R
m
)
thì chúng
trở thành không gian Banach.
Phép nhúng liên tục C
k

Ω; R
m

⊂ C
l

Ω; R
m

đúng với mọi k 
l  0, tức là u
C
l
(
Ω;R

m
)
 Nu
C
k
(
Ω;R
m
)
. Trường hợp đặc biệt N = 1,
phép nhúng này là trù mật và nếu k > l  0, thì nó còn là compact.
Vì các hàm với các đạo hàm bị chặn là liên tục Lipschitz, nên ta có
C
1

Ω; R
m

⊂ C
0,1

Ω; R
m

.
Theo định lý Riesz, không gian đối ngẫu C
0

Ω


∗
là đẳng cấu đẳng cự
với không gian M

Ω

của các độ đo Borel chính quy trên Ω; trong đó độ
đo là một hàm tập σ-cộng tính; độ đo Borel chính quy µ ∈ M

Ω

là độ
đo trên σ-đại số Borel, chính quy và có biến phân hữu hạn |µ| trên Ω, tức
là |µ|

Ω

< +∞. Đẳng cấu được đề cập đến f → µ : C
0

Ω

∗
→ M

Ω

xác định bởi f, v =

Ω

vµ (dx). Khi đó f
C
0
(
Ω
)
∗
= |µ|

Ω

.
Với x ∈ Ω, độ đo δ
x
∈ M

Ω

xác định bởi δ
x
, v = v (x) là độ đo Dirac
có giá tại x.
12
Xét dãy tăng của các tập con compact K
i
⊂ Ω sao cho Ω =

i∈N
K
i

,
ta đặt
D(Ω) :=

i∈N

k∈N
C
k
K
i
(Ω), (1.2.2)
ở đó C
k
K
i
(Ω) kí hiệu là không gian tất cả các hàm Ω → R liên tục
cùng với tất cả các đạo hàm tới cấp k và có giá chứa trong K
i
. Mỗi
C
∞
K
i
:=

k∈N
C
k
K

i
(Ω) được trang bị bởi tập các nửa chuẩn

|·|
k,K
i

k∈N
với |u|
k,K
i
:=


u|
K
i


C
k
(K
i
)
làm cho nó thành không gian lồi địa phương.
Khi đó D(Ω) =

i∈N
C
∞

K
i
được trang bị tôpô mịn nhất làm cho mọi phép
nhúng C
∞
K
i
→ D(Ω) liên tục. Với tôpô này D(Ω) cũng là một không gian
lồi địa phương các phần tử của không gian đối ngẫu D(Ω)
∗
được gọi là
các hàm suy rộng trên Ω.
1.2.2 Hàm khả tích Lebesgue
Độ đo ngoài Lebesgue n-chiều meas
n
(.) trên không gian Euclide R
n
,
n  1 được định nghĩa bởi
meas
n
(A) := inf

∞

k=1
n

i=1
(b

k
i
− a
k
i
) : A ⊂
∞

k=1

a
k
1
, b
k
1

× ×

a
k
n
, b
k
n

,
a
k
i

 b
k
i

.
(1.2.3)
và khi đó ta gọi tập A ⊂ R
n
là đo được Lebesgue nếu meas
n
(A) =
meas
n
(A ∩ S) + meas
n
(A\S) với mọi tập con S ⊂ R
n
.
Họ Σ các tập con đo được Lebesgue của Ω là một σ-đại số, cùng với
hàm meas
n
: Σ → R ∪ {+∞}, thỏa mãn các tính chất:
1. Nếu A mở thì A ∈ Σ,
2. Nếu A = [a
1
, b
1
] × ×[a
n
, b

n
] với a
i
 b
i
thì meas
n
(A) =

n
i=1
(b
i
− a
i
),
13
3. meas
n
là cộng tính đếm được, tức là:
meas
n


k∈N
A
k

=


k∈N
meas
n
(A
k
) với mọi họ đếm được {A
k
}
k∈N
các tập đôi một rời nhau, A
k
∈ Σ,
4. Nếu A ⊂ B ∈ Σ và meas
n
(B) = 0 thì A ∈ Σ và meas
n
(A) = 0.
Hàm meas
n
: Σ → R ∪ {+∞} được gọi là độ đo Lebesgue. Cho tập
Ω ∈ Σ, ta sẽ nói rằng một tính chất đúng hầu khắp nơi trên Ω (viết tắt
h.k.n trên Ω) nếu tính chất này đúng trên toàn Ω có thể trừ ra trên một
tập có độ đo bằng 0; ta cũng thường nói tính chất đó đúng tại hầu hết
x ∈ Ω.
Hàm u : R
n
→ R
m
là đo được (Lebesgue) nếu
u

−1
(A) := {x ∈ R
n
: u (x) ∈ A} là đo được Lebesgue với mọi tập mở
A ⊂ R
m
.
Ta gọi u : R
n
→ R
m
là hàm đơn giản nếu nó chỉ nhận một số hữu
hạn các giá trị v
i
∈ R
m
và u
−1
(v
i
) = {x; u (x) = v
i
} ∈ Σ; khi đó ta định
nghĩa tích phân

R
n
u (x) dx là

meas

n
(A
i
) v
i
. Hơn nữa, hàm đo được
u được gọi là khả tích nếu tồn tại dãy các hàm đơn giản {u
k
}
k∈N
sao
cho lim
k→∞
u
k
(x) = u (x) tại hầu hết x ∈ Ω và lim
k→∞

R
n
u
k
(x) dx tồn
tại trên R. Khi đó, giới hạn này sẽ được kí hiệu bởi

R
n
u (x) dx và gọi
đó là tích phân Lebesgue của u. Nó không phụ thuộc vào cách chọn dãy
{u

k
}
k∈N
.
Ta sẽ xét Ω ⊂ R
n
đo được với meas
n
(Ω) < +∞. Khái niệm về tính
đo được và khả tích của hàm Ω → R
m
có thể được hiểu giống như trước
đây sau khi đã mở rộng các hàm bằng 0 trên R
n
\Ω. Gọi L
p
(Ω; R
m
) là
tập tất cả các hàm đo được u : Ω → R
m
sao cho u
L
p
(Ω;R
m
)
< +∞, ở
14
đó

u
L
p
(Ω;R
m
)
:=









p


Ω
|u (x)|
p
dx nếu 1 ≤ p < +∞,
ess sup
x∈Ω
|u (x)| nếu p = +∞
(1.2.4)
và |·| là chuẩn Euclide trên R
m
. Tập L

p
(Ω; R
m
) được trang bị phép cộng
và phép nhân vô hướng tại từng điểm, là một không gian tuyến tính.
Bên cạnh đó ·
L
p
(Ω;R
m
)
là chuẩn trên L
p
(Ω; R
m
), làm cho nó trở thành
một không gian Banach, gọi là không gian Lebesgue.
Nếu độ đo µ ∈ M

Ω

có mật độ d
µ
∈ L
1
(Ω), nghĩa là µ (A) =

A
d
µ

(x) dx với mọi tập đo được A ⊂ Ω, thì µ có tính chất đặc biệt, gọi
là liên tục tuyệt đối theo độ đo Lebesgue; điều ngược lại cũng đúng: mọi
độ đo liên tục tuyệt đối đều có mật độ thuộc vào L
1
(Ω). Đó là định lý
Radon-Nikodým.
Một câu hỏi quan trọng là đặc trưng của các không gian đối ngẫu
cụ thể là gì? Cặp đối ngẫu tự nhiên từ tích vô hướng trong các không
gian L
2
, nghĩa là u, v :=

Ω
u (x) · (x) dx, ở đó u · v :=

m
i=1
u
i
v
i
. Nếu
1 < p < +∞ thì L
p
(Ω; R
m
) là phản xạ. Từ bất đẳng thức đại số Young
ab 
1
p

a
p
+
1
p

b
p

, (1.2.5)
ta có bất đẳng thức H¨older

Ω
|u (x) v (x)|dx 
p


Ω
|u (x)|
p
dx
p



Ω
|v (x)|
p

dx, (1.2.6)

ở đó p

là số mũ liên hợp xác định bởi:
p

:=









p/ (p − 1) nếu 1 < p < +∞,
1 nếu p = +∞,
+∞ nếu p = 1.
(1.2.7)
15
Thực tế, công thức (1.2.6) với p = 1 hoặc p = +∞ có dạng dễ thấy:

Ω
|u · v|dx  u
L
∞
(Ω;R
n
)
u

L
1
(Ω;R
n
)
. Từ (1.2.6) ta có thể chỉ ra rằng
không gian đối ngẫu của L
p
(Ω; R
m
) đẳng cấu đẳng cự với L
p

(Ω; R
m
)
nếu 1  p < +∞. Mặt khác không gian đối ngẫu của L
∞
(Ω; R
m
) lớn
hơn thực sự L
1
(Ω; R
m
). Áp dụng bất đẳng thức đại số Young (1.2.5) có
|u (x) · (x)|  |u (x)||v (x)| và lấy tích phân trên Ω ta thu được bất đẳng
thức quan trọng khác, bất đẳng thức tích phân Young

Ω

|u (x) v (x)|dx 
1
p

Ω
|u (x)|
p
dx +
1
p


Ω
|v (x)|
p

dx. (1.2.8)
Thay vì (1.18), ta thường áp dụng bất đẳng thức Young cải biên
∀ε > 0 : ab  εa
p
+ C
ε
b
p

, ở đó C
ε
:=
p−1
√

ε
p

√
p
p − 1
. (1.2.9)
Hơn nữa, với 1 < p < +∞, không gian L
p
(Ω; R
m
) là lồi đều. Nếu
meas
n
(Ω) < +∞ và 1  q  p  +∞ thì phép nhúng C
0

Ω; R
m

⊂
L
p
(Ω; R
m
) ⊂ L
q
(Ω; R
m
) là liên tục. Hơn nữa, với p < +∞ những phép

nhúng này trù mật và do C
0

Ω; R
m

là tách được nên L
p
(Ω; R
m
) cũng
tách được. Mặt khác, L
∞
(Ω) không là tách được.
Bất đẳng thức H¨older cũng cho phép một phép nội suy giữa L
p
1
(Ω)
và L
p
2
(Ω): với p
1
, p
2
, p ∈ [1, +∞] , λ ∈ [0, 1], ta có
1
p
=
λ

p
1
+
1 − λ
p
2
⇒ v
L
p
(Ω)
 v
λ
L
p
1
(Ω)
v
1−λ
L
p
2
(Ω)
. (1.2.10)
Hơn nữa, nếu p như trong (1.2.10), p
1
 p
2
, và tương tự q
−1
= λq

−1
1
+
(1 − λ) q
−1
2
, q
1
 q
2
, và A là toán tử tuyến tính bị chặn L
p
1
(Ω) → L
q
1
(Ω)
có hạn chế trên L
p
2
(Ω) thuộc vào L(L
p
2
(Ω) , L
q
2
(Ω)) thì
A
L(L
p

(Ω),L
q
(Ω))
 C A
λ
L(L
p
1
(Ω),L
q
1
(Ω))
A
1−λ
L(L
p
2
(Ω),L
q
2
(Ω))
, (1.2.11)
với hằng số C = C (p
1
, p
2
, q
1
, q
2

, λ).
Ta nói rằng dãy u
k
: Ω → R
m
hội tụ theo độ đo tới u nếu
∀ε > 0 : lim
k→∞
meas
n
({x ∈ Ω; |u
k
(x) − u (x)|  ε}) = 0. (1.2.12)
16
Một cách tự nhiên, sự hội tụ h.k.n nghĩa là u
k
(x) → u (x) tại hầu hết
x ∈ Ω. Chú ý rằng sự hội tụ theo độ đo không suy ra được sự hội tụ
h.k.n .
Mệnh đề 1.2.1. (Liên hệ giữa các dạng hội tụ)
1. Mọi dãy hội tụ h.k.n đều hội tụ theo độ đo.
2. Mọi dãy hội tụ theo độ đo đều trích ra được một dãy con hội tụ
h.k.n.
3. Mọi dãy hội tụ trong L
1
(Ω) đều hội tụ theo độ đo.
Định lí 1.2.2. (Lebesgue) Cho {u
k
}
k∈N

⊂ L
1
(Ω) là dãy hội tụ h.k.n tới
u và |u
k
(x)|  v (x) với v ∈ L
1
(Ω). Khi đó u ∈ L
1
(Ω) và
lim
k→∞

A
u
k
(x) dx =

A
u (x) dx với mọi A ⊂ Ω đo được.
Định lí 1.2.3. (Fatou) Cho {u
k
}
k∈N
⊂ L
1
(Ω) là dãy hàm không âm sao
cho lim inf
k→∞


Ω
u
k
(x) dx < +∞. Khi đó hàm x → lim inf
k→∞
u
k
(x) là
khả tích và
lim inf
k→∞

Ω
u
k
(x) dx 

Ω

lim inf
k→∞
u
k
(x)

dx. (1.2.13)
Đặc biệt, Định lý 1.2.2 nói rằng tập {u
k
; k ∈ N} là compact tương
đối yếu trong L

1
(Ω). Tính chất này có liên hệ với cả tính đồng liên tục
tuyệt đối và khả tích đều:
Định lí 1.2.4. (Dufird and Pettis) Cho M ⊂ L
1
(Ω; R
m
) bị chặn. Các
phát biểu sau là tương đương:
1. M là compact tương đối yếu trong L
1
(Ω; R
m
),
2. Tập M khả tích đều, nghĩa là
∀ε > 0, ∃K ∈ R
+
: sup
u∈M

{x∈Ω;|u(x)|K}
|u (x)|dx  ε, (1.2.14)