Ánh xạ đơn điệu và áp dụng vào các bài toán cân bằng kinh tế
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.18 MB, 70 trang )
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-------- --------
NGÔ THỊ VIỆT HẰNG
ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO
CÁC BÀI TOÁN CÂN BẰNG KINH TẾ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN – 2008
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-------- --------
NGÔ THỊ VIỆT HẰNG
ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO
CÁC BÀI TOÁN CÂN BẰNG KINH TẾ
Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN VĂN QUÝ
THÁI NGUYÊN – 2008
MỤC LỤC
Mở đầu ....................................................................................................1
Chƣơng 1: TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
1.1. Không gian Hilbert thực ......................................................................3
1.2. Tập lồi và hàm lồi ...............................................................................7
1.3. Toán tử đơn điệu .................................................................................14
1.3.1. Các định nghĩa về toán tử đơn điệu ...................................................15
13.2. Toán tử đơn điệu tuần hoàn ...............................................................19
1.3.3. Toán tử đơn điệu cực đại ..................................................................21
Chƣơng 2: BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU
2.1. Bất đẳng thức biến phân ......................................................................33
2.2. Bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu .......................................39
2.3. Bất đẳng thức biến phân với ánh xạ đa trị.............................................46
2.4. Bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên quan ................................49
Chƣơng 3: MÔ HÌNH NASH – COURNOT VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU
3.1. Phát biểu mô hình ...............................................................................55
3.2. Mô hình Nash – Cournot với bài toán cân bằng ....................................56
3.3. Mô hình Nash – Cournot với bài toán bất đẳng thức biến phân..............57
3.4. Mô hình Nash – Cournot với toán tử đơn điệu ......................................58
KẾT LUẬN ..............................................................................................65
TÀI LIỆU THAM KHẢO..........................................................................66
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
MỞ ĐẦU
Ánh xạ đơn điệu là một trong những lĩnh vực của giải tích hiện đại đã và đang được
rất nhiều nhà toán học hàng đầu thế giới nghiên cứu. Đặc biệt phải kể đến như: R.
T. Rockafellar, F. E. Browder, (Xem [5], [14]). Bên cạnh các kết quả đặc biệt có ý
nghĩa về mặt lý thuyết, ánh xạ đơn điệu là một trong những công cụ được sử dụng
nhiều và rất có hiệu quả trong lĩnh vực toán ứng dụng như lĩnh vực tối ưu hóa. Nó
giúp ích cho việc chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm cho rất nhiều các
lớp bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán tối ưu. Đề tài
của bản luận văn này là nghiên cứu về toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert
thực và ứng dụng của nó trong việc khảo sát các bài toán bất đẳng thức biến phân
và đặc biệt là mô hình kinh tế nổi tiếng Nash - Cournot. Vì thế, đây là một đề tài
vừa có ý nghĩa về mặt lý thuyết, đồng thời vừa có ý nghĩa thực tiễn cao. Nội dung
chính của bản luận văn là trình bày một cách hệ thống các kiến thức cơ sở có liên
quan; khái niệm, tính chất và các điều kiện cho các toán tử đơn điệu; áp dụng toán
tử đơn điệu trong bài toán bất đẳng thức biến phân và mô hình kinh tế Nash -
Cournot. Ngoài phần mở đầu, kết luận và các tài liệu tham khảo, các kết quả nghiên
cứu trong bản luận văn được trình bày thành ba chương với tiêu đề:
Chương 1: Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert.
Chương 2: Bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu.
Chương 3: Mô hình Nash - Cournot với toán tử đơn điệu.
Nội dung chính của các chương là:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở về giải tích lồi phục vụ cho việc
nghiên cứu toán tử đơn điệu. Sau đó, trình bày các khái niệm về toán tử đơn điệu,
đơn điệu tuần hoàn và đơn điệu cực đại. Song song với các khái niệm này là một số
kết quả về tính chất, điều kiện của toán tử đơn điệu.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
Chương 2: Trình bày về bài toán bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên
quan. Sau đó, trình bày một số kết quả về việc sử dụng toán tử đơn điệu trong việc
chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân.
Chương 3: Trình bày về mô hình kinh tế Nash - Cournot trong lĩnh vực sản
xuất kinh doanh. Sau đó, sử dụng toán tử đơn điệu để nghiên cứu về sự tồn tại và
tính duy nhất nghiệm cho mô hình.
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên. Để hoàn thành được bản luận văn này, trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Văn Quý, người thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn,
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm và hoàn thiện bản luận văn. Tôi xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy giáo, các cô giáo trong trường Đại học Sư phạm
Thái Nguyên, Viện Toán học Việt Nam, trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tận
tình giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học.
Tôi xin cảm ơn tới cơ quan, gia đình và bạn bè đã luôn động viên, ủng hộ giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn tốt nghiệp.
Thái Nguyên, tháng 09 năm 2008
Ngô Thị Việt Hằng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
Chương 1
TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
Nội dung chính của chương bao gồm: một số kiến thức cơ sở về không gian Hilbert
thực và giải tích lồi. Tiếp sau đó là các khái niệm về ánh xạ đơn điệu, đơn điệu tuần
hoàn, đơn điệu cực đại. Đồng thời trình bày một số kết quả liên quan đến tính đơn
điệu của các toán tử đơn trị và đa trị trong không gian Hilbert.
1.1. Không gian Hilbert thực
Chúng ta bắt đầu từ không gian đơn giản nhất là không gian véc tơ tuyến tính trên
trường số thực. Đó là một tập hợp khác rỗng
X
mà trên đó có trang bị hai phép
toán: phép toán cộng hai véc tơ và phép toán nhân một số thực với một véc tơ:
1 2 1 2
, , ;
, , .
x x X x x X
x X x X R
Nếu trên X được trang bị một tô pô
là một họ các tập con của X thỏa mãn các
tính chất:
1.
; X
;
2.
,A B A B
;
3.
tt
tT
A t T A
,
(
T
là tập chỉ số bất kỳ) thì X được gọi là không gian véc tơ tô pô và thường ký
hiệu là
,X
.
Nếu trên X được trang bị một metric
( . )
với các tính chất:
1.
( , ) 0, , ; ( , ) 0x y x y X x y x y
;
2.
( , ) ( , ), ,x y y x x y X
;
3.
( , ) ( , ) ( , ), , ,x y x z y z x y z X
thì X được gọi là không gian metric.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Nếu trên X được trang bị một chuẩn
|| , ||
với các tính chất:
1.
|| || 0, ; || || 0 0x x X x x
;
2.
|| || | ||| ||, ,x x x X R
;
3.
|| || || || || ||, ,x y x y x y X
thì X được gọi là một không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.1. Cho X là một không gian tuyến tính thực.
X
được gọi là không
gian tiền Hilbert nếu: với mọi
,x y H
, xác định một số thực ký hiệu là
,xy
gọi
là tích vô hướng của
,x y X
, thỏa mãn các tính chất sau:
1.
,,x y y x
;
2.
, , ,x y z x z y z
;
3.
, , ,x y x y R
;
4.
,0xx
nếu
0x
,
,0xx
nếu
0x
.
Mệnh đề 1. 1 (Xem [4]). Mọi không gian tiền Hilbert
X
là không gian tuyến tính
định chuẩn, với chuẩn được xác định:
,,x x x x X
.
Định nghĩa 1.2. Cho
X
là một không gian định chuẩn. Dãy
n
xX
được gọi là
dãy cơ bản trong
X
nếu :
,
lim 0
nm
mn
xx
.
Nếu trong X,, mọi dãy cơ bản đều hội tụ, tức là
0
nm
xx
kéo theo sự tồn tại
0
xX
sao cho
0n
xx
, thì
X
được gọi là không gian đủ.
Định nghĩa 1.3. Không gian tiền Hilbert và đủ gọi là không gian Hilbert, trong
luận văn này ta thống nhất ký hiệu H là một không gian Hilbert thực.
Định nghĩa 1.4. Hai véc tơ
,x y H
được gọi là hai véc tơ trực giao với nhau, kí
hiệu là
xy
, nếu
,0xy
.
Từ định nghĩa dễ dàng suy ra các tính chất đơn giản sau đây:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
1.
0,x x X
;
2.
x y y x
;
3.
1 2 1 1 2 2
, , ..., ...
n n n
x y y y x y y y
,
*
, , 1,2,...,
i
n N R i n
;
4.
,
nn
x y y y
khi
n
thì
xy
.
Định nghĩa 1.5. Cho tập
MH
, phần bù trực giao của
M
, kí hiệu
M
, là tập
hợp sau:
:,M x H x y y M
.
Định lý 1.1 (Định lý F.Riesz). Với mỗi véc tơ
a
cố định thuộc không gian Hilbert
H
, hệ thức:
,.f x a x
(1.1)
Xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục
fx
trên không gian
H
, với
|| ||.fa
(1.2)
Ngược lại, bất kỳ phiếm hàm tuyến tính liên tục
()fx
nào trên không gian Hilbert
H
cũng đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng ( 1.1 ), trong đó
a
là
một véc tơ của
H
thỏa mãn (1.2).
Chứng minh.
Phần thứ nhất của định lý, ta dễ chứng minh được vì
,f x a x
rõ ràng là một
phiếm hàm tuyến tính và do :
,.f x a x a x
(1.3)
,.f a a a a a
(1.4)
nên phiếm hàm đó giới nội và thỏa mãn (1.2).
Để chứng minh phần ngược lại, ta xét một phiếm hàm tuyến tính liên tục
()fx
trên
không gian Hilbert
H
. Tập hợp
:0M x H f x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
rõ ràng là một không gian con đóng của
H
. Nếu
0M
thì dựa vào cách phân
tích
x y z
với
,y M z M
, ta thấy rằng
0z
, cho nên
0f x f y
với
mọi
xH
, do đó
0,f x x
, nghĩa là ta có cách biểu diễn (1.1) với
0a
. Vậy
chỉ còn phải xét trường hợp
0M
. Ta có
0
0fx
, nên véc tơ :
0
0
00
0
,
fx
ax
xx
.
Với mọi
xH
,
0
0
fx
y x x M
fx
vì
0
0
0
fx
f y f x f x
fx
.
Mà
0
xM
, vậy
0
,0yx
, tức là
0 0 0 0 0
00
, , . 0
f x f x
x x x x x x x
f x f x
hay:
0
0
00
,,
,
fx
f x x x a x
xx
.
Như vậy,
fx
có dạng (1.2). Cách biểu diễn đó là duy nhất, vì nếu
,f x a x
thì
'
,0a a x
, nghĩa là
'
0aa
. Cuối cùng do (1.3) và (1.4)
nên phải có (1.2) như trên. Định lí được chứng minh.
Định lý vừa chứng minh cho phép lập một tương ứng một đối một giữa các
phiếm hàm tuyến tính liên tục
f
trên
H
và các véc tơ
aH
. Tương ứng đó là
một phép đẳng cự tuyến tính, cho nên nếu ta đồng nhất hóa phiếm hàm
f
với véc
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
tơ
a
sinh ra nó thì ta có
*
HH
, nghĩa là : không gian Hilbert trùng với không
gian liên hợp của nó.
Cho
A
là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert
H
. Với mỗi
yH
cố định ta xét phiếm hàm
:f H R
được xác định như sau:
,,f x Ax y x H
.
Dễ thấy
f
là phiếm hàm tuyến tính, liên tục trong
H
nên theo định lý 1.1 về dạng
tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục, tồn tại duy nhất
*
yH
để
*
, , ,Ax y x y x H
.
Định nghĩa 1.6. Cho
A
là một toán tử trong không gian Hilbert
H
, ánh xạ
*
:A H H
xác định như sau:
**
,y H A y y
trong đó:
**
, , ,Ax y x A y x y
khi đó
*
A
được gọi là toán tử liên hợp của toán tử
A
.
Nhận xét 1.1. Toán tử liên hợp
*
A
nếu tồn tại là duy nhất.
1.2. Tập lồi và hàm lồi
Định nghĩa 1.7. Tập
DH
được gọi là tập lồi nếu với mọi
12
,x x D
và mọi số
thực
01
ta đều có:
12
1x x D
.
Nhận xét 1.2. Theo định nghĩa, tập
được xem là tập lồi .
Định nghĩa 1. 8. Tập
KH
được gọi là nón có đỉnh tại
0
nếu:
,0x K x K
.
KH
được gọi là nón có đỉnh tại
0
x
nếu
0
Kx
là nón có đỉnh tại
0
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Định nghĩa 1. 9. Nón
K
có đỉnh tại
0
x
được gọi là nón lồi nếu K là một tập lồi,
có nghĩa là:
, , , 0x y K x y K
.
Định nghĩa 1. 10. Cho
K
là tập lồi trong
H
và điểm
xK
, nón pháp tuyến
của
K
tại
x
là một tập hợp được kí hiệu và xác định như sau:
* * * *
/ : , 0,N x K x H x x x x K
.
Nhận xét 1. 3.
(a) Khi
Kx
thì
/N x K H
.
(b)
/N x K
là một nón lồi.
Cho tập
DH
là tập lồi khác rỗng và hàm
:f D R
. Ta có các định
nghĩa về các dạng hàm lồi sau:
Định nghĩa 1.11. Hàm
f
được gọi là
(i) Lồi trên D nếu với mọi
0 1, ,x y D
, ta có :
11f x y f x f y
;
(ii) Lồi chặt trên
D
nếu với
0,1
và
,,x y D x y
ta có:
11f x y f x f y
;
(iii) Lồi mạnh trên
D
nếu với
0,1 , ,x y D
, tồn tại
,0R
, ta có
2
1
1 1 1
2
f x y f x f y x y
.
Nhận xét 1.4. Từ định nghĩa 1.11 ta dễ thấy (ii)
(i), (iii)
(i).
Định nghĩa 1.12. Hàm
f
được gọi là lõm trên
D
nếu
f
là hàm lồi trên
D
.
Định nghĩa 1.13. Trên đồ thị (epigraph) của hàm f, ký hiệu là
epif
, được định
nghĩa như sau :
,:epif x r D R f x r
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
Định nghĩa 1.14. Miền hữu hiệu(effective domain) của hàm
f
, ký hiệu là
domf
,
được định nghĩa như sau :
:domf x D f x
.
Định nghĩa 1.15. Hàm
f
được gọi là chính thường ( proper), nếu
domf
và
fx
với mọi
xD
.
Định nghĩa 1.16. Hàm
f
được gọi là đóng nếu
epif
là tập đóng trong
HR
.
Định nghĩa 1.17. Với
fx
, hàm
f
được gọi là nửa liên tục dưới tại
x
nếu
với mọi
0
, tồn tại lân cận
xK
của
x
sao cho :
,f x f y y U
Với
()fx
, hàm
f
được gọi là nửa liên tục dưới tại
x
nếu với mọi
0N
, tồn tại lân cận
U
của
x
sao cho :
f y N
,
yU
.
Định nghĩa 1.18. Hàm
f
được gọi là nửa liên tục dưới trên
H
nếu
f
nửa liên tục
dưới tại mọi
xH
.
Định nghĩa 1.19.
Với
fx
, hàm
f
được gọi là nửa liên tục trên tại
x
nếu với mọi
0
, tồn tại lân cận
U
của
x
sao cho :
f x f y
,
yU
.
Với
()fx
, hàm
f
được gọi là nửa liên tục trên tại
x
nếu với mọi
0N
, tồn tại lân cận U của
x
sao cho :
f y N
,
yU
.
Định nghĩa 1.20. Hàm
f
được gọi là nửa liên tục trên trên
H
nếu
f
nửa liên tục
trên tại mọi
xH
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Nhận xét 1.5. Hàm
f
liên tục tại
xH
nếu và chỉ nếu
f
nửa liên tục trên và nửa
liên tục dưới tại
x
.
Định lí 1.2 (Xem [1]). Giả sử
:f H R
là hàm lồi chính thường trên
H
.
Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:
(i)
f
bị chặn trên trong một lân cận của
xH
;
(ii)
f
liên tục tại
xH
;
(iii)
int epif
;
(iv)
int domf
và
f
liên tục trên
int domf
.
Bây giờ, ta giả sử hàm
:f H R
.
Định nghĩa 1.21. Cho hàm
f
xác định trên một lân cận của
xH
, hàm
f
được
gọi là khả vi tại
x
, nếu tồn tại
*
xH
sao cho:
*
,
lim 0
zx
f z f x x z x
zx
.
Hàm
f
được gọi là hàm khả vi nếu nó khả vi tại mọi điểm
xH
.
Nhận xét 1.6. Điểm
*
x
nếu tồn tại sẽ duy nhất và được gọi là đạo hàm của hàm f
tại
x
, thường kí hiệu là
fx
hoặc
fx
.
Nhận xét 1.9. Giả sử
:
n
f R R
là hàm lồi, chính thường và
x domf
.
Nếu
f
khả vi tại
x
thì với mọi
n
yR
,
0y
, ta có :
0
,
lim 0
f x y f x f x y
y
và đạo hàm tại
x
theo phương
y
là :
0
,
lim ,
f x y f x f x y
f x y
,
nên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
,,
0
f x y f x y
y
.
Suy ra
( , ) ( ),f x y f x y
với mọi
y
. Lấy
1,2,...,
i
y e i n
là vectơ đơn vị
thứ
i
của
n
R
, ta có :
,/
i
i
f x e f x x
,
1,2,...,in
.
Vậy
1
,/
n
ii
i
f x y y f x x
.
Từ đó ta có hai mệnh đề sau :
Mệnh đề 1.2 (Xem [2]). Giả sử
:
n
f R R
là hàm lồi , chính thường và
x domf
. Hàm
f
khả vi tại
x
khi và chỉ khi tồn tại
* n
xR
sao cho
'*
,,f x y x y
với mọi
y
,
intx domf
và
*
f x x
.
Mệnh đề 1.3 (Xem [2]). Cho
:
n
f R R
là hàm khả vi và
n
DR
. Khi đó
, ba điều kiện sau là tương đương:
(a)
là hệ số lồi của
f
trên D;
(b)
2
'
,
2
f y f x f x y x x y
;
(c)
2
,
2
f y f x y x x y
.
Định nghĩa 1.22. Giả sử
f
là hàm lồi trên
H
. Phiếm hàm
**
xH
được gọi là
dưới gradient (subgradient) của hàm
f
tại
xH
nếu
*
,f x f x x x x
,
xH
.
Định nghĩa 1.23. Tập tất cả dưới gradient của
f
tại
x
được gọi là dưới vi phân
(subdifferential) của
f
tại
x
, ký hiệu là
fx
, tức là :
* * *
: , ,f x x H f x f x x x x x H
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
Mệnh đề 1.4 . (Xem [1]). Giả sử
f
là hàm lồi chính thường trên
H
,
x domf
.
Khi đó,
fx
khi và chỉ khi
,.fx
nửa liên tục dưới tại
0
, trong đó
,.fx
là đạo hàm tại
x
theo phương bất kì của hàm
f
.
Cho hàm
f
xác định trên tập
QH
.
Xét bài toán:
(P)
min :f x x Q
Định nghĩa 1.24.
a) Điểm
xQ
được gọi là điểm chấp nhận được của bài toán (P) .
b) Điểm
xQ
được gọi là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (P), nếu tồn tại
một lân cận U của
x
sao cho:
f x f x
,
x Q U
.
b) Điểm
xQ
được gọi là nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán (P) nếu:
f x f x
,
xQ
.
Nhận xét 1.8. Hiển nhiên điểm
xQ
là nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán (P) thì
x
là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (P) .
Nếu tập Q là một tập lồi và f là một hàm lồi trên Q thì bài toán (P) được gọi
là một bài toán qui hoạch lồi.
Nếu Q = H thì bài toán (P) được gọi là bài toán tối ưu không ràng buộc.
Mệnh đề 1.5. (i) Nếu bài toán (P) là một bài toán qui hoạch lồi thì mọi nghiệm tối
ưu địa phương đều là nghiệm tối ưu toàn cục.
(ii) Giả sử trong bài toán (P) ta có Q = H và f là một hàm lồi. Để
x
là nghiệm tối
ưu toàn cục của bài toán (P), điều kiện cần và đủ là :
0 fx
.
Chứng minh.
(i) Giả sử
xQ
là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (P), theo định nghĩa, tồn
tại lân cận U của điểm
x
sao cho:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
( ) ( ),f x f x x Q U
.
Trên Q ta lấy điểm x tùy ý, với
0
đủ nhỏ ta có:
(1 )x x U
. Từ đó:
( ) (1 ) ( ) (1 ) ( )f x f x x f x f x
hay:
( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x
.
Chứng tỏ
x
là nghiệm tối ưu toàn cục.
(ii)
x
là nghiệm tối ưu toàn cục của (P)
f x f x x X
0 0,x x f x f x x X
0 fx
( theo Định nghĩa 1.22).
Mệnh đề được chứng minh.
Định nghĩa 1.25. Cho
f
là hàm xác định trên
H
, có
domf
. Hàm liên hợp với
hàm
f
, ký hiệu là
*
f
, là một hàm xác định trên
*
H
và được định nghĩa như sau:
* * *
sup ,
x
f x x x f x
.
(Cận trên trong trường hợp này chỉ lấy theo
x domf
).
Ví dụ 1.1. Xét hàm
x
f x e x R
, đây là hàm lồi chính thường đóng. Ta có:
* * * *
sup , sup
xx
x R x R
f x x x e x x e
,
*
xR
.
Ta xác định cận trên của biểu thức :
*
.
x
x x e
(1.5)
(a) Nếu
*
0x
: (1.5) có thể nhận giá trị lớn nhất bằng cách lấy
x
là số âm có trị
tuyệt đối rất lớn. Do đó, cận trên của (1.5) bằng
(b) Nếu
*
0x
: Xét hàm
*
()
x
g x x x e
ta có:
*
( ) ;
xx
g x x e g x e
,
*
0 lng x x x
,
*
* ln *
ln 0
x
g x e x
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Do đó tại
*
lnxx
,
()gx
đạt giá trị cực đại.
Vậy cận trên của (1.5) là
* * *
lnx x x
hay
* * * * *
lnf x x x x
.
(c) Nếu
*
0x
thì cận trên của (1.5) bằng
0
.
Tóm lại :
* * * *
* * *
*
ln 0
00
0
khi
khi
khi
x x x x
f x x
x
Mệnh đề 1.6. (Xem [1]). Cho
f
là hàm xác định trên H,
domf
. Khi đó,
*
f
là
hàm lồi đóng
*
yếu.
Mệnh đề 1.7. (Xem [1]). Cho
f
là hàm xác định trên H,
domf
, ta có
**
ff
,
trong đó
**
*
** * * * *
sup ,
xH
f x f x x x f x
.
Mệnh đề 1.8. (Xem [1]). Nếu f là hàm lồi chính thường đóng trên
H
thì
*
f
là
hàm lồi chính thường.
Định lý 1.2 (Định lý Fenchel – Moreau – Xem [1]). Cho hàm
:,fH
,
khi đó
**
ff
khi và chỉ khi
f
là hàm lồi đóng.
Sau đây chúng ta sẽ trình bày các khái niệm cơ bản và một số kết quả quan
trọng về toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert.
1.3. Toán tử đơn điệu
Như chúng ta đã biết, ánh xạ F từ không gian X vào không gian Y là đơn trị nếu
ứng với mỗi phần tử
xX
, xác định duy nhất một phần tử
()F x y Y
và ta
thường ký hiệu là:
:F X Y
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Ánh xạ F từ không gian X vào không gian Y là đa trị nếu ứng với mỗi phần tử
xX
, thì
()Fx
là một tập con của không gian Y (có thể là tập rỗng) và ta thường
hay ký hiệu là:
:2
Y
FX
hay
: ( )F X Y
.
Hiển nhiên ánh xạ đơn trị là một trường hợp riêng của ánh xạ đa trị. Trong bản luận
văn này ta qui ước: nếu chỉ nói ánh xạ (toán tử) thì đó là ánh xạ đơn trị. Trường hợp
ánh xạ đa trị sẽ được nói rõ.
Đối với ánh xạ đơn trị F thì ánh xạ ngược:
1
:F Y X
được định nghĩa như sau:
1
( ) : ( )F y x X F x y
.
Nếu F là ánh xạ đa trị thì:
1
( ) : ( )F y x X y F x
.
1.3.1. Các định nghĩa về toán tử đơn điệu
Định nghĩa 1.26. Toán tử
**
:T H H H H
được gọi là toán tử đơn điệu nếu:
,0T x T y x y
,
,x y H
.
Ví dụ 1.2 . Cho toán tử
T
đơn trị xác định trên
R
như sau:
,T x x x R
.
Khi đó,
T
là toán tử đơn điệu vì với
,x y R
có :
2
, , 0T x T y x y x y x y x y
.
Định nghĩa 1.27. Toán tử đa trị
:2
H
TH
được gọi là toán tử đơn điệu nếu:
,0u v x y
,
, , ,x y domT u T x v T y
,
trong đó,
:domT z H T z
.
Ví dụ 1.3. Xét toán tử đa trị trong R :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
10
()
0.
khi
khi
x
Tx
x
Hiển nhiên ta có:
,0u v x y
,
, , ,x y domT u T x v T y
,
Khi đó, toán tử
1
:2
H
TH
được xác định như sau:
1
: , .T y x H y T x y H
Ví dụ 1.4. Cho hàm lồi
:,fH
, khi đó ánh xạ dưới vi phân
:T f H H
của
f
là toán tử đa trị đơn điệu.
Chứng minh.
Với mọi
, , ,x y domT u T x v T y
, ta cần chứng minh rằng:
,0u v x y
.
Thực vậy, theo định nghĩa dưới vi phân của hàm lồi, ta có
u T x f x
khi và
chỉ khi:
( ) ( ) , ,f z f x u z x z H
.
Thay
zy
ta có :
( ) ( ) , ,f y f x u y x f y f x u x y
(1.6)
Tương tự,
v T y f y
khi và chỉ khi :
,,f z f y v z y z H
Thay
zx
ta có :
,f x f y v x y
(1.7)
Cộng hai bất đẳng thức (1.6) và (1.7), ta được:
, , 0v x y u x y
,0v u x y
hay
,0u v x y
Vậy
Tf
là toán tử đơn điệu. Điều phải chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
Định nghĩa 1.28. Toán tử đa trị
:2
H
TH
được gọi là đơn điệu chặt nếu:
,0u v x y
với
, , , ,x y domT x y u T x v T y
.
Định nghĩa 1.29. Toán tử đa trị
:2
H
TH
được gọi là đơn điệu mạnh nếu với
hằng số
,0R
,
, , ,x y domT u T x v T y
, ta có
2
,x y u v x y
.
Mệnh đề 1.9. Toán tử tuyến tính
:A H H
là đơn điệu khi và chỉ khi
,0Az z
,
zH
.
Chứng minh.
Hiển nhiên
domA H
và
A
là toán tử đơn trị. Theo định nghĩa,
A
là toán tử đơn
điệu khi và chỉ khi:
,0Ax Ay x y
,
,x y H
,
hay
,0A x y x y
,
,x y H
.
Đặt
z x y
, ta có :
,0Az z
,
zH
.
Mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.10. Các tính chất sau là luôn đúng.
(i)
:2
H
TH
đơn điệu khi và chỉ khi
1
:2
H
TH
là đơn điệu.
(ii) Nếu
: 2 1, 2
H
i
T H i
, là các toán tử đơn điệu và nếu
0 1,2
i
i
, thì
1 1 2 2
TT
cũng là toán tử đơn điệu.
(iii) Nếu
:A H H
là toán tử tuyến tính,
bH
, và nếu
:T H H
là toán tử đơn
điệu thì
*
S x A T Ax b
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
cũng là toán tử đơn điệu. Ngoài ra, nếu
A
là đơn ánh và
T
là toán tử đơn điệu chặt
thì S là toán tử đơn điệu chặt. ở đây,
*
A
là toán tử liên hợp của A.
Chứng minh.
(i) Theo định nghĩa, toán tử
T
là đơn điệu khi và chỉ khi:
,0u v x y
,
, , ,x y domT u T x v T y
,
hay
,0x y u v
,
1 1 1
, , ,u v domT x T u y T v
.
Điều này cho thấy
1
T
là toán tử đơn điệu.
(ii) Hiển nhiên ta có:
1 1 2 2 1 1 2 2
:dom T T z H T z T z
=
12
domT domT
.
Giả sử
12
,x y domT domT
và
1 1 2 2 1 1 2 2
u T T x T x T x
,
1 1 2 2 1 1 2 2
v T T y T y T y
.
Lấy
ii
u T x
,
( ) ( )
ii
v y T y
1,2i
sao cho:
1 1 2 2
u u u
,
1 1 2 2
v v v
.
Do
12
,TT
là các toán tử đơn điệu nên ta có:
11
, 0,u v x y
(1.8)
22
, 0.u v x y
(1.9)
Nhân bất đẳng thức (1.8) với
1
và bất đẳng thức (1.9) với
2
, rồi cộng lại, ta được
:
,0u v x y
.
Điều đó chứng tỏ
1 1 2 2
TT
là toán tử đơn điệu.
(iii) Lấy
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
,x y domT
,
*
u S x A T Ax b
,
*
v S y A T Ay b
.
Chọn:
1
()u T Ax b
và
1
v T Ay b
sao cho:
*
1
u A u
,
*
1
v A v
.
Do tính đơn điệu của
T
, ta có:
**
1 1 1 1
, , , 0v u y x A v A u y x v u Ay b Ax b
.
Từ đó chứng tỏ
S
là toán tử đơn điệu.
Giả sử
A
là đơn ánh và
T
là toán tử đơn điệu chặt. Khi đó, nếu
xy
thì
Ay Ax
, kéo theo
Ay b Ax b
. Giả sử
11
, , ,u v u v
được lấy như ở trên, vì
T
là
toán tử đơn điệu chặt nên:
11
,0v u Ay b Ax b
.
Suy ra :
,0v u y x
.
Từ đó chứng tỏ
S
là toán tử đơn điệu chặt. Mệnh đề được chứng minh.
1.3.2. Toán tử đơn điệu tuần hoàn
Cho
T
là toán tử đa trị trên
n
R
, tức là với mỗi
n
xR
thì
Tx
là một tập ( có thể
bằng rỗng ) . Như thường lệ, ta ký hiệu miền xác định của
T
là :
:
n
domT x R T x
,
và đồ thị của
T
là :
,:
nn
G T x y R R y T x
.
Định nghĩa 1.30. Cho
:2
n
nR
TR
là toán tử đa trị và tập hợp khác rỗng
C domT
. Ta nói
T
là toán tử đơn điệu tuần hoàn trên C, nếu với mọi số nguyên
không âm
m
và mọi cặp
,
ii
x y G T
,
i
xC
0,1, 2,...,im
ta có:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
1 0 0 2 1 1 1 1 0
, , ... , , 0
m m m m m
x x y x x y x x y x x y
.
Nhận xét 1.9. Nếu
T
là toán tử đơn điệu tuần hoàn thì
T
là toán tử đơn điệu .
Mệnh đề 1.11. Giả sử
:2
n
nR
SR
là một toán tử đa trị . Điều kiện cần và đủ để
toán tử
S
đơn điệu tuần hoàn là tồn tại một hàm lồi, đóng, chính thường
f
trên
n
R
sao cho
S x f x
với mọi
n
xR
.
Chứng minh.
Điều kiện đủ : Giả sử
f
là hàm lồi, đóng chính thường,
S x f x
với mọi
x
,
dùng định nghĩa của dưới vi phân thấy rằng:
với
mN
,
in
xR
,
ii
y f x
,
0,1,2,...,im
ta có
1 0 0 1 0
,x x y f x f x
,
2 1 1 2 1
,x x y f x f x
,
............................................
00
,
m m m
x x y f x f x
.
Cộng các bất đẳng thức trên, ta thu được:
1 0 0 2 1 1 0
, , ... ,
mm
x x y x x y x x y
1 0 2 1 0
... 0
m
f x f x f x f x f x f x
.
Vậy theo định nghĩa,
f
là toán tử đơn điệu tuần hoàn,
S x f x
với mọi
x
nên S là toán tử đơn điệu tuần hoàn.
Điều kiện cần: Giả sử S là một toán tử đơn điệu tuần hoàn, ta cần chứng tỏ rằng tồn
tại một hàm
f
là lồi, đóng, chính thường thỏa mãn
S x f x
. Thật vậy, ta xác
định hàm
f
trên
n
R
như sau:
1 1 1 0 0
sup , , ... ,
n
m m m m m
xR
f x x x y x x y x x y
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
trong đó cận trên đúng được lấy trên tất cả các cặp
,
ii
x y G S
và các số
nguyên dương
m
. Do
f
là bao trên của một họ các hàm aphin nên
f
là một hàm
lồi đóng. Do S là một toán tử đơn điệu tuần hoàn nên:
0
0 0 1 1 1 0 0
sup , , ... , 0
n
m m m m m
xR
f x x x y x x y x x y
.
Vậy
f
là hàm lồi, chính thường. Với bất kỳ cặp
*
,x x G S
, ta sẽ chỉ ra
*
x f x
. Muốn thế chỉ cần chỉ ra rằng với mọi
fx
và
n
yR
, ta có:
*
,.f y y x x
Thật vậy, do
fx
nên theo tính chất của cận trên đúng, sẽ tồn tại các cặp
,
ii
x y G S
,
1,2,...,im
và số nguyên dương
m
thoả mãn:
1 1 1 0 0
, , ... ,
m m m m m
x x y x x y x x y
Theo định nghĩa của hàm
f
, ta được:
1 1 1 0 0
sup , , ... ,
n
m m m m m
yR
f y y x y x x y x x y
1 1 1 0 0
, , ... ,
m m m m m
y x y x x y x x y
1 1 1 1 0 0
, , ... ,
m m m m m
y x y x x y x x y
.
Thay
1m
xx
và
1*m
yx
ta có:
* 1 0 0
, , ... ,
mm
f y y x x x x y x x y
>
*
,y x x
.
Điều này đúng với
*
,x x G S
nên
Sf
. Mệnh đề được chứng minh.
1.3.3. Toán tử đơn điệu cực đại
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
Định nghĩa 1.31. Toán tử đa trị
:2
H
TH
là đơn điệu cực đại nếu
T
là toán tử
đơn điệu, và đồ thị của nó không là tập con thực sự của đồ thị của bất cứ một toán
tử đơn điệu nào khác.
Ví dụ 1.4. Xét các toán tử
: 2 ( 1, 2)
R
i
T R i
cho bởi các công thức:
1
10
0
x
Tx
x
,
2
1,T x x R
.
Dễ nhận thấy
12
,TT
đều là các toán tử đơn điệu. Tuy nhiên,
1
T
không phải là toán
tử đơn điệu cực đại vì
1
GT
chứa thực sự trong
2
GT
.
Mệnh đề 1.12. Giả sử toán tử
:2
H
TH
là đơn điệu. Khi đó, T là đơn điệu cực
đại khi và chỉ khi, với mọi
,a b H H
, nếu:
,0b u a x
, ( )x u G T
thì
b T a
.
Chứng minh. Giả sử T là đơn điệu cực đại mà
()b T a
. Ta mở rộng toán tử T
thành toán tử
T
bằng cách:
( ) ( )T a T a b
.
Từ đây suy ra:
( ) ( ); ( ) ( )G T G T G T G T
là mâu thuẫn với giả thiết.
Ngược lại, giả sử
()b T a
. Xét với mọi toán tử đơn điệu
ˆ
T
có:
ˆ
( ) ( )G T G T
.
Hiển nhiên nếu
ˆ
( , ) ( )a b G T
thì:
,0b u a x
,
, ( )x u G T
