Bài toán cô-si với bao hàm thức tiến hoá bậc cao

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————————————–
NGUYỄN VĂN ĐIỂN
BÀI TOÁN CÔ-SI VỚI BAO HÀM THỨC
TIẾN HÓA BẬC CAO
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI, 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————– * ———————
NGUYỄN VĂN ĐIỂN
BÀI TOÁN CÔ-SI
VỚI BAO HÀM THỨC TIẾN HÓA BẬC CAO
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Đình Kế
Hà Nội, 2012
Lời cảm ơn
Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Trần
Đình Kế đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tôi trong suốt quá
trình làm luận văn.
Cũng qua luận văn này, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy
cô giáo trong tổ Giải tích - khoa Toán - trường Đại học Sư phạm Hà
nội 2, gia đình, bạn bè và các bạn học viên lớp K14 Toán giải tích đợt
2, những người đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập
và làm luận văn.
Hà Nội, tháng 9 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Văn Điển

1
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn này là do tôi tự làm dưới sự hướng dẫn
và giúp đỡ tận tình của TS. Trần Đình Kế. Tôi xin cam đoan số
liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không
trùng lặp với các đề tài khác. Các thông tin trích dẫn, các tài liệu
tham khảo trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Luận văn chưa
được công bố trên bất kì tạp chí, phương tiện thông tin nào.
Hà Nội, tháng 9 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Văn Điển
2
Mục lục
1 Kiến thức chuẩn bị 8
1.1 Họ giải thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Không gian pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Độ đo không compact và ánh xạ đa trị nén . . . . . . . 14
2 Bài toán tổng quát 19
3 Ứng dụng giải thức suy rộng cho phương trình tiến hóa
cấp hai dạng đầy đủ 29
3
Các kí hiệu
N tập hợp số tự nhiên
N
∗
tập hợp số tự nhiên khác 0
R tập hợp số thực
R
+
tập hợp số thực không âm

C tập hợp số phức
i đơn vị ảo trong tập số phức
∆ toán tử Laplace
MNC độ đo không compact
(u.s.c) nửa liên tục trên
4
MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Lý thuyết nửa nhóm là một công cụ mạnh cho việc nghiên cứu tính
đặt đúng của các lớp bài toán liên quan đến phương trình vi tích phân.
Cụ thể, tính đặt đúng của bài toán Cô-si đối với phương trình vi phân
cấp một
(CP1)

u

(t) = Au(t), t > 0
u(0) = ξ
liên quan chặt chẽ với việc A sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh, ở
đây hàm trạng thái u lấy giá trị trong một không gian Banach X nào
đó. Để nghiên cứu tính đặt đúng của các bài toán với phương trình vi
phân bậc cao, ví dụ
(CP2)

u

(t) + Au

(t) + Bu(t) = 0, t > 0
u(0) = ξ, u


(0) = η,
người ta tìm cách đưa nó về hệ phương trình bậc nhất để có thể áp
dụng các kết quả của lý thuyết nửa nhóm. Tuy nhiên công việc này
không phải bao giờ cũng thực hiện được bởi sau khi chuyển về hệ
bậc nhất, toán tử ma trận không có các tính chất đủ tốt để sinh ra
nửa nhóm. Do vậy người ta đặt vấn đề xây dựng một giải thức suy
rộng cho các phương trình bậc cao, tương tự như nửa nhóm đối với
phương trình bậc nhất để nghiên cứu tính giải được của các bài toán
liên quan. Các kết quả đối với bài toán tuyến tính tổng quát có thể
tìm thấy trong các tài liệu [38].
Cho đến nay, vì lý do kỹ thuật, các kết quả đối với bài toán nửa
tuyến tính còn ít được biết đến, nhất là đối với bài toán Cô-si với bao
hàm thức vi phân bậc cao. Với kỳ vọng tiếp cận một vấn đề nghiên
cứu của toán học hiện đại, tôi chọn đề tài:
"Bài toán Cô-si đối với bao hàm thức tiến hóa bậc cao"
Mục tiêu của luận văn là nghiên cứu một lớp bài toán Cô-si tổng quát
với bao hàm thức vi phân bậc cao có trễ vô hạn dựa trên các kết quả
về giải thức suy rộng đã được thiết lập cho phương trình tuyến tính.
5
Mục đích nghiên cứu
Áp dụng lý thuyết giải thức suy rộng để tìm điều kiện tồn tại nghiệm
cho các bài toán Cô-si với bao hàm thức vi phân bậc cao. Trong đó
chú trọng đến lớp bài toán (CP2).
Nhiệm vụ nghiên cứu
1. Nghiên cứu lý thuyết giải thức suy rộng cho phương trình vi phân
tuyến tính bậc cao.
2. Nghiên cứu lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ đa trị.
3. Tìm điều kiện giải được cho các bài toán Cô-si nửa tuyến tính.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Phương trình và bao hàm thức vi phân
bậc cao.
• Phạm vi nghiên cứu: Tính giải được, cấu trúc tập hợp nghiệm
của bài toán Cô-si đối với phương trình và bao hàm thức vi phân
bậc cao.
Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các công cụ và các kết quả của giải tích đa trị, lý thuyết nửa
nhóm, giải thức suy rộng và độ đo không compact (MNC).
Dự kiến đóng góp mới và hướng nghiên cứu tiếp theo
Xác lập các điều kiện đủ cho tính giải được của một lớp bài toán đối
với bao hàm thức vi phân bậc cao. Một số vấn đề đặt ra cho những
nghiên cứu tiếp theo:
1. Sự tồn nghiệm tuần hoàn của bài toán: nghiệm có tính chất
u(0) = u(T );
2. Sự tồn tại nghiệm ràng buộc của bài toán: nghiệm có tính chất
u(t) ∈ K, ∀t ∈ [0, T ], trong đó K là một tập đóng trong không
gian pha;
6
3. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi t → +∞.
7
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Bài toán tổng quát
Xét bài toán Cô-si với phương trình vi phân bậc cao:
u
(N)
(t) +
N−1

i=0

A
i
u
(i)
(t) ∈ F (t, u(t), u
t
), t ∈ [0, T ], (1.1)
u
(i)
(0) = u
i
, i = 1, , N − 1, (1.2)
u(s) = ϕ(s), s ∈ (−∞, 0], (1.3)
trong đó N  1, A
i
, i=0, ,N-1, là các toán tử tuyến tính trên không
gian Banach (X, .) và F là một ánh xạ đa trị, sẽ được mô tả chi tiết
ở phần sau. Ở đây u
t
mô tả trạng thái lịch sử của hàm u tính đến thời
điểm t, nghĩa là u
t
(s) = u(t + s) với s ∈ (−∞, 0].
Có thể thấy phương trình vi phân bậc cao dạng (1.1) xuất hiện
trong nhiều mô hình thực tế của cơ học, vật lý, công nghệ cũng như
điều khiển, trong đó A
i
là các toán tử vi phân đạo hàm riêng. Một
cách tiếp cận phổ biến là đưa phương trình (1.1) về hệ phương trình
bậc nhất trong không gian hàm thích hợp và nghiên cứu hệ này bằng

công cụ lý thuyết nửa nhóm. Tuy nhiên, như đã chỉ ra trong các tài
liệu [13, 34, 38], phương pháp này khó thực hiện khi mà không gian
nghiệm không thể xây dựng được một cách tường minh hoặc là không
gian nghiệm được xây dựng rất khó ứng dụng trong thực tế. Ngoài ra,
như đã đề cập trong các công trình [13, 39], việc nghiên cứu trực tiếp
phương trình bậc cao có thể nhận được các kết quả tổng quát hơn.
Bài toán Cô-si trong trường hợp N = 1 đã được nghiên cứu rộng
rãi bằng cách tiếp cận nửa nhóm. Phương pháp này được trình bày
chi tiết trong các tài liệu [12, 25, 34, 37]. Tiếp theo, người ra tổng
8
quát hóa khái niệm nửa nhóm liên tục bằng cách xây dựng khái niệm
nửa nhóm tích phân (xem [2, 3, 6, 23, 30, 36]) và nửa nhóm chính
quy hóa (xem [8, 38]), để nghiên cứu nhiều lớp bài toán tổng quát liên
quan đến phương trình vi phân bậc nhất và bậc hai, trong đó các toán
tử A
i
không nhất thiết phải xác định trù mật (như trường hợp nửa
nhóm liên tục). Chúng tôi xin giới thiệu các công trình có liên quan
đến luận văn bao gồm [8, 9, 18, 21, 27, 32, 33, 39]. Sau đó, một khái
niệm tổng quát hóa của nửa nhóm tích phân và nửa nhóm chính quy
hóa được giới thiệu trong [10, 11] được gọi là họ giải thức và khái niệm
mở rộng của nó được xây dựng trong [40]. Trong [10], tác giả đưa ra
một ví dụ để minh chứng sự hạn chế của cả hai khái niệm nửa nhóm
tích phân và nửa nhóm chính quy hóa. Cụ thể, với một số lớp phương
trình, toán tử A
i
không sinh ra nửa nhóm tích phân cũng như nửa
nhóm chính quy hóa, đặc biệt trong trường hợp A
i
có dạng ma trận

các toán tử. Lý do là nửa nhóm tích phân đòi hỏi toán tử sinh phải
có tập giải khác rỗng, trong khi nửa nhóm chính quy hóa đòi hỏi một
số tính chất giao hoán mà toán tử dạng ma trận không thể đáp ứng.
Sử dụng khái niệm họ giải thức trong [40], ta sẽ chứng minh tính
giải được của bài toán (1.1)-(1.3) với các điều kiện thích hợp áp đặt
lên hàm phi tuyến F thông qua độ đo không compact (MNC). Cách
tiếp cận của chúng tôi là sử dụng lý thuyết điểm bất động cho ánh
xạ đa trị nén. Kỹ thuật này được phát triển trong [22]. Ngoài ra, ứng
dụng của giải tích đa trị cho việc nghiên cứu các bao hàm thức vi
phân có thể tham khảo trong các tài liệu [4, 5, 7, 16, 20, 24].
Có thể nói rằng bài toán với phương trình vi phân có trễ vô hạn
nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học (xem
[19, 26, 14, 15, 28, 29, 32] và các tài liệu liên quan). Thông thường,
trạng thái lịch sử của hệ được xem xét trong không gian pha, xác định
bởi hệ tiên đề đề xuất bởi Hale và Kato (xem [17]).
1.1 Họ giải thức
Cho toán tử tuyến tính A trên không gian Banach (X,  · ). Ta ký
hiệu D(A) và R(A), là miền xác định và, tương ứng, miền giá trị của
A. Ký hiệu [D(A)] là không gian định chuẩn D(A) xác định bởi chuẩn
9
đồ thị
x
[D(A)]
= x + Ax, x ∈ D(A).
Ký hiệu L(X) là không gian các toán tử tuyến tính bị chặn trên X.
Với B ∈ L(X), ta ký hiệu [R(B)] là không gian Banach R(B) với
chuẩn
x
[R(B)]
= inf{y : By = x}.

Với hằng số dương ω, ta nói G ∈ LT
ω
− L(X) nếu G : (ω, ∞) → L(X)
và tồn tại hàm liên tục H : [0, ∞) → L(X), H(t) = O(e
ωt
) sao cho
với mọi λ > ω, ta có
G(λ)x =

∞
0
e
−λt
H(t)xdt, với mọi x ∈ X.
Những tính chất đặc tả của không gian LT
ω
− L(X) có thể tìm trong
[2, 38]. Với λ ∈ R, đặt
P
λ
= λ
N
+
N−1

i=0
λ
i
A
i

, R
λ
= P
−1
λ
nếu toán tử ngược tồn tại.
Giả sử E
0
∈ L(X) là một đơn ánh. Ta nhắc lại khái niệm E
0
-họ
giải thức đã trình bày trong [40].
Định nghĩa 1.1. Một họ các toán tử tuyến tính liên tục {E(t)}
t0
⊂
L(X) được gọi là một E
0
-họ giải thức đối với tập các toán tử (A
i
)
N−1
i=0
nếu với mọi x ∈ X, t  0, ta có E(·)x ∈ C
N−1
((0, ∞); X), E
(i−1)
(t)x ∈
D(A
i
), A

i
E
(i−1)
(·)x ∈ C((0, ∞); X), i = 0, , N − 1, và
E(t)x +
N−1

i=0
A
i

t
0
(t − s)
n−i−1
(n − i − 1)!
E(s)xds =
t
N−1
(N − 1)!
E
0
x,
trong đó
E
(j)
(t)x =
d
j
dt

j
(E(t)x), j ∈ N,
E
(−j)
(t)x =

t
0
(t − s)
j−1
(j − 1)!
E(s)xds, j ∈ N\{0}.
10
Ví dụ về họ giải thức có thể xem trong [40]. Ở đây, ta nhắc lại
mối liên quan giữa họ giải thức với nửa nhóm tích phân và nửa nhóm
chính quy hóa trong trường hợp N = 1 (xem [10]).
Giả sử C ∈ L(X) là một đơn ánh, A là toán tử tuyến tính đóng
trên X sao cho CA ⊂ AC. Khi đó ta định nghĩa C-tập giải của A như
sau
ρ
C
(A) = {λ ∈ C : (λI − A) là đơn ánh,
R(C) ⊂ R(λI − A) và (λI − A)
−1
C ∈ L(X)}.
Định nghĩa 1.2. Cho ω, r ∈ R, r  0. Nếu (ω, +∞) ⊂ ρ
C
(A) và
tồn tại S
r

(·) : R
+
→ L(X) thỏa mãn t → S
r
(t)u ∈ C(R
+
; X) với mỗi
u ∈ X sao cho
S
r
(t)
L(X)
 Me
ωt
, t  0, M > 0,
và
(λI − A)
−1
Cu = λ
r

+∞
0
e
−λt
S
r
(t)dt, λ > ω, u ∈ X.
thì ta nói A là phần tử sinh của nửa nhóm tích phân bậc r, C-chính
quy hóa {S

r
(t)}
t0
. Nếu r = 0 (tương ứng, C = I), thì {S
r
(t)}
t0
được
gọi là nửa nhóm C-chính quy hóa (tương ứng, nửa nhóm tích phân bậc
r) và A được gọi là phần tử sinh của {S
r
(t)}
t0
.
Các tính chất của nửa nhóm tích phân bậc r, C-chính quy hóa có
thể xem trong [10, 38]. Chú ý rằng, nếu r ∈ N, λ
0
∈ ρ
I
(A), thì A là
phần tử sinh của nửa nhóm tích phân bậc r nếu và chỉ nếu A là phần
tử sinh của nửa nhóm (λ
0
I − A)
−r
-chính quy hóa (xem [38, Theorem
1.6.7]). Khẳng định sau đây cho ta mối liên hệ giữa họ giải thức và
nửa nhóm chính quy hóa.
Định lý 1.1 ([10]). Giả sử {W (t)}
t0

là một nửa nhóm C-chính
quy hóa, sinh bởi A. Nếu

t
0
W (s)xds ∈ D(A) với t  0, x ∈ X thì
{W (t)}
t0
là một C-họ giải thức của A.
Điều kiện đảm bảo sự tồn tại của E
0
-họ giải thức đối với tập toán
tử (A
i
)
N−1
i=0
được trình bày trong định lý sau.
11
Định lý 1.2 ([40]). Giả sử các toán tử A
i
, i = 0, , N − 1, là đóng
và P
λ
là đơn ánh với λ > ω. Khi đó tập các toán tử (A
i
)
N−1
i=0
có một

E
0
-họ giải thức {E(t)}
t0
⊂ L(X) thỏa mãn
E
(N−1)
(t), A
i
E
(i−1)
(s)  Me
ωt
, i = 0, , N − 1,
nếu và chỉ nếu R(E
0
) ⊂ R(P
λ
) và
λ
N−1
R
λ
E
0
, λ
i−1
A
i
R

λ
E
0
∈ LT
ω
− L(X), i = 1, , N − 1. (1.4)
Với 0  k  N − 1, ta kí hiệu
D
k
= {x ∈
k

j=0
D(A
j
) : A
j
x ∈ R(E
0
) for all 0  j  k}. (1.5)
Xét bài toán thuần nhất tương ứng với (1.1) - (1.3)
u
(N)
(t) +
N−1

i=0
A
i
u

(i)
(t) = 0, t  0, (1.6)
u
(i)
(0) = u
i
, i = 1, , N − 1, u(0) = u
0
= ϕ(0) (1.7)
ta có kết quả sau về tính giải được của nghiệm cổ điển, tức là hàm
u(·) ∈ C
N
((0, ∞); X) sao cho u
(i)
(t) ∈ D(A
i
), t  0, 0  i  N − 1,
thỏa mãn (1.6)-(1.7).
Định lý 1.3 ([40]). Giả sử tồn tại một E
0
-họ giải thức {E(t)}
t0
đối
với tập toán tử (A
i
)
N−1
i=0
, khi đó với u
0

∈ D
0
, , u
N−1
∈ D
N−1
, bài toán
(1.6)-(1.7) có một nghiệm cho bởi
u(t) =
N−1

i=0

t
i
i!
u
i
−
i

j=0

t
0
(t − s)
i−j
(i − j)!
E(s)v
ij

ds

, t  0,
trong đó v
ij
∈ X là các phần tử sao cho
A
j
u
i
= E
0
v
ij
, 0  j  i, 0  i  N − 1.
Nghiệm cho bởi công thức trên thỏa mãn các ước lượng, với hàm bị
chặn cục bộ R(t):
u
N
(t), u
(k)
(t)
[D(A
k
)]
 R(t)
N−1

i=0


u
i
 +
i

j=0
A
j
u
i

[R(E
0
)]

(1.8)
với mọi t  0 và 0  k  N − 1.
12
1.2 Không gian pha
Cho B là một không gian tuyến tính, với nửa chuẩn | · |
B
, bao gồm
các hàm số từ (−∞, 0] vào E - không gian Banach. Khái niệm không
gian pha B cho các phương trình với trễ, được đưa ra bởi Hale và
Kato (xem [19]), bao gồm các tiên đề: Nếu v : (−∞, T ] → E sao cho
v|
[0,T ]
∈ C([0, T ]; E) và v
0
∈ B, thì

(B1) v
t
∈ B với mọi t ∈ [0, T ];
(B2) hàm t → v
t
liên tục trên [0, T ];
(B3) |v
t
|
B
 K(t) sup{v(s)
E
: 0  s  t} + M (t)|v
0
|
B
, trong đó
K, M : [0, T ] → [0, ∞), K là hàm liên tục, M là hàm bị chặn, cả
hai hàm này không phụ thuộc v.
Sau đây là các ví dụ về không gian pha thỏa mãn các tiên đề nêu
trên.
(1) Với η > 0, ký hiệu B = C
η
là không gian các hàm liên tục
ψ : (−∞; 0] → E thỏa mãn lim
θ→−∞
e
ηθ
ψ(θ) với
|ψ|

B
= sup
−∞<θ≤0
e
ηθ
ψ(θ).
(2) (Không gian "giảm nhớ"). Giả sử 1  p < +∞, 0  r < +∞ và
g : (−∞, −r] → R là hàm không âm, đo được xác định trên (−∞, −r).
Ký hiệu CL
p
g
là họ các hàm số ϕ : (−∞, 0] → Xsao cho ϕ liên tục
trên [−r, 0] và g(θ)ϕ(θ)
p
X
∈ L
1
(−∞, −r). Nửa chuẩn trong CL
p
g
cho
bởi
|ϕ|
CL
p
g
= sup
−rθ0
{ϕ(θ)
X

} +


−r
−∞
g(θ)ϕ(θ)
p
X
dθ

1
p
. (1.9)
Giả thiết thêm rằng

−r
s
g(θ)dθ < +∞, với mọi s ∈ (−∞, −r) và (1.10)
g(s + θ)  G(s)g(θ) với s  0 và θ ∈ (−∞, −r), (1.11)
trong đó G : (−∞, 0] → R
+
bị chặn địa phương. Theo [19], nếu (1.10)-
(1.11) được thỏa mãn thì CL
p
g
thỏa mãn (B1)-(B3).
Có thể tìm hiểu thêm về không gian pha trong [19].
13
1.3 Độ đo không compact và ánh xạ đa trị nén
Trong mục này, ta nhắc lại một số khái niệm và kết quả của giải tích

đa trị sẽ sử dụng. Có thể xem chi tiết trong các công trình [4, 5, 7,
16, 20, 22, 24].
Giả sử Y là một không gian Banach. Ký hiệu
• P(Y ) = {A ⊂ Y : A = ∅},
• P v(Y ) = {A ∈ P(Y ) : A là lồi},
• K(Y ) = {A ∈ P(Y ) : A là compact},
• Kv(Y ) = K(Y ) ∩ P v(Y ),
• C(Y ) = {A ∈ P(Y ) : A là đóng},
• P b(Y ) = {A ∈ P(Y ) : A bị chặn}.
Ta sử dụng định nghĩa sau đây về độ đo không compact (xem [22]).
Định nghĩa 1.3. Cho (A, ) là một tập sắp thứ tự bộ phân. Hàm
β : P(E) → A được gọi là độ đo không compact (MNC) trong E nếu
β(co Ω) = β(Ω) với mọi Ω ∈ P(E),
trong đó co Ω là bao lồi đóng của Ω. Một MNC β được gọi là
i) đơn điệu, nếu Ω
0
, Ω
1
∈ P(E), Ω
0
⊂ Ω
1
kéo theo β(Ω
0
)  β(Ω
1
);
ii) không kỳ dị, nếu β({a}∪Ω) = β(Ω) với mọi a ∈ E, Ω ∈ P(E);
iii) bất biến đối với nhiễu compact, nếu β(K ∪Ω) = β(Ω) với mọi
tập compact tương đối K ⊂ E và Ω ∈ PE);

Nếu A là một nón trong không gian định chuẩn, ta nói rằng β là
iv) nửa cộng tính đại số, nếu β(Ω
0
+ Ω
1
)  β(Ω
0
) + β(Ω
1
) với
mỗi Ω
0
, Ω
1
∈ P(E);
v) chính quy, nếu β(Ω) = 0 khi và chỉ khi Ω là tập compact tuơng
đối.
14
Một ví dụ quan trọng về MNC là độ đo không compact Hausdorff,
thỏa mãn tất cả các tính chất nêu trên:
χ(Ω) = inf{ε : Ω có lưới ε hữu hạn}.
Độ đo không compact Hausdorff thỏa mãn tất cả các tính chất trong
định nghĩa nêu trên, đồng thời, nó có thêm các tính chất sau:
• nếu L là một toán tử tuyến tính bị chặn trong E, thì χ(LΩ) 
Lχ(Ω);
• trong không gian tách được E, χ(Ω) = lim
m→∞
sup
x∈Ω
d(x, E

m
), trong
đó {E
m
} là họ các không gian con hữu hạn chiều của E sao cho
E
m
⊂ E
m+1
, m = 1, 2, và
∞

m=1
E
m
= E.
Giả sử X là một không gian metric.
Định nghĩa 1.4. Ánh xạ đa trị F : X → P(E) được gọi là:
i) nửa liên tục trên (u.s.c) nếu F
−1
(V ) = {x ∈ X : F(x) ⊂ V }
là tập mở của X với mọi tập mở V ⊂ E;
ii) đóng nếu đồ thị của nó Γ
F
= {(x, y) : y ∈ F(x)} là tập con
đóng của X × E;
(iii) compact nếu tập ảnh F(X) là compact tương đối trong E;
(iv) tựa compact nếu hạn chế của nó trên các tập compact A ⊂ X
là compact.
Định nghĩa 1.5. Ánh xạ đa trị F : X ⊂ E → K(E) được gọi là

nén ứng với MNC β (β-nén) nếu với mọi tập bị chặn Ω ⊂ X không
compact, ta có
β(F(Ω))  β(Ω).
Giả sử D ⊂ E là một tập con lồi, đóng của E và U
D
là một tập
khác rỗng, mở trong D. Ta định nghĩa U
D
và ∂U
D
là bao đóng và biên
của U
D
theo tô-pô trong D.
Cho β là một MNC đơn điệu, không kỳ dị trong E. Ứng dụng của
khái niệm bậc tô-pô cho ánh xạ nén (xem [22]) cho ta các định lý điểm
bất động sau đây.
15
Định lý 1.4 ([22, Corollary 3.3.1]). Giả sử M là một tập lồi, đóng,
bị chặn trong E và F : M → Kv(M) là ánh xạ đa trị u.s.c. và β-nén.
Khi đó tập các điểm bất động của F, Fix F := {x : x ∈ F(x)} là khác
rỗng và compact.
Định lý sau đây là một phiên bản của định lý Leray-Schauder cổ
điển.
Định lý 1.5 ([22, Corollary 3.3.3]). Giả sử U
D
là một lân cận mở, bị
chặn của điểm a ∈ D và F : U
D
→ Kv(D) là ánh xạ u.s.c và β-nén,

thỏa mãn điều kiện biên
x − a ∈ λ(F(x) − a)
với mọi x ∈ ∂U
D
và 0 < λ  1. Khi đó Fix F là tập khác rỗng và
compact.
Định nghĩa 1.6. Giả sử G : [0, T ] → K(E) là hàm đa trị và p  1.
Khi đó G được gọi là
• L
p
-khả tích, nếu nó có hàm chọn khả tích bậc p theo nghĩa Bochner.
Nghĩa là có hàm g : [0, T ] → E, g(t) ∈ G(t) với hầu khắp
t ∈ [0, T ] sao cho

T
0
g(s)
p
E
ds < ∞;
• L
p
-bị chặn, nếu có hàm ξ ∈ L
p
([0, T ]) sao cho
G(t) := sup{g
E
: g ∈ G(t)}  ξ(t) với hầu khắp t ∈ [0, T ].
Tập các hàm chọn khả tích bậc p của G được ký hiệu là S
p

G
.
Hàm đa trị G gọi là đo được nếu G
−1
(V ) đo được (ứng với độ
đo Lebesgue trên J := [0, T]) với mỗi tập mở V của E. Ta nói G
là đo được mạnh nếu có một dãy các hàm bậc thang G
n
: [0, T ] →
K(E), n = 1, 2, sao cho
lim
n→∞
H(G
n
(t), G(t)) = 0 với hầu khắp t ∈ [0, T],
trong đó H là khoảng cách Hausdorff trên K(E).
Ta biết rằng, khi E là không gian tách được, ta có các khẳng định
sau tương đương (xem [22]):
1. G là đo được;
16
2. với tập đếm được trù mật {x
n
} của E, hàm ϕ
n
: [0, T ] → R, định
nghĩa bởi
ϕ
n
(t) = d(x
n

, G(t)),
là đo được;
3. G có biểu diễn Castaing: tồn tại họ {g
n
} các hàm chọn đo được
của G sao cho
∞

n=1
g
n
(t) = G(t)
với hầu khắp t ∈ [0, T];
4. G là đo được mạnh.
Ngoài ra, nếu G đo được và L
p
-bị chặn, thì nó L
p
-khả tích. Nếu G
là L
p
-khả tích trên [0, d] với p ≥ 1, thì G cũng L
1
-khả tích. Khi đó, ta
có hàm t →

t
0
G(s) ds xác định bởi


t
0
G(s) ds :=


t
0
g(s) dx : g ∈ S
1
G

, ∀t ∈ [0, d].
Định nghĩa 1.7. Ta nói rằng hàm đa trị G : [0, T ] ×X ×B → K(X)
thỏa mãn điều kiện Carathéodory nếu
1. hàm G(., η, ζ) : [0, T ] → K(X) là đo được mạnh với mỗi (η, ζ) ∈
X × B,
2. hàm G(t, ., .) : X × B → K(X) là nửa liên tục trên với hầu khắp
t ∈ [0, T ].
Hàm đa trị G được gọi là bị chặn tích phân cục bộ nếu với mỗi r > 0,
tồn tại một hàm ω
r
∈ L
1
([0, T ]) sao cho
G(t, η, ζ) = sup{z
X
: z ∈ G(t, η, ζ)}  ω
r
(t) với hầu khắp t ∈ [0, T ]
với mọi (η, ζ) ∈ X × B thỏa mãn η

X
+ |ζ|
B
 r.
Giả sử hàm G : [0, T ] × X × B → K(X) thỏa mãn điều kiện
Carathéodory và bị chặn tích phân cục bộ, khi đó với u : (−∞, T ] → X
sao cho u|
[0,T ]
∈ C([0, T ]; X) và u
0
∈ B, xét hàm hợp
Φ : [0, T ] → K(X), Φ(t) = G(t, u(t), u
t
).
17
Theo định nghĩa không gian pha, ta có t → u
t
∈ B là một hàm liên
tục. Do đó Φ là khả tích. Phần chứng minh có thể xem trong [22, Định
lí 1.3.5].
Vậy, với τ ∈ (0, T ], ta có thể định nghĩa hàm hợp
P
G
(u) := S
1
Φ
= {φ ∈ L
1
(0, τ; X) : φ(t) ∈ G(t, u(t), u
t

) for a.e. t ∈ [0, τ]}.
Ký hiệu
C
X
(−∞, τ) = {u : (−∞, τ] → X | u
0
∈ B và u|
[0,τ]
∈ C([0, τ]; X)},
là không gian tuyến tính tô-pô với nửa chuẩn
u
C
X
(−∞,τ)
= |u
0
|
B
+ u
C([0,τ];X)
.
Ta có tính chất đóng yếu của hàm P
G
, sinh bởi G. Chứng minh tính
chất này có trong [22, Bổ đề 5.1.1].
Bổ đề 1.1. Giả sử G : [0, τ] × X × B → Kv(X) bị chặn tích phân
cục bộ, thỏa mãn điều kiện Carathéodory và {u
n
} là một dãy trong
C

X
(−∞, τ) hội tụ về u
∗
∈ C
X
(−∞, τ). Giả sử dãy {φ
n
} ⊂ L
1
(0, τ; X),
φ
n
∈ P
G
(u
n
) hội tụ yếu về φ
∗
, khi đó φ
∗
∈ P
G
(u
∗
).
18
Chương 2
Bài toán tổng quát
Ký hiệu X
0

= [R(E
0
)] ⊂ X. Xét hàm đa trị F : [0, T ] × X × B →
Kv(X
0
) cho trong bài toán (1.1)-(1.3). Do E
0
là đơn ánh, ta có thể
định nghĩa hàm đa trị F
0
: [0, T ] × X × B → Kv(X) như sau
F
0
= E
−1
0
F. (2.1)
Giả sử F
0
thỏa mãn các điều kiện:
(F 1) F
0
: [0, T ] × X × B → Kv(X) là hàm Carathéodory;
(F 2) F
0
bị chặn tích phân cục bộ;
(F 3) với mọi tập bị chặn Q ⊂ B và Ω ⊂ X, ta có
χ(F
0
(t, Ω, Q))  h(t)χ(Ω) + k(t)ψ(Q) với hầu khắp t ∈ [0, T ],

trong đó h, k ∈ L
1
(0, T ; X) và
ψ(Q) = sup
θ0
χ(Q(θ)) (2.2)
là mô-đun không compact theo phân thớ của Q.
Nhận xét 2.1. Trong trường hợp X = R
m
, điều kiện (F 3) suy ra từ
(F 2). Thật vậy, điều kiện bị chặn tích phân suy ra tập F
0
(t, Ω, Q) bị
chặn trong R
m
với hầu khắp t ∈ [0, T ] và do đó nó là tiền compact.
Nếu dim(X) = +∞, thì một trường hợp riêng đảm bảo cho (F 3)
được thỏa mãn là:
F
0
(t, ., .) : X × B → Kv(X)
liên tục tuyệt đối với hầu khắp t ∈ [0, T ], tức là, F
0
(t, ., .) biến các tập
bị chặn trong X × B thành tập compact tương đối trong X.
19
Nhận xét 2.2. Nếu E
−1
0
bị chặn, các tính chất (F 1) − (F 3) cho F

0
có thể thay thế bởi các tính chất tương tự cho F .
Ta có định nghĩa nghiệm tích phân của (1.1)-(1.3):
Định nghĩa 2.1. Giả sử u
i
∈ D
i
, i = 0, , N − 1 với u
0
= ϕ(0).
Cho τ ∈ (0, T ], một hàm u ∈ C
X
(−∞, τ) được gọi là nghiệm tích phân
của bài toán (1.1)-(1.3) trên khoảng (−∞, τ] nếu nó thỏa mãn phương
trình tích phân
u(t) =



ϕ(t), với t  0,
w(t) +

t
0
E(t − s)φ(s)ds với t ∈ [0, τ],
trong đó φ ∈ P
F
0
(u) và w là nghiệm của bài toán thuần nhất (1.6)-(1.7)
trên khoảng [0, τ].

Xét toán tử S : L
1
(0, τ; X) → C([0, τ]; X) xác định bởi
S(f)(t) =

t
0
E(t − s)f(s)ds. (2.3)
Ta có khẳng định sau (xem chứng minh trong [22, Bổ đề 4.2.1]).
Mệnh đề 2.1. Toán tử S có các tính chất:
(S1) Tồn tại hằng số C
0
> 0 sao cho
S(f)(t) − S(g)(t)
X
 C
0

t
0
f(s) − g(s)
X
ds
với mọi f, g ∈ L
1
(0, τ; X), t ∈ [0, τ];
(S2) với mỗi tập compact K ⊂ X và dãy {f
n
} ⊂ L
1

(0, τ; X) sao cho
{f
n
(t)} ⊂ K với hầu khắp t ∈ [0, τ], nếu f
n
 f (hội tụ yếu) thì
S(f
n
) → S(f) (hội tụ mạnh).
Từ Mệnh đề 2.1 ta có kết quả sau (xem [22, Bổ đề 4.2.4]).
Mệnh đề 2.2. Giả sử {ξ
n
} ⊂ L
1
(0, τ; X) bị chặn tích phân, tức là,
ξ
n
(t)  ν(t), với hầu khắp t ∈ [0, τ],
20
trong đó ν ∈ L
1
([0, τ]). Giả sử tồn tại hàm q ∈ L
1
([0, τ]) sao cho
χ({ξ
n
(t)})  q(t), với hầu khắp t ∈ [0, τ].
Khi đó
χ({S(ξ
n

)(t)})  2C
0

t
0
q(s)ds
với mỗi t ∈ [0, τ].
Định nghĩa 2.2. Dãy {ξ
n
} ⊂ L
1
(0, τ; X) được gọi là nửa compact
nếu nó bị chặn tích phân và tập {ξ
n
(t)} là compact tương đối trong X
với hầu khắp t ∈ [0, τ].
Theo [22, Định lý 4.2.1 và 5.1.1], ta có
Mệnh đề 2.3. Nếu dãy {ξ
n
} ⊂ L
1
(0, τ; X) là nửa compact, thì {ξ
n
}
là compact yếu trong L
1
(0, τ; X) và {S(ξ
n
)} compact tương đối trong
C([0, τ]; X). Ngoài ra, Nếu ξ

n
 ξ
0
thì S(ξ
n
) → S(ξ
0
).
Với mỗi hàm v ∈ C([0, τ]; X) thuộc một tập lồi đóng, tập hợp
D
0
= {v ∈ C([0, τ]; X) : v(0) = ϕ(0)}, (2.4)
trong đó ϕ là hàm giá trị ban đầu, ta định nghĩa hàm v[ϕ] ∈ C
X
(−∞, τ)
như sau
v[ϕ](t) =

ϕ(t), nếu t  0,
v(t), nếu t ∈ [0, τ].
(2.5)
Khi đó ta thấy rằng hàm u ∈ C
X
(−∞, τ) là nghiệm tích phân của bài
toán (1.1)-(1.3) nếu nó có dạng
u = v[ϕ],
với v ∈ D
0
là điểm bất động của toán tử
G : D

0
→ D
0
xác định bởi
G(v) = w + S ◦ P
F
0
(v[ϕ]),
trong đó w là nghiệm của bài toán thuần nhất (1.6)-(1.7).
Bổ đề 2.1. Giả sử F
0
thỏa mãn (F1)-(F3). Khi đó G là toán tử đóng
nhận giá trị compact.
21
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh khẳng định của định lý cho

G :
D
0
→ C([0, τ]; X),

G(v) = S ◦ P
F
0
(v[ϕ]).
Giả sử {v
n
} ⊂ D
0
hội tụ đến v

∗
trong D
0
và z
n
∈

G(v
n
) sao cho
z
n
→ z
∗
trong C([0, τ]; X). Ta sẽ chứng tỏ rằng z
∗
∈

G(v
∗
)). Với
ξ
n
∈ P
F
0
(v
n
[ϕ]) sao cho z
n

= S(ξ
n
), ta có
ξ
n
(t) ∈ F
0
(t, v
n
(t), v
n
[ϕ]
t
) với hầu khắp t ∈ [0, τ],
và sử dụng (F 2), ta có {ξ
n
} bị chặn tích phân. Hơn nữa, giả thiết (F 3)
cho ta
χ({ξ
n
(t)})  h(t)χ({v
n
(t)}) + k(t)ψ({v
n
[ϕ]
t
}) với hầu khắp t ∈ [0, τ].
(2.6)
Sự hội tụ của {v
n

} trong C([0, τ]; X) suy ra rằng χ({v
n
(t)}) = 0 với
mọi t ∈ [0, τ]. Mặt khác,
ψ({v
n
[ϕ]
t
}) = sup
θ0
χ({v
n
[ϕ](t + θ)}) = sup
s∈[0,t]
χ({v
n
(s)}) = 0. (2.7)
Do đó, kết hợp với (2.6), ta được
χ({ξ
n
(t)}) = 0 với hầu khắp t ∈ [0, τ]
và do vậy {ξ
n
} là dãy nửa compact. Từ Mệnh đề 2.3 ta có {ξ
n
} là
compact yếu trong L
1
(0, τ; X) và {S(ξ
n

)} là compact tương đối trong
C([0, τ]; X), do vậy ta có thể giả thiết rằng ξ
n
 ξ
∗
trong L
1
(0, τ; X)
và z
n
= S(ξ
n
) → S(ξ
∗
) = z
∗
trong C([0, τ]; X). Áp dụng Bổ đề 1.1, ta
có ξ
∗
∈ P
F
0
(v
∗
[ϕ]) và do vậy z
∗
= S(ξ
∗
) ∈ S ◦ P
F

0
(v
∗
[ϕ]) =

G(v
∗
).
Ta còn phải chứng minh

G nhận giá trị compact. Giả sử {z
n
} ⊂

G(v)
với mọi v ∈ D
0
. Khi đó tồn tại {ξ
n
} ∈ P
F
0
(v[ϕ]) sao cho z
n
= S(ξ
n
).
Sử dụng giả thiết (F 2)-(F 3), ta có dãy {ξ
n
} là nửa compact, và do đó

{S(ξ
n
)} compact tương đối trong C([0, τ]; X) theo Mệnh đề 2.3. Dễ
thấy giá trị của

G là tập lồi.
Bổ đề 2.2. Giả sử các giả thiết của Bổ đề 2.1 được thỏa mãn. Khi đó
G là nửa liên tục trên.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh cho

G. Từ Định lý 1.3 và Bổ
đề 2.1, ta sẽ chứng tỏ rằng

G là ánh xạ tựa compact. Giả sử A ⊂
22
C([0, τ]; X) là tập compact và {z
n
} ⊂

G(A). Khi đó z
n
= S(ξ
n
) với
ξ
n
∈ P
F
0
(v

n
[ϕ]) và {v
n
} ⊂ A. Ta có thể giả thiết {v
n
} hội tụ. Sử dụng
đánh giá như trong (2.6)-(2.7), ta có {ξ
n
} là dãy nửa compact. Do vậy
{S(ξ
n
)} là compac tương đối trong C([0, τ]; X) theo Mệnh đề 2.3.
Bây giờ ta sẽ chứng tỏ G là một ánh xạ nén. Ta sẽ xây dựng một
độ đo phù hợp cho bài toán. Xét mô-đun không compact theo phân thớ
xác định bởi
γ : P(C([0, τ]; X)) → R
+
,
γ(Ω) = sup
t∈[0,τ]
e
−Lt
χ(Ω(t)), (2.8)
trong đó hằng số L được chọn sao cho
 := sup
t∈[0,τ]

2C
0


t
0
e
−L(t−s)
[h(s) + k(s)]ds

< 1 (2.9)
và
mod
C
: P(C([0, τ]; X)) → R
+
,
mod
C
(Ω) = lim
δ→0
sup
v∈Ω
max
|t
1
−t
2
|<δ
v(t
1
) − v(t
2
), (2.10)

được gọi là mô-đun đồng liên tục của Ω trong C([0, τ]; X).
Xét độ đo
ν : P(C([0, τ]; X)) → R
2
+
,
ν(Ω) = max
D∈∆(Ω)
(γ(D), mod
C
(D)), (2.11)
trong đó ∆(Ω) họ các tập con đếm được của Ω và max được xét theo
thứ tự trong nón R
2
+
. Lý luận tương tự như trong [22], ta có ν hoàn
toàn xác định. Tức là, giá trị lớn nhất đạt được trong ∆(Ω) vàν là
một độ đo không compact trong C([0, τ]; E), thỏa mãn tất cả các tính
chất nêu trong Định nghĩa 1.3 (xem [22, Ví dụ 2.1.3]).
Bổ đề 2.3. Nếu các điều kiện của Bổ đề 2.1 được thỏa mãn, thì ánh
xạ đa trị G : D
0
→ Kv(D
0
) là ν-nén.
Chứng minh. Giả sử Ω ⊂ D
0
sao cho
ν(G(Ω))  ν(Ω). (2.12)
23