Bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương lồi

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (411.66 KB, 63 trang )

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THÀNH CHUNG
BÀI TOÁN QUY HOẠCH
TOÀN PHƯƠNG VỚI RÀNG BUỘC
TOÀN PHƯƠNG LỒI
LUẬN VĂN THẠC SĨ
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Hà Nội-2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THÀNH CHUNG
BÀI TOÁN QUY HOẠCH
TOÀN PHƯƠNG VỚI RÀNG BUỘC
TOÀN PHƯƠNG LỒI
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm
Hà Nội 2012
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo của
PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm . Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
đối với sự quan tâm, động viên và sự chỉ bảo hướng dẫn của thầy.
Tôi xin cảm ơn các thầy cô Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2. Đồng thời tôi xin cảm ơn tập thể lớp Cao học Toán giải
tích K13- K14 của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp
đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn tới Ban giám hiệu Trường THPT Yên
Dũng số 1, Bắc Giang, các đồng nghiệp và gia đình đã tạo điều kiện
giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, tháng 06 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Thành Chung
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm.
Số liệu và các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực
và không trùng lặp với các đề tài khác.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành qủa khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Thành Chung
Mục lục
Bảng ký hiệu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . 9
1.1. Không gian R
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2. Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3. Chuẩn Euclid của véc tơ x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.4. Khoảng cách. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.5. Hình cầu mở, tập mở, tập đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.6. Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.7. Tập bị chặn và tập compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2. Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1. Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2. Hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3. Ma trận nửa xác định dương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4. Ánh xạ đa trị. . . . 15
1.4.1. Bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5. Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Chương 2. BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG VỚI
RÀNG BUỘC TOÀN PHƯƠNG LỒI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Định lý Frank- Wolfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1. Định lý Frank- Wolfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3
4
2.2.2. Định lý kiểu Frank- Wolfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3. Định lý Eaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.1. Định lý Eaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2. Định lý kiểu Eaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4. Bài toán tối ưu toàn phương chỉ có một ràng buộc toàn phương
lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5. Bài toán tối ưu toàn phương có hàm mục tiêu tựa lồi . . . . . 43
2.6. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Chương 3. TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM
CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH
TOÀN PHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1. Tính ổn định nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương với
ràng buộc toàn phương lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2. Tính nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới. . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3. Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
BẢNG KÝ HIỆU
∅ tập rỗng

x ∈ X x thuộc tập X
x /∈ X x không thuộc tập X
A \ B hiệu của tập A và tập B
A ∪ B hợp của tập A và tập B
A ∩ B giao của tập A và tập B
R đường thẳng thực
R
n
không gian Euclid- n chiều
< x, y > tích vô hướng của x và y
||x|| =


n
i=1
(x
i
)
2
chuẩn Euclid của x trong R
n
x
T
chuyển vị của x
B(x
0
, ) hình cầu mở tâm x
0
, bán kính 
lim inf giới hạn dưới

lim sup giới hạn trên
inf(A) cận dưới đúng của A
intA phần trong của A
f(x) gradient của f tại x
R
n×n
S
Không gian các ma trận đối xứng cấp n
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán quy hoạch toàn phương (còn gọi là bài toán tối ưu toàn
phương) là bài toán tìm nghiệm tối ưu (lớn nhất hoặc nhỏ nhất) của
một hàm toàn phương (gọi là hàm mục tiêu) trên một tập hợp xác định
bởi một số hàm toàn phương (gọi là miền ràng buộc). Một bộ phận quan
trọng của quy hoạch toán học nghiên cứu về những khía cạnh khác nhau
của các bài toán tối ưu toàn phương gọi là Quy hoạch toàn phương.
Những bài toán tối ưu toàn phương xuất hiện một cách tự nhiên trong
nhiều lĩnh vực của tối ưu hóa, điều khiển học và kĩ thuật. Những ví dụ
về những bài toán đó có thể kể đến những bài toán miền tin cậy (trust-
region problems) trong tối ưu hóa và những bài toán lưu chứa (pooling
problem) trong Hóa dầu. Người ta cũng dùng những bài toán tối ưu toàn
phương để giải xấp xỉ những bài toán tối ưu phi tuyến phức tạp. Với bài
toán tối ưu nói chung, bài toán tối ưu toàn phương nói riêng, một việc
quan trọng luôn được đặt ra là bài toán có lời giải (còn gọi là nghiệm)
hay không? Câu trả lời sẽ đơn giản nếu tập ràng buộc là giới nội hoặc
hàm mục tiêu không bị chặn trên miền ràng buộc. Vấn đề sẽ trở nên
phức tạp trong trường hợp tập ràng buộc không giới nội và hàm mục
tiêu bị chặn trên đó. Khi ấy việc khẳng định bài toán có nghiệm hay
không là một vấn đề không dễ.
Một số kết quả nghiên cứu đã được đăng và được viết trong cuốn

sách chuyên khảo “G. M. Lee, N. N. Tam and N. D. Yen, Quadratic
Programming and Affine Variational Inequalities: A Qualitative Study,
Springer Verlag, New York, 2005”.
7
Những bài toán tối ưu toàn phương với ràng buộc toàn phương lồi lập
thành một lớp bài toán tối ưu quan trọng, nó chứa những bài toán toàn
phương với ràng buộc tuyến tính. Nhiều tác giả trong và ngoài nước đã và
đang quan tâm nghiên cứu những tính chất khác nhau của lớp bài toán
này và đã thu được nhiều kết quả quan trọng (xem [1], [2], [3], [7], [8]và
những tài liệu dẫn trong đó).
Sau khi học xong chương trình cao học giải tích, với lòng mong muốn
củng cố những kiến thức đã học và hiểu biết thêm về ứng dụng của Giải
tích toán học vào những môn toán học khác, tôi chọn đề tài:
“ Bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương lồi”
để nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số lớp bài toán tối ưu toàn phương (lồi, không lồi)
với ràng buộc toàn phương.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu những tính chất định tính của Bài toán tối ưu toàn phương
với ràng buộc toàn phương lồi.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Bài toán tối ưu toàn phương lồi với ràng buộc toàn phương lồi và
nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, điều kiện cực trị, tính ổn định,. . . của
chúng.
8
5. Phương pháp nghiên cứu
Tìm hiểu các thông tin trong sách báo liên quan đến nội dung nghiên
cứu. Sử dụng các phương pháp của giải tích và đại số tuyến tính. Tổng
hợp kiến thức vận dụng cho mục đích nghiên cứu.

6. Những đóng góp của đề tài
Luận văn trình bày và nêu ra một cách tổng quan một số kết quả
định tính của bài toán tối ưu toàn phương với ràng buộc toàn phương
lồi.
Hà Nội, ngày 15 tháng 06 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Thành Chung
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian
R
n
, tập mở, hình cầu mở, tập lồi, hàm lồi, ánh xạ đa trị và tính liên
tục Các kiến thức trong chương này được trích dẫn từ [2], [3], [10].
1.1. Không gian R
n
1.1.1. Định nghĩa
Với R là tập số thực, R
n
là tập hợp tất cả các bộ được sắp n số thực:
x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
), x
i
∈ R
n

, 1 ≤ i ≤ n và x
i
được gọi là tọa độ thứ i
của x.
Với mỗi cặp phần tử trong R
n
: x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
), y = (y
1
, y
2
, . . . , y
n
)
ta gọi tổng x + y là phần tử trong R
n
được cho bởi
x + y = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2

, . . . , x
n
+ y
n
).
Với mỗi λ ∈ R
n
, x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) ∈ R
n
ta gọi tích của một số vô
hướng λ là phần tử
λx = (λx
1
, λx
2
, . . . , λx
n
).
Ta chứng minh được rằng R
n
cùng với hai phép toán trên lập thành
không gian véc tơ trên trường số thực R.
10
1.1.2. Tích vô hướng

Trong R
n
ta định nghĩa tích vô hướng chính tắc < ., . > như sau:
với x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
T
, y = (y
1
, y
2
, . . . , y
n
)
T
∈ R
n
,
< x, y >=
n

i=1
x
i
y
i

Với tích vô hướng chính tắc ta có:
(i) < x, y >=< y, x > .
(ii) < x + x

, y >=< x, y > + < x

, y > .
(iii) λ < x, y >=< λx, y > .
(iv) < x, x >≥ 0 và < x, x >= 0 khi và chỉ khi x = 0.
1.1.3. Chuẩn Euclid của véc tơ x
||x|| =
√
< x, x > =




n

i=1
(x
i
)
2
Chuẩn Euclid có những tính chất sau:
(i) ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ R
n
, ||x|| = 0 ⇐⇒ x = 0.
(ii) ||λx|| = |λ|||x||, ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ R
n

.
(iii) | < x, y > | ≤ ||x||||y||, ∀x, y ∈ R
n
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ
khi x, y phụ thuộc tuyến tính.
(iv) |||x|| − ||y||| ≤ ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ R
n
.
1.1.4. Khoảng cách
Cho tập M và ánh xạ d : R
n
× R
n
−→ R, d được gọi là một khoảng
cách (hay mêtric) trên R
n
nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ R
n
và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y.
11
(ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ R
n
.
(iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ R
n
.
(iv) |d(x, y) − d(y, z)| ≤ d(x, z), ∀x, y, z ∈ R
n
.

(M, d) được gọi là một không gian metric.
1.1.5. Hình cầu mở, tập mở, tập đóng
Định nghĩa 1.1.1. Cho x
0
∈ R
n
,  > 0 , ta gọi tập
B(x
0
, ) := {x ∈ R
n
: ||x − x
0
|| < }
là hình cầu mở tâm x
0
, bán kính .
Định nghĩa 1.1.2. Tập U ∈ R
n
gọi là tập mở nếu ∀x
0
∈ U, tồn tại
 > 0 sao cho B(x
0
, ) ⊂ U.
Ví dụ 1.1.1. Các tập sau là tập mở:
i) Tập hợp các điểm (x, y) thỏa mãn x
2
+ y
2

< r
2
là tập mở.
ii) Tập hợp các số thực x thuộc khoảng (0; 1) là tập mở.
Định nghĩa 1.1.3. Tập F được gọi là tập đóng nếu U := R
n
\F là tập
mở.
Ví dụ 1.1.2. Về tập đóng và tập không đóng không mở :
i) Tập hợp các điểm (x, y) thỏa mãn x
2
+ y
2
= r
2
là tập đóng.
ii) Tập hợp các số thực x thuộc đoạn [0; 1] là tập đóng.
iii) Tồn tại tập không đóng, không mở như (0; 1].
Định lý 1.1.1. Trong R
n
(i) Tập rỗng ∅ là tập mở, cả không gian R
n
là mở.
(ii) Giao của một họ hữu hạn các tập mở là mở.
(iii) Hợp của một họ bất kì các tập mở là mở.
Như vậy, họ tất cả các tập mở lập thành không gian tô pô trong R
n
và là tô pô thông thường.
12
Định lý 1.1.2. Trong R

n
(i) Tập rỗng ∅ là tập đóng, cả không gian R
n
là đóng.
(ii) Hợp của một họ hữu hạn các tập đóng là đóng.
(iii) Giao của một họ bất kì các tập đóng là đóng.
1.1.6. Sự hội tụ
Định nghĩa 1.1.4. Dãy điểm {x
k
} trong R
n
gọi là hội tụ đến x
0
∈ R
n
khi k → ∞ nếu dãy số ||x
k
− x
0
|| hội tụ đến 0 ∈ R khi k → ∞. Khi đó
ta gọi x
0
là giới hạn của dãy {x
k
}, kí hiệu : x
k
→ x
0
.
Khi x ∈ R

n
tiến tới x
0
∈ R
n
, kí hiệu x → x
0
, nếu ||x
k
− x
0
|| → 0.
Giả sử x
k
= (x
k
1
, x
k
2
, . . . , x
k
n
), x
0
= (x
0
1
, x
0

2
, . . . , x
0
n
). Từ
||x
k
− x
0
|| =




n

i=1
(x
k
i
− x
0
i
)
Suy ra, x
k
→ x
0
khi và chỉ khi x
k

i
→ x
0
i
, ∀i = 1, 2, . . . , n.
Như vậy sự hội tụ trong R
n
là hội tụ theo tọa độ.
1.1.7. Tập bị chặn và tập compact
Định nghĩa 1.1.5. Tập B trong R
n
được gọi là bị chặn nếu tồn tại
m > 0 sao cho ||x|| ≤ m, ∀x ∈ B.
Ví dụ 1.1.3. Tập ∅ , tập gồm hữu hạn điểm, hình cầu B(x
0
, ) là những
tập bị chặn.
Định nghĩa 1.1.6. Tập X trong R
n
được gọi là compact nếu mọi dãy
{x
k
} trong X đều có dãy con {x
k
m
} hội tụ đến một điểm x
∗
∈ X.
Định lý 1.1.3. Tập X trong R
n

là compact khi và chỉ khi X là tập
đóng và bị chặn.
13
1.2. Tập lồi và hàm lồi
1.2.1. Tập lồi
Định nghĩa 1.2.1. Tập X ⊂ R
n
được gọi là tập lồi, nếu ∀x, y ∈ X,
∀λ ∈ [0, 1]. ta có
λx + (1 − λ)y ∈ X.
Nếu X là tập lồi và đồng thời là tập đóng (mở) trong R
n
thì ta gọi
X là tập lồi đóng (tương ứng, mở).
Ví dụ 1.2.1. Tập rỗng, hình cầu trong R
n
, R
n
là những tập lồi.
Định nghĩa 1.2.2. Tập X ⊂ R
n
gọi là tập lồi đa diện nếu X có dạng
X = {x : Ax ≤ b}, trong đó A là ma trận cấp m × n, b ∈ R
m
.
Định nghĩa 1.2.3. Tập K ⊂ R
n
gọi là nón nếu với mọi x ∈ K, t ≥ 0
ta có tx ∈ K. Nếu nón K là tập lồi thì K gọi là nón lồi.
Định nghĩa 1.2.4. Cho X là tập lồi khác rỗng trong R

n
. Véc tơ v ∈
R
n
, v = 0 gọi là một phương lùi xa của X nếu với mọi x ∈ X, t ≥ 0 ta
có x + tv ∈ X.
Tập tất cả các phương lùi xa của X lập thành một nón, gọi là nón
lùi xa của X và kí hiệu là 0
+
X.
1.2.2. Hàm lồi
Định nghĩa 1.2.5. Cho X ⊂ R
n
là một tập lồi và f : X → R. Ta nói
f là hàm lồi trên X khi và chỉ khi
f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y), ∀x, y ∈ X, λ ∈ [0; 1].
Ví dụ 1.2.2. Về hàm lồi và không lồi trên R:
i) Hàm hằng f(x) = a là một hàm lồi.
ii) Hàm f(x) = x
3
là hàm không lồi trên R.
14
Định nghĩa 1.2.6. Hàm số f được gọi là tựa lồi,
nếu ∀x, y ∈ X ⊂ R
n
, ∀z ∈ [x, y] thì f(z) ≤ max{f(x), f(y)}.
Định nghĩa 1.2.7. Hàm f được gọi là hàm giả lồi, nếu ∀x, y ∈ X ta có:
∃z sao cho < z, y − x >≥ 0 ⇒ f(x) ≤ f(y).
1.3. Ma trận nửa xác định dương
Định nghĩa 1.3.1. Ma trận vuông Q cấp n được gọi là ma trận nửa

xác định dương nếu
< x, Qx >≥ 0, ∀x ∈ R
n
.
Định nghĩa 1.3.2. Ma trận vuông Q cấp n được gọi là ma trận xác
định dương nếu
< x, Qx >> 0, ∀x ∈ R.
Định lý 1.3.1. Cho ma trận vuông Q cấp n, đối xứng, c ∈ R
n
. Khi đó
hàm toàn phương
f(x) =
1
2
< x, Qx > + < c, x >
là hàm lồi khi và chỉ khi Q là ma trận nửa xác định dương.
Chứng minh.
Vì Q là nửa xác định dương nên
với mọi x, y ∈ R
n
:< x − y, Q(x − y) >≥ 0, suy ra
1
2
< x, Qx > +
1
2
< y, Qy >≥< x, Qy > .
15
Do đó, với mọi x, y ∈ R
n

, ∀λ ∈ [0, 1] ta có:
f [λx + (1 − λ)y] =
λ
2
2
< x, Qx > +λ < c, x > +
(1 − λ)
2
2
< y, Qy >
+ (1 − λ) < c, y > +λ(1 − λ) < x, Qy >
≤
λ
2
2
< x, Qx > +λ < c, x >
+
(1 − λ)
2
2
< y, Qy > +(1 − λ) < c, y >
+ λ(1 − λ)

1
2
< x, Qx >
1
2
< y, Qy >


≤ λf(x) + (1 − λ)f(y).
Vậy f là hàm lồi.
1.4. Ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.4.1. Cho X, Y là hai tập hợp bất kì. Quy tắc F cho ứng
mỗi x ∈ X với một tập con F (x) của Y được gọi là ánh xạ đa trị từ X
vào Y , kí hiệu F : X =⇒ Y .
Định nghĩa 1.4.2. Liên tục, nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới:
a. Ta nói F là nửa liên tục trên tại ¯x ∈ X, nếu với mọi tập mở V ⊂ Y
thỏa mãn F (¯x) ⊂ V , tồn tại lân cân mở U của ¯x sao cho F(x) ⊂ V với
mọi x ∈ U. Nếu F là nửa liên tục trên tại mọi điểm thuộc X, thì F được
gọi là nửa liên tục trên X.
b. Ta nói F là nửa liên tục dưới tại ¯x ∈ X, nếu với mọi tập mở
V ⊂ Y thỏa mãn F (¯x) ∩ V = ∅, tồn tại lân cận mở U của ¯x, sao cho
F (x) ∩ V = ∅ với mọi x ∈ U. Nếu F là nửa liên tục dưới tại mọi điểm
thuộc X, thì F được gọi là nửa liên tục dưới trên X.
c. F là liên tục tại ¯x ∈ X, nếu F đồng thời là nửa liên tục trên và
nửa liên tục dưới tại ¯x. F liên tục tại mọi điểm thuộc X thì nói F liên
tục trên X.
16
1.4.1. Bài toán tối ưu
Định nghĩa 1.4.3. Cho X ⊂ R
n
, f : X → R . Bài toán tìm giá trị nhỏ
nhất của f trên X gọi là bài toán tối ưu, kí hiệu





min f(x)

x ∈ X
. (*)
Khi đó, X được gọi là tập ràng buộc hoặc tập chấp nhận được; f(x) gọi
là hàm mục tiêu. Mỗi véc tơ x ∈ X là một phương án chấp nhận được
hay một lời giải của bài toán (*). Một lời giải ¯x ∈ X được gọi là nghiệm
(hoặc nghiệm tối ưu hoặc cực tiểu), nếu
f(¯x) ≤ f(x), ∀x ∈ X.
Tập tất cả các nghiệm tối ưu của (*) được gọi là tập nghiệm của bài
toán (*).
1.5. Kết luận chương 1
Trong chương này chúng ta đã trình bày một số khái niệm về không
gian R
n
, tập lồi, hàm lồi và một số kiến thức sẽ được sử dụng trong các
chương sau.
Chương 2
BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN
PHƯƠNG VỚI RÀNG BUỘC
TOÀN PHƯƠNG LỒI
Chương này dành cho việc nghiên cứu bài toán quy hoạch toàn phương
với ràng buộc toàn phương lồi. Nội dung (kiến thức) trong chương 2 được
trích dẫn từ [4], [5], [6], [8], [9].
2.1. Định nghĩa
Định nghĩa 2.1.1. Xét bài toán tối ưu toàn phương dạng





minf

0
(x) =
1
2
x
T
Q
0
x + b
0
T
x + β
0
x ∈ R
n
, f
i
(x) =
1
2
x
T
Q
i
x + b
T
i
x + β
i
≤ 0,

(2.1)
trong đó Q
i
là ma trận đối xứng cấp n, b
i
∈ R
n
, β
i
∈ R, i = 0, 1, 2, m,
x
T
là chuyển vị của x.
Kí hiệu
C = {x ∈ R
n
| f
i
(x) =
1
2
x
T
Q
i
x + b
T
i
x + β
i

≤ 0}. (2.2)
là tập ràng buộc của (2.1).
Nếu Q
i
là ma trận nửa xác định dương, i = 1, 2, , m, thì (2.1) được
gọi là bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương lồi.
18
2.2. Định lý Frank- Wolfe
Sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc
toàn phương lồi trong trường hợp Q
i
= 0, ∀i = 1, 2, m và C = ∅, f
0
bị
chặn trên C đã được Frank-Wolfe chứng minh vào năm 1956.
2.2.1. Định lý Frank- Wolfe
Xét bài toán toàn phương dạng chuẩn:





min f(x) :=
1
2
x
T
Qx + c
T
x

x ∈ R
n
, b
T
i
x + β
i
≤ 0, i = 1, , m,
(2.3)
trong đó: Q là matrận đối xứng cấp n, b
i
∈ R
n
, β
i
∈ R.
Tập ràng buộc và giá trị tối ưu của hệ (2.3) có thể viết gọn lại như
sau:
C = {x ∈ R
n
, b
T
i
x + β
i
≤ 0, i = 1, , m},
¯
θ = inf{f(x) : x ∈ C}.
Định lý 2.2.1. (Xem [8] và các trích dẫn trong đó) Giả sử C = ∅.
Nếu f(x) bị chặn dưới trên C :

¯
θ = inf{f(x) : x ∈ C} > −∞,
thì bài toán (2.3) có nghiệm.
2.2.2. Định lý kiểu Frank- Wolfe
Định lý 2.2.2. Xét bài toán tối ưu toàn phương (2.1) và giả sử rằng,
f
i
(x), i = 0, , m, đều là những hàm lồi. Khi đó, nếu tập ràng buộc C
trong (2.2) khác rỗng và hàm mục tiêu f
0
(x) bị chặn dưới trên tập C thì
(2.1) có nghiệm.
19
Bổ đề 2.2.1. Giả sử rằng, f
i
(x), i = 1, , m, là những hàm toàn phương
lồi và
X(
k
) = {x ∈ R
n
| f
i
(x) ≤ 
k
i
; i = 1, 2, , m}
là khác rỗng với một dãy số dương {
k
} dần tới 0. Khi đó tập hợp

X(0) = {x ∈ R
n
| f
i
(x) ≤ 0; i = 1, 2, , m}
cũng khác rỗng.
Chứng minh. Ta chứng minh định lí bằng phương pháp qui nạp toán học
theo m (số bất phương trình toàn phương).
Với m = 1 giả sử f
1
(x) ≤ 
k
1
có một nghiệm là x
k
khi 
k
1
dần tới 0.
Nói cách khác
1
2
(x
k
)
T
Q
1
x
k

+ q
T
1
x
k
+ c
1
≤ 
k
1
; ∀k. (2.4)
Nếu dãy {x
k
} có dãy con bị chặn thì điểm tụ của dãy con đó là nghiệm
của f
1
(x) ≤ 0.
Nếu không, ta có ||x
k
|| → ∞.
Trong trường hợp này chia (2.4) cho ||x
k
||
2
và cho k → ∞, sử dụng
Q
1
≥ 0 ta được
0 ≤ lim
k→∞

sup
(x
k
)
T
Q
1
x
k
||x
k
||
2
≤ 0
và
lim
k→∞
sup
q
T
1
x
k
||x
k
||
≤ 0.
Từ điều kiện Q
1
≥ 0, ta thu được lim

k→∞
Q
1
x
k
||x
k
||
= 0.
Bằng cách lấy dãy con (nếu cần thiết), ta giả sử u = lim
k→∞
x
k
||x
k
||
.
Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1.1: q
T
1
u < 0.
Vì Q
1
u = 0, ta thấy u như phương lùi xa của {x ∈ R
n
: f
1
(x) ≤ 0}
với mọi t > 0, ta xét

f
1
(tu) =
1
2
t
2
u
T
Q
1
u + tq
T
1
u + c
1
= c
1
+ tq
T
1
u ≤ 0,
20
với t = |
c
1
q
1
T u
|.

Trường hợp 1.2: q
T
1
u = 0 và Q
1
u = 0.
Không làm mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng {x
k
} là nghiệm
có chuẩn nhỏ nhất của f
1
(x) ≤ 
k
1
.
Xét hệ tuyến tính
Q
1
x = Q
1
x
k
; q
T
1
x = q
T
1
x
k

. (2.5)
Rõ ràng, tồn tại nghiệm ¯x
k
của (2.5) sao cho
||¯x
k
|| ≤ ρ(||Q
1
x
k
|| + |q
T
1
x
k
|)
với ρ > 0 cố định, không phụ thuộc vào k (xem[9]).
Vì f
1
(¯x
k
) = f
1
(x
k
) ≤ 
k
1
và x
k

là nghiệm chuẩn nhỏ nhất, ta có:
||x
k
|| ≤ ||¯x
k
|| ≤ ρ(||Q
1
x
k
|| + |q
T
1
x
k
|).
Chia cả hai vế cho


|x
k


| và cho k → ∞, ta được:
1 ≤ ρ(||Q
1
u|| + |q
T
1
u|).
Mâu thuẫn với Q

1
u = 0 và q
T
1
u = 0.
Vậy khi m = 1 ta có điều phải chứng minh.
Bây giờ, ta giả sử (theo phương pháp qui nạp) rằng định lí đúng với
m ≤ l.
Xét trường hợp m = l + 1. Giả sử {x
k
} là nghiệm có chuẩn nhỏ nhất
trong X(
k
). Nếu {x
k
} có dãy con bị chặn thì tập hợp tất cả các điểm tụ
của dãy con bị chặn đó đều nằm trong X(0) và định lí hiển nhiên đúng.
Xét ||x
k
|| → ∞. Như đã thực hiện ở trên, ta đặt u = lim
k→∞
x
k
||x
k
||
. Bằng
lập luận tương tự như đã sử dụng trong trường hợp 1.1, ta có:
u
T

Q
i
u = 0; q
T
i
u ≤ 0, i = 1, 2, , l + 1.
Vì Q
i
≥ 0 ta suy ra Q
i
u = 0, ∀i. Ta lại xét hai trường hợp sau:
21
Trường hợp 2.1:
Tồn tại j sao cho q
T
j
u < 0. Không mất tính tổng quát, giả sử j = l+1,
từ đó hệ






















f
1
(x) ≤ 
k
1
f
2
(x) ≤ 
k
2
. . .
f
l
(x) ≤ 
k
l
có nghiệm với mỗi k. Theo giả thiết qui nạp, tồn tại x thỏa mãn






















f
1
(x) ≤ 0
f
2
(x) ≤ 0
. . .
f
l
(x) ≤ 0.
Xét véc tơ x(t) = x + tu, t > 0. Khi đó ta có
f
i

(x(t)) = f
i
(x) + t∇f
i
(x)
T
u +
t
2
2
u
T
Q
i
u
= f
i
(x) + t(Q
i
x + q
i
)
T
u
≤ f
i
(x)
≤ 0, ∀t > 0, i = 1, 2, . . . , l.
Hơn nữa, ta có
f

l+1
(x(t)) = f
l+1
(x) + t(Q
l+1
x + q
l+1
)
T
u +
t
2
2
u
T
Q
l+1
u
= f
l+1
(x) + tq
T
l+1
u ≤ 0, ∀t ≥ |
f
l+1
(x)
q
T
l+1

u
|.
Cho t
∗
= |
f
l+1
(x)
q
T
l+1
u
| từ đó suy ra x(t
∗
) là một nghiệm trong X(0).
22
Trường hợp 2.2: q
T
i
u = 0, Q
i
u = 0 với i = 1, 2, , l+1. Xét hệ tuyến
tính














q
T
i
x = q
T
i
x
k
Q
i
x = Q
i
x
k
i = 1, 2, , l + 1.
(2.6)
Khi đó, tồn tại ¯x
k
thỏa mãn (2.6) sao cho
||¯x
k
|| ≤ ρ(
l+1


i=1
(||Q
i
x
k
|| + |q
T
i
x
k
|)),
ở đây, ρ không phụ thuộc k.
Theo (2.6) ta có f
i
(¯x
k
) = f
i
(x
k
) ≤ 
k
i
, (i = 1, 2, , l + 1). Vì x
k
là
nghiệm có chuẩn nhỏ nhất trong X(
k
), ta có:
||x

k
|| ≤ ||¯x
k
|| ≤ ρ(
l+1

i=1
(||Q
i
x
k
|| + |q
T
i
x
k
|)), ∀k.
Chia hai vế cho ||x
k
|| và cho k → ∞ ta được
1 ≤ ρ(
l+1

i=1
(||Q
i
u|| + |q
T
i
u|)).

Điều này dẫn tới mâu thuẫn với q
T
i
u = 0 và Q
i
u = 0 với 1, 2, , l + 1.
Bổ đề đã được chứng minh.
Chứng minh. (Chứng minh Định lý 2.2.2)
Kí hiệu f
∗
> −∞ là cận dưới đúng của f
0
(x) trên tập ràng buộc của
(2.2). Khi đó, tồn tại dãy {x
k
} trong miền chấp nhận được sao cho:
f
0
(x
k
) ≤ f
∗
+
1
k
f
i
(x
k
) ≤ 0, i = 1, 2, . . . , m.

23
Theo Bổ đề 2.2.1, tồn tại ¯x ∈ R
n
sao cho
f
0
(¯x) ≤ f
∗
f
i
(¯x) ≤ 0, i = 1, 2, . . . , m.
Vậy (2.1) có nghiệm tối ưu.
Ví dụ sau chỉ ra rằng tính lồi của các hàm số f
i
, i = 1, 2, , m trong
bổ đề là cần thiết để Bổ đề 2.2.1 đúng.
Ví dụ 2.2.1. Xét hệ bất phương trình sau: 1 ≤ xy ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 0.
Rõ ràng hệ này không có nghiệm, tức là X = ∅.
Mặt khác, hệ 1 ≤ xy ≤ 1, 0 ≤ x ≤ , có nghiệm với mỗi  > 0. Do đó
X() = ∅. Điều này chứng tỏ Bổ đề 2.2.1 không còn đúng nếu tính lồi
của các hàm f
i
, i = 1, 2, , m, mất đi.
Luo và Zhang [9] đã tìm ra ví dụ sau (bài toán tối ưu toàn phương
không lồi với ràng buộc toàn phương lồi và hàm mục tiêu bị chặn dưới
trên tập ràng buộc khác rỗng không có nghiệm).
Ví dụ 2.2.2. Xét bài toán tối ưu sau trong R
4
:
min f