Bất đẳng thức biến phân với ràng buộc là phương trình toán tử đơn điệu.

0
1 §©y lµ tãm t¾t luËn ¸n
1
Lời nói đầu
Cho IR
n
là không gian tuyến tính n chiều và ', e'
j
; j = 1; :::; m; là các
hàm xác định trên IR
n
. Bài toán tối -u tổng quát đ-ợc phát biểu nh- sau: tìm
ex 2 S sao cho
'(ex) = min
x2S
'(x); (0.1)
ở đây
S =
(
x 2 IR
n
: e'
j
(x) 6 0; j = 1; :::; r;
e'
j
(x) = 0; j = r + 1; :::; m:
(0.2)
Đặt '
j
(x) = maxf0; e'

j
(x)g; j = 1; :::; r và '
j
(x) = e'
j
(x); j = r + 1; :::; m.
Khi đó,
S = fx 2 IR
n
: '
j
(x) = 0; j = 1; :::; mg
và bài toán (0.1) - (0.2) trở thành bài toán: tìm ex 2 S sao cho
'(ex) = min
x2S
'(x); (0.3)
S = fx 2 IR
n
: '
j
(x) = 0; j = 1; :::; mg:
T-ơng tự, trong không gian vô hạn chiều ta có bài toán cực tiểu sau. Cho X,
Y là hai không gian Banach, '(x) là một phiếm hàm xác định trên X và F
là một ánh xạ từ X vào Y . Xét bài toán: tìm ex 2 S sao cho
'(ex) = min
x2S
'(x); (0.4)
ở đây S là tập nghiệm của ph-ơng trình
F (x) = f; f 2 R(F ); (0.5)
R(F ) là miền giá trị của ánh xạ F . Bài toán (0.4) và (0.5), khi ' là phiếm

hàm không có tính chất lồi mạnh hoặc lồi đều và F là toán tử đơn điệu từ X
vào Y = X
Ô
không có tính đơn điệu mạnh hoặc đơn điệu đều, nói chung là
2
những bài toán đặt không chỉnh (ill-posed), theo nghĩa nghiệm của bài toán
không ổn định với các dữ kiện cho tr-ớc.
Bài toán (0.5) đ-ợc hiệu chỉnh dựa trên việc tìm phần tử cực tiểu phiếm
hàm làm trơn Tikhonov
F
đ
(x) = kF
h
(x) Ă f

k
2
Y
+ đ-(x);
x 2 D(F
h
) D(F )
(0:6)
trong đó đ > 0 là tham số hiệu chỉnh phụ thuộc vào h và (đ = đ(h; )),
(F
h
; f

) là xấp xỉ của (F; f), -(x) là phiếm hàm ổn định và D(F ) là miền
xác định của F.

Nếu F
h
là những toán tử phi tuyến thì F
đ
(x) nói chung là không lồi. Do
đó, không thể áp dụng các kết quả đã đạt đ-ợc gần đây trong lĩnh vực cực
tiểu của phiếm hàm lồi để tìm phần tử cực tiểu của F
đ
(x). Chính điều đó dẫn
đến việc cực tiểu và rời rạc hoá (0.6) là rất phức tạp.
Nếu Y = X
Ô
, không gian đối ngẫu của không gian Banach X, cả hai có
chuẩn kí hiệu là k:k, F : X ! X
Ô
là một toán tử đơn điệu và hemi-liên tục
(hemi continuouns), thì nghiệm hiệu chỉnh cho bài toán (0.5) đ-ợc xây dựng
dựa trên việc giải ph-ơng trình phụ thuộc tham số
F
h
(x) + đU
s
(x) = f

;
kf

Ă fk 6 ;
(0:7)
ở đây U

s
là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của X. Alber đã chứng minh rằng nếu

đ
! 0,
h
đ
! 0 khi đ ! 0, thì nghiệm x

đ
của (0.7) ( = (h; )) hội tụ đến
nghiệm x
0
có chuẩn nhỏ nhất của bài toán (0.5), tức là
kx
0
k = min
x2S
kxk:
Việc chọn tham số hiệu chỉnh đ = đ() thích hợp cho ph-ơng trình hiệu
chỉnh (0.7) khi F
h
F đã đ-ợc Alber nghiên cứu. ở đó, Alber chỉ ra rằng
tham số đ phụ thuộc vào có thể đánh giá đ-ợc bởi ph-ơng trình
ẵ(đ) = K
p
; 0 < p < 1; K > 1;
3
ở đây ẵ(đ) = đkx

đ
k. Nghĩa là với mỗi cố định, chọn đ = đ() sao cho
đkx

đ
k = K
p
: Ph-ơng trình hiệu chỉnh (0.7) cùng với cách chọn tham số
đ = đ() nh- trên là thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán (0.5).
Năm 2005, Nguyễn B-ờng đã nghiên cứu việc chọn giá trị tham số hiệu
chỉnh đ sao cho ẵ(đ) =
p
đ
Ăq
; q á p > 0; cho bài toán (0.5) khi xét ph-ơng
trình hiệu chỉnh (0.7) trong tr-ờng hợp F
h
F là toán tử đơn điệu.
Nếu ' là một phiếm hàm lồi, khả vi Fréchet và xác định trên không gian
Banach X, thì bài toán (0.4) và (0.5) t-ơng đ-ơng với bài toán bất đẳng thức
biến phân cổ điển (classical variational inequality): tìm x
0
2 S sao cho
hA(x
0
); x Ă x
0
i á 0; 8x 2 S; (0.8)
ở đây A là đạo hàm Fréchet của ' và S là tập nghiệm của ph-ơng trình (0.5)
với toán tử đơn điệu F : X ! X

Ô
. Do (0.5) là bài toán đặt không chỉnh cho
nên bất đẳng thức (0.8) cũng là bài toán đặt không chỉnh, cho dù A là toán
tử đơn điệu mạnh hoặc đơn điệu đều.
Nghiệm hiệu chỉnh của bài toán (0.8), khi A có tính đơn điệu mạnh, đ-ợc
xây dựng dựa trên việc tìm nghiệm của ph-ơng trình
F
h
(x) + đA(x) = f

: (0.9)
Cách tiếp cận này của bài toán (0.4) và (0.5) đã đ-ợc Nguyễn B-ờng nghiên
cứu và chỉ ra rằng nếu F
h
cũng là toán tử đơn điệu và hemi-liên tục, thì với
mỗi đ > 0 ph-ơng trình (0.9) có duy nhất nghiệm x

đ
, khi
h
đ
! 0,

đ
! 0,
đ ! 0, thì x

đ
hội tụ đến nghiệm của bài toán (0.8). Việc đánh giá tốc độ hội
tụ của nghiệm hiệu chỉnh trong không gian vô hạn chiều cũng nh- nghiệm

hiệu chỉnh đã đ-ợc xấp xỉ hữu hạn chiều đ-ợc xét với điều kiện bằng không
các đạo hàm cấp 1 cho đến cấp [s] Ă 1 của toán tử F . Một câu hỏi đặt ra là
liệu có thể chỉ sử dụng đạo hàm cấp 1 của F để đánh giá tốc độ hội tụ đ-ợc
không?
Mặt khác, việc chọn tham số hiệu chỉnh, tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu
chỉnh trong không gian vô hạn chiều cũng nh- nghiệm hiệu chỉnh đã đ-ợc
4
xấp xỉ hữu hạn chiều khi tham số đ chọn sau ch-a đ-ợc đề cập đến. Đặc biệt,
các vấn đề t-ơng tự, khi toán tử nhiễu F
h
của F là không đơn điệu cũng ch-a
đ-ợc nghiên cứu.
Mục đích của luận án này nhằm giải quyết những vấn đề nêu ở trên cho
bài toán (0.8) với ràng buộc là ph-ơng trình toán tử đơn điệu. Cụ thể, trong
luận án này, chúng tôi giải quyết các vấn đề sau:
1. Xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho bài toán (0.8) khi toán tử nhiễu F
h
của F là đơn điệu. Nghiên cứu sự hội tụ và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm
hiệu chỉnh trong không gian vô hạn chiều khi các điều kiện về F
(k)
h
, đạo hàm
các cấp k với 1 6 k 6 [s], thay bằng điều kiện chỉ đặt lên F
0
h
, đạo hàm cấp 1
của F
h
. Đồng thời cũng xây dựng đ-ợc nghiệm hiệu chỉnh đ-ợc xấp xỉ hữu
hạn chiều và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm này dựa trên việc chọn tham

số hiệu chỉnh theo nguyên lí độ lệch suy rộng với điều kiện trên.
2. Xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho bài toán (0.8) khi toán tử nhiễu F
h
của F là không đơn điệu. Nghiên cứu tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh.
Nội dung của luận án này đ-ợc trình bày trong ba ch-ơng.
Ch-ơng 1 giới thiệu một số nét cơ bản về bài toán đặt không chỉnh, toán
tử đơn điệu, bất đẳng thức biến phân và một số ph-ơng pháp tìm nghiệm xấp
xỉ cho bài toán đặt không chỉnh.
Ch-ơng 2 trình bày ph-ơng pháp hiệu chỉnh cho bài toán (0.8) khi toán tử
nhiễu F
h
của F là đơn điệu. Kết quả chính của ch-ơng này là đánh giá đ-ợc
tốc độ hội tụ của ph-ơng pháp hiệu chỉnh với tham số hiệu chỉnh đ-ợc chọn
theo nguyên lí độ lệch suy rộng cũng nh- chọn tiên nghiệm. Đồng thời xây
dựng đ-ợc nghiệm hiệu chỉnh đ-ợc xấp xỉ hữu hạn chiều và đánh giá đ-ợc
tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh này dựa vào điều kiện đạo hàm cấp 1
của F
h
. Phần cuối của ch-ơng chúng tôi đ-a ra một vài ví dụ số minh hoạ
cho kết quả lí thuyết đạt đ-ợc.
5
Ch-ơng 3 trình bày ph-ơng pháp hiệu chỉnh cho bài toán (0.8), khi toán
tử nhiễu F
h
của F là không đơn điệu. Kết quả chính của ch-ơng này là đánh
giá đ-ợc tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh. Cuối cùng chúng tôi đ-a ra ví
dụ minh hoạ.
Ch-ơng 1
Một số khái niệm cơ bản
1.1. Bài toán đặt chỉnh và bài toán đặt không chỉnh

Xét bài toán ở dạng ph-ơng trình toán tử
F (x) = f; x 2 X; f 2 Y; (1.1)
ở đây F là một toán tử từ không gian metric X vào không gian metric Y .
Định nghĩa 1.1. Bài toán tìm nghiệm x 2 X của (1.1) theo dữ kiện f 2 Y
đ-ợc gọi là bài toán đặt chỉnh trên cặp không gian metric (X; Y ), nếu có:
1) Với mỗi f 2 Y tồn tại nghiệm x 2 X;
2) Nghiệm x đ-ợc xác định một cách duy nhất;
3) Bài toán này ổn định trên cặp không gian (X; Y ).
Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thoả mãn thì bài toán (1.1)
đ-ợc gọi là bài toán đặt không chỉnh. Trong luận án này chúng tôi xét bài
toán đặt không chỉnh trong tr-ờng hợp nghiệm của bài toán không phụ thuộc
liên tục vào dữ kiện ban đầu.
1.2. Toán tử đơn điệu và các khái niệm liên quan
Các định nghĩa th-ờng xuyên đ-ợc sử dụng trong luận án này.
Toán tử F từ không gian Banach X vào X
Ô
đ-ợc gọi là đơn điệu nếu
hF (x) Ă F (y); x Ă yi á 0; 8x; y 2 D(F ); (1.2)
6
F đ-ợc gọi là đơn điệu chặt nếu dấu bằng chỉ đạt đ-ợc khi x = y.
Toán tử F từ không gian Banach X vào X
Ô
, cả hai có chuẩn đ-ợc kí hiệu
bởi k:k, đ-ợc gọi là đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm không âm (t) không
giảm với t á 0; (0) = 0 sao cho
hF (x) Ă F (y); x Ă yi á (jjx Ă yjj); 8x; y 2 D(F ): (1.3)
Nếu (t) = c
F
t
2

, c
F
là một hằng số d-ơng thì F đ-ợc gọi là toán tử đơn điệu
mạnh.
Toán tử F đ-ợc gọi là hemi-liên tục trên X nếu F (x + ty) * Fx khi
t ! 0
+
với mọi x; y 2 X, và F đ-ợc gọi là d-liên tục trên X, nếu từ x
n
! x,
cho F x
n
* Fx khi n ! +1:
1.3. Bất đẳng thức biến phân
Giả sử X là không gian Banach phản xạ và X
Ô
là đối ngẫu của X. Cho
F : X ! X
Ô
là một toán tử đơn điệu hemi-liên tục và e' : X ! IR là hàm
lồi chính th-ờng nửa liên tục d-ới. Bài toán: tìm x
0
2 X thoả mãn
hF (x
0
) Ă f; x Ă x
0
i + e'(x) + e'(x
0
) á 0; 8x 2 X; (1.6)

f 2 X
Ô
, đ-ợc gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp. Nếu e' là hàm
đặc tr-ng của một tập đóng và lồi S nào đó trong X, tức là: e'(x) = x nếu
x 2 S và e'(x) = +1 nếu x =2 S, thì ta có bài toán bất đẳng thức biến phân
cổ điển: tìm x
0
2 S sao cho
hF (x
0
); x Ă x
0
i á 0; 8x 2 S:
1.4. Một số ph-ơng pháp tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán
không chỉnh
Xét bài toán
F (x) = f
0
; (1.11)
7
có nghiệm chính xác x
0
2 X và f
0
2 Y , ở đây F là một toán tử từ không gian
metric X vào không gian metric Y . Giả sử tồn tại toán tử nghịch đảo F
Ă1
,
nh-ng nói chung F
Ă1

không liên tục. Khi đó bài toán (1.11) là bài toán đặt
không chỉnh. Để tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.11) ta có một số ph-ơng
pháp sau:
Ph-ơng pháp chọn;
Ph-ơng pháp xấp xỉ Lavrentiev;
Ph-ơng pháp hiệu chỉnh Tikhonov;
Ph-ơng pháp hiệu chỉnh lặp bậc không trong không gian Hilbert.
Ch-ơng 2
Bất đẳng thức biến phân với ràng
buộc có nhiễu là các toán tử đơn điệu
2.1. Thuật toán hiệu chỉnh
Xét bài toán: tìm phần tử x
0
2 S sao cho
'(x
0
) = min
x2S
'(x); (2.1)
ở đây ' là phiếm hàm lồi, nửa liên tục d-ới yếu trong không gian Banach X
và S là tập nghiệm của ph-ơng trình toán tử
F (x) = f; f 2 X
Ô
; (2.2)
trong đó F : X ! X
Ô
là toán tử đơn điệu. Nếu ta kí hiệu A(x) là đạo hàm
Fréchet của ' tại điểm x thì bài toán (2.1) t-ơng đ-ơng với bất đẳng thức biến
phân
hA(x

0
); x Ă x
0
i á 0; 8x 2 S; x
0
2 S: (2.3)
Nếu không có thêm các điều kiện về cấu trúc của F nh- đơn điệu đều hoặc
đơn điệu mạnh thì ph-ơng trình (2.2) là một bài toán đặt không chỉnh. Khi
đó (2.2) và (2.3) cũng là bài toán đặt không chỉnh, ngay cả khi A là đơn điệu
8
đều, có nghĩa A thoả mãn
hA(x) Ă A(y); x Ă yi á m
A
kx Ă yk
s
; 2 6 s < +1; (2.5)
với m
A
là hằng số d-ơng. Không giảm tổng quát, ta giả thiết m
A
= 1, hơn
nữa, trong ch-ơng này ta luôn giả thiết A(0) = 0 và
kA(x) Ă A(y)k 6 C(R)kx Ă yk
ạ
; 0 < ạ 6 1; (2.6)
Để giải bài toán (2.2) và (2.3), ta cần phải sử dụng ph-ơng pháp hiệu
chỉnh Tikhonov dựa trên việc giải ph-ơng trình:
F (x) + đA(x) = f

; kf

Ă fk 6 ; (2.7)
trong đó F là toán tử đơn điệu và đ > 0 là tham số hiệu chỉnh. Ph-ơng trình
(2.7) đ-ợc gọi là ph-ơng trình hiệu chỉnh cho bài toán (2.2) và (2.3).
Định lý 2.1. Với mỗi đ > 0 và f

2 X
Ô
; ph-ơng trình (2.7) có duy nhất
nghiệm x

đ
. Nếu đ ! 0;

đ
! 0, thì fx

đ
g hội tụ đến một phần tử x
0
2 S
thoả mãn (2.3).
Bây giờ, ta xét tr-ờng hợp tổng quát hơn, khi cả toán tử F và vế phải f
đều biết xấp xỉ. Tức là, thay F ta chỉ biết đ-ợc xấp xỉ F
h
thoả mãn
kF
h
(x) Ă F (x)k 6 hg(kxk); 8x 2 X (2.8)
và có các tính chất nh- F , g(t) là một hàm giới nội, không âm và g(0) = 0.

Khi đó, nghiệm hiệu chỉnh đ-ợc xây dựng dựa trên việc giải ph-ơng trình
F
h
(x) + đA(x) = f

: (2.9)
Ta giả thiết rằng
kF (à) Ă f

k > : (2.10)
Định lý 2.2. Với mỗi đ > 0; h > 0 và f

2 X
Ô
ph-ơng trình (2.9) có duy
nhất nghiệm x

đ
, = (h; ): Nếu đ ! 0;

đ
! 0;
h
đ
! 0, thì fx

đ
g hội tụ
đến phần tử x
0

.
9
2.2. Ph-ơng pháp chọn tham số hiệu chỉnh trong không
gian vô hạn chiều
Để mở rộng kết quả của Nguyễn B-ờng (2003) về việc chọn tham số hiệu
chỉnh theo nguyên lí độ lệch suy rộng cho ph-ơng trình hiệu chỉnh (2.7) khi
nghiên cứu bài toán (2.2) và (2.3). Chúng tôi xét hàm thực
ẵ(đ) = kF
h
(x

đ
) Ă f

k
với mỗi ; h > 0, để đ-a ra việc chọn tham số hiệu chỉnh cho ph-ơng trình
hiệu chỉnh (2.9). Năm 2004, chúng tôi đã nghiên cứu việc chọn tham số hiệu
chỉnh theo nguyên lí độ lệch suy rộng và đã chỉ ra rằng tham số hiệu chỉnh
ạđ = đ(; h) đ-ợc xác định bởi đẳng thức
ẵ(đ) = ( + h)
p
đ
Ăq
; q á p > 0; (2.14)
để cho ph-ơng trình (2.9) là một ph-ơng pháp hiệu chỉnh.
Bổ đề 2.1. Với mỗi p; q; ; h > 0, tồn tại ít nhất một giá trị đ > 0 thoả mãn
(2.14).
Bổ đề 2.2. Với tham số đ đ-ợc chọn theo (2.14), ta có
lim
;h!0

đ(; h) = 0:
Bổ đề 2.3. Nếu q á p > 0 thì
lim
;h!0
h
+ h
đ(; h)
i
= 0:
Nh- vậy tham số hiệu chỉnh đ đ-ợc chọn theo (2.14) đảm bảo cho nghiệm
hiệu chỉnh x

đ
của bài toán (2.9) hội tụ đến nghiệm x
0
của bài toán (2.3).
2.3. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh trong không gian
vô hạn chiều
Với cách chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh đ theo (2.14), ta có kết quả
sau đây cần thiết cho việc đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh.
10
Bổ đề 2.5. Giả sử q á p > 0. Khi đó, tồn tại các hằng số C
1
; C
2
> 0 sao
cho
C
1
6 ( + h)

p
đ
Ă1Ăq
(; h) 6 C
2
với ; h > 0 đủ nhỏ.
Giả thiết 2.1. Giả sử tồn tại hằng số ~ > 0 sao cho
kF (y) Ă F(x) Ă F
0
(x)(y Ă x)k 6 ~kF (y) Ă F (x)k; (2.17)
với y thuộc vào lân cận nào đó của S và 8x 2 S.
Định lí 2.3. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) F khả vi Fréchet với giả thiết 2.1, khi x = x
0
;
(ii) Tồn tại phần tử z 2 X sao cho
F
0
(x
0
)
Ô
z = A(x
0
);
(iii) Tham số hiệu chỉnh đ đ-ợc chọn sao cho đ ằ ( + h)
p
, 0 < p < 1.
Khi đó,
kx

đ
Ă x
0
k = O
Ă
( + h)

1
Â
;
1
= min
n
1 Ă p
s Ă 1
;
p
s
o
:
Định lí 2.4. Giả sử có các điều kiện sau:
(i) F khả vi Fréchet với giả thiết 2.1, khi x = x
0
;
(ii) Tồn tại phần tử z 2 X sao cho
F
0
(x
0

)
Ô
z = A(x
0
);
(iii) Tham số hiệu chỉnh đ = đ(; h) chọn theo (2.14), q á p > 0.
Khi đó, ta có
kx

đ(;h)
Ă x
0
k = O
Ă
( + h)

2
Â
;
2
= min
n
1 Ă
s Ă 1
;

s
o
; =
p

1 + q
:
2.4. Xấp xỉ hữu hạn chiều nghiệm hiệu chỉnh và tốc độ hội
tụ
11
Vấn đề quan trọng trong tính toán là xấp xỉ hữu hạn chiều cho bài toán
(2.7) và (2.9). Năm 2004, chúng tôi xấp xỉ hữu hạn chiều cho bài toán (2.9)
bởi
F
n
h
(x

đ;n
) + đA
n
(x

đ;n
) = f
n

; (2.22)
với F
n
h
= P
Ô
n
F

h
P
n
; A
n
= P
Ô
n
AP
n
và f
n

= P
Ô
n
f

, ở đây P
n
: X ! X
n
là phép
chiếu tuyến tính từ X xuống không gian con hữu hạn chiều X
n
của X và P
Ô
n
là liên hợp của P
n

.
Sau đây, ta xét bài toán xấp xỉ hữu hạn chiều với việc chọn đ = đ(; h; n)
theo nguyên lí độ lệch suy rộng sao cho x

đ;n
hội tụ đến x
0
, khi đ; ; h ! 0
và n ! 1. Tham số đ(; h; n) có thể chọn dựa vào giải ph-ơng trình


F
n
h
(x

đ;n
) Ă f
n



= ( + h)
p
đ
Ăq
(; h; n); (2.24)
với mỗi ; h > 0 và n. Sự tồn tại của đ = đ(; h; n) thỏa mãn (2.24) đ-ợc
suy ra từ bài toán (2.22) và lập luận t-ơng tự nh- cho (2.14). Để tìm tham số
đ, ta đi giải ph-ơng trình

đ
q
kF
n
h
(x

đ;n
) Ă f
n

k = ( + h)
p
:
Đây là công việc vô cùng phức tạp, cho nên, ta có thể tiến hành bằng cách
thay đổi nhỏ nh- sau. Đặt

n
(x) = k(I Ă P
n
)xk; x 2 X;
Ô
n
(f) = k(I
Ô
Ă P
Ô
n
)fk;

n
= max
â

n
(x); x 2 S;
Ô
n
(f)
ê
;
ở đây I và I
Ô
là toán tử đơn vị t-ơng ứng trên X và X
Ô
.
Qui tắc 2.1. Chọn đ = đ(; h; n) á đ
0
:= (c
1
+ c
2
h + c
3

n
)
p
; c
i

> 1
(i = 1; 2; 3); 1 > q á p > 0; sao cho bất đẳng thức sau:
đ
q
kF
n
h
(x

đ;n
) Ă f
n

k á ( + h)
p
;
đ
q
kF
n
h
(x

đ;n
) Ă f
n

k 6 K
1
( + h)

p
; K
1
á 1;
12
thoả mãn.
Cho x

đ;n
là nghiệm của (2.22) với đ = đ. Sự hội tụ và tốc độ hội tụ của
fx

đ;n
g đến x
0
khi ; h ! 0 và n ! +1 đ-ợc xác định bởi định lí sau.
Định lí 2.9. Dãy fx

đ;n
g hội tụ đến x
0
, khi ; h ! 0 và n ! +1.
Định lí 2.10. Giả sử có các điều kiện sau:
(i) F khả vi Fr

echet tại lân cận của S với giả thiết 2.1, khi x = x
0
;
(ii) F
h

(X
n
) chứa trong X
Ô
n
với n đủ lớn và h đủ nhỏ;
(iii) Tồn tại phần tử z 2 X sao cho
F
0
(x
0
)
Ô
z = A(x
0
);
(iv) Tham số đ = đ(; h; n) đ-ợc chọn theo qui tắc 2.1.
Khi đó,


x

đ;n
Ă x
0


= O
Ă
( + h +

n
)
#
+
ạ=s
n
Â
;
# = min
n
1 Ă p
s Ă 1
;

s
o
; q á p > 0:
2.5. Kết quả tính toán thử nghiệm
Chúng tôi sử dụng các kết quả đạt đ-ợc ở phần trên để giải bài toán: tìm
phần tử x
0
2 S sao cho
'(x
0
) = min
x2S
'(x); (2.29)
ở đây ' là phiếm hàm lồi, nửa liên tục d-ới yếu trong không gian Hilbert H,
S là tập nghiệm của ph-ơng trình
F (x) = f; (2.30)

trong đó F là toán tử tuyến tính bị chặn, tự liên hợp xác định không âm trên
không gian Hilbert H. Nh- vậy, F khả vi Fréchet với đạo hàm Fréchet cũng
13
là F. Trong tr-ờng hợp này, điều kiện (ii) của định lí 2.3 đ-ợc miêu tả nh-
sau:
F (x
0
)
Ô
z = A(x
0
)
với A = @'.
Ch-ơng trình thử nghiệm đ-ợc viết bằng ngôn ngữ Visual Basic cho các
ví dụ sau.
Ví dụ 2.3. Xét hệ ph-ơng trình
F x = b; (2.31)
với điều kiện r(F; b) = r(F ); F = F
T
; det F = 0: Cụ thể, chúng tôi xét
tr-ờng hợp
F =
2
6
4
6 7 6
7 9 7
6 7 6
3
7

5
;
b = à = (0; 0; 0)
T
:
Dễ dàng kiểm tra đ-ợc F = A
Ô
A, ở đây
A =
2
6
4
1 1 1
1 2 1
2 2 2
3
7
5
:
Ta có hF x; xi = hA
Ô
Ax; xi á 0. Có nghĩa F là một toán tử không âm, tuyến
tính, hay F là toán tử đơn điệu xác định trên E
3
.
Mặt khác, hạng r(F ) = 2, cho nên nghiệm của hệ ph-ơng trình
F x = à
tạo thành một đ-ờng thẳng nằm trên mặt phẳng x
1
Ox

3
, qua hai điểm M
0
(0; 0; 0)
và M
1
(1; 0; Ă1). Nghiệm của hệ (2.31) cực tiểu phiếm hàm
'(x) =
1
2
kx Ă x
Ô
k
2
; (2.32)
14
với x
Ô
là véc tơ cho tr-ớc, nằm trên đ-ờng thẳng đi qua M
0
M
1
.
Để tìm nghiệm của bài toán trên, ta giải hệ ph-ơng trình hiệu chỉnh
F (x) + đ(x Ă x
Ô
) = 0; (2.33)
trong đó đ là tham số hiệu chỉnh. Lấy x
Ô
= (1; 0; 0) thì nghiệm của

(2.31) - (2.32) tính đ-ợc là ex = (1=2; 0; Ă1=2). Nghiệm xấp xỉ của ex tính
đ-ợc từ hệ ph-ơng trình (2.33) với đ đ-ợc đ-a ra trong Bảng 2.1.
đ x
1
x
2
x
3
10
Ă1
0.53757225433526 -0.05780346820809 -0.46242774566474
10
Ă2
0.50441229762685 -0.00685595635694 -0.49558770237314
10
Ă3
0.50044910683076 -0.00069853301082 -0.49955089316927
10
Ă4
0.50004499105340 -0.00006998530302 -0.49995500894973
10
Ă5
0.50000449992461 -0.00000699985300 -0.49999550010361
10
Ă6
0.50000044989592 -0.00000069999853 -0.49999954989771
10
Ă7
0.50000004442717 -0.00000006999999 -0.49999995442719
10

Ă8
0.50000001267318 -0.00000000700000 -0.50000000367318
10
Ă9
0.49999995903815 -0.00000000070000 -0.49999995813815
10
Ă10
0.49999995867065 -0.00000000007000 -0.49999995858065
10
Ă11
0.49999995863390 -0.00000000000700 -0.49999995862490
10
Ă12
0.49990005853859 -0.00000000000070 -0.49990005853769
10
Ă13
0.49873750026255 -0.00000000000007 -0.49873750026246
10
Ă14
0.51765512958282 -0.00000000000001 -0.51765512958281
Bảng 2.1
15
Ví dụ 2.4. Với thuật toán trên, chúng tôi xét tr-ờng hợp
F =
2
6
6
6
6
6

6
4
7 Ă6 1 Ă5 1
Ă6 8 2 10 1
1 2 3 5 2
Ă5 10 5 15 3
1 1 2 3 3
3
7
7
7
7
7
7
5
;
và vế phải b = à = (0; 0; 0; 0; 0)
T
:
Dễ dàng ta cũng kiểm tra đ-ợc F = A
Ô
A, ở đây
A =
2
6
6
6
6
6
6

4
1 0 Ă1 1 2
Ă1 1 2 Ă1 Ă1
0 1 1 0 1
Ă1 2 3 Ă1 0
Ă1 1 0 0 3
3
7
7
7
7
7
7
5
:
Ta cũng có hF x; xi = hA
Ô
Ax; xi á 0. Có nghĩa F là toán tử đơn điệu xác
định trên E
5
. Tìm nghiệm của hệ (2.31) cực tiểu phiếm hàm '(x) thoả mãn
(2.32), với x
Ô
là véc tơ cho tr-ớc. Ta chọn x
Ô
= (1; 1=2; 0; 1=2; 1=10) và
giải hệ ph-ơng trình hiệu chỉnh (2.33).
Bằng cách t-ơng tự, ta cũng tính đ-ợc nghiệm cực tiểu phiếm hàm '(x)
thoả mãn (2.32), trên tập nghiệm của ph-ơng trình
F x = à

là ex = (1=2; 1=2; Ă1=2; 0; 0). Nghiệm hiệu chỉnh của ph-ơng trình (2.33)
với đ khác nhau đ-ợc cho trong Bảng 2.2.
Từ kết quả tính toán cho trong các Bảng 2.1 và 2.2, ta thấy:
Khi đ giảm từ 10
Ă1
đến 10
Ă7
(10
Ă8
) thì sai số của nghiệm hiệu chỉnh
giảm dần. Còn khi đ < 10
Ă8
thì sai số đó lại không giảm.
16
đ x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
10
Ă2
0.5012069021291 0.4998087394498 -0.4989843584212 0.0008243810286 -0.0015016836619
10
Ă3
0.5001211596296 0.4999808146989 -0.4998980256714 0.0000827890278 -0.0001513795631

10
Ă4
0.5000121206867 0.4999980808734 -0.4999897984393 0.0000082824362 -0.0000151501584
10
Ă5
0.5000012121301 0.4999998080975 -0.4999989798148 0.0000008282770 -0.0000015151380
10
Ă6
0.5000001211541 0.4999999806566 -0.4999998980154 0.0000000829218 -0.0000001515150
10
Ă7
0.5000000111918 0.4999999983792 -0.4999999876408 0.0000000070551 -0.0000000151515
10
Ă8
0.4999999895269 0.4999999862895 -0.4999999891279 0.0000000026616 -0.0000000015152
10
Ă9
0.5000000642830 0.5000002754304 -0.4999998527721 -0.0000002112049 -0.0000000001515
10
Ă10
0.5000004873002 0.5000010159421 -0.4999999586221 -0.0000005286476 -0.0000000000152
10
Ă11
0.5000084178364 0.5000189926364 -0.4999978430329 -0.0000105748005 -0.0000000000015
10
Ă12
0.4998181652692 0.4998710392947 -0.4997652912435 -0.0000528740255 -0.0000000000002
10
Ă13
0.5004084537746 0.5020140423963 -0.4988028651529 -0.0016055886217 -0.0000000000000

10
Ă14
0.4979219562997 0.5028518766591 -0.4929920359403 -0.0049299203594 0.0000000000000
Bảng 2.2
Ví dụ 2.5. Xét bài toán (2.2)-(2.3) với X là không gian Hilbert L
2
[0; 1],
'(x) =
1
2
kx Ă x
Ô
k
2
L
2
(2.34)
trên tập nghiệm của ph-ơng trình
F (x) = à; (2.35)
trong đó x
Ô
2 L
2
[0; 1] là hàm cho tr-ớc, F là d-ới vi phân của phiếm hàm
(x) =
e
(hKx; xi), trong đó
e
(t) =
8

>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
0 nếu t 6 a
0
;
(t Ă a
0
)
2
2h
nếu a
0
< t 6 a
0
+ h;
t Ă a
0
Ă
h
2
nếu a
0

+ h < t;
(2.36)
h là tham số d-ơng, a
0
> 0 cố định;
Kx(t) =
1
Z
0
k(t; s)x(s)ds; x(s) 2 L
2
[0; 1];
ở đây
k(t; s) =
8
<
:
t(1 Ă s) nếu t á s;
s(1 Ă t) nếu t < s:
17
Khi đó K là một toán tử tuyến tính liên tục không âm trên L
2
[0; 1]:
Do hKx; xi là phiếm hàm lồi, và (t) là một hàm lồi, cho nên (hKx; xi)
cũng là phiếm hàm lồi. Suy ra F(x) = @(x) là toán tử đơn điệu và
F (x) = @(x) =
1
2
e

0
(hKx; xi)Kx: (2.37)
Từ (2.35) và (2.36) ta có
F
h
(x) =
8
>
>
>
<
>
>
>
:
0 nếu hKx; xi 6 a
0
;
hKx; xi
h
Kx nếu a
0
< hKx; xi 6 a
0
+ h;
Kx nếu a
0
+ h < hKx; xi:
Bài toán (2.35) và (2.36) đ-ợc xấp xỉ hữu hạn chiều bởi công thức gần đúng
sau:

F
n
h
(x
j
) =
8
>
>
>
<
>
>
>
:
0 nếu T 6 a
0
;
T
h
T
j
nếu a
0
< T 6 a
0
+ h;
T
j
nếu a

0
+ h < T;
(2.38)
(j = 1; :::; n):
Bài toán (2.38) là một hệ ph-ơng trình đại số. Để giải bài toán (2.38) ta
sử dụng ph-ơng pháp lặp hiệu chỉnh sau:
z
k+1
= z
k
Ă
k
Ă
F
n
h
(z
k
) + đ
k
z
k
Â
; k = 0; 1; :::; (2.39)
với
k
=

1 + k

Ă
1
2
; đ
k
=

1 + k

Ă
1
p
; 0 < p <
1
2
, ở đây, ta chọn
p = 1=4:
Các xấp xỉ của (2.39) đ-ợc tính theo thuật toán. Kết quả tính toán từng
b-ớc lặp đ-ợc cho trong Bảng 2.3.
18
k t = 0.0 t = 0.2 t = 0.4 t = 0.6 t = 0.8 t = 1.0
1 0.0280654331 0.0257560320 0.0246013315 0.0246013315 0.0257560320 0.0280654331
5 0.0072154983 0.0054545141 0.0045994808 0.0045994808 0.0054545141 0.0072154983
10 0.0026674868 0.0017446607 0.0013070316 0.0013070316 0.0017446607 0.0026674868
20 0.0007500150 0.0004049443 0.0002468492 0.0002468492 0.0004049443 0.0007500150
30 0.0003122381 0.0001470787 0.0000734563 0.0000734563 0.0001470787 0.0003122381
40 0.0001573162 0.0000665116 0.0000269854 0.0000269854 0.0000665116 0.0001573162
50 0.0000889667 0.0000343716 0.0000111119 0.0000111119 0.0000343716 0.0000889667
60 0.0000544164 0.0000194545 0.0000048519 0.0000048519 0.0000194545 0.0000544164
70 0.0000352409 0.0000117693 0.0000021464 0.0000021464 0.0000117693 0.0000352409

80 0.0000238426 0.0000074933 0.0000009072 0.0000009072 0.0000074933 0.0000238426
90 0.0000167002 0.0000049686 0.0000003213 0.0000003213 0.0000049686 0.0000167002
100 0.0000120327 0.0000034057 0.0000000426 0.0000000426 0.0000034057 0.0000120327
110 0.0000088762 0.0000023998 -0.0000000861 -0.0000000861 0.0000023998 0.0000088762
120 0.0000066796 0.0000017311 -0.0000001400 -0.0000001400 0.0000017311 0.0000066796
130 0.0000051135 0.0000012742 -0.0000001566 -0.0000001566 0.0000012742 0.0000051135
140 0.0000039733 0.0000009545 -0.0000001548 -0.0000001548 0.0000009545 0.0000039733
150 0.0000031282 0.0000007261 -0.0000001445 -0.0000001445 0.0000007261 0.0000031282
160 0.0000024915 0.0000005600 -0.0000001308 -0.0000001308 0.0000005600 0.0000024915
170 0.0000020052 0.0000004372 -0.0000001164 -0.0000001164 0.0000004372 0.0000020052
180 0.0000016289 0.0000003451 -0.0000001024 -0.0000001024 0.0000003451 0.0000016289
190 0.0000013345 0.0000002751 -0.0000000896 -0.0000000896 0.0000002751 0.0000013345
200 0.0000011017 0.0000002213 -0.0000000781 -0.0000000781 0.0000002213 0.0000011017
210 0.0000009160 0.0000001795 -0.0000000680 -0.0000000680 0.0000001795 0.0000009160
220 0.0000007665 0.0000001467 -0.0000000591 -0.0000000591 0.0000001467 0.0000007665
230 0.0000006453 0.0000001207 -0.0000000515 -0.0000000515 0.0000001207 0.0000006453
235 0.0000005933 0.0000001097 -0.0000000480 -0.0000000480 0.0000001097 0.0000005933
Bảng 2.3
Từ kết quả tính toán cho trong Bảng 2.3, ta thấy:
- Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh phụ thuộc vào việc chọn giá trị
của p trong dãy đ
k
. Chẳng hạn chọn p = 1=4 hoặc càng nhỏ thì cần ít lần
lặp hơn so với chọn p = 1=2, tính toán nghiệm xấp xỉ so với cùng sai số cho
tr-ớc.
- Số lần lặp càng lớn thì nghiệm xấp xỉ càng gần với nghiệm chính xác
của bài toán ban đầu.
19
Ch-ơng 3
Bất đẳng thức biến phân với ràng buộc

có nhiễu là các toán tử không đơn điệu
3.1. Thuật toán hiệu chỉnh
Nếu các toán tử nhiễu F
h
là không đơn điệu thì ph-ơng trình
F
h
(x) = f

và (2.9) có thể không có nghiệm. áp dụng cách tiếp cận của Liskovets,
Nguyễn B-ờng đã đ-a ra khái niệm mới về nghiệm hiệu chỉnh.
Định nghĩa 3.1. Phần tử x
!
; ! = !(h; đ; ; ") trong X đ-ợc gọi là nghiệm
hiệu chỉnh của bài toán (2.2) và (2.3) nếu
hF
h
(x
!
)+đA(x
!
) Ă f

; x Ă x
!
i + "g(kx
!
k)kx Ă x
!
k á 0;

8x 2 X; " á h > 0; đ > 0; á 0;
(3:1)
ở đây (F
h
; f

) là xấp xỉ của (F; f); kF
h
(x) Ă F (x)k 6 hg(kxk);
0 6 g(t) 6 M
1
+ N
1
t; M
1
> 0; N
1
> 0; t á 0; g(t) là hàm thực:
Định lí 3.1. Với mỗi h; đ > 0; á 0, " á h, tập nghiệm của bất đẳng thức
(3.1), kí hiệu là S
Â
, khác rỗng, tập fx
!
g (ở đây chọn phần tử x
!
2 S
Â
tuỳ
ý), có một điểm giới hạn mạnh là x
0

, khi

đ
! 0,
"
đ
! 0 và đ ! 0.
3.2. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh
Việc đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh là rất phức tạp. Để
giải quyết vấn đề đó, cuối năm 2005, chúng tôi đã nghiên cứu sự hội tụ và đã
chỉ ra đ-ợc tốc độ hội tụ của nghiệm fx
!
g và fx
n
!
g khi toán tử nhiễu F
h
của
F là không đơn điệu.
Giả thiết 3.1. Giả sử tồn tại một hằng số d-ơng ~ sao cho
kF
h
(y) Ă F
h
(x) Ă F
0
h
(x)(y Ă x)k 6 ~ kF
h
(y) Ă F

h
(x)k; (3.3)
20
với y thuộc lân cận của S và 8x 2 S.
Cho x
!
; ! = !(h; đ; ; ") là phần tử tùy ý của S
Â
với mọi " á h > 0,
đ > 0 và á 0.
Định lí 3.5. Giả sử các điều kiện sau thoả mãn:
(i) F
h
khả vi Fr

echet tại lân cận của S với giả thiết 3.1, khi x = x
0
.
(ii) Tồn tại phần tử z
h
sao cho fz
h
g bị chặn và
F
0
h
(x
0
)
Ô

z
h
= A(x
0
):
Khi đó, nếu tham số đ đ-ợc chọn sao cho đ ằ ( + ")
ạ
, 0 < ạ < 1, thì ta
nhận đ-ợc
kx
!
Ă x
0
k = O
Ă
( + ")
à
Â
; à = min
n
1 Ă ạ
s Ă 1
;
ạ
s
o
:
Chú ý 3.1. Kết luận của định lí vẫn đúng khi giả thiết 3.1 thay bằng giả thiết
2.1 ở ch-ơng 2 và điều kiện (ii) đ-ợc thay bởi

F (y) Ă F(x) Ă F
0
(x)(y Ă x)


6 ~


F (y) Ă F (x)


; (3.5)
và tồn tại phần tử z 2 X sao cho
F
0
(x
0
)
Ô
z = A(x
0
):
Đặt
n
(x) =


(I Ă P
n

)x


; x 2 X;
n
= max
â

n
(x
0
);
n
(f)
ê
:
Giả thiết
kA(x) Ă A(y)k 6 C(R)kx Ă yk

; 0 < 6 1;
ở đây C(R); R > 0 là hàm d-ơng đơn điệu tăng của R = maxfkxk; kykg.
Định lí 3.6. Giả sử có các điều kiện sau:
(i) F khả vi Fr

echet tại lân cận của S với giả thiết 2.1, khi x = x
0
.
(ii) Tồn tại phần tử z 2 X sao cho
F
0

(x
0
)
Ô
z = A(x
0
):
21
(iii) Tham số đ đ-ợc chọn sao cho đ ằ ( + " +
n
)
ẵ
; 0 < ẵ < 1.
Khi đó, ta có đ-ợc
kx
n
!
Ă x
0
k = O
Ă
( + " +
n
)
à
+
=(sĂ1)
n
Â
:

3.3. Ví dụ
Xét bài toán: tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của ph-ơng trình tích phân
phi tuyến
(F x)(t) = KfK
Ô
x(t) = f
0
(t); t 2 -; (3.8)
với f
0
(t) 2 L
q
(-); 1 < q < +1. Trong đó toán tử K đ-ợc xác định bởi
(Kx)(t) =
Z
-
k(t; s)x(s)ds; t 2 -;
ở đây k(t; s) là một hàm thực đo đ-ợc trên - Ê - sao cho không gian
N (K) 6= f0g và - là tập đóng trong IR
n
. f(t); t 2 IR
1
là hàm thực không
giảm. Giả sử
Z
-
Z
-
jk(t; s)j
q

dtds < +1; 1 < q < +1; (3.9)
jf(t)j 6 b
0
+ b
1
jtj
qĂ1
; b
0
; b
1
> 0; p
Ă1
+ q
Ă1
= 1:
Khi đó K là một toán tử tuyến tính, bị chặn từ không gian X = L
p
(-) vào
không gian X
Ô
= L
q
(-) và (fx)(t) = f(x(t)) : X
Ô
! X là một toán tử đơn
điệu. Cho nên, F = KfK
Ô
cũng là toán tử đơn điệu từ X vào X
Ô

. Nếu hoặc
K hoặc f là compact, thì (3.8) là bài toán đặt không chỉnh. Chúng ta quan
tâm đến nghiệm x
0
(t) của (3.8) có chuẩn nhỏ nhất. Trong tr-ờng hợp, toán
tử A là ánh xạ đối ngẫu của U
s
trong không gian L
p
thì nó thoả mãn tất cả
các điều kiện: nếu X là không gian Hilbert, U
s
= I; s = 2; m
A
= 1; ~s = 1
và d = C(R) = 1; R = maxfkxk; kx
0
kg. Khi p > 1, chẳng hạn ta có các
không gian kiểu Lebesgue l
p
; L
p
; W
p
w
; p > 1. Chúng ta có thể xây dựng U
s
thoả mãn điều kiện (2.5)
1 < p < 2 : s = 2; m
A

= p Ă 1; C(ẵ) = p2
2pĂ1
e
p
L
pĂ1
;
22
e = maxf2
p
; 2ẵg; 1 < L < 3; 18; ~s = p Ă 1;
2 < p < s = p; m
A
=
2
2Ăp
p
; C(ẵ) =
2
p
ẵ
pĂ2
p[p Ă 1 + maxfẵ; Lg]
; ~s = 1:
Đặc biệt, nếu 1 < p < 2 thì s = 2 và chúng ta chỉ cần điều kiện (ii) của
định lí 3.5 đối với mỗi bài toán và dạng cụ thể của xấp xỉ hữu hạn chiều của
L
p
(-). Chúng ta sẽ thấy tr-ờng hợp khi - = [0; 1]; p = 2, điều kiện (ii) của
định lí 3.5 đ-ợc viết d-ới dạng sau:

x
0
= Kf
0
Ô
h
(K
Ô
x
0
)K
Ô
z
h
;
với f
h
là xấp xỉ của f. Ph-ơng trình này có nghiệm, nếu x
0
2 R(K) và tồn
tại u
h
(t) 2 R(K
Ô
) sao cho
ằ
0
= f
0
Ô

h
(y
0
)u
h
; y
0
= K
Ô
x
0
; Kằ
0
= x
0
; (3.10)
ở đây f
0
Ô
h
(y
0
) có tính bức trên L
2
[0; 1].
Xét ví dụ cụ thể
f
h
(t) =
8

<
:
e
1
(t Ă t
0
) + d; nếu t Ă t
0
6 0;
e
2
(t Ă t
0
) + h; nếu t Ă t
0
> 0;
e
2
> e
1
> 0; d 2 R:
Ta có thể xấp xỉ hàm f(t) bởi hàm f
h
(t) nh- sau:
f
h
(t) =
8
>
>

>
<
>
>
>
:
f(t); nếu t 62 (t
0
Ă h; t
0
+ h];
d + e
1
(t Ă t
0
) + p(t Ă t
0
+ h)
2
+q(t Ă t
0
+ h)
3
; nếu t 2 (t
0
Ă h; t
0
+ h]:
Các hệ số p và q có thể tìm đ-ợc dựa trên việc giải hệ ph-ơng trình tuyến
tính sau:

8
<
:
f
h
(t
0
+ h) = e
2
h + d;
f
0
Ô
h
(t
0
+ th) = e
2
:
23
Dễ dàng kiểm tra đ-ợc với h đủ nhỏ, các hệ số p và q đ-ợc xác định một
cách duy nhất và hàm f
h
(t) khả vi. Hơn nữa


F
1h
(t) Ă f(t)

6


F
1h
(t
0
) Ă F (t
0
)


6 ch; c > 0:
Mặt khác, ta có
f
0
h
(t) =
8
<
:
e
1
hoặc e
2
nếu t 62 (t
0
Ă h; t
0

+ h);
e
1
+
(e Ă e
1
)(t Ă t
0
+ h)
4h
; nếu t 2 [t
0
Ă h; t
0
+ h]:
Cho nên, điều kiện (3.10) thoả mãn, vì e
1
> 0.
Bây giờ, ta xấp xỉ không gian Hilbert H = L
2
[0; 1] bởi dãy không gian
con tuyến tính H
n
đ-ợc xác định nh- sau:
H
n
= L
â

1

;
2
; : : : ;
n
ê
;

j
=
8
<
:
1; t 2 (t
jĂ1
; t
j
];
0; t 62 (t
jĂ1
; t
j
]:
Nh- ta đã biết


(I Ă P
n
)y

= O(n
Ă1
); 8y 2 L
2
[0; 1];
trong đó
P
n
y =
n
X
j=1
y(t
j
)
j
(t):
Bằng cách lấy đ
n
= O(n
Ă1=2
) và h = = O(n
Ă2
). Ta thấy hầu hết các điều
kiện của định lí 3.5 và định lí 3.6 đều thoả mãn.
24
Kết luận chung
Luận án này đề cập đến hai vấn đề sau:
Nghiên cứu tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến
phân với ràng buộc có nhiễu là các toán tử đơn điệu trên cơ sở chọn tham số

hiệu chỉnh bằng nguyên lí độ lệch suy rộng.
Nghiên cứu tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến
phân với ràng buộc có nhiễu là các toán tử không đơn điệu.
Các kết quả nhận đ-ợc trong luận án này là:
1. Chỉ ra đ-ợc cách chọn sau tham số hiệu chỉnh đ theo nguyên lí độ lệch
suy rộng. Dựa trên cách chọn này, đánh giá đ-ợc tốc độ hội tụ của nghiệm
hiệu chỉnh trong không gian vô hạn chiều khi thay các điều kiện về F
(k)
h
, đạo
hàm cấp k của F
h
với 1 6 k 6 [s], bằng điều kiện chỉ đặt lên F
0
h
, đạo hàm
cấp 1 của F
h
.
2. Đánh giá đ-ợc tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh khi đã đ-ợc xấp
xỉ hữu hạn chiều, trong tr-ờng hợp nhiễu F
h
của F là toán tử đơn điệu.
3. Đánh giá đ-ợc tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh khi nhiễu F
h
; h > 0
của F , là toán tử không đơn điệu.
4. Các kết quả nghiên cứu ở trên đ-ợc minh hoạ bằng các ví dụ cụ thể.
Vấn đề đặt ra cần nghiên cứu tiếp là: liệu có thể xét cho tr-ờng hợp tổng
quát hơn, khi S là giao các tập nghiệm của hệ ph-ơng trình

F
i
(x) = f
i
; i = 1; ::; N; f
i
2 X
Ô
;
với F
i
là các toán tử đơn điệu từ X vào X
Ô
. Tr-ờng hợp riêng, khi F
i
= I ĂT
i
;
T
i
là các toán tử không giãn trong không gian Hilbert H và A = '
0
là toán
tử tuyến tính, không âm và bức đã đ-ợc đề cập mới đây.