Bao hàm thức vi phân và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————————
TRẦN THỊ THANH HUYỀN
BAO HÀM THỨC VI PHÂN
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Hà Nội-2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————————
TRẦN THỊ THANH HUYỀN
BAO HÀM THỨC VI PHÂN
VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm
Hà Nội-2013
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS. TS.
Nguyễn Năng Tâm, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng
dẫn về phương hướng, nội dung và phương pháp nghiên cứu trong quá
trình thực hiện luận văn.
Nhân dịp này tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban
giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên
ngành Toán giải tích, Đoàn 871- Bộ Quốc Phòng, Trường sĩ quan Tăng
thiết giáp- Bộ tư lệnh Tăng thiết giáp, đã tạo điều kiện thuận lợi trong

quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên
và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, tháng năm 2013
Tác giả
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng năm 2013
Tác giả
Bảng kí hiệu
R tập hợp số thực
R
n
không gian thực n - chiều
C tập hợp số phức
Z tập hợp số nguyên
Z
n
Không gian nguyên n - chiều
v
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Bao hàm thức vi phân là một khái niệm tổng quát của phương trình
vi phân thường. Mọi vấn đề được xét trong phương trình vi phân như:
Sự tồn tại nghiệm, tính liên tục của tập nghiệm, sự phụ thuộc vào điều
kiện ban đầu và các tham số Đều được nghiên cứu trong lý thuyết của
bao hàm thức vi phân.

Vì bao hàm thức vi phân luôn có nhiều nghiệm xuất phát từ một
điểm đã cho nên xuất hiện các vấn đề như: Việc nghiên cứu tính chất tô
pô của tập nghiệm, sự lựa chọn nghiệm thỏa mãn các tính chất đã cho,
đánh giá tập các khả năng đạt được Để giải quyết các vấn đề trên ta
cần đến các kỹ thuật toán học đặc biệt.
Do đó bao hàm thức vi phân không những là mô hình cho quá trình
động lực mà chúng còn cung cấp những công cụ mạnh cho các nhánh
khác nhau của toán giải tích. (Xem [5] và những tài liệu dẫn trong đó).
Bao hàm thức vi phân được ứng dụng vào chứng minh sự tồn tại của
những định lý trong lý thuyết điều khiển tối ưu. Chúng được dùng để
dẫn ra điều kiện đủ tối ưu, đóng vai trò cốt yếu trong lý thuyết điều
khiển với những điều kiện bất định và lý thuyết trò chơi vi phân.
Bao hàm thức vi phân có rất nhiều ứng dụng trong lý thuyết cũng
như trong thực tế. Nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên
cứu những khía cạnh khác nhau của bao hàm thức vi phân (xem [5]).
vi
Sau khi được học những kiến thức về Toán giải tích, với mong muốn
tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ của chúng với
những kiến thức chưa biết và ứng dụng của chúng, được sự động viên
của các thầy cô giáo, đặc biệt là sự động viên giúp đỡ của thầy Nguyễn
Năng Tâm, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: “Bao hàm thức vi phân và
ứng dụng”.
2. Mục đích nghiên cứu
• Tìm hiểu về một số kết quả liên quan đến bao hàm thức vi phân,
sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức vi phân.
• Tìm hiểu về một số bao hàm thức vi phân đặc biệt và tính ổn định.
• Tìm hiểu về ứng dụng của bao hàm thức vi phân vào điều khiển tối
ưu.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Trình bày khái niệm bao hàm thức vi phân.

• Chỉ ra và chứng minh một số kết quả về sự tồn tại nghiệm của bao
hàm thức vi phân, và một số bao hàm thức vi phân đặc biệt.
• Trình bày về tính ổn định của bao hàm thức vi phân.
• Ứng dụng của bao hàm thức vi phân vào điều khiển tối ưu.
vii
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Bao hàm thức vi phân và ứng dụng.
• Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn tại và tính ổn định nghiệm của bao
hàm thức vi phân, một số bao hàm thức vi phân đặc biệt và ứng
dụng của bao hàm thức vi phân.
5. Phương pháp nghiên cứu
• Sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm, lý thuyết
tối ưu.
• Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến
đề tài.
6. Dự kiến các đóng góp của luận văn
• Nghiên cứu và làm rõ được sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức vi
phân, một số bao hàm thức vi phân đặc biệt.
• Trình bày về tính ổn định của bao hàm thức vi phân.
• Trình bày một số ứng dụng của bao hàm thức vi phân.
viii
Mục lục
Bảng kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
Nội dung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Giải tích lồi . . . . . . . 1
1.2. Giải tích không trơn . . . . . . 6
1.3. Giải tích đa trị . . . . . . 10
1.4. Một số kiến thức về đạo hàm suy rộng 18

Chương 2. Bao hàm thức vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1. Khái niệm . . . . . . 21
2.2. Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . 23
2.3. Một số bao hàm thức vi phân đặc biệt . . . . . . 30
2.3.1. Bao hàm thức vi phân Lipschitzian. 30
2.3.2. Bao hàm thức vi phân nửa liên tục trên 31
2.4. Tính ổn định . . . . . . . . . . . . . 41
2.4.1. Phương pháp Lyapunov trực tiếp . . . . . . . 41
2.4.2. Bao hàm thức vi phân chọn tuyến tính . . . . . 49
2.4.3. Ổn định tiệm cận yếu của quá trình lồi 61
ix
Chương 3. Ứng dụng của bao hàm thức vi phân vào điều khiển
tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1. Sự tồn tại nghiệm tối ưu . . 69
3.2. Nghiên cứu các bài toán điều khiển tối ưu dạng đặc biệt . . 74
3.2.1. Bài toán điều khiển tối ưu Mayer. 74
3.2.2. Bài toán tối ưu thời gian . . . 75
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
x
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này giới thiệu và trình bày các kiến thức cơ bản về giải tích
lồi, giải tích không trơn, giải tích đa trị và một số kiến thức về đạo hàm
suy rộng, được áp dụng cho chương sau. Các kết quả trong chương này
được lấy từ tài liệu [1],[3],[4], [5]
1.1. Giải tích lồi
Dưới đây trình bày một vài kết quả của giải tích lồi như: tập lồi, hàm
lồi, cùng một số tính chất quan trọng của chúng.
Định nghĩa 1.1.1 ([1], [5]). Tích trong của hai véc tơ x và y trong R

n
được biểu thị bởi
x, y = x
1
y
1
+ + x
n
y
n
Định nghĩa 1.1.2 ([1],[3],[5]). Chuẩn của một véc tơ x ∈ R
n
được định
nghĩa bởi |x| = x, x
1
/
2
Định nghĩa 1.1.3 ([1],[3],[5]). Cho C : R
n
→ R
m
là một toán tử tuyến
tính. Toán tử tuyến tính liên hợp từ R
m
vào R
n
được ký hiệu bởi C
∗
.
Nếu C là một ma trận thực cấp m × n tương ứng toán tử tuyến tính

C ( ta dùng như ký hiệu), thì ma trận chuyển vị C
∗
tương ứng toán tử
tuyến tính liên hợp.
1
Toán tử tuyến tính đơn vị từ R
n
vào R
n
sẽ được ký hiệu là E. Nếu
có nguy cơ nhầm lẫn về chiều, ma trận cấp n × n được ký hiệu là E
n
.
Quả cầu đơn vị trong R
n
được định nghĩa bởi
B
n
= {x ∈ R
n
||x| ≤ 1}
Định nghĩa 1.1.4 ([1],[3],[5]). Cho A ⊂ R
n
. Hàm khoảng cách d(., A) :
R
n
→ R được định nghĩa bởi
d(x, A) = inf{|x − a||a ∈ A}, x ∈ R
n
Cho λ ∈ R. Thì

λA = {λa|a ∈ A}
Cho hai tập A, B ∈ R
n
tổng của chúng được định nghĩa
A + B = {a + b|a ∈ A, b ∈ B}
Bao đóng clA và phần trong intA được định nghĩa bằng công thức
clA =

>0
(A + B
n
)
intA = {a ∈ A|∃ > 0, a + B
n
⊂ A
Biên của A được định nghĩa bởi
bda = clA \ intA
Hiển nhiên cl
◦
B
n
= B
n
, intB =
◦
B
n
, và bdB
n
= {x||x| = 1}

Định nghĩa 1.1.5 ([1],[5]). Một tập A được gọi là lồi nếu λx+(1−λ)y ∈
A, với x, y ∈ A, λ ∈ [0, 1]. Bởi định nghĩa nên giao của các tập lồi là
tập lồi, và nếu A ⊂ R
n
, B ⊂ R
n
là lồi, và α, β là các số thực, thì tập
αA + βB là lồi. nếu A là lồi thì intA, clA cũng là các tập lồi.
2
Định nghĩa 1.1.6 ([1],[5]). Cho A ⊂ R
n
. Giao của tất cả các tập lồi
chứa A được gọi là bao lồi của A và ký hiệu là coA.
Một véc tơ tổng
λ
1
x
1
+ + λ
m
x
m
được gọi là tổ hợp lồi của x
1
, , x
m
nếu λ
i
≥ 0, i = 1, m, và λ
1

+ + λ
m
= 1.
Hiển nhiên nếu x
1
, , x
m
là các véc tơ của A thì bất kỳ tổ hợp lồi nào
của x
1
, , x
m
đều thuộc về coA.
Định lí 1.1.1 ([1],[5]). Cho A ⊂ R
n
là một tập lồi và x
0
/∈ clA. Thì tồn
tại một véc tơ x
∗
= 0 và một số dương ε sao cho
x, x
∗
 ≤ x
0
, x
∗
 − ε, ∀x ∈ A
Định nghĩa 1.1.7 ([1],[5]). Cho f là một hàm có giá trị thực hoặc +∞
và miền xác định là R

n
. Miền hữu hiệu của một hàm f, kí hiệu là domf,
là tập được xác định bởi
domf = {x ∈ R
n
|f(x) < +∞}
Định nghĩa 1.1.8 ([1],[5]). Tập
epif = {(x, α) ∈ R
n
× R|f(x) ≤ α}
được gọi là trên đồ thị (epigraph) của f
Ta thấy trên đồ thị của f hoàn toàn xác định hàm đó. Thật vậy
f(x) = inf{α|(x, α) ∈ epif}
Do đó các hàm định nghĩa trên R
n
đều quan hệ đến các tập trong R
n+1
,
và sự tương ứng này làm cho nó có thể nghiên cứu các hàm thông qua
(via) các tập.
3
Định nghĩa 1.1.9 ([1],[5]). Cho X ⊂ R
n
nếu epif là một tập lồi và
f : X → R là một hàm số.
Hàm f được gọi là lồi trên X nếu với mọi x
1
, x
2
∈ X và với mọi

t ∈ [0, 1] ta có
f(λx
1
+ (1 − λ)x
2
) ≤ λf(x
1
) + (1 − λ)f(x
2
) (1.1)
Bằng phép quy nạp chúng ta thấy rằng f là lồi nếu và chỉ nếu
f(λ
1
x
1
+ + λ
m
x
m
≤ λ
1
f(x
1
)) + + λ
m
f(x
m
)
∀x
1

, , x
m
∈ domf, ∀λ
i
≥ 0, 1, m thỏa mãn λ
1
+ + λ
m
= 1 Hiển nhiên
miền xác định của một hàm lồi là một tập lồi. Dễ dàng chứng minh rằng
nếu X là một tập lồi trên R
n
thì hàm f lồi trên X nếu và chỉ nếu trên
đồ thị epif của f là một tập lồi trong R
n+1
Ví dụ 1.1.1 ([5]). Chú ý rằng cận trên đúng
f(x) = sup{f
i
(x)|i ∈ I}
của một họ các hàm lồi là một hàm lồi. Thật vậy, epigraph của f là giao
của các epigraph của các hàm lồi f
i
là một tập lồi. Từ (1.1) ta thấy rằng
tổng của hữu hạn các hàm lồi cũng là một hàm lồi.
Bây giờ ta xét ví dụ của hàm lồi. Cho A ⊂ R
n
là một tập lồi. Hàm
S(x
∗
, A) = sup{x, x

∗
|x ∈ A}
được gọi là giá của hàm A. Vì giá của hàm là một cận trên đúng của
các hàm tuyến tính, nên nó là hàm lồi.
4
Định lí 1.1.2 ([1],[5]). Cho A là một tập lồi, đóng. Thì x ∈ A nếu và
chỉ nếu
x, x
∗
 ≤ S(x
∗
, A)
với ∀x
∗
∈ R
n
Mệnh đề 1.1.1 ([5]). Cho A ⊂ R
n
là một tập lồi đóng thỏa mãn A ⊂
mB
n
, với m > 0. Thì
|S(x
∗
1
, A) − S(x
∗
2
, A) |≤ m|x
∗

1
− x
∗
2
|
∀x
∗
1
, x
∗
2
∈ R
n
.
Mệnh đề 1.1.2 ([1],[5]). Cho A là một tập lồi và cho x ∈ A. Thì
N(x, A) = {v
∗
|v
∗
, y − x ≤ 0, ∀y ∈ A}
Bổ đề 1.1.1 ([5]). Cho f : R → R ∪ {+∞} là một hàm lồi. Nếu λ
0
<
λ
1
< λ
2
, λ
0
, λ

1
, λ
2
∈ Domf, thì
f(λ
1
) − f(λ
0
)
λ
1
− λ
0
≤
f(λ
2
) − f(λ
0
)
λ
2
− λ
0
Định lý sau chỉ ra rằng các hàm lồi là Lipschitzian địa phương.
Định lí 1.1.3 ([5]). Cho f : R
n
→ R ∪ {+∞} là một hàm lồi. Giả sử
rằng f(x) ≤ b với mọi x ∈ x
0
+ B

n
, với  > 0. Thì f là Lipschitzian
trong một lân cận của x
0
.
Định lí 1.1.4 ([5]). Cho A là một tập lồi. Thì
d(x, A) = sup{x, x
∗
 − S(x
∗
, A)|x
∗
∈ B
n
}
5
Hệ quả 1.1.1 ([5]). Cho
K = {x|x
∗
1
, x ≥ 0, i = 1, N}
thì
K
∗
= {x
∗
|x
∗
=
N


i=1
α
i
x
∗
i
, α
i
≥ 0, i = 1, N}
1.2. Giải tích không trơn
Ta nhắc lại một số khái niệm và kết quả sẽ được sử dụng cho chương
sau.
Không gian Banach của các hàm khả tích x : [0, T ] −→ R
n
với quy
tắc
|x (.)|
L
1
=
T

0
|x (t)| dt
Được kí hiệu bởi L
1
([0, T ] ; R
n
) .

Không gian Hilbert của các hàm đo được x : [0, T ] −→ R
n
sao cho
T

0
|x (t)|
2
dt < ∞
được kí hiệu bởi L
2
([0, T ] ; R
n
). Trong đó tích được định nghĩa bởi công
thức
x (.) , y (.) =
T

0
x (t) , y (t) dt
Không gian Banach của các hàm liên tục x : [0, T ] −→ R
n
với quy
tắc
|x (.)|
C
= max {|x (t)| /t ∈ [0, T ]}
6
được kí hiệu bởi C ([0, T ] , R
n

)
Hàm x : [0, T ] −→ R
n
được gọi là liên tục tuyệt đối nếu với ε > 0 cho
trước, ∃δ > 0 sao cho với mọi tập đếm được của những khoảng con rời
nhau

t

k
, t

k

⊂ [0, T ] thỏa mãn
Σ

t

k
− t

k

< δ
ta có
Σ|x

t


k

− x

t

k

|< ε
Một hàm liên tục tuyệt đối là liên tục và có biến phân bị chặn.
Mọi hàm Lipschitzian đều liên tục tuyệt đối. Một hàm x : [0, T ] → R
n
liên tục tuyệt đối thì khả vi hầu khắp nơi và đạo hàm của nó ˙x (.) là
hàm khả tích Lebesgue. Hơn nữa công thức Newton- Leibniz luôn đúng.
Tức là
x

t


− x

t


=

t

t


˙x (t) dt
Với mọi t

, t

∈ [0, T ] , t

< t

. Do đó mọi hàm liên tục tuyệt đối x :
[0, T ] −→ R
n
có thể biểu diễn dưới dạng
x (t) = x (0) +

t
0
˙x (s) ds
Chúng ta kí hiệu không gian các hàm liên tục tuyệt đối x : [0, T ] −→ R
n
với quy tắc
|x (.)|
AC
= |x (0)| +

T
0
| ˙x (t)| dt
là AC ([0, T ] , R

n
) Rõ ràng nó là phép đẳng cấu đẳng cự tới tích Đề các
R
n
× L
1
([0, T ] , R
n
), và do dó nó là không gian Banach.
7
Định nghĩa 1.2.1 ([5], tr89). Tập X ⊂ C ([0, T ] , R
n
) được gọi là liên
tục đồng bậc (equicontinuous) nếu với ε > 0 cho trước ∃δ > 0 sao cho
|x

t

k

− x

t

k

|< ε với mỗi x(.) ∈ X, ∀t

, t


∈ [0, T ] và |t

− t

|< δ
Định lí 1.2.1 (Arzela- Ascoli). ([5],định lý 4.1, tr89) Nếu một tập X ⊂
C ([0, T ] , R
n
) là bị chặn và liên tục đồng bậc thì nó chứa một dãy hội tụ
đều x
i
(.) ∈ X, i = 1, 2 Nghĩa là ∃x (.) ∈ C ([0, T ] , R
n
) sao cho
|x
i
(.) − x (.) |
C
→ 0
khi i → ∞
Nói cách khác định lý này suy ra một tập bị chặn của hàm liên tục
tuyệt đối X sao cho | ˙x (t)| ≤ b, ∀x (.) ∈ X chứa một dãy con hội tụ đều.
Định lí 1.2.2 (Lebesgue). ([5],định lý 4.2, tr89) Giả sử rằng dãy x
i
(.) ∈
L
1
([0, T ] , R
n
) hội tụ tới một hàm x(.) hầu khắp nơi và |x

i
(.)| ≤ φ (t) ; t ∈
[0, T ] , i = 1, 2 với φ (.) ∈ L
1
([0, T ] , R
n
) thì x(.) ∈ L
1
([0, T ] , R
n
) và
dãy x
i
(.) hội tụ tới x(.) trong chuẩn L
1
Định lí 1.2.3 ([5],định lý 4.3, tr89). Giả sử rằng dãy x
i
(.) ∈ L
1
([0, T ] , R
n
)
hội tụ tới một hàm x(.) ∈ L
1
([0, T ] , R
n
) trong chuẩn L
1
thì tồn tại một
dãy con


x
i
p
(.)

∞
p=1
hội tụ tới x(.) hầu khắp nơi trong [0, T ]
Định lí 1.2.4 (Bất đẳng thức Gronwall). ([5],định lý 4.4, tr89) Nếu
α(.) ∈ AC ([0, T ] , R) thỏa mãn
˙α (t) ≤ l (t) α (t) + ρ (t) , t ∈ [0, T ] ,
với l(.) ∈ L
1
([0, T ] , R) , l(t) ≥ 0 và ρ(.) ∈ L
1
([0, T ] , R) thì
|α (t)| ≤ e

t
0
l(s)ds
|α (0)| +

t
0
|ρ (s)| e

t
0

l(τ )dτ−

s
0
l(τ )dτ
ds, t ∈ [0, T ]
8
Định nghĩa 1.2.2 ([5], tr67). Cho A ⊂ R
n
là một tập khác rỗng. Đặt
P (x, A) = cone(x − π(x, A)) =
∪
α>0
α (x − π (x, A)). Nón chuẩn Mor-
dukhovich của A tại x được định nghĩa bởi
N(x, A) = lim sup
x

→x
P (x

, A)
Hiển nhiên N(x, A) là một nón đóng khác rỗng.
Định lí 1.2.5 ([5],định lý 3.3, tr68). Cho ˆx ∈ clA. Thì ta có đẳng thức
sau
N (ˆx, A) = lim sup
x→ˆx
x∈clA
N (x, A)
Định lí 1.2.6 ([5],định lý 3.4, tr69). Cho ˆx ∈ clA. Thì ta có đẳng thức

sau
N (ˆx, A) = lim sup
x→ˆx
x∈clA
N
−
(x, A)
Định lí 1.2.7 ([5],định lý 3.5, tr69). Cho A ⊂ R
n
, B ⊂ R
m
, và cho
x ∈ clA, y ∈ clB. Thì
N((x, y), A × B) = N(x, A) × N(y, B).
Định nghĩa 1.2.3 ([5], tr71). Cho F : R
n
→ R
m
là một ánh xạ đa
trị với các giá trị lồi đóng. Cho (x, v) ∈ grF . Ánh xạ đa trị liên hợp
F
∗
: R
m
→ R
n
tại điểm (x, v) được định nghĩa bởi
F
∗
(x, v)(v

∗
) = {x
∗
∈ R
n
|(x
∗
, −v) ∈ N((x, v), grF )}
Định lí 1.2.8 ([5],định lý 3.8, tr72). Giả sử rằng một ánh xạ đa trị
F : R
n
→ R
m
là Lipschitzian. cho (x, v) ∈ grF , và cho F
∗
(x, v)(v
∗
) = ∅.
Thì
S(−v
∗
, F (x)) = −v, v
∗
.
9
1.3. Giải tích đa trị
Mục này trình bày các khái niệm và các kết quả liên quan đến ánh
xạ đa trị, xấp xỉ Lipschitzian và quá trình lồi
Định nghĩa 1.3.1 ([4],[5]). Cho X và Y là hai không gian định chuẩn.
Một ánh xạ đa trị từ X vào Y là một ánh xạ liên kết mỗi x ∈ X một

tập F (x) ⊂ Y . Một ánh xạ đa trị được đặc trưng một cách đầy đủ bằng
đồ thị của nó
Định nghĩa 1.3.2 ([4],[5]). Đồ thị của ánh xạ đa trị F được kí hiệu là
grF và được định nghĩa bởi
{(x, y) ∈ X × Y |y ∈ F (x)}
Định nghĩa 1.3.3 ([4],[5]). Tập
domF = {x ∈ X|F (x) = ∅}
gọi là miền xác định ( domain) của F.
Ảnh (image) của F được định nghĩa bởi imF = {y|∃x ∈ Y : y ∈ F (x)}
Ánh xạ ngược F
−1
: Y → X được định nghĩa bởi
F
−1
(y) = {x ∈ X|(x, y) ∈ grF }
Bởi F |
A
ta có hạn chế của F tới một tập A ⊂ X
Ví dụ 1.3.1 ([5]). Cho f : X → Y là một ánh xạ đơn trị. Thì ánh xạ
ngược của nó f
−1
: Y → X thường là ánh xạ đa trị.
Cho V : X → R ∪ {+∞} là một hàm. Định nghĩa ánh xạ đa trị
V
+
(x) =



V (x) + R

+
, khi V (x) < +∞
∅, khi V (x) = +∞
10
Rõ ràng, miền xác định của V
+
trùng với tập các điểm x sao cho V (x) <
∞ và grV
+
là epigraph của V .
Ánh xạ sau được mở rộng sử dụng trong lý thuyết điều khiển. Cho
f : X × U → Y là một ánh xạ đơn trị, với U là một tập các tham số.
Thì chúng ta có thể định nghĩa ánh xạ đa trị
F (x) = f(x, U) =

x∈U
f (x, u)
Định nghĩa 1.3.4 ([4],[5]). Một ánh xạ đa trị được gọi là nửa liên tục
trên tại x
0
∈ X nếu với bất kỳ tập mở M chứa F (x
0
) tồn tại một lân
cận Ω của x
0
sao cho F (Ω) ⊂ M. Một ánh xạ đa trị dược gọi là nửa liên
tục trên nếu nó như vậy tại mọi điểm x
0
∈ X.
Một ánh xạ đa trị F được gọi là nửa liên tục dưới tại x

0
∈ X nếu với
bất kỳ y
0
∈ F (x
0
) và với mọi lân cận Ω(y
0
) của y
0
tồn tại một lân cận
Ω(x
0
) của x
0
sao cho
F (x) ∩ Ω(y
0
) = ∅
với mọi x ∈ Ω(x
0
). Một ánh xạ đa trị được gọi là nửa liên tục dưới nếu
nó như vậy tại mọi điểm x
0
∈ X.
Một ánh xạ đa trị được gọi là liên tục tại x
0
∈ X nếu nó vừa liên tục
trên vừa liên tục dưới tại tại x
0

Nó được gọi là liên tục nếu nó liên tục
tại mọi điểm x ∈ X.
Cho F : X → Y là ánh xạ đa trị. Các chuẩn trong X và Y được kí
hiệu bởi |. |
X
và |. |
Y
.
Định nghĩa 1.3.5 (Lipschitzian). ([5]) Ta nói rằng F là Lipschitzian
11
nếu tồn tại l ≥ 0sao cho
F (x
1
) ⊂ F (x
2
) + l|x
1
− x
2
|
X
B
Y
,
với mọi x
1
∈ X và x
1
∈ X, với B
Y

= {y ∈ Y ||y |≤ 1}. Một ánh xạ đa trị
được gọi là Lipschitzian địa phương nếu với bất kỳ x ∈ X tồn tại ε > 0
và l > 0 sao cho
F (x
1
) ⊂ F (x
2
) + l|x
1
− x
2
|
X
B
Y
,
Với mọi x
1
, x
2
∈ x + εB
X
Mệnh đề 1.3.1 ([4],[5]). Cho F : X → Y là một ánh xạ nửa liên tục
trên với các giá trị đóng. Thì grF là đóng.
Mệnh đề 1.3.2 ([4],[5]). Giả sử rằng grF là đóng và tập
M = cl{F (x)||x − x
0
|< δ},
với δ > 0 là compact. Thì F là nửa liên tục trên tại x
0

.
Mệnh đề 1.3.3 ([4],[5]). Cho A, B ⊂ R
n
và cho α > 0. Giả sử rằng
B ⊂ A + αB
n
. Thì
d(x, A) ≤ d(x, B) + α
Định lí 1.3.1 (Lusin). ([5], định lý 2.1, trang 36) Cho A ⊂ R
n
là một
tập compact. Một hàm f : A → R
n
là đo được nếu và chỉ nếu ∀εε > 0
tồn tại một tập con compact A
ε
⊂ A sao cho meas (A
ε
\A
2ε
) ≤ ε và hạn
chế của f tới A
ε
là liên tục.
Nếu ánh xạ đa trị F : R
n
→ R
m
có giá trị lồi đóng, thì phép chiếu
π(y, F (x)) bao gồm một điểm duy nhất. Định lý sau thiết lập tính chất

của sự chọn xạ ảnh
12
Định lí 1.3.2 ([5], định lý 2.2, trang 36). Cho F : R
n
→ R
m
là một ánh
xạ đa trị liên tục với các giá trị lồi đóng. Nếu hàm g : R
n
→ R
m
là liên
tục (đo được), thì hàm f(x) = π(g(x), F (x)) là liên tục ( đo được).
Tiếp theo là định lý về sự tồn tại của một sự chọn đo được. Phát biểu
này là một dạng của định lý hàm ẩn.
Định lí 1.3.3 (Filippov). ([5], định lý 2.3, trang 36) Cho f : R
n
×R
k
→
R
m
là một hàm liên tục, và cho v : R
n
→ R
m
là một hàm đo được. Giả sử
rằng U ⊂ R
k
là một tập compact sao cho v(x) ∈ f(x, U) với hầu như mọi

x. Thì tồn tại một hàm đo được u : R
n
→ U thỏa mãn v(x) = f(x, u(x)).
Bổ đề 1.3.1 ([5], bổ đề 2.2, trang 35). Cho F : R
n
→ R
m
là một ánh
xạ đa trị liên tục với domF = R
n
. Thì hàm ρ(x, y) = d(y, F (x)) là liên
tục.
Bổ đề 1.3.2 ([5], bổ đề 2.4, trang 39). Cho một ánh xạ đa trị F : X → Y
là Lipschitzian với hằng số l > 0. Thì
d((x, y), grF ) ≤ d(y, F (x)) ≤ (1 + l)d((x, y), grF ) (1.2)
Định lí 1.3.4 ([5], định lý 2.4, trang 39). Cho U ⊂ R
k
là một tập
compact, và cho f : R
n
× U → R
m
là một hàm khả vi hai lần liên tục
trong x. Giả sử rằng tập f(x, U) là lồi với mọi x ∈ R
n
, các đạo hàm
liên tục trong (x, u) và ˆu là một véc tơ duy nhất trong U thỏa mãn
ˆv = f(ˆx, ˆu). Thì
T
+

((ˆx, ˆu), grf(., U)) = T
−
((ˆx, ˆu), grf(., U)) = {(x, v)|v ∈ Cx + K}.
13
Định nghĩa 1.3.6 (đạo hàm của ánh xạ đa trị). ([4], [5]) Nếu f : R → R
là một hàm trơn, thì đồ thị của đạo hàm theo hướng của nó x → f
,
(ˆx)x
tại một điểm ˆx là một tiếp tuyến của đồ thị của f tại điểm (ˆx, f(ˆx)).
Sau sự giải thích này của đạo hàm có hướng, chúng ta có thể định nghĩa
đạo hàm của một ánh xạ tập giá trị cho trước như các ánh xạ tập giá trị
mà các đồ thị của chúng là các mặt nón xấp xỉ địa phương đồ thị của
ánh xạ đó.
Cho X , Y là các không gian định chuẩn. Xét một ánh xạ đa trị F :
X → Y . Cho (ˆx, ˆy) ∈ grF . Ánh xạ đa trị D
+
F (ˆx, ˆy) : X → Y được định
nghĩa bởi
grD
+
F (ˆx, ˆy) = T
+
((ˆx, ˆy), grF )
được gọi là đạo hàm của F tại điểm (ˆx, ˆy). Nói cách khác
y ∈ D
+
F (ˆx, ˆy)(x) ⇔ (x, y) ∈ T
+
((ˆx, ˆy), grF )
Ánh xạ đa trị D

−
F (ˆx, ˆy) : X → Y được định nghĩa bởi
grD
−
F (ˆx, ˆy) = T
−
((ˆx, ˆy), grF )
được gọi là đạo hàm contingent của F tại điểm (ˆx, ˆy). Nói cách khác
y ∈ D
−
F (ˆx, ˆy)(x) nếu và chỉ nếu (x, y) ∈ T
−
((ˆx, ˆy), grF ).
Mệnh đề 1.3.4 ([5], mệnh đề 2.10, trang 41). Giả sử rằng một ánh
xạ đa trị F : X → Y thỏa mãn điều kiện Lipschitzian với một hằng số
l > 0. Thì
D
+
F (ˆx, ˆy) (x) =

y




lim
i↓0
λ
−1
d (ˆy + λy, F (ˆx + λx)) = 0


D
−
F (ˆx, ˆy) (x) =

y




lim
i↓0
infλ
−1
d (ˆy + λy, F (ˆx + λx)) = 0

14
Cho U ⊂ R
k
, và cho f : R
n
× U → R
m
là một hàm. Giả sử rằng f là
khả vi trong x và tập f(x, U) là lồi với mọi x ∈ R
n
. Cho (ˆx, ˆu) ∈ R
n
× U
kí hiệu ˆv = f(ˆx, ˆu) và tập

ˆv = ∇
x
f(ˆx, ˆu), K = cone(f(ˆx, U) − ˆv)
Kết quả sau chứa một ước lượng của nón tiếp tuyến tới đồ thị của ánh
xạ đa trị x → f(x, U).
Mệnh đề 1.3.5 ([5], mệnh đề 2.8, trang 39). Bao hàm thức vi phân sau
luôn đúng
{(x, v) ∈ R
n
× R
m
|v ∈ Cx + K} ⊂ T
+
((ˆx, ˆv), grf(., U)).
Định lí 1.3.5 ([5], định lý 2.5, trang 43). Cho F : R
n
→ R
n
là một ánh
xạ đa trị nửa liên tục trên với giá trị lồi đóng. Giả sử rằng tồn tại b > 0
sao cho F(x) ⊂ bB
n
, ∀x ∈ R
n
. Thì tồn tại một dãy các ánh xạ đa trị
Lipschitzian địa phương F
k
: R
n
→ R

n
, k = 0, 1, thỏa mãn các điều
kiện sau:
1.F (x) ⊂ F
k+1
(x) ⊂ F
k
(x) ⊂ ⊂ F
0
(x) ⊂ bB
n
, ∀x ∈ R
n
.
2. Cho trước  > 0 và x ∈ R
n
, tồn tại một số nguyên dương k(, x)
sao cho F
k
(x) ⊂ F (x) + B
n
bất cứ khi nào k > k(, x)
Định nghĩa 1.3.7 ([4], [5]). Một ánh xạ đa trị A : R
n
→ R
m
được gọi
là một quá trình lồi nếu đồ thị của nó grA là một nón lồi.
Một quá trình lồi A : R
n

→ R
m
gọi là đóng nếu đồ thị của nó đóng.
Gọi là chặt nếu domA = R
n
15