Biến đổi Laplace và một số ứng dụng

LỜI CẢM ƠN
Nhân dịp luận văn được hoàn thành tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào đã tận tình hướng dẫn tác giả trong
quá trình thực hiện luận văn này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng sau đại học,
các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà
Nội 2, đã động viên giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả có điều
kiện tốt nhất trong suốt quá trình học tập, thực hiện đề tài và nghiên
cứu khoa học.
Tác giả xin trân thành cảm ơn UBND tỉnh Vĩnh Phúc, Sở GD - ĐT
tỉnh Vĩnh Phúc, BGH trường THPT Bình Sơn huyện Sông Lô tỉnh Vĩnh
Phúc đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và hoàn thành luận
văn.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên luận văn không tránh khỏi những
hạn chế và thiếu sót nhất định.Tác giả xin chân thành cảm ơn những ý
kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên để luận
văn được hoàn thành như hiện nay.
Hà Nội, ngày 25 tháng 05 năm 2012
Tác giả
Hà Văn Thận
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào,
luận văn tốt nghiệp “Biến đổi Laplace và một số ứng dụng” được
hoàn thành bởi sự nhận thức của chính bản thân tác giả và không trùng
với bất kỳ luận văn nào khác.
Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, ngày 25 tháng 05 năm 2012
Tác giả
Hà Văn Thận
Mục lục

MỞ ĐẦU 1
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5
1.1 Số phức và mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Biểu diễn hình học của số phức, mặt phẳng phức 6
1.2 Hàm biến phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Một số định lý về hàm chỉnh hình . . . . . . . . . 9
1.4 Tích phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 Các tính chất cơ bản của tích phân phức . . . . . 12
1.5 Các công thức tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1 Công thức tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . 14
1.5.2 Tích phân loại Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Chuỗi Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6.1 Mối liên hệ giữa hệ số và tổng của chuỗi lũy thừa 20
1.6.2 Định lý Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Chuỗi Laurentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7.1 Định nghĩa và miền hội tụ . . . . . . . . . . . . . 22
1.7.2 Định lý Laurentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
ii
MỤC LỤC MỤC LỤC
1.7.3 Các điểm bất thường cô lập . . . . . . . . . . . . 26
1.8 Thặng dư của hàm và ứng dụng của nó . . . . . . . . . . 26
1.8.1 Định nghĩa và cách tính . . . . . . . . . . . . . . 26
1.8.2 Các định lý cơ bản về thặng dư . . . . . . . . . . 29
2 BIẾN ĐỔI LAPLACE 31
2.1 Biến đổi Laplace và các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.1 Biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.2 Đòi hỏi tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1.3 Lớp L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.4 Các tính chất cơ bản của biến đổi laplace . . . . . 37
2.1.5 Hội tụ đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Biến đổi Laplace ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.1 Một số khái niệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.2 Một số phương pháp tìm hàm gốc . . . . . . . . . 42
2.3 Các định lý biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP LAPLACE 51
3.1 Tính giá trị hàm Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Phương phương trình vi phân với hệ số là hằng số. . . . 53
3.2.1 Phương trình vi phân với điều kiện đầu . . . . . . 54
3.2.2 Nghiệm tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.3 Phương trình vi phân với điều kiện biên . . . . . 59
3.3 Bài toán tìm cường độ dòng điện . . . . . . . . . . . . . 60
3.4 Phương trình vi phân với hệ số đa thức . . . . . . . . . . 62
3.5 Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số . . . . 66
3.6 Tích chập của biến đổi Laplace và ứng dụng . . . . . . . 68
3.6.1 Định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . 68
3.6.2 Ảnh của tích chập qua biến đổi Laplace . . . . . 70
iii
MỤC LỤC MỤC LỤC
KẾT LUẬN 73
TÀI LIỆU THAM KHẢO 74
iv
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Biến đổi Laplace là một biến đổi tích phân và cùng với biến đổi Fourier
là hai biến đổi rất hữu ích và thường được sử dụng trong viêc giải các
bài toán trong lĩnh vực vật lý. Qua biến đổi Laplace, các phép toán giải
tích phức tạp như đạo hàm, tích phân được đơn giản hóa thành các

phép tính đại số (giống như cách mà hàm logarit chuyển một phép toán
nhân các số thành phép cộng các logarit của chúng). Vì vậy nó đặc biệt
hữu ích trong việc giải các phương trình vi phân thường, phương trình
vi phân đạo hàm riêng, phương trình tích phân, đó là những phương
trình thường xuất hiện trong các bài toán vật lý, trong phân tích mạch
điện, xử lý số liệu, dao động điều hòa, các hệ cơ học. Bởi vì qua biến
đổi Laplace các phương trình này có thể chuyển thành các phương trình
đại số đơn giản hơn. Giải ra nghiệm là các hàm ảnh trong không gian
s, chúng ta dùng biến đổi Laplace ngược để có lại hàm gốc trong không
gian thực t.
Về lịch sử của phép biến đổi Laplace đưa ta trở lại các công trình của
Leonard Euler (1763-1769), ông xét chúng chủ yếu dưới dạng của các
phép biến đổi ngược trong lời giải của các phương trình vi phân tuyến
tính thường bậc hai. Cùng thời đó, Laplace đã gửi tới Euler công trình
xuất bản năm 1812 “Théorie analytique des probabilités” giới thiệu về
biến đổi tích phân. Năm 1878, Spitzer là người đã gắn tên của Laplace
cho biểu diễn
y =
b

a
e
sx
φ(s)ds.
Sau đó, biểu diễn này đã được Euler sử dụng trong một số công trình
nghiên cứu của ông,dưới dạng biểu diễn này nó trở thành phương trình
vi phân với y là hàm chưa biết của x. Trong thế kỷ 19, biến đổi Laplace
được mở rộng tới dạng phức bởi Poincare và Pincherle, và được Picard
mở rộng tới trường hợp hàm hai biến. Ta có thể kể thêm nữa là các
nghiên cứu được tiến hành bởi Abel và nhiều nhà toán học khác. Năm

1910, áp dụng trước tiên của biến đổi Laplace được xuất hiện trong các
công trình của Bateman, ông biến đổi các phương trình về sự phân dã
phóng xạ của Rutherford
dp
dt
= −λ
i
P
bằng cách đặt
p(x) =
∞

0
e
−xt
P (t)dt
và thu được một số phương trình biến đổi hạt nhân. Năm 1920, trong
trong các công trình nghiên cứu về hàm theta, Bernstain sử dụng biểu
diễn
f(s) =
∞

0
e
−su
φ(u)du
và gọi nó là biến đổi Laplace. Phương pháp hiện đại được đưa ra từ sự
thúc đẩy của Doetch và những năm 1920-1930, ông đã áp dụng biến đổi
Laplace tới các phương trình vi phân, tích phân.
Không có sự giải thích hoàn hảo về biến đổi Laplace nếu không kể

đến công trình của Oliver Heaviside (chủ yếu trong lĩnh vực kỹ thuật
điện), ông tạo ra một vấn đề rộng lớn với tên gọi "phép tính toán tử" và
đưa ra nhiều vấn đề tương tự phương pháp của Laplace. Các tính toán
của Heaviside chưa thật chặt chẽ, nhưng nó đã mang lại nhiều hữu ích
cho các lĩnh vực về kỹ thuật điện.
Để tiếp cận với lý thuyết biến đổi Laplace và áp dụng những lý thuyết
đó, được sự định hướng của người hướng dẫn tôi đã chọn đề tài
“PHƯƠNG PHÁP LAPLACE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG”
để thực hiện luận văn khóa đào tạo Thạc sỹ Toán học chuyên ngành giải
tích. Luận văn được cấu trúc thành 03 chương.
Trong chương 1 của luận văn, chúng tôi trình bày một số kiến thức
căn bản nhất về lý thuyết hàm biến phức, cần thiết cho mục đích nghiên
cứu về biến đổi Laplace.
Chương 2 của luận văn được giành cho việc trình bày một cách hệ
thống về khái niệm biến đổi Laplace, các tính chât cơ bản và một số
phép toán giải tích cơ bản của phép biến đổi này.
Điểm cốt yếu và cũng chính là mục đích chính của luận văn là minh
họa tầm quan trọng của biến đổi Laplace được trình bày trong chương
3. Ở đây, chúng tôi trình bày một số áp dụng của biến đổi Laplace qua
việc giải quyết các bài toán trong lĩnh vực toán học thuần túy như: Giải
phương trình vi phân với điều kiện đầu; giải phương trình vi phân với
điều kiện biên; phương pháp xác định giá trị hàm Gamma; ứng dụng về
tích chập của biến đổi Laplace, cũng như trong việc giải quyết các bài
toán thuộc lĩnh vực vật lý như: Áp dụng trong việc tính toán cường độ
dòng điện.
2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu về lý thuyết biến đổi Laplace và một số ứng
dụng của nó như: Tính giá trị hàm Gama, giải bài toán phương trình vi
phân tuyến tính với hệ số hằng số.
3. Phương pháp nghiên cứu

Đọc sách, nghiên cứu tài liệu.
Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
4. Dự kiến đóng góp của đề tài.
Trình bày một cách hệ thống về phép biến đổi Laplace. Cùng một số
áp dụng của phép biến đổi này.
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Số phức và mặt phẳng phức
1.1.1 Số phức
Định nghĩa 1.1.1. Số phức là số có dạng z = x + iy; với x, y ∈ R và i
là đơn vị ảo mà i
2
= −1 . Ta gọi x là phần thực và y là phần ảo, ký hiệu
x = Rez, y = Imz
Tập hợp tất cả các số phức được ký hiệu bởi C. Tập hợp các số phức
được đồng nhất với mặt phẳng R
2
bởi phép tương ứng
C → R
2
z = x + iy → (x, y).
Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo.
Phép cộng và phép nhân các số phức được thực hiện một cách thông
thường như các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i
2
= −1.
Ta có
z
1
+ z

2
= (x
1
+ x
2
) + i(y
1
+ y
2
)
5
và
z
1
.z
2
= (x
1
+ iy
1
)(x
2
+ iy
2
)
= x
1
x
2
+ ix

1
y
2
+ iy
1
x
2
+ i
2
y
1
y
2
= (x
1
x
2
− y
1
y
2
) + i(x
1
y
2
+ y
1
x
2
).

Với mỗi số phức z = x + iy , ta xác định modul của số phức z là
|z| =

x
2
+ y
2
Số phức liên hợp của số phức z = x + iy được ký hiệu là ¯z = x − iy.
Không khó khăn, ta có thể kiểm tra được
Rez =
z + ¯z
2
; Imz =
z − ¯z
2i
và
|z|
2
= z.¯z;
1
z
=
¯z
|z|
2
với z = 0
Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z = r.e
iθ
với r > 0,
θ ∈ R được gọi là argument của số phức z (argument của số phức z

được xác định một cách duy nhất với sự sai khác một bội của 2π ) và
e
iθ
= cosθ + i sin θ. Bởi vì


e
iθ


= 1, nên r = |z| và θ là góc hợp bởi
chiều dương của trục Ox và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ
đi qua điểm z . Cuối cùng, ta lưu ý rằng nếu z = r.e
iθ
và w = s.e
iϕ
thì
z.w = r.s.e
i(θ+ϕ)
.
1.1.2 Biểu diễn hình học của số phức, mặt phẳng phức
Giả sử trên mặt phẳng R
2
cho hệ tọa độ Descartes vuông góc xOy.
Như đã biết, hai điểm được xác định bởi các tọa độ Descartes vuông
góc trùng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ trùng nhau và tung
độ trùng nhau. Do đó ta có thể xác lập một phép tương ứng đơn trị
6
một-một giữa các điểm của mặt phẳng R
2

với các số phức của C; trong
đó mỗi số phức z = x + iy ∈ C sẽ tương ứng với một điểm xác định
M(x, y) ∈ R
2
và ngược lại mỗi điểm M(x, y) ∈ R
2
sẽ tương ứng với số
phức xác định z = x + iy ∈ C.
1.2 Hàm biến phức
Định nghĩa 1.2.1. Cho A là tập con trong mặt phẳng phức C. Một
hàm biến phức là ánh xạ
f : A → C
z → f(z).
Nếu f là một đơn ánh thì nó còn được gọi là hàm đơn diệp hay 1 lá.
Có thể xảy ra f không đơn diệp trên A, nhưng có thể chia A thành các
miền con A
1
, A
2
, để trên mỗi miền đó f đơn diệp. Khi đó, mỗi miền
A
j
gọi là một miền đơn diệp của f. Với mọi B ⊂ A ta ký hiệu
f(B) = {f(z) : z ∈ B}
f(A) đôi lúc được gọi là miền giá trị của hàm f. Với mọi z = x + iy ∈ A,
vì w = f(z) là số phức nên có thể viết hàm dưới dạng
w = f(z) = u(z) + iv(z) = u(x, y) + iv(x, y).
Hàm u(x, y) là phần thực và v(x, y) là phần ảo của hàm f, ký hiệu tương
ứng bởi
u(x, y) = Ref(z); v(x, y) = Imf(z).

7
1.3 Hàm chỉnh hình
1.3.1 Các khái niệm
Định nghĩa 1.3.1. Cho hàm f(z) xác định trên miền D. Cho z một số
gia ∆z sao cho z + ∆z ∈ D. Nếu tồn tại giới hạn
lim
∆z→0
f(z + ∆z) −f(z)
∆z
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm phức của hàm f(z) tại điểm z và
ký hiệu là f

(z) hoặc
df(z)
dz
. Như vậy
f

(z) = lim
∆z→0
f(z + ∆z) −f(z)
∆z
.
Hàm f(z) có đạo hàm phức tại điểm z cũng được gọi là khả vi phức hay
C - khả vi tại z.
Ví dụ 1.3.1. Hiển nhiên z

= 1 và theo quy nạp (z
n
)


= nz
n−1
. Từ đó,
nếu
f(z) = a
0
z
n
+ a
1
z
n−1
+ + a
n−1
z + a
n
thì
f

(z) = na
0
z
n−1
+ (n −1)a
1
z
n−2
+ + a
n−1

.
Ví dụ 1.3.2. Hàm f(z) =
1
z
là chỉnh hình trên tập mở bất kỳ trong C
không chứa điểm gốc và f

(z) = −
1
z
2
. Thật vậy, ta có
f

(z) = lim
h→∞
f(z + h) −f(z)
h
= lim
h→∞
1
z+h
−
1
z
h
= lim
h→∞

−

1
z(z + h)

= −
1
z
2
.
Ví dụ 1.3.3. Hàm f(z) = ¯z là không chỉnh hình. Thật vậy, ta thấy
f(z + h) −f(z)
h
=

z + h

− ¯z
h
=
¯z +
¯
h − ¯z
h
=
¯
h
h
không có giới hạn khi h → 0.
8
Định nghĩa 1.3.2. Hàm f(z) được gọi là chỉnh hình tại z
0

∈ D nếu tồn
tại số r > 0 sao cho f(z) là C - khả vi tại mọi z ∈ S(z
0
, r). Hàm f(z)
chỉnh hình tại mọi z ∈ D được gọi là chỉnh hình trên D.
1.3.2 Một số định lý về hàm chỉnh hình
Định lí 1.3.1. Giả sử chuỗi
∞

n=0
c
n
z
n
có bán kính hội tụ là R > 0. Khi
đó tổng f(z) của chuỗi là một hàm chỉnh hình trên D và
f

(z) =
∞

n=1
nc
n
z
n
.
Chứng minh. Trước hết ta chứng tỏ chuỗi
∞


n=1
nc
n
z
n−1
= S(z) cũng có
bán kính hội tụ là R. Thật vậy, chuỗi
∞

n=1
nc
n
z
n−1
hội tụ nếu và chỉ nếu
chuỗi
z.
∞

n=1
nc
n
z
n−1
=
∞

n=1
nc
n

z
n
hội tụ. Do đó bán kính hội tụ của chuỗi là
1
lim
n→∞
n

|nc
n
|
=
1
lim
n→∞
n
√
n lim
n→∞
n

|c
n
|
=
1
lim
n→∞
n


|c
n
|
= R.
Lấy z
o
tùy ý mà z
0
< R. Đặt
δ(z
0
, ∆z) =
f(z
0
+ ∆z) −f(z
0
)
∆z
− S(z
0
)
Để hoàn thành chứng minh, ta chứng minh rằng lim
∆z→0
δ(z
0
, ∆z) = 0.
Chọn r sao cho |z
0
| < r < R. Xét ∆z đủ bé sao cho |z
0

+ ∆z| < r. Ta
9
thấy
δ(z
0
, ∆z) =
∞

n=0

c
n
(z
0
, ∆z)
n
− c
n
z
n
0
∆z
− nc
n
z
n−1
0

=
∞


n=0

(z
0
+ ∆z)
n−1
+ (z
0
+ ∆z)
n−2
z
0
+ + z
n−1
0
− nz
n−1
0

.c
n
=
∞

n=0
δ
n
(z
0

, ∆z).
Chú ý rằng
|δ
n
(z
0
, ∆z)| ≤ |c
n
|

|z
0
+ ∆z|
n−1
+ |z
0
+ ∆z|
n−2
|z
0
| + + |z
0
|
n−1
+


nz
n−1
0




< 2nc
n
r
n−1
.
Bởi vì chuỗi số
∞

n=0
2nc
n
r
n−1
hội tụ nên với mọi ε > 0 tồn tại N = N(ε)
sao cho
∞

n=N
2nc
n
r
n−1
<
ε
2
.
Mặt khác, ta có

lim
∆z→0
N−1

n=1
δ
n
(z
0
, ∆z) =
N−1

n=1
lim
∆z→0

c
n
(z
0
+ ∆z) −c
n
z
n
0
∆z
− nc
n
z
n−1

0

= 0
nên với ∆z đủ bé, ta có
N−1

n=0
δ
n
(z
0
, ∆z) <
ε
2
.
Từ đó với ε > 0 đủ bé, ta có
|δ (z
0
, ∆z)| ≤





N−1

n=0
δ
n
(z

0
, ∆z)





+





∞

n=N
δ
n
(z
0
, ∆z)





<
ε
2
+

ε
2
= ε.

Nhận xét 1.3.1.1. Vì bằng phép biến đổi t = z − z
0
, z
0
= 0 chuỗi

n≥0
a
n
(z −z
0
)
n
được quy về chuỗi

n≥0
a
n
t
n
nên ta có định lý sau
10
Định lí 1.3.2. Tổng f(z) của chuỗi lũy thừa

n≥0
a

n
(z −z
0
)
n
là hàm chỉnh hình trong hình tròn hội tụ |z − z
0
| < R của chuỗi đó và
đạo hàm f

(z) được tìm theo công thức
f

(z) =

n≥1
na
n
(z −z
0
)
n−1
.
1.4 Tích phân phức
Định nghĩa 1.4.1. Cho hàm f(z) xác định trên đường cong trơn từng
khúc γ. Chia γ thành n– phần nhỏ bởi các điểm chia η
0
, η
1
, , η

n
(η
0
là
điểm đầu và η
n
là điểm cuối của đường cong). Chọn tùy ý điểm η
∗
v
thuộc
cung η
v
η
v+1
và lập tổng
S
n
=
n−1

v=o
f (η
∗
v
) (η
v+1
− η
v
) (1.1)
Nếu khi n → ∞ mà max

v
|η
v+1
− η
v
| → 0 tồn tại giới hạn của tổng (1.1)
không phụ thuộc vào cách chia cung cung γ thành các cung nhỏ và cách
chọn các điểm η
∗
v
, thì giới hạn đó được gọi là tích phân của hàm f(z)
trên cung γ và ký hiệu là

γ
f(z)dz = lim
max
v
|η
v+1
−η
v
|→0
n−1

v=0
f (η
∗
v
) (η
v+1

− η
v
) (1.2)
Nếu đặt f(z) = u(x, y) + iv(x, y) và η
v+1
− η
v
= ∆x
v
+ i∆y
v
thì tổng
(1.1) có thể viết
11
S
n
=
n−1

v=0
[u (η
∗
v
) + iv (η
∗
v
)] (∆x
v
+ i∆y
v

)
=
n−1

v=0
[u (η
∗
v
) ∆x
v
− v (η
∗
v
) ∆y
v
]
+ i
n−1

v=0
[u (η
∗
v
) ∆y
v
+ v (η
∗
v
) ∆x
v

] (1.3)
trong đó η
∗
v
= (x
∗
v
, y
∗
v
). Phần thực và phần ảo của (1.3) là tổng của hai
tích phân đường loại hai. Như vậy, tích phân (1.2) tồn tại nếu tồn tại
hai tích phân đường

γ
udx −vdy
và

γ
udy + vdx.
Như vậy nếu f liên tục trên γ thì tích phân (1.2) tồn tại và

γ
f(z)dz =

γ
udx −vdy + i

γ
udy + vdx. (1.4)

1.4.1 Các tính chất cơ bản của tích phân phức
1. Nếu γ
+
và γ
−
là đường cong γ lấy theo hai chiều ngược nhau thì

γ
−
f(z)dz = −

γ
+
f(z)dz.
2. Giả sử f(z) và g(z) là các hàm khả tích trên γ. Khi đó, hàm
c
1
f(z) + c
2
g(z); c
1
, c
2
∈ C.
cũng khả tích trên γ, và

γ
(c
1
f(z) + c

2
f(z)) dz = c
1

γ
f(z)dz + c
2

γ
g(z)dz.
12
3. Giả sử γ = γ
1
∪ γ
2
. Khi đó, ta có

γ
f(z)dz =

γ
1
f(z)dz +

γ
2
f(z)dz.
4. Nếu l là độ dài cung γ, thì








γ
f(z)dz






≤

γ
|f(z)|dz ≤ l. max f(z).
5. Nếu z = ϕ(η) là hàm giải tích ánh xạ 1-1 đường cong Γ lên đường
cong γ = ϕ(Γ), thì

γ
f(z)dz =

Γ
f (ϕ(η)) · ϕ

(η)dη.
Đặc biệt, nếu z = z(t); t ∈ [a, b] là phương trình của đường cong γ thì

γ

f(z)dz =
b

a
f (z(t)) ·z

(t)dt.
Nếu tồn tại một hàm chỉnh hình g trong miền D chứa γ sao cho
g

(z) = f(z) với mọi z ∈ γ, thì g được gọi là một nguyên hàm của hàm
f. Giả sử z = z(t); t ∈ [a, b] là phương trình của γ thì ta có

γ
f(z)dz =

γ
g

(z)dz =
b

a
g

(z(t)) ·z

(t)dt
=
b


a
d [g (z(t))] = g (z(b)) −g (z(a)) .
Vậy
b

a
f(z)dz = g(B) −g(A); B = z(b); A = z(a). (1.5)
13
Từ công thức (1.5) ta thấy g là hàm đơn trị và γ là đường cong đóng thì
b

a
f(z)dz = g(B) −g(A) = 0.
1.5 Các công thức tích phân Cauchy
1.5.1 Công thức tích phân Cauchy
Định lí 1.5.1. Giả sử z
0
là một điểm tùy ý thuộc miền đơn liên D và
f ∈ H(D). Khi đó, với mọi chu tuyến đóng γ ⊂ D sao cho z
0
∈ D
γ
⊂ D
ta có công thức Cauchy
f(z
0
) =
1
2πi


γ
+
f(η)
η − z
0
dη. (1.6)
Nếu thêm giả thiết rằng, hàm f liên tục trên D với ∂D là một chu tuyến
đóng, thì với mọi z ∈ D ta có
f(z) =
1
2πi

∂D
f(η)
η − z
dη. (1.7)
Chứng minh. Giả sử γ là chu tuyến tùy ý vây quanh z
0
sao cho D
γ
⊂ D.
Chọn ρ > 0 đủ bé sao cho S (z
0
, ρ) ⊂ D
γ
. Ký hiệu C
ρ
là biên của hình
tròn S (z

0
, ρ) và D
γ,ρ
= D
γ
\S (z
0
, ρ) là một miền 2-liên. Vì
f(z)
η − z
0
chỉnh
hình với mọi z ∈ D
γ,ρ
nên ta có

γ
+
+C
−
ρ
f(η)
η − z
0
dη = 0.
Từ đó ta được

γ
+
f(η)

η − z
0
dη =

C
+
ρ
f(η)
η − z
0
dη. (1.8)
14
Thực hiện phép đổi biến η −z
0
= ρe
iϕ
, dη = iρe
iϕ
dϕ thì vế phải của (1.8)
trở thành

C
+
ρ
f(η)
η − z
0
dη =
2π


0
f(z
0
+ ρe
iϕ
)
ρe
iϕ
iρe
iϕ
dϕ
= i
2π

0
f(z
0
+ ρe
iϕ
)dϕ
= i
2π

0

f(z
0
− ρe
iϕ
) −f(z

0
)

dϕ −2πif(z
0
).
Bởi vì f liên tục nên khi ρ → 0 thì
lim
ρ→0

C
+
ρ
f(η)
η − z
0
dη = 2πif(z
0
).
Kết hợp đẳng thức trên với (1.8) ta được
f(z
0
) =
1
2πi

γ
+
f(η)
η − z

0
dη.
Trường hợp f liên tục trên D thì có thể thay ∂D cho γ trong chứng
minh trên. 
1.5.2 Tích phân loại Cauchy
Giả sử Γ là một đường cong Jordan trơn từng khúc, f(η) là một hàm
liên tục trên Γ. Với mọi z ∈ C\Γ thì
ϕ(η) =
f(η)
η − z
là một hàm liên tục trên C\Γ. Do đó, nếu đặt
F (z) =
1
2πi

r
f(η)
η − z
dη (1.9)
15
thì F là một hàm hoàn toàn xác định trên C\Γ. Tích phân F(z) gọi là
tích phân loại Cauchy.
Định lí 1.5.2. Giả sử f(η) là một hàm liên tục trên đường cong Jodan
trơn từng khúc. Khi đó, tích phân (1.9) là một hàm chỉnh hình trong
miền D không chứa các điểm của Γ. Hơn nữa hàm F (z) có đạo hàm mọi
cấp và
F
(n)
(z) =
n!

2πi

Γ
f(η)
(η − z)
n+1
dη; n = 0, 1, 2, (1.10)
Chứng minh. Đặt
ϕ
k
(η, z) =
(k − 1)!f(η)
2πi(η −z)
k
ta có
∂ϕ
k
(η, z)
∂z
=
k!f(η)
2πi(η −z)
= ϕ
k+1
(η, z)
và công thức (1.10) trở thành
F
(n)
(z) =


Γ
ϕ
n+1
(η, z)dη; n = 0, 1, 2 (1.11)
Ta sẽ chứng minh công thức (1.11) bằng quy nạp theo n. Khi k = 0 kết
quả là hiển nhiên vì theo công thức (1.9)
F

(z) = f(z), F
(0)
(z) = F (z) =

Γ
ϕ
1
(η, z)dη.
Giả sử (1.11) đúng với k = n −1, tức là
F
(n−1)
(z)
=

Γ
ϕ
(η)
(η, z)dη. (1.12)
Ta sẽ chứng minh rằng
F
(n)
(z)

=

Γ
ϕ
n+1
(η, z)dη.
16
Đặt η = µ + iυ, z = x + iy ta có
ϕ
n
(η, z) = u(µ, υ, x, y) + iυ(µ, υ, x, y)
và
F
(n−1)
(z) = u(x, y) + iv(x, y).
Khi đó đẳng thức (1.12) cho ta
u(x, y) =

Γ
udµ −υdυ; v(x, y) =

Γ
υdµ + udυ. (1.13)
Do đó
∂u
∂x
=

Γ
∂u

∂x
dµ −
∂υ
∂x
dυ;
∂v
∂y
=

Γ
∂u
∂y
dµ −
∂υ
∂y
dυ
và
∂v
∂x
=

Γ
∂υ
∂x
dµ +
∂u
∂x
dυ;
∂v
∂y

=

Γ
∂υ
∂y
dµ +
∂u
∂y
dυ.
Hàm ϕ
η
khả vi theo biến z nên các hàm u và v thoả mãn điều kiện
Cauchy-Riemann theo x và y. Do đó hai tích phân sau có thể viết thành
∂v
∂x
=

Γ
−
∂u
∂y
dµ +
∂υ
∂y
dυ = −
∂u
∂y
và
∂v
∂y

=

Γ
∂u
∂x
dµ −
∂υ
∂x
dυ =
∂u
∂x
.
Điều đó có nghĩa là u(x, y) và v(x, y) thoả mãn điều kiện Cauchy-
Riemamn trong miền D, tức là hàm F
(n−1)
khả vi. Ta còn phải chứng
tỏ
F
(n)
(z) =

F
(n−1)
(z)


=

Γ
ϕ

n+1
(η, z)dη.
17
Thật vậy, ta có
F
(n)
(z) =
∂U
∂x
+ i
∂V
∂x
=

Γ
(
∂u
∂x
dµ −
∂υ
∂x
dυ) + i(
∂υ
∂x
dµ +
∂u
∂x
dυ)
=


Γ
(
∂u
∂x
+ i
∂υ
∂x
)dµ + (−
∂υ
∂x
+ i
∂u
∂x
)dυ
=

Γ
(
∂u
∂x
+ i
∂υ
∂x
)dµ −i
2
(−
∂υ
∂x
+ i
∂u

∂x
)dυ
=

Γ
(
∂u
∂x
+ i
∂υ
∂x
)dµ −i(−i
∂υ
∂x
+ i
2
∂u
∂x
)dυ
=

Γ
(
∂u
∂x
+ i
∂υ
∂x
)(∂u + idυ)
=


Γ
∂ϕ
n
(η, z)
∂z
dη =

Γ
ϕ
n+1
(η, z)dz.

Định lý sau đây là hệ quả trực tiếp của định lý 1.5.2.
Định lí 1.5.3. Giả sử hàm f chỉnh hình trong miền D. Khi đó hàm f
có đạo hàm mọi cấp và các đạo hàm của nó là những hàm chỉnh hình
trên miền D. Các đạo hàm của hàm f được biểu diễn bằng công thứ
f
(n)
(x) =
n!
2πi

γ
f(η)
(η − z)
n+1
dη; n = 1, 2, , (1.14)
trong đó γ là một chu tuyến tuỳ ý vây quanh điểm z sao cho D
γ

⊂ D.
Định lí 1.5.4 (Morera). Giả sử f là một hàm liên tục trong một miền
đơn liên D và tích phân của nó theo mọi chu tuyến đóng nằm trong D
bằng 0. Khi đó, f là một hàm chỉnh hình trong miền D.
18
Chứng minh. Theo định lý 1.5.3
F (z) =
z

z
0
f(η)dη; z
0
, z ∈ D
là một hàm chỉnh hình trong D và F

(z) = f(z)
Theo định lý 1.5.3, F

(z) = f(z) là một hàm chỉnh hình trong D. 
Định lí 1.5.5 (Bất đẳng thức Cauchy). Giả sử f là hàm chỉnh hình
trên miền D . Điểm a ∈ D, 0 < r < d(a, ∂D) và
M(a, r) = max {f(z) : z ∈ ∂S(a, r )}
Khi đó, ta có bất đẳng thức


f
(n)
(a)



n!
r
n
≤ M(a, r) (1.15)
Chứng minh. Theo công thức (1.14) với γ = ∂S(a, r) ta có



f
(n)
(a)



=






n!
2πi

γ
f (η)
(η − a)
n+1
dη







≤
n!
2π
.
M(a, r)
r
n+1
|γ| =
n!M(a, r)
r
n

Định lí 1.5.6 (Liouville). Nếu f là một hàm chỉnh hình trên toàn mặt
phẳng (z) và |f(z)| ≤ M với mọi z, thì f(z) = const.
Chứng minh. Giả sử z là một hàm tuỳ ý. Theo bất đẳng thức Cauchy
ta có
|f

(z)| ≤
M
R
ở đây R là số dương lớn tuỳ ý. Cho R → +∞ ta suy ra
f


(z) = 0 ↔ f (z) = const.

19
1.6 Chuỗi Taylor
1.6.1 Mối liên hệ giữa hệ số và tổng của chuỗi lũy thừa
Xét chuỗi lũy thừa
c
0
+ c
1
(z −z
0
) + c
2
(z −z
0
)
2
+ =
∞

n=0
c
n
(z −z
0
)
n
(1.16)
hội tụ trong hình tròn |z − z

0
| < R về hàm f(z). Khi đó, các đạo hàm
của f(z) được tính bởi công thức
f
(k)
(z) = n(n −1) (n −k + 1)c
n
(z −z
0
)
n−k
; k = 0, 1, 2, (1.17)
Thay z = z
0
vào đẳng thức (1.17) ta nhận được
f(z
0
) = c
0
, f

(z
0
) = c
1
, , f
(n)
(z
0
) = n!c

n
, (1.18)
Như vậy các hệ số của chuỗi (1.16) được tính theo công thức
c
n
=
f
(n)
(z
0
)
n!
; n = 0, 1, 2, (1.19)
Bây giờ, ta giả sử hàm f khả vi vô hạn lần tại điểm z
0
, ta gọi chuỗi
S(z) =
∞

n=0
f
(n)
(z
0
)
n!
(z −z
0
)
n

(1.20)
là chuỗi Taylor của hàm f(z) theo lũy thừa của z − z
0
. Khi z
0
= 0 thì
chuỗi (1.20) được gọi là chuỗi Maclaurin.
1.6.2 Định lý Taylor
Định lí 1.6.1. Nếu hàm f chỉnh hình trong hình tròn |z −z
0
| < R, thì
f(z) =
∞

n=0
f
(n)
(z
0
)
n!
(z −z
0
)
n
; (1.21)
với mọi z ∈ S(z
0
, R).
20